线性代数Ⅰ课程教学大纲
一课程基本情况
课程名称：线性代数。
课程名称（英文）：Linear Algebra。
课程编号：B11071。
课程总学时：40学时（全部为课堂讲授）。
课程学分：2学分。
课程分类：必修，考试课。
开课学期：第3学期。
开课专业：适合对数学类基础课要求较高的理工类本科专业，包括物理学(S)、计算机科学与技术(S)、农业机械化及其自动化、机械设计制造及其自动化、电气工程与自动化、电子信息工程、土木工程、工程管理等专业。
先修课程：无。
后续课程：大学物理等基础课和各专业相应专业课。
二课程的性质、地位、作用和任务
《线性代数》是高等学校上述各专业的重要基础课。由于线性问题广泛存在于科学技术的各个领域，某些非线性问题在一定条件下可以转化为线性问题，尤其是在计算机日益普及的今天，解大型线性方程组、求矩阵的特征值与特征向量等已成为科学技术人员经常遇到的课题，因此学习和掌握线性代数的理论和方法是掌握现代科学技术以及从事科学研究的重要基础和手段，同时也是实现我院上述各专业培养目标的必备前提。本课程的主要任务是学习科学技术中常用的矩阵方法、线性方程组及其有关的基本计算方法。使学生具有熟练的矩阵运算能力及用矩阵方法解决一些实际问题的能力。从而为学生进一步学习后续课程和进一步提高打下必要的数学基础。
三主要内容、重点及深度
了解行列式的定义，掌握行列式的性质及其计算。理解矩阵（包括特殊矩阵）、逆矩阵、矩阵的秩的概念。熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置及其运算规律。理解逆矩阵存在的充要条件，掌握矩阵的求逆的方法。掌握矩阵的初等变换，并会求矩阵的秩。理解n维向量的概念。掌握向量组的线性相关和线性无关的定义及有关重要结论。掌握向量组的极大线性无关组与向量组的秩。了解n 维向量空间及其子空间、基、维数等概念。理解克莱姆（Cramer）法则。理解非齐次线性方程组有解的充要条件及齐次线性方程组有非零解的充要条件。理解齐次线性方程组解空间、基础解系、通解等概念。熟练掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。掌握矩阵的特征值和特征向量的概念及其求解方法。了解矩阵相似的概念以及实对称矩阵与对角矩阵相似的结论。了解向量内积及正交矩阵的概念和性质。了解二次型及其矩阵表示，会用配方法及正交变换法化二次型为标准形。了解惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别法。
五课程教学的基本要求和主要环节
（一）教学方法
本课程的教学方法主要是以课堂讲授为主，兼有习题课、讨论课。
（二）具体内容和要求
第一章行列式
教学内容: 行列式的定义、性质和运算，克莱姆法则。
教学基本要求：了解行列式的定义、熟练掌握行列式的性质，掌握二、三、四阶行列式的计算法，会计算简单的n阶行列式，理解并会应用克莱姆法则。
教学重点：行列式的概念、计算及克莱姆法则的结论。
教学难点：行列式的性质的证明。
作业：通过作业，使学生熟练掌握利用行列式的性质计算行列式的值，利用克莱姆法则求解线性非齐次方程组。
第二章矩阵
教学内容：矩阵的概念，单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质，矩阵的线性运算，矩阵的乘法，方阵的幂，方阵乘积的行列式，矩阵的转置，逆矩阵的概念，矩阵可逆的充分必要条件，伴随矩阵，矩阵的初等变换和初等矩阵，矩阵的等价，矩阵的秩，初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
教学基本要求：了解矩阵的概念，理解单位矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵以及它们的性质。掌握矩阵的线性运算、乘法、转置，以及它们的运算规律，了解方阵的幂、方阵乘积的行列式。理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质，以及矩阵可逆的充分必要条件，理解伴随矩阵的概念，会用伴随矩阵求矩阵的逆。掌握矩阵的初等变换，了解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念，理解矩
阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
教学重点：矩阵的概念及其各种运算和运算规律。逆矩阵的概念、矩阵可逆的判断及逆矩阵的求法。矩阵秩的概念、矩阵的初等变换，以及用矩阵的初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法。
教学难点：矩阵可逆的充分必要条件的证明，初等矩阵及其性质，分块矩阵及其运算。
作业：通过作业，使学生熟练掌握矩阵的各种运算，理解伴随矩阵、初等矩阵和初等变换的概念，熟练掌握利用初等变换求矩阵的秩，熟练掌握矩阵可逆的判断及逆矩阵的求法。
第三章向量
教学内容：向量的概念，向量组的线性相关与线性无关的概念和性质，向量组的极大线性无关组的概念，向量组的等价和向量组的秩的概念，向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，向量空间、子空间、基、维数等概念，向量的内积，正交矩阵及其性质。
教学基本要求：理解n维向量的概念，理解向量组线性相关、线性无关的概念，了解并会运用有关向量组线性相关、线性无关的有关结论。了解向量组的极大线性无关组和向量组的秩的概念，熟练掌握向量组的极大线性无关组及秩的求法。了解向量组等价的概念，了解向量组的秩与矩阵的秩的关系。了解n维向量空间、子空间、基、维数等概念。了解向量的内积、正交矩阵的概念和性质。
教学重点：n维向量及向量组的线性相关性的概念和有关结论。向量组的极大无关组和秩的概念及其求法。向量组的秩与矩阵的秩的关系。向量组等价的概念。
教学难点：向量组线性相关、线性无关的定义，向量组线性相关、线性无关的有关结论的证明。向量组的极大线性无关组的求法。
作业：通过作业，使学生熟练掌握向量组的线性相关、线性无关的概念及判断，熟练掌握向量组的极大线性无关组和秩的求法，了解向量组的等价、向量的内积、正交矩阵的概念。
第四章线性方程组
教学内容：线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件，非齐次线性方程组有解的充分必要条件，齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念，非齐次线性方程组的通解，用行初等变换求解线性方程组的方法。
教学基本要求：理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。理解齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。理解非齐次线性方程组解的结构及通解的概念。掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法。
教学重点：线性方程组解的性质和解的结构，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件。齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念，非齐次线性方程组解的结构及通解。用行初等变换求线性方程组通解的方法。
教学难点：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件的证明。齐次线性方程组的基础解系、通解及解空间的概念。用行初等变换求线性方程组通解的方法。
作业：通过作业，使学生熟练掌握齐次线性方程组有非零解的判断及基础解系的求解方法，并能熟练掌握非齐次线性方程组有解的判断及其求解方法。
第五章矩阵的特征值和特征向量
教学内容：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法，相似矩阵的概念及性质，矩阵可相似对角化的充分必要条件，实对称矩阵的相似对角矩阵。
教学基本要求：理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，熟练掌握矩阵的特征值和特征向量的求解方法。理解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
教学重点：矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法，相似矩阵的概念及性质。矩阵可相似对角化的充分必要条件，实对称矩阵与对角矩阵相似的结论。
教学难点：相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件。
作业：通过作业，使学生熟练掌握矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法，理解矩阵的相似概念和矩阵可相似对角化的充分必要条件。
第六章二次型
教学内容：二次型及其矩阵表示，二次型的秩，惯性定律的结论，用配方法、合同变换法、正交变换法化二次型为标准型，二次型及系数矩阵的正定性及其判别法。
教学基本要求：掌握二次型及其矩阵表示，了解二次型秩的概念，了解惯性定律。掌握用配方法、合同变换法、正交变换法化二次型为标准型的方法。掌握二次型及系数矩阵的正定性及其判别法。
教学重点：二次型的概念、二次型的矩阵表示方法，惯性定律的结论，了解用配方法、合同变换法、正交变换法化二次型为标准型的方法，二次型及系数矩阵的正定性的概念及其判别方法。
教学难点：二次型的概念和矩阵表示，惯性定律的证明，二次型及系数矩阵的正定性及其判断。
作业：通过作业，使学生熟练掌握二次型的矩阵表示及用配方法、合同变换法、正交变换法化二次型为标准形的方法，并能判断二次型和其系数矩阵的正定性。
（三）成绩考核
本课程为考试课，方式为命题考试。题目类型包括填空、选择、计算、证明、综合题。通过考试，按照课程教学大纲考核学生对线性代数课程的基本知识、基本方法的掌握情况，以及线性代数方法的综合运用能力。
在成绩评定中平时作业环节可占一定比例，但最多不得超过30%。最终成绩按照平时成绩和期末卷面成绩的实际分数加权平均记入。期末命题考试分数低于50分者，不得与平时成绩加权平均，直接以卷面分数记入最终成绩。
六本课程与其它课程的联系与分工
本课程是工科类专业学生必须掌握的一门基础课，在大学的第三学期开设，为工科类专业的专业课程及科学研究与实践打下一定的数学基础。没有先行课，后续课为概率论与数理统计课。
七建议教材及参考书
参考书目：
《线性代数》，同济大学，高等教育出版社，1991，第二版。
《线性代数》，中国人民大学，中国人民大学出版社，1983，第一版。
《线性代数及其应用》，[美]G.strang 著，侯自新郑仲三张延伦译，南开大学出版社，1990，第一版。
《高等代数》，北京大学，高等教育出版社，1988，第二版。
第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 811411 02--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2221 11c b a c b a ; 解 2 221 11c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2 +ca 2 +ab 2 -ac 2 -ba 2 -cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3 -(x +y )3 -x 3 =3xy (x +y )-y 3 -3x 2 y -x 3 -y 3 -x 3 =-2(x 3 +y 3 ). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详解 第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)381141102---; 解3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2.按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ??? (2n -1) 2 4 ??? (2n ); 解 逆序数为 2 ) 1(-n n :
(同济大学第五版)工程数学线性代数课后答案(很全，最新版) 习题解答 L利用对角线法则计算卞列三阶行列式: 解(1) JMS： = 2x( - 4)X3 + 0x(~l)x( - 1) -hix 1x8 -ix(-4)x(-l)-2x(-])x8^oxix3 = -4； (2)原式=acb + bac + cba -一J ■沪 ~3abc - a" - b3—c3\ (3)原式—+ 1' a*t a ~ - l*a*c a =be1 + + ab1—ba1—cb2—ac z =c2(b - a) ab(b - a) - c(b2- = (a - b)(b - c)(c - a) (4)原式*工+ y)y +歼(工+ $”(工+ 4刃_ (工+卅_八丈 =-2(x J+ ^3). 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： (1) 1 2 S 4；(2) 4 1 3 2； (3) 3 4 2 I；(4) 2 4 1 3； (5) 1 3 - (2n - [) 2 4 … (6) 1 3 *** (2n -L) {In) (2n ~2)…2. 解(1)此排列为自然排列?其逆序数为⑴ (2)此排列的首位元素的逆序数为S第2位元素1的逆序数为1 ;第3位元 察3的逆序数为1 :末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0+ 1 +1 + 2 = 4； (3)此排列的前两位元素的逆序数均为0*第3位元素2的逆序数为2■末 位元素1的逆序数为3,故它的逆序数为0 + 0 + 2 + 3 = 5; (4)类肌于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0.0t2, 1* 故它的逆序数为0 + 0 + 2+1 = 3； (5)注意到这2卉个数的排列中，前N位元索之间没有逆序对?第討+ 1位 元素2与它前面的玲-I个数构成逆序对”故它的逆序数为打- 1;同理，第n+2 倍元素4的逆序数为末位元累2?的逆序数为(L故此排列的逆序数
线性代数复习要点 第一部分行列式 1. 排列的逆序数 2. 行列式按行（列）展开法则 3. 行列式的性质及行列式的计算 行列式的定义 1.行列式的计算： ①(定义法)12 12 12 11121 21222() 12 12 ()n n n n n j j j n j j nj j j j n n nn a a a a a a D a a a a a a τ ==- ∑L L L L L M M M L 1 ②（降阶法）行列式按行（列）展开定理： 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和. 推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 1122 ,, 0,. i j i j in jn A i j a A a A a A i j ?= ? ++=? ≠ ?? L
③(化为三角型行列式)上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. 11 22 1122 *** 0** 0* 00 nn nn b b A b b b b ==L M O L
④ 若A B 与都是方阵（不必同阶）,则 = =()mn A O A A O A B O B O B B O A A A B B O B O * = =* *=-1 例 计算 2-100-1300 00110 -25 解 2-100-1300 00110 -25 =2-1115735-13-25?=?= ⑤ 关于副对角线： (1)2 1121 21 1211 1 ()n n n n n n n n n n n a O a a a a a a a O a O ---* ==-K N N 1 ⑥ 范德蒙德行列式：()1 22 22 1211 1112 n i j n j i n n n n n x x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏L L L M M M L 111 例 计算行列式
线性代数(同济第5版)复习要点 以矩阵为工具，以线性方程组问题为主线 第一章 行列式 基本结论 1．行列式的性质 （1） 互换行列式的两行，行列式变号. （2） 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面. （3） 把行列式的某一行的各元素乘以同一数然后加到另一行对应的元素上去，行列式不变. 2．行列式按行（按列）展开 定理3 行列式等于它的任一行的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即 in in i i i i A a A a A a D +++=Λ2211 ),,2,1(n i Λ= 3．克拉默法则 如果线性方程组的系数行列式不等于零，即 021 2222111211 ≠= nn n n n n a a a a a a a a a D Λ Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛ 那末，线性方程组有唯一的解 ,,,,2211D D x D D x D D x n n === Λ 主要计算 计算行列式： 1．数字行列式化为上三角形； 2．计算有规律的．．．．n 阶行列式. 例 1．（例7）计算行列式 3 3 5 1 110243152113 ------=D 2．（例8）计算行列式 3 111131111311 113= D 第二章 矩阵及其运算 基本概念 注意：1．矩阵可乘条件、乘法规则 2. 矩阵乘法不满足交换律BA AB ≠ 3．矩阵乘法有零因子出现：O B O A ≠≠,，但却有O AB = 4．消去律不成立：AC AB =，推不出C B =
基本结论 1．转置 (i) A A T T =)( (ii) T T T B A B A +=+)( (iii) T T kA kA =)( (iv) T T T A B AB =)( 2．方阵的行列式 (i) ||||A A T =（行列式性质1）； (ii) ||||A A n λλ=; (iii) ||||||B A AB = 3．A 的伴随矩阵 E A A A AA ||==** 4．逆矩阵 是初等矩阵 可逆i s E E E E A E A n A R A A Λ21~)(0||=??=?≠? 推论 若E AB =（或E BA =），则1-=A B 方阵的逆阵满足下述运算规律： （i ）若A 可逆，则1-A 亦可逆，且A A =--11)(. （ii ）若A 可逆，数0≠λ，则A λ可逆，且111 )(--= A A λ λ （iii ）若B A ,为同阶方阵且均可逆，则AB 亦可逆，且 111)(---=A B AB （iv ）若A 可逆，则T A 亦可逆，且T T A A )()(11--= 基本计算 用上面基本结论进行简单计算 主要计算 求1-A ：公式法* -= A A A | |11 基本证明 用上面基本结论进行简单证明 例
同济版 工程数学-线性代数第五版答案 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 811411 02---; 解 3 81141102--- =2′(-4)′3+0′(-1)′(-1)+1′1′8 -0′1′3-2′(-1)′8-1′(-4)′(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 (a -b )(b -c )(c -a ). (4)y x y x x y x y y x y x +++.
解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 × × × (2n -1) 2 4 × × × (2n ); 解 逆序数为2 ) 1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 × × × (2n -1) (2n ) (2n -2) × × × 2. 解 逆序数为n (n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) × × × × × × (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, × × ×, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个)
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第一章行列式 1.利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - ; 解 3 8 1 1 4 1 1 2 - - - =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2) b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb+bac+cba-bbb-aaa-ccc =3abc-a3-b3-c3. (3) 2 2 2 1 1 1 c b a c b a ; 解 2 2 2 1 1 1 c b a c b a =bc2+ca2+ab2-ac2-ba2-cb2 =(a-b)(b-c)(c-a).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x(x +y)y +yx(x +y)+(x +y)yx -y3-(x +y)3-x3 =3xy(x +y)-y3-3x2 y -x3-y3-x3 =-2(x3+y3). 2. 按自然数从小到大为标准次序,求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n); 解 逆序数为 2)1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) (6)1 3 ? ? ? (2n -1) (2n) (2n -2) ? ? ? 2. 解 逆序数为n(n -1) : 3 2(1个) 5 2, 5 4 (2个) ? ? ? ? ? ? (2n -1)2, (2n -1)4, (2n -1)6, ? ? ?, (2n -1)(2n -2) (n -1个) 4 2(1个) 6 2, 6 4(2个)
同济大学线性代数第六版答案(全) 第一章 行列式 1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1)3 81141102---; 解 3 81141102--- =2?(-4)?3+0?(-1)?(-1)+1?1?8 -0?1?3-2?(-1)?8-1?(-4)?(-1) =-24+8+16-4=-4. (2)b a c a c b c b a ; 解 b a c a c b c b a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3. (3)2 22111c b a c b a ; 解 2 22111c b a c b a =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2 =(a -b )(b -c )(c -a ).
(4)y x y x x y x y y x y x +++. 解 y x y x x y x y y x y x +++ =x (x +y )y +yx (x +y )+(x +y )yx -y 3-(x +y )3-x 3 =3xy (x +y )-y 3-3x 2 y -x 3-y 3-x 3 =-2(x 3+y 3). 2. 按自然数从小到大为标准次序, 求下列各排列的逆序数: (1)1 2 3 4; 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2; 解 逆序数为4: 41, 43, 42, 32. (3)3 4 2 1; 解 逆序数为5: 3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1. (4)2 4 1 3; 解 逆序数为3: 2 1, 4 1, 4 3. (5)1 3 ? ? ? (2n -1) 2 4 ? ? ? (2n ); 解 逆序数为2 )1(-n n : 3 2 (1个) 5 2, 5 4(2个) 7 2, 7 4, 7 6(3个)
《线性代数》同济大学版 课后习题答案详 解 第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3 811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2 ( 4) 3 0( 1) ( 1) 11 8 1 3 2 ( 1)8 1 (4)(1) 24 816 4 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a )
(4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3 (x y ) 3 x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各 排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n 1) 2 4 (2n ) 解 逆序数为 2 ) 1(-n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n 1)2 (2n 1)4 (2n 1)6 (2n 1)(2n 2) (n 1个) (6)1 3 (2n 1) (2n ) (2n 2) 2