第一章 排列组合
1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？
解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10；
千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1；
故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。
2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。 （2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()62-1＝14。
（或：()()4142*2+＝14）
（3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53-1
种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有()()2*)2,2(4152-P 种。
（4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。 所以满足条件的串共48个。
3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6
4、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。求n 和m 。
解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。
以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则
m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。
因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。 因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故
a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。
因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。
5、 从{1，2，…，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数
字有多少个？ 解：1与2相邻：())4,4(253P ??。故有1和 2 但它们不相邻的方案数：
()())4,4(2)5,5(53
5
3
P P ??-?
只有1或2：())5,5(254P ?? 没有1和2：P(5,5)
故总方案数：()())4,4(2)5,5(5353P P ??-?+())5,5(25
4P ??+ P(5,5)
6、 安排5个人去3个学校参观，每个学校至少一人，共有多少种安排方案？ 解：方法一：有两种方案：①有两个学校只要一个人去，剩下的那个去3人；②
有两个学校去2人，剩下的去1人。故方案数为：（()()()()2/2/32524
151
+）*P(3,3)＝150。
方法二：()()()()()()2
132********+＝150。
7、 现有100件产品，其中有两件是次品. 如果从中任意抽出5件，抽出的产品
中至多有一件次品的概率是多少？ 解：无次品：()985；
有一件次品：()984()21
因此，概率为（()985+()984()21）/
()100
5
8、 有七种小球，每个小球内有1～7个星星。一次活动中，主办方随机发放礼
品盒，每个盒里放两个这样的小球，那么共有多少种这样的礼品盒？
解：方法一、()281
272
=-+ 方法二、（7×7-7）/2+7＝28
方法三、一个球是一星球，另一个球可以是一～七星球，故有7种； 一个球是二星球，另一个球可以是二～七星球，故有6种；
…………
一个球是七星球，另一个球可以是七星球，故有1种。 因此，共7+6+…+1＝28种。
9、 服务器A 接到发往服务器B 、C 、D 、E 、F 的信包各3个，但它一次只能发出一个信包。问共有多少种发送方式？如果发往服务器B 的信包两两不能相邻发出呢？ 解：（1）{3?B,3?C,3?D,3?E,3?F}的全排列
（2）其余4个服务器全排列，在插入B 的三个：???
?
??+++!3!3!3!3)!3333(3
10、 有m 个省，每省有n 个代表，若从这mn 个代表中选出k （k ≤m ）个组
成常任委员会，要求委员会中的人来自不同的省，一共有多少种不同的选法？
解：()m k ?n
k
11、 7对夫妇围一圆桌而坐，每对夫妇都不相邻的坐法有多少种？ 解：7个夫人先坐：7!/7
第一个丈夫不坐在他夫人旁边，则有5个地方可以坐；
第二个丈夫由于可以坐在第一个丈夫旁边，故有6个地方可以坐；
……………………
第7个丈夫有11分地方可以坐。
因此：5*6*7*8*9*10*11*7！/7＝1197504000。 12、 设S = {n 1·a 1, n 2·a 2,…,n k ·a k }，其中n 1 = 1，n 2 + n 3 +…+ n k = n ，证明S 的
圆排列的个数等于：
!
!!!
k n n n n ???32
证明：S 的全排列为：
!
!!)!
1(21k n n n n +
因为要排成(n+1)圆，故圆排列数为
!!!)!1(21k n n n n +/(n+1)= !
!!
2k n n n
13、 有8个大小相同的棋子（5个红的3个蓝的），放在12×12的棋盘上，
每行、每列都只能放一个，问有多少种放法.
解：()())3,7()5,12(7
3125P P
先放红的。选出5行出来()125，列可任选为P(12,6)。
再先放蓝的。选出3行出来()7
3
，列可任选为P(7,3)。 14、
设1≤r ≤n ，考虑集合{1,2,…,n}的所有r 元子集及每个子集中的最小数，
证明这些最小数的算数平均数为 1
1
++r n .
证明：r 元子集共()n r 个，于是共有()n
r 个最小数。下面我们求出这些最小数之和。
如果r 元子集中的最小数为k ，那么除k 外的r-1个数只能从{k+1,k+2,…,n}
中取，有()k n r --1种取法，即以k 为最小数的r 子集有()k
n r --1个，因此这些最小数
之和为
()k
n r r n k k --+-=∑1
1
1
。于是平均数为()()k n r r n k n r
k --+-=∑1
1
1
1
。
由()()n m n n m -=和()()()1
1+-=+n m n m n m 有
()(
)(
)()∑∑∑-=+++-+--=--+-==+=+-r
n k n r k n r
k n r
r
n k k
n r r n k r r r k n 1
11
111
1
11
)1(
()()n r
r n k k n r n n )1()
1(1
1
1
+=+∑+-=--
上面两式相减得：
()()()11
1
1
1
)1(+++-=---+=∑n r n r
r n k k n r r n k
因此()
()k n r r n k n
r
k --+-=∑1
1
1
1
=11
++r n 。 15、
用二项式定理展开(4x - 3y)8.
解：()∑=--8
88)
3()4(r r
r r y x 16、
(3y – 2z)20的展开式中，y 5z 15的系数是什么？
解：()155
205
)2(3- 17、
证明：()()()()()()???+++=???+++n n n n n n
531420
证明：该等式的组合意义是说，n 元集S 的偶子集数与奇子集数相等。 现在我们任取S 中的一个元x 。对S 的任何一个偶子集A ?S ，如果x ∈A ，则令B ＝A-{x}；否则，令B ＝A ∪{x}。B 显然是S 的奇子集。不难证明这是
所有偶子集与所有奇子集之间的一一对应。所以，S 的偶子集数与奇子集数相等。 18、
证明等式∑=-+=?n
0k 11)!(n k!k 并讨论其组合意义.
证明：（n+1）！= n*n!+n!
n! = (n-1)*(n-1)!+(n-1)! ……………… 2! = 1*1!+1!
以上各式相加，整理得：(n+1)! = n+n!+(n-1)*(n-1)!+…+2*2!+1*1!+1 故
∑=-+=?n
k 11)!(n k!k 。
组合意义：将（n+1）个不同物体a 1,a 2,…,a n+1放入（n+1）个不同的盒子A 1,A 2,…,A n+1内的方法如下：
（a 1不在A 1内）+（a 1在A 1内但a 2不在A 2内）+（a 1,a 2分别在A 1,A 2内但a 3不在A 3内）+……+（a 1,a 2,…, a i 分别在A 1,A 2,…, A i 内但a i+1不在A i+1内）+……+（a 1,a 2,…, a n+1分别在A 1,A 2,…, A n+1内） 即： ∑=+?=+n
0k 1k!k 1)!(n
故 ∑=-+=?n
k 11)!(n k!k
19、
证明：
(
)()!
!!)!
(k n m k n m n m m
k n m k
++=+++
证明：()()!
!!)!
(!!)!()!(!)!(k n m k n m n m n m n m k k n m n
m m k n m k
++=+?+++=+++
20、
证明：()()?
?
?>==∑=m
n 0，m
n 1(-1)k m
n
m
k n k
k
-n 若，若. 证明：若n=m ：()()()()n
m n n n -n k m n
m
k n k k -n (-1)
(-1)=∑==1。 若n>m ：我们知道，(1+x) n
=
()k
n
k n k x
∑=
对该式两边求m 阶导数：
()m
k n
k n k
m
n x
m k k x m n n -=--=+-∑)!(!)1()!(!0
乘以!
2m x k
n m -+：()()()m
k k m
n
k n k
m
n n m k
n m x
x x -=--+∑=
+0
2)
1(
令x = -1：0 = ()()k m
n
m
k n
k
k -n (-1)∑=
21、
证明下列等式：
（1）()()()∑=-=m
k n
m m n k k n m -n 2
证明：()()()()n m
m k
n k k n m -n )!
()!(!!
)!(!)!()!(!)!(=
--=----=
-k m m n k n k n k k m m n n k n
因此，()()()∑=-=m
k n
m m n k k n m -n 2
（2）()()()1
r n m
i r i m
i i n i m +++=--=∑ 证明：利用路径问题解决。
左边第i 项相当于从点c (-r-1,0)到点(-1,i)，再经点(0,i)，最后到达b (n-m,m)的所有路径数。而右边为从c 到b 的所有路径数。因此得证。
22、 证明：()()()()()
2n 1n 2n n 1
2n 1n 12n 1n 2n n 1
n 1--+---=-=+
证明：
()1
1
!!)!2(1n 12n n
+?
=+n n n n ()())
1(!!)!2()1()!1(!2
2)!2()!
1(!)!1()!2(!
)!1()!12()!2()!1()!12()!2()!1()!12(!)!1()!12(1
2n 1
n 12n 1
n +=
+-?=
+------+-=
-+----=--+--n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
()())
1(!!)!
2()!1()!1(!!!!)!2()!1()!1()!2()!1()!1()!2(!!)!2(2n 1
n 2n
n
+=
+--+-=+--=--n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 因此 ()()()()()2n 1
n 2n n
12n 1
n 12n 1
n 2n n
1
n 1--+---=-=+
23、
试证明：
（1）()∑=-+=n
k 2
n n k 21)2
n(n k 证明：由二项式定理知：()
k n
k n k x ∑= = (1+x) n 等式两边对x 求2次导数得：()
k n
k n k 2)(x k k ∑=- = n(n-1) (1+x) n-2 令x=1，则：()∑=-n
k n k 2)(k k = n(n-1) 2
n-2
整理得：()()()∑=-=m
k n m m n k k n m -n 2
（2）()()()n k n 1k n k k 1)(k n ++=+
证明：()k)!
(n k!n!
n n n k -?
=
()()k)!
(n k!n!
n 1)!
k (n 1)!k)(k k(n k
k n 1)!
k (n 1)!k)(k (n n!
1)!k (n 1)!(k k n!k)!
(n k!n!
k 1)!-k -(n 1)!(k n!1)(k k 1)(k n k
n
1
k -?
=----+-=
----+
---?=
-?
+++=+++
得证。 24、
证明：()
∑
=+++--=++n
0k 2n n k
2)
1)(n (n 3n 22)
1)(k (k 1
. 证明：由二项式定理知：()
k n
k n k x ∑= = (1+x) n 等式两边对x 积分得：()1n
0k 1
n k
)1(1)
(n 1111)
(k 1+=+++=++
+∑
n k x n x
再次积分：
()∑
=+++++=+++++++n
0k 22
n k
2)
1)(n (n )1(2)1)(n (n 1
12)
1)(k (k 1
n k x n x x
令x ＝1。整理，得证。 25、 展开(a+3b-7c-d)5.
解：()
43214321)()7()3(n 5
0k 5n n n n n n n d c b a --∑=+++（n 1+n 2+n 3+n 4 = 5）。 26、
(4x + 3y – 2z)20的展开式中，x 5y 7z 8的系数是什么？x 5y 15的呢？
解：x 5y 7z 8的系数：
87
5)2(34!
8!7!5!20-??? x 5y 15的系数：15
534!
15!5!20??
27、 求(3+x+x 2+2x 3)6的展开式中x 5的系数.
解：
53223324213!
5!1!6312!3!2!1!6311!2!3!1!6311!3!1!2!6312!4!1!1!6??+???+???+???+??? 28、
证明：整数n 的m 分拆数等于整数n-()m 2的m 分拆数.
证明：设n=a 1+ a 2+…+a m 是n 的一个m 项分拆，并假定a 1≥a 2≥…≥a m ≥1，则
(a 1-1)+( a 2-1)+…+( a m -1)=n-m
是n-m 的一个项数不超过m 的拆分。
反之，设a 1+ a 2+…+a r =n-m(r ≤m)是n-m 的一个分拆，则
项
项
r m r r a a a -+???+++++???++++111)1()1()1(21 = ((n-m)+r)+(m-r)=n 是n 的一个m 项拆分。于是这两种拆分一一对应，故其拆分数相等。 得证。
29、 设将N 无序分拆成正整数之和且使得这些正整数都小于等于m 的方法数
为B ’(N,m). 证明：B ’(N,m) = B ’(N,m-1) + B ’(N-m,m).
证明：B ’(N,m)分为两类：一类是m 不是其中一个，则为B ’(N,m-1)；一类是m 是其中一个，即B ’(N-m,m)。故B ’(N,m) = B ’(N,m-1) + B ’(N-m,m).
30、 证明：周长为2n ，边长为整数的三角形的个数等于数n 的3分拆数. 证明：设n 的一个拆分n=x+y+z ，则
2(x+y+z)=(x+y)+(x+z)+(y+z)＝2n
其中 (x+y)+(x+z)=2x+(y+z)>y+z
同理 (y+z)+(x+z)>(x+y)，(x+y)+(y+z)>(x+z)
因此(x+y)，(x+z)，(y+z)可以组成一个三角形，且周长为2n 。
反之，设一个周长为2n 的三角形，其三条边长a ，b ，c 是整数，则
n=
2
c
b a ++
设x=n-a ，y=n-b ，z=n-c 。显然x ，y ，z 都是正整数，而
x+y+z=n-a+n-b+n-c=3n-(a+b+c)=n
即构成n 的一个拆分。
得证.
31、 n 个人出去野炊，其中r 个人围一圈，另外n-r 个人围一圈，问共有多少
种不同的方案？ 解：()r
n r n r r n r --?
?
)!
(! 32、 把n 个不同颜色的小球放入r 个不同形状的盒子，恰好有1个空盒的放
法有多少种？恰好有m （m 33、 一凸十边形内任意三条对角线不共点（即不相交于同一点），问这些对角 线被它们的交点分成多少条线段？ 解：该10边形的对角线条数为：()3510102=-，交点数为()21010 4=。 设第i 条对角线上交点数为ni ，则线段有ni+1条；即总数为： ()35 135 1 35 1 += +∑∑==i i i i n n 每个交点由2条对角线相交而成，因而∑=35 1 i i n ＝2*210＝420 故总线段数为420+35＝455。 34、 一次小型聚会中，主人要把4块相同的蛋糕、6杯不同的饮料和5盘不 同的水果分给5个客人，其余各项可随便使用。问任一客人接到3份不同食物的概率是多少？ 解：先把4块相同的蛋糕分给5个人：()701 544 =-+； 再分6杯不同的饮料：56＝15625； 再分5盘不同的水果：55＝3125。 而一位客人接到3种物品的情况有：1*6*5＝30种。因此所求概率为： () 3125 *15625*704*4**304 56 3*100。 35、 (x 1 + x 2 +…+ x m )n 的展开式有多少项？ 解：,! !!!)(21212121m n m n n m n m x x x n n n n x x x ??????=+???++∑ 其中n i ≥0，且 n 1+n 2+…+n m =n （*） 则原题即相当于求方程（*）的非负整数解的个数。即为：()1 -+n m n 。 36、 10个人进行排名，其中甲必须在乙的前面，丙必须在丁的后面，问共有 多少种排名方案？ 解：先排好甲、乙。则可把除丙、丁外的6人插入，方案数为36。 那么现在有9个位置可以插入丁；然后再把丙放在它后面的位置，方案数为： 1+2+…+9＝45。 故总方案数为45*36。 37、 10套试验设备由15位学生使用，其中第一与第二、第三套使用人数相 同，与第四、第五套不同。问有多少种分配方案？ 提示：分情况考虑。 (1)第一、二、三套没有学生使用： 715-615()2 1 +515； (2)第一、二、三套各由一位学生使用： P(15,3)*712-P(15,4)*611()2 1 +P(15,5)*510； (3) 第一、二、三套各由两位学生使用： ()()()42 62 15 6 *79 -()()()()()2174262821586*+()()()()()5 42 628210215105 *； (4) 第一、二、三套各由三位学生使用： ()()()63 93 159 *76 -()()()()()213639312315126*+()()()()0 63 931231535 *； (5) 第一、二、三套各由四位学生使用： ()()()84 144 1512 *73 ； (6) 第一、二、三套各由五位学生使用：； ()()()55 105 155 。 综合以上六种情况和得分配方案数。 装 --------------------------------- 订 --------------------------------- 线 ------------------------------------------------ 装 订 线 左 侧 不 要 书 写 内 容 试卷类型： 试卷形式：闭卷 满分：100 分 考试时间： 分钟 考试科目： 专业： 班级： 一、填空题 (本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1. 310- ，110 2. (21),(0,1,2,)k i k π+=±± 3. 34i e - 4. 1 5. 2i ± 二、计算下列各题的值（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 11 cos[arctan ]sin[arctan ] 2226.-------------212cos[arctan(2)]sin[arctan(2)] 11 cos[arctan arctan(2)]sin[arctan arctan(2)]---------222 -------------i i i i i i ++=--+-=--+--=（分）（分） （1分） 7. 224 (cos sin 44 i e e i π π π -+-=+----------------------（3分） 2 22()22e i ---=+=+-----------------（2分） 三、证明题（本大题共5分） 8.证明：由于1Re ()2 z z z =+------------------（2分） 所以 22211121221112 2Re()() z z z z z z z z z z z z z z =+=+=+----------------（3分） 四、 讨论题（本大题共5分） 9. 由于22()12f z x y xyi =-++-，因此22 (,)1,u x y x y =-++(,)2v x y xy =-， 于是 2,2,2,2u u v v x y y x x y x y ????==-==????，------（3分） 显然，上述四个一阶偏导数均连续，且C-R 方程处处满足， 因此2 ()2f z z =+在复平面处处可导，处处解析。------（2分） 五、计算题（本大题共7小题，每小题10分，共70分） 10. 解：22sin z z i e z dz z -=? =02(sin )(62(4z z i e z i ππ='-----=-----分）分） 11. 解：22222,2,2,2u u u u x ky k x y x y ????====????，--------------------------（2分） u 为调和函数，则有22220.u u x y ??+=?? 即220k +=，所以 1k =-。 ---------------------------（3分） (,) (0,0) 2222(3x y y v ydx xdy C xdy C xy C =++=+=+-------? ?分） 所以 2 2 ()(2)f z x y i xy C =-++，又由()1,f i =- 得0.C = 从而 2 2 2 ()2f z x y xyi z =-+= ---------------------------（2分） 12. 解：0;1;1z =-分别为()f z 的二阶极点，一阶极点，一阶极点。 -----------（3分） 因此 220011 Re [(),0]lim [(0)](21)!(1)(1) 2lim (1)(1) z z d s f z z dz z z z z z z →→= --+--==+--------------（3分） 第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质 知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++?? 习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。 作业习题答案 习题二 2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。 证明： 假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n 个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。 假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。 2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。 证明： 方法一： 有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为 奇数+奇数 = 偶数 ； 偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 方法二： 对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。 2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？ 证明： 根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。 2.9将一个矩形分成(m +1)行112m m +?? + ??? 列的网格每个格子涂1种颜色，有m 种颜色可以选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。 证明： （1）对每一列而言，有（m+1）行，m 种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。 （2）每列中两个单元格的不同位置组合有12m +?? ??? 种，这样一列中两个同色单元格的位置组合共有 12m m +?? ??? 种情况 （3）现在有112m m +?? + ??? 列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明： （一） 一、单项选择题（每小题2分，共12分） 1. 设四阶行列式b c c a d c d b b c a d d c b a D = ，则=+++41312111A A A A （ ）. A.abcd B.0 C.2 )(abcd D.4 )(abcd 2. 设(),0ij m n A a Ax ?==仅有零解，则 （ ） (A) A 的行向量组线性无关; (B) A 的行向量组线性相关; (C) A 的列向量组线性无关; (D) A 的列向量组线性相关; 3. 设8.0) (=A P ，8.0)|(=B A P ，7.0)(=B P ，则下列结论正确的是（ ）. A.事件A 与B 互不相容； B.B A ?； C.事件A 与B 互相独立； D.)()()(B P A P B A P += Y 4. 从一副52张的扑克牌中任意抽5张，其中没有K 字牌的概率为（ ）. A.552548C C B.52 48 C.5 54855C D.555548 5. 复数)5sin 5(cos 5π πi z --=的三角表示式为（ ） A ．)54sin 54(cos 5ππi +- B ．)54sin 54(cos 5π πi - C ．)54sin 54(cos 5ππi + D ．)5 4sin 54(cos 5π πi -- 6. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分 ?+-c n i z dz 1)(等于（ ） A ．1； B ．2πi ； C ．0； D ．i π21 二、填空题（每空3分，共18分） 1. 设A 、B 均为n 阶方阵，且3||,2|| ==B A ，则=-|2|1BA . 2. 设向量组()()() 1231,1,1,1,2,1,2,3,T T T t α=α=α=则当t = 时, 123,,ααα线性相关. 3. 甲、乙向同一目标射击，甲、乙分别击中目标概率为0.8， 0.4，则目标被击中的概率为 4. 已知()1,()3E X D X =-=，则2 3(2)E X ??-=??______. ?1.证：对n 用归纳法。先证可表示性： 当n=0,1时，命题成立。 假设对小于n 的非负整数，命题成立。对于n,设k!≤n ＜(k+1)!,即0≤n-k!＜k·k!由假设对n-k!,命题成立， 设n-k!=∑a i ·i!，其中a k ≤k-1,n=∑a i ·i!+k!，命题成立。i=1 k i=1 k 再证表示的唯一性： 设n=∑a i ·i!=∑b i ·i!, 不妨设a j ＞b j ,令j=max{i|a i ≠b i }a j ·j!+a j-1·(j-1)!+…+a 1·1! =b j ·j!+b j-1·(j-1)!+…+b 1·1!,(a j -b j )·j!=∑(b i -a i )·i!≥j!＞∑i·i!≥∑|b i -a i |·i!≥∑(b i -a i )·i! 另一种证法：令j=min{i|a i ≠b i }∑a i ·i!=∑b i ·i!,两边被(j+1)!除,得余数a j ·j!=b j ·j!,矛盾. i=1 k i=1k i=1 j-1i=1 j-1 i=1j-1i=1 j-1 i ≥j i ≥j ?2.证： 组合意义： 等式左边：n 个不同的球，先任取出1个，再从余下的n-1个中取r 个； 等式右边：n 个不同球中任意取出r+1个，并指定其中任意一个为第一个。显然两种方案数相同。 nC(n-1,r) = n ————= ——————— (n-1)! (r+1)·n! r!·(n-r-1)! (r+1)·r!·(n-r-1)! = ——————= (r+1)C(n,r+1).(r+1)·n! (r+1)!·(n-r-1)! ?3.证： 设有n 个不同的小球，A 、B 两个盒子,A 盒中恰好放1个球,B 盒中可放任意个球。有两种方法放球： ①先从n 个球中取k 个球(k ≥1),再从中挑 一个放入A 盒,方案数共为∑kC(n,k),其余球放入B 盒。 ②先从n 个球中任取一球放入A 盒，剩下n-1个球每个有两种可能，要么放入B 盒， 要么不放，故方案数为n2 . 显然两种方法方案数应该一样。 k=1n n-1 ?4.解：设取的第一组数有a 个,第二组有b 个,而 要求第一组数中最小数大于第二组中最大的，即只要取出一组m 个数(设m=a+b),从大到小取a 个作为第一组,剩余的为第二组。此时方案数为C(n,m)。从m 个数中取第一组数共有m-1中取法。总的方案数为∑(m-1)C(n,m)=n ·2 +1. ?5.解：第1步从特定引擎对面的3个中取1个有 C(3,1)种取法，第2步从特定引擎一边的2个中 取1个有C(2,1)种取法，第3步从特定引擎对面的2个中取1个有C(2,1)中取法，剩下的每边1个取法固定。 所以共有C(3,1)·C(2,1)·C(2,1)=12种方案。 m=2 n n-1 ?6.解：首先所有数都用6位表示，从000000到 999999中在每位上0出现了10 次,所以0共出现 了6·10 次,0出现在最前面的次数应该从中去掉， 000000到999999中最左1位的0出现了10 次， 000000到099999中左数第2位的0出现了10 次， 000000到009999左数第3位的0出现了10 次, 000000到000999左数第4位的0出现了10 次, 000000到000099左数第5位的0出现了10 次, 000000到000009左数第6位的0出现了10 次。另外1000000的6个0应该被加上。所以0共出现了 6·10 –10 –10 –10 –10 –10 –10 +6 = 488895次。 5 5 5 4 3 2 1 5543210 ?7.解：把n 个男、n 个女分别进行全排列，然后 按乘法法则放到一起，而男女分别在前面,应该 再乘2,即方案数为2·(n!) 个. 围成一个圆桌坐下， 根据圆排列法则，方案数为2 ·(n!) /(2n)个. ?8.证：每个盒子不空，即每个盒子里至少放一 个球，因为球完全一样，问题转化为将n-r 个小球放入r 个不同的盒子，每个盒子可以放任意个球，可以有空盒，根据可重组合定理可得共有C(n-r+r-1,n-r) = C(n-1,n-r)中方案。根据C(n,r)=C(n,n-r),可得 C(n-1,n-r)=C(n-1,n-1-(n-r))=C(n-1,r-1)个方案。证毕。 2 2 ?9.解：每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数p i 从0到a i 次，即每个素数有a i +1种选择，所以能整除n 的正整数数目为(a 1+1)·(a 2+1)·…·(a l +1)个。 ?10.解：相当于把n 个小球放入6个不同的盒子里，为可重组合，即共有C(n+6-1,n)中方案，即C(n+5,n)中方案。 ?11.解：根据题意,每4个点可得到两条对角线,1个对角线交点,从10个顶点任取4个的方案有C(10,4)中,即交于210个点。 组合数学课后标准答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 习题二证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。证明：假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。假设至少有两人谁都不认识，则认识的人数为0的至少有两人。 任取11个整数，求证其中至少有两个数的差是10的整数倍。证明：对于任意的一个整数，它除以10的余数只能有10种情况：0，1，…，9。现在有11个整数，由鸽巢原理知，至少有2个整数的余数相同，则这两个整数的差必是10的整数倍。证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。2.3证明：有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。 一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？证明：根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。一个袋子里装了100个苹果、100个香蕉、100个橘子和100个梨。那么至少取出多少水果后能够保证已经拿出20个相同种类的水果？证明：根据推论2.2.1，若将4*（20-1）+ 1 = 77个水果取出，必有20个相同种类的水果。 仲恺农业工程学院 试题答案与评分标准《工程数学Ⅰ》2008至2009 学年度第 2 学期期末(A)卷 一、单项选择题(3* 8分) 二.填空题(３*7分) 1. 5 . 2.1 11 . 3. 0、7 . 4. 0、7 . 5. 1 . 6. 0、1915 . 7. 3 μ. 三.计算题(本大题共2小题,每小题5分,满分10分) 1.设方阵A= 211 210 111 - ?? ? ? ? - ?? , 113 432 B - ?? = ? ?? ,解矩阵方程XA B =、 解: 1 101 1 232 3 330 A- ?? ? =-- ? ? - ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、3分1 221 82 5 33 X BA- - ?? ? == ? -- ? ?? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、5分 2.某人对同一目标进行5次独立射击,若每次击中目标的概率就是2 3 ,求 (1)至少一次击中目标的概率; (2)恰有3次击中目标的概率。 解:(1) 5124213243??-= ??? 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 3分 (2) 323 5 218033243C ????= ? ?????、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 5分 四.计算题(本大题共2小题,每小题6分,满分12分) 1.计算2 51237 1459 2746 12D ---=--. 解:25 12152237 14021659 270113461 20120D -----==----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、 、、、、3分 152 21522011 3011390216003001 200033--===----、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、6分 2.某工厂有三个车间生产同一产品,第一车间的次品率为0、05,第二车间的次品率为0、03,第三车间的次品率为0、01,各车间的产品数量分别为2500,2000,1500件,出厂时三个车间的产品完全混合,现从中任取一件产品,求该产品就是次品的概率。 解:设B ＝{取到次品},i A ＝{取到第i 个车间的产品},i ＝1,2,3,则123,,A A A 构成一完备事件组。……………… ……… …… …………… ………2分 利用全概率公式得, ∑=++==3 1332211)()()()()()()()()(i i i A B P A P A B P A P A B P A P A B P A P B P 高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k 1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。 A. 全部击中. B. 至少有一发击中. C. 必然击中 D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。 A. X 和Y 独立。 B. X 和Y 不独立。 C. D(X+Y)=D(X)+D(Y) D. D(XY)=D(X)D(Y) 3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。 A ． 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2 ||05.0)(≤? ??=x x f C. 0 021)(2 2 2)(<≥??? ? ???=--x x e x f x σμπ σ D. 其它0 0)(>???=-x e x f x ， 4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P , }5{2+≥=μY P P , 则有（ ） A. 对于任意的μ, P 1=P 2 B. 对于任意的μ, P 1 < P 2 C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2 D. 对于任意的μ, P 1 > P 2 5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X) 6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。 7．设A= ??? ? ? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。 8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统 正常工作的概率为 。 9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A x x x f <>?? ?=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。 11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明： 二、填空题（每空3分，共15分） 三、计算题（每小题10分，共50分） 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 李凡长版-组合数学课后习题答案-习题3 第三章递推关系 1.在平面上画n条无限直线,每对直线都在不同的点相交,它们构成的无限 区域数记为f(n),求f(n)满足的递推关系. 解： f(n)=f(n-1)+2 f(1)=2,f(2)=4 解得f(n)=2n. 2.n位三进制数中,没有1出现在任何2的右边的序列的数目记为f(n),求 f(n)满足的递推关系. 解：设a n-1a n-2 …a 1 是满足条件的n-1位三进制数序列，则它的个数可以用f(n-1) 表示。 a n 可以有两种情况： 1）不管上述序列中是否有2，因为a n 的位置在最左边，因此0 和1均可选； 2）当上述序列中没有1时，2可选； 故满足条件的序列数为 f(n)=2f(n-1)+2n-1 n 1, f(1)=3 解得f(n)=2n-1(2+n). 3.n位四进制数中,2和3出现偶数次的序列的数目记为f(n),求f(n)满足 的递推关系. 解：设h(n)表示2出现偶数次的序列的数目，g(n)表示有偶数个2奇数个3的序列的数目，由对称性它同时还可以表示奇数个2偶数个3的序列的数目。 则有 h(n)=3h(n-1)+4n-1-h(n-1),h(1)=3 （1） f(n)=h(n)-g(n),f(n)=2f(n-1)+2g(n-1) （2） 将（1）得到的h(n)=(2n+4n)/2代入（2），可得 n+4n)/2-2f(n), 4.求满足相邻位不同为0的n位二进制序列中0的个数f(n). 解：这种序列有两种情况： 1)最后一位为0，这种情况有f(n-3)个； 2)最后一位为1，这种情况有2f(n-2)个； 所以 f(1)=2,f(2)=3,f(3)=5. 5.求n位0,1序列中“00”只在最后两位才出现的序列数f(n). 解：最后两位是“00”的序列共有2n-2个。 f(n)包含了在最后两位第一次出现“00”的序列数，同时排除了在n-1位第一次出现“00”的可能； f(n-1)表示在第n-1位第一次出现“00”的序列数，同时同时排除了在n-2位第一次出现“00”的可能； 依此类推，有 17 工程数学（本）模拟试题2011.11 一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1. B A ,都是n 阶矩阵，则下列命题正确的是 ( ) ． (A) B A AB = (B) 2222)(B AB A B A +-=- (C) BA AB = (D) 若0AB =，则0A =或0B = 2. 已知2维向量组4321,,,αααα，则),,,(4321ααααr 至多是（ ）． (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 3. 设0AX =是n 元线性方程组，其中A 是n 阶矩阵，若条件（ ）成立，则该方程组没有非0解． (A) n r <)(A (B) A 的行向量线性相关 (C) 0=A (D) A 是行满秩矩阵 4. 袋中放有3个红球，2个白球，第一次取出一球，不放回，第二次再取一球，则两次都是红球的概率是（ ）． (A) 256 (B) 10 3 (C) 203 (D) 25 9 5. 设x x x n 12,,, 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计． (A) 3215 15151x x x ++ (B) 321x x x ++ (C) 321535151x x x ++ (D) 321525252x x x ++ 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设B ,A 均为3阶矩阵，且3,6=-=B A ，='--3)(1B A ． 2. 设A 为n 阶方阵，若存在数λ和非零n 维向量x ，使得x x A λ=，则称λ为A 的 ． 3. 已知2.0)(,8.0)(==AB P A P ，则=-)(B A P ． 4. 设随机变量?? ????a X 5.02.0210~，则=a ． 工程数学试题B 一、单项选择题（每小题3分，本题共21分） 1.设B A ,为n 阶矩阵，则下列等式成立的是（ ）． (A) BA AB = (B) T T T )(B A AB = (C) T T T )(B A B A +=+ (D) AB AB =T )( 2.设? ? ??? ???? ???=4321 43214321 4321A ，则=)(A r （ ）． (A) 0 (B) 1 (C) 3 (D) 4 3.设B A ,为n 阶矩阵，λ既是A 又是B 的特征值，x 既是A 又是B 的特征向量，则结论（ ）成立． < (A) λ是B A +的特征值 (B) λ是B A -的特征值 (C) x 是B A +的特征向量 (D) λ是AB 的特征值 4.设A B ,为随机事件，下列等式成立的是（ ）． (A) )()()(B P A P B A P -=- (B) )()()(B P A P B A P +=+ (C) )()()(B P A P B A P +=+ (D) )()()(AB P A P B A P -=- 5.随机事件A B ,相互独立的充分必要条件是（ ）． (A) )()()(B P A P AB P = (B) )()(A P B A P = (C) 0)(=AB P (D) )()()()(AB P B P A P B A P -+=+ 6.设)(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意 b a <，有=≤<)(b X a P （ ）． (A) ?b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( % (C) )()(a f b f - (D) )()(b F a F - 7. 对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,， 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 1 第一章 排列组合 1、 在小于2000的数中，有多少个正整数含有数字2？ 解：千位数为1或0，百位数为2的正整数个数为：2*1*10*10； 千位数为1或0，百位数不为2，十位数为2的正整数个数为：2*9*1*10； 千位数为1或0，百位数和十位数皆不为2，个位数为2的正整数个数为：2*9*9*1； 故满足题意的整数个数为：2*1*10*10+2*9*1*10+2*9*9*1＝542。 2、 在所有7位01串中，同时含有“101”串和“11”串的有多少个？ 解：（1） 串中有6个1：1个0有5个位置可以插入：5种。 （2） 串中有5个1，除去0111110，个数为()6 2 -1＝14。 （或： ()()41 42 *2+＝14） （3）串中有4个1：分两种情况：①3个0单独插入，出去1010101，共()53 -1 种；②其中两个0一组，另外一个单独，则有 ()()2*)2,2(41 52 -P 种。 （4）串中有3个1：串只能为**1101**或**1011**，故共4*2种。 所以满足条件的串共48个。 3、一学生在搜索2004年1月份某领域的论文时，共找到中文的10篇，英文的12篇，德文的5篇，法文的6篇，且所有的都不相同。如果他只需要2篇，但必须是不同语言的，那么他共有多少种选择？ 解：10*12+10*5+10*6+12*5+12*6+5*6 4、设由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异的4位偶数共有n 个，其和为m 。求n 和m 。 解：由1，2，3，4，5，6组成的各位数字互异，且个位数字为2，4，6的偶数均有P(5,3)=60个，于是：n = 60*3 = 180。 以a 1,a 2,a 3,a 4分别表示这180个偶数的个位、十位、百位、千位数字之和，则 m = a 1+10a 2+100a 3+1000a 4。 因为个位数字为2，4，6的偶数各有60个，故 a 1 = (2+4+6)*60=720。 因为千（百，十）位数字为1，3，5的偶数各有3*P(4,2) = 36个，为2，4，6的偶数各有2*P(4,2) = 24个，故 a 2 = a 3 = a 4 = (1+3+5)*36 + (2+4+6)*24 = 612。 因此， m = 720 + 612*(10 + 100 + 1000) = 680040。 5、 从{1，2，…，7}中选出不同的5个数字组成的5位数中，1与2不相邻的数 字有多少个？ 解：1与2相邻：())4,4(253P ??。故有1和 2 但它们不相邻的方案数： ()())4,4(2)5,5(53 5 3 P P ??-? 只有1或2：())5,5(254P ?? 没有1和2：P(5,5)工程数学试题1答案-自考
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