§1.2 集合间的基本关系（2课时）
一、三维目标
（一）知识与技能
1、理解集合间“包含”与“相等”的含义；
2、能识别给定集合的子集；
3、了解空集的含义；
4、能使用Venn图表达集合的关系，体会直观图示对理解抽象概念的作用.
（二）过程与方法
1、类比实数间的关系，联想集合间的关系；
2、分别能用自然语言、符号语言、图形语言描述子集的概念.
（三）情感、态度与价值观
1、培养数学来源于生活，又为生活服务的思维方式；
2、个体与集体之间，小集体构成大社会的依存关系；
3、发展学生抽象，归纳事物的能力，培养学生辩证的观点.
二、教学过程
1、子集
自然语言：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：
A?B（或B?A）
读作：“A含于B”（或“B包含A”）
符号语言：任意x∈A，有x∈B，则A?B
温馨提醒：（1）A中元素的任意性；
（2）判定集合与集合之间的包含关系，转化为判定元素与集合的关系.
（3）规定：空集是任何集合的子集，即??A
图形语言：Venn图表示集合的包含关系.
华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，说明了直观在数学中的重要作用，为了形象的表示集合，英国数学家维恩（Venn）用平面上一段封闭的曲线的内部代表集合，后人为了纪念他，便将这种图称之为V enn图，上述集合A与
集合B的包含关系，可以用图表示为：A B
例1 用符号“?”、“?”、“∈”或“?”填空：
(1){}
,,,
a b c d{},a b；(2) ?{}
1,2,3；
(3) N Q；(4) 0R；
(5) d{}
,,
a b c；(6) {}
|35
x x
<<{}
|06
x x<
…．
分析“?”与“?”是用来表示集合与集合之间关系的符号；而“∈”与“?”是用来表示元素与集合之间关系
的符号．首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．
2、集合相等
如果集合A是集合B的子集（即A?B），且集合B是集合A的子集（即B?A），此时集合A与集合B中的元
素是一样的，我们称集合A与集合B相等，记作A=B.
思考：与实数中的结论“若a≥b，且b≥a，则a=b”相类比，同学们有什么体会？
若A?B，且B?A，则A=B.（集合相等的符号语言.）利用类比加深学生对集合相等的理解。
例2：判断集合A与B是否相等？
(1) A={0}，B=?；
(2) A={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B={x|x=2m+1 ,m∈Z}；
(3) A={x|x=2m-1 ,m∈Z}，B={x|x=2m+1 ,m∈Z}．
3、真子集
如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的真子集，记作
A B
?≠（或B?≠A）
读作：“A真含于B”（或B真包含A）
规定：空集是任何非空集合的真子集，即??≠B （B为非空集合）
例3 用适当的符号填空：
⑴{1，3，5}{1，2，3，4，5，6}；
⑵2
{|9}
x x={3，-3}；
⑶{2}{ x| |x|=2}；⑷2 N；
⑸a{ a }；⑹{0}?；
⑺{1,1}
-2
{|10}
x x+=.
*理论升华 整体建构
元素与集合关系：属于与不属于∈、?；
集合与集合关系：子集、真子集、相等?、ü、=； 首先要分清楚对象，然后再根据关系，正确选用符号．
4、子集的有关性质
（1）任何一个集合是它本身的子集，即A ?A
（2）对于集合A 、B 、C ，如果A ?B 且B ?C ，那么A ?C 结论拓展：（子集的传递性）
1：对于集合A 、B 、C ，如果A ?≠B ，且B ?≠C 那么A ?≠C 2：对于集合A 、B 、C ，如果A ?B ，且B ?≠C 那么A ?≠C 3：对于集合A 、B 、C ，如果A ?≠B ，且B ?C 那么A ?≠C 4：对于集合A 、B 、C ，如果A=B ， 且B=C ，那么A=C 6、深化概念
请大家讨论下面四个问题。
问题1： 包含关系{a}?A 与属于关系a ∈A 有什么区别？
“∈”表示元素与集合之间的关系，如1∈N ，-1∈Z “?”表示集合与集合之间的关系，如N ?Z ?Q ?R
问题2 ：集合A 是集合B 的真子集与集合A 是集合B 的子集之间有什么区别？
A ?
B 允许A=B 或A B ?≠，而，A B ?≠不允许A=B
???
真子集子集相等
问题3： 0 , {0}, ? , {?} 四者之间有什么关系？ 0∈{0}, 0??，0?{?}
??≠ {0}，? ?≠{?}，?∈{?}
5.练习与提高
例1：写出集合{a 、b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集. 解：集合{a 、b}的所有子集为?、{a}、{b}、{a 、b}；
真子集为?、{a}、{b}.
方法引导：写子集时，先写零个元素构成的集合，即?，然后写出一个元素构成的集合，再写两个元素构成的
集合，依此类推.
变式1：写出{a 、b 、c}的所有子集，并指出哪些是它的真子集.
解析：1.分类讨论思想在子集中的应用，在解答某些数学问题时，又会遇到各种情况，需要对各种情况加以分类，逐类求解，然后综合得到，这就是分类讨论法。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不重不漏，科学的划分，分清主次，不越级讨论，其中重要的一条是“不重不漏”.
2.尝试让学生发现子集个数和集合元素个数的关系。
变式2：写出满足条件{}M
?
0{}0,1,2,3的所有集合M
解析：引导学生观察集合M 的元素构成，帮助归纳计算M 个数的方法。
例2：集合M=k 1x|x ,k Z 24?
?=
+∈????
，N=k 1x|x ,k Z 42??
=+∈????则（ ）
A 、M=N
B 、M ?≠N
C 、M ?≠N
D 、M 与N 没有相同元素
分析：法一 令k=……,-1,0,1,2,3……得 M=1135744444
?
???-?????
?
， ， ， ， ， 令k=……-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5……得 N=111353704424424
????-?????
?
，，，，，，， ∴M ?≠N ，故选C. 法二：∵
1)(2k 41412k +=+ ， 2)(k 4
1
214k +=+ 当k ∈Z 时，2k+1是奇数，k+2是整数 ，因为奇数都是整数，且整数不都是奇数. ∴M ?≠N 选C.
例3若集合{}
{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ?，求实数a 的值. 解：由26023x x x +-=?=-或，因此，{}2,3M =-.
（i ）若0a =时，得N =?，此时，N M ?；
（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ?,满足1123a a ==-或，解得11
23a a ==-或.
故所求实数a 的值为0或12或1
3
-.
解析：在考察“A B ?”这一关系时，不要忘记“?” ，因为A =?时存在A B ?. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.
例4已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.
解：若2
2a b ax a b ax +=??+=?
?a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2
=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去； 当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去. 若22a b ax a b ax
?+=?+=??2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有1
2
x =-.
经检验，此时A =B 成立. 综上所述1
2
x =-.
点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.
例5.已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p －1}．若B A ，则实数p 的取值范围是________．
解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5． 欲使B
A ，只须213 3.215
p p p -≤+??-≤≤?
-≤?∴ p 的取值范围是－3≤p≤3． 上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=?时，符合题设． 应有：①当B≠?时，即p ＋1≤2p －1p≥2．
由B
A 得：－2≤p ＋1且2p －1≤5．由－3≤p≤3．∴ 2≤p≤3.
②当B=?时，即p ＋1>2p －1p ＜2．
由①、②得：p≤3．
解析：再次明确空集在子集问题中的易忽视性，理解和应用数形结合解决子集问题
三．小结
1、本节课的知识网络：
???≠??
→??=????
真子集（）子集性质相等 （）
空集 性质
2、本节课的主要思想方法：类比法 分类讨论思想
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word 文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 1.2 集合之间的关系 【课堂例题】 例1.设,,A B C 是三个集合，若A B ?且B C ?，试证A C ?. 例2.试判定下列两个集合的包含关系或相等关系并简述理由. (1)? {|23}x x -<<-; (2){|5}x x > {|6}x x >； (3){|n n 是12的正约数} {1,2,3,4,6,8,12}； (4){|n n 是4的正整数倍} {|2,}n n k k Z + =∈. 例3.求出所有符合条件的集合C (1){1,2,3}C ?;
(2){,}C a b ; (3){1,2,3} {1,2,3,4,5}C ?. (选用)例4.已知{|21,},{|A x x k k Z B x x ==+∈=是被4除余3的整数},判断,A B 之间的关系并证明之. . 1.2 集合之间的关系 【知识再现】 1.对于两个集合A 与B , (1)如果 ，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作________或________，读作 或者_________________； (2)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 与集合B 相等，记作 ； (3)如果A 是B 的子集并且___________________________________，那么集合A 叫做集合
集合间的基本关系及运算 【知识要点】 1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作 A B 或 B A. 2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B 3、真子集：如果 A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B . 4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A 5、元素与集合、集合与集合之间的关系 6、有限集合的子集个数 1 )n 个元素的集合有2n个子集 2)n 个元素的集合有2n-1 个真子集 3)n 个元素的集合有2n-1 个非空子集 4)n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集 7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo 8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o 9 、集合的运算性质及运用 知识应用】 1.理解方法：看到一个集 合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo 【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系 (1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数} 【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1 x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。
【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请
第二讲 集合之间的基本关系 【知识点】 1.子集.对于集合A 、B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就 说这两个集合是包含关系，集合A 为集合B 的子集。记作 ()A B B A ??或 读作A 含于B 2.维恩图. 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图叫做韦恩图 3.集合相等. 集合A 与集合B 中的元素完全相同，只是表示方法不同，我们就说集合A 与集合B 相等，即A =B 4.真子集. 如果集合B 是集合A 的子集，并且集合A 中至少有一个元素不属于集合B ，那么把集合B 叫做集合A 的真子集． 表示记作B A (或A B)， 读作“A 真包含 B ”（或“B 真包含于A ”）． 5.空集. 我们把不含任何元素的集合叫作空集.空集是任何集合的子集，且是任何非空集合的真子集. 【知识点透析】 1.集合的关系问题，有同学容易忽视空集这个特殊的集合，导致错解。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 2.集合的运算要注意灵活运用韦恩图和数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用。 【例题精讲】 1.用符号“?”、“?”、“∈”或“?”填空： (1) {},,,a b c d {},a b ；(2) ? {}1,2,3； (3) N Q ； (4) 0 R ； (5) d {},,a b c ； (6) {}|35x x << {}|06x x <…． 2. 写出集合｛a ，b ｝的所有子集， 3. 说出下列每对集合之间的关系． A B
（1）A ＝｛1，2，3，4，｝，B ＝｛3，4｝． （2）P ＝｛x ｜x 2＝1｝，Q ＝｛-1，1｝． （3）N ，N*． 4.求下列集合之间的关系，并用Venn 图表示． A ＝｛x ｜x 是平行四边形｝， B ＝｛x ｜x 是菱形｝， C ＝｛x ｜x 是矩形｝， D ＝｛x ｜x 是正方形｝． 判断集合{}2A x x ==与集合{} 240B x x =-=的关系． 5.判断集合A 与B 是否相等？ (1) A ={0}，B = ?； (2) A ={…,-5,-3,-1,1,3,5,…}，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z } ； (3) A ={x| x =2m-1 ,m ∈Z }，B ={x| x =2m+1 ,m ∈Z }． 4.下列各式中，正确的是（ ） Ａ．}4|{32≤?x x Ｂ．}4|{32≤∈x x Ｃ．}32{?≠}3|{≤x x Ｄ．}4|{}32{≤∈x x 5.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2－１＝０｝，Ｂ＝｛－１，１｝，则Ａ、Ｂ之间的关系为___________________． 6.已知三元集合Ａ＝｛y x xy x -,,｝，Ｂ＝｛y x |,|,0 ｝，且Ａ＝Ｂ，求y x 与的值． 7.选用适当的符号“”或“”填空： (1){1,3,5}_ _{1,2,3,4,5}； (2){2}_ _ {x | |x |=2}； (3){1} _?． 8.设集合{}0,1,2M =,试写出M 的所有子集，和真子集 9.已知集合Ａ＝｛ｘ｜ｘ2 －２ｘ－３＝０｝，Ｂ＝｛ｘ｜a ｘ－１＝０｝，若Ｂ?≠Ａ，求a 的值所组成 的集合Ｍ．
信达雅教育内部教案 一、集合 1.2 集合的基本关系与基本运算 学习目标： 1.了解集合之间包含关系的意义. 2.理解子集、真子集的概念. 3.了解全集的意义,理解补集的概念. 1.2.1集合的基本关系 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == (2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合。 (3){2,4,6},{6,4,2}E F ==. （1）子集 一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：()A B B A ??或 读作：A 含于B(或B 包含A) (2)集合相等与真子集 （2）空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 （3）用韦恩图表示集合 为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。 如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图. 图l ()A B B A ??或 图2 B A =
（4）集合的一些基本结论： 1）任何一个集合是它本身的子集。即 A A ?； 2）对于集合A,B,C,如果。，那么，且C A C B B A ??? 例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解:集合{a,b}的所有子集为?，{a}，{b}，{a,b}。真子集为?，{a}，{b}。 练习： 1．写出集合{,,}a b c 的所有子集． 解： 拓展： 2．用适当的符号填空： （1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2{|0}x x =； （3）?______2{|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ； （5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2{|320}x x x -+=． 3．判断下列两个集合之间的关系： （1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数； （2）{|3,}A x x k k N ==∈，{|6,}B x x z z N ==∈； （3）{|410}A x x x N +=∈是与的公倍数,，{|20,}B x x m m N +==∈． 1.2.2集合的基本运算 请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A .B 之间的关系吗? (1){1,3,5},{2,4,6},{1,2,3,4,5,6};A B C === (2){|},{|},{|}A x x B x x C x x ===是理数是无理数是实数 （1）并集 —般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集. 记作：A ∪B.读作“A 并B ”. 其含义用符号表示为：{|,}A B x x A x B =∈∈或
1. 1. 2集合间的基本关系知识要点： 1?集合、元素的概念； 2.集合的分类； 3.确定集合的三要素； 4.集合的表示方法； 5.元素与集合的关系； 6 ?一些常用数集及其记号； (1)非负整数集或自然数集： (2)正整数集： (3)整数集： (4)有理数集： (5)实数集： 例1:下列对象能构成集合的是________________ ，用集合表示出来. (1)大于-6而小于6的偶数； (2 )很小的有理数； (3 )第三中学的所有学生； (4 )比较接近1的全体正数； (5)方程x2-2x，仁0的实数根. 例2:用?和y填空. (1)设集合A = 1 X ￡価贝y 2*3A, W2 A ； (2)设集合A =?x2 -x = 0〉，贝u -1 A ； (3)(1,2 )^x, y ?v =x +1〉.
用描述法表示下列集合. 坐标平面内不在一、三象限的点; 「1 1 3 2 51 ＜一，一，一，一，一 ＞； .3 2 5 3 7： 由x 轴、y 轴、直线x 二2和y =1维成的矩形（不含边界） F 列集合是用描述法表示的，请用列举法将其表示出来. x 2x -1 x 2 x 2 1 d ； 1 ,a,b 为非零实数； J 被3除余1的自然数组成的集合. 设实数集S 是满足下面两个条件的集合：① V S ②若a S 且a = 0，则丄 S , 1 —a 1 求证：若a ?S ，则1 S ； a 求证：集合S 中至少有三个不同元素. 例3: (1) (2) (3) 例4: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 例5: (1) (2) 例6: a b 」x - + - a b 」（x,y 护 ◎x +y =8： .x-y =1 8 Z,x N ?； 、x,y y F x -1 .1 -x* r
1.2集合的表示方法． 教学目标： 1.掌握表示集合的列举法和描述法． 2.通过集合的列举法和性质描述法表示，培养学生的思维能力． 3.培养学生不断探索、刻苦钻研的精神． 教学重点：集合的列举法和性质描述法． 教学难点：集合的特征性质概念． 教学过程： 一、复习、预习检查及导入新课 1.复习提问：什么是集合？什么是集合的元素？请举例说明． 2.预习检查：集合有哪两种表示方法？有什么区别？(由学生回答．） 3.导入新课：我们在上一节中讲到集合可以用大写的英文字母表示，元素可以用小写的英文字母表示．但这样表示集合仅仅是一种集合的代号，集合中都有些什么样的元素？这些元素又有些什么性质？这些都是看不出来的．本节将研究集合的表示方法，并从这两个方面回答提出的问题．(板书课题．） 二、讲解新课 例1.表示由1，2，3，4，5这5个数组成的集合． 可表示为{1，2，3，4，5}．给出什么是列举法． 当集合的元素不多，常常把集合的元素列举出来，写在大括号内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法． 打开课本第4页，让学生看中国四大发明、不大于100的自然数全体构成的集合、自然数集N的列举法表示．
然后教师强调注意以下几点：①用列举法表示时，元素要用逗号“，”隔开；②元素可不必考虑其先后的次序，但在表示数之类的集合时，最好按从小到大(或从大到小）的顺序一一列举，这样可防止元素的遗漏和重复；③表示自然数集(或自然数集中的“某一段”数构成的数集）时，可以只写出其部分元素，其余元素用省略号表示；④列出元素的外面加{ }； ⑤由一个元素a构成的集合记作{}，注意与{}是不同的．表示元素，{}表示一个集合，接下来练习第5页A第1(1）、(2）、(3）、(4）题． 下面介绍集合的第二种表示方法． 例2、正偶数的全体构成的集合． 提问：请你用列举法表示这个集合．学生回答：{2，4，6，8…，2n，…}，∈．分析这个集合元素具有什么性质，然后得出这个集合每一个元素都具有性质： “能被2整除，且大于0”或用式子表示为： “＝2，∈”． 而这个集合外的元素都不具有这个性质．我们把这个性质叫做正偶数全体构成的集合的特征性质． 给出集合的特征性质的定义． 给定的取值集合，如果属于集合的任一元素都具有性质(），而不属于集合 的元素都不具有性质(），则性质(）叫做集合的特征性质． 集合用它的特征性质表示为{∈|(）}这个式子表示是由中具有性质 (）的所有元素构成的． 例如，方程－1＝0的解集＝{－1，1}，还可以表示为{∈|－1＝0}，其中“－1＝0”是方程－1＝0的解集的特征性质．
1.1.2 集合间的基本关系 一、选择题 1、满足条件{1,2,3}?≠ M ?≠ {1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是 （ ） A 、8 B 、7 C 、6 D 、5 2、若集合{}0|2≤=x x A ，则下列结论中正确的是（ ） A 、A=0 B 、A ?0 C 、?=A D 、A ?? 3、下列五个写法中①{}{}2,1,00∈，②{}0≠ ??，③{}{}0,2,12,1,0?，④?∈0， ⑤?=? 0，错误的写法个数是（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 4、若集合}1|{},2|{-= ===-x y y P y y M x ，则P M 等于_____ A 、 }1|{>y y B 、}1|{≥y y C 、}0|{>y y D 、}0|{≥y y 5、不等式组?????<-<-0 30 122x x x 的解集是_____ A 、 }11|{<<-x x B 、 }30|{< 9、已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2+2ax+2a 2 -4a+4＝0｝，若φA ，则实数a 的取值是 10、已知集合A ＝｛x ∈N *｜2 6+x ∈Z ｝，集合B ＝｛x ｜x ＝3k+1,k ∈Z ｝，则 A 与B 的关系是 11、已知A ＝｛x ｜x ＜3}，B ＝｛x ｜x ＜a } (1)若BA ，则a 的取值范围是______ (2)若AB ，则a 的取值范围是______ 12、若｛1，2，3｝A ｛1，2，3，4｝，则A ＝______ 三、解答题 13、设A ＝｛x ｜x 2－8x ＋15＝0｝，B ＝｛x ｜ax －1＝0｝，若BA ，求实数a 组成的集合、 14、已知A ＝｛x ，xy ，1n(xy)｝，B ＝｛0，｜x ｜，y ｝，且A ＝B 。求x ，y 的值。 15、已知M={x | x 2 -2x-3=0},N={x | x 2 +ax+1=0,a ∈R},且N ? ≠M,求a 的取值范围、 集合间的基本关系 （一）教学目标； 1．知识与技能 （1）理解集合的包含和相等的关系. （2）了解使用Venn图表示集合及其关系. （3）掌握包含和相等的有关术语、符号，并会使用它们表达集合之间的关系. 2．过程与方法 （1）通过类比两个实数之间的大小关系，探究两个集合之间的关系. （2）通过实例分析，获知两个集合间的包含与相等关系，然后给出定义. （3）从自然语言，符号语言，图形语言三个方面理解包含关系及相关的概念. 3．情感、态度与价值观 应用类比思想，在探究两个集合的包含和相等关系的过程中，培养学习的辨证思想，提高学生用数学的思维方式去认识世界，尝试解决问题的能力. （二）教学重点与难点 重点：子集的概念；难点：元素与子集，即属于与包含之间的区别. （三）教学方法 在从实践到理论，从具体到抽象，从特殊到一般的原则下，一方面注意利用生活实例，引入集合的包含关系. 从而形成子集、真子集、相等集合等概念. 另一方面注意几何直观的应用，即Venn图形象直观地表示、理解集合的包含关系，子集、真子集、集合相等概念及有关性质. （四）教学过程 图表示为： =2}. }. 备选训练题 例1 能满足关系{a ，b }?{a ，b ，c ，d ，e }的集合的数目是（ A ） A ．8个 B ．6个 C ．4个 D ．3个 【解析】由关系式知集合A 中必须含有元素a ，b ，且为{a ，b ，c ，d ，e }的子集，所以A 中元素就是在a ，b 元素基础上，把{c ，d ，e }的子集中元素加上即可，故A = {a ，b }，A = {a ， b ， c }，A = {a ，b ， d }，A = {a ，b ， e }，A = {a ，b ，c ，d }，A = {a ，b ，c ，e }，A = {a ，b ，d ，e }，A = {a ，b ，c ，d ，e }，共8个，故应选A. 例2 已知A = {0，1}且B = {x |x A ?}，求B . 【解析】集合A 的子集共有4个，它们分别是：?，{0}，{1}，{0，1}. 由题意可知B = {?，{0}，{1}，{0，1}}. 例3 设集合A = {x – y ，x + y ，xy }，B = {x 2 + y 2，x 2 – y 2，0}，且A = B ，求实数x 和y 的值及集合A 、B . 【解析】∵A = B ，0∈B ，∴0∈A . 若x + y = 0或x – y = 0，则x 2 – y 2 = 0，这样集合B = {x 2 + y 2，0，0}，根据集合元素的互异性知：x + y ≠0，x – y ≠0. ∴22 220 xy x y x y x y x y =?? -=-??+=+? （I ） 或22 220xy x y x y x y x y =?? -=+??+=-? （II ） 由（I ）得：00x y =?? =?或01x y =??=?或1 0x y =??=? 由（II ）得：00x y =?? =?或01x y =??=-?或1 0x y =??=? ∴当x = 0，y = 0时，x – y = 0，故舍去. 当x = 1，y = 0时，x – y = x + y = 1，故也舍去. ∴01x y =?? =?或0 1x y =??=-? ， ∴A = B = {0，1，–1}. 例4 设A = {x | x 2 – 8x + 15 = 0}，B = {x | ax – 1 = 0}，若B A ?，求实数a 组成的集合，并写出它的所有非空真子集. 【解析】A = {3，5}，∵B A ?，所以 1.2 集合之间的关系 【知识解读】 1、集合与集合之间的关系： （1）子集：对于两个集合A 和B ，若集合A 中______元素都属于集合B ，那么集合A 叫做集 合B 的子集，记作_______（或B A ?），读作“___________”或“B 包含A ”。 如：每个整数都是有理数，就是说：整数集中Z 的每个元素都属于有理数集Q ，即Z Q ?，同理Q R ?，即N _____Z ______Q ______R ； 注意: 任何集合都是它自身集合的子集，如A_____A 。 （2）相等的集合：对于集合A 和B ，如果______且_______，那么叫做集合A 与集合B 相等。 记作A=B ，读作“集合A 等于集合B ”。因此，如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等。 注意: 当A=B 时，A 一定是B 的子集，B 一定是A 的子集，即A=B ,A B B A ???。 （3）真子集：对于两个集合A ，B ，如果________，且B 中至少有一个元素不属于A ，那么 集合A 叫做集合B 的真子集，记作A ___ B 或（B _____A ），读作“A 真包于B ”或是“B 真包含A ”。由真子集的定义可见，真子集是子集关系中的特殊关系。 如：对于数集N ，Z ，Q ，R 来说，有N _____ Z _______ Q _______ R ； 注意： 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 2、有关有限集的子集个数的结论： 若集合A 是含有n 个元素的有限集，则集合A 的子集共有____________个， 集合A 的非空子集有__________个，集合A 的非空真子集有_____________个； 【例题讲解】 例1、 确定实数,x y ，使{}{}2,7,4x x y +=。 例2、确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系； （1）{|A n n =为12的正约数 }与}{1,3,2,4,6,12B =； （2）}{ *|2,C m m k k N ==∈与{|D m m =为4的正整数倍数}。 1.1.2集合间的基本关系 一、选择题 1．对于集合A ，B ，“A ?B ”不成立的含义是( ) A ． B 是A 的子集 B ．A 中的元素都不是B 的元素 C ．A 中至少有一个元素不属于B D ．B 中至少有一个元素不属于A [答案] C [解析] “A ?B ”成立的含义是集合A 中的任何一个元素都是B 的元素．不成立的含义是A 中至少有一个元素不属于B ，故选C. 2．集合M ＝{(x ，y )|x ＋y <0，xy >0}，P ＝{(x ，y )|x <0，y <0}那么( ) A ．P M B ．M P C ．M ＝P D ．M P [答案] C [解析] 由xy >0知x 与y 同号，又x ＋y <0 ∴x 与y 同为负数 ∴??? x ＋y <0 xy >0等价于??? x <0 y <0∴M ＝P . 3．设集合A ＝{x |x 2＝1}，B ＝{x |x 是不大于3的自然数}，A ?C ，B ?C ，则集合C 中元素最少有( ) A ．2个 B ．4个 C ．5个 D ．6个 [答案] C [解析] A ＝{－1,1}，B ＝{0,1,2,3}， ∵A ?C ，B ?C ， ∴集合C 中必含有A 与B 的所有元素－1,0,1,2,3，故C 中至少有5个元素． 4．若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}且B ?A ，则满足条件的实数x 的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 [答案] C [解析] ∵B ?A ，∴x 2∈A ，又x 2≠1 ∴x 2＝3或x 2＝x ，∴x ＝±3或x ＝0.故选C. 5．已知集合M ＝{x |y 2＝2x ，y ∈R }和集合P ＝{(x ，y )|y 2＝2x ，y ∈R }，则两个集合间的 2.集合与集合的关系练习题 班学生 1．下列六个关系式，其中正确的有() ①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}?{b，a}；③?＝{?}；④{0}＝?；⑤?{0}；⑥0∈{0}． A．6个B．5个C．4个D．3个及3个以下 2．已知集合A，B，若A不是B的子集，则下列命题中正确的是() A．对任意的a∈A，都有a?B B．对任意的b∈B，都有b∈A C．存在a0，满足a0∈A，a0?B D．存在a0，满足a0∈A，a0∈B 3．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A B，则a的取值范围是() A．a≥2 B．a≤1 C．a≥1 D．a≤2 4．集合M＝{x|x2－3x－a2＋2＝0，a∈R}的子集的个数为________． 5．如果A＝{x|x>－1}，那么() A．0?A B．{0}∈A C．?∈A D．{0}?A 6．已知集合A＝{x|－1 1.2.1 集合之间的关系 教材知识检索 考点知识清单 1.子集 (1)定义：如果 ；那么集合A 叫做集合B 集合的子集。 (2)符号： ，读作： 。 2.真子集 (1)定义：如．果集合A 是集合B 的子集，并且 那么集合A 叫做集合B 的真子集． (2>符号： ，读作： ． 3. 集合的相等 (1)集合相等的定义：一般地，如果集合A 的 都是集合B 的元素，反过来，集合B 的 也都是集合强的元素，那么就说集合A 等于集合B ，记作____． (2)推论：如果 ，又 ，则A=B 反之．如果A=B ，则____且____． 4．韦恩图 韦恩(Venn)图：通常用 表示一个集合，这个图形通常叫做韦恩图. 5．两个重要规定 (1)空集是 的子集． (2)空集是 的真子集． 6．传递性 根据子集、真子集的定义可以推知： (1)对于集合4、B 、C ，如果A ? B ，B ?C ，则____． (2)对于集合A 、B 、C ，如果A ≠?B ，B ≠?C ，则 . 要点核心解读 1．准确理解子集、真子集的概念 (1)空集是任何非空集合的真子集，即?≠?A （A 是非空集合）； (2)任何集合都是它本身的 子集，即;A A ? (3)子集、真子集都有传递性，即若,,C B B A ??则;C A ??若A B B,≠?A ≠?则.C A ≠? 2．集合相等的概念 课本中是用 B A ?“且A B ?则B A =”来定义集合相等的．其实，A 与B 非空且元素完全相同或 ?==B A 时，B A =都成立．课本中的定义实际上给出了一种证明两个集合相等的方法，即欲证 ,B A =只需证B A ?与A B ?都成立． 3．符号，，“?∈ ≠?” 的区分 要注意区分，与“?∈?与≠?”“∈”表示元素与集合之间的从属关系，而“?”表示集合之间的包 含关系，“?”与≠?均表示集合间的包含关系，但后者是前者“≠”情形时的包含关系。 4．“元素个数”与“子集个数”之间的关系 (1)列下表． ①若},{a A =则其子集可以是},{,a ?子集个数为2； ②若},,{b a A =则其子集可以是},,{},{},{,b a b a ?子集个数为4； ③若},,,{c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ?},,{},,{c a b a },,,{},,{c b a c b 子集个数为8； ④若},,,,{d c b a A =则其子集可以是},{},{},{,c b a ?},,{},{b a d },,{},,{d a c a },,{},,{d b c b },,,{},,{c b a d c },,,{d b a },,,{},,,{d c b d c a },,,,{d c b a 子集个数为16. 所以表格中依次填2、4、8、16. 综上所述，，集合中的元素个数每增加1个，其子集的个数变为原来的2倍， 其对应关系为： 元素个数 子集的数目 1 221= 2 21222=? 3 32222=? 4 43222=? 1.1.2《集合间的基本关系》同步练习题 1．集合A ＝{x ｜0≤x ＜3且x ∈Z}的真子集的个数是( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 2．在下列各式中错误的个数是( ) ①1∈{0,1,2}；②{1}∈{0,1,2}；③{0,1,2}?{0,1,2}；④{0,1,2}＝{2,0,1} A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．已知集合A ＝{x ｜－1＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜1}，则( ) A ．A > B B ．A =B C ．B A D ．A ?B 4．下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若? A ，则A ≠?．其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 5．集合{a ，b }的子集有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．满足条件{1,2,3}M {1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 7．下列各式中，正确的是( ) A ．23∈{x ｜x ≤3} B ．23?{x ｜x ≤3} C ．23?{x ｜x ≤3} D ．{23}∈{x ｜x ≤3} 8．若集合A =｛x ｜x 2≤0｝，则下列结论中正确的是（ ） A ．A =0 B ．A ?0 C ．A =φ D ．φ?A 9．集合M ＝{x ｜x 2＋2x ﹣a =0，x ∈R}，且φM ，则实数a 的范围是（ ） A ．1-≤a B ．1≤a C ．1-≥a D ．1≥a 10．集合B ＝{a ,b ,c }，C ＝{a ,b ,d }，集合A 满足A ?B ，A ?C ，则集合A 的个数是________． 11．若｛1,2,3｝A ?｛1,2,3,4｝，则A ＝__________________． 12．已知?{x ｜x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是________． 13．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3,m 2}，若B ?A ，则实数m ＝________． 14．已知集合A ＝｛x ∈R ｜x 2＋2ax ＋2a 2－4a ＋4＝0｝，若φ A ，则实数a 的取值是____________． 15．已知集合A ＝｛x ∈N *｜2 6+x ∈Z ｝，集合B ＝｛x ｜x ＝3k ＋1，k ∈Z ｝，则A 与B 的关系是_________． 16．已知A ＝｛x ｜x ＜3}，B ＝｛x ｜x ＜a }． (1)若B ?A ，则a 的取值范围是____________． (2)若A B ，则a 的取值范围是____________． 信达雅教育内部教案（教师版） 一、集合 1.2 集合的基本关系与基本运算 学习目标： 1.了解集合之间包含关系的意义. 2.理解子集、真子集的概念. 3.了解全集的意义,理解补集的概念. 1.2.1集合的基本关系 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == PS ：A 是b 的子集，但4属于B ，不属于A ，满足定义 (2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合 (3){2,4,6},{6,4,2}E F ==. PS ：首先来学习子集 （1）子集 一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：()A B B A ??或 读作：A 含于B(或B 包含A) PS ：看实例（1）和实例（2），谁是谁的子集？ PS ：注意符号的方向不要搞错，开口处为大。 (2)集合相等与真子集 （2）空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 （3）用韦恩图表示集合 为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。 如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图. 图l ()A B B A ??或 图2 B A = （4）集合的一些基本结论： 1）任何一个集合是它本身的子集。即 A A ?；（根据定义说明） 2）对于集合A,B,C,如果。，那么，且C A C B B A ??? PS ：板书说明 例：{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==6}5432{1C ,，，，，，= 接下来看例题： 例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解:集合{a,b}的所有子集为?，{a}，{b}，{a,b}。真子集为?，{a}，{b}。 PS:不要漏掉，空集是任何集合的子集 练习： 1．写出集合{,,}a b c 的所有子集． 解：按子集元素个数来分类， 不取任何元素，得?； 取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ， 即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ?． 拓展：子集个数的计算 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集，含有2n -1个非空子集，含有2-2n 个非空真子集 2．用适当的符号填空： （1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2 {|0}x x =； （3）?______2 {|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ； （5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2 {|320}x x x -+=． （1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2 {|0} {0} x x ==； （3）2{|10}x R x ?=∈+= 方程2 10x +=无实数根，2 {|10}x R x ∈+==?； （4）{0,1}N （或{0,1}N ?） {0,1} 是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0} 2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ?=） 2{|}{0,1} x x x ==； （6）2 {2,1}{|320}x x x =-+= 方程2 320x x -+=两根为121,2x x ==． 集合间的基本关系 姓名：__ __________ 一、 选择题 1.集合}{Z x x x A ∈<≤=且30的真子集 的个数为 （ ） A.5 B.6 C.7 D.8 2.已知集合}{{x B x x A =<<-=,21 }1 0< 集合的基本关系及运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)??或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或 要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含 A ”）． 真子集：若集合A B ?，存在元素x ∈B 且x A ?，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B 要点诠释： 任何一个集合是它本身的子集，记作A A ?． 要点二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明： 本系列教案,学案，经多次使用，修改，其中有部分来自网络，它山之石可以攻玉，希望谅解。 为了一个课件，我们仔细研磨； 为了一个习题，我们精挑细选； 为了一点进步，我们竭尽全力； 没有最好，只有更好！ 制作水平有限，错误难免，请多指教： 28275061@https://www.doczj.com/doc/dd15462908.html, 【教学内容的课时安排】本章总共15课时，其中 教案 §1. 2集合之间的关系（1） 一、教学目标设计 理解集合之间的包含关系，掌握子集的概念 二、教学重点及难点 教学重点：子集的概念 教学难点：辨析元素与子集、属于与包含的关系 三、教学过程设计 （一）、复习： （1）回答概念：集合、元素、有限集、无限集、列举法、描述法. （2）集合中元素的特性是什么？ （二）、引入： 观察和比较下列各组集合，说说它们之间的关系（共性）： （1）{}1,2,3A =，{}1,2,3,4,5B =； （2）A = N ，B =Q ； （3）A 是××中学高一年级全体女生组成的集合，B 是××中学高一年级全体学生组成的集合． [说明] 给出几个具体的集合，从元素角度观察它们之间的关系，引出子集、真子集、集合相等的概念. （三）、学习新课 1．概念辨析 定义1：对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．． 一个元素都属于集合B ，那么集合A 叫作集合B 的子集，记作:A B ?或B A ? （读作：A 包含于B 或B 包含A ） 注1：（1）A B ?有两种可能：①A 中所有元素是B 中的一部分元素；②A 与B 是中的所有元素都相同； （2）空集?是任何集合的子集；任何一个集合是它本身的子集； （3）判定A 是B 的子集，即判定“任意x A x B ∈?∈”. 定义2：对于两个集合A 与B ，如果A B ?且B A ?，那么叫做集合A 等于集合B ，记 作A =B （读作集合A 等于集合B ）； 注2：（1）如果两个集合所含的元素完全相同，那么这两个集合相等； （2）判定A B =，即判定“任意x A x B ∈?∈，且任意x B x A ∈?∈”. 集合的基本关系及运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 学习策略： 数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论． 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 1．集合元素的特征 性、性、性. 2．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a A，记作a (2)如果a不是集合A的元素，就说a A，记作a 3．集合的分类 (1)空集：元素的集合称为空集(empty set)，记作：. (2)有限集：元素的集合叫做有限集. (3) 无限集： 元素的集合叫做无限集. 4．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作 正整数集，记作 *或 + 整数集，记作 有理数集，记作 实数集，记作 要点一：集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 集合A ； 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系， 称集合A 是集合B 的子集(subset).记作： ，当集合A 不包含于集合B 时，记作 ， 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或 要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素， 即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”， 读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A B ，存在元素x B 且x A ，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作： (或 ) 规定：空集是任何集合的 集，是任何非空集合的 集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A B 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID ：#3072#388901《集合间的基本关系》教学设计(精品)
2集合之间的关系
1.1.2集合间的基本关系练习题
2.集合间的基本关系练习题
1.2.1 集合之间的关系1
1.1.2《集合间的基本关系》同步练习题
1.2集合的基本关系与基本运算(教师版)
集合间的基本关系练习题
集合的基本关系及运算
§1. 2集合之间的关系(1)
集合的基本关系及运算(基础)
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