集合的基本关系及运算
【学习目标】
1. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集?在具体情境中，了解空集和全集的含义.
2. 理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集?理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
【要点梳理】
要点一、集合之间的关系
1. 集合与集合之间的“包含”关系
集合A是集合B的部分元素构成的集合，我们说集合B包含集合A
子集：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集(subset).记作:
A B(或B二A)，当集合A不包含于集合B时，记作A丄B,用Venn图表示两个集合间的“包含”关系：A ：=B(或B二A)
要点诠释：
(1)“ A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的A，能推出B .
(2)当A不是B的子集时，我们记作“A^B(或B#A)”，读作：“ A不包含于B ”(或“ B不包含A ”).
真子集：若集合A二B，存在元素x ：= B且X ' A，则称集合A是集合B的真子集(proper subset). 记作：A B(或升A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
2. 集合与集合之间的“相等”关系
A冬B且B 乂A，则A与B中的元素是一样的，因此A=B
要点诠释：
任何一个集合是它本身的子集，记作 A 5 A .
要点二、集合的运算
1. 并集
一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作：A U B读作：“ A并B”，即: A U
B={x|x ? A，或x ? B}
(1)“A，或x壬B”包含三种情况：“ A,但X送B ”；“ X甩,但A ”；“ x^A ,且B ”.
(2)两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有元素组成的集合(重复元素只岀现一次).
2. 交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集；记作：A Q B,读作：“ A交B”，即A Q B={x|x ? A，
且x，B};交集的Venn图表示：
(1)并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A「| B二、.
(2)概念中的“所有”两字的含义是，不仅“ A H B中的任意元素都是A与B的公共元素”，同时“ A与B的公共元素都属于 A n B”.
(3)两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A与B的所有公共元素组成的集合.
3. 补集
全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U.
补集：对于全集U的一个子集A,由全集U中所有不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集(complementary set)，简称为集合A的补集，记作：痧A ；即u A={x|x ? U且X A}；补集的Venn图表示：
要点诠释:
(1)理解补集概念时，应注意补集Q J A是对给定的集合A和U(A U )相对而言的一个概念，一个确定的集合A，对于不同的集合u,补集不同.
(2)全集是相对于研究的问题而言的，如我们只在整数范围内研究问题，则Z为全集；而当问题扩展到实数集时，则R为全集，这时Z就不是全集.
(3)e U A表示u为全集时A的补集，如果全集换成其他集合(如R)时，则记号中“ U”也必须换成相应的集合(即e?A ).
4. 集合基本运算的一些结论
A '
B A，A ' B B，A ' A=A，A 一一二一，A「B二B 一A
A 二A 一B,
B 二A 一B, A - A=A，A 一一二A，A - B二B 一A
(痧A) A=U ,( u A) ' A=-
若A n B=A,则A二B，反之也成立
若A U B=B,则A 5 B，反之也成立
若x ? (A n B)，_则x ? A 且x ? B
若x (A U B)，_则x ? A，或x ? B
求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集
与并集的问题时，常常从这两个字眼岀发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想
方法.
【典型例题】
类型一、集合间的关系
例 1.集合 A = {a | a =2k, k 迂 N }，集合 B = 2b|b = _ 8
A. A — B
B. B — A c. A = B D.
以上都不对 【答案】B
【总结升华】判断两个集合间的关系的关键在于：弄清两个集合的元素的构成，也就是弄清楚集合是由哪些元素组成的
需要把较为抽象的集合具体化(如用列举法来表示集合)
、形象化(用Venn 图，或数形集合表示). 举一反三：
【变式 1】若集合 A =「X | x = 2k —1,k z?, B = !x| x = 41 二 1,1 z}，则().
A. A=B
B. B-A
C. A = B
D. AUB=Z
【答案】C
例2.写出集合{a ，b ，c}的所有不同的子集.
【总结升华】要写岀一个集合的所有子集，我们可以按子集的元素个数的多少来分别写岀 .当元素个数相同时，应依次将每个 元素考虑完后，再写剩下的子集.如本例中要写岀2个元素的子集时，先从 a 起, a 与每个元素搭配有{a ，b}，{a ，c}，然后不看a ， 再看b 可与哪些元素搭配即可.同时还要注意两个特殊的子集：
.一和它本身. 举一反三:
【变式1】已知
：a,b ；二A 殳-a, b, c,d,ef ，则这样的集合 A 有 ____ 个. 【答案】7个
【变式2】同时满足：① M 5 X,2,3,4,5 I ②a ，M ，则6-a ? M 的非空集合M 有()
A. 16 个
B. 15 个
C. 7 个
D. 6 个
【答案】C
例 3.集合 A={x|y=x 2+1}，B={y|y=x 2+1}，C={(x,y)|y=x
2+1}，D={y=x 2+1}是否表示同一集合？
【答案】以上四个集合都不相同
【总结升华】认清集合的属性，是突破此类题的关键 .首先应当弄清楚集合的表示方法，是列举法还是描述法；其次对于用描 述法表示的集合一定要认准代表元素，准确理解对代表元素的限制条件.
举一反三：
【变式 1】 设集合 M ={( x,
y)| y =3x 4}，N ={( x, y) | y = -3x -2}，则 M 「| N 二( )
A . { -1,1}
B . {x = -1,y=1} c. (-1,1) D . {( -1,1)} 【答案】D
【变式2】 设集合M ={x| y =2x 1,x Z}，N ={ y | y =2x ? 1, x Z}，则M 与N 的关系是(
) A. N U M B. M U N C. N =M D. N 「M =
【答案】A
【变式 3】 设 M={x|x=a 2+1，a ：= N +}，N={x|x=b 2-4b+5，b ：= NL}，贝U M 与 N 满足()
A. M=N
B. M 一N
C. N ^M
D. M Q N=_
【答案】B
例 4.已知 M ={x,xy, . x - y}, N ={0, x, y},若 M =N ，则
(x y) (x 2 y 2) 一八「(x 10° y 100) = ______
【思路点拨】解答本题应从集合元素的三大特征入手，本题应侧重考虑集合中元素的互异性.
【答案】D
【总结升华】解答本题易忽视集合的元素具有的“互异性”这一特征，而找不到题目的突破口?因此，集合元素的特征是分析 解决某些集?(n —1), n^N \,那么A, B 间的关系是().
.这就 A . - 200 B . 200 C . - 100
合问题的切入点.
举一反三：
b
【变式1】设a, b. R,集合{1,a+b,a}={0, -,b}，则b-a=()
a
【答案】2
类型二、集合的运算
例 5. 设集合A」x|x=3k,k Z[,B A.y|y=3k 1,k Z? ，C J z|z = 3k 2,k Z：
D =「w| w =6k 1,k Z，求Ap|B, AnC,Bf]C, B|j D .
【答案】A "B =A p|C =B p|C =乞；,Bp| D = D
【总结升华】求两个集合的交集或并集，关键在于弄清两个集合由哪些元素所构成的，因而有时需要对集合进行转化，或具体化、形象化.如本例中转化为用自然语言来描述这些集合，有利于弄清集合的元素的构成.类似地，若一个集合元素的特征由不等式
给岀时，利用数轴就能使问题直观形象起来.
举一反三：
【变式1】已知集合M={y|y=x 2-4X+3，x ? R}，N={y|y=-x 2-2x+8，x F}，贝U MH N 等于()
A. B. R C. {-1 ，9} D. [-1 ，9]
【答案】D
例 6.设集合M={3，a}，N={x|x 2-2x<0，x 三Z}，M H N={1}，贝U MU N 为()
A. {1，3，a}
B. {1 ，2, 3，a}
C. {1 ，2，3}
D. {1，3}
【思路点拨】先把集合N化简，然后再利用集合中元素的互异性解题.
【答案】D
举一反三：
【变式1】(1)已知:M={x|x > 2}，P={x|x 2-x-2=0}，求MJ P 和MQ P;
(2)已知：A={y|y=3x 2}，B={y|y=-x 2+4}，求：A Q B, A U B;
(3)已知集合A={-3，a2，1+a}，B={a-3，a2+1，2a-1}，其中a R，若A Q B={-3}，求A U B.
【答案】(1) {x|x >2 或x=-1}，{2} ; (2) {y|0 < y < 4}，R; (3) {-4，-3，0，1，2}.
【总结升华】此例题既练习集合的运算，又考察了集合元素的互异性.其中(1)易错点为求并集时，是否意识到要补上孤立点
-1 ;而(2)中结合了二次函数的值域问题；(3)中根据集合元素的互异性，需要进行分类讨论，当求岀a的一个值时，又要检验
是否符合题设条件.
【变式2】设集合A={2，a2-2a，6}，B={2，2a2，3a-6}，若A Q B={2，3}，求A U B.
【答案】{2，3，6，18}
例7.已知全集U 二「1,2,3,4,51 A 二「x|x2 px 4 =0?，求CA.
【思路点拨】C U A隐含了A U，对于A U，注意不要忘记A =.的情形.
【答案】当-4 ■■ p < 4 时，C U A='1,2,3,4,5 / ；当p =-4时，CA=、1,3,4,5?；当p =-5时，C U A^2,3,5 .
【总结升华】求集合A的补集，只需在全集中剔除集合A的元素后组成一个集合即可.由于本题中集合A的元素不确定，因
此必须分类讨论才行.
举一反三：
【变式1】设全集U={x N+|x < 8}，若A Q (C u B)={1，8}，(C u A) Q B={2，6}，(C u A) Q (C u B)={4，7}，求集合A，B.
【答案】{1，3, 5，8}，{2，3, 5，6}.
【解析】全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
由A n (C u B)={1 , 8}知，在A中且不在B中的元素有1 , 8;由(C u A) Q B={2 , 6}，知不在n
(C u B)={4 , 7}，知不在A中且不在B中的元素有4, 7,则元素3, 5必在A Q B中.
由集合的图示可得
A中且在B中的元素有2, 6;由(C u A)
A={1 , 3, 5, 8}, B={2, 3 , 5 , 6}.
类型三、集合运算综合应用
例8 .已知全集A={x|-2 < x < 4} , B={x|x>a}.
(1)若A n B Z ,求实数a的取值范围；
(2)若A Q B Z A,求实数a的取值范围；
(3)若A Q B z 且A Q B Z A,求实数a的取值范围. 【思路点拨】(1 )画数轴；(2)注意是否包含端点.
【答案】(1) a<4; (2) a > -2 ; (3) -2 < a<4.
【总结升华】此问题从题面上看是集合的运算，但其本质是一个定区间，和一个动区间的
问题.思路是，使动区间沿定区间滑动，数形结合解决问题
举一反三：【变式1】已知集合P= {x | x2 A . (- s ,-1] B . [1, + C. [-1 , 1] D . (-s, -1] U [1 , +s) 【答案】C 例9.设集合A -〔x | x2 4x = 0f, B -〔x| x2 2(a 1)x a2 -1 = 0, a R/. (1)若ARB =B，求a的值； (2)若AUB =B，求a的值. 【思路点拨】明确A" B =B、AU B = B的含义，根据问题的需要，将其转化为等价的关系式 B A和A B，是解 决本题的关键.同时，在包含关系式B A中，不要漏掉 【答案】(1) a =1 或a _ —1 ； (1) 2. 【总结升华】两个等价转化：AUB = B：二A A —B的集合问题时，不要忽视 A ：H-的情 况. 【变式1】已知集合A -〔-2 /, B - ^x | x2 ax 【答案】a _4,或a ：：：-4 B,相B = B：二B A非常重要，注意应用.另外，在解决有条件a2 -12 = 0』，若A「| B = B ,求实数a的取值范围. 【变式2】设全集U二R，集合A - \ x | -1 _ x _ 2f, B - \x 14x ? p ：：： 0 f，若B 一GA,求实数p的取值范围. -H-* 【答案】p _ 4 【巩固练习】 1. 1.设A={(x, y)| |x+1|+(y-2) 2=0},B={-1,2}，则必有() A、、A=B D 、A Q B= .0 2.集合M={y| y=x 2-1, x € R}, N={x| y= }，则M Q N等于() A、{(- 21),( 2,1)} B 1x| -1 — x — 3 / C、 2 r 3 ?已知全集U =R ，则正确表示集合M 二｛-h 。,1｝和N =：x|X X=Q ；关系的韦恩（Venn ）图是（） 15.设 a 1，a 2，a 3，a 「N .，集合 A 「a ,a 2,a3,a 4 f ,B 小j ,a2,a3,a 4［满足以下两个条件 :A . A 二 B B . B — A C . A U B 二 B D . A U B 二A 5 ?若集合 A ={ -1” , B 二{x 丨 mx = 1}，且 A B = A ，则 m 的值为（） -1 C . 1 或-1 D . 1 或-1 或 0 k 1 k 1 M ={x|x =— —,k 二Z} N 二{x|x=— —,k Z} 6 ?设集合 2 4 ， 4 2 ，则 A . 1 B ? A . M =N B . M.N C . N M D . MplN —_ 7 设 U =R, A =汶 | a 三 x 乞 b/,C U A = |x 4或x 3』则 a - ,b = 8 ?某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又 爱好音乐的人数为 人. 9 .若 A74X,B7x 2：I A "B =B ，则 x = 10.若 I i ：x|x 一-1x z?，则 C I N = 11?设全集 U X （x ，y ） r “ ，集合 …'y ） _，1 j x —2 一 J ，N = ｛（X, y ） y^x —4｝，那么（GM ）" 等于 12 .设集合M = 42,3,4,5,6』，…,氏都是M 的含两个元素的子集，且满足：对任意的 丄a b 〔 I a j b j min —1, — = min ,- S j 「a j ,bJ （"M j,，2,3,…,k }），都有 g a j [b j a J （ min {x,y }表示两个数 x ,y 中的较 a i b b a i 小者）则k 的最大值是 13?设 A 2 2 2 二{x|x 4x=0}, B 二{x|x 2（a 1）x a -1 = 0}，其中 x R ，如果 B 二 B ，求实数 a 的 取值范围. 14 .设 U 值. =R ，集合 A ={x|x 2 +3x+2=°}，B ={x|x 2+（m +1） x +m = 0} ； 若 GA ）nB=°，求 m 的 -H-* 4?已知集合A ，B 满足A^B =A ,那么下列各式中一定成立的是（ (2)集合A U B 中的所有元素的和为124，其中a i ：比"：a 3 ：：:去. 求 a i , a 2, a 3 , a 4 的值. 【答案与解析】 1. 【答案】D 【解析】.学生易错选C 错因是未正确理解集合概念，误以为 A={-1 , 2}, 其实{(x, y)| |x+1|+(y-2) 2=0}={(-1,2)} ，A 是点集而B 是数集，故正确答案应选 D 。 2. ［答案】C 【解析】 集合M 中的元素是y ，它表示函数y=x 2-1的值域， 2 集合N 中的元素是x ，它表示函数y=* 3 - x 的定义域。 由 M={y| y >-1}，N={x| - ■ 3 ［解析】 由 N =〈x|x 2 x=01，得 N ={-1,0}，则 N M ,选 B. 4.［答案】 C 【解析】Ar )B=A ：= A —B ：= A U B =B 5.［答案】D 6.［答案】 B 2k 1奇数 kl k 2整数 M : , N : , ［解析】 4 4 ； 4 4 ，整数的范围大于奇数的范围 7.［答案】 a = 3, b = 4 ［解析］A=C U (GA)={x|3Ex"} = {x|a"Eb}. 8.［答案】26 ［解析】全班分 4类人：设既爱好体育又爱好音乐的人数为 x 人；仅爱好体育的人数为(43-X )人；仅爱好音乐的人数为 (34 _x )人；既不爱好体育又不爱好音乐的人数为 4人.「. 43_x ? 34 _x ? x ? 4 =55，二x = 26 . 9.［答案】°，2,或一 2 ［解析】由A 「IB = B 得B 丄A ，则x 2二4或X 2二x ，且x = 1 . (1) A^B 二：a ],a 4 },a ■ d =10； 【解析】当m =0时, B =-,满足 AU B = A ，即 m = 0 ；当 m = 0 时, 而AUB 二A 1 或-1，m = 1 或-1 m 10. 【答案】 【解析】I「"UN , C I N「" 11. ［答案】：2，一2 ; 【解析】M ： y = x -4（x = 2）, M代表在直线y = x - 4上，但是挖掉（2, -2）的点，C U M代表直线y = x 但是包含点（2, _2） 的点； N代表直线y =X -4外的点，C u N代表直线y =x -4上的点，?. GM ）门（C u N）二心-2）「 12. 【答案】11 【解析】含2个元素的子集有15 个,但丫1,2：、2,4二'3,6?只能取1个；M，3、2,6』只能取1个；'2,3、只能取1个，故满足条件的两个元素的集合有11个. 13. 【答案】a =1或a 一-1 而A = {V,0}也=4(a+1)2—4(a2—1) = 8a+8 B=：_4,0 ?得a =1 a =1或a - -1 14.【答案】1或2 【解析】A--2,-1?，由（C U A）n B-一，得B A， 当m =1 时，B=，符合B - A ； 当m =1时，B = T, —m*，而B」A，?. -m = -2，即m = 2 /. m =1或2. a1 — 1, a2 =3,a3 =5,a4 =9 ? d =1,a4 =9；1,9丘A“B，由9乏B可得3己A，由9壬A可得8^ B 一4外, U,6? 【解析］由A B二B得B —? A， 当△ =8a +8 c0，即a c —1 时, B = -，符合B - A ； 当△=8a +8 =0，即a = —1 时,B，符合B A； 当也=8a +8 >0，即a a —1 时,B中有两个元素，而B 乂A一4,0* ； 【解析】由A D B二玄和得q,%是完全平方数，又q a4 = 10,a<:: a4 15.【答案】 设A中另一元素为x , 则A 二{1,3,9, x},B={l,9,81,x'} 2 又A U B中所有元素之和为124,所以x x二30,解得x = 5或x - -6 （舍），a =1,&2 =3月3 = 5,34 = 9 数学汇总 第一章 集合与函数概念 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 【知识点】 1. 并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集（Union ） 记作：A ∪B 读作：“A 并B ” 即： A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 说明：两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A 与B 的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A 与B 的交集。 2. 交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集（intersection ）。 记作：A ∩B 读作：“A 交B ” 即： A ∩B={x|∈A ，且x ∈B} 交集的Venn 图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 A B A(B) A B B A A ∪B B A ? 说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，不能说两个集合没有交集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 A U C U A 说明：补集的概念必须要有全集的限制 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且” 与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （ C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 若x ∈（A ∩B ），则x ∈A 且x ∈B 若x ∈（A ∪B ），则x ∈A ，或x ∈B ¤例题精讲： 【例1】设集合,{|15},{|39},,()U U R A x x B x x A B A B ==-≤≤=<< 求e. 解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤ ， (){|1,9U C A B x x x =<-≥ 或， 【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求： （1）()A B C ； （2）()A A B C e. 解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------ . （1）又{}3B C = ，∴()A B C = {}3； （2）又{}1,2,3,4,5,6B C = ， A B B A -1 3 5 9 x 集合间的基本关系及运算 【知识要点】 1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集, 记作 A B 或 B A. 2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B,记作A=B 3、真子集：如果 A B,且A B,那么集合A称为集合B的真子集,A B . 4、设A S,由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作C S A 5、元素与集合、集合与集合之间的关系 6、有限集合的子集个数 1 )n 个元素的集合有2n个子集 2)n 个元素的集合有2n-1 个真子集 3)n 个元素的集合有2n-1 个非空子集 4)n 个元素的集合有2n-2 个非空真子集 7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A Bo 8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A B o 9 、集合的运算性质及运用 知识应用】 1.理解方法：看到一个集 合A里的所有元素都包含在另一个集合里B,那么A就是B的子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x A能推出x Bo 【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系 (1)A={-1,1} ，B=Z (2)A={1,3,5,15} ，B={x|x 是15的正约数} 【L】例 2.已知集合A={x|-2 x 5},B={x|m+1 x 2m-1},若B A,求实数m取值范围。 【C】例3.已知集合A {0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请 新知三： 子集、真子集、空集 ①如果集合A B ?，并且存在元素x B ∈且x A ?，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 。 ②不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 ★例3：写出集合{1,0,1}-的所有子集，并指出哪些是它的真子集. ★★变式3：已知集合{}{}1,21,2,3,4,5P ??，那么满足条件的集合P 的个数是（ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【点评】若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有21n -，非空子集有21n -个，非空真子集有22 n -个。 ★★例4：已知集合{13}A x x =-≤≤，2{,}B y y x x A ==∈，{2,}C y y x a x A ==+∈，若满C B ?足，求 实数a 的取值范围。 ★变式4：集合{}1,2,3,4A =，2{0}B x N x a =∈-=，若满足B A ?，求实数a 的值组成的集合。 ★★例5：已知集合A ={|25}x x -<≤，{|121}B x m x m =+-≤≤且B A ?，求实数m 的取值范围。 ★★变式5：若集合{} 2|20M x x x =--=，{}|10N x ax =-=，且N M ?，求实数a 的值。 【点评】当出现“A B ?”这一关系时，首先是讨论A 有没有可能为空集，因为A =? 时满足A B ?。 【考点3】集合的新定义问题 ★★例6 若集合A 具有以下性质： (Ⅰ)0∈A,1∈A ；(Ⅱ)若x ∈A ，y ∈A ，则x －y ∈A ，且x ≠0时，1 x ∈A . 集合的基本运算 一、教学目标 1、 知识与技能 （1） 理解并集和交集的含义，会求两个简单集合的交集与并集 （2） 能够使用Venn 图表达两个集合的运算，体会直观图像对抽象概念理解的作用 2、 过程与方法 （1） 进一步体会类比的作用 （2） 进一步树立数形结合的思想 3、 情感态度与价值观 集合作为一种数学语言，让学生体会数学符号化表示问题的简洁美. 二、课时：1课时 三、课型：新授课 四、教学重点、难点 重点：并集与交集的含义 难点：理解并集与交集的概念，符号之间的区别与联系 五、教法：启发式、探究式 六、教学用具：书、粉笔、黑板（多媒体） 七、教学过程 1、 创设情境 师：我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 2、 探究新知 同学们观察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A 、B 之间的关系吗？ （1）}5,3,1{=A ，}6,4,2{=B ，}6,5,4,3,2,1{=C ; （2）}10,8,6,4,2{=A ，}16,8,4,2{=B ，}16,10,8,6,4,2{=C 生1：集合C 是由属于集合A 和属于集合B 的元素组成的。 生2：集合C 是由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的。 师：同学们说出的关系都比较好，首先我们来看第一位的归纳，它的归纳针对第一组集合是符合的，但对第二组集合就不符合了，说明这个归纳还不完善一下，下面我们大家一起来修改一下。观察第一组集合，集合C 是由所有属于集合A 和属于集合B 的元素组成。如果我们修改成这样，看这句话对第二组集合适用吗？ 生：不适用，应该把“和”改成“或”，因为元素具有互异性。 师：因此我们就可以归纳出并集的含义：一般地，由所有属于集合A 或集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集。 记作：A ∪B ，读作：A 并B ，其含义用符号表示为： {|,}A B x x A x B =∈∈U 或. （2）解剖分析： 1> “所有”：不能认为A ∪B 是由A 的所有元素和B 的所有元素组成的集合，即简单平凑， 要满足集合的互异性，相同的元素即A 和B 的公共元素只能算作并集中的一个元素 2> “或”：“B x A x ∈∈或”这一条件，包括下列三种情况： B x A x ?∈但； 集合的基本关系及运算 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)??或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或 要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ” ）． 真子集：若集合A B ?，存在元素x ∈B 且x A ?，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B 要点诠释： 任何一个集合是它本身的子集，记作A A ?． 要点二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B ”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 集合的基本运算 各位评委好！ 我说课的内容是普通高中课程标准试验教科书高一年级《数学必修一》第一章第三节集合的基本运算，此内容为本节的第1课时。 我说课主要分为以下几个环节教材分析、说教法、说学法、教学过程四个部分： 一、教材分析： 1、本节在教材的地位与作用 本课时内容主要包括集合的两种基本运算----并集和交集，是对集合基本知识的深入研究，在此之前，学生已学习了集合的概念和基本关系，这为过渡到本节的学习起着铺垫的作用，本节内容在近年的高考中主要考核集合的基本运算，在整个教材中存在着基础的地位，为今后学习函数及不等式的解集奠定了基础数形结合的思想方法对学生今后的学习中有着铺垫的作用。根据教材结构及内容以及教材地位和作用，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，依据新课标的要求，据此我确定以下教学目标 2、教学目标 （1）知识与技能目标：根据集合的图形表示，理解并集与交集的概念，掌握并集 和交集的表示法以及求解两个集合并集与交集的方法。（2）过程与方法目标：通过复习旧知，引入并集与交集的概念，培养学生观察、 比较、分析、概括的能力，使学生的认知由具体到抽象的 过程。 （3）情感态度与价值观：积极引导学生主动参与学习的过程，激发他们用数学 解决实际问题的兴趣，形成主动学习的态度，培养学生自 主探究的数学精神以及合作交流的意识。 根据上述地位与作用的分析及教学目标，我确定了本节课的教学重点及难点 3、教学重点与难点 教学重点：并集与交集的概念的理解，以及并集与交集的求解。 教学难点：并集与交集的概念的掌握以及并集与交集的求解各自的区别和联系。 为了突出重点和难点，结合我班学生的实际情况，接下来谈谈本节课的教法及学法 二、说教法： 考虑到学生刚刚学习了集合以及集合的基本关系，作为后一节内容，学生在理解上是没有障碍的，因此我将这样设计教学方法： 本节课采用学生广泛参与，师生共同探讨的教学模式，对集合的基本关系适当的复习回顾以作铺垫，对交集与并集采用文字语言，数学语言，图形语言的分析，以突出重点，分散难点，通过启发式，观察的方法与数学结合的思想指导学生学习。 三、说学法： 根据新课程标准理念，学生是学习的主体，教师只是学习的帮助者，引导者.考虑到这节课主要通过老师的引导让学生自己发现规律，在自己的发现中学到知 122集合的运算（二） 教学目标： 理解两个集合的并集的含义，会求两个集合的并集 教学重、难点： 会求两个集合的并集 教学过程： （一）复习集合的概念、子集的概念、集合相等的概念；两集合的交集 （二）讲述新课 、 1、观察下面两个图的阴影部分，它们同集合A、集合B有什么关系? 2、考察集合A={1，2，3},B={2,3,4}与集合C={1,2,3,4}之间的关系. __ 、 一般地，对于给定的两个集合A,B把它们所有的元素并在一起所组成的集合，叫做A,B 的并集.记作 A U B （读作"A并B ”）， 即 A U B= {x|x € A，或x€ B }. 女口： {1,2,3,6}U{ 1,2,5,10} = {1,2,3,5,6,10}. 又如:A={ a,b,c,d,e} ,B={c,d,e,f}.则 A U B={a,b,c,d,e,f} 三、基本性质 A U B= B U A; A U A=A; A U ①=A; A n B=B =A ±B 注：是否给出证明应根据学生的基础而定. 四、补充 1、设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6}讨论A U B , A , B, A n B中元素的个数有何关系. 2、n（A 一B） = n（A） n（B）-n（A「B）（容斥原理） 五、补充例子 1.设A= {x|x是锐角三角形} , B= { x|x是钝角三角形}，求A U B. 解：A U B= {x|x是锐角三角形} U{ x|x是钝角三角形} = {x|x是斜三角形}. 2 .设A= {x|-1 §1.3集合的基本运算 教学目的：（1）理解两个集合的并集与交集的的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；（3）能用 Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 课型：新授课 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 教学过程： 一、引入课题 我们两个实数除了可以比较大小外，还可以进行加法运算，类比实数的加法运算，两个集合是否也可以“相加”呢？ 思考（P9思考题），引入并集概念。 二、新课教学 1.并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union） 记作：A∪B 读作：“A并B” 即：A∪B={x|x∈A，或x∈B} Venn图表示： A与B的所有元素组成的集合（重复元素只看成一个元素）。 例题（P9-10例4、例5） 说明：连续的（用不等式表示的）实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。 问题：在上图中我们除了研究集合A与B的并集外，它们的公共部分（即问号部分）还应是我们所关心的，我们称其为集合A与B的交集。 2.交集 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集（intersection）。 记作：A∩B 读作：“A交B” 即：A∩B={x|∈A，且x∈B} 交集的Venn图表示 说明：两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的公共元素组成的集合。 例题（P 9-10例6、例7） 拓展：求下列各图中集合A 与B 的并集与交集 当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，集 3. 补集 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集（Universe ），通常记作U 。 补集：对于全集U 的一个子集A ，由全集U 中所有不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集（complementary set ）,简称为集合A 的补集， 记作：C U A 即：C U A={x|x ∈U 且x ∈A} 补集的Venn 图表示 说明：补集的概念必须要有全集的限制 例题（P 12例8、例9） 4. 求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的 关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。 5. 集合基本运算的一些结论： A ∩ B ?A ，A ∩B ?B ，A ∩A=A ，A ∩?=?,A ∩B=B ∩A A ?A ∪ B ，B ?A ∪B ，A ∪A=A ，A ∪?=A,A ∪B=B ∪A （C U A ）∪A=U ，（C U A ）∩A=? 若A ∩B=A ，则A ?B ，反之也成立 若A ∪B=B ，则A ?B ，反之也成立 A 信达雅教育内部教案（教师版） 一、集合 1.2 集合的基本关系与基本运算 学习目标： 1.了解集合之间包含关系的意义. 2.理解子集、真子集的概念. 3.了解全集的意义,理解补集的概念. 1.2.1集合的基本关系 观察下面几个例子，你能发现两个集合间有什么关系了吗？ （1）{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B == PS ：A 是b 的子集，但4属于B ，不属于A ，满足定义 (2)设A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合，B 为这个班学生的全体组成的集合 (3){2,4,6},{6,4,2}E F ==. PS ：首先来学习子集 （1）子集 一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为B 的子集. 记作：()A B B A ??或 读作：A 含于B(或B 包含A) PS ：看实例（1）和实例（2），谁是谁的子集？ PS ：注意符号的方向不要搞错，开口处为大。 (2)集合相等与真子集 （2）空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作?，并规定：空集是任何集合的子集。 （3）用韦恩图表示集合 为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图。 如图l 和图2分别是表示问题2中实例1和实例3的Venn 图. 图l ()A B B A ??或 图2 B A = （4）集合的一些基本结论： 1）任何一个集合是它本身的子集。即 A A ?；（根据定义说明） 2）对于集合A,B,C,如果。，那么，且C A C B B A ??? PS ：板书说明 例：{1,2,3},{1,2,3,4,5}A B ==6}5432{1C ,，，，，，= 接下来看例题： 例：写出集合{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。 解:集合{a,b}的所有子集为?，{a}，{b}，{a,b}。真子集为?，{a}，{b}。 PS:不要漏掉，空集是任何集合的子集 练习： 1．写出集合{,,}a b c 的所有子集． 解：按子集元素个数来分类， 不取任何元素，得?； 取一个元素，得{},{},{}a b c ； 取两个元素，得{,},{,},{,}a b a c b c ；取三个元素，得{,,}a b c ， 即集合{,,}a b c 的所有子集为,{},{},{},{,},{,},{,},{,,}a b c a b a c b c a b c ?． 拓展：子集个数的计算 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n -1个真子集，含有2n -1个非空子集，含有2-2n 个非空真子集 2．用适当的符号填空： （1）a ______{,,}a b c ； （2）0______2 {|0}x x =； （3）?______2 {|10}x R x ∈+=； （4）{0,1}______N ； （5）{0}______2{|}x x x =； （6）{2,1}______2 {|320}x x x -+=． （1）{,,}a a b c ∈ a 是集合{,,}a b c 中的一个元素； （2）20{|0}x x ∈= 2 {|0} {0} x x ==； （3）2{|10}x R x ?=∈+= 方程2 10x +=无实数根，2 {|10}x R x ∈+==?； （4）{0,1}N （或{0,1}N ?） {0,1} 是自然数集合N 的子集，也是真子集； （5）{0} 2{|}x x x = （或2{0}{|}x x x ?=） 2{|}{0,1} x x x ==； （6）2 {2,1}{|320}x x x =-+= 方程2 320x x -+=两根为121,2x x ==． 集合的基本关系及运算 A 一、目标与策略 明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！ 学习目标： 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 学习策略： 数形结合思想，如常借助于数轴、维恩图解决问题；分类讨论的思想，如一元二次方程根的讨论． 二、学习与应用 “凡事预则立，不预则废”．科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对 知识回顾——复习 学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？ 1．集合元素的特征 性、性、性. 2．元素与集合的关系： (1)如果a是集合A的元素，就说a A，记作a (2)如果a不是集合A的元素，就说a A，记作a 3．集合的分类 (1)空集：元素的集合称为空集(empty set)，记作：. (2)有限集：元素的集合叫做有限集. (3) 无限集： 元素的集合叫做无限集. 4．常用数集及其表示 非负整数集(或自然数集)，记作 正整数集，记作 *或 + 整数集，记作 有理数集，记作 实数集，记作 要点一：集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 集合A ； 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系， 称集合A 是集合B 的子集(subset).记作： ，当集合A 不包含于集合B 时，记作 ， 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或 要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素， 即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”， 读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A B ，存在元素x B 且x A ，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作： (或 ) 规定：空集是任何集合的 集，是任何非空集合的 集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A B 要点梳理——预习和课堂学习 认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听 课学习．课堂笔记或者其它补充填在右栏．预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源 ID ：#3072#388901 集合的基本运算（2） 选择题 1. 若集合A={x| - 2v xv 1} , B={x|0 vx v 2},则集合AA B=( ) A. {x| - 1 v xv 1} B. {x| - 2v xv 1} C. {x| - 2v x v 2} D. {x|0 v x v 1} 2. 已知集合M={1, 2 , 3}, N={2 , 3 , 4},贝卩( ) A .M? N B. N? M C. MA N={2 , 3} D. MU N={1 , 4} 3. 已知集合M={y|y=x 2} , N={y|x=y 2},贝U MA N=( ) A. { (0, 0), (1, 1) } B. {0, 1} C. {y|y > 0} D. {y|0 wyw 1} 4. 下列关系QA R=RH Q ZU N=N QU R=RJ Q QA N=N中，正确的个数是（) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设集合A={3 , 5 , 6 , 8}, 集合B={4 , 5 , 7 , 8},则AAB等于（） A. {3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8} B. {3, 6} C. {4 , 7} D. {5 , 8} 6. 集合A={0 , 2 , a}, B={1 ,a2},若AU B={0 , 1, 2 , 4 , 16},则a的值为（) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 7. 、、 2 已知集合P={x € N|1 w xw 10},集合Q={x € R|x +x - 6=0},则PAQ等于（) A. {2} B. {1, 2} C. {2 , 3} D. {1, 2 , 3} 8. 若集合A={x|1 w xw 3}, B={x|x > 2},则AAB 等于( ) A. {x|2 v xw 3} B. {x|x > 1} C. {x|2 w xv 3} D. {x|x > 2} 9. 设集合S={x||x - 2| > 3} ,T={x|a vx v a+8} , SU T=R 贝U a 的取值范围是( ) A. -3 v av- 1 B. - 3w aw - 1 C. aw - 3 或a》-1 D. av- -3或a>- 1 10.设全集U是实数集R, M={x||x > 2,或x< -2} , N= {x|1 v xv 3}，则图中阴影部分所表示的集合是 ()A. {x|-2 v xv 1} B. {x|-2 v x v 2} C. {x|1 v x v 2} D. {x|x v 2} 二填空题 1.已知集合A={x|x > 2}, B={x|x > m},且AU B=A则实数m的取值范围是____________________ 2.已知集合A={1 , 2, 3, }, B={2 , m 4} , AA B={2 , 3}，贝U m _________________ 3.满足条件{1 , 3} U B={1, 3 , 5}的所有集合B的个数是________________ 4.若集合A={x|x w 2}、B={x|x > a}满足AA B={2},则实数a= __________________ 5.设集合U={1,2,3,4} , M={1,2,3} , N={2,3,4},则C U(M A N)= ____________________ 6.已知集合A={(x,y)|y=3x+2} , B={x|y=x-4},则AA B= ______________________ 7.设A={x|x v 2} , B={x|x w m},且AU B=A 则实数m的取值范围是__________________ 8.设A x, y |y 4x 6 , B x, y | y 5x 3 ,求AA B= _____________________________ 9.设A x|1 x 2 , B x 1 x 3 ,求AU B= ________________________________ ; AA B= ________________ 10.设U= {x|x<13 ,且x€ N} , A= {8 的正约数}, B= {12 的正约数},则C U A = _________________ C U B = _____________ 三解答题 1.已知A={x|x +ax+b=O}, B={x|x +cx+15=0} , AU B={3 , 5}, AA B={3},求实数 a , b , c 的值 2.已知集合A={x|x - 2>3} , B={x|2x - 3> 3x - a},求AUB 教学目的： 知识与技能： 1、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； 2、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； 3、能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。 过程与方法：针对具体实例，通过类比实数间的加法运算引入了集合间“并”的运算，并在此基础上进一步扩展到集合的“交”的运算和“补”的运算。类比方法的使用体现了知识之间的联系，渗透了数学学习的方法。 情感、态度与价值观： 1、类比方法让学生体会知识间的联系； 2、Venn 图表达集合运算让学生体会数形结合思想方法的应用对理解抽象概念的作用； 3、通过集合运算的学习逐渐发展学生使用集合语言进行交流的能力。 教学重点：集合的交集与并集、补集的概念； 教学难点：集合的交集与并集、补集“是什么”，“为什么”，“怎样做”； 教学过程： 一、复习回顾： 1：什么叫集合A 是集合B 的子集？ 2：关于子集、集合相等和空集，有哪些性质？ （1） .A A ?； （2） 若A B ?，且B A ?，则.A B =； （3） 若,,A B B C ??则C A ?； （4） A ??． 二、创设情境，新课引入 问：实数有加法运算，两个集合是否也可以相加呢？考察下列各个集合，你能说出集合C 与集合A ，B 之间的关系吗？ （1）{ }{}{}6,5,4,3,2,1,6,4,2,5,3,1===C B A ； （2）{}是有理数x x A =，{}是无理数x x B =，{} 是实数x x C =． 学生讨论并引出新课题． 三、师生互动，新课讲解： 1、并集 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集（Union） 记作：A∪B读作：“A并B”即： A∪B={x|x∈A，或x∈B} 例1：（1）设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求：A∪B。 （2）设集合A={x|－1 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{0，3，6，9，12}，则A∩B＝() A．{3，5} B．{3，6} C．{3，7} D．{3，9} 2．设集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|3x－7≥8－2x}，则A∪B等于() A．{x|x≥3}B．{x|x≥2}C．{x|2≤x＜3} D．{x|x≥4} 3．集合A＝{0，2，a}，B＝{1，2a}．若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为() A．0 B．1 C．2 D．4 4．满足M?{ 4 3 2 1 , ,a a a a}，且M∩{ 3 2 1 , ,a a a}＝{ 2 1 ,a a}的集合M的个数是() A．1 B．2 C．3 D．4 5.已知全集U=R，集合A={x︱-2≤x≤3},B={x︱x＜-1或x＞4｝，那么集合A∩（C U B）等于（）. A.{x︱-2≤x＜4｝ B.{x︱x≤3或x≥4} C．{x︱-2≤x＜-1｝ D.{-1︱-1≤x≤3} 二、填空题(每小题5分，共30分) 1．已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．2．满足{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A的个数是________． 3．50名学生参加甲、乙两项体育活动，每人至少参加了一项，参加甲项的学生有30名，参加乙项的学生有25名，则仅参加了一项活动的学生人数为________． 4.设， 若，则实数m的取值范围是_______． 5. 设U=Z，A={1,3,5,7,9}，B={1,2,3,4,5}，则图中阴影部分表示的集合是_______． 6.如果S＝{x∈N|x＜6}，A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，那么(S A)∪(S B)＝. 三、解答题(每小题10分，共40分) 1．已知集合A＝{1，3，5}，B＝{1，2，x2－1}，若A∪B＝{1，2，3，5}，求x及A∩B. 2．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}，若A∩B＝?，求a的取值范围．3．某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组．已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有多少人？ 4.集合S＝{x|x≤10，且x∈N*}，A S，B S，且A∩B＝{4,5}，(S B)∩A＝{1,2,3}，(S A)∩(S B)＝{6,7,8}，求集合A和B. {}{}m x m x B x x A3 1 1 / ,5 2 /- < < + = < < - = A B A= ? 1.2集合间的基本关系及运算 【知识要点】 1、子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A?B或B?A. 2、集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一 个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A=B。 3、真子集：如果A ?B，且A ≠B，那么集合A称为集合B的真子集,A ?≠B . 4、设A ?S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记作 S C A 5、元素与集合、集合与集合之间的关系 6、有限集合的子集个数 （1）n个元素的集合有n2个子集 （2）n个元素的集合有n2-1个真子集 （3）n个元素的集合有n2-1个非空子集 （4）n个元素的集合有n2-2个非空真子集 7、交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合叫A与B的交集，记作A?B。 8、并集：由所有属于集合A或属于B的元素构成的集合称为A与B的并集，记A?B。 9、集合的运算性质及运用 【知识应用】 1.理解方法：看到一个集合A里的所有元素都包含在另一个集合里B，那么A就是B的 子集，也就是说集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A能推出x∈B。 【J】例1.指出下列各组中集合A与集合B之间的关系 （1）A={-1,1}，B=Z （2）A={1,3,5,15}，B={x|x是15的正约数} 【L】例2.已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B?A，求实数m取值范围。 【C】例3. 已知集合A?{0,1,2,3}，至少有一个奇数，这样的集合A的子集有几个，请一一写出。 2.解题方法：证明2个集合相等的方法：（1）若A、B两个集合是元素较少的有限集，可 用列举法将元素一一列举出来，比较之或者看集合中的代表元素是否一致且代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等。（2）利用集合相等的定义证明A?B,且B?A，则A=B. 【J】例1.下列各组中的两个集合相等的有（） （1）P={x|x=2n,n∈Z}, Q={x|x=2(n-1)，n∈Z} （2）P={x|x=2n-1,n∈N +}, Q={x|x=2n+1,n∈N + } (3) P={x|2x-x=0}, Q={x|x=1(1) 2 n +- ,n∈Z} 【L】例2.已知集合A={x|x=1 2 kπ+ 4 π ，k∈Z}，B={x|x= 1 4 kπ+ 2 π ,k∈Z},判断集合A与 集合B是否相等。 【C】例3.设集合A={x| 3 2 x x - - ≤0},集合B={x|(x-3)(x-2) ≤0},判断A与B相等吗？ 3.理解方法：如果集合A中的元素都包含于集合B，并且集合B中有集合A所没有的元素，那么集合A就是集合B的真子集。 【J】例1.设集合A={2,8,a}, B={2, 2a-3a+4},且B ? ≠A，求A的值。 【L】例2. 满足{a}?M ? ≠{a,b,c,d}的集合M有哪几个？ 姓名：赵琦学号：12013241326 《集合的基本运算》教学设计 课题：1.1.3 集合的基本运算 教材：普通高中课程标准实验教科书（人教版）必修一 一、教学内容的地位、作用分析 集合是学生升入高中以后学习的第一个内容，不仅是高中数学内容的一个基础，也为以后其他内容的学习提供了帮助。集合作为现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容，在现代数学理论体系中的占有基础性的地位。我们学会集合的基本内容后，不仅可以用集合语言表示有关数学对象，也为后面函数概念的描述打下了基础。 本节《集合的基本运算》是集合这一节里面的核心内容。本节的主要内容是交集、并集、补集的概念及交、并、补的运算，要从自然语言、符号语言、图形语言三个方面去理解交、并、补的含义，可以培养学生数形结合的数学思想。同时这一部分不仅是考查的重点知识，同时也是与其他内容很容易交汇出题的知识点，经常作为知识的载体出现。 二、学情分析 学生在小学和初中已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，到一个定点的距离等于定长的点的集合等，对集合有了一个大概的了解。 进入高中以后，学习的第一个内容便是集合。通过1.1.1 《集合的含义与表示》的学习，学生们知道了集合的概念，和其确定性、无序性和互异性三个特征，了解了元素与集合之间的关系（元素属于集合或元素不属于集合），同时学会了列举法和描述法两种表示方法。通过1.1.2《集合间的基本关系》的学习，我们明确学习了集合与集合的关系，包括包含关系（子集和真子集），相等关系，并规定了不含任何元素的集合叫做空集。同时，在1.1.2节当中，我们引入了Venn图这个工具，对1.1.3中集合的运算的学习也提供了帮助。 三、教学目标和重点、难点分析 教学目标 知识目标：（1）理解两个集合之间并集的概念，会求两个简单集合的并集； （2）理解两个集合之间交集的概念，会求两个简单集合的交集； （3）能用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用； （4）在解题过程中能灵活选择应用数轴或Venn图. 能力目标：（1）通过Venn图的使用和数轴的使用，让学生们领悟数形结合的数学思想；（2）通过给出集合作为例子，让学生思考它们之间的关系来给出并集和交集的定义，培养学生观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展； （3）讨论环节锻炼了学生交流合作能力以及表达能力. 情感目标：（1）通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算，引导学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义，从中了解数学的重要意义 和应用的广泛程度，从而增加学生学习数学的兴趣； （2）另外讨论环节的设置也可以让学生感受到人与人交流的乐趣，利于学生间的合作交流与和谐相处. 1.1.2集合的基本关系及运算 【学习目标】 1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别一些给定集合的子集．在具体情境中，了解空集和全集的含义． 2.理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 【要点梳理】 要点一、集合之间的关系 1.集合与集合之间的“包含”关系 集合A 是集合B 的部分元素构成的集合，我们说集合B 包含集合A ； 子集：如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集(subset).记作：A B(B A)??或，当集合A 不包含于集合B 时，记作A B ，用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：A B(B A)??或 要点诠释： （1）“A 是B 的子集”的含义是：A 的任何一个元素都是B 的元素，即由任意的x A ∈，能推出x B ∈． （2）当A 不是B 的子集时，我们记作“A ?B (或B ?A )”，读作：“A 不包含于B ”（或“B 不包含A ”）． 真子集：若集合A B ?，存在元素x ∈B 且x A ?，则称集合A 是集合B 的真子集(proper subset).记作：A B(或B A) 规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 2.集合与集合之间的“相等”关系 A B B A ??且，则A 与B 中的元素是一样的，因此A=B 要点诠释： 任何一个集合是它本身的子集，记作A A ?． 要点二、集合的运算 1.并集 一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：A ∪B 读作：“A 并B”，即：A ∪B={x|x ∈A ，或x ∈B} Venn 图表示： 要点诠释： （1）“x ∈A ，或x ∈B”包含三种情况：“,x A x B ∈?但”；“,x B x A ∈?但”； “,x A x B ∈∈且”． （2）两个集合求并集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有元素组成的集合(重复元素只出现一次). 2.交集 一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集；记作：A∩B ，读作：“A 交B”，即A∩B={x|x ∈A ，且x ∈B}；交集的Venn 图表示： 要点诠释： （1）并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 与B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =?． （2）概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B 中的任意元素都是A 与B 的公共元素”，同时“A 与B 的公共元素都属于A∩B”． （3）两个集合求交集，结果还是一个集合，是由集合A 与B 的所有公共元素组成的集高中数学必修一集合的基本运算教案
1.2集合间的基本关系及运算
第1讲 必修1第一章集合的基本含、集合间的基本关系以及基本运算-学生版
2集合的基本运算
知识讲解_集合的基本关系及运算_基础
集合的基本运算
1.2.2集合的运算
1集合间的基本运算
1.2集合的基本关系与基本运算(教师版)
集合的基本关系及运算(基础)
集合的基本运算(2)
1.1.3集合的基本运算
集合与函数的基本运算练习题
集合间的基本关系与运算
集合的基本运算
北京名校数学(人教A)必修1【知识讲解】 集合的基本关系及运算
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