湖南省2014年高中数学竞赛
湘西自治州赛区学生获奖情况通报湖南省2014年高中数学竞赛分为高二年级和高三年级两个组别于六月二十八日进行。湘西自治州赛区的有关工作已经完成。本次竞赛实行交叉巡考，集中评卷，各项工作认真、严格、有序。全州评出高三年级一等奖32人，二等奖 50人，三等奖 80人；高二年级一等奖 52人，二等奖 74人，三等奖 132人。现将学生获奖情况（见附件）通报如下，望获奖同学再接再厉。
湘西州教育科学研究院
2014年7月5日
附件：2014年湖南省高中数学竞赛湘西自治州赛区学生获奖情况通报
高三组
一等奖（32人）
二等奖（50人）
三等奖（80人）
高二组
一等奖（52人）
二等奖（74人)
三等奖（132人)
2018年全国高中数学联赛竞赛 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。 1.设集合{1,2,3,99}A =…，{2|},{|2}B x x A C x x A =∈=∈，则B C I 的元素个数为______. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30?且不大于60?，则这样的点Q 所构成的区域的面积为______. 3.将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为______. 4.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别是12F F 、，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P 。已知线段,,,PU PS PV PT 的长分别为1,2,3,6，则12PF F ?的面积为______. 5.设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[0,1]上严格递减，且满足()1,(2)2f f ππ==，则不等式组121()2x f x ≤≤??≤≤? 的解集为______. 6.设复数z 满足||1z =，使得关于x 的方程2220zx zx ++=有实根，则这样的复数z 的和为______. 7.设O 为ABC ?的外心，若2AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，则sin BAC ∠的值为______. 8.设整数数列1210,,,a a a …满足1012853,2a a a a a =+=，且 1{1,2},1,2,,9i i i a a a i +∈++=…， 则这样的数列的个数为______。 二、解答题：本大题共3小题，满分56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9.（本题满分16分）已知定义在R + 上的函数()f x 为 3|log 1|,09,()49x x f x x -<≤??=?->?? 设,,a b c 是三个互不相同的实数，满足()()()f a f b f c ==，求abc 的取值范围。 10.（本题满分20分）已知实数列123,,,a a a …满足：对任意正整数n ，有(2)1n n n a S a -=，其中n S 表示数列的前n 项和。证明： 1）对任意正整数n ，有n a < 2）对任意正整数n ，有11n n a a +<。 11.在平面直角坐标系xOy 中，设AB 是抛物线2 4y x =的过点(1,0)F 的弦，AOB ?的外接圆交抛物线于点P （不同于点,,O A B ）。若PF 平分APB ∠，求||PF 的所有可能值。 加试（A 卷） 一、（本题满分40分）设n 是正整数，1212,,,,,,,n n a a a b b b ?…，,A B 均为正实数，满足 ,,1,2,,i i i a b a A i n ≤≤=…，且 1212n n b b b B a a a A ≤……。 二、（本题满分40分）如图，ABC ?为锐角三角形，AB AC <，M 为BC 边的中点，点D 和E 分别为 ABC ?的外接圆?BAC 和?BC 的中点，F 为ABC ?的内切圆在AB 边上的切点，G 为AE 与BC 的交点，N 在线段EF 上，满足NB AB ⊥。 证明：若BN EM =，则DF FG ⊥。（答题时请将图画在答卷纸上）
１ 全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20at bt c ++=，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有3333a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。
中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题 答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. . 2018全国高中数学联赛（B卷） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分. 1.设集合A={2,0,1,8} ，B={2a|a^A}，则AUB的所有元素之和是 ______________ . 2?已知圆锥的顶点为P，底面半径长为2，高为1.在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于45。，则满足条件的点Q所构成的区域的面积为_____________ . 3. ___________________________________________________________________________ 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abc + def是奇数的概率为_____________________________ . 4. __________________________________________________________ 在平面直角坐标系xOy中，直线l通过原点，n =（3,1）是丨的一个法向量.已知数列{a n}满足：对任意正整数n,点（a n+,a n）均在I上.若a2 =6，则a-ia2a3a4a5的值为 __________________________________________________ . 5. 设。.戶满足tan（?+—） = -3，tan（0 —巴）=5，则tan（a -P、的值为 3 6 6. 设抛物线C: y2 =2x的准线与x轴交于点A，过点B（-1,0）作一直线l与抛物线C相切于点K，过点A 作丨的平行线，与抛物线C交于点M , N，则△KMN的面积为________ . 7.设f （x）是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间［1,2］上严格递减，且满足f （二）=1, f （2二） =0， 0兰x兰1 则不等式组《一一'的解集为______________ . ［0 兰f（x）兰1 8.已知复数乙厶：满足| Z| AZ |=| Z31,|乙Z2 Z3 r，其中r是给定实数，则△?匕?生的实部 Z2 Z3 Z1 是______ （用含有r的式子表示）. 二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. （本题满分16分）已知数列{a n} : a1=7,勺」=a n? 2, n =1,2,3,….求满足耳-42018 a n 10. （本题满分20分）已知定义在R ■上的函数f （x）为 | Iog3x -1|,0 ::: X 乞9, 4 -、、x,x 9. 11. （本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A B与C、D分别是椭圆 2 2 x y C:二2=1（a b 0的左、右顶点与上、下顶点.设P、Q是C上且位于第一象限的两点，满足 a b OQ//AP , M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R. 证明：线段OQ、OR、BC能构成一个直角三角形. ir 冬二f ” \ c—r ■X? 加试（B卷） 9 的最小正整数n. f (x)二 设a,b, c是三个互不相同的实数，满足 f (a) = f (b) = f (c)，求abc的取值范围 2018各省数学竞赛汇集 2018高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题（70分） 1、当[3,3]x ∈-时，函数 3()|3|f x x x =-的最大值为__18___. 2、在ABC ?中，已知12,4,AC BC AC BA ?=?=-则AC =___4____. 3、从集合 {}3,4,5,6,7,8中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为 _____ 3 10 _______. 4、已知a 是实数，方程2 (4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位） ，则 ||a bi +的值为_____5、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 22 1124 x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且 倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于,A B 两点.若FAB ?的面积为，则直线的斜 率为___1 2 ____. 6、已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是___[1,)+∞_____. 7、在四面体ABCD 中，5AB AC AD DB ====,3BC =,4CD =该四面体的 体积为_____8 、 已 知 等 差 数 列 {} n a 和等比数列 {} n b 满足： 11223,7,a b a b +=+=334415,35,a b a b +=+=则n n a b +=___132n n -+___. （* n N ∈） 9、将27,37,47,48,557175， ，这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有___144_____种. 10、三角形的周长为31，三边,,a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组 (,,)a b c 的个数为__24___. 2018年全国高中数学联合竞赛一试试题（A 卷） 一、填空题：本大题共 8小题，每小题 8分，共64分． 1.设集合{1,2,3,,99}A = ，{2}B x x A =∈，{2}B x x A =∈，则B C 的元素个数 . 解析：因为{1,2,3,,99}A = ，所以{2,4,6,,198}B = ,{1,2,3,,49}C = ,于是 {2,4,6,,48}B C = ，共24个元素. 2.设点P 到平面α Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于30 且不大于60 ，则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 解析：过点P 作平面α的垂线，这垂足为O ，则点Q 的轨迹是以O 为圆心，分别以1ON =和3OM =为半径的扇环,于是点Q 所构成的区域的面积为21S S S =-= 9 8πππ-=. 3. 将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为,,,,,a b c d e f ，则abc def +是偶数的概率为 . 解析：（直接法）将1,2,3,4,5,6随机排成一行，共有6 6720A =种不同的排法，要使 abc def +为偶数，abc 为与def 同为偶数或abc 与且def 同为奇数. （1）若,,a b c 中一个偶数两个奇数且,,d e f 中一个奇数两个偶数. 共324种情形； （2）若,,a b c 中一个奇数两个偶数且,,d e f 中一个偶数两个奇数. 共324种情形； 共有648种情形.综上所述，abc def +是偶数的概率为 6489 72010 =. （间接法）“abc def +是偶数”的对立事件为“abc def +是偶数”， abc def +是偶数分成两种情况：“abc 是偶数且def 是奇数”或“abc 是奇数且def 是偶数”，每 P O M N α 中国教育学会中学数学教学专业委员会 2012年“数学周报杯”全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c22 ||()|| a a b c a b c -++-+可以化简为（）． （A）2c a -（B）22 a b -（C）a -（D）a 1（乙）．如果22 a=- 1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B2（C）2 （D）2 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）．（A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121 a a b a b ++++ ，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B） 21 4 a- （C） 1 2 （D） 1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30 ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD的长为（）． （A）2 3（B）4 （C）5 2（D）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（）． 2018全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 (考试时间:2018年6月30日上午9:00) 一、填空题(每题8分，共64分，结果须化简) 1、设三个复数1, i, z在复平面上对应的三点共线，且|z|=5，则z= 2、设n是正整数，且满足n5=438427732293，则n= 3、函数f(x) =sin(2x) + sin(3x) + sin(4x)的最小正周期= 4.设点P,Q分别在函数y=2x和y=log 2 x的图象上，则|PQ|的最小 值= 5、从1,2,…，10中随机抽取三个各不相同的数字，其样本方差s2≤1的概率= 6、在边长为I的正方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 内部有一小球，该小球与正方体的对角线段AC 1 相切，则小球半径的最大值= 7、设H是△ABC的垂心，且3450 HA HB HC ++=，则cos∠AHB= 8、把1，2，…,n2按照顺时针螺旋方式排成n行n列的表格T n ，第一行是1,2,…,n.例如：3 123 894 765 T ?? ?? =?? ?? ??设2018在T 100 的第i行第j列，则(i,j)=· 二、解答题(第9-10题每题21分，第11-12题每题22分，共86分) 9、如图所示，设ABCD是矩形，点E, F分别是线段AD, BC的中点，点G在线段EF上，点D, H关于线段AG的垂直平分线L对称.求证:∠HAB=3∠GAB. 10、设O是坐标原点，双曲线C:上动点M处的切线交C的两条渐近线于A,B两点。（1）减B 两点:`(1)求证：△AOB的面积S是定值。（2）求△AOB的外心P的轨迹方程. 11、（1）求证：对于任意实数x,y,z都有: ) 222 x23 y z xy yz zx ++≥++ . （2）是否存在实数x.y,z下式恒成立？ () 222 x23 y z k xy yz zx ++≥++ ，试证明你的结论. 12.在正2018边形的每两个顶点之间均连一条线段，并把每条线段染成红色或蓝色.求此图形中三边颜色都相同的三角形的最小个数. 2018年全国初中数学竞赛试题及解答 一、选择题（只有一个结论正确） 1、设a,b,c 的平均数为M ，a,b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a>b>c ，则M 与P 的大小关系是（ ） （A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（ba 1,b>b 1, c>c 1,，则S 与S 1的大小关系一定是（ ）。 （A ）S ＞S 1；（B ）S ＜S 1；（C ）S ＝S 1；（D ）不确定。 二、填空题 7、已知: a 23 331a a a ++＝________。 8、如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，AB ＝8，BC ＝ ∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD 的面积等于________。 9、已知关于的方程 (a-1)x 2 +2x-a-1=0的根都是整数，那么符合条件的整数有_______个。 10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB 、CD ，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A 、C 处，向两侧地面上的E 、D ；B 、F 点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD 与BC 的交点P 离地面的高度为________米。 中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2020年全国初中数学竞赛试题参考答案 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分） 1．方程组12,6 x y x y ?+=??+=??的解的个数为（ ）． （A ）1 （B ） 2（C ） 3 （D ）4 答：（A ）． 解：若x ≥0，则12,6,x y x y +=???+=??于是6y y -=-，显然不可能． 若0x <，则 12,6,x y x y -+=???+=?? 于是18y y +=，解得9y =，进而求得3x =-． 所以，原方程组的解为???=-=, 9,3y x 只有1个解． 故选（A ）． 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）． （A ） 14 （B ） 16 （C ）18 （D ）20 答：（B ）． 解：用枚举法： 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种． 故选（B ）． 3．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ． 若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过 2018年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷） 一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。 1、设集合{}8,1,0,2=A ，集合{}A a a B ∈=|2，则集合B A 的所有元素之和是 2、已知圆锥的顶点为P ，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q ，使得直线PQ 与底面所成角不大于045，则满足条件的点Q 所构成的区域的面积为 3、将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是奇数的概率为 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 5、设βα,满足3)3tan(-=+ πα，5)6tan(=-πβ，则)tan(βα-的值为 6、设抛物线x y C 2:2=的准线与x 轴交于点A ，过点)0,1(-B 作一直线l 与抛物线C 相切于点K ,过点A 作l 的平行线，与抛物线C 交于点N M ,，则KMN ?的面积为为 7、设)(x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]2,1上严格递减，且满足1)(=πf ，0)2(=πf ，则不等式组???≤≤≤≤1 )(010x f x 的解集为 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则1 33221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） 二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9、（本题满分16分）已知数列{}n a 满足：71=a ， 21+=+n n n a a a ， ,3,2,1=n ，求满足20184>n a 的最小正整数n 。 10、（本题满分20分）已知定义在+R 上的函数)(x f 为???--=x x x f 41log )(39,90,>≤ 全国初中数学竞赛试 题及答案 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 1997年全国初中数学联赛试题 第一试 一.选择题 本题共有6小题,每一个小题都给出了以(A), (B), (C), (D)为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的括号内. 1.下述四个命题 (1)一个数的倒数等于自身,那么这个数是1; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)2a 的平方根是a ±; (4)大于直角的角一定是钝角. (A)1个 (B)2个; (C)3个; (D)4个. 答( ) 2.已知354 234 -<<+x ,那么满足上述不等式的整数x 的个数是 答( ) (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 3.若实数c b a ,,满足9222=++c b a ,代数式222)()()(a c c b b a -+-+-的最大值是 (A)27 (B)18; (C)15; (D)12. 答( ) 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢3 4.给定平面上n 个点,已知1,2,4,8,16,32都是其中两点之间的距离,那么点数n 的最小可能值是 (A)4; (B)5; (C)6; (D)7. 答( ) 5.在梯形ABCD 中,DC AD =,030=∠B ,060=∠C ,E,M,F,N 分别为 AB,BC,CD,DA 的中点,已知BC =7,MN =3,则EF 之值为 (A)4 (B)2 14 (C)5; (D)6. 答( ) 6.如图,已知B A ∠=∠,1AA ,1PP ,1BB 均垂直于 11B A ,171=AA ,161=PP ,201=BB ,1211=B A ,则AP+PB 等于 （A ）12； （B ）13； （C ）14； （D ）15. 答( ) 二、填空题 1.从等边三角形内一点向三边作垂线,已积压这三条垂线的长分别为1,3,5,则这个等边三角形的面积是 . 2.当a 取遍0到5的所有实数值时,满足)83(3-=a a b 的整数b 的个数是 . １ 2018年全国初中数学竞赛试题及答案 考试时间：2018年4月1日上午9：30—11：30 一、选择题：（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后括号里．不填、多填或错填都得0分） 1．方程组?????=+=+6 12y x y x 的实数解的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 解：选（A ）。当x ≥0时，则有y －|y|=6,无解；当x<0时，则y ＋|y|=18,解得：y=9,此时x=－3. 2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ） （A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20 解：选（B ）。只用考虑红球与黑球各有4种选择：红球（2,3,4,5），黑球（0,1,2,3）共4×4＝16种 3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程02 =++c bx ax ， 02 =++a cx bx ，02 =++b ax cx 恰有一个公共实数根，则 ab c ca b bc a 2 22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 解：选（D ）。设这三条方程唯一公共实数根为t ，则20a t b t c ++ =，20bt ct a ++=，2 0ct at b ++= 三式相加得：2 ()(1)0a b c t t ++++=，因为210t t ++≠，所以有a+b+c=0,从而有333 3a b c abc ++=， 所以 ab c ca b bc a 222++＝333 a b c abc ++＝33abc abc = 4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相 交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经 过△ABC 的（ ） （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心 解：选（B ）。如图△ADE 外接圆的圆心为点F ，由题意知：⊙O 与⊙F 且弧DmE ＝弧DnE ，所以∠EAB ＝∠ABE ，∠DAC ＝∠ACD ， 即△ABE 与△ACD 都是等腰三角形。分别过点E ，F 作AB ，AC 相交于点H ，则点H 是△ABC 的外心。又因为∠KHD ＝∠ACD ， 所以∠DHE+∠ACD ＝∠DHE+∠KHD ＝180°，即点H ，D ，C ，E 在同一个圆上， 也即点H 在⊙O 上，因而⊙O 经过△ABC 的外心。 5．方程2563 2 3 +-=++y y x x x 的整数解x (，)y 的个数是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多 解：选（A ）。原方程可变形为：x(x+1)(x+2)+3x(x+1)=y(y-1)(y+1)+2，左边是6的倍数，而右边不是6的倍数。 中国教育学会中学数学教学专业委员会 全国初中数学竞赛试题 一、选择题（共5小题，每小题6分，共30分.） 1（甲）．如果实数a，b，c22 ||()|| a a b c a b c -++-++可以化简为（）． （A）2c a-（B）22 a b -（C）a-（D）a 1（乙）．如果22 a=-+1 1 1 2 3a + + + 的值为（）． （A）2 -（B2（C）2 （D）2 2（甲）．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y = x b （b ≠0 ）的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（）． （A）（2，3）（B）（3，－2）（C）（－2，3）（D）（3，2） 2（乙）．在平面直角坐标系xOy中，满足不等式x2＋y2≤2x＋2y的整数点坐标（x，y）的个数为（）． （A）10 （B）9 （C）7 （D）5 3（甲）．如果a b ，为给定的实数，且1a b <<，那么1121 a a b a b ++++ ，，，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（）． （A）1 （B）21 4 a-（C）1 2 （D）1 4 3（乙）．如图，四边形ABCD中，AC，BD是对角线， △ABC是等边三角形．30 ADC ∠=?，AD = 3，BD = 5， 则CD 的长为（ ）． （A ）23 （B ）4 （C ）52 （D ）4.5 4（甲）．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元，我的钱数将是你的2倍”，其中n 为正整数，则n 的可能值的个数是（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 4（乙）．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数）的正根小于3， 那么这样的方程的 个数是（ ）． （A ） 5 （B ） 6 （C ） 7 （D ） 8 5（甲）．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为0123p p p p ，，，，则 0123p p p p ，，，中最大的是（ ）． （A ）0p （B ）1p （C ）2p （D ）3p 5（乙）．黑板上写有1 11123100 ， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数 a b ，，然后删去a b ，，并在黑板上写上数a b ab ++，则经过99次操作后，黑板上剩下的数 是（ ）． （A ）2012 （B ）101 （C ）100 （D ）99 二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 6（甲）．按如图的程序进行操作，规定：程序运行 从“输入一个值x ”到“结果是否>487？”为 一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x 的取值范围 2017年全国初中数学竞赛试题 考试时间2017年3月20日9︰30－11︰30满分150 答题时注意：1、用圆珠笔或钢笔作答 2、解答书写时不要超过装订线 3、草稿纸不上交。 一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分。每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1 、设x = (1)(2)(3)x x x x +++的值为（ C ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2 2、对于任意实数,,,a b c d ，定义有序实数对(,)a b 与(,)c d 之间的运算“△”为： (,)(,)(,)a b c d ac bd ad bc ?=++。如果对于任意实数,u v ，都有(,)(,)(,)u v x y u v ?=，那么(,)x y 为（ B ）。 A ．(0,1) B ．(1,0) C ．(1,0)- D ．(0,1)- 3、已知,A B 是两个锐角，且满足225sin cos 4A B t +=，2223 cos sin 4 A B t +=，则 实数t 所有可能值的和为（ C ） A ．83- B ．53- C ．1 D ．11 3 4、如图，点,D E 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，BE ，CD 相交于点F ，设1EADF S S 四边形＝，BDF 2S S ?＝，BCF 3S S ?＝，CEF 4S S ?＝， 则13S S 与24S S 的大小关系为（ C ） A ．13S S ＜24S S B ．13S S ＝24S S C ．13S S ＞24S S D ．不能确定 5、设3333 1111 S 1232011 ＝＋＋＋＋，则4S 的整数部分等于（ A ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分） 6、两条直角边长分别是整数,a b （其中2011b <），斜边长是1b +的直角三角形的个数为＿＿31＿＿。 7、一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，2，3，3，4；另A B C E D F ２６ 中 等 数 学 ２０ １ ８ 年 全 国 高 中 数学 联 合 竞 赛 中图分类号 ： Ｇ４２４ ７９ 文献标识码 ： Ａ 文章编号 ： １ ００５ ６４ １ ６ （ ２０１８ ） １ １ ００２６ ０６ ８． 设整数数列 ａ ｉ ， ａ２ ， ， 。 满足 ： … 第 一 试 ， 一 、 填空题（ 每小题 ８ 分， 共 ６４ 分 ） １． 设集合 ＾ ＝ ｛ １ ， ２ ． ． ． ， ， ９９ ｜ ， Ｂ ＝ ＼ ２ｘ ｘ ＾ Ａ ＼ ， Ｃ － ＼ ｘ ２ｘ Ａ ＼ ． 则ｆｉ ｎ ｅ 的元素个数为 ２． 设点 ／ ＞ 到平面 ａ 的距离为Ｖ ５ ， 点 （ ？ 在 平面 ａ 上 ， 使得直线 与平面 ａ 所成 角 不小于 ３０ 。 且不大于 ６０ 。 ． 则这样的点 所构成 的区域的面积为 ． ３ ． 将 １ 、 ２ 、 ３ 、 ４ 、 ５ 、 ６ 随机排成一 行 ， 记 为ａ 、 ６ 、 ｃ 、 《 ｆ 、 ｅ 、 ／ 则 ａ６ ｃ ＋ ｃ ｅｆ ／ 是偶数 的 概 率为 ４． 在平面直角 坐标 系 中， 椭 圆 Ｃ ： ％ ＋ ＆ ＝ ｌ （ ａ ＞ ６ ＞ ０ ） 的 左、 右焦点 分别 为 ａ 〇 心、 Ｆ２ ， 弦 Ｓ ７＼ Ｃ／Ｆ 分别平行于 ＊ 轴 、 ｙ 轴 ， 且交 于点 Ｒ 已知线段 ／ ＾ 、 朽 、 ／ ＾ 、 ／＾ 的长分别 为 １ 、２ 、３ 、６． 则 的面积为 ． ５． 设／（ ＊ ） 是定义在 Ｒ 上的 以 ２ 为周期 的偶函数 ， 在区间 ［ ０ ， １ ］ 上严格递减 ， 且满足 ／（ ７Ｃ ） ＝ ｌ ， ／（ ２７ｔ ） ＝ ２ ． 则不等式组 １ ＾ ＊ ＾ ２ ， １ 矣／〇 ） 矣２ 的解集为 ６． 设复数 ｚ 满足 Ｉ ｚ ＝ １ ， 使得关于 ＊ 的方 程ｚａ ＋ ２ｚ＊ ＋ ２ ＝ ０ 有实根． 则这样 的复数ｚ ２ 的和为 ？ ７． 设 为△ＡＢＣ 的外心． 若 ＡＯ ＾ ＝ ＡＢ ＋ ２ ＡＣ ， 则ｓｉ ｎ Ｚ： 似 Ｃ 的值为 ． 且 ａ ｉ ＋ １ ６ Ｕ ＋ ａ ￡ ， ２ ＋ ａ Ｊ （ ｉ ＝ ｌ ， ２ ， … ， ９ ） ． 则这样的数列的 个数为 ？ 二、 解答题 （ 共 ５６ 分） ９． （ １６ 分） 已 知定义在 Ｒ ＋ 上的函数 ｆ ｌｏｇ３ ％ － １ ， ０ ＜％ 矣９ ； ／（ ＊ ） ＝ 厂 １ ４ － ａ ／ 尤 ， ｘ ＞ ９ ． 设（ ＊ 、 ６ 、 ＜ ； 为三个互不相同 的实数 ， 满足 ／（ ａ ） ＝ ／（ ６ ） ＝ ／（ ｃ ） ． 求 Ｍｅ 的取值范围 ． １ ０ ．（２０分 ）已知实数列ａ ｉ，ａ２，… 满足对任意正整数 ￣ 均有 ａ ｎ （ ２Ｓ ｎ＾ ａ ｎ ） ＝ １ ， 其中 表示数列 的前 ｎ 项和． 证明 ： （ １ ） 对任意正整数 ／ Ｉ ， 均有 ａｎ ＜ ２ Ａ ； ⑵ 对任意正整数 ？ 均有 ａ？ ａ ？ ＋ ｆ １ ． １１ ． （ ２０ 分） 在平面直角 坐标系 中 ， 为抛物线 ｙ２ ＝ ４＊ 的 过点Ｆ （ １ ， ０ ） 的 弦 ， △ ＡＯＢ 的外接圆与抛物线交于点 Ｐ （ 不 同于 点０ 人５ ） ？ 若 平分Ｚ 求 仲 的 所有可能值 ． 加 试 一 、 （ ４０ 分） 设 ７１ 为正整数 ， ａ！ ， ａ２ ， ． ． ． ， ａｎ ， ｈ ，６ ２，… Ａ 及４ 、ｉｆ均为正实数 ，满足 ： ａ ； 斗 ， ａ； ＾４ “ ＝ １ ， ２ ， … ， ｎ ） ， 且 丛 ＾ｆ 证明 ． ：… ａ Ａ ｎ （ ｆｅ ！ ＋ ｌ ） （ ６２ ＋ ｌ ） － （ ６ ｎ ＋ ｌ ） Ｂ ＋ ｌ （ ｏ １ ＋ ｌ ） （ ａ２ ＋ ｌ ） － ＊ － （ ａ ｎ ＋ ｌ ） Ａ＋ ＼ 二、 （ ４０ 分） 如 图 １ ， △ 狀Ｃ 为锐角 三角 形， ＡＳ ＜ ４Ｃ ， Ｍ 为边 ＢＣ 的 中点 ， Ｄ、 Ｅ 分别为 △ Ａ５Ｃ 的 外接 圆 弧 ２、 ＆ 的 中 点 ， ｆ 为 一试 一、填空题 1. 设集合{}99,,3,2,1Λ=A ，{}A x x B ∈=2，{} A x x C ∈=2，则C B I 的元素个数为 . 2. 设点P 到平面α的距离为3，点Q 在平面α上，使得直线PQ 与α所成角不小于?30且不大于?60， 则这样的点Q 所构成的区域的面积为 . 3. 将6,5,4,3,2,1随机排成一行，记为f e d c b a ,,,,,，则def abc +是偶数的概率为 . 4. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的左、右焦点分别是21,F F ，椭圆C 的弦ST 与UV 分别平行于x 轴与y 轴，且相交于点P .已知线段PT PV PS PU ,,,的长分别为6,3,2,1， 则21F PF ?的面积为 . 5. 设()x f 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]1,0上严格递减，且满足()()22,1==ππf f ， 则不等式组()?? ?≤≤≤≤2 121x f x 的解集为 . 6. 设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222=++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 . 7. 设O 为ABC ?的外心，若2+=，则BAC ∠sin 的值为 . 8. 设整数数列1021,,,a a a Λ满足1103a a =，5822a a a =+，且{}9,,2,1,2,11Λ=++∈+i a a a i i i ， 则这样的数列的个数为 . 二、解答题 9. 已知定义在+R 上的函数()x f 为()???? ?--=, 4,1log 3x x x f .9. 90>≤ 2018 年全国高中数学联赛山西省预赛试题解答 一、填空题（每小题8 分，共 64 分） 1. 集合 M1,2,L ,2018中，末尾数字为8 的元素之和是 ________. 答案： 204626 解：若将所有的这种数划去其尾数8，剩下的数就是0，1，2，， 201，共计划去202 个 8，因此所求的和值为S 10 0 1 2 L 201 8 202 204626 . 2. 将全体正整数按自小到大的顺序排列，然后这样分段，使得第一段有 1 个数，第二段有 3 个数，，第n 段有2n 1个数；那么，第20 段中的第18 个数是 ________. 答案： 379 解：显然，前 n 段共有 1 3 5 L2n 1 n2个数，即第 n 段中最大数为n 2；于是第 19 段中的最大数为 19 2 ，则第20 段中第18 个数为361 18 379 . 361 3. 函数 y 1 x2 的值域是 ________. 2 x 答案： 0, 3 3 1 x 2 1 t 2 2 解：因 x 1,1 ， y 0 ；又据 y2 ，令t x 2 ，则y2 ，即 x 2 2 t 2 y 2 1 t 2 4t 3 0 ，视为t 的二次方程，其判别式16 12 y 2 1 0 ，得 y 2 1 ， 3 y 3 ，因 y 0 ，所以 y 0, 3 . 3 3 另解：x 1,1 ，令x cos ，0, ，则y sin ，y 0 ，2 cos 2 y sin y cos 1 y2 sin 1 y2 ，所以1 y2 4 y2，即 y2 1 ，因 y 0 ，3 则 y 0, 3 . 3 4. 若正整数 n 使得 3 恒介于 1 3 与 1 3 之间，则 n ________. n n 1 答案： 4 解：当 n 为正整数时，易知 3 3 ，由 3 1 3 ，得 n 3 3 3 3 ；由 3 1 3 ， n 1 n n 3 1 2 n 1 得 n 1 3 3 ，所以 n 1 3 3 , 3 3 3 ，此区间长度为1，其中只有唯一的整数4，所以 2 2 22018年全国高中数学联合竞赛(B卷)
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