2 线性规划习题答案
1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性
答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。
线性规划数学模型特征：
（1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量；
（2） 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线
性等式或者不等式来加以表示；
（3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。
2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为：
2：00~6：00 3人 6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人 14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人 22：00~ 2：00 4人
设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解：用决策变量1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 分别表示2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为：123456min Z x x x x x x =+++++
16122334455612345639125184,,,,,0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥
3、现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。
方法一
解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示： 2.9 2.1 1.5 θ 1' 1 1 1 0.9 2' 2 0 0 0.1 3' 1 2 0 0.3 4' 1 0 3 0 5' 0 1 3 0.8 6' 0 0 4 1.4 7' 0 2 2 0.2 8' 0 3 0 1.1
目标函数为求所剩余的材料最少，即
12345678min 0.90.10.300.8 1.40.2 1.1Z x x x x x x x x =+++++++
1234135781245671234567821002231003342100,,,,,,,0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++>=++++>=+++++>=≥
方法二
解：由题意，因为所有套裁方案有21种，全部写出需考虑因素太多，故需先做简化。
又由于目标是使所用原材料最少，所以，仅需考虑最省的五个方案即可。 设x i 是第 i 种套裁方案所用的原材料根数，建立数学模型如下：（料头最省）
五种套裁方案实施后，可得的 2.9米钢筋的根数。 五种套裁方案实施后，可得的 2.1米钢筋的根数。 五种套裁方案实施后，可得的 1.5米钢筋的根数。 x 1=30, x 2=10, x 3=0, x 4=50, x 5=0
只需90根原材料，目标函数值最小为90即可。
4、某糖果厂用原料A 、B 、C 加工成三种不同牌号的糖果甲、乙、丙。已知各种牌号糖果中A 、B 、C 三种原料的含量要求、各种原料的单位成本、各种原料每月的限制用量、三种牌号糖果的单位加工费及售价如表1所示。问该厂每月生产这三种牌号糖果各多少千克，才能使该厂获利最大？试建立这个问题的线性规划模型。
12 4 3451235j +2 + 100 2 +2 + 1003++ 2 +3 100 0(j=1,2,,5)
x x x x x x x x x x x ≥≥≥≥???12345
Min = 0+0.1+0.2 +0.3+0.8z x x x x x
表1
方法一
解：设x 1，x 2，x 3分别为甲糖果中A,B,C 的成分；x 4，x 5，x 6分别为乙糖果中A,B,C 的成分； x 7，x 8，x 9分别为丙糖果中A,B,C 的成分。 由题意，有
对上式进行整理得到所求问题的线性规划模型：
123456789147258369
max (3.400.50)()(2.850.40)() (2.250.30)() 2.00() 1.50() 1.00()
z x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-+++-+++-++-++-++-++11233123445664569789147258369123456,7890.60.20.150.60.5200025001200,,,,,,,0x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++++++++≥≤≥≤≤++≤++≤++≤≥1234567891231234564567891472
5
max 0.9 1.4 1.90.450.95 1.45 0.050.450.950.40.60.600.20.20.800.850.150.1500.60.60.400.50.50.502000z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++-++-++≤--+≤-++≤--+≤--+≤++≤++8
2500
1200
x x x x ≤++≤
方法二
解：以A 甲表示甲产品中的A 成分，B 甲表示甲产品中的B 成分，C 甲表示甲产品中的C 成分，依此类推。据表2-16，有：
35A >=甲甲，15C <=甲甲，320A >=乙乙，35C <=乙乙，1
2
A <=丙丙．
．．．．．① 其中：A +=B C 甲+甲甲甲，A +=B C 乙+乙乙乙，A +=B C 丙+丙丙丙．．．．．．② 把②逐个代入①并整理得：
203A -+<=B C 甲+甲甲，40A -+<=B C 甲-甲甲，0A +<=B C 17
-乙+乙乙3
2
03
A +<=
B
C -乙-乙乙，0A +<=B C -丙-丙丙
原材料的限制，有以下不等式成立：
A A 2000A +<=甲+乙丙，
B B B 2500+<=甲+乙丙，
C C C 1200+<=甲+乙丙
在约束条件中共有9个变量，为方便计算，分别用1x ,2x ．．．9x 表示，即令1x =A 甲，
2x =B 甲，3x =C 甲，4x =A 乙，5x =B 乙，6x =C 乙，7x =A 丙，8x =B 丙，9x =C 丙
由此约束条件可以表示为：
1231234564567891472583691234567892
-x x x 03
-x -x 4x 017
-x x x 03
2
-x -x x 0
3
-x -x x 0x +x x 2000x +x x 2500x +x x 1200
x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 0
++<=+<=++<=+<=+<=+<=+<=+<=>=
我们的目的是使利润最大，即产品售价减加工费再减去原材料的价格为最大。 目标函数为
1234567890.9 1.4 1.90.450.95 1.450.050.450.95MaxZ x x x x x x x x x =+++++-++
5、某厂在今后4个月内需租用仓库存放物资，已知各个月所需的仓库面积如表2所示。租金与租借合同的长短有关，租用的时间越长，享受的优惠越大，具体数字见表3。租借仓库的合同每月初都可办理，每份合同具体规定租用面积数和期限。因此该厂可根据需要在任何一个月初办理租借合同，且每次办理时，可签一份，
也可同时签若干份租用面积和租借期限
不同的合同，总的目标是使所付的租借费用最小。试根据上述要求，建立一个线性规划的数学模型。
表
3
解：设ij x （i ＝1,2,3,4;j=1,2．．．4-i+1）为第i 个月初签订的租借期限为j 个月的合同租借面积（单位：1002
m ）；i r 表示第i 个月所需的面积（j 表示每1002
m 仓库面积租借期为j 个月的租借费）；则线性规划模型为：
即
441
1
1
i j
ij
i j MinZ C X
-+===∑
∑
41
11
(1,2,3,4)
0(1,2,3,4;1,2...41)
k i ij k i j k i ij X r k X i j
i -+==-+>==>===-+∑∑
6、某农场有100公顷土地及25万元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季4500人日，春夏季6000人日，如劳动力本身过剩可外出打工，春夏季收入为20元／人日，秋冬季12元／人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米和小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物不需要专门投资，而饲养动物时每头奶牛投资8000元，每只鸡投资2元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲草，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入3000元／每头奶牛。养鸡不占土地，需人工为每只鸡秋冬季0.3人日，春夏季0.1人日，年净收入为每只8元。农场现有鸡舍允许最多养5000只鸡，牛栏允许最多养50头奶牛，三种作物每年需要的人工及收入情况如表4所示。试决定该农场的经营方案，使年净收入最大。
11213141122232132314min 2800()4500() 6000()7300z x x x x x x x x x x =+++++++++11121314121314212223131422233132 15 10
20 x x x x x x x x x x x x x x x x +++≥+++++≥+++++≥14233241 +12
0, ,1,2,3,4, 5
ij x x x x x i j i j ++≥≥=+≤
表4
解：设1x ,2x ,3x 分别代表大豆、玉米、麦子的种植数（公顷）；4x ,5x 分别代表奶牛和鸡的饲养数；6x ,7x 分别代表秋冬季和春夏季多余的劳动力（人．日数）则有
123456711001500900300081220MaxZ x x x x x x x =++++++
124451234561234574512345671.5100(80002250000(2035101000.34500(507540500.14500(50(5000x ,x ,x ,x ,x ,x ,x 0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++<=+<=+++++<=+++++<=<=<=>=土地限制)资金限制）
劳动力限制）劳动力限制）牛栏限制）（鸡栏限制）
7、用图解法求解下列线性规划问题
（1）212m ax x x z += （2）2123m ax x x z +=
123421≤+x x
4221≤+-x x 8221≤+x x 142321≤+x x 8421≤-x x 321≤-x x 0,21≥x x 0,21≥x x
（3）2132m ax x x z += （4）21m ax x x z +=
221≤-x x 021≥-x x 4321≤+-x x 3321-≤-x x 0,21≥x x 0,21≥x x
解：
（1） （2）
（3） （4）
8、考虑线性规划：43212m ax x x x x z ++-=
1x - + 2x + 3x + 4x = 5 1x + 2x + 5x = 2
21x + 2x + 3x + 6x = 6
0,,61≥x x
（1） 通过观察写出初始的基可行解并构造初始单纯形表；
（2） 在保持2x 和3x 为零的情况下，给出非基变量1x 增加一个单位时的可行解，并
指出目标函数的净增量是多少?
（3） 在模型约束条件的限制下，1x 的最大增量是多少？ （4） 在1x 有其最大增量时，给出一个新的基可行解。
解：（1）因存在初始可行基()456,,T
x x x ，故可令1x ,2x ,3x 全为0,则可得初始可行解为
(0,0,0,5,2,6)T ，Z ＝5。
(2)非基变量2x ,3x 仍然取零，1x 由0变为1,即1x ＝1, 2x ＝0,3x =0,代入约束条件得一个可行解X=(1,0,0,6,1,4)T
。其目标函数值为Z ＝8
因此，随着1x 增加1个单位目标函数值的净增量为△Z ＝8-5=3.
（3）因为决策变量全非负所以由约束条件①知1x 增加可以引起2x ,3x ,4x 增加，即条件①对
1x 无约束；由约束条件②知1x 增加可引起2x ,5x 减少，由非负约束知1x 最大增量为2；同理
可得约束条件③的1x 最大增量为3，综合得1x 的最大增量为2。
（4）1x ＝2，非基变量2x =0,3x ＝0,代入约束条件得基可行解X=(2,0,0,7,2,2)T
，目标函数值为Z ＝11。
9、将线性规划模型转化为标准形式
432132m ax x x x x Z +++=
1024321≤+++x x x x 85324321-=-+-x x x x 12464321≥+-+x x x x
0,,321≥x x x ，4x 无约束
解：（1）令4x ＝5x －6x 并代入模型，这里5x >=0,6x >=0； （2）第二个约束条件方程两侧同乘“-1”；
（3）第一个约束条件引入松弛变量7x ，第三个约束条件引入8x 作为松弛变量。 （4）目标函数同乘“-1”，即可实现最少化。
12356min 23Z x x x x x =----+
123567123612356812345678210235864412,,,,,,,0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+=-+-+=+-+--=≥
10、用单纯形法求解下述线性规划问题
（1）43213m in x x x x w +++= （2）32154m ax x x x Z ++=
422321=++
-x x x 13x + 22x + 3x ≥18
63421=++x x x 12x + 2x ≤ 4 0,,,4321≥x x x x 1x + 2x 3x - = 5
0,,321≥x x x
（1）解：构造初始单纯行表，并进行初等变换，得：
最优解*
(0,2,0,4)T
X =，由非基变量1x 的检验数为0,知此问题有无穷多最有解，所以该解
为无穷多最优解中的一个，最优值为w ＝6。
（2）解：此问题用大M 法求解，先把问题标准化为：
12367min 45Z x x x Mx Mx =---++
12346125123712345673218245,,,,,,0
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++-+=++=+-+=≥
构造初始单纯行表，并进行初等变换，得：
因为所有检验数均为非负，但人工变量7x 仍为基变量，故此问题无解。
11、求解线性规划问题并给出其中三个最优解：
43213m in x x x x w +++=
422321=++-x x x
63421=++x x x 0,,,4321≥x x x x
解：构造初始单纯行表，并进行初等变换，得：
从单纯形表可以找到两个顶点，*1(0,2,0,4)T
X =，*2(1,3,0,0)T X =。可以找到变量之间
存在以下关系：2x ＝1x ＋2；4x ＝－41x ＋4；30x =
令1x ＝1/2则有*3(1/2,5/2,0,2)T
X =，从而找到了LP 问题的三个最优解。
12、（1）如为唯一最优解则要求非基变量的检验数全少于零，从而有1β<0，2β<0。并且要令表中的解为最优解，则要求原问题可行，这只要满足0ρ>=即可。
（2）要令表中解为无穷多最优解中的一个，则有以下关系成立：1β<=0，2β<=0，且1β2β=0 若2β=0，则10?>。
（3）要使表中的解为退化的基可行解，则必有0ρ=；当2β>1β且2β>0时，10?>。 （4）若为无界解，则满足能找到入基变量，但找不到出基变量的条件。即满足：0ρ>=；
2β>1β，且2β>0；10?<=。
（5）以1x 代替6x ，即1x 入基，6x 出基，则有以下关系成立： 1β>2β，且1β>0；30?>=；
0ρ>=，且3304
ρ<
第二天下午的题目答案：1设：生产A产品x吨，生产B产品y吨。则：
生产的利润为：2f(x,y)=3600x+6500y
投资费用为：1f(x,y)=2100x+4800y
需要满足的约束条件为：
<=5
x
y
<=8
x y
+>=9
x
>=0
y
>=0
综上所述：
目标函数：
Min 1f(x,y)=2100x+4800y
Max 2f(x,y)=3600x+6500y
约束条件：
x
<=5
y
<=8
x y
+>=9
x
>=0
y
>=0
对于上述多目标规划问题，如果决策者提出的期望目标是：（1）、每个月的投资不超过30000元；（2）、每个月的利润不少于45000元（3）两个目标函数的重要性相同。
求解程序如下：
（1）编辑目标函数M文件ff12.m
function f=ff12(x)
f(1)=2100*x(1)+4800*x(2);
f(2)=-3600*x(1)+6500*x(2);
（2）按给定目标得：
goal=[30000,-5000];
weight=[30000,45000];
（3）给出约束条件：
x0=[2,2];
A=[1 0; 0 1;-1 -1];
b=[5,8,-9];
lb=zeros(2,1);
（4）调用fgoalattain函数：
[x,fval,attainfactor,exitflag]=fgoalattain(@ff12,x0,goal,weight,A,b,[],[],lb,[])
运行后，输出结果为：
x =
5 4
fval =
29700 44000
attainfactor =
-0.0100
exitflag =
1
有上述数据可得：当生产A产品5吨，生产B产品4吨时，既能满足市场需求，又节约投资，而且使生产利润达到最大，此时：投资为：29700元，利润为44000元。
LINGO 使用教程 LINGO 是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO 高效的求解器可快速求解并分析结果。 §1 LINGO 快速入门 当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。 例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题： ,6002100 350. .32min 21211 212 1≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x 在模型窗口中输入如下代码： min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后点击工具条上的按钮 即可。 例1.2 使用LINGO 软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如
model: !6发点8收点运输问题; sets: warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数; min=@sum(links: cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束; @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !这里是数据; data: capacity=60 55 51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end 然后点击工具条上的按钮即可。 为了能够使用LINGO的强大功能，接着第二节的学习吧。 §2 LINGO中的集 对实际问题建模的时候，总会遇到一群或多群相联系的对象，比如工厂、消费者群体、交通工具和雇工等等。LINGO允许把这些相联系的对象聚合成集（sets）。一旦把对象聚合成集，就可以利用集来最大限度的发挥LINGO建模语言的优势。 现在我们将深入介绍如何创建集，并用数据初始化集的属性。学完本节后，你对基于建模技术的集如何引入模型会有一个基本的理解。
一、编写lingo 程序求解下列方程（组） 1、4 x sin x cos x += 2、x x 24-= 3、求方程()074223=---=x x x x f 在[]43,中的根的近似值． 4、0432=--x x 5、12341234123420,3230,4350. x x x x x x x x x x x x +-+=?? -+-=??+-+=? 6、??? ??=+-=++--=++. x x x ,x x x , x x x 3103220241225321 321321 二、编写lingo 程序求解下列最优化问题 1、43215243x x x x z min +-+-= ?? ??? ??≥≥-++-≤+-+-=-+-. x ,x ,x ,x ,x x x x ,x x x x , x x x x .t .s 无约束43 214321432143210232142224 2、32132-2x x x z min += ??? ??≥≤≤-+-=++-. x ,x ,x ,x x x , x x x .t .s 无约束321 32142100624 3、213x x z max -= ????? ??≥≤+≥+≤-.x ,x ,x x ,x x , x x .t .s 为整数05210453232 121 2121 4、32152-3x x x z max +=
????? ?? ??=≤+≤+≤++≤-+. x ,x ,x , x x ,x x ,x x x ,x x x .t .s 1064344223213 221321321或 5、432173x x x x z min +-+= ????? ??=≥++≥++-≥-+-.x ,x ,x ,x ,x x x ,x x x x ,x x x x .t .s 10535846124 321421 43214321或 6、求图中点1v 到各点的最短路（不可逆行）． 三、先建立问题的数学模型，再编写lingo 程序求解 1、某厂每日8小时的产量不低于1800件．为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的检验员．一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15小时/件，正确率95%，计时工资3元/小时．检验员每错检一次，工厂要损失2元．为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 2、某饲料场饲养动物出售，设每头动物每天至少需700克蛋白质、30克矿物质、100毫克维生素．现有5种饲料可供选用，各种饲料每公斤营养成分含量及单价如表所示
Lingo 精选题目及答案 答题要求：将Lingo 程序复制到Word 文档中，并且附上最终结果。 1、简单线性规划求解 （目标函数）2134m ax x x z += s.t.（约束条件）???????≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x 2、整数规划求解 219040Max x x z += ??? ??≥≤+≤+0,7020756 792 12121x x x x x x 3、0-1规划求解 Max 4322 15.18.04.0x x x x f +++= 10106234321≤+++x x x x 10,,,4321或=x x x x 4、非线性规划求解 ||4||3||2||m in 4321x x x x z +++= s.t. ??? ? ??? - =+--=-+-=+--2132130432143214321x x x x x x x x x x x x 5、集合综合应用 产生一个集合5052 --=x x y ，（10,...,2,1=x ）， 求y 前6个数的和S 1，后6个数的和S 2，第2~8个数中的最小值S 3，最大值S 4。 6、综合题 要求列出具体的目标函数和约束条件，然后附上Lingo 程序和最终结果。 6.1 指派问题 有四个工人，要指派他们分别完成4项工作，每人做各项工作所消耗的时间如下表： 问指派哪个人去完成哪项工作，可使总的消耗时间为最小？
6.2 分配问题 某两个煤厂A1，A2每月进煤数量分别为60t和100t，联合供应3个居民区B1,B2,B3。3个居民区每月对煤的需求量依次分别为50t，70t，40t，煤厂A1离3个居民区B1,B2,B3的距离依次分别为10km,5km,6km,煤厂A2离3个居民区B1,B2,B3的距离分别为4km,8km,12km。问如何分配供煤量使得运输量（即t·km）达到最小？ 1、 model: max=4*x1+3*x2; 2*x1+x2<10; x1+x2<8; x2<7; end 2、 model: max=40*x1+90*x2; 9*x1+7*x2<56; 7*x1+20*x2<70; @gin(x1);@gin(x2); end 3、 model: max=x1^2+0.4*x2+0.8*x3+1.5*x4; 3*x1+2*x2+6*x3+10*x4<10; @bin(x1); @bin(x2); @bin(x3); @bin(x4); end 4、 model: max=@abs(x1)+2*@abs(x2)+3*@abs(x3)+4*@abs(x4); x1-x2-x3+x4=0; x1-x2+x3-3*x4=1; x1-x2-2*x3+3*x4=-1/2; end 5、 model: sets: jihe/1..10/:y; ss/1..4/:S; endsets !由于y和s中部分有负数，所以要先去掉这个约束; @for(jihe:@free(y)); @for(ss(i):@free(S)); !产生元素;
LINGO练习题-1及答案LINGO测试-1 1、用LINGO软件解方程组（1）221212222359 x x x x?+=??-=-??。 model: x^2+2*y^2=22; 3*x-5*y=-9; end Solution is locally infeasible Infeasibilities:0.5417411E-04 Extended solver steps:5 Total solver iterations:20 Variable Value X 2.000005 Y 3.000003 Row Slack or Surplus 1-0.5417411E-04 20.000000 2、用LINGO软件解线性规划问题 model: max=2*x+3*y; 4*x+3*y<=10;
3*x+5*y<=12; x>0;y>0; end Global optimal solution found. Objective value:7.454545 Infeasibilities:0.000000 Total solver iterations:2 Variable Value Reduced Cost X 1.2727270.000000 Y 1.6363640.000000 Row Slack or Surplus Dual Price max23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y=++≤+≤≥17.454545 1.000000 20.0000000.9090909E-01 30.0000000.5454545 4 1.2727270.000000 5 1.6363640.000000 3、用LINGO软件二次规划问题 （1）min2212z=x-3-2x+（）（） 22121212..-50, 24, ,0s t
一．用Lingo 求解下列规划问题 1、求解 2、求解 3.求解 6,,1,6,,1,106,,1,6,,1,6,,1,13. .max 61616161 =====≤=≤==∑∑∑∑====j i x j i x x j x x t s r x z ij ii ij i ij i ii i j ij ij 或者其中，???????? ??????????=110100111000001100 110100000111000011r 二、请给出下列问题的模型、lingo 求解程序及其运行结果 1．队员选拔问题 某校篮球队准备从十名预备队员中选择五名作为正式队员，队员的各种情况如下表： 队员号码 身高（厘米） 技术分 位置 1 185 8.6 中锋 2 186 9 中锋 3 193 8. 4 中锋 4 190 9. 5 中锋 5 182 9.1 前锋 6 184 9 前锋 7 188 8.1 前锋 8 186 7.8 后卫 9 190 8.2 后卫 10 192 9.2 后卫 队员的挑选要满足下面条件：（1）至少补充一名前锋。（2）至多补充2名中锋。（3）1号和3号队员最多只能入选1个。（4）平均身高要达到187厘米。（5）3号或10号入选了则4号就不能入选。 问：怎么选择使得技术平均分最高。 max 23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥22121122121212max 982770.32,..100,2,,0,.x x x x x x s t x x x x x x +---+≤≤≥ 且都是整
2. 超市奖品选购 超市提供了50种商品作为奖品供中奖顾客选择，车的容量为1000 cm3，奖品i占用的空间为w i cm3,价值为v i元, 具体的数据如下: v i = { 220, 208, 198, 192, 180, 180, 165, 162, 160, 158,155, 130, 125, 122, 120, 118, 115, 110, 105, 101, 100, 100, 98,96, 95, 90, 88, 82, 80, 77, 75, 73, 72, 70, 69, 66, 65, 63, 60, 58,56, 50, 30, 20, 15, 10, 8, 5, 3, 1} w i = {80, 82, 85, 70, 72, 70, 66, 50, 55, 25, 50, 55, 40, 48,50, 32, 22, 60, 30, 32, 40, 38, 35, 32, 25, 28, 30, 22, 50, 30, 45,30, 60, 50, 20, 65, 20, 25, 30, 10, 20, 25, 15, 10, 10, 10, 4, 4, 2,1}。问怎么选择价值最高。
LINGO 是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO 内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO 高效的求解器可快速求解并分析结果。 LINGO 快速入门 当你在windows 下开始运行LINGO 系统时，会得到类似下面的一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model – LINGO1的窗口是LINGO 的默认模型窗口，建立的模型都都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。 例1.1 如何在LINGO 中求解如下的LP 问题： ,6002100 350. .32min 21211 212 1≥≤+≥≥++x x x x x x x t s x x 在模型窗口中输入如下代码： min =2*x1+3*x2; x1+x2>=350; x1>=100; 2*x1+x2<=600; 然后点击工具条上的按钮 即可。 例1.2 使用LINGO 软件计算6个发点8个收点的最小费用运输问题。产销单位运价如
model: !6发点8收点运输问题; sets: warehouses/wh1..wh6/: capacity; vendors/v1..v8/: demand; links(warehouses,vendors): cost, volume; endsets !目标函数; min=@sum(links: cost*volume); !需求约束; @for(vendors(J): @sum(warehouses(I): volume(I,J))=demand(J)); !产量约束; @for(warehouses(I): @sum(vendors(J): volume(I,J))<=capacity(I)); !这里是数据; data: capacity=60 55 51 43 41 52; demand=35 37 22 32 41 32 43 38; cost=6 2 6 7 4 2 9 5 4 9 5 3 8 5 8 2 5 2 1 9 7 4 3 3 7 6 7 3 9 2 7 1 2 3 9 5 7 2 6 5 5 5 2 2 8 1 4 3; enddata end 然后点击工具条上的按钮即可。 为了能够使用LINGO的强大功能，接着第二节的学习吧。 灵敏性分析（Range，Ctrl+R） 用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么范围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab，在Dual Computations列表框中，选择Prices and Ranges选项。灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。 下面我们看一个简单的具体例子。 例5.1某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。生产数据如下表所示：
2 线性规划习题答案 1、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： （1） 用一组决策变量表示某一方案，这组决策变量均为非负的连续变量； （2） 存在一定数量（m ）的约束条件，这些约束条件可以用关于决策变量的一组线 性等式或者不等式来加以表示； （3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数，而该函数是一个线性函数。 2、一家餐厅24小时全天候营业，在各时间段中所需要的服务员数量分别为： 2：00~6：00 3人 6：00~10：00 9人 10：00~14：00 12人 14：00~18：00 5人 18：00~22：00 18人 22：00~ 2：00 4人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时，问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解：用决策变量1x ,2x ,3x ,4x ,5x ,6x 分别表示2：00~6：00， 6：00~10：00 ，10：00~14：00 ，14：00~18：00，18：00~22：00， 22：00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为：123456min Z x x x x x x =+++++ 16122334455612345639125184,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥ 3、现要截取2.9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7.4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 方法一 解：圆钢的截取有不同的方案，用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示： 2.9 2.1 1.5 θ 1' 1 1 1 0.9 2' 2 0 0 0.1 3' 1 2 0 0.3 4' 1 0 3 0 5' 0 1 3 0.8 6' 0 0 4 1.4 7' 0 2 2 0.2 8' 0 3 0 1.1
1、用LINGO 软件解方程组221212222359 x x x x ?+=??-=-??。 2、用LINGO 软件解方程组1211221222/64 x x x x x ??-=-??=?。 3、用LINGO 软件解线性规划问题 4、用LINGO 软件解二次规划问题 且12,x x 都是整数 5、用LINGO 软件解下列问题 （1）max 12z=x x + 12121212..26, 4520,,0, ,s t x x x x x x x x +≤+≤≥为整数 (2) min 22 12z=x -3-2x +（）（） 22121212..-50, 24, ,0s t x x x x x x +≤+≤≥。 (3) min 2212z=x ++x +（1）（1） 22122..-20,1s t x x x +≤≥。 max 23,..4310,3512,,0.z x y s t x y x y x y =++≤+≤≥22121122121212max 982770.32, ..100,2,,0,x x x x x x s t x x x x x x +---+≤≤≥
6、用LINGO软件分别产生序列 （1）{1,3,5,7,9,11}；（2）{1,4,9,16,25,36}；（3） 1111 {1,,,,} 6122030 . 7、已知向量c={1,3,0.5,7,5,2}，用LINGO软件解答下列问题。 （1）求向量c前5个数中的最大值；（2）求向量c后4个数平方中的最小值；（3）求向量c 中所有数的和。 8、某学校游泳队要从5名队员中选4名参加4乘100米混合泳接力赛。 5名队员4种泳姿的百米成绩（单位：秒） ----------------------------------------------------------------------------------- 李王张刘赵 蝶泳66.8 57.2 78 70 67.4 仰泳75.6 66 67.8 74.2 71 蛙泳87 66.4 84.6 69.6 83.8 自由泳58.6 53 59.4 57.2 62.4 ----------------------------------------------------------------------------------- 如何选拔？ （1）请建立“0----1规划”模型； （2）用Lingo求解。 9、某帆船制造公司要决定下两年八个季度的帆船生产量。八个季度的帆船需求量分别是40条、60条、75条、25条、30条、65条、50条、20条，这些需求必须按时满足，既不能提前也不能延后。该公司每季度的正常生产能力是40条帆船，每条帆船的生产费用为400美圆。如果是加班生产的，则每条生产费用为450美圆。帆船跨季度库存的费用为每条20美圆。初始库存是10条帆船。如何生产？ 10、现要将8名同学分成4个调查队（每组2人）前往4个地区进行社会调查。假设他们任意两人组成一队的工作效率为已知，见下表（由于对称性，只须列出上三角部分）： 任意两人组成一队的工作效率 学生S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8 S1 9 3 4 2 1 5 6 S2 1 7 3 5 2 1 S3 4 4 2 9 2 S4 1 5 5 2 S5 8 7 6 S6 2 3 S7 4 问如何组队可以使总效率最高？
运筹学 实验报告 姓名： 学号： 班级：
相关问题说明： 一、实验性质和教学目的 本实验是运筹学课安排的上机操作实验。 目的在于了解、熟悉计算机Lingo软件在运筹学模型求解中的作用，激发学习兴趣，提高学习效果，增强自身的动手能力，提高实际应用能力。 二、实验基本要求 要求学生： 1. 实验前认真做好理论准备，仔细阅读实验指导书； 2. 遵从教师指导，认真完成实验任务，按时按质提交实验报告。 三、主要参考资料 1．LINGO软件 2. LINGO8.0及其在环境系统优化中的应用，大学，2005 3. 优化建模与LINDO/LINGO软件，清华大学，2005 4．运筹学编写组主编，运筹学（修订版），清华大学，1990 5．蓝伯雄主编，管理数学（下）—运筹学，清华大学，1997 6．胡运权主编，运筹学习题集（修订版），清华大学，1995 7．胡运权主编，运筹学教程（第二版），清华大学，2003
实验容 1、线性规划问题： ????? ? ?≥≤+≤+≤++=0 ,13119241171289..68max 2121212121x x x x x x x x t s x x z (1) 给出原始代码；(2) 计算结果(包括灵敏度分析，求解结果粘贴)； (3) 回答下列问题(手写)： a ) 最优解及最优目标函数值是多少； b ) 资源的对偶价格各为多少，并说明对偶价格的含义； c ) 为了使目标函数值增加最多，让你选择一个约束条件，将它的常数项增加一个单位，你将选择哪一个约束条件？这时目标函数值将是多少？ d ) 对x 2的目标函数系数进行灵敏度分析； e ) 对第2个约束的约束右端项进行灵敏度分析； f ) 结合本题的结果解释“Reduced Cost ”的含义。 对偶价格就是说 约束方程右端变量增加1对目标函数值的影响 答案： （1）代码 max =8*x1+6*x2; 9*x1+8*x2<=12; 7*x1+11*x2<=24; 9*x1+11*x2<=13; x1>=0; x2>=0; （2）计算结果 Global optimal solution found. Objective value: 10.66667 Total solver iterations: 2 Variable Value Reduced Cost X1 1.333333 0.000000 X2 0.000000 1.111111 Row Slack or Surplus Dual Price 1 10.66667 1.000000 2 0.000000 0.8888889 3 14.66667 0.000000 4 1.000000 0.000000
Lingo 作业解题过程 1.某储蓄所每天的营业时间是上午9时到下午5时。根据经验，每天不同时间段所需要的服务 员数量如下表示。储蓄所可以雇佣全时和半时两类服务员。全时服务员每天报酬100元，从上午9时到下午5时工作，但中午12时到下午2时之间必须安排1h 的午餐时间。储蓄所每天可以雇佣不超过3名的半时服务员，每个半时服务员必须连续工作4h,报酬40元，问储蓄所应如何雇用全时和半时服务员。如果不能雇佣半时服务员，每天至少增加多少费用。如果雇佣半时服务员的数量没有限制，每天可以减少多少费用。 时间段/h 9~10 10~11 11~12 12~1 1~2 2~3 3~4 4~5 服务员数 4 3 4 6 5 6 8 8 解：（1）设1x 为雇佣的全职人数，2x 为12-1小时休息的人数，1y -5y 分别为1-5时段开始雇佣的半时人员的人数。表1为各时间段的工作人数。每个时间段的工作人数要满足题目中的要求。 表1 各时间段在工作的服务员 时间段/h 服务员 9-10 11x y + 10-11 112x y y ++ 11-12 3 11 i i x y =+? 12-1 4 121 i i x y x =+ -? 1-2 5 22 i i x y =+ ? 2-3 5 13 i i x y =+? 3-4 5 14 i i x y =+ ? 4-5 15x y + 根据每个时段满足的要求，建立模型如下：
()5 1 23 1111 1 1 4 5 5 122 11 2 3 5 1154 5 1 min 100*x 140 : (1)x y 4; (2) x 3; (3) x 4 ; (4)x x 6;(5)x 5;(6)x 6 (7)x 8;(8)x 8 3 i i i i i i i i i i y st y y y y y y y y =========++>+ >+ >-+>+ >+ >+ >+>4; !第一阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(1)+y(2)>3; !第二阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(1)+y(2)+y(3)>4; !第三阶段要满足的服务员人数; x(1)-x(2)+y(1)+y(2)+y(3)+y(4)>6; !第四阶段要满足的服务员人数; x(2)+y(2)+y(3)+y(4)+y(5)>5; !第五阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(3)+y(4)+y(5)>6; !第六阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(4)+y(5)>8; !第七阶段要满足的服务员人数; x(1)+y(5)>8; !第八阶段要满足的服务员人数; 程序运行的结果为最少花费820元，雇佣全时员工7人，半时员工3人，半时员工分别在第二时段雇佣2人，第五时段雇佣1人，12-1时去吃饭的全是员工为2人，剩下5人在1-2时吃饭。 （2）第二问直接可以看出答案，编程也可以。 min =100*x1; x1-x2>6; x2>5; 运行程序得出答案1100元，与第一问的820元，要增加费用280元。 （3）第三问直接将第一问的程序中@sum (banshi:y)<3; 删除（即对雇佣的半时服务员的个数没有限制），可得出结果本题的结果。 最少花费560元，第一时段雇佣半时员工6人，第五时段雇佣半时人员8人，就可以满足每个时段所需要的员工要求。节省费用820-560=260元。 2．某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期
数学规划模型及lingo 求解练习： 1.考虑下述不平衡指派问题。现有7个人指派给他们5项任务，效率矩阵如下表。约定：①一个任务只能被一个人完成；②一个人在某时刻只能做一项任务；③所 （1） lingo 代码求解， 给出最优指派以及最优值； 1. 模型的建立： 设：题干中有i 个人共要完成j 件事情，可建立以下模型： i=1,2,3…..m j=1,2,3…..n =0或1 xij=1:指派第i 人做第j 事 xij=0: 不指派第i 人做第j 事 （ cij ）称为系数矩阵。 2. 详细代码： Model: SETS: Chandi/1..7/:cl; Xiaodi/1..5/:xl; ChanXiao(Chandi,Xiaodi):c,x; ENDSETS DATA: c=2 15 13 1 8 10 4 14 15 7 9 14 16 13 8 7 8 11 9 4 8 4 15 8 6 12 4 6 8 13 5 16 8 5 10; m n ij ij i=1j=1 min =c x Z ?∑∑1 1 n ij j x ==∑1 1 m ij i x ==∑ij x
[obj] min=@sum(ChanXiao:c*x); @for(Chandi(i):@sum(Xiaodi(j):x(i,j))<1); @for(Xiaodi(j):@sum(Chandi(i):x(i,j))=1); @for(Chandi(i):@sum(Xiaodi(j):c(i,j)*x(i,j)) lingo软件使用教程 一般来说，一个优化模型将由以下三部分组成： 1. 目标函数（Objective Function）：要达到的目标。 2. 决策变量（Decision variables）：每组决策变量的值代表一种方案。在优化模型中需要确定决策变量的最优值，优化的目标就是找到决策变量的最优值使得目标函数取得最优。 3. 约束条件（Constraints）：对于决策变量的一些约束，它限定决策变量可以取的值。 在写数学模型时，一般第一行是目标函数，接下来是约束条件，再接着是一些非负限制等。在模型窗口输入如下代码: Max = 2*x1+3*x2; X1+2*x2<=8; 4*x1<16; 4*x2<12; 注意：1.每一个lingo表达式最后要跟一个分号; 2.多数电脑中没有符号，lingo中<=代替；为了方便可以用<代替小于等于，用>代替大于等于。 3.我们可以添加一些注释，增加程序的可读性。注释以一个！（叹号必须在英文状态下输入，它会自动变为绿色）开始，以；（分号）结束。 4．Lingo中不区分变量名的大小写。变量名必须以字母（A-Z）开头，后面的字符可以是字母、数字、下划线。变量名不能超过32个字符。 Lingo程序的一些规则： 1. 在Lingo中最开始都是“MAX=”或者“MIN=”开始表示求目标函数的最大或者最小值。 2. 变量和它前面的系数之间要用“*”连接，中间可以有空格。 3. 变量名不区分大小写，但必须以字母开始，不超过32个字符。 4. 数学表达式结束时要用分号“；”表示结束。表达式可以写在多行上，但是表达式中间不能用分号。 5. 在电脑系统中一般没有“小于等于”符号，在Lingo采用“<=”来表示“小于等于”，用“>=”表示“大于等于”。小于等于也可以用更简单的“<”表示，大于等于用“>”表示。 集合段： 在我们已经得到的程序里有一些量没有定义，如WAREHOUSES( I)，DEMAND( J)， LINKS( I, J)。这些量将在Lingo中的集合段定义。 集合段以SETS:表示开始，以ENDSETS表示结束。 如果一个集合的元素都已经定义过，就可以用一些循环函数（如@for）. 注：1. 集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。Lingo中没有数组的概念，只有定义在集合上的属性的概念。 2 集合的定义语法： set_name[/set_member/:][attribute_list]; 集合的名称在左边，右边是这个集合上的属性，他们之间用冒号“：”分割开，最后由分号表示结束。如果在同一个集合上有多个属性时，不同的属性之间用逗号“，”隔开，如本例的cost和volume属性。如果要特别列出集合的元素时，在集合的名称后把元素写在两条斜线之间，如本例中的仓库可以写为 WAREHOUSES/WH1, WH2, WH3, WH4, WH5, WH6/: CAPACITY; ２ 线性规划习题答案 １、试述线性规划数学模型的组成部分及其特性 答：线性规划数学模型由决策变量、约束条件和目标函数三个部分组成。 线性规划数学模型特征： （1） 用一组决策变量表示某一方案,这组决策变量均为非负的连续变量; （2） 存在一定数量（ｍ）的约束条件,这些约束条件可以用关于决策变量的一组线性 等式或者不等式来加以表示； （3） 有一个可以用决策变量加以表示的目标函数,而该函数是一个线性函数。 ２、一家餐厅２4小时全天候营业,在各时间段中所需要的服务员数量分别为: 2:00~6:０0 ３人 6：0０~１０:00 9人 1０：00~１4:00 １2人 14：00～18:００ 5人 1８：０0~22：00 １８人 22:00~ 2:00 4人 设服务员在各时间段的开始时点上上班并连续工作八小时,问该餐厅至少配备多少服务员，才能满足各个时间段对人员的需要。试构造此问题的数学模型。 解:用决策变量1x ,2x ,3x ，4x ,5x ,6x 分别表示2:００~６:００， ６:00~10:0０ ，1０：00~14:00 ,1４:00~18:00,18:０0～２2：０0, 22:00~ 2：00 时间段的服务员人数。 其数学模型可以表述为:123456min Z x x x x x x =+++++ 16122334455612345639125184,,,,,0 x x x x x x x x x x x x x x x x x x +>=+>=+>=+>=+>=+>=≥ 3、现要截取２．9米、2.1米和1.5米的元钢各100根，已知原材料的长度是7．4米，问应如何下料，才能使所消耗的原材料最省。试构造此问题的数学模型。 方法一 解：圆钢的截取有不同的方案,用θ表示每种切割方案的剩余材料。其切割方案如下所示: 2．9??2.１ ?１.5? θ 1'? １? １??1? 0．９ 2'? 2 ０??0 ０.1 ３＇ 1 ?2??0 ?0.3 ４'? 1 0 ?3 ?0 5＇??0 ?１? 3 ０．8 6'? ０??０? 4 ?1.４ ７'? 0??2??2 0.2 8' ?0??3 ?0??1.1 LINGO的使用简介 LINGO软件是美国的LINGO系统公司开发的一套专门用于求解最优化问题的软件包．LINGO除了能够用于求解线性规划和二次规划外，还可以用于非线性规划求解、以及一些线性和非线性方程(组)的求解等．LINGO软件的最大特色在于它允许优化模型中的决策变量为整数，即可以求解整数规划，而且执行速度快．LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具．LINGO置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果．在这里仅简单介绍LINGO的使用方法． LINGO(Linear INteractive and General Optimizer )的基本含义是交互式的线性和通过优化求解器．它是美国芝加哥大学的 Linus Schrage 教授于1980年开发了一套用于求解最优化问题的工具包，后来经过完善成何扩充，并成立了LINDO系统公司．这套软件主要产品有：LINDO，LINGO，LINDO API和What’sBest．它们在求解最优化问题上，与同类软件相比有着绝对的优势．软件有演示版和正式版．正式版包括：求解包(solver suite)、高级版(super)、超级版(hyper)、工业版(industrial)、扩展版(extended)．不同版本的LINGO对求解问题的规模有限制，如附表３-1所示． 附表３-1 不同版本LINGO对求解规模的限制 版本类型总变量数整数变量数非线性变量数约束数 演示版 300 30 30 150 求解包 500 50 50 250 高级版 2000 200 200 1000 超级版 8000 800 800 4000 工业版 32000 3200 32000 16000 扩展版无限无限无限无限 3.1 LINGO程序框架 LINGO可以求解线性规划、二次规划、非线性规划、整数规划、图论及网络最优化问题和最大最小求解问题，以及排队论模型中最优化等问题． 一个LINGO程序一般会包括以下几个部分： (1) 集合段：集部分是LINGO模型的一个可选部分．在LINGO模型中使用集之前，必须在集部分事先定义．集部分以关键字“sets:”开始，以“endsets”结束．一个模型可以没有集部分，或有一个简单的集部分，或有多个集部分．一个集部分可以放置于模型的任何地方，但是一个集及其属性在模型约束中被引用之前必须先定义． (2) 数据段：在处理模型的数据时，需要为集部分定义的某些元素在LINGO求解模型之前为其指定 1、某工厂要做100套钢架，每套钢架用长为2.9m,2.1m,1.5m,2.0m的圆钢各一根。已知原料每根长为7.4m，问：应该如何下料，可使所用原料最省 2、某工厂生产 A 和 B 两种产品，按计划每天生产 A、B 各不得少于 10 吨，已知生产 A 产品一吨需用煤 9 吨、电 4 度、劳动力 3 个（按工作日计算）；生产 B 产品一吨需用煤 4 吨、电 5 度、劳动力 10 个.如果 A 产品每吨价值 7 万元，B 产品每吨价值 12 万元，而且每天用煤不超过 300 吨，用电不超过 200 度，劳动力最多只有 300 个. 1）每天应安排生产 A、B 两种产品各多少，才能既保证完成生产计划，又能为国家创造最多的产值？ 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 3.甲、乙两地生产某种产品，它们可调出的数量分别为 300t 和 750t，A、B、C 三地需要该种产品的数量分别为 200t、450t 和 400t，甲地运往 A、B、C 三地的运费分别是 6 元/吨、3 元/吨、5 元/吨，乙地运往 A、B、C 三地的运费分别是 5 远/吨、9 元/吨、6 元/吨，问怎样的调运方案才能使总运费最省？ 4、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 5、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 6、 2）请计算不等式右端资源影子价格，并计算保持影子价格不变的自变量的变化范围。 3）保持最优解不变的目标函数系数变化范围 7、某排球国家队需要准备从以下队员中选拔4名队员为正式队员，每个位置一名，并使平均身高尽可能高，这8名预备队员情况如下表所示 预备队员号码身高 cm位置 小甲1193主攻 小乙2191主攻 小丙3187副攻 LINGO教程 LINGO是用来求解线性和非线性优化问题的简易工具。LINGO内置了一种建立最优化模型的语言，可以简便地表达大规模问题，利用LINGO高效的求解器可快速求解并分析结果。 §1 LINGO快速入门 ●安装：实验室的所有电脑都已经事先安装好了Lingo 8（或者9， 10， 11）。 如果要在自己的电脑上安装这个软件，建议从网上下载一个破解版的，按照提示一步一步地安装完毕。 ●简单例子：当你在windows系统下开始运行LINGO时，会得到类似于下面的 一个窗口： 外层是主框架窗口，包含了所有菜单命令和工具条，其它所有的窗口将被包含在主窗口之下。在主窗口内的标题为LINGO Model –LINGO1的窗口是LINGO的默认模型窗口，建立的模型都要在该窗口内编码实现。下面举两个例子。 例 1某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗，如表所示。 该工厂每生产一件产品I可获利2元，每生产一件产品II可获利3元，问应该如何安排生产计划使该厂获利最多？ 我们用下面的数学模型来描述这个问题。 设x_1、x_2分别表示在计划期内产品I、II的产量。因为设备的有效台时是8，这是一个限制产量的条件，所以在确定产品I、II的产量时，要考虑不超过设备的有效台时数，即可用不等式表示为 x_1 + 2x_2 <=8 同理，因原材料A、B的限量，可以得到以下不等式 4x_1 <=16 4x_2 <=12 该工厂的目标是在不超过所有资源限量的条件下，如何确定产量x_1、x_2以得到最大的利润。若用z表示利润，这时z=2x_1+3x_2.综合上述，该计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 max z=2x_1+3x_2 约束条件 x_1 + 2x_2 <=8 4x_1 <=16 4x_2 <=12 x_1、x_2 >=0 一般来说，一个优化模型将由以下三部分组成： 1.目标函数（Objective Function）：要达到的目标。 2.决策变量（Decision variables）：每组决策变量的值代表一种方案。在优化模 型中需要确定决策变量的最优值，优化的目标就是找到决策变量的最优值使得目标函数取得最优。 3.约束条件（Constraints）：对于决策变量的一些约束，它限定决策变量可以取 的值。 在写数学模型时，一般第一行是目标函数，接下来是约束条件，再接着是一些非负限制等。 在模型窗口输入如下代码: Max = 2*x1+3*x2; ！This is a linear program. X1+2*x2<=8;lingo软件使用教程
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