导数的应用
一、单选题
1、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）函数43()2f x x x =-的图像在点(1
(1))f ，处的切线方程为（ ） A ．21y x =-- B ．21y x =-+ C ．23y x =- D ．21y x =+
【答案】B 【解析】
()432f x x x =-，()3246f x x x '∴=-，()11f ∴=-，()12f '=-，
因此，所求切线的方程为()121y x +=--，即21y x =-+. 故选：B ．
2、若函数在处的切线方程为，则，的值为（ ） A ．2,1 B ．-2，-1 C ．3,1 D ．-3，-1
【答案】C
【解析】将代入切线， 得到切点坐标为，
将代入到函数解析式中，得到， 所以， 求导得， 代入得， 所以，得. 故选：C.
3、直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，如果直线l 与曲线2y x 相切，那么b 等于（ ） A ．14
-
B ．12
-
C ．
14
D ．
12
【答案】A
【解析】直线l 经过点(0,)A b ，且与直线y x =平行，则直线方程为：y x b =+
2ln y ax b x =-1x =52y x =-a b 1x =52y x =-()1,3()1,33=a 2
3ln y x b x =-6b
y x x
'=-
1x =6k b =-65b -=1b =
直线l 与曲线2y x 相切，1'212
y x x
，切点为11
(,)24 代入直线方程
解得：1
4
b =- 故选：A
4、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）函数ln ()x
f x x
=
的图象大致为（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】当()0,1x ∈时，ln ()0x
f x x =<，当()1,0x ∈-时，()ln ()0x f x x
-=>，选项B,C 都不满足这两个条件.
又当()1,x ∈+∞时，ln ()x
f x x
=
，则()2
1ln 'x f x x -=，当()1,x e ∈时()f x 单调递增，当(),x e ∈+∞时()f x 单调递减，则选项D 不符合这个条件，因此A 正确.
故选：A
5、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知曲线e ln x
y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则（ ）
A ．e 1a b ==-，
B ．a=e ，b =1
C ．1e 1a b -==，
D ．1e a -=，1b =-
【答案】D
【解析】∵e ln 1,x
y a x '=++
∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=，
将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ．
6、（2018年高考全国Ⅰ卷理数）设函数32
()(1)f x x a x ax =+-+.若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点
(0,0)处的切线方程为（ ）
A ．2y x =-
B ．y x =-
C ．2y x =
D ．y x =
【答案】D
【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以a ?1=0，解得a =1，所以f(x)=x 3+x ，f′(x)=3x 2+1， 所以f′(0)=1,f(0)=0，
所以曲线y =f(x)在点(0,0)处的切线方程为y ?f(0)=f′(0)x ，化简可得y =x . 故选D.
7、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知在区间上有极值点，实数a 的取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】C 【解析】
,由于函数在上有极值点， 所以在上有零点.
所以，解得.
故选：D.
8、若函数在上单调递减，则的最小值是（ ） A ． B ．-1
C ．
D ．
【答案】A 【解析】由，又在上单调递减，则在上恒成立，即
在()2
1ln 2
f x x a x =-()0,2()0,2()
()2,00,2-()0,4()()4,00,4-2()a x a
f x x x x
-'=-=
()f x (0,2)()f x '
(0,2)0
2
a >??<(0,4)a ∈()ln f x x kx =-()1, +∞k 122-()1f x k x '=
-()f x ()1,+∞()0f x '()1, +∞1
k x
上恒成立.又当时，，故，所以的最小值为.
故答案选A
9、（2020年高考全国III 卷理数）若直线l 与曲线y
x 2+y 2=1
5
都相切，则l 的方程为（ ） A ．y =2x +1 B ．y =2x +
12
C ．y =
1
2
x +1
D ．y =12x +12
【答案】D
【解析】设直线l
在曲线y =
(0x ，则00x >，
函数y =
y '=
，则直线l
的斜率k =
， 设直线l
的方程为)0y x x =
-
，即00x x -+=， 由于直线l 与圆2
2
15
x y +=
= 两边平方并整理得2
005410x x --=，解得01x =，01
5
x =-
（舍）， 则直线l 的方程为210x y -+=，即1122
y x =+. 故选：D ．
10、（2020届浙江省温丽联盟高三第一次联考）若函数的极大值是，极小值是
，则（ ）
A ．与有关，且与有关
B ．与有关，且与无关
C ．与无关，且与无关
D ．与无关，且与有关
【答案】C
【解析】∵，∴， 令，得，或， 当变化时，
、的变化如下表：
()1, +∞()1,x ∈+∞1
01x
<
<1k k 13
()()3f x x a x b =--+M m M m -a b a b a b a b 3
()()3f x x a x b =--+2
()3()3f'x x a =--2
()3()30f'x x a =--=1x a =-1x a =+x '()f x ()f x
∴，
，∴，
故选：C．
11、（2019年高考江苏）在平面直角坐标系xOy中，P
是曲线
4
(0)
y x x
x
=+>上的一个动点，则点P到直线0
x y
+=的距离的最小值是.
【答案】4
【解析】由
4
(0)
y
x x
x
=+>，得
2
4
1
y
x
'=-，
设斜率为1
-的直线与曲线
4
(0)
y x x
x
=+>切于00
4
(,)
x x
x
+，
由2
4
11
x
-=-得
x=
x=，
∴曲线
4
(0)
y x x
x
=+>上，点P到直线0
x y
+=4
=.
故答案为4．
12、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知、、、，从这四个数中任取一个数，使函数有极值点的概率为（）
A．B．C．D．1
【答案】B
【解析】f′（x）＝x2+2mx+1，
若函数f（x）有极值点，则f′（x）有2个不相等的实数根，
()
(1)13123
f a a b
M a b
-=---+=-+
=
()
(1)13123
m f a a b a b
=+=-++=--+
4
M m
-=
0.5
log5
a=
3
log2
b=0.3
2
c=
2
1
2
d
??
= ?
??
m()32
1
2
3
x mx x
f x=+++
1
4
1
2
3
4
故△＝4m 2﹣4＞0，解得：m ＞1或m ＜﹣1，
而a ＝log 0.55＜﹣2，0＜b ＝log 32＜1、c ＝20.3＞1，0＜d ＝（）2
＜1， 满足条件的有2个，分别是a ，c ，故满足条件的概率p ，
故选：B ．
13、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当
时，有成立，则关于x 的不等式的解集为（ ） A ． B ． C ．
D ．
【答案】B 【解析】 根据题意设，则，又当时，
，则有，所以在上单调递减，又在上是
偶函数，所以，所以是偶函数，所以
，又为偶函数，且
在上为减函数，且定义域为，则有，解得 或
，即不等式的解集为， 故选：B.
1221
42
==()f x ,22ππ??- ???
()f x '
02
x π
<<
()cos ()sin 0f x x f x x '+
<()cos 4f x x π??
<
? ???
,42ππ??
???
,,2442ππππ????
-
-? ? ?????
,00,44ππ????-? ? ?????
,0,442πππ????-? ? ?????
()()cos f x g x x =
2()cos ()sin ()cos f x x f x x g x x
'+'=02x π
<<()cos ()sin 0f x x f x x '+<()0g x '<()g x 0,2π?? ???
()f x ,22ππ??
- ???()()
()()cos()cos f x f x g x g x x x
--=
==-()g
x ()()4()cos 4cos 4cos cos 4
f f x f x f x x x x ππππ?? ?
??????<→
2π??
??
?,22ππ??
- ???||4
x π>2
4
x π
π
-
<<-
4
2
x π
π
<<
,,2442ππππ????
-
-? ? ??
???
14、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）当直线和曲线E ：
交于三点时，曲线E 在点A ，点C 处的切线总是平行的，则过点可作曲线E 的切线的条数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【答案】C
【解析】直线过定点 由题意可知：定点是曲线的对称中心， ，解得，所以曲线， f′（x ）= ，设切点M （x 0，y 0）， 则M 纵坐标y 0=
，又f′（x 0）=， ∴切线的方程为：
又直线过定点
，
得﹣-2=0，
，
即
解得： 故可做两条切线 故选C
10()kx y k k --+=∈R 325
(0)3
y ax bx ab =++≠112233()()()A x y B x y C x y ，，
，，，123()x x x <<()b a ，()10kx y k k R --+=∈()1,1()1,1()3
2
5
:03
E y ax bx b =++
≠513
13a b b a ?
++=???
?-=??
131a b ?=???=-?3215:33E y x x =-+()1,13b a ??=- ???，22x x -320015
33
x x -+2002x x -()()3220000
15y 23
3x x x x x x ??--+=-- ???113?
?- ???
，()()3220000
11521333x x x x x ??
∴--+=--- ???
3
0x 03x ()
()3
00210x
x x --+=()()
2
000120x x x +--=021x =-或
二、多选题
15、已知函数()f x 的定义域为R 且导函数为()f x '，如图是函数()y xf x '=的图象，则下列说法正确的是()
A ．函数()f x 的增区间是(2,0)-，(2,)+∞
B ．函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞
C ．2x =-是函数的极小值点
D ．2x =是函数的极小值点 【答案】BD
【解析】：根据题意，由函数()y xf x ='的图象可知： 当2x <-时，()0xf x '<，()0f x '>，此时()f x 为增函数， 当20x -<<时，()0xf x '>，()0f x '<，此时()f x 为减函数， 当02x <<时，()0xf x '<，()0f x '<，此时()f x 为减函数， 当2x >时，()0xf x '>，()0f x '>，此时()f x 为增函数；
据此分析选项：函数()f x 的增区间是(,2)-∞-，(2,)+∞，则B 正确，A 错误； 2x =-是函数的极大值点，2x =是函数的极小值点，则D 正确，C 错误；
故选：BD ．
16、已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为()f x '，下列命题中真命题的为( ) A ．()f x 的单调减区间是2
(,2)3
B ．()f x 的极小值是15-
C ．当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()f x f >（a ）f +'（a ）()x a -
D ．函数()f x 有且只有一个零点 【答案】BCD
【解析】：32()247f x x x x =---，其导函数为2()344f x x x '=--．
令()0f x '=，解得2
3
x =-，2x =，
当()0f x '>时，即2
3x <-，或2x >时，函数单调递增，
当()0f x '<时，即2
23
x -<<时，函数单调递减；
故当2x =时，函数有极小值，极小值为f （2）15=-，当23x =-时，函数有极大值，极大值为2
()03
f -<，
故函数只有一个零点，
A 错误，BD 正确；2a >，2x >且x a ≠，
()f x f ∴-（a ）f -'（a ）()x a -
323222424(344)()x x x a a a a a x a =---++---- 33222222340x a x a a x ax =+---+>，
∴恒有()f x f >（a ）f +'（a ）()x a -，
故C 正确； 故选：BCD ．
17、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数，是函数的极值点，以下几
个结论中正确的是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】AC
【解析】函数,,
∵是函数的极值点，∴，即，
,
,
,即A 选项正确,B 选项不正确;
,即C 正确,D 不正确.
故答案为:AC.
18、（2019秋?烟台期中）已知函数()f x xlnx =，若120x x <<，则下列结论正确的是( )
2
()ln f x x x x =+0x ()f x 010x e
<<01x e
>
00()20f x x +<00()20f x x +>2
()l (),n 0f x x x x x =+>()ln 12f x x x '
∴=++0x ()f x ()'
00f x =00ln 120x x ∴++=12
0f e e
'??∴=> ???0,()x f x '→→-∞01
0x e
∴<<()()()2
000000000002ln 2l 21n 0f x x x x x x x x x x x +=++==-+++<
A ．2112()()x f x x f x <
B ．1122()()x f x x f x +<+
C ．
1212
()()
0f x f x x x -<-
D ．当1lnx >-时，112221()()2()x f x x f x x f x +> 【答案】AD 【解析】：A ．正确； 因为令()
()f x g x lnx x
=
=，在(0,)+∞上是增函数， ∴当120x x << 时，12()()g x g x <，∴1212
()()
f x f x x x <
即2112()()x f x x f x <． B ．错误；
因为令()()g x f x x xlnx x =+=+()2g x lnx ∴'=+，
2(x e -∴∈，)+∞时，()0g x '>，()g x 单调递增， 2(0,)x e -∈时，()0g x '<，()g x 单调递减． 11()x f x ∴+与22()x f x +无法比较大小．
C ．错误；因为令()()g x f x x xlnx x =-=-，
()g x lnx '=，(0,1)x ∴∈时，()0g x '<，()g x 在(0,1)单调递减， (1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞单调递增，
∴当1201x x <<<时，12()()g x g x >，
1122()()f x x f x x ∴->-，1212()()f x f x x x ∴->-，∴
1212
()()
0f x f x x x -<-．
当121x x << 时，12()()g x g x <1122()()f x x f x x ∴-<-， 1212()()f x f x x x ∴-<-，∴
1212
()()
0f x f x x x ->-．
D ．正确；
因为1lnx >-时，()f x 单调递增，又
A 正确，
1122211122211212()()2()[()()][()()]()[()()]0x f x x f x x f x x f x f x x f x f x x x f x f x ∴+->-+-=-->故选：AD ． 三、填空题
19、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）已知a R ∈，设函数()ln f x ax x =-的图象在点（1，(1)f ）处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________ .
【答案】1
【解析】函数f (x )=ax ?ln x ,可得()1
'f x a x
=-
,切线的斜率为：()'11k f a ==-， 切点坐标(1,a ),切线方程l 为：y ?a =(a ?1)(x ?1)， l 在y 轴上的截距为：a +(a ?1)(?1)=1. 故答案为1.
20、（江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研）若曲线(1)x
y ax e =+在(0,1)处的
切线斜率为-1，则a =___________. 【答案】2-
【解析】,((1)1)x
x
y y ax e ax a e '=+=++，
011,2x y a a ='=+=-∴=-.
故答案为:-2.
21、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）设点P 在函数()1e 2
x
f x =的图象上，点Q 在函数()()ln 2
g x x =的图象上，则线段PQ 长度的最小值为_________
)1ln 2- 【解析】由题,因为()1e 2
x
f x =
与()()ln 2g x x =互为反函数,则图象关于y x =对称, 设点P 为(),x y ,则到直线y x =
的距离为d =
, 设()12x
h x e x =
-, 则()112
x
h x e '=-,令0g x
,即ln 2x =,
所以当(),ln 2x ∈-∞时,()0h x '<,即()h x 单调递减；当()ln 2,x ∈+∞时,()0h x '>,即()h x 单调递增, 所以()()min ln 21ln 2h x h ==-,
则min d = 所以PQ
的最小值为)min 21ln 2d =-,
故答案为
)1ln 2-
22、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测）函数2
()3f x x x k =--有两个零点，则k 的取值范围是_______. 【答案】()90,4??
-+∞??
??
【解析】令22
23,0
()33,0
x x x g x x x x x x ?-≥=-=?+
因为函数2
()3f x x x k =--有两个零点， 所以2
()3=-g x x
x 的图像与直线y k =有两个交点，
作出函数2
()3=-g x x x 的图像如下：
因为min 39()24??
=±=- ?
??
g x g ， 由图像可得：
min 9
()4
==-
k g x 或0k >. 故答案为()90,4??-+∞??
??
23、（2020届浙江省十校联盟高三下学期开学）已知函数()()3
2
30,f x x x ax a a R =-+<∈，若函数()f x 有三个互不相同的零点0，1t ，2t ，其中12t t <，若对任意的[]12,x t t ∈，都有()14f x a ≤+成立，则实数
a 的最小值为______.
【答案】9-
【解析】因为322()3(3)f x x x ax x x x a =-+=-+， 由题意可知：1t ，2t 是230x x a -+=的根， 则123t t +=，120t t a =<，△940a =->，
0a ∴<，120t t <<，
当120t t <<时，2
6()3f x x x a =-'+， 则存在()f x 的极大值点11(x t ∈，0)， 且21136a x x -=-，
由题意，321111()()314max f x f x x x ax a ==-++， 将21136a x x -=-代入得31(3)8x --， 解可得110x -<． 又因为21136a x x -=-，
结合二次函数的性质可知，09a <-， 得90a -<即a 的最小值9-． 故答案为：9-. 四、解答题
24、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．
【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即. （2）因为，
因为函数处有极小值，所以， 所以 由，得或， 当或时，， ()3
2
112
f x x x ax =-
++2a =()y f x =()()
0,0f ()1f x x =在()f x 32,2
??-???
?
2a =3
2
1()212
f x x x x =-
++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()
0,0f 12y x -=210x y -+=2
()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=?=-2
()32f x x x '=--()0f x '=2
3
x =-1x =2
3
x <-
1x >()0f x '>
当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 25、（2019·夏津第一中学高三月考）已知函数． 当时，讨论的单调性； 【解析】函数的定义域为.
， 因为，所以， ①当，即时，
由得或，由得， 所以在，上是增函数， 在上是减函数； ②当，即时，所以在上是增函数；
③当，即时，由得或，由得，所以在，.上是增函数，在.上是减函 综上可知：
当时在，上是单调递增，在上是单调递减； 当时，在.上是单调递增；
26、（2020年高考天津）已知函数3
()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数．
（Ⅰ）当6k =时，
2
13
x -
<<()0f x '<()f x 22,3??--
??
?31,2?? ???2,13??
- ???
249327f ??-
= ???3124
f ??= ???()f x 249
327f ??-
=
???
()()11ln f x x m x m R x x ??
=+-+∈ ???
1m ()f x ()f x (0,)+∞'
21()1m m f x x x -=+-222
1(1)[(1)]
x mx m x x m x x -+----==
1m 10m ->011m <-<12m <<()0f x '>1x >1x m <-()0f x '<11m x -<<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -11m -=2m =()0f x '≥()f x ()0,∞+11m ->2m >()0f x '>1x m >-1x <()0f x '<11x m <<-()f x ()0,1()1,m -+∞()1,1m -12m <<()f x ()0,1m -()1,+∞()1,1m -2m =()f x ()0,∞+
（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9
()()()g x f x f x x
'=-+
的单调区间和极值； （Ⅰ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有
()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->
-． 【解析】（Ⅰ）（i ）当6k =时，3
()6ln f x x x =+，故2
6
()3f x x x
'=+
．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-． （ii ）依题意，3
2
3()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++
∈+∞．从而可得2263
()36g x x x x x
'=-+-，整理可得32
3(1)(1)
()x x g x x
-+'=．令()0g x '=，解得1x =． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：
所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．
（Ⅰ）证明：由3
()ln f x x k x =+，得2
()3k f x x x
'=+
． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令
1
2
(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--
()2233
1121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ????=-+++--+ ? ?????
3322
121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ??=--++-- ???
()3
32213312ln x t t t k t t t ??=-+-+-- ???
． ①
令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，2
2121()110h x x x x ??
'=+-=-> ???
，由此可得()h x 在
[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即1
2ln 0t
t t -->．
因为21x ≥，323
331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，
所以，(
)
3
32
32
2113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t
t
????-+-+-->-+---- ? ??
?
?
?
233
6ln 31t t t t
-=++-． ②
由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即3
2
3
36ln 1t t t t
-++>， 故2
3
3
36ln 10t t t t
-++
->． ③ 由①②③可得()()()()()()()
12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的
12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有
()()()()
121212
2f x f x f x f x x x ''+->
-． 27、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）设函数3()f x x bx c =++，曲线()y f x =在点(12，f (1
2
))处的切线与y 轴垂直．（1）求b ．
（2）若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，证明：()f x 所有零点的绝对值都不大于1． 【解析】（1）2()3f x x b '=+． 依题意得1()02f '=，即3
04b +=.
故3
4
b =-．
（2）由（1）知3
(3)4f x x x c -
=+，2()334
f x x '=-. 令)0(f x '=，解得12x =-或1
2
x =.
()f x '与()f x 的情况为：
因为11(1)()24f f c =-=+，所以当1
4c <-时，()f x 只有大于1的零点.
因为11(1)()24f f c -==-，所以当1
4c >时，f （x ）只有小于–1的零点．
由题设可知11
44
c -≤≤，
当1=4
c -
时，()f x 只有两个零点1
2-和1.
当1=4c 时，()f x 只有两个零点–1和1
2
.
当1144c -<<时，()f x 有三个等点x 1，x 2，x 3，且11(1,)2x ∈--，211(,)22x ∈-，31
(,1)2
x ∈．
综上，若()f x 有一个绝对值不大于1的零点，则()f x 所有零点的绝对值都不大于1.
28、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）已知函数2()e x f x ax x =+-.
（1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性； （2）当x ≥0时，f （x ）≥
12
x 3
+1，求a 的取值范围. 【解析】（1）当a =1时，f （x ）=e x +x 2–x ，则()f x '=e x +2x –1．
故当x ∈（–∞，0）时，()f x '<0；当x ∈（0，+∞）时，()f x '>0．所以f （x ）在（–∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增． （2）31()12f x x ≥
+等价于321
(1)e 12
x x ax x --++≤. 设函数321()(1)e (0)2x
g x x ax x x -=-++≥，则
32213
()(121)e 22x g x x ax x x ax -'=--++-+-
21
[(23)42]e 2x x x a x a -=--+++
1
(21)(2)e 2
x x x a x -=----.
（i ）若2a +1≤0，即1
2
a ≤-，则当x ∈（0，2）时，()g x '>0.所以g （x ）在（0，2）单调递增，而g （0）=1，
故当x ∈（0，2）时，g （x ）>1，不合题意.
（ii ）若0<2a +1<2，即11
22
a -<<，则当x ∈(0，2a +1)∪(2，+∞)时，g'(x )<0；当x ∈(2a +1，2)时，g'(x )>0.所
以g (x )在(0，2a +1)，(2，+∞)单调递减，在(2a +1，2)单调递增.由于g (0)=1，所以g (x )≤1当且仅当g (2)=(7?4a )e ?2≤1，
即a ≥2
7e 4
-.
所以当27e 1
42
a -≤<时，g (x )≤1. （iii ）若2a +1≥2，即12
a ≥
，则g (x )≤31(1)e 2x
x x -++.
由于27e 1
0[
,)42
-∈，故由（ii ）可得31(1)e 2x x x -++≤1. 故当1
2
a ≥
时，g (x )≤1. 综上，a 的取值范围是2
7e [,)4
-+∞. 29、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知2
()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.
（1）求()f x 的单调区间；
（2）当2k =时，求证：对于1x ?>-，()()f x g x <恒成立；
（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围. 【解析】（1）()()2
'212
f x x x =
-++ (
)2231
(2)2
x x x x -++=
>-+，
当()'0f x <时，2310++>x x .
解得32
x -+>
．
当()'0f x >时，解得2x -<<
．
所以()f x 单调减区间为32,
2?-+- ??
，
单调增区间为3,2??
-+∞ ? ???
． （2）设()()()h x f x g x =-
()()()2
2ln 211(1)x x k x x =+-+-+>-，
当2k =时，由题意，当()1,x ∈-+∞时，
()0h x <恒成立． ()()223122
'x x x h x -++=
-+()()
2312
x x x -++=
+， ∴当1x >-时，()'0h x <恒成立，()h x 单调递减． 又()10h -=，
∴当()1,x ∈-+∞时，()()10h x h <-=恒成立，即()()0f x g x -<． ∴对于1x ?>-，()()f x g x <恒成立．
（3）因为()()223'12
x x k x h x -++=
-+()22622
2
x k x k x ++++=-
+． 由（2）知，当2k =时，()()f x g x <恒成立， 即对于1x ?>-，()()()2
2ln 2121x x x +-+<+， 不存在满足条件的0x ；
当2k >时，对于1x ?>-，10x +>， 此时()()211x k x +<+．
∴()()()()2
2ln 21211x x x k x +-+<+<+， 即()()f x g x <恒成立，不存在满足条件的0x ； 当2k <时，令()()()22622t x x k x k =--+-+，
可知()t x 与()'h x 符号相同，
当()0,x x ∈+∞时，()0t x <，()'0h x <，
()h x 单调递减．
∴当()01,x x ∈-时，()()10h x h >-=， 即()()0f x g x ->恒成立． 综上，k 的取值范围为(),2-∞．
30、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设函数，.
（1）若，，求函数的单调区间； （2）若曲线在点处的切线与直线平行.
①求，的值；
②求实数的取值范围，使得对恒成立.
【解析】
（1）当，时，， 则.当时，； 当时，； 所以的单调增区间为
，单调减区间为.
（2）①因为，
所以，依题设有，即. 解得. ②，. 对恒成立，即对恒成立. 令，则有. 当时，当时，， 所以在上单调递增.
所以，即当时，；
()()ln 1f x ax bx =++()()2
g x f x bx =-1a =1b =-()f x y
g x ()1,ln31130x y -=a b ()3k k ≤()()
2
g x k x x >-()0,x ∈+∞1a =1b =-()()()ln 11f x x x x =+->-()111'1x
x x
x f --=++=
()'0f x >10x -<<()'0f x <0x >()f x 1,00,
()()()()2
2
ln 1g x f x bx ax b x x
=-=++-()()'121a g x b x ax =+-+()()()1ln 111'13g a g =+???=??()ln 1ln 3
1113a a b a
+=??
?-=?
+?2
3
a b =??
=-?()()(
)
2
ln 123g x x x x
=+--1,2x ??
∈-
+∞ ???
()()2g x k x x >-()0,x ∈+∞()()20g x k x x -->()0,x ∈+∞()()(
)
2
F x g x k x x =--()()2431
'12k x k F x x
-+-=
+13k ≤≤()0,x ∈+∞()'0F x >()F x 0,
()()00F x F >=()0,x ∈+∞()()
2
g x k x x >-
2018年高考理科数学全国卷二导数压轴题解析 已知函数2()x f x e ax =-. （1） 若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥. （2） 若()f x 在(0,)+∞只有一个零点，求a . 题目分析： 本题主要通过函数的性质证明不等式以及判断函数零点的问题考察学生对于函数单调性以及零点存在定理性的应用，综合考察学生化归与分类讨论的数学思想，题目设置相对较易，利于选拔不同能力层次的学生。第1小问，通过对函数以及其导函数的单调性以及值域判断即可求解。官方标准答案中通过()()x g x e f x -=的变形化成2()x ax bx c e C -+++的形式，这种形式的函数求导之后仍为2()x ax bx c e -++这种形式的函数，指数函数的系数为代数函数，非常容易求解零点，并且这种变形并不影响函数零点的变化。这种变形思想值得引起注意，对以后导数命题有着很大的指引作用。但是，这种变形对大多数高考考生而言很难想到。因此，以下求解针对函数()f x 本身以及其导函数的单调性和零点问题进行讨论，始终贯穿最基本的导函数正负号与原函数单调性的关系以及零点存在性定理这些高中阶段的知识点，力求完整的解答该类题目。 题目解答： （1）若1a =，2()x f x e x =-，()2x f x e x '=-，()2x f x e ''=-. 当[0,ln 2)x ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增； 所以()(ln 2)22ln 20f x f ''≥=->，从而()f x 在[0,)+∞单调递增；所以()(0)1f x f ≥=，得证. （2）当0a ≤时，()0f x >恒成立，无零点，不合题意. 当0a >时，()2x f x e ax '=-，()2x f x e a ''=-. 当[0,ln 2)x a ∈时，()0f x ''<，()f x '单调递减；当(ln 2,)x a ∈+∞时，()0f x ''>，()f x '单调递增；所以()(ln 2)2(1ln 2)f x f a a a ''≥=-. 当02 e a <≤ 时，()0f x '≥，从而()f x 在[0,)+∞单调递增，()(0)1f x f ≥=，在(0,)+∞无零点，不合题意.
导数题型归纳 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < 解法二：分离变量法： ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三：变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立，求a 的取值范围.
2017年高考真题导数专题 一．解答题（共12小题） 1．已知函数f（x）2（a﹣2）﹣x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 2．已知函数f（x）2﹣﹣，且f（x）≥0． （1）求a； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 3．已知函数f（x）﹣1﹣． （1）若f（x）≥0，求a的值； （2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值． 4．已知函数f（x）321（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b2＞3a； （3）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围．5．设函数f（x）=（1﹣x2）． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x≥0时，f（x）≤1，求a的取值范围． 6．已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥）． （1）求f（x）的导函数； （2）求f（x）在区间[，+∞）上的取值范围． 7．已知函数f（x）2+2，g（x）（﹣2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）（x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．
） 10．已知函数f（x）3﹣2，a∈R， （1）当2时，求曲线（x）在点（3，f（3））处的切线方程； （2）设函数g（x）（x）+（x﹣a）﹣，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值． 11．设a，b∈R，≤1．已知函数f（x）3﹣6x2﹣3a（a﹣4），g（x）（x）． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）已知函数（x）和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线， （i）求证：f（x）在0处的导数等于0； （）若关于x的不等式g（x）≤在区间[x0﹣1，x0+1]上恒成立，求b的取值范围． 12．已知函数f（x）（﹣a）﹣a2x． （1）讨论f（x）的单调性； （2）若f（x）≥0，求a的取值范围．
2007——2014高考数学新课标卷（理）函数与导数综合大题 【2007新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数2()ln()f x x a x =++ （I ）若当1x =-时，()f x 取得极值，求a 的值，并讨论()f x 的单调性； （II ）若()f x 存在极值，求a 的取值范围，并证明所有极值之和大于e ln 2 ． 【解析】（Ⅰ）1()2f x x x a '= ++，依题意有(1)0f '-=，故32a =． 从而2231(21)(1) ()3322 x x x x f x x x ++++'==++． ()f x 的定义域为32?? -+ ??? ，∞，当312x -<<-时，()0f x '>； 当1 12 x -<<-时，()0f x '<； 当1 2 x >- 时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间3 1122????---+ ? ?????，，， ∞单调增加，在区间112?? -- ??? ，单调减少． （Ⅱ）()f x 的定义域为()a -+，∞，2221 ()x ax f x x a ++'=+． 方程2 2210x ax ++=的判别式2 48a ?=-． （ⅰ）若0?< ，即a << ()f x 的定义域内()0f x '>，故()f x 的极值． （ⅱ）若0?= ，则a a = 若a = ()x ∈+ ，2 ()f x '= ． 当x =时，()0f x '=，
当2 x ? ??∈-+ ? ????? ，∞时， ()0f x '>，所以()f x 无极值． 若a =)x ∈+，()0f x '= >，()f x 也无极值． （ⅲ）若0?>，即a > a <22210x ax ++=有两个不同的实根 1x = 2x = 当a <12x a x a <-<-，，从而()f x '有()f x 的定义域内没有零点， 故()f x 无极值． 当a > 1x a >-，2x a >-，()f x '在()f x 的定义域内有两个不同的零点， 由根值判别方法知()f x 在12x x x x ==，取得极值． 综上，()f x 存在极值时，a 的取值范围为)+． ()f x 的极值之和为 2221211221()()ln()ln()ln 11ln 2ln 22 e f x f x x a x x a x a +=+++++=+->-=． 【2008新课标卷（海南宁夏卷）】 21．（本小题满分12分） 设函数1 ()()f x ax a b x b =+ ∈+Z ，，曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线方程为y =3． （Ⅰ）求()f x 的解析式： （Ⅱ）证明：函数()y f x =的图像是一个中心对称图形，并求其对称中心； （Ⅲ）证明：曲线()y f x =上任一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围三角形的面积为定值，并求出此定值． 21．解：（Ⅰ）2 1 ()() f x a x b '=- +，
导数的综合应用 一、选择题 1.已知函数f(x)=x2+mx+ln x是单调递增函数,则m的取值范围是( B ) (A)m>-2(B)m≥-2 (C)m<2 (D)m≤2 解析:函数定义域为(0,+∞), 又f'(x)=2x+m+. 依题意有f'(x)=2x+m+≥0在(0,+∞)上恒成立, ∴m≥-恒成立,设g(x)=-, 则g(x)=-≤-2, 当且仅当x=时等号成立. 故m≥-2, 故选B. 2.(2013洛阳统考)函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f'(x)>1,则不等式 e x·f(x)>e x+1的解集为( A ) (A){x|x>0} (B){x|x<0} (C){x|x<-1或x>1} (D){x|x<-1或0
解析:由导数的定义知,S'(t0)表示面积函数S(t0)在t0时刻的瞬时变化率.如图所示,正五角星薄片中首先露出水面的是区域Ⅰ,此时其面积S(t)在逐渐增大,且增长速度越来越快,故其瞬时变化率S'(t)也应逐渐增大;当露出的是区域Ⅱ时,此时的S(t)应突然增大,然后增长速度减慢,但仍为增函数,故其瞬时变化率S'(t)也随之突然变大,再逐渐变小,但S'(t)>0(故可排除选项B);当五角星薄片全部露出水面后,S(t)的值不再变化,故其导数值S'(t)最终应等于0,符合上述特征的只有选项A. 4.已知f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示.若两正 数a,b满足f(a+2b)<1,则的取值范围是( B ) (A)(B) (C)(-1,0) (D)(-∞,-1) 解析:因为f(x)是定义域为R的奇函数,f(-4)=-1,所以f(-4)=-f(4),所以f(4)=1,所以f(a+2b) 专题03 函数与导数大题部分 【训练目标】 1、 理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法； 2、 掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题； 3、 掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式； 4、 掌握指数函数和对数函数的图像与性质； 5、 掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系； 6、 熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用； 7、 熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题； 8、 理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取 值范围； 9、 会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。 【温馨小提示】 本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。 【名校试题荟萃】 1、（2019届新余四中、上高二中高三第一次联考）已知函数 .,R n m ∈ （1）若函数()x f 在()()2,2f 处的切线与直线0=-y x 平行，求实数n 的值； （2）试讨论函数()x f 在区间[)+∞,1上最大值； （3）若1=n 时，函数()x f 恰有两个零点，求证：221>+x x 【答案】（1）6n =（2）1ln m n --（3）见解析 【解析】（1）由， ，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行， 故 2 14 n -=，解得6n =。 （2） ，由()0f x '<时，x n >；()0f x '>时，x n <，所以 ①当1n ≤时，()f x 在[)1,+∞上单调递减，故()f x 在[)1,+∞上的最大值为 ； 欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题（文）一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础，是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主，主1. 要考查导数的基本公式和运算法则，以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容，导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具，特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用，即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题，数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题，关键是建立恰当的数学模型（函数关系），如果函数在给定区间内只有一个极值点，此时函数在这点有极大（小）值，而此时不用和端点值进行比较，也可以得知这就是最大（小）值。 二、经典例题剖析 考点一：求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数，则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析：，所以 答案：3 点评：本题考查多项式的求导法则。 考点二：导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My，f2，点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1，f(1))222，所的纵坐标为，所以，由切线过点，可得点M 解析：因为5???f1?????3'f1?f12以，所以3 答案： 学习好资料欢迎下载 32?3)(1，2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1，4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析：，所以设切线方程，处切线的斜率为点?3)(1， ?3)y??5x?b(1，2b?，将点处的切线为带入切线方程可得，所以，过曲线上点5x?y?2?0方程为：5x?y?2?0答案：点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点，，例，4.已知曲线C：直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解：线直线过原点，C则。由点上， ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在，处，。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?，整曲线C，的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以，（舍），此时，，解得：理得：，或033??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为，切点坐标是答案：直线点评：本小题考查导数 导数压轴 一．解答题（共20小题） 1．已知函数f（x）＝e x（1+alnx），设f'（x）为f（x）的导函数． （1）设g（x）＝e﹣x f（x）+x2﹣x在区间[1，2]上单调递增，求a的取值范围； （2）若a＞2时，函数f（x）的零点为x0，函f′（x）的极小值点为x1，求证：x0＞x1． 2．设． （1）求证：当x≥1时，f（x）≥0恒成立； （2）讨论关于x的方程根的个数． 3．已知函数f（x）＝﹣x2+ax+a﹣e﹣x+1（a∈R）． （1）当a＝1时，判断g（x）＝e x f（x）的单调性； （2）若函数f（x）无零点，求a的取值范围． 4．已知函数． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若存在成立，求整数a的最小值．5．已知函数f（x）＝e x﹣lnx+ax（a∈R）． （Ⅰ）当a＝﹣e+1时，求函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）当a≥﹣1时，求证：f（x）＞0． 6．已知函数f（x）＝e x﹣x2﹣ax﹣1． （Ⅰ）若f（x）在定义域内单调递增，求实数a的范围； （Ⅱ）设函数g（x）＝xf（x）﹣e x+x3+x，若g（x）至多有一个极值点，求a的取值集合．7．已知函数f（x）＝x﹣1﹣lnx﹣a（x﹣1）2（a∈R）． （2）若对?x∈（0，+∞），f（x）≥0，求实数a的取值范围． 8．设f′（x）是函数f（x）的导函数，我们把使f′（x）＝x的实数x叫做函数y＝f（x）的好点．已知函数f（x）＝． （Ⅰ）若0是函数f（x）的好点，求a； （Ⅱ）若函数f（x）不存在好点，求a的取值范围． 9．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）． 第二部分 导数、微分及其导数的应用 知识汇总 一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则 若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ? = 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则 若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 )(1)(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1 = 5.隐函数求导法 求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法 对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 3 4 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则 设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ 可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法 二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αα αααα)1()2()1()() ( (2) x n x e e =) () ( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln()(1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax 2017-2019年全国高考数学真题--第21题导数 2018年：设函数2 ()1x f x e x ax =---。 （1）若0a =， 求()f x 的单调区间； （2）若当0x ≥时()0f x ≥， 求a 的取值范围 2019年：已知函数ln ()1a x b f x x x = ++， 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=． （I ）求,a b 的值； （II ）如果当0x >， 且1x ≠时， ln ()1x k f x x x >+-， 求k 的取值范围． 2019年： 已知函数)(x f 满足2 1 2 1)0()1(')(x x f e f x f x + -=-． （Ⅰ）求)(x f 的解析式及单调区间； （Ⅱ）若b ax x x f ++≥2 2 1)(， 求b a )1(+的最大值． 2019： 一卷：已知函数()f x ＝2 x ax b ++， ()g x ＝()x e cx d +， 若曲线()y f x =和 曲线()y g x =都过点P (0， 2)， 且在点P 处有相同的切线42y x =+ （Ⅰ）求a ， b ， c ， d 的值； （Ⅱ）若x ≥－2时， ()f x ≤()kg x ， 求k 的取值范围． 2019一卷：设函数1 ()ln x x be f x ae x x -=+， 曲线()y f x =在点（1， (1)f 处的切线为 (1)2y e x =-+． (Ⅰ)求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >． 2015一卷：已知函数3 1 ()4 f x x ax =++ ， ()ln g x x =-． （Ⅰ）当a 为何值时， x 轴为曲线()y f x = 的切线； （Ⅱ）用min {},m n 表示m ， n 中的最小值， 设函数{}()min (),()(0)=>h x f x g x x ， 讨论()h x 零点的个数． 高中数学专题训练 导数的应用——极值与最值一、选择题 1．函数y＝ax3＋bx2取得极大值和极小值时的x的值分别为0和1 3，则() A．a－2b＝0B．2a－b＝0 C．2a＋b＝0 D．a＋2b＝0 答案 D 解析y′＝3ax2＋2bx，据题意， 0、1 3是方程3ax 2＋2bx＝0的两根 ∴－2b 3a＝ 1 3，∴a＋2b＝0. 2．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝() A. 1 ln2B．－ 1 ln2 C．－ln2 D．ln2 答案 B 解析由y＝x·2x得y′＝2x＋x·2x·ln2 令y′＝0得2x(1＋x·ln2)＝0 ∵2x＞0，∴x＝－ 1 ln2 3．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有极小值，则() A．0＜b＜1 B．b＜1 C．b＞0 D．b＜1 2 答案 A 解析f(x)在(0,1)内有极小值，则f′(x)＝3x2－3b在(0,1)上先负后正，∴f′(0)＝－3b＜0， ∴b＞0，f′(1)＝3－3b＞0，∴b＜1 综上，b的范围为0＜b＜1 4．连续函数f(x)的导函数为f′(x)，若(x＋1)·f′(x)>0，则下列结论中正确的是() A．x＝－1一定是函数f(x)的极大值点 B．x＝－1一定是函数f(x)的极小值点 C．x＝－1不是函数f(x)的极值点 D．x＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B 解析x>－1时，f′(x)>0 x<－1时，f′(x)<0 ∴连续函数f(x)在(－∞，－1)单减，在(－1，＋∞)单增，∴x＝－1为极小值点． 5．函数y ＝x 33＋x 2－3x －4在[0,2]上的最小值是( ) A ．－173 B ．－103 C ．－4 D ．－643 答案 A 解析 y ′＝x 2＋2x －3. 令y ′＝x 2＋2x －3＝0，x ＝－3或x ＝1为极值点． 当x ∈[0,1]时，y ′<0.当x ∈[1,2]时，y ′>0，所以当x ＝1时，函数取得极小值，也为最小值． ∴当x ＝1时，y min ＝－173. 6．函数f (x )的导函数f ′(x )的图象，如右图所示，则( ) A ．x ＝1是最小值点 B ．x ＝0是极小值点 C ．x ＝2是极小值点 D ．函数f (x )在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x ＝0，x ＝2为两极值点，x ＝0为极大值点，x ＝2为极小值点，选C. 7．已知函数f (x )＝12x 3－x 2－72x ，则f (－a 2)与f (－1)的大小关系为( ) A ．f (－a 2)≤f (－1) B ．f (－a 2) 高一兴趣导数大题目专项训练 班级 姓名 1.已知函数()f x 是定义在[,0)(0,]e e - 上的奇函数，当(0,]x e ∈时，有()ln f x ax x =+（其中e 为自然对数的底，a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式； （Ⅱ）试问：是否存在实数0a <，使得当[,0)x e ∈-，()f x 的最小值是3？如果存在，求出实数a 的值；如果不存在，请说明理由； （Ⅲ）设ln ||()||x g x x =（[,0)(0,]x e e ∈- ），求证：当1a =-时，1 |()|()2 f x g x >+； 2. 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足： ()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知 2()h x x =，()2ln x e x ?=（其中e 为自然对数的底数）． (1)求()()()F x h x x ?=-的极值； (2) 函数()h x 和()x ?是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 3. 设关于x 的方程012 =--mx x 有两个实根α、β，且βα<。定义函数.1 2)(2+-= x m x x f （I ）求)(ααf 的值；（II ）判断),()(βα在区间x f 上单调性，并加以证明； （III ）若μλ,为正实数，①试比较)(),( ),(βμ λμβ λααf f f ++的大小； ②证明.|||)()(|βαμ λλβ μαμλμβλα-<++-++f f 4. 若函数22()()()x f x x ax b e x R -=++∈在1x =处取得极值. （I ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间； （II ）是否存在实数m ，使得对任意(0,1)a ∈及12,[0,2]x x ∈总有12|()()|f x f x -< 21[(2)]1m a m e -+++恒成立，若存在，求出m 的范围；若不存在，请说明理由． 5．若函数()()2 ln ,f x x g x x x ==- （1）求函数()()()()x g x kf x k R ?=+∈的单调区间； （2）若对所有的[),x e ∈+∞都有()xf x ax a ≥-成立，求实数a 的取值范围. 2018年高考理科数学全国卷三导数压轴题解析 已知函数2()(2)ln(1)2f x x ax x x =+++- （1） 若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >； （2） 若0x =是()f x 的极大值点，求a . 考点分析 综合历年试题来看，全国卷理科数学题目中，全国卷三的题目相对容易。但在2018年全国卷三的考察中，很多考生反应其中的导数压轴题并不是非常容易上手。第1小问，主要通过函数的单调性证明不等式，第2小问以函数极值点的判断为切入点，综合考察复杂含参变量函数的单调性以及零点问题，对思维能力（化归思想与分类讨论）的要求较高。 具体而言，第1问，给定参数a 的值，证明函数值与0这一特殊值的大小关系，结合函数以及其导函数的单调性，比较容易证明，这也是大多数考生拿到题目的第一思维方式，比较常规。如果能结合给定函数中20x +>这一隐藏特点，把ln(1)x +前面的系数化为1，判断ln(1)x +与2/(2)x x +之间的大小关系，仅通过一次求导即可把超越函数化为求解零点比较容易的代数函数，解法更加容易，思维比较巧妙。总体来讲，题目设置比较灵活，不同能力层次的学生皆可上手。 理解什么是函数的极值点是解决第2问的关键。极值点与导数为0点之间有什么关系：对于任意函数，在极值点，导函数一定等于0么（存在不存在）？导函数等于0的点一定是函数的极值点么？因此，任何不结合函数的单调性而去空谈函数极值点的行为都是莽撞与武断的。在本题目中，0x =是()f x 的极大值点的充要条件是存在10δ<和20δ>使得对于任意1(,0)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递增)，对于任意2(0,)x δ∈都满足()(0)=0f x f <( 或者()f x 单调递减)，因此解答本题的关键是讨论函数()f x 在0x =附近的单调性或者判断()f x 与(0)f 的大小关系。题目中并没有限定参数a 的取值范围，所以要对实数范围内不同a 取值时的情况都进行分类讨论。在第1小问的基础上，可以很容易判断0a =以及0a >时并不能满足极大值点的要求，难点是在于判断0a <时的情况。官方标准答案中将问题等价转化为讨论函数2 ()ln(1)/(2)h x x x x =+++在0x =点的极值情况，非常巧妙，但是思维跨度比较大，在时间相对紧张的选拔性考试中大多数考生很难想到。需要说明的是，官方答案中的函数命题等价转化思想需要引起大家的重视，这种思想在2018年全国卷2以及2011年新课标卷1的压轴题中均有体现，这可能是今后导数压轴题型的重要命题趋势，对学生概念理解以及思维变通的能力要求更高，符合高考命题的思想。 下面就a 值变化对函数()f x 本身在0x =附近的单调性以及极值点变化情况进行详细讨论。 2019年高三数学重点知识：导数及其应用查字典数学网高中频道收集和整理了2019年高三数学重点知识：导数及其应用，以便高中生在高考备考过程中更好的梳理知识，轻松备战。祝大家暑假快乐。 一基础再现 考点87简单复合函数的导数 1.曲线在点处的切线方程为____________。 2.已知函数和的图象在处的切线互相平行，则=________. 3.(宁夏、海南卷)设函数 (Ⅰ)讨论的单调性；(Ⅱ)求在区间的最大值和最小值. 考点88定积分 4.计算 5.(1)；(2) 6. 计算= 7.___________ 8.求由曲线y=x3，直线x=1，x=2及y=0所围成的曲边梯形的面积. 二感悟解答 1.答案： 2.答案：6 3.解：的定义域为. 当时，；当时，；当时，. 从而，分别在区间，单调增，在区间单调减. (Ⅱ)由(Ⅰ)知在区间的最小值为. 又. 所以在区间的最大值为. 4.答案：6 5.答案：(1) 死记硬背是一种传统的教学方式，在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展，死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式，渐渐为人们所摒弃；而另一方面，老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实，只要应用得当，“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反，它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。 (2)利用导数的几何意义：与x=0，x=2所围图形是以(0，0)为圆心，2为半径的四分之一个圆，其面积即为(图略) 观察内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的，能理解的观察内容。随机观察也是不可少的，是相当有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，孩子一边观察，一边提问，兴趣很浓。我提供的观察对象，注意形象逼真，色彩鲜明，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观察，保证每个幼儿看得到，看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法，即按顺序观察和抓住事物的不同特征重 高考数学试题导数内容探究 现代中学数学组陈永生 导数是研究函数的工具，运用导数的有关知识，研究函数的性质：单调性、极值和最值；以导数为工具，通过观察、分析三次函数图像的变化趋势，寻找临界状况，并以此为出发点进行推测、论证，实现对考生创造能力的考查是高考的热点问题。在高考中考察形式多种多样，以选择题、填空题等主观题目的形式考察基本概念、运算及导数的应用，也经常把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商知识结合起来，以解答题形式综合考察利用导数研究函数的单调性、极值、最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏。解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与划归思想。 《课程标准》中导数的内容有：导数概念及其几何意义、导数的运算、导数在研究函数中的应用、生活中的优化问题举例、（理科）定积分与微积分基本定理。文、理科考查形式略有不同。理科基本以一个解答题的形式考查。文科以一个选择题或填空题和一个解答题为主。从新课程高考分析，对导数的要求一般有三个层次：第一层次是主要考查导数的概念、求导公式和求导法则；第二层次是导数的简单应用,包括求切线方程、求函数的单调区间, 求函数的极值；第三层次是综合考查,包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机的结合在一起，设计综合试题。本文以高考试题为例，谈谈高考导数的热点问题，供鉴赏。 一、函数，导数，不等式综合在一起，解决单调性，参数的范围等问题。解决单调性问题转化为解含参数的一元二次不等式或高次不等式的问题；求解参数的取值范围问题转化为不等式的恒成立，能成立，恰成立来求解。进一步转化求函数的最值或一元二次不等式在给定区间上（或实数集 ）上的恒成立问题来解决，从而达到考查分类与整合、化归与转化的数学思想。 高中数学导数尖子生辅导（填选压轴） 一．选择题（共30小题） 1．（2013?文昌模拟）如图是f（x）=x3+bx2+cx+d的图象，则x12+x22的值是（） A．B．C．D． 考点：利用导数研究函数的极值；函数的图象与图象变化． 专题：计算题；压轴题；数形结合． 分析：先利用图象得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x，求出其导函数，利用x1，x2是原函数的极值点，求出x1+x2=，，即可求得结论． 解答：解：由图得：f（x）=x（x+1）（x﹣2）=x3﹣x2﹣2x， ∴f'（x）=3x2﹣2x﹣2 ∵x1，x2是原函数的极值点 所以有x1+x2=，， 故x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==． 故选D． 点评：本题主要考查利用函数图象找到对应结论以及利用导数研究函数的极值，是对基础知识的考查，属于基础题． 2．（2013?乐山二模）定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新驻点”，若函数g（x）=x，h（x）=ln（x+1），φ（x）=x3﹣1的“新驻点”分别为α，β，γ，则α，β，γ的大小关系为（） A．α＞β＞γB．β＞α＞γC．γ＞α＞βD．β＞γ＞α 考点：导数的运算． 专题：压轴题；新定义． 分析：分别对g（x），h（x），φ（x）求导，令g′（x）=g（x），h′（x）=h（x），φ′（x）=φ（x），则它们的根分别为α，β，γ，即α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2，然后分别讨论β、γ的取值范围即可． 解答： 解：∵g′（x）=1，h′（x）=，φ′（x）=3x2， 由题意得： α=1，ln（β+1）=，γ3﹣1=3γ2， ①∵ln（β+1）=， ∴（β+1）β+1=e， 当β≥1时，β+1≥2， ∴β+1≤＜2， ∴β＜1，这与β≥1矛盾， ∴0＜β＜1； ②∵γ3﹣1=3γ2，且γ=0时等式不成立， 导数及其应用 1．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】曲线y =2sin x +cos x 在点(π，-1)处的切线方程为 A ．10x y --π-= B ．2210x y --π-= C ．2210x y +-π+= D ．10x y +-π+= 【答案】C 【解析】2cos sin ,y x x '=-π2cos πsin π2,x y =∴=-=-' 则2sin cos y x x =+在点(,1)π-处的切线方程为(1)2()y x --=--π，即2210x y +-π+=． 故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】已知曲线e ln x y a x x =+在点（1，a e ）处的切线方程为y =2x +b ，则 A ．e 1a b ==-， B ．a=e ，b =1 C ．1e 1a b -==， D ．1e a -=，1b =- 【答案】D 【解析】∵e ln 1,x y a x '=++ ∴切线的斜率1|e 12x k y a ='==+=，1e a -∴=， 将(1,1)代入2y x b =+，得21,1b b +==-. 故选D ． 3．【2019年高考浙江】已知,a b ∈R ，函数32,0()11(1),03 2x x f x x a x ax x 0 C ．a >–1，b <0 D ．a >–1，b >0 【答案】C 【解析】当x ＜0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b ＝x ﹣ax ﹣b ＝（1﹣a ）x ﹣b ＝0，得x ， 则y ＝f （x ）﹣ax ﹣b 最多有一个零点； 当x ≥0时，y ＝f （x ）﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2+ax ﹣ax ﹣b x 3 （a +1）x 2﹣b ， 2012-2017导数专题 1．（2014大纲理）曲线1x y xe- =在点（1,1）处切线的斜率等于（ C ） A．2e B．e C．2 D．1 2.(2014新标2理) 设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a= （ D ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3.(2013浙江文) 已知函数y＝f(x)的图象是下列四个图象之一，且其导函数y＝f′(x)的图象如右图所示， 则该函数的图象是(B) 4．（2012陕西文）设函数f（x）= 2 x +lnx 则（ D ） A．x= 1 2 为f(x)的极大值点B．x= 1 2 为f(x)的极小值点 C．x=2为f(x)的极大值点D．x=2为f(x)的极小值点 5.(2014新标2文) 函数() f x在 x x =处导数存在，若 :()0 p f x=： :q x x =是() f x的极值点，则A．p是q的充分必要条件 B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件 C. p是q的必要条件，但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件 【答案】C 6．（2012广东理）曲线在点处的切线方程为___________________. 【答案】2x-y+1=0 7．（2013广东理）若曲线在点处的切线平行于轴，则 【答案】-1 8．（2013广东文）若曲线在点处的切线平行于轴，则． 【答案】 1 2 9．(2014广东文)曲线53 x y e =-+在点(0,2) -处的切线方程为. 【答案】5x+y+2=0 10．（2013江西文）若曲线y=xα+1（α∈R）在点（1，2）处的切线经过坐标原点，则α=。 33 y x x =-+() 1,3 ln y kx x =+(1,)k x k= 2ln y ax x =-(1,)a x a=函数与导数大题部分-高考数学解题方法归纳总结专题训练
高考文科数学专题复习导数训练题文
高三数学导数压轴题
高考数学 导数及其应用的典型例题
高考题汇编2010-全国高考数学真题--第21题导数
高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)
高考数学理科导数大题目专项训练及答案
高考理科数学全国卷三导数压轴题解析
高三数学重点知识：导数及其应用
校级：高考数学试题导数内容探究
(完整版)高中数学导数压轴题专题训练
2019年高考文科数学导数及其应用分类汇编
导数文科高考数学真题
相关主题
文本预览