2013学年第一学期期中杭州地区七校联考
高三年级数学（文）试题卷
命题审校：萧山中学金涵龙淳安中学邵润禾
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷。
一．选择题（本大题共10 小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，，，那么M N = （ ）
A ．
B ．
C ．
D ．{|2}x x ≤
2．在等比数列{}n a 中，13465
10,4
a a a a +=+=
，则公比q 等于（） A ．2 B ．12C ．－2 D ．1
2
-
3．若函数))(1()(a x x x f -+=为偶函数，则=a （） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
4．“1sin =x ”是“0cos =x ”的（）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 5．已知01a <<
，log log a
a x =1
log 52
a y =
，log log a a z =，则（） A ．x y z >>
B ．z y x >>
C ．y x z >>
D ．z x y >>
6．将函数sin 2y x =的图像向左平移
4
π
个单位，再向上平移1个单位，所得图像的函数解析式是（） A ．cos 2y x = B ．2
2cos y x = C ．1sin(2)4
y x π
=++
D ．22sin y x =
7．若函数()a
f x x =满足(3)9f =,那么函数()lo
g (1)a g x x =+的图象大致为（）
U R ={22}M x x =-≤≤{1}N x x =<{21}x x -≤<{21}x x -<<{2}x x <-
A
B
C
8．已知实数0,0>>y x ，2lg 8lg 2lg =+y
x ，则
y
x 1
1+的最小值是（） A ．32 B ．34C ．32+ D ．324+
9．已知函数??
?><≤+-=)
1(log )10(44)(20132x x
x x
x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，
则c b a ++的取值范围是（）
A ．)2014,2(
B ．)2015,2(
C ．)2014,3(
D ．)2015,3(
10．已知数列{}n a 是等差数列，且[][][]3,2,2,1,1,0321∈∈∈a a a ，则4a 的取值范围是（）
A ．[]4,3
B ．??
????313,
38C ．??????29,25 D ．[]5,2
二．填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)
11．化简[
]
02
16)1()2(---的结果为；
12．已知平面向量)1,3(=a ，)3,(-=x b ，且b a
⊥，则x 的值为；
13．已知{}n a 为等差数列，1322a a +=，67a =，则5a =；
14．已知3
sin()4
5
x π
+=
，则x 2sin 的值为；
15．若函数b bx x x f +-=3)(3
在区间)1,0(内有极值，则实数b 的取值范围是；
16．已知正ABC ?边长等于3，点P 在其外接圆上运动，则PA PB ×
的最大值是；
17．函数)1(ln )(2e x x
x
x f ≤≤=
与函数kx x g =)(恒有两不同的交点，则k 的取值范围是；
三、解答题(本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18．(本小题满分14分)
已知集合A 为函数2
()lg(2)f x x x =-+的定义域，集合{}
2
2
210B x x kx k =-+- 。
（Ⅰ）求集合A 、B ；
19．(本小题满分14分)在锐角ABC ?中，2sin a B =， （Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）当2=BC 时，求ABC ?面积的最大值。
20．(本小题满分14分)已知向量)1,(cos ),2
3,(sin -==x b x a ， （Ⅰ）当//时，求x 2tan 的值； （Ⅱ）求函数x f ?+=)()(在??
?
???-0,2π上的值域。
21．(本小题满分15分)
已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知147
16
a a +=-，且1S ，3S ，2S 成等差， （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）已知n b n =（n N +∈），记312123n n n
b b b b T a a a a =
++++ ，若2
(1)(1)n n m T n -≤--对于+∈≥N n n ,2恒成立，求实数m 的取值范围。
22．(本小题满分15分)已知函数x a x a x x f ln )1(2
1)(2
---=， （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f 在区间[]4,1内的最小值为2ln 2-，求a 的值。（参考数据7.02ln ≈）
2013学年第一学期期中杭州地区七校联考
高三年级数学（文科）答题卷
一、选择题（每题5分，共10题，共50分）
二、填空题（每题4分，共7题，共28分）
11．______________12．_____________13．14．____________ 15．16．17．
三、解答题（本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
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……………………………………密……………………………………封……………………………………线……………………………………
2013学年第一学期期中杭州地区七校联考
高三年级数学（文科）参考答案
最终定稿人：萧山中学金涵龙联系电话：180********
1．D 2． B 3． C 4．A 5．C 6．B 7．C 8．D 9．A 10． C
11．7 12．1 13．8 14．725- 15．()0,1 16．32 17．421
,2e e 轹÷ê÷ê滕
18．（本小题满分14分）
已知集合A 为函数2
()lg(2)f x x x =-+的定义域，集合{}
2
2
210B x x kx k =-+- ，
（Ⅰ）求集合A ，B ；（Ⅱ）若A 是B 的真子集，求实数k 的取值范围。
18．解：（Ⅰ）由题意得2
20x x -+>，02x \<<，()
0,2A \=，------------------------------------3分
B 中：[][](1)(1)0x k x k -+-- 得1x k ?或1x k ?，(][),11,B k k \=-?++
。------7分
（Ⅱ）若A 是B 的真子集，则
○
110k + ，得1k ?------------------------------------------------------------10分 或○212k - 得3k 3，--------------------------------------------------------------13分 综上得(][),13,k ?
?+ --------------------------------------------------------------14分
19．（本小题满分14分）
在锐角ABC ?中，2sin a B =，
（Ⅰ）求角A 的大小；
（Ⅱ）当2=BC 时，求ABC ?面积的最大值．
19．解：（Ⅰ） 2sin a B ，2sin sin A B B \，-----------------2分
sin 0B > ，2sin A \=故2
3
sin =
A ，------------------------------------------------------------------------5分 因为ABC ?为锐角三角形，所以
60=A ………………………………7分 （Ⅱ）解：设角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,．
由题意知2=a ，由余弦定理得2
2
2
2
42cos60b c bc b c bc =+-=+-
---------------9分
又222b c bc bc bc bc +-?=，4≤∴bc ------------------------------------------------11分
∴344
3
4360sin 21=?≤=
=?bc bc S ABC ，--------------------------------------------13分 当且且当ABC ?为等边三角形时取等号，
所以ABC ?面积的最大值为3．………………………14分
20．（本小题满分14分）
已知向量)1,(cos ),2
3
,(sin -==x b x a ，
（Ⅰ）当//时，求x 2tan 的值；（Ⅱ）求函数x f ?+=)()(在??
?
???-
0,2π上的值域。 20．解：（Ⅰ） //a b ，∴3
sin (1)cos 02
x x ?--?=，-----------------------------------2分
即3sin cos 02x x +=，∴3
tan 2x =-， -----------------------------------------------4分
∴2
2tan 12
tan 21tan 5
x x x ==----------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）x f ?+=)()(=22
3sin cos cos 12a b b x x x ?=-++ 1311sin 2cos 212222x x =-+++
)24x p
=
+-------------------------------------------------------------------10分 30,22444
x x p p p p
-
＃\-?
，1sin(2)42
x p -? -----------------------12分
1sin(2)2242
x p -?
，即1
(),22f x ?犏臌
----------------------------------------14分 21．（本小题满分15分）
已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，已知147
16
a a +=-，且有1S ，3S ，2S 成等差； （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知n
b n =（n N +∈），记312
123n n n
b b b b T a a a a =++++ ，若2(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，求实数m 的范围。
21．解：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，231,,S S S 成等差，2132S S S +=∴，---------------------1分
)2()1(2121q a q q a +=++∴，得022=+q q ，2
1
-=∴q 或0=q （舍去）
，----------3分 又)1(1673141q a a a +=+=-，211-=∴a ，n n a )2
1(-=∴，---------------------5分
（Ⅱ）1
,(),22
n n n n n n
b b n a n a ==-∴
=? ，---------------------------------------------------------6分
231222322n n T n ∴=?+?+?++?
23412122232(1)22n n n T n n +=?+?+?+++-?+? 23122222n n n T n +∴-=++++-?
1
1122(2)(1)22
12n n n n T n n +++-∴=--?=-?+----------------------------------------------10分
若2
(1)(1)n n m T n -≤--对于2n ≥恒成立，则21
(1)[(1)221]n n m n n +-≤-?+--，
21(1)(1)(21)n n m n +-≤-?-，1
1
21
n n m +-∴≥
-对2n ≥恒成立---------------------------------12分 令11()21
n n f n +-=-，121211(2)21
(1)()02121(21)(21)n n n n n n n n f n f n +++++--?-+-=-=<----
所以当2n ≥时，)()1(n f n f <+，()f n 为减函数，1
()(2)7f n f ∴≤=
-------------------14分
1
7m ∴≥
-------------------------- ----------------------15分
22．（本小题满分15分） 已知函数x a x a x x f ln )1(2
1)(2
---=
， （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）若函数)(x f 在区间[]4,1内的最小值为2ln 2-，求a 的值。（参考数据7.02ln ≈） 22．解：（Ⅰ）由x a x a x x f ln )1(2
1)(2
---=
得 )0()
1)(()1()1()(2>+-=---=---='x x
x a x x a x a x x a a x x f --------------------------------2分
○
1当0≤a 时，0)(>'x f 恒成立，)(x f 的单调递增区间是),0(+∞；---------------------------------4分
○
2当0>a 时，0)(>'x f a x >?，0)(<'x f a x <
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知：
○
1当0≤a 时，)(x f 在区间[]4,1内单调递增， []2ln 223)1()(m in
-=-=
=a f x f 02ln 22
3
>+=?a ， 与0≤a 矛盾，舍去；----------------------------------------------------------------------------------------8分 ○
2当10≤ -=-= =a f x f 12ln 22 3 >+=?a ，与10≤ ln 22 ln 6<++=a ，舍去；----------------------------------------------------------------------------12分 ○