初等几何研究习题

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。 已知：如图，梯形ABCD 中，A D ∥BC,AB=AD+BC,E

是DC 中点

求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。 证明（同一法）：

设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。 ∵AD ∥BC

∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°

作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=2

1AB=AF=BF

∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC

连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线

∵FE ′=2

1AB=2

1(AD+BC), FE =2

1(AD+BC)

∴E ′F = E F

∴E ′与E 重合，证毕.

习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。

解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ， 则BF 是△DAC 的中位线。 ∴BF

2

1AC ∴∠FBC=∠ACB

又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=2

1AB=BE ∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21CD=2

1×10=5cm

即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。

已知：如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC 。D 为BC 延长线上一点，过D 作DE ⊥ AB 于E ，作D F ⊥ AC 延长线于F 。

求证：D E －DF 为常量。

2

1证明：作△ABC 的边AB 上的高CH ，再作CG ⊥DE 于G ，则四边形CHEG 为矩形。 ∵∠3+∠B=90°，∠4+∠2=90°，∠B=∠ACB=∠2 ∴∠3=∠4

又CD 为公共边。 ∴Rt △DGC ≌Rt △DFC ∴DF=DG 。

∴D E －DF=DE －DG=EG=CH 。（常量）证毕

习题4.在△ABC 中，∠B=2∠C ，A D ⊥BC 于D 。M 是BC 的中点。 求证：DM=2

1

AB 。

证明：（Ⅰ）当∠B 为锐角时，作M E ∥AC 交AB 于E ，连结DE 。则E 为AB 的中点 ∴∠DME=∠C ，∠BEM=∠BAC 在Rt △ABD 中，有DE=2

1AB=BE=AE ∴∠B=∠EDB=∠DEM+∠DME=2∠C

∠DME=∠C

∠DEM=2∠C －∠C=∠C ∠DEM=∠DME DE=DM DE=2

1AB

（Ⅱ）当∠B 为钝角时，作ME ∥AC 交AB 于E 。连结DE ，则E 为AB 的中点 在Rt △ADB 中

DE=2

1AB=BE=AE ，E 和M 分别是AB 和BC 的中点 ∴ME 是△ABC 的中位线 ∴∠C=∠BME ，∠BAC=∠BEM ∵∠BAC=180°-（∠B+∠C ） ∴∠BEM=180°-（∠B+∠C ） 又∵BE=DE

在△BDE 中∠ABD=∠EDB=180°-∠B ∴∠BED=180°-∠ABD-∠EDB =2∠B-180°

∴∠DEM=∠B-∠C ，又∠B=2∠C ∴∠DEM=∠BME ∴DM=2

1AB

（Ⅲ）当∠B 为直角时，易证DM=21AB （Ⅳ）当∠A 为直角时，易证DM=2

1

AB

习题5.AB 是圆的直径，引弦AC 使∠BAC=30°，过点C 引切线交AB 的延长线于D ，

求证：AC=CD

证明：如图，连结CB ∵AB 是⊙的直径 ∴∠ACB=90°

∵CD 为⊙O 的切线，∠BAC=30° ∴∠BCD=∠BAC=30°

又∵∠CBD=∠BAC+∠ACB=30°+90°=120° ∴在△BCD 中

∴∠D=180°-（∠CBD+∠BCD ）=30° ∴∠BAC=∠BDC 即AC=CD

习题6.两圆相交于两点A 和B ，在每一个圆中各作弦AC 和AD ，使切于另一圆。

求证：∠ABC=∠ABD

证明：如图，AC 和AD 分别是⊙ ，⊙ 的切线，交⊙ ，⊙ 于C 和D

∴∠CAB=∠ADB ，∠DAB=∠ACB 在△ABC 和△ABD 中

∠ABC=180°-（∠CAB+∠ACB ） =180°-（∠ADB+∠DAB ） =∠ABD 即∠ABC=∠ABD

习题7.四边形ABCD 中，设AD=BC ，且M 和N 是对角线AC 和BD 的中点。 证明：直线AD 和BD 与MN 成等角 证明：如图，四边形ABCD 中AD=BC

M 和N 点分别为对角线AC 和BD 的中点,MN 交AD 、BC 分别于G 和F. 下证：∠AGF=∠BFG

连结BM 并延长至E , BM=ME 。连结AE 和CE 显然：ABCD 为平行四边形。连结DE ∴∠BFG=∠AHG ∵AD=BC ，AD=AE

而M 和N 分别是BD 和BE 的中点，∴MN ∥DE ∴AG=AH

∴∠AGF=∠AHG=∠BFG

习题8.设延长△ABC 的边BA 至D ，使AD=AC ，则∠BCD=90°+2

1（∠C-∠B ）

证明：∵2∠BCD=2∠BCA+2∠1 ①

AD=AC ，∠1=∠D

∴∠BAC = ∠1+∠D=2∠1 ∠B+∠BCA+2∠1=180°

即：2∠1=180°-∠B-∠BCA ② 将②代入①得：

2∠BCD=2∠BCA+180°-∠B-∠BCA

∴∠BCD=90°+2

1（∠C-∠B ）

习题9.设O 为△ABC 内部任一点，则OA+OB ＜CA+CB

证明：连AO 延长交BC 于D

△ADC 中AC+CD ＞AD ① △OBD 中，OD+DB ＞OB ②

由①②有：CB+AC=AC+CD+DB ＞AD+DB=AO+OD+DB ＞AO+BO

习题10.三角形的一中线小于夹此中线两边的半和，而大于这半和与第三边一半的差

已知：△ABC 中，AD 是BC 边上的中线

求证：21（AB+AC ）-21BC ＜AD ＜2

1（AB+AC ） 证明：作DE 平行于AB 交AC 于E 则DE=21AB ，AE=2

1AC

在△ADE 中，则AD ＜AE+DE=2

1（AB+AC ）

延长AD 至F ，使DF=AD ，则有AD+BD ＞AB ，AD+DC ＞AC ∴AF+BC ＞AB+AC

∴2AD ＞AB+AC-BC 即AD ＞21（AB+AC ）-2

1BC 综上得：21（AB+AC ）-21BC ＜AD ＜2

1（AB+AC ）

习题11.证明：梯形两条对角线中点的连线平行于底边

已知：如图所示，梯形ABCD 中，AD//BC,E,F 分别是BD,AC 中点。 求证：EF//AD

证明：过点A 做AG//BD ，并与CB 延长线相交于点G.

又因为AD//BC

所以四边形AGBD 是平行四边形 取AG 的中点H ，连结EH 由于E 是BD 的中点

所以EH//AD

又连结HF

所以HF//BC//AD

从而 H ，E ，F 三点共线 于是EF//AD

习题12.二圆外切于点P. AB 是一条外公切线（A ，B 为切点）. 则PA ⊥PB

证明：如图ΘO 1 ΘO 2外切于点P ，过点P 作ΘO 1 ΘO 2 的内公切线交AB 于C.

CP CA =

∴ CPA CAP ∠=∠

又 CP CB =

∴

CPB CBP ∠=∠

∴APB CPB CPA CBP CAP ∠=∠+∠=∠+∠

而0

180=∠+∠=∠APB CBP CPA

∴0

90=∠APB ∴AB PC ⊥

习题13.证明：三角形的三条外角平分线和对边相交所得三点共线。

已知：如图，AD ，BE ，CF 分别是?ABC 三个外角的平分线且分别交CB ，CA ，BA 于D ，

E ，

F 三点.

求证：D ，E ，F 三点共线.

证明： AD 是∠BAE 的角平分线 ∴AC AB

DC BD =

同理：BA BC EA CE =，CB

CA

FB AF =

从而：=FB AF EA CE DC BD ..1..-=CB

CA

BA BC AC AB ∴D ，E ，F 三点共线.

习题14.两圆有两条内公切线，证明这两线与连心线共点.

已知：如图所示ΘO 1与ΘO 2 外离，AB ，CD 是ΘO 1与ΘO 2 的两条内公切线且A ，B ，C ，D 分别为切点，O 1O 2 为连心线. 求证：AB ，CD ，O 1O 2 三点共线.

证明： AB ，CD 是ΘO 1与ΘO 2 两条内公切线，

则AB ，CD 必有交点.设AB ，CD 的交点为P. 下证 点P 在O 1O 2 上即可.

连结O 1 P ，O 2P. 此时PA ，PC 即为从ΘO 1外一点引ΘO 1

的两条切线.

则有P O 1平分APC ∠.即APC APO ∠=∠2

1

1 同理可得 D P B D P O ∠=

∠2

1

2 从而 =∠21PO O 21DPO APD APO ∠+∠+∠ =

DPB APD APC ∠+∠+∠2

1

21

=

APC APD APC ∠+∠+∠2

1

=APD APC ∠+∠

=1800

所以P ，O 1 ，O 2 三点共线 即P 在O 1O 2 所以AB ，CD ，O 1O 2三点共线.

习题15.利用锡瓦定理证明三角形下列三线共点 （1.） 三中线

已知：如图.AD ，BE ，CF 分别?ABC 边BC ，CA ，AB 上的中线.

求证：AD ，BE ，CF 三线共点

证明： D ，E ，F 分别是中点

∴1===FB AF EA CE DC BD

从而1..=FB

AF

EA CE DC BD

所以AD ，BE ，CF 三点共线.

（2.）三内角平分线.

已知：如图，AD ，BE ，CF 分别是?ABC 三内角

平分线.

求证：AD ，BE ，CF 三点共线.

证明：由AD ，BE ，CF 分别是?ABC 三内角平分线.

∴AC AB DC BD = ，BA BC EA CE = ，CB CA FB AF = .

∴1....==CB

CA BA BC AC AB FB

AF EA CE DC BD

故：AD ，BE ，CF 三点共线.

习题16.已知： C 是Rt ?ABC 的直角顶点，以AB 为边

作正方形ABCD ，以AC 边作正方形ACFG ，它们都包含?ABC 求证：CE ⊥BG

证明： 四边形ABDE ，ACFG 为正方形.

∴0

90=∠=∠BAE GAC

以A 为旋转中心，有：G C A R ??

?→?)

90,(0，B E A R ???→?)

90,(0

则：CE=BG ，GE ⊥BG .

习题17.已知：圆内接四边形中BC=CD.

求证：AB ?AD+ 2

BC =2

AC

证明：连接BD 交AC 于E

由于BC=CD ，则 21∠=∠ 在?ABC 和?AED 中

??→???→

?∠=∠∠=∠4

321??ABC ~~?AED

AC AE AD AB AD

AC

AE AB ?=??=?

……..① 15∠=∠ , 21∠=∠

∴ 25∠=∠.

在?CDE 和?CAD 中

????→???→

?∠=∠∠=∠DCA

ECD 21

??CDE ~~?CAD

?

CD

CE

AC CD =

?CD

BC CE AC CD =?=2CE AC BC ?=?2 ………②

∴由①和②有CE AC AC AE BC AD AB ?+?=+?2

2

)(AC CE AE AC =+?=

∴ AB ?AD+ 2

BC

=2

AC

习题18.平行四边形ABCD 的底边BC 固定,另一边AB 长为a ,则其对角线交E 的轨迹为一

圆,圆心是BC 中点,半径是

2

a . ( 假设: 平行四边形ABCD 底边BC 的中点O ,AB 边长为a ,P 为对角线AB,BD 的交

点,BC 为固定.)

求证:点P 的轨迹是ΘO(

2

a ) 证明: 10 若P 是平行四边形ABCD 对角线AC,BD 的交点,连接OP,由P,O 分别是BD,BC 的中点,故

OP=

CD 21=2

a . 故P ∈ΘO(2

a

), (完备性得证)

20.社P 为ΘO(

2

a

)上任意一点,连接OP,分别过B,C 作OP 的平行线21,l l .连接CP 并延长交1l 于A,连接BP 并延长交2l 于D,连接AD

则OP 是?CAB 和?BCD 的中位线,于是AB=a ,OD=a .且AD//CD, 从而P 点是平行四边形ABCD 对角线AC,BD 的交点 (纯粹性得证)

∴点P 的轨迹是ΘO(2

a ).

习题19.设定圆中互相垂直的两弦的平方和是常数，则此两弦所在直线交点的轨迹是圆。

假设AB 与CD 是⊙O （r ）中两条互相垂直的弦，且AB ⊥CD 于P,22a CD AB +=(常数),求点P 的轨迹.

证明:点P 关于O 的对称点也满足条件,故该轨迹为以O 为圆心,以OP 为半径的圆。 如图所示：连AO 延长交⊙O 于E,连AC 、DB 、CE ， 则∠1+∠2=90°∴∠2+∠3=90°, 从而∠1=∠3?,DE

CB DE EB CB EB =+=+DB CE ?=

BD CE ?=?222222

(2)4r AC CE AC BD r +=?+=过

点P 作MN ⊥OP 有MP=NP

?2

2

22

()()

AP BP CP PD CD AB

+=+++

222222AP BP CP PD CP AP PB PD =++?+++?

=22222

()()4CP AP PB PD MP +++

+2224AC BD MP =++

2222444

a

a r MP MP r =+=?+

-? 2

222

24a OP r MP r =-=-

OP ∴=所求轨迹可能是以O 为圆心

1

2

为半径的圆珠笔。

习题20.将已知点到定圆上各点连线，求连线的中点E 的轨迹。

假设点C 为定点P 到定圆⊙O(r)上各成连线的中点,求C 点的轨迹. 探求：连接PO 交⊙O 于B 易见轨迹关于直线PO 对称 设PA 、PB 中点分别为C 、D ，作切线PT 、1PT ，中点分别为E 、F 则C 、D 、E 、F 不共线， 估计

轨迹为圆弧

B

P

E

A

设CD 中点为1

O ，连1

EO ，设PA=a 则

22a BC r =+

， 1(2)22a BD r a r =+=+ ? 2()22

a a CD BC BD r r r

=-=+-+= 故

112r DO CO ==

1

11

()2222

r a r a OP po =+=+= ?1

112

2

OT r EO ==

所以，轨迹是以CD 中点1

O 为圆心，

1

2

r 为半径的圆。 习题21.设两动圆各切同一直线于一定点，且保持互相切，求它们切点的轨迹。 假设动圆1O 切线l 于点A ，动圆2O 切直线l 于点B ，且⊙

1

O 与⊙2O 相切于点P ，求点P 的轨迹。 探求：⊙1O 与⊙2O 的圆心1O 、2O 分别在直线AO 、BO 上，故轨迹关于直线l 对称 当1O →A 、P →A 、2O →B 、P →B ，

过P 作⊙1O 与⊙2O 的公切线交AB 于点O ， 易见OP=OA=OB=

1

2

AB 故:所求轨迹应为以AB 为直径的圆。

习题22.给定直线l 及两圆w 及1

w ,在l 上求一点，

使从点向w 所引切线的夹角等于1

w 所引二切线的夹角。

分析：设所求点为P ，则P 要求满足：○

1∠CPA=∠DPB ○

2P 在直线l 上。 由○1有112

CPA

∠=

∠

1

22

DPB ∠=∠ 则∠1=∠2，

∠3=∠4=90°

?

1wAP

PB w ??

1

1

1

Pw Aw

r Pw Bw r ?

==

l

P

P 点的轨迹应在一个阿氏圆上，使

1

1

1

Pw Aw r Pw Bw r =

=

即P 点在以EF 为直径的圆上。

作法：如分析过程作出E 、F 两点，以E 、F 为直径作圆W0、W2与l 交于点P ，P 为所求点。

证明：由○

1阿氏圆的性质，1

1

Pw r Pw r =

，∠3=∠4 ， 1wAP PB w ??12∴∠=∠ 双111,22

2

CPA DPB ∠=∠∠=∠

CPA DPB ∠=∠

P 在直线上，故P 为所求点。

讨论：当W0与直线相离时无解，当W0与直线相切时有一解，当W0与直线相交时，有两解。

习题23.定直线上有按A 、B 、C 、D 顺序排列的四定点，求一P 使 APB BPC CPD ∠=∠=∠

分析：假设P 点已求出，由于 APB BPC CPD ∠=∠=∠

所以BP 是∠APC 的角平分线，CP 是∠BPD 的角平分线，根据角平分线的性质有：

,AP AB a BP BC b CP BC b DP CD c

====，可见，P

点到A 、C 两定点的距离之比为常量a

b

P 到B 、

D 两定点的距离之比为常量b

c

，因此，P 点是

AP ﹕CP=a ﹕b 的阿氏圆与BP ﹕DP=b ﹕c 的阿氏圆的交点。

作法：○1在已知直线上取4点A 、B 、C 、D ，使得DAC EAC BAC ∴∠=∠=∠； ○

2作出到A 、C 两点距离之比等于a ﹕b 的点的轨迹,即阿氏圆1w

○3作出到B 、D 两点距离之比等于b ﹕c 的点的轨迹,即阿氏圆2w

1w 、2w 交于点P ，P 为所求。连结PA 、PB 、PC 、PD

证明：由作法知：AB ﹕BC=a ﹕b ，P 是阿氏圆

1

w 上的点，故有AP ﹕CP=a ﹕b ，所以AP ﹕CP= AB

﹕BC ，所以PB 是∠APC 的角平分线，即有APB BPC ∠=∠

同理可证：BPC CPD ∠=∠，所以APB BPC CPD ∠=∠=∠，所求点P 符合条件所求。

讨论：本题是否有解关键在于1

w 、2

w 是否有交点，相交或相切时有一角，否则无解。

习题24.求作△ABC ，已知顶角A ，高

a

h

，角平分线a t

。

D

C

B

分析：设△ABC 已作成，高AH=a h ，角平分线AT=a t

，顶角∠BAC=∠α，则AT 是∠BAC 的平分线。Rt △AHT 中，有两边AT 、AH 均已知，∠AHT=90°。故点H 在以AT 为直径的圆上，又AH=

a

h

，故H 又在圆A （

a

h

）上，故可确定点H ，延长TH 分别交∠BAC 两边于

B 、

C ，则△ABC 即为所求三角形。

作法：

○

1先求作∠BAC=∠α,作∠BAC 的平分线AT,在射线AT 上作点T,使AT=

a

t

。

○

2作AT 的中点O ，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O ，再以A 为中心，a h 为半径作一弧，交⊙O 于H ，则

AH ⊥HT 。

○

3连结TH 并两边延长，分别交AB 、AC 于B 、C 两点。∴△ABC 为所求. 证明:由作法及三角形全等的判定(SAS)知, △ABC 符合条件. 讨论:本题有无解,取决于⊙O(

2

a

t

)与OA(

a

h

)有无公共点H,两圆有公共点H 的条件是AT ≥

HA 即a t ≥a

h ,当a

t ＞a

h 时,有两解且合同,；a

t ＝a

h 时有一解,；a

t ＜a

h 时无解.

习题25.求作△ABC ，已知∠A ，

a

h

， a m

分析：设△ABC 已作出，中线AM=a m ，高AH=

a

h

，顶角∠BAC=α，在Rt △AHM 中，有

两边AH 、AM 为已知长，故可作出，顶点A 的位置就决定了，又B 、C 关于点M 对称，只要C 确定，则B 也确定，显然C 点不在直线HM 上，又M 为BC 中点，延长AM 到D ，使AM=MD ，则可得AB ∥CD ，故180180A C D B A C α∠=?-∠=?-，故C 点还在以AD 为弦，内接角为180°-α的弧上，故此C 可作出。

作法：若a m ≥a

h

任作直线l ，在l 上取一点H ，过H 作AH ⊥l ，在AH 上作一点A ，

使得AH=

a

h

，以A 为圆心，a m 为半径画弧，交直线l 于点M ，延长AM 至D ，使AM=MD ，再

以AD 为弦，定角为180°-α为内接角作弧，交射线MH 于点C ，以M 为心，MC 为半径作弧，交射线MH 于点B ，直线AB 、AC ，则△ABC 为所求。 证明：由作法知，M 为BC 中点，AM 为中线，又由AH ⊥BC ，知AH=

a

h

为高。

又∵BM=CM ，AM=DM ，∠AMB=∠CMD AMB DMC ???

1D AB CD ∠=∠?

180BAC ACD α∠=?-∠=

B

故△ABC 即为所要求的图。

讨论：有无解，取决于点M 是否存在，点M 为⊙A （a m ）与直线l 的交点，故：当a

m ﹥a h 时两解且合同，当a m =

a

h

时，有唯一解；当a m ﹤

a

h

时无解。

习题26.求作△ABC ，已知a,a m 、b m

分析：假设△ABC 已作出，底边BC=a ，中线BE=b m ，CF=a m ，则H 为△ABC 的重心，

故BH=

23b m ，CH=2

3a

m 在△BCH 中，三边均已知，故可作出，现只需点A 的位置即可，又由BE ，CF 为中线，得E 在AC 上，F 在AB 上取一点A 即在BF 上，又在直线CE 上，A 可确定。

作法：

（1）作△BCH ，使BC=a ，BH=23

b m ，CH=

2

3a

m ，延长BH 至E ，使BE=23BH=b m 延长

CH 交BA 于F ，使CF=a m ；

(2)连接BF 、CE 并延长交于A ，则△ABC 为所求。

证明：

由作法知，,2,,3b b a BC a BH BE CF m m m ====

则

21

33

b b b HE BE BH m m m =-=-=21,33a a a

HF CF CH m m m =-=-= ∴HE ﹕BH=HF ﹕CH=1﹕2 ,BHC EHF BHC

EHF ∠=∠∴??

EF ∥BC 且EF ﹕BC= HE ﹕BH=1﹕2 ∴AF=BF AE=EC

即E 、F 分别为AC 、AB 的中点，故BE 、CF 是△ABC 的中线。 所以△ABC 为所求。

讨论：本题有无解，决定于△BCH 是否存在，所以三角形的条件是：

,222222,333333

b a b a a b

a a a m m m m m m +=+>+>

所以，当a 、2

3

a m 、23

b m 满足上述条件时本题有解，否则无解。

习题27.求作一四边形，已知四边形长度，且角被对角线平分。 已知：线段a 、b 、c 、d 为定长

求作：四边形ABCD ，使得AB=a ，BC= b ，CD= c ，DA=d 是AC 平分∠BAD

分析：设四边形ABCD 已作出。先作AB= a ，由BC= b ，C 点的轨迹是圆B （b ），又由AC 平分∠DAB ，则DA 沿AC 对折后，与直线AB 重合，且D 点的对应点

可作出，及在AB 上作点后，使AE=AD ，则E 点固定，

C

d

c

b a

B

∴CE=CD= c ，故C 点的另一轨迹为圆E （c ），C 点也就确定，又CD= c ，DA= d ，故D 即在⊙A （d ）上，又在⊙C （c ）上，且与B 点位于AC 异侧，故四边形可作出。

作法：作线段AB=a,以A 为心，d 为半径画弧，交AB 或AB 延长线于点E ，分别以点E ，点B 为心，线段c 和b 为半径画弧，两弧相交于点C ，再分别以A 、C 为心，定长d 和c 为半径画弧。两弧相交于点D ，连结BC 、CD 、DA ，则四边形ABCD 即为所求。

证明：由作法知： ,,,AB a BC b CD c DA d ====

,,AC AC AE AD CD CD ===，ADC AEC ???

DAC EAC BAC ∴∠=∠=∠ 即AC 平分∠BAD

故四边形ABCD 合符条件。 讨论：

本题有无解决定于C 是否存在，即圆B （b ）与⊙E （C ）有无公共点，故：

当∣a-b ∣+b ﹥c, ∣a-b ∣+c ﹥b 且∣a-b ∣﹤ b +c 时，C 点唯一存在，两解且合同，关于AB 对称。

当∣a-b ∣+b ﹤c 或∣a-b ∣+c ﹤b 或∣a-b ∣﹥b +c 时无解。

当a=b 且 b=c 时，⊙B （b ）与⊙E （ c ）重合，此时有无穷多解。

习题28.给定直线XY 及异侧两点AB ，于XY 上求一点C ，使ACX ∠=BCX ∠

分析：假定C 点已作出，满足ACX ∠=BCX ∠，作A 点关于XY 的对称点A '，则

ACX ∠=A CX '∠于是ACX ∠=BCX ∠，

即A '、B 、C 三点共线，即点C 为直线XY 与直线A B '的交点

作法：作A 关于直线XY 的对称点A '，连接A B '并延长交直线XY 于点C ，则C 点即为所求 证明：由作法知ACX ∠=A CX '∠=BCX ∠即C 符合

讨论：本题有无解决定于直线XY 与直线A B '有无交点，故当A B '不平行与XY 即A 、B 两点到直线XY 距离不等时有唯一解当AB XY 即AB 到XY 距离相等时无解

X

Y

A

C A

B

习题29.求作四边形，已知一双对边及两对角线长度及两对角线的交角 已知：线段a.b.c.d 角α

求作：四边形ABCD 使得AD=a 、BC=b 、CA=c 、BD=d 对角线AC 与BD 的交角为α即 BEC ∠=α

分析：设四边形ABCD 已作出.过D 点作DF

AC ，DF 可作出．故BD 可确定。而C 点分别

B 、F 为圆心。b 、a 为半径的圆弧交点。当

C 点确定后。点A

可确定。即A 分别在

C （c ）

，D （a ）的交弧上。 作法：1 作BDF 使BD=d ，BDF ∠=α，DF=c 2 分别以B 、F 为圆心，b 、a 为半弧交于C

3 分别以点C 、D 为圆心，c 、a 为半径画弧交于A

4 连接AB 、BC 、DC 、DA 。则ABCD 为所求

证明：由作法可知：AD=a ，BC=b ，CA=c ，DB=d AD=CF=a ，CA=FD=a

∴四边形ACFD 是平行四边形 ∴CF

FD ，

∴BDF ∠=BEF ∠=α

故四边形ABCD 符合条件。

讨论：1 若B （b ）和F （a ）相离，无解 2 若1O 与2O 相切，而分别以C 、D 为圆心，c 、a 为半径的3O 和4O 相离时也无解 3 当1O 与2O 相切，且3O 与4O 也相切时才有解：交点个数可能为1，2，4但是合

同的

习题30.求作直角等腰三角形使其直角定点为定点A 余二定点分别在一定直线及一圆上 分析：假设Rt BAC 已作出，作(.90)

R A l l '???→，B 在l 上，(.90)

R A B C ???→，故C 在l '上：又由于C 必须在

O 上。故C 点为直线l 与O 的交点，确定C 后相应得也确定B 点

作法：过A 作AH l ⊥于H ，作H A H '∠=90且AH '=AH 过H '作直线l AH ''⊥。l '与O

交于C 。作CAB ∠=90。且交l 于B ，则ABC 为所求。 证明：由作法知B 在l 上，C 在O 上在CAB ∠=90

在Rt AH C '中与Rt AHB 中

AH=AH '，90H AC CAH HAB '∠=-∠=∠

∴

AH C '?AHB

∴AB=AC

A

D

B

F

C

即ABC 符合条件。

讨论：1.在A 到直线l 的距离AH

2.若A 到直线l 的距离AH=AB ，即l '与O 相切有一解

3.若AH >AB 时l '与O 相交有两解

习题31.在已知ABC 内作内接DEF ，使EF 与直线L 平行EDF ∠=定角α。且顶点D 是BC 边上的定点。

分析：设DEF 已作出作E F EF

L ''，E '、F 分别在AB 、AC 上分别过E '作DE 、DF 的

平行线D E ''，D F ''则有D E F '''DEF 而在E D F '''中E D F '''∠可 确定从而作出DEF

作法：E F L ''作，E '、F 分别在AB 、AC 上以E F ''为弦，连AD 交w 于D '连D E ''，D F ''的平行线DE ，DF '与AB 、AC 交于E 、F ，连接EF DEF 为所求作内接三角形 证明：由作法知：DE D E ''，DF

D F ''

∴EDF ∠=E D F '

''∠=α∠

∴

D E F '''DEF

DEF ∠=D E F '''∠

∴FEA ∠=F E A ''∠ ∴E F EF L ''

所以DEF 为符合条件的内接三角形

B

习题32.已知：弓形ACB 求作：弓形ACB 内接正方形EFGH

分析：设四边形EFGH 已作出E 、F 在AB 上G 、H 在ACB 上ABCD 为正方形。先以AB 为边在

ACB 所在一侧正方形ABMN 。则ABMN 为正方形EFGH 以EF 的中点D 为心的放大图形则H 既

在ACB 上又在DN 上，点G 既是ACB 上的点又在DM 上，方可作出G 、H 当G 、H 分别作AB 的垂线垂足分别为F 、E 则正方形EFGH 可作出 作法：（1）当时ACB ≤270时

先作弦AB 中点D 以AB 为边在弓形ACB 所在侧作正方形ABMN ，连接DM 、DN 分别交ACB 于G 、H ，分别过点G 、H 作AB 垂线垂足分别为F 、E 则四边形EFGH 既为所求 （2）当时ACB > 270时

先作ACB 的圆心O ，延长AO 交ACB 于点G ，过O 作AG 的垂线分别交AG 于点H 交BG 于点F 。则四边形AFGH 既为所求，这是

O 的内接四边形。显然BF >0的正方形AFGH ，

可绕O 顺时针旋转使F 在EF 上移动也满足条件 证明：（1）当ACB ≤270时，由作法知 MA ⊥ AB ，HE ⊥AB ，

∴HE

NA

∴DA DE NA

HE

=，又D 为AB 的中点。 ∴

DA=DB=12

AB

又AB=NA ，∴DA DE NA HE =

=1

2

，∴ HE ⊥AB

∴四边形EFGH 为矩形，且EF=DF+DE=HE ∴四边形EFGH 为正方形

又由作法知：E 、F 在AB 上。GH 在ACB 上， 故，正方形EFGH 符合条件。 （2）当ACB >270时，

AG与HF为O的直径，且AG⊥HF

∴AG与HF互相垂直平分，且AG=HF。

∴四边形AFGH为正方形，合乎条件。

讨论：1当ACB≤270时，有唯一解。

2当ACB>270时，有无穷多解。

习题33.设ABCD是平面上的平行四边形O为其中心M为平面π外一点若MA=MC，MB=MD 证明：MO⊥π

证明：如图，在AMC中

MA=MC，OA=OC，

∴MO⊥AC

同理在BMD中，MD=MO，BD=DO

∴ MO⊥BD

又AC?π，BD?π，AC?BD={}O，

∴ MO⊥π

习题34.一点到平面上两点的连线长是51CM和30CM这两线在平面上射影比为5：2求这点到平面的距离

已知：设M为平面α外一点，A、B为α内两点.

MA=51CM ，MB=30CM ，MO ⊥平面α, 垂足为O.且AO=BO=5：2，求MO 解：

MO ⊥ α，

∴ MO ⊥ AO ，MO ⊥ BO

由AO ：BO=5：2，可设AO=5k ，BO=2k ，设MO=h 。 在Rt MAO 与Rt MBO 中，由勾股定理，得

222222MA MO AO MB MO BO ?=+??=+??，即222

222

51(5)

30(2)

h k h k ?=+??=+?? ∴k=3，

h=

MO=

习题35.A 为平面α上一点.B 为α外一点.设

H 为B 在αAB=4BH.通过直线AB 有一平面β与平面α成30角.求平面α、β的交线和AB 的交角. 解：如图设αβ=AC 。在α内且过H 作HC ⊥AC 。

垂足为C 。

BH ⊥α。由三垂线定理得

BC ⊥AC 。故∠BCH 即为平面α与β的交角的平面角

∴∠BCH=30∴BC=2BH

在Rt

ABC 中，BC ⊥

AC 。BC=2BH ，∴sin ∠

BCH=

BC AB =24

BH

BH =∴∠BAC=60

即所求平面α、β的交线和AB 所成角为60

习题36.证明：空间四边形（假设每一内角小于二直角）四角之和小于四直角. 已知：在空间四边形ABCD 中. 求证：A ∠+B ∠+C ∠+D ∠<4d

证明：在ABD 所在平面内作BC D '?BCD ，如图 设AC '与BD 交于点M ，连结MC ，则MC '=MC 在AMC ，有MA+MC >AC ，即AC '>AC

在ABC 与ABC '中，由AB=AB ，BC=BC '，AC '>AC ABC '∠>ABC ∠ 又CBD ∠=C BD '∠

即ABD ∠+C BD '∠=ADB ∠+CDB ∠>ABC ∠ ① 同理可证ADC ∠

A ∠+ABD ∠+AD

B ∠

=180，BCD ∠+C ∠+BCD ∠=180

∴A ∠+ABD ∠+CBD ∠+C ∠+ADB ∠+CDB ∠=360③

由①②③得A ∠+B ∠+C ∠+D ∠<360

习题37.证明：多面体中，发出奇数条棱的定点数必为偶数.

证：设在多面体中.有E 条边（棱）.V 个顶点.其中发出奇数条棱的顶点有m 个.不妨设为前m 个.设第1.2

.m 个顶点分别发出1u .2

u m u 条棱.则有

1

m i i u =∑+1

v

i

i m u

=-∑=2E

即

1

m

i

i u

=∑=2E-

1

v

i

i m u

=-∑

上式右端两项均为偶数，即右边为偶数，故左端也是偶数

∴m 为偶数

若不然，若m 为奇数，则

1

m

i

i u

=∑是奇数个奇数之和，必为奇数，矛盾。

习题38.一凸多面体的棱数为30，面数为12，求它的各面角之和。 解：由欧拉公式V+F-E=2，得V=2+E-F=2+30-12=20 所以它的各面角之和为 4（V-2）d=4（20-2）d=76d

错位相减法求和附答案解析

错位相减法求和专项．}{a分别是等差数列和等比数列，在应用过{ab}型数列，其中错位相减法求和适用于nn`nn 程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为（n-1）项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 数列的前项已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数，1. 均在函数，点的图象上．和为 ）求数列Ⅰ（的通项公式； 是数列的前项和，求．（Ⅱ）设， [解析]考察专题：，，，；难度：一般 [答案] （Ⅰ）由于二次函数的图象经过坐标原点，

，，则设 ∴，∴， 又点均在函数的图象上， ∴． 时，，当∴ 又，适合上式，∴．．．．．．．．．．．．（7分） ，）知，Ⅰ）由（Ⅱ （． ∴， ∴， 上面两式相减得：

． 整理得．．．．．．．．．．．．．．（14分） 是数列的前n2.项和，且已知数列的各项均为正数， ． ）求数列的通项公式；1 （ ）的值.（2][答案查看解析 时，解出an = 1 = 3,] [解析（1）当12－①34S又= a + 2a nnn = + 2a－4s3 ②当时n-1n1－ 即，, －①② , ∴． （），

是以3为首项，2为公差的等差数列，6分 ． ）2③ （ 又④ ③④－ = 12分 设函数，19,12分）（2013年四川成都市高新区高三4月月考，3. ，数列前数列.项和，满足， ）求数列的通项公式；（Ⅰ

，证明：的前，数列.项和为（Ⅱ）设数列的前项和为 ，得由Ⅰ[答案] () 为公比的等比数列，故.是以 ）由（Ⅱ得， …， …+，记

用错位相减法可求得： （注：此题用到了不等式：进行放大. . ） 与的等比中项．4.已知等差数列是中，； ）求数列的通项公式：（Ⅰ 项和Ⅱ）若的前．求数列 （ 的等比中项．所以，是（[解析]Ⅰ）因为数列与是等差数列，

初等几何研究试卷2

第 1 页 （共 2 页） 2 一、填空题（本大题共7题，每空3分，共24分） 1、等边ABC ?外接圆周上一点P 与三顶点的连线中PA 最长，则PA 、PB 、PC 之间的关系是 。 2、ABC ?中，AB ＝3，AC ＝2，BC ＝4，则BC 边上的中线AM 长为 。 3、ABC ?中，AB ＝AC ，E 、D 分别是AB 、AC 上的点，且BC ＝BD ＝EA ＝ED ，则A ∠的度数是 。 4、等腰梯形ABCD 中，AD CB ，5AB DC ==，:1:2AD BC =，中位线9EF =，则这个等腰梯形的高是 ，面积是 。 5、已知AT 是圆O 的切线，ABC 是割线，OD AC ⊥，并且12AT =，36AC =，2OD =，则半径OC = 。 6、四边形ABCD 中，4AB BC ==，60B ∠=，7CD =，则AD 的取值范围是 。 7、到两定点A 、B 的距离的平方差为常量K 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，垂足为N ，则AN ＝ 。 二、计算题（本大题共2题，每小题8分，共16分） 1、梯形ABCD 的下底AB 在平面α上，上底高出平面40cm ，已知AB ：DC=5：3，求两对角线交点到平面α的距离. 2、AB 与圆O 相切于A ，D 点在圆O 内，DB 与圆O 相交于C ，若3BC DC ==， 2OD =，6AB =，求圆O 的半径. 三、证明题（本大题共5题，第1小题6分，第2、3、4小题每题10分, 第5小题12分,共48分） 1、已知F 是P ∠的平分线上一点，过F 任作两直线AD 、BC 分别交P ∠的一边于A 、C ， 交另一边于B 、D ，求证： AC BD =PA PC PB PD ??.（6分）

初等几何研究综合测试题(十八).doc

《初等几何研究》综合测试题（十八） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1 -卜列命题是假命题的是（） A.直角的补角是直角； B.钝角的补角是锐角; C.两直线被第三条直线所截，同旁内角互补; D.过直线外的一点到直线上点的连线中，垂线段最短。 2.命题“同角的余角相等”的题设是（） A.同角； B.余角； C.等角的余角； D.同角的余角 3.举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误的是（） ? ? A.设这个角是45°,则它的余角为45°,但45°=45°； B.设这个角为30°,则它的余角为60°，但30°<60°; C.设这个角为50°,则它的余角为40°,但50°>40°; D.设这个角为60°,则它的余角为30°,但60°>30°. 4.下列说法错误的是（） ? ? A.到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上； B.一条直线上有一点到己知角的两边的距离相等，这条直线平分已知角； C.到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角； D.已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角。 5.用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于60° ”，先应假设这个三角形中有（） A.每一个内角都小于6。°； B.有一个内角小于60°； C.有一个内角大于60°； D.每一个内角都大于60°。 6.如图1所示，直线BD与直线CE相交于点O,且NA0E=90°,则匕A0B的余角是（） A.ZBOC； B. ZAOE； C. ZAOD； D? ZB0C 与ZEODo 7.一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向 相同，这两次拐弯的角度是（） A?第一次向左拐30°,第二次向右拐30°；\ B.第一次向右拐50°,第二次向左拐130° : \

初等几何研究综合测试题(十三)

《初等几何研究》综合测试题（十三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.已知一个三角形的周长为15cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为___________。 A.1cm； B.2cm； C.3cm； D.4cm。 2.n边形对角线条数是__________。 A.； B.； C.； D.。 3. 在Rt AB C中，CD是斜边AB上的高，CD=6，且AD:BD=3:2，则斜边AB上的中线长等于________________。 A.； B.； C.； D.. 4.一个三角形的周长为偶数，其中两边分别为2和5，则第三边应是 _________。 A.5； B.6； C.3； D.4. 5.一正方形同时外切和内接于两个同心圆，当小圆的半径为r时，大圆的半径应为________。 A. ； B.1.5r； C. ； D.2r。 6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。 A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心； C.圆的切线垂直于过切点的半径； D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 7.不能判定直线MN是线段AB的垂直平分线的是_________。 A.MA=MB ,NA=NB ； B.MA=MB,MN⊥AB； C.MA=NA，BM=BN； D.MA=MB,MN平分AB。 8.如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形， 现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。 A.在AC、BC两边高线的交点处； B.在AC、BC两边中线的交点处； C.在AC、BC两边垂直平分线的交点处； D.在∠A、∠B两内角平分线的交点处。

错位相减法-(含答案)

— 1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,122+=n n a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足 *12 12 1 1,2 n n n b b b n N a a a +++ =-∈ ，求{}n b 的前n 项和n T 2. （2012年天津市文13分） 已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1122=++ +n n n T a b a b a b ，+n N ∈，证明1+18=n n n T a b --+(2)n N n >∈，。 … 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。

由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，()23225282132n n T n =?+?+?+-?+ ①； ∴()234+12225282132n n T n =?+?+?+?+- ②； 由②－①得， ： ()()234+1122232323+2332n n n T n =-?-?+?+?-+??+ ()()()()()()+12341+1+1+1+11=4+323222+2412111=4+323=4+32+1232142 =8+3=+8 n n n n n n n n n n n n a b ----?+++??---? --?----- ∴1+18=n n n T a b --+ (2)n N n >∈，。 3.（2012年天津市理13分）已知{n a }是等差数列，其前n 项和为n S ，{n b }是等比数列,且1a =1=2b ，44+=27a b ，44=10S b -. (Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式； (Ⅱ)记1121=++ +n n n n T a b a b a b -，+n N ∈，证明:+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. 【答案】解：（1）设等差数列的公差为d ，等比数列的公比为q ， 由1a =1=2b ，得3 44423286a d b q s d =+==+，，。 & 由条件44+=27a b ，44=10S b -得方程组 3 3 23227 86210 d q d q ?++=??+-=??，解得 3 2d q =??=?。 ∴+ 312n n n a n b n N =-=∈，，。 (Ⅱ)证明：由（1）得，231212222n n n n n T a a a a --=+++?+ ①；[

初等几何研究试题答案(2)李长明版

初等几何研究试题答案（II ） 二、关于和、差、倍、分线段（角） 1、 等腰ABC 中，0100,A B ∠=∠的平分线交AC 于D ，证明： BD+AD=BC 。 D ' B C A 43 2 1 证：在BC 上取点D , ,使BD , =BD,连结DD , 0100A ∠=且 BD 平分∠ABC 00120,40C ∴∠=∠= 又BD=BD ,,0380∴∠=,23C ∠+∠=∠ 0240∴∠= 即2C ∠=∠ ,,CD DD ∴= 又03180A ∠+∠= ∴点A 、D 、D ， 、B 四点共圆且14∠=∠ ∴DD , =AD

BC=BD , +CD , =BD+AD 已知，ABCD 是矩形，BC=3AB,P 、Q 位于BC 上，且BP=PQ=QC, 求证：∠DBC +∠DPC=∠DQC 解：作矩形BCEF 与矩形ABCD 相等，在EF 上选取点O 使得 FO=2EO.连结BO 、DO 。 由图可知，由BO=DO ，且有△BF O ≌△OED, ∵∠FBO+∠BOF=90o ∠BOF=∠DOE ∴∠BOF+∠DOE=90o ∴∠BOD=90o △BOD 为等腰直角三角形 有∠DBO=45o ∴∠DBP+∠QBO=45o ∵∠DPC=∠QBO ∴∠DBP+∠DPC=45o ∵△DQC 为等腰直角三角形 ∴有∠DQC=45o 因此，有∠DBP+∠DPC=∠DQC P Q A B C F E O P D

3、圆内接四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于X ，由X 向AB 、BC 、CD 和DA 作垂线,垂足分别为A ′、B ′、C ′和D ′. 求证：A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+D ′A ′ 证明：（方法一） ∵X 、A ′、A 、D ′四点共圆(对角和180°) ∴∠XA ′D ′=∠XAD ′ 又∵∠XAD ′=∠XBC(圆周角） 同理∠XA ′B ′=∠XBC,即∠XA ′D ′=∠XA ′B ′ 同理可得∠XB ′A ′=∠XB ′C ′,∠XC ′B ′=∠XC ′D ′, ∠XD ′C ′=∠XD ′A ′ ∴X 是四边形A ′B ′C ′D ′的内心。 ∴A ′B ′+C ′D ′=B ′C ′+A ′D ′ (方法二)利用正弦定理. 设r 是四边形ABCD 的外接圆 C A B A ′ C ′ D B ′ D ′ X

错位相减法求和附答案

错位相减法求和专项 错位相减法求和适用于{a n'b n}型数列，其中{a n},{b n}分别是等差数列和等比数列，在应用过程中要注意： 项的对应需正确； 相减后应用等比数列求和部分的项数为(n-1)项； 若等比数列部分的公比为常数，要讨论是否为1 1.已知二次函数的图象经过坐标原点，其导函数/■］■:I “亠］,数列?的前 项和为，点均在函数：=y：/.：：的图象上? (I)求数列的通项公式; (n)设，,■是数列的前」项和，求?’? ［解析］考察专题：2.1 , 2.2 , 3.1 , 6.1 ;难度：一般 ［答案］(I)由于二次函数-的图象经过坐标原点， 则设, 又点「均在函数的图象上， 二当心时,?、、= J ；：? ；?■■■ L］ 5 T

又忙：=.：「=乜，适合上式,

I ............................................... （7 分） （n）由（i）知 - 2 - :' 2 - ：......................................... |；■：■: 2 ? ? ：' - 'I+（2?+ l）^"kl,上面两式相减得 =3 21 +2 （21 +23十…4『r）-（2打+ 】 卜2* 4屮一才丨, , : ■ . 1=2 整理得：，?................. 2.已知数列’的各项均为正数，是数列’ （14 分）的前n项和，且 （1）求数列’的通项公式； （2）二知二一- ［答案］查看解析 解出a i = 3, ［解 析］ 又4S n = a n? + 2a n —3 ①

初等几何研究试题答案(李长明版)

初等几何研究试题答案（I） 、线段与角的相等 1. O O、O Q相交于A B, O O的弦BC交O Q于E, O 02的弦BD交O 0于F, 求证：(1)若2 DBA2 CBA贝卩 若DF二CE则 / DBA M CBA. 证明:⑴连接AC AE AF、AD 在O 0 中，由/ CBA W DBA得AC=AF 在O O 中，由/ CBA W DBA得AE=AD 由A C、B、E四点共圆得/仁/2 由A D B、E四点共圆得/ 3二/4 所以△ ACE^A AFD ??? DF=CE (2) 由(1)得/ 仁/ 2, / 3=2 4 v DF=CE ? △ACE^A AFD

??? AD=AE 在O Q 中，由AD=AE^得/ DBA M CBA 2. 在厶ABC中,AC=BC,Z ACB=90,D是AC上的一点,AE丄BD的延长线于E,又AE=1BD, 2 求证:BD平分/ ABC. 证明：延长AE,BC交于点F 7 AED "BCA =90 ADE "BDC ?CBD =/CAF 又7 ACF BCA = 90 AC 二BC ?ACF 三BCD . AF = BD 1 1 又、:AE BD . AE AF 2 2 又ABEE _ BE ■ BE平分ABF 即BD平分.ABC 3. 已知在凸五边形ABCDE中, / BAE=3 ,BC=CD=DE M/ BCD玄CDE=180-

求证：/ BAC 2 CAD h DAE. 证明：过点B 作BDL BC,交圆周于点D,连结CD ?D ???/ DBC=90, ? CD 是直径，则/ CAD=90 证明：连接BD,得△ CBD 是等腰三角形 且底角是/ CDB=[18(0-(180o — 2 - )] -2=. :丄 BDE=(180° — 2G )-O (=180O — 3? ??? A B 、D E 共圆 同理A C D E 共圆 ? h BAC h CAD h DAE 4. 设H 为锐角△ ABC 的垂心，若AH 等于外接圆的半 径

初等几何研究答案

《初等几何研究》作业 一、填空题 1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。 2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。 3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。 4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。 5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。 6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。 7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。 8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。 9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。 11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性. 33．①答案不惟一. 34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称. 36． ①1 =??ZB AZ YA CY XC BX （或－1） 37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.

初等几何研究试卷5

第 1 页 （共 2 页） 5 一、填空题（本大题共 9题，每空 2 分，共 20分） 1、当欲证某图形具有某种性质而又不易直接证明时，可以先作出具有所示性质的图形，然后证明所作的图形跟所给的图形就是同一个，这种证法叫做 ； 2、在ABC ?中，,BE AC CF AB ⊥⊥,若AB AC >，则BE 与CF 的大小关系是 ； 3、已知ABC ?的三边分别为5cm,8cm,11cm ，则ABC ?的面积S= ； 4、从圆O 外一点P 引这个圆的两条切线，其夹角为60o，如果PO=6，那么圆的半径等于 ； 5、圆内接四边形ABCD 中，已知AB=6cm,BC=CD=4cm,AD=8cm ，则对角线AC ·BD= ； 6、在一些作图题中，解题的关键在于一些线段的算出，这种利用代数解作图题的方法称为 ； 7、设点C 在线段AB 上且满足关系式2 AC AB CB =?，则点C 称为线段AB 的 ； 8、设一线段在互垂三平面上的射影为123,,r r r ，则此线段的长为 ； 9、到两定点A 、B 的距离的平方差为定值k 的点的轨迹是垂直于AB 的一条直线，称为 ，点A 到垂足H 的距离AH= . 二、计算题（本大题共 2 题，第1小题8 分,第2小题10分，共 18 分） 1、在ABC ?中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 的中点，连接BE 与AC 交于点P,求:BE EP 的值。 2、已知Rt ABC ?所在平面外一点P 到直顶角C 的距离为24， 到两直角边的距离为求PC 与平面ABC 所成的角。 三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分） 1、 圆的两弦AB 与CD 相交于一点E ，由E 引AD 的平行线与直线BC 交于F ，过F 作圆的 切线FG ，G 为切点，证明EF=FG. 2、设梯形ABCD 的两底之和AD+BC=CD ，求证D ∠与C ∠的平分线交于AB 的中点处。 C E

数列练习题(裂项相消法、错位相减法)

数列练习题 一、单选题 1．设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ） A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 二、填空题 2．已知公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，首项12a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列，则7S 的值为___________. 三、解答题 3．正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12461,4a S S S =+=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a n +的前n 项和n T ． 4．已知公差不为零的等差数列{}n a 满足132a a =，是1a 与7a 的等比中项． （1）求{}n a 的通项公式； （2）是否存在n 值，使得{}n a 的前n 项和27n S =？

本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。 5．已知在递增等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3是a 1和a 9的等比中项． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）若112 n a n n n b a a +=+?，求数列{b n }的前n 项和S n ． 6．已知n S 为{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列且各项均为正数，且23122n S n n =+，12b =，2332 b b +=. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）记()41n n n a c b += ，求数列{}n c 的前n 项和n T .

7．已知数列{}n a 的前n 项和243n S n n =-+，求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 8．已知等差数列{}n a 满足23a =，4822a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1 1n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的前n 项的和235n S n n =+． （1）求{}n a 的通项公式； （2）设1 3n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和．

初等几何研究作业参考答案

《初等几何研究》作业参考答案 一.填空题 1.①射线(或半直线),②。 2、 ①两,②度量公理(或阿基米德公理)与康托儿公理。 3.①前4组公理(或绝对几何),②平行公理。 4.①平移,②旋转,③轴对称、 5. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 。 6.①交轨法,②三角奠基法,③代数法,④变换法。 7.①反身性、②对称性、③传递性、④可加性、 8.外角、 9.答案不惟一、 10.①演绎,②综合,③直接,④反证,⑤同一; 11. 1=??ZB AZ YA CY XC BX 、(答－1也对) 12. ①过两点可作一条直线(或其部分),②已知圆心与半径可作一圆(或其部分)、 13.①不共线的三点A 、B 、C 及(AB)、(BC)、(CA)构成的点的集合。 14.连续、 15.答案不惟一、 16.①不过,②圆、 17.1 =??ZB AZ YA CY XC BX (或－1)、 18.①写出已知与求作,②分析,③作法,④证明,⑤讨论、 19.①相容,②独立,③完备、 20.合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等 21.对任意直线a 及其外一点A,在a 与A 决定的平面上,至少有两条过A 与a 不相交的直线、 22.①代数,②解析,③三角,④面积,⑤复数,⑥向量、 23.相等。 24.所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出. 二.问答题 1.对于公理系统∑,若有一组具体事物M,其性质就是已知的,在规定∑中每一个基本概念指M 中某一具体事物后,可验证∑中每个公理在M 中都成立,则称M 为公理系统∑的一个模型; 2.①若AB ≡B A '',则d(AB)=d(B A ''); ②当C B A ?时,有d(AB)+d(BC)=d(AC)、

初等几何分析综合测试题(三)

《初等几何研究》综合测试题（三） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形______________ 。 A. 一定全等； B. 一定不全等； C.可能全等，可能不全等； D.以上都不是。 2. 在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有 A.1 种； B.2 种； C.3 种； D.4 种。 3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AD//BC 则图中面积相等的三角形共有______________ A.1 对； B.2 对； C.3 对； D.4 对。 4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有 O A.1 种； B.2 种； C.3 种； D.4 种。 5. 如图，在V ABC 中，DE//BC ，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC 等于 ________________ 。 A. 3:5 ；B . 3:2; C . 2:3 ；D . 2:5。 6. O O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm , CD=48cm , AB、CD 的距离为22cm，则O O的半径是______________ 。 A.15cm ； B.20cm ； C.25cm ； D.30cm 。 7. 在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C. 互相平行（或在同一条直线上）且相等； D. 以上都不对。 8. 下列关于平移的说法中正确的是 ____________ 。 A. 原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； B. 平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C. 以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。 D. 以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； 二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1. 角的大小与边的长短有关。（） 2. 一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。（） 3. 两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。（） 4. 两直线被第三条直线所截，内错角相等，则同旁内角一定互补。（） 5. 平面上4条直线必定有6个交点。（）

初等几何研究试题标准答案()(李长明版)

初等几何研究试题答案()(李长明版)

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初等几何研究试题答案（I） 一、线段与角的相等 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD

∴AD=AE 在⊙O 2中,由AD=AE 可得∠DBA=∠CBA 2. 在△ABC 中,AC=BC,∠ACB=90O ,D 是AC 上的一点,AE ⊥BD 的延长线于E,又AE=1 2 BD, 求证:BD 平分∠ABC. 证明:延长AE,BC 交于点F AED BCA 90 ADE BDC CBD CAF ACF BCA 90 AC BC ACF BCD AF BD 11 AE BD AE AF 22 ABEE BE BE ABF BD ABC ∠=∠=?∠=∠∴∠=∠∠=∠=?=∴???∴==∴=⊥∴∠∠Q Q Q Q 又又又平分即平分 3. 已知在凸五边形ABCDE 中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α,

初等几何研究试题答案(1)(李长明版)

初等几何研究试题答案（I） 一、线段与角的相等 1. ⊙O1、⊙O2相交于A、B,⊙O1的弦BC交⊙O2于E,⊙O2的弦BD交⊙O1于F, 求证: （1）若∠DBA=∠CBA,则DF=CE; (2) 若DF=CE,则∠DBA=∠CBA. 证明:(1)连接AC、AE、AF、AD 在⊙O1中,由∠CBA=∠DBA得AC=AF 在⊙O2中,由∠CBA=∠DBA得AE=AD 由A、C、B、E四点共圆得∠1=∠2 由A、D、B、E四点共圆得∠3=∠4 所以△ACE≌△AFD ∴DF=CE (2)由（1）得∠1=∠2,∠3=∠4 ∵DF=CE ∴△ACE≌△AFD ∴AD=AE 在⊙O2中,由AD=AE可得∠DBA=∠CBA 2. 在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90O,D是AC上的一点,AE⊥BD的延长线于E,又AE=1 BD, 2 求证:BD平分∠ABC. 证明:延长AE,BC交于点F

3. 已知在凸五边形ABCDE中,∠BAE=3α,BC=CD=DE,且∠BCD=∠CDE=180o－2α, 求证:∠BAC=∠CAD=∠DAE. 证明:连接BD,得ΔCBD是等腰三角形 且底角是∠CDB=[180o－(180o－2α)]÷2=α. ∴∠BDE=(180°－2α)-α=180o－3α ∴A、B、D、E共圆 同理A、C、D、E共圆 ∴∠BAC=∠CAD=∠DAE 4. 设H为锐角△ABC的垂心,若AH等于外接圆的半径. 求证:∠BAC=60o 证明:过点B作BD⊥BC,交圆周于点D,连结CD、AD C ∵∠DBC=90o, ∴CD是直径,则∠CAD=90o 由题,可得AH⊥BC, BH⊥AC ∴BD∥AH, AD∥BH ∴四边形ADBH是□ ∴AH=BD

错位相减法数列求和法(供参考)

特定数列求和法—错位相减法 在高中所学的数列求合的方法有很多，比如倒序相加法、公式法、数学归纳法、裂项相消法、错位相减法等等，在此处我们就只着重讲解一种特定数列求和的方法——错位相减法。那到底什么是错位相减法呢？现在咱们来回忆当初学习等比数列时老师是怎么一步步推导出等比数列的求和公式的，下面是推导过程： 数列{}n a 是由第一项为1a ，且公比为q 的等比数列，它的前n 项和是 111121...n n a a q a q a q s -=++++ ，求 n s 的通项公式。 解 由已知有 111121...n n a a q a q a q s -=++++， ○ 1 两端同乘以q ，有 ○ 1-○2得 当1q =时，由○ 1可得 当1q ≠时，由○ 3可得 于是 1(1)n s na q == 或者 11(1)1n n a a q s q q -=≠- 通过上述推导过程老师运用了一种特殊的推导方法将本来很复杂的运算简化了，从而得到等比数列的求和公式，这种方法叫错位相减法，那我们是不是遇到复杂的运算就都可以用这种方法呢？答案当然不是，我们仔细观察这推导过程，就会发现其实错位相减法是用来计算一个等比数列乘以一个等差数列而成的复杂数列的。可以归纳数学模型如下： 已知数列{}n a 是以1a 为首项，d 为公差的等差数列，数列{}n b 是以1b 为首项，(1)q q ≠为公比的等比数列，数列n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和. 解 由已知可知 两端同乘以q 可得 = 11223311...n n n n n qc a b q a b q a b q a b q a b q --=+++++

(word完整版)错位相减法13年间的高考题

专项训练:错位相减法 目录 1.(2003北京理16) (2) 2.(2005全国卷Ⅰ) (2) 4.(2005湖北卷) (2) 5.(2006安徽卷) (2) 6.(2007山东理17) (2) 7.2007全国1文21) (2) 8.(2007江西文21) (2) 9.(2007福建文21) (2) 10.(2007安徽理21) (3) 11.(2008全国Ⅰ19) (3) 12.(2008陕西20) (3) 13.(2009全国卷Ⅰ理) (3) 14.(2009山东卷文) (3) 15.(2009江西卷文) (3) 16.(2010年全国宁夏卷17) (3) 17.(2011辽宁理17) (4) 18.(2012天津理) (4) 19.2012年江西省理 (4) 20.2012年江西省文 (4) 21.2012年浙江省文 (4) 22.(2013山东数学理) (4) 23.(2014四川) (4) 24.(2014江西理17) (5) 25.(2014安徽卷文18) (5) 26.(2014全国1文17) (5) 27.(2014四川文19) (5) 28.(2015山东理18) (5) 29.(2015天津理18) (5) 30.(2015湖北,理18) (5) 31.(2015山东文19) (5) 32.(2015天津文18) (6) 33.(2015浙江文17) (6) 专项训练错位相减法答案 (7)

已知数列{}n a 是等差数列且12a =,12312a a a ++= (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)令()n b a x x R =?∈ 数列{}b 的前n 项和的公式 在等差数列{}n a 中,11a =,前n 项和n S 满足条件 242 ,1,2,1 n n S n n S n +==+L , (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)记(0)n a n n b a p p =>,求数列 b 的前n 项和n T ? 设{}n a 为等比数列,11a =,23a =. (1)求最小的自然数n ,使2007n a ≥; (2)求和:212321232n n n T a a a a = -+--L . 9.(2007福建文21) 数列{}n a 的前n 项和为n S ,11a =,* 12()n n a S n +=∈N . (1)求数列{}n a 的通项n a ; (2)求数列{}n na 的前n 项和n T .

初等几何研究试卷4

第 1 页 （共 2 页） 4 一、填空题（本大题共 8 题，每空 2 分，共 20分） 1、当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成证明，这种较单纯的反证法叫做 ； 2、设CM 是ABC ?的中线，则当1 2 CM AB > 时，C ∠是 角； ３、两个平行平面的距离等于12cm ，一条直线和它们相交成60，则这条直线夹在两平面间的线段长为 ； 4、一些作图题中，往往可先作成图形的一个三角形，其余部分可由此三角形陆续作出，这种作图方法称为 ，此三角形称为 ； 5、在ABC ?中，若AB AC >，CD BE 、分别是C ∠和B ∠的平分线，则CD 与BE 的大小关系是 ； 6、已知ABC ?的三边分别为3cm ，5cm ，6cm ，则ABC ?的内切圆半径r= ； 7、到两定点A 、B 的距离之比为定比k 的点的轨迹是 和 ； 8、设圆内接正五、六、十边形的边长分别为5a 、6a 、10a ，则它们之间的关系为 。 二、计算题（本大题共 2 题，每题8 分，共 16 分） 1、在直二面角的棱上有两点A 、B ，AC 和BD 各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱 AB ，设8,6,24AB cm AC cm BD cm ===，求CD 的长。 2、设正方形ABCD 内接于O ，P 为DC 上一点，2 PA PC = = ，求P B P D ?的值。 三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分） 1、四边形ABCD 中，设AB CD =，M ，N 分别是AD 、BC 的中点，证明直线MN 与AB 、CD 所成的交角相等。 2、证明：梯形两腰的中点，两对角线的中点，四点共线。 C

数列题型(错位相减法)

数列专练（裂项相消法） 1. 已知数列{}n a 的前项和2 2n S n n =+； （1）求数列的通项公式n a ；（2）设1234 1 23111 1 n n n T a a a a a a a a +=++++ ，求n T ． 2. 已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足213 (1,) 22n S n n n n N *=+≥∈ （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n T 为数列? ?? ??? +11n n a a 的前n 项和，求使不等式20121005>n T 成立的n 的最小值. 2. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()11 1,2,3, 2 n n a S n +==． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）当()312 log 3n n b a +=时，求证：数列11n n b b +??? ??? 的前n 项和1n n T n = +. 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点), (n s n n 在直线2 1121+=x y 上，数列{}n b 满足0212=+-++n n n b b b ，() *N n ∈，113=b ，且其前9项和为153. （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设) 12)(112(3 --=n n n b a c ，求数列{}n c 前n 项的和n T . 4. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-，(1,2,3)n =???；数列{}n b 中，11,b = 点 1(,)n n P b b +在直线20x y -+=上．

初等几何研究综合测试题(二十)

《初等几何研究》综合测试题（二十） 适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。 A.一定全等； B.一定不全等； C.可能全等，可能不全等； D.以上都不是。 2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。 A.1种； B.2种； C.3种； D.4种。 3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD相交于点O， 则图中面积相等的三角形共有___________。 A.1对； B.2对； C.3对； D.4对。 4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。 A.1种； B.2种； C.3种； D.4种。 5.如图，在 ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。 A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。 6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。 A.15cm； B.20cm； C.25cm； D.30cm。 7.在平移过程中，对应线段 A.互相平行且相等； B.互相垂直且相等； C.互相平行（或在同一条直线上）且相等； D.以上都不对。 8.下列关于平移的说法中正确的是___________。 A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离； C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。 D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向； 二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1.正方形形既是中心对称图形又是轴对称图形。（√） 2.位似中心一定在两个图形之间。（×） 3.位似中心在连接两个对应点的线段之外的位似图形叫做外位似。（√） 4.两个位似图形对应点连线的交点个数为1或2。（×） 5.设点A与B关于x轴对称，点A与点C关于y轴对称，则点B与点C关于x对称。（×） 三、填空题（本题共4小题，每小题4分，共16分） 1.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于它的周角的11 12 ，则这个角的度数是________. 2. 如图，铁路上A、B两站（视为直线上两点）相距25km，C、D为两村庄（视为两个点），

试卷3答案

玉溪师范学院2004—2005学年下学期期末试卷答案及评分标准 《初等几何研究》试卷3 一、 填空题（本题共7题，每空3分，共24分） 1、20AH M =； 2 、； 3、61?； 4、10； 5、3； 6 、 7 、,AB 的中点二、 计算题（本题共2题，每小题8分，共16分） 1、解：设平面α与β的交线为AC ，过H 作HD AC ⊥，连BD ，则由三垂线定理知 BD AC ⊥，于是30BDH ∠=?.———3分 在Rt BHD ?中，有2BD BH =————2分 在Rt BDA ?中 sin 2BD BAD BH AB ∠= == 60.BAD ∴∠=?———————————3分 2、解：在ABD ?中，使用余弦定理， 22222257313 cos 1225714 AD BD AB AD BD +-+-∠===???——2分 sin 1∠==——————————1分 因为A ∠与C ∠互补，所以A B C D 、、、共圆———1分 于是 11'∠=∠，245BDC ∠=∠=?，——————2分 在ABC ?中，使用正弦定理 sin 2sin 1BC AB ='∠∠ 3sin 45sin 1BC ?=∠，故BC =.————————2分 三、 证明题（本题共5题，第1、2小题每题8分，第3、4小题每题10分，第5小题12 分，共48分） 1、证明：在CDB ?与CDA ?中， BD DA =，CD 公用，AC BC > CDA CDB ∴∠>∠————————3分 在EDB ?与EAD ?中 BD DA =，ED 公用，CDA CDB ∠>∠ AE BE ∴>———————————3分

高中数学数列_错位相减法求和专题训练含答案

错位相减法求和专题训练 1．已知数列{}n a 满足22,{ 2,n n n a n a a n ++=为奇数为偶数 ，且*12,1,2n N a a ∈==. (1)求 {}n a 的通项公式； (2)设* 1,n n n b a a n N +=?∈，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ； (3)设()2121n n n n c a a -=?+-，证明： 123 111154 n c c c c ++++ < 2．设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =， 2 1691n n a S n +=++， *n N ∈. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若正项等比数列{}n b 满足1132,b a b a ==，且n n n c a b =?，数列{}n c 的前n 项和为n T . ①求n T ； ②若对任意2n ≥， *n N ∈，均有()2 563135n T m n n -≥-+恒成立，求实数m 的取值范 围. 3．已知*n N ∈，设n S 是单调递减的等比数列{}n a 的前n 项和， 112 a = 且224433,,S a S a S a +++成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）记数列{}n na 的前n 项和为n T ，求证：对于任意正整数n ， 1 22 n T ≤<. 4．递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且26S =， 430S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12 log n n n b a a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求1 250n n T n ++?>成立的正整数n 的 最小值. 5．已知数列{}n a 及()2 12n n n f x a x a x a x =++ +，且()()11?n n f n -=-, 1,2,3, n =. （1）求123a a a ，，的值； （2）求数列{}n a 的通项公式；