一元二次方程与几何问题

已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB 的面积相等，則AE的长为?

如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是？

如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于？

如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE 的长为？

一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有DC2=AE2+BC2．

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm，

（1）当x为何值时，点P、N重合；

（2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形．

如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P．

（1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由；

（2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．

如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒．

（1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度；

（2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形；

（3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由．

如图，△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=4cm，一动点P从C出发沿着CB方向以1cm/S的速度运动，另一动点Q从A出发沿着AC方向以2cm/S的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t（s）．

（1）当t为几秒时，△PCQ的面积是△ABC面积的1

4

？

（2）△PCQ的面积能否为△ABC面积的一半？若能，求出t的值；若不能，说明理由．

如图所示，甲、乙两人开车分别从正方形广场ABCD的顶点B、C两点同时出发，甲由C向D 运动，乙由B向C运动，甲的速度为1km/min，乙的速度为2km/min；若正方形广场的周长

为40km，问几分钟后，两人相距km？

如图，矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动，当点P 到达B 点或点Q 到达C 点时，两点停止移动，如果P 、Q 分别是从A 、B 同时出发，t 秒钟后， （1）求出△PBQ 的面积；

（2）当△PBQ 的面积等于8平方厘米时，求t 的值．

（3）是否存在△PBQ 的面积等于10平方厘米，若存在，

求出t 的值，若不存在，说明理由．

例1、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果P 、Q 分别

从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2

？

学生练习、在△ABC 中，∠B=90°，AB=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从点A 、B 同时出发，（1）多长时间后，点P 、Q 的距离等于24 cm ？

（2）如果点P 到点B 后，又继续在边BC 上前进，点Q 到点C 后，又继续在边CA 上前进，

经过多长时间后，△PCQ 的面积等于12.6 cm 2?

P C A

B

Q ↑

例2、如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝12cm ，AB ＝6cm ，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以2cm/s 的速度移动（不与B 点重合），动直线QD 从AB 开始以2cm/s 速度向上平行移动，并且分别与BC 、AC 交于Q 、D 点，连结DP ，设动点P 与动直线QD 同时出发，运动时间为t 秒，

（1）试判断四边形BPDQ 是什么特殊的四边形？如果P 点的速度是以1cm/s ， 则四边形BPDQ 还会是梯形吗？那又是什么特殊的四边形呢？

（2）求t 为何值时，四边形BPDQ 的面积最大，最大面积是多少？

学生练习：某海关缉私艇在C 处发现在正北方向30km 的A

处有一艘可疑船只，测得它正以60km/h 的速度向正东方向航行，缉私艇随即以75km/H 的速度在B 处拦截，问缉私艇从C 处到B 处需航行多长时间?

例3、如图，A 、B 、C 、D 为矩形的4个顶点，AB ＝16cm ，BC ＝6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 同时出发，点P 以3cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；点Q 以2cm/s 的速度向点B 移动，经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm?

例4、如图，在平面直角坐标系内，已知点A(0，6)、点B(8，0)，动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P 、Q 移动的时间为t 秒， （1）当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？

（2）当t 为何值时，△APQ 的面积为5

24

个平方单位？

C A B C A B P Q

D ← ↑ Q

P

B D A C

A C D B

例5、有一边为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ ＝PR ＝5cm ，QR ＝8cm ，点B 、C 、Q 、R 在同一直线l 上，当C 、Q 两点重合时，等腰三角形PQR 以1cm/s 的速度沿直线l 按箭头方向匀速运动，

（1）t 秒后正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为5，求时间t ； （2）当正方形ABCD 与等腰三角形PQR 重合部分的面积为7，求时间t ；

例6、如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC 是等腰梯形，CB ∥OA ，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P 为x 轴上的—个动点，点P 不与点0、点A 重合．连结CP ，过点P 作PD 交AB 于点D ，(1)求点B 的坐标；(2)当点P 运动什么位置时，△OCP 为等腰三角形，求这时点P 的坐标；(3)当点P 运动什么位置时，使得∠C PD=∠OAB， 且

5

8

BD BA ，求这时点P 的坐标；

1、如图，小刚在C 处的船上，距海岸AB 为2km ，划船的速度为4km/h ，在岸上步行时的速度为5km/h ，小刚要在1.5h 到达距A 点6km 的B 处，问小刚登陆点D 应在距B 点多远

的地方?

2、矩形ABCD 中，AB ＝6cm ，BC ＝12cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，问几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2；

C

B Q R A D l

P

C

Q

D A P

B

3、在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10. 点E在下底边BC上，点F在腰AB上. （1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1∶2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；

4、如图，直角坐标系中，已知点A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发沿BO向终点O运动，动点Q从A点出发沿AB向终点B运动．

设从出发起运动了xs，

（1）Q点的坐标为（，）；（用含x

（2）当x为何值时，△APQ是一个以AP为腰的等腰三角形?

(3)记PQ的中点为G．请你探求点G随点P，Q

并说明理由；

5、如图，机器人在点A处发现一个小球自点B处沿x轴向原点方向匀速滚来，机器人立即从A处匀速直线前进去截小球．点A的坐标为（2，5），点B的坐标为（10，0），（1）若小球滚动速度与机器人的行驶速度相等，问机器人最快可在何处截到小球？

（2

6、如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6米，BC ＝8米，动点P 以2米/秒的速度从点A 出发，沿AC 向点C 移动，同时动点Q 以1米/秒的速度从点C 出发，沿CB 向点B 移动，设P 、Q 两点移动t 秒（0

7、如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC=8cm ，BC=6cm ，∠C=90°，EG=4cm ，∠EGF=90°，O 是ΔEFG 斜边上的中点，如图②，若整个ΔEFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在ΔEFG 平移的同时，点P 从ΔEFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，ΔEFG 也随之停止平移，设运动时间为x(s)，FG 的延长线交AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y （cm 2）（不考虑点P 与G 、F 重合的情况）， （1）当x 为何值时，OP//AC ？

（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围； （3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与ΔABC 面积的比为 13：24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由；

（参考数据：，，或，，25.205.436.194.413456116132251151299611422222===== 16.216.42=）

几何图形与一元二次方程练习题

实际问题与一元二次方程练习题 教学内容 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 教学目标掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 利用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题． 重难点关键 1 ．?重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2 ．?难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型． 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、复习引入 （口述）1．直角三角形的面积公式是什么？?一般三角形的面积公式是什么呢？ 2 ．正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又

是什么? 3 .梯形的面积公式是什么？ 4 .菱形的面积公式是什么？ 5 .平行四边形的面积公式是什么？ 6 .圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题. 例1 .某林场计划修一条长750m断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6 m2, ?上口宽比渠深多2m渠底比渠深多0.4m. （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3,需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm, 则上口宽为x+2, ?渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模. 解：（1）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4 ）m,上口宽为（x+2）m 依题意，得：丄（x+2+x+0.4 ）x=1.6 2 整理，得：5x2+6x-8=0 解得：X i=- =0. 8m, X2=-2 (舍) 5

几何图形与一元二次方程(1)

几何图形与一元二次方程 1 ?掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题. 2 ?继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题. 3?通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力. 、情境导入 10cm,宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下 的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的 80%你能求出所截去小正方形的边长吗? 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 用10米长的铝材制成一个矩形窗框， 使它的面积为6平方米.若设它的一条边长 为x 米，则根据题意可列出关于 x 的方程为( ) A. x (5 + X )= 6 B ? x (5 — X )= 6 C. x (10 — x ) = 6 D . x (10 — 2x ) = 6 解析：设一边长为x 米，则另外一边长为(5 — x )米，根据它的面积为 6平方米，即可列 出方程得： x (5 — x ) = 6，故选择B. 方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关 系列出方程. 现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为 1500cm 2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长. 解析：设小正方形的边长为 x cm,则长方体盒子底面的长、宽 均可用含x 的代数式表示, 再根据面积，即可建立等量关系，列出方程. (60 — 2x )cm ,根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积， 方程可列为(80 — 2x )(60 —2x ) = 1500,整理得 x 2— 70x + 825= 0,解得 X 1 = 55, X 2= 15.又 60 — 2x >0,x = 55(舍). 小正方形的边长为 15cm. 方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息， 通过图形求出面积，解 题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可. 【类型二】整体法构造一元二次方程模型 如图，在长为 x cm 的 小正方形，做成一个底面积为 解：设小正方形的边长为 x cm,则可得这个长方体盒子的底面的长是 (80 — 2x )cm ，宽是

一元二次方程几何题

一元二次方程的几何应用 一．解答题（共7小题） 1．已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？ （2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？ （3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由． 2．在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2． （1）求这地面矩形的长； （2）有规格为0.80×0.80和1.00×1.00（单位：m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？ 3．某商场购进一种每件价格为100元的商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）（100≤x≤160）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：

（1）求出y与x之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得700元的利润． 4．如图．A、B、C、D为矩形的4个顶点：AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止：点Q以2cm/s的速度向点B移动，经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？ 5．如图，在边长为12cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1cm的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以每秒钟2cm的速度移动．若P、Q分别从A、B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求： （1）经过6秒后，BP=cm，BQ=cm； （2）经过几秒后，△BPQ是直角三角形？ （3）经过几秒△BPQ的面积等于cm2？ 6．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时，点Q从点C出发沿以2cm/s的速度向点D移动．经过多长时间P、Q两点的距离是10？

一元二次方程与几何综合

一元二次方程与几何综合 1．如图，ABC △中，90C ∠=?，6cm AC =，8cm BC =，点P 从A 沿AC 边向C 点以1cm/s 的速度移动，在C 点停止，点Q 从C 点开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动，在B 点停止． （1）如果点P ，Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟，使28cm QPC S =△？ （2）如果点P 从点A 先出发2s ，点Q 再从点C 出发，再经过几秒钟，24cm QPC S =△？ （3）如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，经过几秒钟后PQ BQ =？ 2．如图，在四边形ABCD 中，AB CD ∥，90A ∠=?，2CD =，3AB =，7AD =，点P 为线段AD 上一点，CP BP ⊥，求DP 的长．

3．如图，直角梯形AECD 中，AE CD ∥，90E ∠=?，12AE CE ==，M 为EC 上一点，若45MAD ∠=?，10DM =，求EM 的长． 4．如图，在ABC △中，90B ∠=?，5cm AB =，7cm BC =，点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动． （1）如果P ，Q 分别从A ，B 同时出发那么几秒后，PQ 的长度等于？ （2）在（1）中，PQB △的面积能否等于27cm ？请说明理由．

5．如图，在矩形ABCD 中，12cm AB =，6cm BC =，点P 从A 点出发沿AB 以2cm/s 的速度向点B 移动，一直到达点B 为止；同时，点Q 从C 点出发沿CD 以1cm/s 的速度向点D 移动，当点P 停止运动时，点Q 也停止运动． （1）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是6cm ？ （2）经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？ 6．已知正方形ABCD 的边长为10，现改变该正方形的边长，使其变为矩形．若AD 的长增加了x ，AB 的长减少了kx （其中0k ＞，0)x ＞． （1）若2k =，请说明改变后得到的矩形面积是否可为125； （2）若改变后得到的矩形面积仍为100，求x 与k 的数量关系．

用一元二次方程解决几何图形问题含答案

用一元二次方程解决几何图形问题 基础题 知识点1一般图形的问题 1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm． 4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m. 5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有 x(28－x)＝180. 解得x1＝10(舍去)，x2＝18.

则28－x＝28－18＝10. 答：长为18厘米，宽为10厘米． (2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有 y(28－y)＝200. 化简，得y2－28y＋200＝0. ∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根． 故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形． 知识点2边框与甬道问题 6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等

2014年武汉市元月调考专题-一元二次方程与几何综合以及_最值问题(教师版)

2014-2015年武汉市中考一元二次方程与几何综合 .例题讲解： 【例1】（2013～2014·江岸九上起点·25）（试题难度：A ） 参考答案：（1）①3 2 b a ；②m =1（2）5000． 分析：（1）①△ABD 的三边分别为a b a 2 52、、，且∠BAD =45°，故过B 点做BF ⊥AD 于F ，在△BFD 中使用勾股定理可以得到a 、b 之间的关系式，因式分解之后得到两个结果，根据条件a

初中数学几何图形与一元二次方程教案

初中数学几何图形与一元二次方程教案 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题．2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题．3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 一、情境导入

如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？ 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6

C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B. 方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程． 现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长． 解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程． 解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x ＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm. 方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解

一元二次方程与几何问题

已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB．取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM．过E作EF丄CD，垂足为F点．若正方形AENM与四边形EFDB 的面积相等，則AE的长为? 如图，矩形ABCD的周长是20cm，以AB，CD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和ADGH的面积之和68cm2，那么矩形ABCD的面积是？ 如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A′B′C′，若两个三角形重叠部分的面积为1cm2，则它移动的距离AA′等于？ 如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE 的长为？ 一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示．正方形DEFH的边长为2米，坡角∠A=30°，∠B=90°，BC=6米．当正方形DEFH运动到什么位置，即当AE为多少米时，有DC2=AE2+BC2．

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． 如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分别从A、B、C、D出发，沿AD、BC、CB、DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止、已知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm， （1）当x为何值时，点P、N重合； （2）当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形． 如图，有一块塑料矩形模板ABCD，长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF 的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动三角板顶点P． （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C？若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说明理由； （2）再次移动三角板位置，使三角板顶点P在AD上移动，直角边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延长线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 cm？若能，请你求出这时AP 的长；若不能，请你说明理由．

用一元二次方程解决动态几何问题

用一元二次方程解决动态几何问题 例1 在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？ 变式训练一：几秒钟后，若△PQD 的面积等于8cm 2呢？ 变式训练二：当点Q 运动到点D 时，P 、Q 两点同时停止运动，试求△PQD 的面积S 与P 、Q 两个点运动的时间t 之间的函数关系式。 动态几何找等量关系的基本思路： B A C D Q P

1、 若动态图形比较特殊，思考用基本几何图形的面积公式找等量关系列方程或函数关系式； 2、 如动态图形不特殊，则思考用组合图形的面积和差找等量关系列方程或函数关系式。 例1 在矩形ABCD 中,AB=6cm,BC=12cm,点P 从点A 开始以1cm/s 的速度沿AB 边向点B 移动,点Q 从点B 开始以2cm/s 的速度沿BC 边向点C 移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，几秒后⊿ PBQ 的面积等于8cm2？ 例2：等腰直角⊿ ABC 中,AB=BC=8cm,动点P 从A 点出发,沿AB 向B 移动,通过点P 引平行于BC,AC 的直线与AC,BC 分别交于R 、Q.当AP 等于多少厘米时,平行四边形PQCR 的面积等于16cm2? 例3：⊿ABC 中,AB=3, ∠ BAC=45°,CD ⊥ AB,垂足为D,CD=2,P 是AB 上的一动点(不与A,B 重合), 且AP=x,过点P 作直线l 与AB 垂直. i)设⊿ ABC 位于直线l 左侧部分的面积为S,写出S 与x 之间的函数关系式; ii)当x 为何值时,直线l 平分⊿ ABC 的面积? B A C D Q P Q R C B A P

初中数学：用一元二次方程解决几何图形问题练习

初中数学：用一元二次方程解决几何图形问题练习 01 基础题 知识点1 一般图形的问题 1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(B) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉 2 m宽的长方形木条,剩下的面积是48 m2,则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2 B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm,面积是7 cm2,则它的两条直角边长分别为2__cm,7__cm． 4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2,如果它的长减少2 m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是12m. 5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时,长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 解：(1)设矩形的长为x厘米,则宽为(28－x)厘米,依题意,有 x(28－x)＝180. 解得x 1＝10(舍去),x 2 ＝18. 则28－x＝28－18＝10. 答：长为18厘米,宽为10厘米． (2)设矩形的长为y厘米,则宽为(28－y)厘米,依题意,有y(28－y)＝200. 化简,得y2－28y＋200＝0. ∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根．

故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形． 知识点2 边框与甬道问题 6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地,后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图),原空地一边减少了1 m,另一边减少了2 m,剩余空地的面积为18 m2,求原正方形空地的边长,设原正方形空地的边长为x m,则可列方程为(C) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 7．如图,在长为100米,宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路,剩余部分进行绿化,要使绿化面积为7 644平方米,则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米,则可列方程为(C) A．100×80－100x－80x＝7 644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644 C．(100－x)(80－x)＝7 644 D．100x＋80x＝356 8．如图所示,相框长为10 cm,宽为6 cm,内有宽度相同的边缘木板,里面用来夹相片的面积为32 cm2,则相框的边缘宽为多少厘米？

一元二次方程的几何应用

实际问题与一元二次方程 面积问题 一、选择题 1.有一张画的尺寸是12×18，要在它的四周镶上一样宽的银边.如果使银边的面积正好与画面积相等，那么银边应当有多宽？设银边的宽为x ，根据题，如下四个方程中，错误的是（ ） A. ()181******** ?=++x x x B. ()181********?=?++x x x C. ()()[]181212182?=+++x x x D. ()()121812182 1?=++x x 2.小明家的饭桌桌面是一个长方形，其长为150㎝，宽为80㎝，现要在桌面上铺一块桌布，已知桌布的面积是桌面面积的2倍，全桌面四周垂下的边均为x ㎝，则所列方程为（ ） A.()()2801502802150??=++x x B. ()()28015080150??=++x x C. ()()8015080150?=++x x D. ()80150801502?=+x x 3.有一个面积为16㎝2的梯形，它的一条底边长为3㎝，另一条底边长比它的高线长1㎝，若设这条底边长为x ㎝，依据题意，列出整理后得（ ） A. 03522=-+x x B. 07022=-+x x C. 03522=--x x D. 07022 =+-x x 4.从一块正方形的铁版上剪掉2㎝宽的长方形铁片，剩下的面积是48㎝2，则原来铁片的面积为（ ） A.64㎝2 B.100㎝2 C.121㎝2 D.144㎝2 二填空题 5.用22㎝长的铁丝折成一个面积为30㎝2的矩形，若这个矩形的长为x ㎝，依题意可列一 元二次方程. 6.如图①，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上修建同样宽的三条道路（横向与纵向垂直）， 把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m 2，求道路宽为多少？ 设宽为x m ，从图②的思考方式出发列出的方程是； 三、解答题 7.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在已备足可以砌50m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花① ②

几何图形与一元二次方程(1)

几何图形与一元二次方程 1．掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 2．继续探究实际问题中的数量关系，列出一元二次方程解应用题． 3．通过探究体会列方程的实质，提高灵活处理问题的能力． 一、情境导入 如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，你能求出所截去小正方形的边长吗？ 二、合作探究 探究点：用一元二次方程解决图形面积问题 【类型一】利用面积构造一元二次方程模型 用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米．若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) A．x(5＋x)＝6 B．x(5－x)＝6 C．x(10－x)＝6 D．x(10－2x)＝6 解析：设一边长为x米，则另外一边长为(5－x)米，根据它的面积为6平方米，即可列出方程得：x(5－x)＝6，故选择B. 方法总结：理解题意，恰当的设未知数，把题中相关的量用未知数表示出来，用相等关系列出方程． 现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm的小正方形，做成一个底面积为1500cm2的无盖的长方体盒子，求小正方形的边长．解析：设小正方形的边长为x cm，则长方体盒子底面的长、宽均可用含x的代数式表示，再根据面积，即可建立等量关系，列出方程． 解：设小正方形的边长为x cm，则可得这个长方体盒子的底面的长是(80－2x)cm，宽是(60－2x)cm，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面积，方程可列为(80－2x)(60－2x)＝1500，整理得x2－70x＋825＝0，解得x1＝55，x2＝15.又60－2x>0，∴x＝55(舍)．∴小正方形的边长为15cm. 方法总结：要从已知条件中找出关键的与所求问题有关的信息，通过图形求出面积，解题的关键是熟记各种图形的面积公式，列出符合题意的方程，整理即可． 【类型二】整体法构造一元二次方程模型

第四讲-一元二次方程与二次函数(含答案)

中考数学重难点专题讲座 第四讲一元二次方程与二次函数 【前言】前三讲，笔者主要是和大家探讨中考中的几何综合问题，在这一类问题当中，尤以第三讲涉及的动态几何问题最为艰难。几何问题的难点在于想象，构造，往往有时候一条辅助线没有想到，整个一道题就卡壳了。相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往 是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。 一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考 察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以 我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。 第一部分真题精讲 【例1】2010，西城，一模 _ Q 已知：关于x 的方程mx2 3(m 1)x 2m 3 0 ． ⑴求证：m 取任何实数时，方程总有实数根； ⑵若二次函数y1 mx2 3(m 1)x 2m 1的图象关于y轴对称． ① 求二次函数y1 的解析式； ②已知一次函数y2 2x 2 ，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所 对应的函数值％> y2均成立； ⑶在⑵条件下，若二次函数y3 ax2 bx c的图象经过点(5 , 0)，且在实数范围内， 对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y i > y s > y2，均成立，求二次函数2 y3 ax2 bx c 的解析式．

【思路分析】本题是一道典型的从方程转函数的问题，这是比较常见的关于一元二次方程与二次函数的考查方式。由于并未说明该方程是否是一元二次方程，所以需要讨论M=0 和M工0两种情况，然后利用根的判别式去判断。第二问的第一小问考关于Y轴对称的二 次函数的性质，即一次项系数为0，然后求得解析式。第二问加入了一个一次函数，证明因 变量的大小关系，直接相减即可。事实上这个一次函数y2恰好是抛物线y的一条切线，只 有一个公共点（1，0）。根据这个信息，第三问的函数如果要取不等式等号，也必须过该点。 于是通过代点，将y3用只含a的表达式表示出来，再利用y i > y3 > y2,构建两个不等式，最终分析出a 为何值时不等式取等号，于是可以得出结果? 【解析】 解：（1）分两种情况： 当m 0 时，原方程化为3x 3 0 ，解得x 1 ，（不要遗漏） ???当m 0 ,原方程有实数根? 当m 0时，原方程为关于x 的一元二次方程， 2 2 2 T△ [ 3 m 1 ] 4m 2m 3 m26m 9 m 3 > 0. ?原方程有两个实数根. （如果上面的方程不是完全平方式该怎样办？再来一次根的判 定，让判别式小于0 就可以了，不过中考如果不是压轴题基本判别式都会是完全平方式，大家注意就是了） 综上所述，m取任何实数时，方程总有实数根. （2）①???关于x的二次函数y1 mx2 3（m 1）x 2m 3的图象关于y轴对称，?3（m 1） 0.（关于Y 轴对称的二次函数一次项系数一定为0） ?m 1. 抛物线的解析式为 2 y1 x1. ② T y-i y2x212x 2 2 x 1 > 0 ,（判断大小直接做差） -y1 > y2 （当且仅当x 1 时，等号成立）.（3）由②知，当x 1 时，y1y2 0.

用一元二次方程解决几何图形问题同步练习

第3课时用一元二次方程解决几何图形问题 要点感知面积(体积)问题属于几何图形的应用题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合、平移成规则图形，找出未知量与_____的内在联系，根据_____公式列出一元二次方程. 预习练习1-1 (襄阳中考)用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形.设长方形的长为x cm，则可列方程为( ) (20+x)=64 (20-x)=64 (40+x)=64 (40-x)=64 1-2 (兰州中考)如图，在一块长为22米，宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米.设道路宽为x米，根据题意可列出的 方程为_____. 知识点1 一般图形的问题 1.(白银中考)用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x米，则根据题意可列出关于x的方程为( ) (5+x)=6 (5-x)=6 (10-x)=6 (10-2x)=6 2.有一个面积为16 cm2的梯形，它的一条底边长为3 cm，另一条底边长比它的高线长1 cm，若设这条底边长为x cm，依据题意，列出方程整理后得( ) +2x-35=0 +2x-70=0 =0 +70=0

3.(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是_____m. 4.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm,面积是7 cm2,这两条直角边长分别为_____ 5.如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m2. 知识点2 边框与甬道问题 6.如图，在宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的道路(图中阴影部分)，余下的部分种上草坪.要使草坪的面积为540 m2，求道路的宽.如果设小路宽为x m，根据题意，所列方程正确的是( ) A.(20-x)(32-x)=540 B.(20-x)(32-x)=100 C.(20+x)(32-x)=540 D.(20-x)(32+x)=540 7.如图所示,某小区计划在一个长为40米,宽为26米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬路,使其中两条与AB 垂直,另一条与AB平行,其余部分种草,若使每一块草坪的面积都为144平方米,求甬路的宽度. 8.如图，某单位准备在图书馆直角墙角处搭建一个面积为450平方米的矩形堆物场，其中两边可以利用图书馆的墙角，并利用已有总长60米的铁围栏，并且中间要用铁围栏分隔为两块，求AB的长度.设AB的长为x米，则可列方程为_____.

一元二次方程与几何综合,以及 最值问题(教师版)

一元二次方程与几何综合 一、教学目标 知识目标：运用根的判别式及韦达定理解决与一元二次方程的根有关的几何问题，强化旋转中的基本图形和有关圆的综合题的处理方法． 能力目标：能熟练地将方程的根与几何图形中的条件联系起来，通过方程的性质和几何图形的性质实行转化． 情感目标：增强学习的信心，培养科学探究的意识． 二、教学重点 建立一元二次方程的两根的与几何图形之间的联系． 三、教学难点 含参一元二次方程的处理． 四、课时安排 2～3课时（2小时左右）． 五、教学过程 1.先简单回顾上节课一元二次方程综合题的基本方法，并回顾韦达定理的基本内容和含参数的一元二次方程的处理方法． 2.例题讲解： 【例1】（2013～2014·江岸九上起点·25）（试题难度：A）

参考答案：（1）①3 2 b a ；②m =1（2）5000． 分析：（1）①△ABD 的三边分别为a b a 252、 、，且∠BAD =45°，故过B 点做BF ⊥AD 于F ，在△BFD 中使用勾股定理可以得到a 、b 之间的关系式，因式分解之后得到两个结果，根据条件a

一元二次方程的几何解法

一元二次方程的几何解法 上传: 程峰更新时间：2012-5-23 23:15:08 一元二次方程的几何解法 江西省彭泽县杨梓中学（332713）程峰cfpk0808@https://www.doczj.com/doc/651221500.html, 课标北师大版九年级（上）第52页读一读中以方程x +2x-35=0为例介绍了两种几何解法，该解法从“形”上体现了配方法的本质。 方法一，（三国时期数学家赵爽的解法）由x +2x-35=0得x(x+2)=35,如图1，构造边长为（x+x+2)的正方形，则其面积为（x+x+2) ，又有图1知大正方形是由四个长与宽分别为x+2和x的矩形及一 个边长为2的小正方形组成，所以大正方形的面积又等于4（x+2)x+2 =4×35+4=144,∴（x+x+2) =144,∵x表示边长，∴x=5. 说明：赵爽的解法是把x +2x=x(x+2)看作是矩形的面积，然后用四个这样的矩形和一个边长为2的正方形组成一个边长为（x+x+2)的正方形，再由面积关系求出x。. 图1 图2 例1，用赵爽的解法解方程x -2x-35=0 解析：原方程变为x（x-2)=35，如图2，构造边长为（x+x-2)的正方形，则其面积为（x+x-2) ， 另一方面，大正方形面积等于4s +s =4x(x-2)+2 =4×35+4=144, ∴（x+x-2) =144,∴x=7. 例2，用赵爽的解法解方程3x +8x-3=0(教材例题） 解析：原方程变为x + x-1=0,即x(x+ )=1.如图3，构造边长为 (x+x+ )的正方形，其面积为(x+x+ ) ，另一方面，大正方形面积等于4s +s =4x(x+ )+( ) =4×1+ = ,即(x+x+ ) =，∴x= . 图3 归纳：形如ax +bx+c=0(a,b,c,为常数，a≠0,且b -4ac≥0)的一元二次方程用赵爽的解法的步骤主要是：

知识点14 一元二次方程的几何应用2021

一、选择题 7．（2020·遵义）如图，把一块长为40 cm ，宽为30 cm 的矩形硬纸板的四角剪去四个相同小正方形，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为600 cm 2，设剪去小正方形的边长为x cm ，则可列方程为（ ） A ． (30－2x ) (40－x )＝600 B ． (30－x ) (40－x )＝600 C ． (30－x ) (40－2x )＝600 D ． (30－2x ) (40－2x )＝600 {答案}D {解析}本题考查一元二次方程的应用，找出图形中的等量关系是解题的关键．由题意得，无盖纸盒的底面长为(40－2x) cm ，宽为(30－2x) cm ，根据该无盖纸盒的底面积为600cm2,列方程为(30－2x) (40－2x)＝600，故选D. 11．（2020·衡阳）如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等 宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米?若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为 （ ） A.35×20 -35x -20x +2x 2= 600 B.35×20- 35x -2 × 20x =600 C. (35 -2x )(20-x ) =600 D. (35-x )(20 -2x ) =600 (第11题图) {答案}C{解析}本题考查了列一元二次方程，利用平移的知识得到种植面积的形状是解决本题的突破点，得到种植面积的长与宽是解决本题的易错点．阴影部分分别移到矩形的上边和左边可得矩形的长为（35-2x ）米，宽为（20-x ）米，∴可列方程为（35-2x ）（20-x ）=600，故选C ． 7.（2020·郴州）如图1，将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形.这两个图能解释下列哪个等式（ ） A ．22)1(12-=+-x x x B ．)1)(1(12 -+=-x x x C ．2 2 )1(12+=++x x x D ．)1(2 -=-x x x x

一元二次方程与几何问题

一元二次方程与几何问题 1.如图，△R t ABC中，∠B=90°，AC=10cm，BC=6cm，现有两个动点P、Q分别从点A和点B 同时出发，其中点P以2cm/s的速度，沿AB向终点B移动；点Q以1cm/s的速度沿BC向终点C移动，其中一点到终点，另一点也随之停止．连接PQ．设动点运动时间为x秒． （1）用含x的代数式表示BQ、PB的长度； （2）当x为何值时，△PBQ为等腰三角形； （3）是否存在x的值，使得四边形APQC的面积等于20cm2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明理由． 2.如图，矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从A开始沿AB边向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2厘米/秒的速度移动，当点P到达B点或点Q到达 C点时，两点停止移动，如果P、Q分别是从A、B同时出发，t秒钟后， （△1）求出PBQ的面积； （△2）当PBQ的面积等于8平方厘米时，求t的值． （△3）是否存在PBQ的面积等于10平方厘米，若存在，求出t的值，若不存在，说明理由． 3.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已 知在相同时间内，若BQ=xcm（x≠0），则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

几何图形与一元二次方程(2)

实际问题与一元二次方程（3） 教学目标 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题. 禾U 用提问的方法复习几种特殊图形的面积公式来引入新课，解决新课中的问题. 重难点关键 1 . ?重点：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二元方程的数学模型并运用它解决 实际问 题. 2 . ?难点与关键：根据面积与面积之间的等量关系建立一元二次方程的数学模型. 教具、学具准备 小黑板 教学过程 一、 复习引入 （口述）1?直角三角形的面积公式是什么？ ？ 一般三角形的面积公式是什么呢？ 2 ?正方形的面积公式是什么呢？长方形的面积公式又是什么？ 3 ?梯形的面积公式是什么？ 4 ?菱形的面积公式是什么？ 5 ?平行四边形的面积公式是什么？ 6 ?圆的面积公式是什么？ （学生口答，老师点评） 二、 探索新知 现在，我们根据刚才所复习的面积公式来建立一些数学模型，解决一些实际问题. 例1 .某林场计划修一条长 750m,断面为等腰梯形的渠道，断面面积为 1.6 m 2 , ?上口 宽比渠深多2m,渠底比渠深多 0.4m . （1） 渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2） 如果计划每天挖土 48m 3,需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm,则上口宽为x+2,?渠底为x+0.4 , 那么，根据梯形的面积公式便可建模. 解：（1 ）设渠深为xm 则渠底为（x+0.4 ） m,上口宽为（x+2） m 1 依题意，得： （x+2+x+0.4 ） x=1.6 2 整理，得：5x 2+6x-8=0 4 解得：X 1= =0. 8m , X 2=-2 （舍） 5 ???上口宽为 2.8m ，渠底为1.2m . 答：渠道的上口宽与渠底深各是 2.8m 和1.2m ；需要25天才能挖完渠道. 学生活动：例2?如图，要设计一本书的封面，封面长 27cm,宽21cm, ?正中央是一个 与整个封面长宽比例相同的矩形， ？如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之 ，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽， ？应如何设计四周边衬的宽度（精确到 0.1cm ）？ (2) 1.6 750 48 =25天