目录
一、问题引入..................................................................................................................................... - 3 -
二、问题分析..................................................................................................................................... - 3 -
2.1第一问分析................................................................................................................... - 3 -
2.2第二问分析................................................................................................................... - 4 -
2.3第三问分析................................................................................................................... - 4 -
三、模型假设和符号说明................................................................................................................. - 5 -
3.1模型假设....................................................................................................................... - 5 -
3.2符号系统....................................................................................................................... - 5 -
四、模型建立..................................................................................................................................... - 6 -
4.1模型分类....................................................................................................................... - 6 -
4.2 租赁点分配方案建模....................................................................... 错误!未定义书签。
4.3 调度车调度方案建模....................................................................... 错误!未定义书签。
4.3.1一辆调度车调度方案....................................................................................... - 7 -
4.3.2多辆调度车调度方案....................................................................................... - 8 -
4.4租赁点数目和位置的确定................................................................ 错误!未定义书签。
4.5 调度时间的模型............................................................................... 错误!未定义书签。
五、模型的求解..................................................................................................... 错误!未定义书签。
5.0经纬度转换为横纵坐标.................................................................... 错误!未定义书签。
5.1 求解最短路径................................................................................... 错误!未定义书签。
5.2 模型一次运行后的单车重分配求解............................................... 错误!未定义书签。
5.3 求解分配方案的预估—校正算法................................................... 错误!未定义书签。
5.4 求解调度方案的启发式算法.................................................................................... - 13 -
5.4.1算法简介......................................................................................................... - 13 -
5.4.2算法内容......................................................................................................... - 14 -
5.4.3约束条件................................................................................ 错误!未定义书签。
5.4.4算法流程图..................................................................................................... - 15 -
5.5租赁点位置................................................................................................................. - 16 -
5.6计算结果............................................................................................ 错误!未定义书签。
5.6.1第一问结果............................................................................ 错误!未定义书签。
5.6.2第二问结果............................................................................ 错误!未定义书签。
5.6.3第三问结果............................................................................ 错误!未定义书签。
六、模型检验................................................................................................................................... - 17 -
七、模型优缺点以及改进............................................................................................................... - 17 -
7.1分配方案的优点......................................................................................................... - 17 -
7.2调度方案的缺优点..................................................................................................... - 18 -
7.3新增节点模型的优缺点............................................................................................. - 18 -
7.4模型和算法的改进..................................................................................................... - 19 -
7.4.1算法的改进..................................................................................................... - 19 -
7.4.2模型的改进..................................................................................................... - 19 -
八、参考文献................................................................................................................................... - 20 -附录................................................................................................................................................... - 20 -
一、问题引入
近年来，随着经济的发展，我国各级城市的机动车保有量都进入了持续高速增长时期，但由此所引发的道路拥堵、空气污染也引起了政府以及百姓的极大关注。
随着汽车产业及科技的高速发展，智能驾驶汽车成为了国内外公认的未来汽车重要发展方向之一。而在汽车智能化进程中，自动泊车是一项非常具有挑战性和实用性的技术。自动泊车系统可通过各类传感器获取车位相对汽车的距离，通过控制汽车前轮转角和瞬时速度控制车辆行驶。
若考虑系统控制容易性，参考人工倒车入库，当车辆位于与车位垂直的任意位置时，先通过前行或后退到达理想停车起始点后，再确定前进转角和后退转角，使车身与车位在同一直线上后，直接倒车完成入库，即“一进二退”。这种两段式倒车模式提高了泊车过程中车辆行驶的紧凑性，同时减少了泊车行驶空间。
考虑奇瑞汽车公司的QQ3，长3550
二、问题分析
首先，题目给出的初始条件为经度和纬度，我们利用地球的坐标系统将其转换为平面坐标，后续的计算都在平面坐标的基础上进行。
2.1第一问分析
第（1）问对对应前两期工程，30个租赁点已知，因此在已知的点上根据需求量确定自行车的分配方案和调度方案。这个问题是在已知节点具体的位置的条件下求解两个问题：每个节点的自行车分配问题和调度问题。这两个问题可以分开来求解。
第(1)问要求调度时间尽量少，我们从计算两点的最短路径入手，将最短路径计算出后考虑将早中晚三个时间段内的高峰期取平均值后再最初计算。我们建立
反比例函数关系式：p=Kd，再根据归一化条件求得2km内的概率系数K。随后，算出每个点以需求量的数目的前提下会向2km内的各个租赁点送出多少辆单车，并以负反馈的方式经多次计算得出一个稳定解，即大部分租赁点的单车数量满足110%的要求，少部分租赁点单车数目远远超出需求量，还有少部分单车数目几乎为零（奇点）。最后，将计算所得的几个奇点分块，从单车数量超出40或大量超出需求量的地点运送单车至奇点并计算运送时间。
2.2第二问分析
第（2）问对应第三期工程，根据投入的建设费用等确定新增的租赁点的数目和每个租赁点的分配方案。这些新增的租赁点是在规定的70个点中选取的，而且每个待选点的需求量是给定的，因此在需求量和工程费用的限制下，求实现服务系统最优的选点方案和分配方案。
建立新的一定数目的租赁点，我们首先将另外70个点的数据列出，考虑到是否选择一个点与这个点的平均需求量和最大需求量均有关，所以将早中晚三个时间段的需求量的平均值和三个时间段需求量的最大值列出，然后将这两个数据以一定比例加权平均，最后得出的数字排序，由上到下计算出每个点的需求金额，截止到2000000元时。租赁点即为截止前的点，相对应的数目即为每个点对应的数目。
2.3第三问分析
第（3）问建立在第（2）问的基础上，同第（1）问，类似，在解第（3）问前，租赁点的具体位置和需求量已知了，并且，这些租赁点的分配方案也已将求得，很容易求得每一个租赁点需要调度的具体数值，在这些已知条件下，要求在给定时间内完成调度，给出调度方案。如调度车辆不够，则给出增加的车辆数目和调度方案。问题类似于第（1）问的给出分配方案后求调度的问题。
根据以上分析，我们要解决的问题主要有以下几个部分：
1、求出任意两个租赁点之间的最短路径。
2、求出给定租赁点的分配方案。
3、求出给定租赁点的系统的自行车调度方案。
4、在给定约束下求租赁点的数目和位置。
解决以上三个问题，本题所要求的问题就可以解决了。
三、模型假设和符号说明
3.1模型假设
1、每个租赁点调度需求量为负，有多余的自行车可以提供给调度车则为正数；
2、假设两个停车场就在某两个租赁点上，则选取的两个租赁点必须是有自行车盈余的点，并且调度车出发后，车上装载的自行车的数量就是租赁点的调度量。由于每个租赁点的自行车最大分配量小于调度车的最大装载量，所以总是能够将盈余量全部装在调度车上；
3、每辆调度车从固定的某租赁点出发，最后又回到原来的点，以方便下次调度但是回到原点的时间可以不计。因为只有在调度完成后才会回到原点，此时不需要调度，不再受时间限制；
4、同一辆调度车只能经过同一个租赁点一次（除了作为车站的租赁点）；
5、每次到达下一个租赁点时，调度车上的自行车数量满足该租赁点需求，即对于需求点来说，只需用调度一次就完成调度；对于盈余点来说，调度车到达这些点要尽量多装。如果未达到调度车的限量就将该租赁点所有的盈余自行车装载，如果多出，则装满。
3.2符号系统
G------租赁点的集合
T------调度总时间（不包括完成调度后调度车返回原点的时间）。
k------调度车编号
d------租赁点间的最短距离
ij
k
ij
x ------第k 辆车调度完i 后是否再调度j k u ------是否使用调度车k j l ------租赁点j 的需要调度的量 ij B ------i 和j 间的距离是否大于M 千米
t j Z ------t 时间段内租赁点j 的需求量
j ω------j 点的需求量占总需求量的比例
ij F ------从i 点出发到达j 租赁点的自行车数量
i F ------i 点的单车数量
a------建立一个租赁点耗资 b------维护每辆自行车耗资 p------每一个租赁点的耗资数
P------新增租赁点的耗资总数
四、模型建立
4.1模型分类
影响租赁点自行车分配的因素有：各租赁点的需求量、从租赁点离开的自行车、从其他租赁点起来的自行车等。若仅考虑需求量对租赁点分配自行车数目的影响，有如下模型：
)124(--?=j
t j j Z y ω )2-2-4(1
∑==
n
j t
j
t j
j Z
Z ω
（1）式确定按照最终的需求量，以按比例分配的方式确定租赁点的分配量。 （2）式给出需求量占总需求量的比例。
以仅考虑需求量的方式确定的分配方式显然不是最佳方案。分配方案还和租赁点之间的距离有关。由题意可知，从在某个租赁点还车的概率与租车点和还车点的距离成反比，且假设居民的骑行距离不超过M km ，由此可得出下式：
)3-2-4(,1,1)()
1(ij
n
j
i i ij
ji n
i
j j ji
k j
k j
B x
B x
y
y
?-
?+
=∑∑≠=≠=+
)4-2-4()1(R
y y k j j +=+
式（4-2-3）首先按照（4-2-1）式的方式产生一组分配方案，然后让其按照自行车间行驶的规则再次分配，产生新的一组分配方案，然后用（4-2-4）式校正，最终得到优化了的分配方案。4.3.1一辆调度车调度方案
在我们的求解问题中，第一问中调度车辆问2辆，为了问题是建模化简，我
们先考虑调度车为一辆的情况，然后推广到多量的情况，这样就可以给对第一问和第三问的调度问题建立实际的解题模型。
设拥有最大负荷为Q 的调度车从指定的节点出发，对集合为G 的节点进行调度。完成任务后返回原点。调度需求量和租赁点间的距离已经求得。整个调度方案可以由下列一组方程和约束条件确定：
)1-3-4(||min 1,1ij n
i i j j j
ij
x l v d T ∑
∑=≠=???
? ?
?+=
)2-3-4(11
1
≤=∑∑==n
j ji
n
j ij x
x
)3-3-4(11=∑=n
i ij
x
)4-3-4(11
=∑=n
j ij
x
)5-3-4(0Q
r l ij j ≤+≤
)6-3-4(1ij
n
j ij i B F Z ?=∑=
)7-3-4()(1
1
ij
n
j ij n j ji i j j B x x y Z l ?---=∑∑==
)8-3-4()(1
1
ij
n
j ij n j ji i j j B x x y l Z ?-++=∑∑==
（4-3-1）式为目标函数，求出最短距离；
（4-3-2）确定了出发点，即必须从出发点出发，然后再回到出发点；
（4-3-3）-（4-3-4）确定了调度车对特定节点只能调度1次，不能重复经过一个节点；
（4-3-5）式保证调度车调度时调度车上的数量能够满足任意节点的调度需求量，同时装载量不能超过调度车的最大载重；
（4-3-6）式确定了某一节点的总需求量就是从该租赁点离开去往其他租赁点的自行车的数量之和；
（4-3-7）式确定了每一节点的调度量；
（4-3-8）式给出总需求量、分配量、调度量从该节点出发的自行车数目和到达该节点的自行车的数量之间的关系。 4.3.2多辆调度车调度方案
设拥有最大负荷为Q 的k 调度车从指定的节点出发，对集合为G 的节点进行调度。完成任务后返回原点。调度需求量和租赁点间的距离已经求得。整个调度方案可以由下列一组方程和约束条件确定：
)9-3-4(||min 1,11
k ij n i i j j j
ij k
k x l v d T ∑∑∑
=≠==???
? ?
?+=
)10-3-4(1
k
u
k
i i
≤∑=
)11-3-4(1
11≤=∑∑==n
j k ji n
j k ij
x x
)12-3-4(11,1=∑∑=≠=k
k n
i j i k
ij
x
)13-3-4(11,1=∑∑=≠=k
k n
i
j j k ij
x
)14-3-4(0Q
r l k ij j ≤+≤
)15-3-4(1ij
n
j ij i B F Z ?=∑=
)16-3-4()(11ij
n
j k
ij n
j k
ji i j j B x x y Z l ?---=∑∑==
)71-3-4()(1
1
ij
n j k
ij n
j k
ji i j j B x x y l Z ?-++=∑∑==
)18-3-4(2010z j
i t k j i t x x ≠
（3-4-9）式为目标函数，求出最短距离； （3-4-10）式确定调度车的数目； （3-4-11）确定了出发点；
（3-4-12）-（3-4-13）确定了每辆调度车对特定节点只能调度1次，不能重复经过一个节点；
（3-4-14）式保证每次调度时调度车上的数量能够满足任意节点的调度需求量，同时装载量不能超过调度车的最大载重；
（3-4-15）式确定了某一节点的总需求量就是从该租赁点离开去往其他租赁点的自行车的数量之和；
（3-4-16）式确定了每一节点的调度量；
（3-4-17）式给出总需求量、分配量、调度量从该节点出发的自行车数目和到达该节点的自行车的数量之间的关系。
（3-4-18）式保证不同的调度车不能再同一时刻到达同一个租赁点。
根据以上一组方程和约束条件，就可以将调度问题相对完整的描述出来。这是一个优化问题，在求解过程中由众多的算法可以采用，但是考虑到算法的复杂性可标称的简洁性，我们采用的算法是启发式算法，这将在模型求解中详细讨论。
题目中新增的租赁点是在已知的若干点中选取的，因此，分析清楚选取租赁
点的约束条件，就可以从最优解的角度得到新增的节点。
建立租赁点时首先考虑的是各个点的需求量（已知），由于在不同时段的需求量不同，所以应当考虑平均需求、不同时段需求。所以首先我们应当确定加权平均比例，一保证确定的租赁点在全天达到最优。在这里引入一个加权平均比，取决于我们实际问题的要求和调度问题的特点。
首先将数据加权平均，有：
再将每一个租赁点的耗资数额按照公式（4-4-1）求出
）（加权需求量1-4-4b
X a Y ?+=
最后将耗资数额加和，即求得满足式（5-2-2）的最大k 值。
）（2-4-4k
1
i i
<=?+=∑=b X
a p
考虑了需求量对新租赁点的影响之后，我们还需要考虑骑行规律对租赁点选取的影响。所谓运输规律就是：居民可以在任意一个租赁点还车，在某个租赁点还车的概率与租车点和还车点的距离成反比，且假设居民的骑行距离不超过M 。于是仅考虑运输规律，我们引入一个方便因数，定义如下：
）（3-4-41S
P y Con i n
i i ??=∑=
Con 用来衡量新设置的租赁点的合理程度，它与租赁点的分配量、常数i P 、i S 的乘积之和有关，其中，常数i P 的定义如下：
）（4-4-41∑==n
j ij
i B P
i S 的定义如下：
）（5-4-41
ij
n
j ij i d B S ?=∑=
i S 表示i 租赁点能够到达其他节点的数目之和，i S 越大表明该节点的辐射能力越
强，也越合理。
在路程不超过M 的范围内，租赁点i 能够到达的节点越多，则常数i P 越大。 还要保证新增的节点数k 尽可能地少。
在新增租赁点的过程中不考虑随后的调度方案，因此在总建设经费的限制下，可以按照优化的方法求出方便因数的最小值。
在三期建设中，为了实现经开区更大的网点覆盖面积，进一步增设站点，新增了一批租赁站点并购进自行车。然而，更多的站点可能会导致部分租赁点的自
行车短缺或堆积现象，从而降低了资源利用效率。为了探讨这个问题，我们必须对现有调度方案进行检验和矫正，更好的实现资源利用最大化。故对调度时间进行了计算，发现用两辆调度车进行自行车调度很难满足调度需求,调配时间超过限制时间，必须购置更多的调度车辆，虽然会增加一定成本，但对整体的统筹有很大的意义。
将原有的站点与新增站点进行混合，重新根据密集度，自行车需求量等因素进行分组，根据分组情况配备调度车辆。若所分组数增多，则增加调度车辆的数目可以更快捷地实现调度需求。然后对每一组的调度方案进行独立分析，即求解
k
ij
n
i i j j j ij k
k x l v d t ∑∑∑
=≠==???? ??+=1,11
||min
则总调度时间：
∑==k
k k
t T 1min （k 代表组数）
具体建模思想与第一问的求解相似。
Floyd 算法的描述如下： 设
k
j i D ,,为从i 到j 的只以)...1(k 集合中的节点为中间节点的最短路径的长度。
若最短路径经过点k ，则1
,,1,,,,--+=k j k k k i k j i D D D ；
若最短路径不经过点k ，则1
,,,,-=k j i k j i D D 。 因此，
)
,min(1,,1,,1,,,,---+=k j i k j k k k i k j i D D D D 。
30;11
=??→?=+=k k k k k 30;11
=??→?=+=i i i i i 30;11
=??→?=+=j j j j j
if (
j
i j k k i D D D ,,,<+)
j
k k i j i D D D ,,,+=
综上,最短路径矩阵为：（单位：km ）
30;11=??→?=+=j j j j j
if j i ≠ if
2000
,≤j i d
;
0,≠j i d
else
;
0,=j i d
k=k+1;
○2根据反比例关系不难得出每个租赁点向2km 内的各个租赁点发送的单车数量为：
j
i j i j i d K F ,,,=
根据归一化条件：
1
1
,,,==
∑=n
j j
i j i j
i d K F
综上可得出求得2km 内的概率系数K 的算法：
30;11=??→?=+=i i i i i
s=0;
30;11=??→?=+=j j j j j
if
,≠j i d
j
i d s s ,1
+
=;
s s 1=
；
K=[K s];
○3根据各个租赁点发送出的单车概率可求得运行一次后的各个租赁点单车数目：
∑==n
i j
i j F F 1
,
据此可得出求解运行一次后的各个租赁点单车数目的算法：
30;11
=??→?=+=j j j j j
t=0;
30;11=??→?=+=i i i i i
if
,≠j i d
j
i i
i d K F t t ,?+=；
t
F j =;
5.4 求解调度方案的启发式算法
5.4.1算法简介
启发式算法是依据有限的知识在短时间内找到问题解决方案的一种技术。在可接受的花费（指计算时间和空间）下给出待解决组合优化问题每一个实例的一个可行解。
在搜寻问题中，每个节点都有b 个选择以及到达目标的深度d ，一个毫无技巧的算法通常都要搜寻bd 个节点才能找到答案。启发式算法借由使用某种切割机制降低了分叉率(branching factor)以改进搜寻效率，由b 降到较低的b'。分叉率可以用来定义启发式算法的偏序关系，例如：若在一个n 节点的搜寻树上，h1(n)的分叉率较h2(n)低，则 h1(n) < h2(n)。启发式为每个要解决特定问题的搜寻树的每个节点提供了较低的分叉率，因此它们拥有较佳效率的计算能力。我们主要应用启发式算法的这个优点来解决本题的调度问题。
算法的流程图如下：
图5-4-3
5.4.2算法内容
以指定租赁店点为初始站点，对该租赁点的下一租赁点，搜索路径，搜索规则如下：
（1）查找与初始点距离最近的N个租赁点（N值按照题目适当确定），并且按照距离由小到大的规律排序；
（2）依次遍历排好序这N个租赁点，如果这个租赁点为需求点且需求量大于车上的剩余自行车（无法满足一次性完成调配），则删除该节点，并重新得到新的N个租赁点。
（3）计算每一层的自行车调度数量（取绝对值）和走过的距离，并求出两者的比值。
（4）以搜索到的满足条件的N个租赁点分别为初始点，重复第（1）-（3）步。搜索深度为N。
（5）求出每一次搜索路径自行车调度数量和走过距离的比值后，求和，选取比值之和最大的那条路径，则这条路径中初始节点对应的下一节点为调度方案的下一个调度点。
（6）以下一个点为起始点，重复第（1）-（5）步，直到所有的车辆都被搬运完毕。
算法如图所示：
1、综合考虑租赁点的数目，搜索深度根据不同分组的站点数目N取3~5。
2、如果租赁点是调度需求点，则调度车上的自行车数目必须满足需求，一次性完成该租赁点的需求；如果该点是盈余点，则在不超过调度车最大负载的情况下，调度车要尽可能地多装；
3、调度的出发点选为某一个租赁点，从这一点出发完成调度后，需要返回原来
的租赁点，但是返回租赁点的耗时不必计入总耗时；
4、两辆调运车不能同时到达一个租赁点。
5.4.4算法流程图
该算法的程序流程图如下：
图5-4-1
启发式算法能够解决在租赁点确定后的调度问题，在第一问、第三问中应用。
5.5租赁点位置
因为建立租赁点时应当考虑平均需求、最大需求两点，所以首先我们应当确定加权平均比例，我们认为，在两者比较中更加重要的是平均需求量，而最大需求量次之。我们经过查资料得知，有一些类似的问题多采用0.6与0.4的比例，但是我们认为此次问题的影响因素中平均值的价值不仅仅为0.6。经过我们的讨论，我们决定采用0.65与0.35的比例
六、模型检验
1.问题一中求解最短路径采用Floyd-Warshall算法，以动态规划为手段，解决
任意两点间的最短路径，并通过Matlab求解；
2.问题一求解最短调度时间采用启发式算法，通过C++程序设计穷举算法，并
搜索最佳调度方案，由于上述结果是通过穷举得到的，必然全局最优；
3.问题二引入方便因数，全面综合各方面因素，所以得到的站点分配为最优解。
4.问题三的方法与问题一和问题二相似，故所求调度方案为最佳调度方案。
七、模型优缺点以及改进
在确定自行车的分配方案和调度方案时，这个问题是在已知节点具体的位置的条件下求解两个问题。我们对两个问题分开求解，即先确定最分配方案，再根据最优分配方案确定对应的最优调度方案。然而根据数学模型和实际情况得这两者并不是相互独立的，即问题最优解并非简单地两者最优解的结合。因此，我们的最优结果可能和实际情况存在偏差。
为了方便问题的求解，我们做出了一些假设，比如假设每辆调度车从固定的某租赁点出发，最后又回到原来的点，而实际情况中会更局具体情况选择车辆停靠点。这些假设方便了求解，但实际上简化了问题的复杂度。
7.1分配方案的优点
租赁点自行车分配中，我们采用了一种创新的分配方案，在分配中不仅考虑了需求量对分配的影响，而且还按照动态的目光，先给出合理的分配初值，然后让其按照自行车的骑行规律（即在某个租赁点还车的概率与租车点和还车点的距离成反比）自动分配若干次，每一次得出一个新的分配方案后和原来的方案比较，然后做出调整，最终得出最优的分配方案。这个分配方案的优点是突出的，主要体现在以下几点：
1、首先考虑了需求量对分配方案的影响，使之从一开始就是合理的，兼顾重要
因素。
2、由于即在某个租赁点还车的概率是一个常数，所以常数因子对分配方案的影响可以通过一次优化最终补偿，最终的结果是形成的调度方案是满足骑行规律的最优解。
3、这个模型还有一个优点是，在校正后，能够使得需要调度的自行车数目达到最小，从而在计算调度量时，为最优解提供保证。
7.2调度方案的缺优点
调度方案的优点是在租赁点不大的情况下，按照启发式算法一次性可以把相对来说最优的调度方案解出来，建模简单，求解也相对比较容易。
调度方案的缺点重要体现在算法的局限性上。而启发式算法则试图一次提供全部目标。例如通常能发现很不错的解，但是也没办法证明它不会得到较坏的解；它通常可在合理时间解出答案，但也没办法知道它是否每次都可以这样的速度求解。总的来说，启发式算法有一定的不稳定性。可以用性能更好的遗传算法或者退火算法解决。
7.3新增节点模型的优缺点
在求解新增节点时，我们巧妙地引入了一个“方便因数”，用来衡量新增的租赁点的合理程度，用求解最优解的思路来求解新增的租赁点和分配的自行车数目，模型简单明了，容易用现成的算法实现。
但是方便因数并没有将影响新增租赁点的所有的因素都考虑进去，仅仅考虑了分配值、节点数、和邻近该租赁点的其他租赁点的数目。其他因素如是否能达到调配量最小等因素没有考虑，其次定义的一些量如i P 、i S 不尽合理，原因是只考虑了新增加的单个节点所收到的影响，不没有考虑新增的节点间的相互影响，因此所得的结果有可能和最优解有一定的差距。
7.4模型和算法的改进
7.4.1算法的改进
由于启发式算法的局限性，可以采用收敛速度更快的遗传算法（Genetic Algorithm ，简称GA ）和退火算法（Stimulated Annealing ，简称SA ）。与启发式算法相比较其优点有：计算过程简单，通用，鲁棒性强，适用于并行处理，可用于求解复杂的非线性优化问题。在本题中，由于数据量相对较小，启发式算法还能够满足要求，为了使结果更加稳定，可以考虑退火算法和遗传算法。 7.4.2模型的改进
我们可以把调度问题看成一个赋有权值的图G ，先要求出图G 的最小生成树，使树上各边的总权和达到最小。然后基于最早生成树生成一个可行的最短行车路径。
对上述30个租赁点重新编号，依次为1-30，用集合R 表示。
我们用0-1变量ij x 来表示公交车是否从租赁点i 到租赁点j,即
)i ,0i ,1R j j x ij ∈??
?=，（否则
到租赁点公交车从租赁点
目标函数为寻找一条从起始点开始到各个节点生成的最优树，要求各条线路的权值和最小，即
ij ij R j R i t x ∑∑∈∈min
约束方程为：
????
?
????≥-≤?+-==∑∑==0)1(11.1
1j ij j i n i ij n
i ij u n x n u u x x t s 求解最小生成树的方法有破圈法、避圈法、Dijkstra 算法等。这里我们
用避圈法求解，避圈法是指将图G 中的边按照权数大小逐条考察，按不构成圈的原则加入到T （树）中，直到1)()(-=G p T q 为止，即T 的边数=G 的顶点数-1为止。
避圈法的算法是：
1. 把G 的边按权的大小整理成
).()()(21m e w e w e w Λ≤≤
令0,1),,(0==?=j i V T .
2.若i j e T +含圈，则转3，否则转4.
3．令1+=i i ，若m i ≤则转2；否则停止，G 不存在最小生成树。 4.令i j j e T T +=+1，1+=j j 。
5.若1-=n j ，结束，j T 是最小生成树；否则转3.
八、参考文献
[1] Clarke G and Wright J. Scheduling vehicles from a central depot to number of
delivery points[J]. Operations research, 1964, 12(4): 12-18
[2] 刘登涛, 方文道, 章坚民, 等. 公共自行车交通系统调度算法[J]. 计算机系统应用, 2011, 20(9): 112-116.
[3] 崔宏志, 龚加安. 带时间窗车辆路径问题的改进节约算法[J]. 纯粹数学与应用数学, 2011, 27(5): 688-693..
[4] 柳祖鹏, 丁卫东, 程逸旻. 公共自行车系统站间调度优化研究[J]. 城市公共交通, 2011 (1): 39-42.
[5]肖华勇.实用数学建模与软件应用.西安：西北工业大学出版社 2008.11
附录
○
1距离计算： distance=zeros(53); for i=1:1:53 k=1; for j=1:1:53 if i~=j
嘉兴学院2012-2013年度第2学期 数学建模课程论文题目 要求：按照数学建模论文格式撰写论文，以A4纸打印，务必于2013年5月31日前纸质交到8号楼214室，电子版发邮箱：pzh@https://www.doczj.com/doc/dc10574765.html,。并且每组至少推荐1人在课堂上做20分钟讲解。 题目1、产销问题 某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。 班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。 （1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案； （2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规
题目2、汽车保险 某保险公司只提供一年期的综合车险保单业务，这一年内，若客户没有要求赔偿，则给予额外补助，所有参保人被迫分为0，1，2，3四类，类别越高，从保险费中得到的折扣越多。在计算保险费时，新客户属于0类。在客户延续其保险单时，若在上一年没有要求赔偿，则可提高一个类别；若客户在上一年要求过赔偿，如果可能则降低两个类别，否则为0类。客户退出保险，则不论是自然的还是事故死亡引起的，将退还其保险金的适当部分。 现在政府准备在下一年开始实施安全带法规，如果实施了该法规，虽然每年的事故数量不会减少，但事故中受伤司机和乘员数肯定会减少，从而医药费将有所下降，这是政府预计会出现的结果，从而期望减少保险费的数额。这样的结果真会出现吗？这是该保险公司目前最关心的问题。根据采用这种法规的国家的统计资料可以知道，死亡的司机会减少40%，遗憾的是医疗费的下降不容易确定下来，有人认为，医疗费会减少20%到40%，假设当前年度该保险公司的统计报表如下表1和表2。 保险公司希望你能给出一个模型，来解决上述问题，并以表1和2的数据为例，验证你的方法，并给出在医疗费下降20%和40%的情况下，公司今后5年每年每份保险费应收多少才比较合理？给出你的建议。 基本保险费：775元 类别没有索赔时补贴 比例（%） 续保人数新投保人数注销人数总投保人数 0 0 384620 18264 1 25 1 28240 2 40 0 13857 3 50 0 324114 总收入：6182百万元，偿还退回：70百万元，净收入：6112百万元； 支出：149百万元；索赔支出：6093百万元，超支：130百万元。 表1 本年度发放的保险单数 类别索赔人数死亡司机人数平均修理费 （元） 平均医疗费 （元） 平均赔偿费 （元） 0 582756 11652 1020 1526 3195 1 582463 23315 1223 1231 3886 2 115857 2292 947 82 3 2941 3 700872 7013 805 81 4 2321 总修理费：1981（百万元），总医疗费：2218（百万元）； 总死亡赔偿费：1894（百万元），总索赔费6093（百万元）。 题目3、工件的安装和排序问题 某设备由24个工件组成，安装时需要按工艺要求重新排序。 Ⅰ．设备的24个工件均匀分布在等分成六个扇形区域的一圆盘的边缘上，放在每个扇形区域的4个工件总重量和相邻区域的4个工件总重量之差不允许超过一定值（如4g）。 Ⅱ．工件的排序不仅要对重量差有一定的要求，还要满足体积的要求，即两相邻工件的
数学建模课程论文题目：解决我国房屋泡沫 专业班级： 姓名： 学号： 任课老师： 20 年月日
题目 解决我国房屋泡沫 近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论： 1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析； 2．通过分析找出影响房价的主要因素； 3．给出抑制房地产价格的政策建议； 4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。 目录 数学建模课程论文 (1) 题目 (2) 目录 (2) 摘要： (3) 关键词： (3) 问题重述 (3) 问题分析 (3) 合理假设： (6) 符号说明： (6) 模型的建立及求解 (6) 模型的检验及应用 (10) 结论与小结 (15) 参考文献： (15)
摘要：房价作为一种价格杠杆，在引导房地产可持续发展和抑制房地产泡沫将起到积极的作用。科学合理地制定房价，对房地产的发展具有重要意义。本文先从产生房地产泡沫的原因谈起，找出影响房产的相关因素，然后从房地产开发商和消费者两个方面展开讨论，得出两个不同的模型。模型一从开发商的角度建立模型，运用定性的分析方法，分析一个商场中只有一个房地产开发商，两个开个商和多个开发商的情况，运用博弈论的方法给出不同的模型，给出一个从特殊到一般的数学模型，并运用相关的经济理论进行解释；模型二从消费者的角度建立模型，运用有效需求价格，动态地确定消费者的房价的范围。在此基础上，采用一元线性回归，通过推导出的模型和运用大量的数据对模型的进行验证和分析，得出房价与其中几个主要因素的关系： 主要因素回归方程复相关系数R GDP与房价0.98135 人口密度与房 0.55250 价 人均可支配收 0.93943 入与房价 影响当前房价的主要因素，如社会因素包括国民经济的发展水平、相关税费、居民的收入、政策导向、社区位置等，自然因素包括地价、建安成本和开发商利润等；并在分析影响房价的诸多因素之后，提出了八点政策性建议。 综上所述，运用我们的模型得出相应的房价，然后利用我们相应的政策作为指导，我国的房地产不但会抑制房地产泡沫问题，而且我国的房地产市场将得到持续健康地发展。 关键词：房地产泡沫、回归分析、有效需求模型、GDP、市场 问题重述 近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨、高居不下的情况。房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难。因此如何有效地抑制房地产价格上扬，是一个备受关注的社会问题。现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：1．建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理进行深入细致的分析； 2．通过分析找出影响房价的主要因素； 3．给出抑制房地产价格的政策建议； 4．对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。 问题分析 所谓房地产泡沫就是指房地产商品的预期价格被大大的高估，从而导致各类投机资本的纷纷进入，通过恶性炒作将现期房地产价格大大抬高。使其价格远远高于其实际价值，从而产生房地产泡沫。 房地产的基本载体是土地。由于土地的不可再生性、稀缺性与供给无弹性将决定土地的升值性。从而使房地产也具有升值趋势。正是由于这一因素才会导致各类房地产投机者进行投机。土地市场是整个社会市场体系中市场等级较低的基础市场之一，因此社会经济的泡沫现象往往先出现在土地市场，然后泡沫向其他市场输出，并最终沉淀在土地市场，因此泡沫
数学建模结课论文 数学建模对我而言是一个很难得东西，不过我耐心的仔细研究了一番发现，虽然一开始是有些困难，但是却是一个很实用的东西，后来建立起模型后事情会变得简单得多。 我百度了一下数学建模的定义，它是这么说的：当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，人们就要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言，把它表述为数学式子，也就是数学模型，然后用通过计算得到的模型结果来解释实际问题，并接受实际的检验。这个建立数学模型的全过程就称为数学建模。 数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。数学模型一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。 我所学习的专业是地质学。近些年来，数学也向地质学慢慢渗
透，其中数学建模扮演着重要的角色。在寻矿的过程中，若是建立起一个数学模型，对于以后的工作会有重要的作用，甚至能够指导我们把精力放在何处。 随着数学向诸如经济、人口、生态、地质等所谓非物理领域的渗透，一些交叉学科如计量经济学、人口控制论、数学生态学、数学地质学等应运而生。一般地说，不存在作为支配关系的物理定律，当用数学方法研究这些领域中的定量关系时，数学建模就成为首要的、关键的步骤和这些学科发展与应用的基础。在这些领域里建立不同类型、不同方法、不同深浅程度模型的余地相当大，为数学建模提供了广阔的新天地。马克思说过，一门科学只有成功地运用数学时，才算达到了完善的地步。展望21世纪，数学必将大踏步地进入所有学科，数学建模将迎来蓬勃发展的新时期。
2015年杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任式（包括、电子、网上咨询等）于对外的任人（包括指导教师）研究，讨论与参赛有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反赛事的规定的，如果引用别人的成果或其他公开资料（包括网上查到的资料），必须按照有关规定的参考文献的表达式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们重承诺，格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公开、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D/E/F中选择一项填写)： D 我们参赛的报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：工业大学 参赛队员（打印并签名）： 1. 杜东旭20131583 ：机电工程学院 2. 红星20132768 ：机电工程学院 3. 郝昆昆20132812 ：机电工程学院
2015年“杯”数学建模夏令营 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
基于延误率对航班延误问题进行分析 摘要 航班延误如今是国际各机场存在的普遍问题，一直困扰着航空承运和广大旅客。航班延误不仅给旅客的出行带来不便，也给航空公司带来经济损失。 目前国外对航班延误的分析较多，部分文献从定性角度和处理措施面进行了一定程度的研究【1-3】；部分文献从航班延误的波及关系出发，提出了航班延误链式反应波及的机场个数与飞机的初始延误时间【4-6】；也有文献提出针对延误成本分析模型【7-9】。本文主要是关于航班延误的统计分析、延误原因及合理性建议问题。 问题一的解决：通过EXCEL软件对国际上主要航空公司数据的统计、整理，分析各航空公司航班总数，延误航班数，建立模型比较延误率及延误班数，得出国际上航班延误最重的10个机场中中国所占个数。 问题二的解决:首先进行数据统计与整理，找到影响航班延误的主要因素，计算各因素影响航班延误的比例，做出比例分布直图，根据数据结合实际情况找出导致航班延误的主要因素为：航空公司的运行管理、流量控制、恶劣天气的影响、军事活动的影响与机场保障。 问题三的解决：影响航班延误的因素众多，我们就流量控制因素、乘客因素进行分析处理，研究控制地面总损失、航班延误与时间段，建立了地面等待问题、延误时间段的数学模型，通过数据调查、分析统计，提出对航班延误问题的合理化处理式。
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 ●本科组参赛队从A、B题中任选一题，专科组参赛队从C、D题中任选一题。 ●论文用白色A4纸单面打印；上下左右各留出至少厘米的页边距；从左侧装 订。 ●论文第一页为承诺书，具体内容和格式见本规范第二页。 ●论文第二页为编号专用页，用于赛区和全国评阅前后对论文进行编号，具体 内容和格式见本规范第三页。 ●论文题目和摘要写在论文第三页上，从第四页开始是论文正文。 ●论文从第三页开始编写页码，页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从 “1”开始连续编号。 ●论文不能有页眉，论文中不能有任何可能显示答题人身份的标志。 ●论文题目用三号黑体字、一级标题用四号黑体字，并居中；二级、三级标题 用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，打印时应尽量避免彩色打印。 ●提请大家注意：摘要应该是一份简明扼要的详细摘要（包括关键词），在整 篇论文评阅中占有重要权重，请认真书写（注意篇幅不能超过一页，且无需译成英文）。全国评阅时将首先根据摘要和论文整体结构及概貌对论文优劣进行初步筛选。 ●引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上查到的资料) 必须按照规定的 参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中均明确列出。正文引用处用方括号标示参考文献的编号，如[1][3]等；引用书籍还必须指出页码。参考文献按正文中的引用次序列出，其中书籍的表述方式为： [编号] 作者，书名，出版地：出版社，出版年。 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： [编号] 作者，论文名，杂志名，卷期号：起止页码，出版年。 参考文献中网上资源的表述方式为： [编号] 作者，资源标题，网址，访问时间（年月日）。 ●在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求（如在本规范要 求的第一页前增加其他页和其他信息，或在论文的最后增加空白页等）；从承诺书开始到论文正文结束前，各赛区不得有本规范外的其他要求（否则一律无效）。 ●本规范的解释权属于全国大学生数学建模竞赛组委会。 [注] 赛区评阅前将论文第一页取下保存，同时在第一页和第二页建立“赛区评阅编号”（由各赛区规定编号方式），“赛区评阅纪录”表格可供赛区评阅时使用（各赛区自行决定是否在评阅时使用该表格）。评阅后，赛区对送全国评阅的论文在第二页建立“全国统一编号”（编号方式由全国组委会规定，与去年格式相同），然后送全国评阅。论文第二页（编号页）由全国组委会评阅前取下保存，同时在第二页建立“全国评阅编号”。
数学建模优秀论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点: 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题;与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题;与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 第四、数学应用题的命题没有固定的模式或类别。往往是一种新颖的实际背景，难于进行题型模式训练，用“题海战术”无法解决变化多端的实际问题。必须
依靠真实的能力来解题，对综合能力的考查更具真实、有效性。因此它具有广阔的 发展空间和潜力。 二、数学应用题如何建模 建立数学模型是解数学应用题的关键，如何建立数学模型可分为以下几个层次: 第一层次:直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为: 将题材设条件翻译 成数学表示形式 应用题审题题设条件代入数学模型求解 选定可直接运用的 数学模型 第二层次:直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对 应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需 进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次:多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干 个数学模型方能解决问题。 第四层次:假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模 型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力 从实际问题中建立数学模型，解决数学问题从而解决实际问题，这一数学全过 程的教学关键是建立数学模型，数学建模能力的强弱，直接关系到数学应用题的解 题质量，同时也体现一个学生的综合能力。 3(1提高分析、理解、阅读能力。
关于小学数学建模论文 摘要： 在小学数学教学中融入数学建模思想，一定要把握好数学建模的内涵，不能只看型丢 弃核。在建模活动过程中注意遵循小学生的儿童性、认知水平以及思维特点。通过创设的 问题情境让建模思想渗透进去，让小学生们在实践、探究、运用中形成一种建模技能，建 立建模的思维方法，懂得建模的价值和重要性，合理定位小学数学建模。 关键词：小学生;数学建模;遵循规律 数学是一门研究数量关系、空间形式的科学。主要特点是概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性、体系的完整性、应用的广泛性。无论是研究数学还是学习数学，其目 的是将数学应用于社会服务于社会。实现此目的的途径是把实际问题与数学联系起来，通 过数学模型来实现的。“模型化是数学中的一个基本概念，它处于所有的数学应用之心脏”。[1]建立数学模型是数学学习的重要部分。数学建模的特殊地位与作用，早已从大 学向基础教育延伸。小学阶段展开数学建模是否可行，日常的小学数学教学与贯彻建模思 想的小学数学教学又有什么差别，是一个值得深究的问题。 数学建模的核心本质是它更突出显现对原始问题的分析、假设、抽象;更突出显现数 学教学工具和教学方法以及教学模型的取舍、分析加工过程。数学模型的分析――求 解――验证――再分析――修改――假设――再求解的迭代过程更完整地表现出学生学习 数学和应用数学解决实际问题的关系。这样一个迭代的过程，再现出一种“微型的科研过程”，使学生耳目一新。这不仅促进学生们数学意识的加强和数学素养的提高，更重要的 是促进学生们数学品质的提升。无论是高校还是初级小学，数学建模的价值对学生的学习 都会产生积极的影响，所以在数学教学中要贯彻数学建模思想，关键问题是如何才能把握 好数学建模的内涵，如何才能展开一个完美过程，如何科学定位这是一个需要深思的问题。下面从数学建模的实体、目标、原则、途径做一些讨论。 一、建模主体的儿童性 在初级学校数学建模的主体是小学生，知识运用的特点是小学数学，因此在小学展开 数学建模，创设问题情境，一定注意掌握复杂性的适度，根基于学生“最近发展区”，还 要以“看得见、够得着”为原则，直抵学生的“最优发展区”。要合理定位数学建模的难度、深度、温度、适度，不仅要学生认真思考，积极探索，又要学生经过探索发现问题， 并能运用所学知识解决问题。 1基于建模主体的生活经验。数学建模提供一个完整、真实的问题情境，将现实生活 中与数学有关的素材及时融入到学习课堂中，把教材内容结合生活实际、社会热点、自然 环境等与数学问题有关系的各种因素，巧妙地转化为儿童日常生活数学问题的火热思考， 把其当做解决问题的支撑物来启动教学，使学生产生学习兴趣，让学生从身边具体的情境 中发现问题、提出问题、解决问题;让学生认识到问题的价值性;让学生抓住问题的锚桩，
10级信息《数学建模与数学实验(实践)》任务书 一、设计目的 通过《数学建模与数学实验(实践)》实践环节，掌握本门课程的众多数学建模方法和原理，并通过编写C语言或matlab程序，掌握各种基本算法在计算机中的具体表达方法，并逐一了解它们的优劣、稳定性以及收敛性。在熟练掌握C 语言或matlab语言编程的基础上，编写算法和稳定性均佳、通用性强、可读性好，输入输出方便的程序，以解决实际中的一些科学计算问题。 二、设计教学内容 1线性规划（掌握线性规划的模型、算法以及Matlab 实现）。整数线性规划（掌握整数线性规划形式和解法）。 2微分方程建模（掌握根据规律建立微分方程模型及解法；微分方程模型的Matlab 实现）。 3最短路问题（掌握最短路问题及算法，了解利用最短路问题解决实际问题）。 行遍性问题（了解行遍性问题，掌握其TSP算法）。 4回归分析（掌握一元线性回归和多元线性回归，掌握回归的Matlab实现）。 5计算机模拟（掌握Monte-carlo方法、了解随机数的产生；能够用Monte-carlo 解决实际问题）。 6插值与拟合（了解数据拟合基本原理，掌握用利用Matlab工具箱解决曲线拟合问题）。 三、设计时间 2012—2013学年第1学期：第16周共计一周 目录 一、10级信息《数学建模与数学实验(实践)》任务书 (1) 二、饭店餐桌的布局问题 (3) 摘要 (3)
问题重述 (3) 模型假设 (3) 模型分析 (4) 模型的建立和求解 (4) 模型推广 (9) 参考文献 (9) 三、白酒配比销售问题 (10) 摘要 (10) 问题重述 (11) 问题分析 (12) 模型假设 (12) 符号及变量说明 (12) 模型的建立与求解 (13) 模型的检验 (18) 模型的评价与推广 (19) 附录 (21) 饭店餐桌的布局问题 摘要 饭店餐桌的布局对于一个饭店有着很重要的作用。本文讨论的就是饭店餐桌的布局问题，根据实际需求及规定建立模型，同时考虑餐桌的类型及规格，尤其是餐桌的摆放技巧，保证使饭店能容纳的人数达到最大。根据所需餐桌的数量
数学建模论文的撰写 数学建模论文是注重实际应用的一类研究性论文, 是通过建立反映社会生产和生活中具有重要意义的现象的数学规律的模型, 并运用数学原理及计算机工具加以解决, 其结论或方法必须具有一定的独创性。 撰写数学建模论文和通常完成数学建模竞赛的答卷是类似的, 都是在完成了一个数学建模问题的全部过程后, 把所作的工作进行小结, 以有清楚定义的格式写出解法论文,用于交流或给有关部门、人员汇报。 事实上, 数学建模竞赛其中就包含了参赛人员写作能力的比试, 评比的主要标准除假设的合理性、建模的创造性、模型的数据和结论的可信性外, 还有一点就是文字表述的清晰程度。因此,下面简单谈谈建模论文的写作。 竞赛数学建模的论文评选标准主要是:
( 1) 假设的合理性; ( 2) 建模的创造性; ( 3) 结果的合理性; ( 4) 表述的清晰程度。 数学建模论文的结构： 一份完整的答卷应包含以下内容: 论文题目； 摘要； 问题的重述； 模型的假设、符号约定和名词解释； 模型的建立、模型的求解、模型的结果和检验； 模型的评价和改进； 参考文献； 附录。 论文题目 要能反映出该论文的实质, 简单明了、字数不宜过多。
摘要 一般为200～400 字； 其内容主要包括建模思想、模型特点、求解方法、主要结果等,其既要概括全文, 又要反映出本队的特点； 竞赛数学建模的论文摘要极为重要, 它是评委们首先看到的, 如果摘要写不好, 即使下面的内容写的再好也可能被提前淘汰。 摘要应具有独立性和自含性, 即只阅读摘要, 不阅读论文全文,就能获得必要的信息。摘要中要有数据、有结论, 是一篇完整的短文, 可以独立使用, 可以引用, 可以用于工艺推广。摘要的内容应包含与论文同等量的主要信息, 可供读者确定有无必要阅读全文, 也可供文摘等二次文献选用。摘要一般应说明研究工作的目的、实验方法, 结果和最终结论等, 重点是结果和结论。”对于大学生数学建模竞赛来讲, 由于是对同一个问题给出的解答, 为了使评阅人较快弄清作者的思路, 我们认为摘要还是尽可能详细一些为好。特别是应写清条件、结论、基本过程、关键步骤、要领、所采用的方法以及有
学生实习报告 课程编号：C01061 课程名称：数学建模实用技术基础 学号： 姓名： 专业班级：机自1501 所在学院：工程分院 报告日期：2017 年8 月13 日
注：学生的实习总结等文档附在本封面之后
摘要 数学建模实用技术应用基础系列课程给我最大的收获不是学会简单地使用软件、知道一些简单的建模方法，而是每一位老师课前的介绍。老师们的课前介绍告诉我统计学的浩瀚。这篇文章除了阐述抑或叫记录老师讲的我觉得比较重要的知识点，还有我自己根据老师的思路自己课外做的实例。 第一、二天讲的是关于文献查找的内容，印象最深刻还是NoteExpress的好用之处，除此之外还知道了一些常用的找文献的网站。之后林老师讲的随机模拟对数学知识的储备要求比较高。用excel的函数来做随机模拟无疑是非常快捷方便的办法。KNN算法的思想对我而言很新奇，个人感觉和神经网络有点异曲同工之处。康老师讲的关于MATLAB、LINGO软件的操作非常有用，相当于数学建模公选课的浓缩。戴老师对matlab的更进一步的讲解，包括计算方法让我印象非常深刻。如果说之前我在门外徘徊，从这堂课开始我才正视用matlab进行真正的编程操作。matlab有很多计算方程的函数，这些都可以用help能够找到。之后在张老师的指导下，学会了用spss的简单操作，也对聚类分析、降维有了初步的认识。同时，张老师还讲了主成分分析和因子分析，用来解决多元统计系列问题。黄老师的二维三维图形绘制的课也让我对数学建模论文的插图有了进一步的想法。关于科技论文的写作更是让我有规范论文格式的意识。最后，王老师介绍了MATLAB的工具箱。我意识到了站在前人肩膀上的重要性。 总之此次数学建模培训让我明白数学建模四个字的含义，将问题转化为数学问题然后运用成熟的算法将之解决。 关键字：MATLAB LINGO SPSS 多元统计
数学建模论文格式要求 ●题名。字体为常规，黑体，二号。题名一般不超过20个汉字，必要时可加副标题。●摘要。文稿必须有不超过300字的内容摘要，摘要内容字体为常规，仿宋，五号。摘要应具备独立性和自含性，应是文章主要观点的浓缩。摘要前加“[摘要]”作标识，字体为加粗，黑体，五号。●正文。用五号宋体，1.5倍间距。文稿以10000字以下为宜。●文内标题。力求简短、明确，题末不用标点符号（问号、叹号、省略号除外）。层次不宜超过5级。第1级标题字体为常规，楷体，小四；第2级标题字体为加粗，宋体，五号；次级递减。层次序号可采用一．（一）．1．（1）．1），不宜用①，以与注释号区别。文内内容字体为常规，宋体，五号。●数字使用。数字用法及计量单位按GBT15835—1995《出版物上数字用法的规定》和1984年12月27日国务院发布的《中华人民共和国法定计量单位》执行。4位以上数字采用3位分节法。5位以上数字尾数零多的，可以“万”、“亿”作单位。标点符号按GBT15835—1995《标点符号用法》执行。●附表与插图。附表应有表序、表题、一般采用三线表；插图应有图序和图题。序号用阿拉伯数字标注。常规，楷体，五号。图序和图题的字体为加粗，宋体，五号。 ●引用。引用原文必须核对准确，注明准确出处；凡涉及数字模型和公式的，务请认真核算。●参考文献。论文应附有参考文献并遵循相应的格式。参考文献放在文末。“[参考文献]”字体为加粗，黑体，五号；其内容的汉字字体为常规，仿宋，小五。参考文献中书籍的表述方式为 序号作者书名版本(第１版不标注)出版地出版社出版年页码参考文献中期刊杂志论文的表述方式为序号作者论文名杂志名卷期号出版年页码参考文献中网上资源的表述方式为序号作者资源标题网址访问时间（年月日）●页眉，页脚。团队序号位于论文每页页眉的左端。页码位于每页页脚的中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。●论文用A4纸打印出来，并将论文首页和论文装订到一起，一齐上交。论文出处(作者) 一个教授心目中理想的学位论文 毕业论文提纲的步骤
东北大学 研究生考试试卷 考试科目：数学模型 课程编号： 阅卷人： 考试日期：2011.12 姓名：王艳超2班 学号：1170380 注意事项 1．考前研究生将上述项目填写清楚 2．字迹要清楚，保持卷面清洁 3．交卷时请将本试卷和题签一起上交 东北大学研究生院
数学模型在人口预测中的应用 绪论 随着社会的发展和科技的进步，数学愈来愈向其它科技领域渗透，数学模型的研究愈来愈广泛和深入.物理和力学是数学应用的传统领域，其中有许多著名的数学模型.然而，以前数学在化学、生物等自然学科中应用的很少.近年来，情况发生了变化. 最近几个世纪以来世界的人口增加的很快，数学模型的方法在研究人口的预测的领域得到了越来越广泛的重视.有人预计到21世界的中叶，人类将超过100亿.地球上可供人类利用的资源是十分有限的，世界人口的迅速膨胀，特别是发展中国家过高的人孔增长率成为一个十分严峻的问题.另一方面，当前许多国家人口的年龄结构不合理，出现人口老龄化的趋势，产生了一系列新的社会问题. 面临这样的形势，人类必须进行自我控制，既要抑制人口增长的过快形势又要使人口的年龄结构有一个合理的分布.要实现此目标必须建立人口的预测和控制的数学模型，为正确的的人口政策提供科学的依据.
一 人口预测模型综述 人口预测是指以人口现状为基础，对未来人口的发展趋势提出合理的控制要求和假定条件即参数条件，来获得对未来人口数据提出预报的技术或方法.未来人口规模是土地利用规划中确定各类土地需求量控制性指标、调整土地利用结构，实现土地供需平衡，解决人地矛盾的重要依据.因此，探讨人口预测方法在土地利用规划中的合理应用，对土地利用规划和土地可持续发展有着十分重要的意义. 常用人口预测方法有人口自然增长法、线性回归法、移动平均法、指数平滑法、灰色预测法、系统动力学方法、人工神经网络预测法、马尔萨斯（Malthus ）模型、Logistic 人口预测模型、Leslie 人口预测模型预测、宋健人口预测模型、王广州系统仿真结构功能模型等. 除以上方法外，一些学者还利用SPSS 统计软件、资源环境容量、土地承载力、生命表法、Berta lanffy 模型、数学期望等对人口预测进行了一些研究.另外，由于预测方法种类繁多，运用组合预测的的方法也有研究.下面分别叙述之. （一）人口自然增长法 自然增长法是土地利用规划中人口预测最常用的方法.自然增长法是以现有人口为基数，根据人口的年平均增长率，自然增长率和人口机械增长数来确定规划目标年的总人口数.常采用的公式有两种，即： )1(R n N P += (1) G N P r n +=+)1( (2) 式中：P 为规划目标年的总人口数；N 为规划基础年的总人口数；R 为规划期人口年平均增长率；r 为规划期人口自然增长率；n 为规划年限；G 为人口机械增长数（迁入与迁出之间的差数）.利用以上两个公式预测时，关键是要指定各个参数的值，在以上参数值准确的前提下，自然增长法具有普遍的适用性. （二）线性回归法 1.一元线性回归.用一元线性回归法预测的基本思想是:：按照两个变量X 、Y 的现有数据，把X 、Y 作为已知数，根据回归方程寻求合理的a 、b ，确定回归曲线.再把a 、b 作为已知数，去确定X 、Y 的未来演变.一元线性回归方程为：
数学模型课程论文 题目：企业利润合理的分配 【摘要】 本文针对企业利润合理的分配进行建立层次分析模型。首先将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即企业利润的合理分配，最下层为方案层，有 P1，P2，P3三个分别为：为企业员工发年终奖金，扩建集体福利设施，引进高薪技术人才和设备。中间为准则层，有调动员工的积极性，提高企业质量，改善企业员工的生活条件。然后用成对比较法得出成对比较矩阵，运用Matlab软件求出特征值和权向量。求出组合权向量，进行一致性检验。最后得出组合权向量为：（0.5020,0.3546,0.1434）。结果表明方案在企业员工发年终奖金的权重大些，所以资金的合理分配为： 企业员工发年终奖金、扩建集体福利设施和引进高薪技术人才和设备资金的比例为：0.5020：0.3546：0.1434 。 关键词：层次分析法；Matlab软件；企业利润；合理分配；
问题重述 某企业由于生产效益较好，年底取得一笔利润领导决定拿出一部分资金分别用于，（1）为企业员工发年终奖金；（2）扩建集体福利设施；（3）引进高薪技术人才和设备；为了促进企业的进一步发展，在制定分配方案时，主要考虑的因素有:调动员工的积极性，提高企业质量，改善企业员工的生活条件。主要问题为年终奖发多少？扩建集体福利和设施支出多少？拿多少资金用于引进高薪技术人才和设备。试建立层次分析法模型，提出一个较好的资金分配方案。 一、问题分析 首先将决策问题分解为三个层次，最上层为目标层，即企业利润的合理分配， 最下层为方案层，有P 1，P 2 ，P 3 三个分别为：为企业员工发年终奖金，扩建集 体福利设施，引进高薪技术人才和设备。中间为准则层，有C 1 调动员工的积极 性，C 2 提高企业质量，C 3 改善企业员工的生活条件。将方案层对准则层的权重 及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，在层次分析法中要给出进行综合的计算方法。用成对比较法得出成对比较矩阵，运用Matlab软件[1]求出特征值和权向量[2]。求出组合权向量，进行一致性检验。最后得出组合权向量。
全国大学生数学建模竞赛论文格式规范 （全国大学生数学建模竞赛组委会，2019年修订稿） 为了保证竞赛的公平、公正性，便于竞赛活动的标准化管理，根据评阅工作的实际需要，竞赛要求参赛队分别提交纸质版和电子版论文，特制定本规范。 一、纸质版论文格式规范 第一条，论文用白色A4纸打印(单面、双面均可)；上下左右各留出至少2.5厘米的页边距；从左侧装订。 第二条，论文第一页为承诺书，第二页为编号专用页，具体内容见本规范第3、4页。 第三条，论文第三页为摘要专用页（含标题和关键词，但不需要翻译成英文），从此页开始编写页码；页码必须位于每页页脚中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。摘要专用页必须单独一页，且篇幅不能超过一页。 第四条，从第四页开始是论文正文（不要目录，尽量控制在20页以内）；正文之后是论文附录（页数不限）。 第五条，论文附录至少应包括参赛论文的所有源程序代码，如实际使用的软件名称、命令和编写的全部可运行的源程序（含EXCEL、SPSS等软件的交互命令）；通常还应包括自主查阅使用的数据等资料。赛题中提供的数据不要放在附录。如果缺少必要的源程序或程序不能运行（或者运行结果与正文不符），可能会被取消评奖资格。论文附录必须打印装订在论文纸质版中。如果确实没有源程序，也应在论文附录中明确说明“本论文没有源程序”。 第六条，论文正文和附录不能有任何可能显示答题人身份和所在学校及赛区的信息。 第七条，引用别人的成果或其他公开的资料(包括网上资料)必须按照科技论文写作的规范格式列出参考文献，并在正文引用处予以标注。 第八条，本规范中未作规定的，如排版格式（字号、字体、行距、颜色等）不做统一要求，可由赛区自行决定。在不违反本规范的前提下，各赛区可以对论文增加其他要求。 二、电子版论文格式规范 第九条，参赛队应按照《全国大学生数学建模竞赛报名和参赛须知》的要求提交以
初中数学建模论文范文 数学建模随着人类的进步，科技的发展和社会的日趋数字化，应用领域越来越广泛，人们身边的数学内容越来越丰富。强调数学应用及培养应用数学意识对推动素质教育的实施意义十分巨大。数学建模在数学教育中的地位被提到了新的高度，通过数学建模解数学应用题，提高学生的综合素质。本文将结合数学应用题的特点，把怎样利用数学建模解好数学应用问题进行剖析，希望得到同仁的帮助和指正。 一、数学应用题的特点 我们常把来源于客观世界的实际，具有实际意义或实际背景，要通过数学建模的方法将问题转化为数学形式表示，从而获得解决的一类数学问题叫做数学应用题。数学应用题具有如下特点： 第一、数学应用题的本身具有实际意义或实际背景。这里的实际是指生产实际、社会实际、生活实际等现实世界的各个方面的实际。如与课本知识密切联系的源于实际生活的应用题；与模向学科知识网络交汇点有联系的应用题；与现代科技发展、社会市场经济、环境保护、实事政治等有关的应用题等。 第二、数学应用题的求解需要采用数学建模的方法，使所求问题数学化，即将问题转化成数学形式来表示后再求解。 第三、数学应用题涉及的知识点多。是对综合运用数学知识和方法解决实际问题能力的检验，考查的是学生的综合能力，涉及的知识点一般在三个以上，如果某一知识点掌握的不过关，很难将问题正确解答。 二、数学应用题如何建模 第一层次：直接建模。 根据题设条件，套用现成的数学公式、定理等数学模型，注解图为： 第二层次：直接建模。可利用现成的数学模型，但必须概括这个数学模型，对应用题进行分析，然后确定解题所需要的具体数学模型或数学模型中所需数学量需进一步求出，然后才能使用现有数学模型。 第三层次：多重建模。对复杂的关系进行提炼加工，忽略次要因素，建立若干个数学模型方能解决问题。 第四层次：假设建模。要进行分析、加工和作出假设，然后才能建立数学模型。如研究十字路口车流量问题，假设车流平稳，没有突发事件等才能建模。 三、建立数学模型应具备的能力
数学建模课程设计 题目：最佳捕鱼方案 第九组：组员一组员二组员三 姓名：崔健萍王晓琳吴晓潇 学号： 021340712 021341009 021341014 专业：数学与应用数学数学与应用数学数学与应用数学成绩： 湖北民族学院理学院 二零一五年五月三十一日
最佳捕鱼方案问题 摘要 捕鱼方案问题在实际生活中应用广泛，如何捕鱼投放市场效益最佳这是一个一直需要讨论的问题。 本文通过建立一个数学模型的方式把捕鱼方案问题这种实际问题转化为数学模型的方式进行解答。 在本文中，首先我们对于这个问题进行了分析假设，排除了一些实际生活中不可避免但是我们又无法预计的实际情况，然后对本题进行了分析，选择了最合适的建模方式。在已知鱼的总量、水位、水位随时间的变化关系、鱼损失的变化率随水位的变化关系、捕鱼成本随水位的变化关系及不同供应量时鱼的价格的情况如下，要求下面几个问题： 问题一：建立草鱼的销售收益随供应量变化的函数关系，主要是考虑当随捕鱼量取不同值时，鱼的价格，然后再把其联系在一块，做出其函数关系。 问题二：建立草鱼的捕捞成本随时间变化的函数关系，由于是自然放水，所以水的深度和时间是一个一次函数的关系，但水的深度降低时，捕捞成本越来越低，并且降低的速度越来越快。经过一系列的模型建立与求解最终得出捕捞成本随时间的函数关系。 问题三：当水位下降时捕鱼的损失率会越来越大，并且其损失率会加速增大，据查询的可靠资料，最后得出水位和损失率的关系跟反函数图像最接近，最后就采用以水位为自变量，损失率为因变量建立模型，最终得出其函数模型，然后再联系水位与时间的关系，最终可以得出草鱼的损失率与时间变化的函数关系。问题四：为取得最大的总经济效益，保证在放水的过程中，每一天都达到了最大的经济效益，其中要考虑到捕鱼成本随水深的变化和损失率随水深的变化，同时水深又是随时间的变化，建立相应的目标规划模型。 关键词：0-1变量规划问题多目标 LINGO
数学建模论文格式官方要求 题名。字体为常规，黑体，二号。题名一般不超过20 个汉字，必要时可加副标题。 摘要。文稿必须有不超过300字的内容摘要，摘要内容字体为常规，仿宋，五号。摘要应具备独立性和自含性，应是文章主要观点的浓缩。摘要前加“[摘要]”作标识，字体为加粗，黑体，五号。 正文。用五号宋体，1.5倍间距。文稿以10000 字以下为宜。 文内标题。力求简短、明确，题末不用标点符号(问号、叹号、省略号除外)。层次不宜超过5级。第1级标题字体为常规，楷体，小四;第2级标题字体为加粗，宋体，五号;次级递减。层次序号可采用 一.(一).1.(1).1)，不宜用①，以与注释号区别。文内内容字体为常规，宋体，五号。 数字使用。数字用法及计量单位按GB T15835—1995《出版物上数字用法的规定》和1984年12月27日国务院发布的《中华人民共和国法定计量单位》执行。4位以上数字采用3位分节法。5位以上数字尾数零多的，可以“万”、“亿”作单位。标点符号按GB T15835—1995《标点符号用法》执行。
附表与插图。附表应有表序、表题、一般采用三线表;插图应有图序和图题。序号用阿拉伯数字标注。常规，楷体，五号。图序和图题的字体为加粗，宋体，五号。 引用。引用原文必须核对准确，注明准确出处;凡涉及数字模型和公式的，务请认真核算。 参考文献。论文应附有参考文献并遵循相应的'格式。参考文献放在文末。“[参考文献]”字体为加粗，黑体，五号;其内容的汉字字体为常规，仿宋，小五。 参考文献中书籍的表述方式为： 序号作者书名版本(第1版不标注) 出版地出版社出版年页码 参考文献中期刊杂志论文的表述方式为： 序号作者论文名杂志名卷期号出版年页码 参考文献中网上资源的表述方式为： 序号作者资源标题网址访问时间(年月日) 页眉，页脚。团队序号位于论文每页页眉的左端。页码位于每页页脚的中部，用阿拉伯数字从“1”开始连续编号。
我们的数学建模课 摘要：数学建模设一门很有趣的课程，也值得大家好好思考。学完 之后，我就试了一下两道题目，一个是狼找兔子，另一个是设置输 油管的布置，写出了自己思考的过程。对于老师讲的课程，我抱有 很大的兴趣，也希望以后将这种思维运用到以后的学习工作中去。 关键词：数学建模编号位置费用 最初接触数学建模是又一次在五羊广场看到一个数学建模的比赛，听到这个 名称我就感到很好奇，也很想参加比赛。后来的故事当然顺理成章，我选了这 门课程，但同学们的反应却很惊讶，“干嘛选这种课程啊”、“你简直就是一 怪人”、“这种课程应该很难吧！”，各种质疑声铺天而来，我也很吃惊，想 着有必要嘛，不就是选了数学建模嘛！因为感兴趣，所以我选了这门课程！因 为好奇，我还是选了这门课程！也许这就是大学设置课程的好处吧！ 很多与数学有关的东西，我都有很大兴趣，但是我的专业是劳动与社会保障，主要方向是人力资源管理和劳动关系，由于很多东西不甚了解，也并不喜欢做 那些文字性的东西。例如将绩效考评用模型来进行评估或者评价某一项管理好坏，总的来说这些东西对我来说都比较虚，不如数字来得直白。数据更能容易 引起我的关注，也比较喜欢做这一类的题目。如果将论文联系到我的专业的话，那实在是没什么想法，我想换另外一种方式，那就思考一些题目。 一：狼追兔子的故事 一只兔子躲进了10个环形分布洞的某一个中，狼在第一个洞中没有找到兔子，就隔一个洞，到第三个洞去找，也没有找到，就间隔两个洞，到第六个洞去找，以后每次多一个洞去找兔子…这样下去，如果狼一直找不到兔子.请问兔子可能躲在哪个洞中？给出算法步骤，并编程求出结果 求解过程： 洞是环形结构的，将十个洞分别编号：1、2、3、、、、9、10，在狼第一圈找兔子的时候，狼找洞的序号是1、3、6、10，在第二圈的时候是5，由于十个数字是环形的，我们可以直接用数字计算，而计算超过十所得数据的尾数就是落到那个洞的洞号。即在第二圈我们可以计算出一个数字15，而洞的编号就是5也就是15的个位数字，以后的狼没跳到一个洞口，我们都可以计算一个数据，规则同上。 ……………… 1 3 6 10 15 21 28 36 45 55 66 78 ………….. 箭头表示的是下面两个数字的差值。两个相邻数字的差额成等差数列， 公差是一。 a a a 设N个数据为12.....n