5
.
由正弦定理,有a sin A =b sinB ,所以sinB =bsinA a =2
2.
由题意知a>b ,则A>B ,故B =π
4
.
根据余弦定理,有(4 2)2=52+c 2
-235c3? ??
??-35,
解得c =1或c =-7(舍去),
故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →
|cosB =22
.
7.(20132四川卷)在平行四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O ,AB →+AD →=λAO →
,则λ=________. 【答案】2
【解析】根据向量运算法则,AB →+AD →=AC →=2AO →
,故λ=2.
8.(20132重庆卷)在平面上,AB 1→⊥AB 2→,|OB 1|=|OB 2→|=1,AP →=AB 1→+AB 2→.若|OP →|<12,则|OA
→
|的取值范围是( ) A.? ????0,
52 B.? ????5
2,72 C.? ????52,2 D.? ????72,2
【答案】D
又(x -a)2+y 2=1,得x 2+y 2+a 2=1+2ax≤1+a 2+x 2,则y 2
≤1; 同理由x 2
+(y -b)2
=1,得x 2
≤1,即有x 2
+y 2
≤2②. 由①②知74<x 2+y 2≤2,所以72<x 2+y 2
≤ 2.
而|OA →|=x 2+y 2
,所以72
<|OA →|≤2,故选D.
1.已知下列各式:①AB →+BC →+CA →;②AB →+MB →+BO →+OM →;③OA →+OB →+BO →+CO →;④AB →-AC →+BD →-CD →
.其中结果为零向量的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4
解析 由题知结果为零向量的是①④,故选B. 答案 B
2.设a 是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( ) A.a 与λa 的方向相反 B.a 与λ2
a 的方向相同 C.|-λa |≥|a |
D.|-λa |≥|λ|2a
答案 B
3.如图,在正六边形ABCDEF 中,BA →+CD →+EF →
=( )
A.0
B.BE →
C.AD →
D.CF →
解析 由题图知BA →+CD →+EF →=BA →+AF →+CB →=CB →+BF →=CF →
. 答案 D
4.设a 0为单位向量,下述命题中:①若a 为平面内的某个向量,则a =|a |a 0;②若a 与a 0平行,则a =|a |a 0;③若a 与a 0平行且|a |=1,则a =a 0.假命题的个数是( ) A.0
B.1
C.2
D.3
解析 向量是既有大小又有方向的量,a 与|a |a 0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与a 0平行,则a 与a 0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a =-|a |a 0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3. 答案 D
5.设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点,O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点,则OA →
+OB →+OC →+OD →
等于( ) A.OM → B.2OM →
C.3OM →
D.4OM →
解析 OA →+OB →+OC →+OD →=(OA →+OC →)+(OB →+OD →)=2OM →+2OM →=4OM →
.故选D. 答案 D
6.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b ,若点D 满足BD →=2DC →,则AD →
等于( ) A.23b +1
3c B.53c -23b C.23b -1
3
c D.13b +23
c
答案 A
7.设a ,b 不共线,AB →=2a +p b ,BC →=a +b ,CD →
=a -2b ,若A ,B ,D 三点共线,则实数p 的
值为( ) A.-2 B.-1
C.1
D.2
解析 ∵BC →=a +b ,CD →
=a -2b , ∴BD →=BC →+CD →
=2a -b .
又∵A ,B ,D 三点共线,∴AB →,BD →
共线. 设AB →=λBD →
,∴2a +p b =λ(2a -b ), ∴2=2λ,p =-λ,∴λ=1,p =-1. 答案 B
8.如图所示,已知AB 是圆O 的直径,点C ,D 是半圆弧的两个三等分点,AB →=a ,AC →=b ,则AD →
=( )
A.a -1
2
b
B.1
2
a -
b C.a +12b D.1
2
a +b
解析 连接CD ,由点C ,D 是半圆弧的三等分点,得CD ∥AB 且CD →=12AB →=1
2a ,
所以AD →=AC →+CD →
=b +12a .
答案 D
9.设e 1与e 2是两个不共线向量,AB →=3e 1+2e 2,CB →=k e 1+e 2,CD →
=3e 1-2k e 2,若A ,B ,D 三点共线,则k 的值为( ) A.-94
B.-49
C.-38
D.不存在
答案 A
10.已知点O ,A ,B 不在同一条直线上,点P 为该平面上一点,且2OP →=2OA →+BA →
,则( ) A.点P 在线段AB 上 B.点P 在线段AB 的反向延长线上 C.点P 在线段AB 的延长线上 D.点P 不在直线AB 上
解析 因为2OP →=2OA →+BA →,所以2AP →=BA →
,所以点P 在线段AB 的反向延长线上,故选B. 答案 B
11.O 是平面上一定点,A ,B ,C 是平面上不共线的三个点,动点P 满足:OP →=OA →
+λ? ?????avs4alco 1(f (o (AB,sup 6(→)),|AB →|)+AC →|AC →|),λ∈[0,+∞),则P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
答案 B
12.若点O 是△ABC 所在平面内的一点,且满足|OB →-OC →|=|OB →+OC →-2OA →
|,则△ABC 的形状为________.
解析 OB →+OC →-2OA →=(OB →-OA →)+(OC →-OA →)=AB →+AC →,OB →-OC →=CB →=AB →-AC →,∴|AB →+AC →|=|AB →-AC →|.
故A ,B ,C 为矩形的三个顶点,△ABC 为直角三角形. 答案 直角三角形
13.向量e 1,e 2不共线,AB →=3(e 1+e 2),CB →=e 2-e 1,CD →
=2e 1+e 2,给出下列结论:①A ,B ,C 共线;②A ,B ,D 共线;③B ,C ,D 共线;④A ,C ,D 共线.其中所有正确结论的序号为________. 解析 由AC →=AB →-CB →=4e 1+2e 2=2CD →,且AB →与CB →
不共线,可得A ,C ,D 共线,且B 不在此直线上. 答案 ④
14.已知△ABC 和点M 满足MA →+MB →+MC →=0,若存在实数m 使得AB →+AC →=mAM →
成立,则m =________.
解析 由已知条件得MB →+MC →=-MA →
,如图,延长AM 交BC 于D 点,则D 为BC 的中点.
延长BM 交AC 于E 点,延长CM 交AB 于F 点,同理可证E ,F 分别为AC ,AB 的中点,即M 为△ABC 的重心,
∴AM →=23AD →=13(AB →+AC →),即AB →+AC →=3AM →
,则m =3.
答案 3
高考数学平面向量专题卷(附答案)
高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为()
A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
平面向量的概念与线性运算知识点
平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 1.向量:既有大小,又有方向的量. 2.数量:只有大小,没有方向的量. 3.有向线段的三要素:起点、方向、长度. 4.零向量:长度为0的向量. 5.单位向量:长度等于1个单位的向量. 6.平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 注:任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 7.相等向量:长度相等且方向相同的向量. 8.相反向量:长度相等且方向相反的向量 二.向量的表示法 1.字母表示法:如:a ,AB 等 2.几何表示法:用一条有向线段表示向量 3.代数表示法:在平面直角坐标系中,设向量OA 的起点O是坐标原点,终点坐标是(x ,y ),则(x ,y )称为OA 的坐标,记作:OA =(x ,y ) 三.向量的运算 1.向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点. ⑶三角形不等式:a b a b a b -≤+≤+. ⑷运算性质:①交换律:a b b a +=+;②结合律:()()a b c a b c ++=++; ③00a a a +=+=. b a C B A a b C C -=A -AB =B
⑸坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y +=++. 2.向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设()11,a x y =,()22,b x y =,则()1212,a b x x y y -=--. 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,则()1212,x x y y AB =--. 3.向量数乘运算: ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作a λ. ①a a λλ=; ②当0λ>时,a λ的方向与a 的方向相同;当0λ<时,a λ的方向与a 的方向相反;当0λ=时,0a λ=. ⑵运算律:①()()a a λμλμ=;②()a a a λμλμ+=+;③()a b a b λλλ+=+. ⑶坐标运算:设(),a x y =,则()(),,a x y x y λλλλ==. 4.向量共线定理: 向量()0a a ≠与b 共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b a λ=. 设()11,a x y =,()22,b x y =,其中0b ≠,则当且仅当12210x y x y -=时,向量a 、() 0b b ≠共线. 四.跟踪训练 1.=++++( ) A . B .0 C . D . 2.给出命题 (1)零向量的长度为零,方向是任意的.(2)若a ,b 都是单位向量,则a =b . (3)向量AB 与向量BA 相等.(4)若非零向量AB 与CD 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点共线. 以上命题中,正确命题序号是 A.(1) B.(2) C.(1)和(3) D.(1)和(4) 3.在四边形ABCD 中,如果0AB CD =,AB DC =,那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 4.如图,在△ABC 中,AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线,它们交于点 G ,则下列各等式中不正确的是
高三数学精准培优专题练习8:平面向量
培优点八 平面向量 1.代数法 例1:已知向量a ,b 满足=3a ,b 且()⊥+a a b ,则b 在a 方向上的投影为( ) A .3 B .3- C . D 【答案】C 【解析】考虑b 在a 上的投影为 ?a b b ,所以只需求出a ,b 即可. 由()⊥+a a b 可得:()2 0?+=+?=a a b a a b , 所以9?=-a b .进而?==a b b .故选C . 2.几何法 例2:设a ,b 是两个非零向量,且2==+=a b a b ,则=-a b _______. 【答案】【解析】可知a ,b ,+a b 为平行四边形的一组邻边和一条对角线, 由2==+=a b a b 可知满足条件的只能是底角为60o ,边长2a =的菱形, =. 3.建立直角坐标系 例3:在边长为1的正三角形ABC 中,设2BC BD =uu u v uu u v ,3CA CE =uu v uu u v ,则AD BE ?=u u u v u u u v __________. 【答案】14 AD BE ?=-uuu v uu u v 【解析】上周是用合适的基底表示所求向量,从而解决问题,本周仍以此题为例,从另一个角度解题,
观察到本题图形为等边三角形,所以考虑利用建系解决数量积问题, 如图建系: 3 0, A ?? ? ? ?? , 1 ,0 2 B ?? - ? ?? , 1 ,0 2 C ?? ? ?? , 下面求E坐标:令() , E x y,∴ 1 , 2 CE x y ?? =- ? ?? uu u v , 13 2 CA ? =- ?? uu v , 由3 CA CE = uu v uu u v 可得: 111 3 223 3 3 3 x x y y ???? -=-= ? ?? ?? ?? ? ?? ??= = ??? ? 13 3 E ? ?? , ∴ 3 0, AD ? = ?? uuu v , 53 6 BE ? = ?? uu u v ,∴ 1 4 AD BE ?=- uuu v uu u v . 一、单选题 1.已知向量a,b满足1 = a,2 = b,且向量a,b的夹角为 4 π ,若λ - a b与b垂直,则实数λ的值为() A. 1 2 -B. 1 2 C. 2 D 2 【答案】D 【解析】因为12cos2 4 π ?? ?= a b()2 240 λλλ -?=?=?= a b b,故选D.2.已知向量a,b满足1 = a,2 = b,7 += a b?= a b() A.1 B2C3D.2 【答案】A 对点增分集训
2018年高考数学—导数专题
导数 (选修2-2P18A7改编)曲线y=sin x x在x= π 2处的切线方程为() A.y=0 B.y=2π C.y=- 4 π2 x+ 4 π D.y= 4 π2 x 解析∵y′=x cos x-sin x x2,∴y′|x= π 2=- 4 π2 , 当x=π 2时,y= 2 π , ∴切线方程为y-2 π =- 4 π2? ? ? ? ? x- π 2 ,即y=- 4 π2 x+ 4 π . (2016·天津卷)已知函数f(x)=(2x+1)e x,f′(x)为f(x)的导函数,则f′(0)的值为________. 解析因为f(x)=(2x+1)e x, 所以f′(x)=2e x+(2x+1)e x=(2x+3)e x, 所以f′(0)=3e0=3. (2017·西安月考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=________. 解析y′=a- 1 x+1 ,由题意得y′|x=0=2,即a-1=2, 所以a=3. (2017·威海质检)已知函数f(x)=x ln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为() A.x+y-1=0 B.x-y-1=0 C.x+y+1=0 D.x-y+1=0
解析 ∵点(0,-1)不在曲线f (x )=x ln x 上, ∴设切点为(x 0,y 0). 又∵f ′(x )=1+ln x ,∴?????y 0=x 0ln x 0, y 0+1=(1+ln x 0)x 0, 解得x 0=1,y 0=0. ∴切点为(1,0),∴f ′(1)=1+ln 1=1. ∴直线l 的方程为y =x -1,即x -y -1=0. (2015·全国Ⅱ卷)已知曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切,则a =________. 解析 法一 ∵y =x +ln x ,∴y ′=1+1 x ,y ′|x =1=2. ∴曲线y =x +ln x 在点(1,1)处的切线方程为y -1=2(x -1),即y =2x -1. ∵y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切, ∴a ≠0(当a =0时曲线变为y =2x +1与已知直线平行). 由?????y =2x -1,y =ax 2 +(a +2)x +1消去y ,得ax 2+ax +2=0. 由Δ=a 2-8a =0,解得a =8. 法二 同法一得切线方程为y =2x -1. 设y =2x -1与曲线y =ax 2+(a +2)x +1相切于点(x 0,ax 20+(a +2)x 0+1). ∵y ′=2ax +(a +2),∴y ′|x =x 0=2ax 0+(a +2). 由?????2ax 0+(a +2)=2,ax 20+(a +2)x 0+1=2x 0-1,解得???x 0=-12,a =8. 答案 8 (2017·西安质测)曲线f (x )=x 3-x +3在点P 处的切线平行于直线y =2x -1,则P
向量的概念及线性运算
向量的概念及线性运算 编制人:马兰主审人: 朱礼强 一、新课引入 1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑,猫以50 m/s的速度向西追,猫能否追上老鼠? 分析:老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量. 2. 问题:质量、力、速度这三个物理量有什么区别? 质量只有大小;力、速度既有大小,又有方向. 二、概念建构 1.向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b =λa . 三、例题选讲 【例1】(1)已知下列结论: ① 若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ; ① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件; ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=; ① λ,μ为实数,若λa = μb ,则a 与b 共线. 其中正确的序号为 . (2)设,a b 都是非零向量,下列四个条件中,使 =a b a b 成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b 【解题导引】(1)利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. (2)利用单位向量与向量相等的概念求解. 【规范解答】(1)对于①,当b =0时,条件满足但结论不成立; 对于①,因为向量a 与b 都是非零向量,所以该命题是正确的;
对于①,四边形是大前提,当AB DC =u u u r u u u r 时,即AB∥DC ,且AB=DC ,所以四边形ABCD 是平行四边形,反之,若四边形ABCD 是平行四边形,则AB DC =u u u r u u u r , 所以①正确; 对于①,当λ=μ=0时,a 与b 可为任意向量,不一定共线,所以①不正确. 答案:①①. (2)选D .由a a 表示与a 同向的单位向量,表示与b 同向的单位向量,故只要a 与b 同向即可,观察可知D 满足题意. 【变式】 1. 本例(2)①中,若b ≠0,该结论是否正确? 【解析】若b ≠0,又a ①b ,b ①c ,所以a ①c 显然成立,故该结论正确. 2. 若本例(2)①中的实数λ,μ满足λ2+μ2 ≠ 0,该结论是否正确? 【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ,μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0,μ=0,则λa =0·b =0.因为λ≠0,所以a =0,又0与任何向量共线, 所以结论正确. (①)同理,若λ=0,μ≠0,结论也正确; (①)若λ≠0,μ≠0,由λa = μb 得a =μ λ b ,由共线向量定理知结论正确. 综上所述,该结论正确. 【易错警示】解答本例题(1)有两点容易出错. (1) 不清楚 ,a b a b 表示何种向量,不知道a a 是a 方向上的单位向量. (2) 求解时易忽视两向量是同向还是反向,是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 (1)定义:方向和长度. (2)非零共线向量:方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量:方向相同且长度相等. (4)单位向量:方向没有限制,但长度都是一个单位长度. (5)零向量:方向没有限制,长度是0,规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量,下列命题中:
41平面向量的概念及线性运算
6. (2010浙江杭州调研)设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 、选择题 1.在厶 ABC 中,AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ,则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案:A 2. (2010广东中山调研)已知a 、b 是两个不共线的向量,AB =入a b, AC = a +讥入 此R ), 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R )及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ,即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. (2009 ?东)设P 是厶ABC 所在平面内的一点, BC + BA = 2BP ,则( ) A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」 解析:如上图,根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案:B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ,若PA + PB + PC = AB ,则( ) A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上 解析:?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ,?点 P 在线段 AC 上. 答案:D 、填空题 5. (2009宁夏银川模拟)若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等,则四边形 ABCD 是 解析:?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ,且 |AB|M |CD|. 5 答案:等腰梯形 解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c),
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面向量》全集汇编附解析
新数学《平面向量》试卷含答案 一、选择题 1.如图,圆O 是等边三角形ABC 的外接圆,点D 为劣弧AC 的中点,则OD =u u u r ( ) A .2133BA AC +u u u r u u u r B .2133BA A C -u u u r u u u r C .1233BA AC +u u u r u u u r D .4233BA AC +u u u r u u u r 【答案】A 【解析】 【分析】 连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E ,列出相应式子得出结论. 【详解】 解:连接BO ,易知B ,O ,D 三点共线,设OD 与AC 的交点为E , 则()() 221121332333 OD BO BE BA BC BA BA AC BA AC ===?+= ++=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r . 故选:A. 【点睛】 本题考查向量的表示方法,结合几何特点,考查分析能力,属于中档题. 2.已知正ABC ?的边长为4,点D 为边BC 的中点,点E 满足AE ED u u u r u u u r =,那么EB EC ?u u u r u u u r 的值为( ) A .8 3 - B .1- C .1 D .3 【答案】B 【解析】 【分析】 由二倍角公式得求得tan ∠BED ,即可求得cos ∠BEC ,由平面向量数量积的性质及其运算得直接求得结果即可. 【详解】
由已知可得:7 , 又23 tan BED 3 BD ED ∠= == 所以22 1tan 1 cos 1tan 7 BED BEC BED -∠∠==-+∠ 所以1||cos 7717EB EC EB EC BEC ?? ?=∠=-=- ??? u u u r u u u r u u u r u u u r ‖ 故选B . 【点睛】 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算及二倍角公式,属中档题. 3.若向量a b r r ,的夹角为3 π ,|2|||a b a b -=+r r r r ,若()a ta b ⊥+r r r ,则实数t =( ) A .1 2 - B . 12 C 3 D .3 【答案】A 【解析】 【分析】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得22b a b =?r r r ,结合条件可得b a =r r ,又由()a ta b ⊥+r r r ,可得20t a a b ?+?=r r r ,即可得出答案. 【详解】 由|2|||a b a b -=+r r r r 两边平方得2222442a a b b a a b b -?+=+?+r r r r r r r r . 即22b a b =?r r r ,也即22cos 3 b a b π =r r r ,所以b a =r r . 又由()a ta b ⊥+r r r ,得()0a ta b ?+=r r r ,即20t a a b ?+?=r r r . 所以222 1122b a b t a b ?=-=-=-r r r r r 故选:A
2018年高考数学专题23基本初等函数理
专题2.3 基本初等函数 【三年高考】 1. 【2017课标1,理11】设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则 A .2x <3y <5z B .5z <2x <3y C .3y <5z <2x D .3y <2x <5z 【答案】D 【解析】试题分析:令235(1)x y z k k ===>,则2log x k =,3log y k =,5log z k = ∴ 22lg lg 3lg 913lg 23lg lg8x k y k =?=>,则23x y >,22lg lg5lg 2515lg 25lg lg32 x k z k =?=<,则25x z <,故选D. 2. 【2017天津,理6】已知奇函数()f x 在R 上是增函数,()()g x xf x =.若2(log 5.1)a g =-,0.8(2)b g =,(3)c g =,则a ,b ,c 的大小关系为 (A )a b c << (B )c b a << (C )b a c << (D )b c a << 【答案】C 【解析】因为()f x 是奇函数且在R 上是增函数,所以在0x >时,()0f x >,从而()()g x xf x =是R 上的偶函数,且在[0,)+∞上是增函数,22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=,0.822<,又4 5.18<<,则22log 5.13<<,所以即0.8 202 log 5.13<<<, 0.82(2)(log 5.1)(3)g g g <<,所以b a c <<,故选C . 3. 【2017北京,理8】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与 M N 最接近的是( )(参考数据:lg3≈0.48) (A )1033 (B )1053 (C )1073 (D )1093 【答案】D 4. 【2016高考新课标3理数】已知4 32a =,254b =,13 25c =,则( ) (A )b a c << (B )a b c << (C )b c a << (D )c a b << 【答案】A 【解析】因为422335244a b ==>=,122333 2554c a ==>=,所以b a c <<,故选A .
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算 基础巩固强化 一、选择题 1.(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC → +BA → =2BP → ,则( ) A.P A →+PB →=0 B.PC →+P A →=0 C.PB → +PC → =0 D.P A → +PB → +PC → =0 [答案] B [解析] 如图,根据向量加法的几何意义,BC → +BA → =2BP → ?P 是AC 的中点,故P A → +PC → =0. (理)已知△ABC 中,点D 在BC 边上,且CD → =2DB →,CD → =rAB → +sAC → ,则r +s 的值是( ) A.23 B.43 C .-3 D .0 [答案] D [解析] CD → =AD → -AC → ,DB → =AB → -AD → . ∴CD →=AB →-DB →-AC →=AB → -1 2CD →-AC →. ∴3 2 CD →=AB →-AC → ,
∴CD →=23AB →-2 3 AC → . 又CD →=rAB →+sAC → ,∴r =23,s =-2 3, ∴r +s =0. 2.(2012·四川理,7)设a 、b 都是非零向量,下列四个条件中,使a |a |=b |b |成立的充分条件是( ) A .a =-b B .a ∥b C .a =2b D .a ∥b 且|a |=|b | [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念. 因a |a |表示与a 同向的单位向量,b |b |表示与b 同向的单位向量,要使a |a |=b |b |成立,则必须a 与b 同向共线,所以由a =2b 可得出a |a |=b |b | . [点评] a =-b 时,a 与b 方向相反;a ∥b 时,a 与b 方向相同或相反.因此A 、B 、D 都不能推出a |a |=b |b | . 3.(2013·长春调研)已知向量a =(2,1),b =(x ,-2),若a ∥b ,则a +b 等于( ) A .(-2,-1) B .(2,1) C .(3,-1) D .(-3,1) [答案] A [解析] 由a ∥b 可得2×(-2)-1×x =0,故x =-4,所以a +b =(-2,-1),故选A. 4.(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,BC → 2=16,|AB → +AC → |=|AB → -AC → |,则|AM → |=( ) A .2 B .4 C .6 D .8 [答案] A [解析] 由|AB → +AC →|=|AB →-AC →|两边平方得AB →2+AC →2+2AB →·AC →=AB →2+AC →2-2AB →·AC →,即AB →·AC → =0, 所以AB →⊥AC → ,∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线,又由BC →2=16得|BC →|=4,所以|AM → |=2. 5.设OA → =e 1,OB → =e 2,若e 1与e 2不共线,且点P 在线段AB 上,|AP PB |=4,如图所示,则 OP → =( )
53.高考数学专题26 平面向量(知识梳理)(理)(原卷版)
专题26 平面向量(知识梳理) 一、向量的概念及表示 1、向量的概念:具有大小和方向的量称为向量。 (1)数量与向量的区别:数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。 (2)向量的表示方法: ①具有方向的线段,叫做有向线段,以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,AB 的长度记作||AB 。用有向线段AB 表示向量,读作向量AB ; ②用小写字母表示:a 、。 (3)向量与有向线段的区别和联系: ①向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量; ②有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段; ③向量可以用有向线段表示,但向量不是有向线段。向量是规定了大小和方向的量,有向线段是规定了起点和终点的线段。 2、向量的模:向量AB 的大小――长度称为向量的模,记作||。 3、零向量:长度等于零、方向是任意的向量,记作。 4、单位向量:长度为一个单位长度的向量。与非零向量共线的单位向量0a =。 5、平行向量:(1)若非零向量a 、的方向相同或相反,则b a //,又叫共线向量; (2)规定与任一向量平行。 6、共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关)。 7、相等向量:若非零向量a 、方向相同且模相等,则向量a 、是相等向量。 (1)相等向量:=?模相等,方向相同; (2)相反向量:b a -=?模相等,方向相反。 二、向量的加法 1、三角形法则
图示 2、平行四边形法则 原理 已知两个不共线向量a 、b ,作a AB =,b BC =,则A 、B 、D 三点不共线,以AB 、AD 为邻边 作平行四边形,则对角线上的向量b a AC +=,这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则。 图示 3、多边形法则 原理 已知n 个向量,依次把这n 个向量首尾相连,以第一个向量的始点为始点,第n 个向量的终点为终点 的向量叫做这n 个向量的和向量,这个法则叫做向量求和的多边形法则。 图示 运算律 交换律 a b b a +=+ 结合律 )()(c b a c b a ++=++ 1、相反向量:与a 长度相等、方向相反的向量,叫做a 的相反向量,记作a -。 (1)规定:零向量的相反向量仍是零向量; (2)a a =--)(; (3)0)()(=+-=-+a a a a ; (4)若a 与b 互为相反向量,则b a -=,a b -=,0=+b a 。 2、向量的减法:已知向量a 与b (如图),作a OA =,b OB =,则a BA b =+,向量BA 叫做向量a 与b 的差,并记作b a -,即OB OA b a BA -=-=,由定义可知: (1)如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量; (2)一个向量BA 等于它的终点相对于点O 的位置向量OA 减去它的始点相对于点O 的位置向量OB ,或简记为“终点向量减始点向量”;
2018年高考数学总复习专题1.1集合试题
专题1.1 集合 【三年高考】 1.【2017高考江苏1】已知集合{1,2}A =,2{,3}B a a =+,若{1}A B =,则实数a 的值为 ▲ . 【答案】1 【解析】由题意1B ∈,显然233a +≥,所以1a =,此时234a +=,满足题意,故答案为1. 【考点】集合的运算、元素的互异性 【名师点睛】(1)认清元素的属性.解决集合问题时,认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件. (2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为不满足“互异性”而导致错误. (3)防范空集.在解决有关,A B A B =??等集合问题时,往往容易忽略空集的情况,一 定要先考虑?时是否成立,以防漏解. 2.【2016高考江苏1】已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B . 【答案】{}1,2- 【解析】 试题分析:{} {}{}1,2,3,6231,2A B x x =--<<=-.故答案应填:{}1,2- 【考点】集合运算 【名师点睛】本题重点考查集合的运算,容易出错的地方是审错题意,属于基本题,难度不大.一要注意培养良好的答题习惯,避免出现粗心而出错,二是明确江苏高考对于集合题的考查立足于列举法,强调对集合运算有关概念及法则的理解. 2.【2015高考江苏1】已知集合{ }3,2,1=A ,{}5,4,2=B ,则集合B A 中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】{123}{245}{12345}A B ==,,,,,,,,,,,则集合B A 中元素的个数为5个. 【考点定位】集合运算
平面向量的概念与线性运算
平面向量的概念及线性运算知识点: 1.向量的有关概念 2.向量的线性运算
3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量,若存在一个实数λ,使得b=λa,则向量b与非零向量a共线. 选择题: 给出下列命题:①零向量的长度为零,方向是任意的;②若a,b都是单位向量,则a=b;③向量AB→与BA→相等.则所有正确命题的序号是( ) A.①B.③C.①③D.①② 解析根据零向量的定义可知①正确;根据单位向量的定义可知,单位向量的模相等,但方向不一定相同,故两个单位向量不一定相等,故②错误;向量AB→与BA→互为相反向量,故③错误. →;③OA→+OB→+BO→+CO→;④AB→-AC→+BD→已知下列各式:①AB→+BC→+CA→;②AB→+MB→+BO→+OM -CD→,其中结果为零向量的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4 解析由题知结果为零向量的是①④,故选B. 设a0为单位向量,①若a为平面的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a 与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述命题中,假命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命题;若a 与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③也是假命题.综上所述,假命题的个数是3. 设a0,b0分别是与a,b同向的单位向量,则下列结论中正确的是( ) A.a0=b0B.a0·b0=1 C.|a0|+|b0|=2 D.|a0+b0|=2 解析∵是单位向量,∴|a0|=1,|b0|=1 设a是非零向量,λ是非零实数,下列结论中正确的是( ) A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.|-λa|≥|a| D.|-λa|≥|λ|·a 解析对于A,当λ>0时,a与λa的方向相同,当λ<0时,a与λa的方向相反,B正确;对于C,|-λa|=|-λ||a|,由于|-λ|的大小不确定,故|-λa|与|a|的大小关系不确定;对于D,|λ|a是向量,而|-λa|表示长度,两者不能比较大小. 设a、b是两个非零向量( ) A.若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b B.若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| C.若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa D.若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| 解析对于A,可得cos〈a,b〉=-1,∴a⊥b不成立;对于B,满足a⊥b时|a+b|=|a|-|b|
平面向量的基本概念及线性运算知识点
平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示,注意不能说向量就是有向线段(向量可以平移)。如已知A (1,2),B (4,2),则把向量AB u u u r 按向量a r =(-1,3)平移后得到的向量是_____(3,0) 2、向量的表示方法:用有向线段来表示向量. 起点在前,终点在后。有向线段的长度表示向量的大小,用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ,b ,…或用AB ,BC ,…表示 (1) 模:向量的长度叫向量的模,记作|a |或|AB |. (2)零向量:长度为0的向量叫零向量,记作:0,注意零向量的方向是任意的; (3)单位向量:长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r ); (4)相等向量:长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量,相等向量有传递性。 (5)平行向量(也叫共线向量):方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量,记作:a ∥b ,规定零向量和任何向量平行。提醒:①相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;③平行向量无传递性!(因为有0r );④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线; (6)相反向量:长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是-a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法: (1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法. 如图,已知向量a ,b ,在平面内任取一点A ,作AB =u u u r a ,BC =u u u r b ,则向量AC 叫做a 与b 的和,记作a+b ,即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况:a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ,有 a 00+=+ a = a (2)法则:____三角形法则_______,_____平行四边形法则______ (3)运算律:____ a +b =b +a ;_______,____(a +b )+c =a +(b +c )._______ 当a 、b 不共线时,
2018年高考数学分类汇编专题十三极坐标与参数方程
《2018年高考数学分类汇编》 第十三篇:极坐标与参数方程 一、填空题 1. 【2018北京卷10】在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切, 则a =__________. 2.【2018天津卷12】)已知圆22 20x y x +-=的圆心为C ,直线2 1,232 ? =-??? ?=-?? x y (t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则ABC △的面积为 . 二、解答题 1.【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2 2cos 30ρρθ+-=. (1)求2C 的直角坐标方程; (2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程. 2.【2018全国二卷22】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数), 直线的参数方程为 (为参数). (1)求和的直角坐标方程; (2)若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率. 3.【2018全国三卷22】在平面直角坐标系中,的参数方程为(为参数), xOy C 2cos 4sin x θy θ =??=?, θl 1cos 2sin x t αy t α =+?? =+?, t C l C l (1,2)l xOy O ⊙cos sin x y θθ=??=? , θ
过点且倾斜角为的直线与交于两点. (1)求的取值范围; (2)求中点的轨迹的参数方程. 4.【2018江苏卷21C 】在极坐标系中,直线l 的方程为π sin()26 ρθ-=,曲线C 的方程为 4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长. 参考答案 一、填空题 1.21+ 2. 2 1 二、解答题 1.解: (1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=. (2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆. 由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与 2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两 个公共点. 当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为22 21 k =+,故 4 3 k =-或0k =. 经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当4 3 k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点. (02, αl O ⊙A B ,αAB P
高考数学-平面向量专题复习
平面向量 【考点例题解析】 考点1.共线定理应用 例一:平面向量→ →b a ,共线的充要条件是( ) A.→ →b a ,方向相同 B. → →b a ,两向量中至少有一个为零向量 C.存在,R ∈λ→ → =a b λ D.存在不全为零的实数0,,2121=+→ → b a λλλλ 变式一:对于非零向量→ →b a ,,“→→ →=+0b a ”是“→ →b a //”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 变式二:设→ →b a ,是两个非零向量( ) A.若→ → → → =+b a b a _则→→ ⊥b a B. 若→→⊥b a ,则→→→→=+b a b a _ C. 若→ →→→=+b a b a _,则存在实数λ,使得 → → =a b λ D 若存在实数λ,使得→ → =a b λ,则→ → → → =+b a b a _ 例二:设两个非零向量→ → 21e e 与,不共线, (1)如果三点共线;求证:D C A e e CD e e BC e e AB ,,,28,23,212121--=+=-= (2)如果三点共线, 且D C A e k e CD e e BC e e AB ,,,2,32,212121-=-=+=求实数k 的值。
变式一:设→ →21e e 与两个不共线向量,,2,3,2212121e e e e e k e -=+=+=若三点A,B,D 共线,求实数 k 的值。 变式二:已知向量→ →b a ,,且,27,25,2+=+-=+=则一定共线的三点是( ) A.A,B,D B.A,B,C C.B,C,D D.A,C,D 考点2.线段定比分点的向量形式在向量线性表示中的应用 例一:设P 是三角形ABC 所在平面内的一点,,2BA BC BP += 则( ) A. PB PA +=0 B. PA PC +=0 C. PC PB +=0 D. PB PA PC ++=0 变式一:已知O 是三角形ABC 所在平面内一点,D 为BC 边的中点,且OC OB OA ++=20,那么( )A. OD A =0 B. OD A 20= C. OD A 30= D. OD A =02 变式二:在平行四边形ABCD 中a AB =,b AD =,NC AN 3=,M 为BC 的中点,则=MN ( 用b a ,表示) 例二:在三角形ABC 中,c AB =,b AC =,若点D 满足DC BD 2=,则=AD ( ) A. ,3132+ B. ,3235- C. ,3132- D. ,3 2 31+
第32讲 平面向量的概念及线性运算
金题精讲 题一:判断下列命题的真假:[来源学_科_网Z_X_X_K] (1)若非零向量,AB CD 是共线向量,则四点D C B A ,,,共线; (2)若//,//,a b b c 则//a c ; (3)起点不同,但方向相同且长度相等的几条有向线段表示的向量是相等的向量; (4)不相等的向量,则一定不平行; (5)与非零向量a 共线的单位向量是 || a a . 题二:已知O 是△ABC 所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA →+OB →+OC →=0→,那么( ) A .AO → = OD → B .AO → = 2OD → C .AO → = 3O D → D .2AO →=OD → 题三:已知P 、A 、B 、C 是平面内四个不同的点,且PA →+PB →+PC →=AC →,则( ) A .A 、B 、C 三点共线 B .A 、B 、P 三点共线 C .A 、C 、P 三点共线 D .B 、C 、P 三点共线 题四:已知OA →=a ,OB →=b ,C 为线段AO 上距A 较近的一个三等分点,D 为线段C B 上距C 较近 的一个三等分点,则用a 、b 表示OD →的表达式为__________________. 题五:设平面内有四边形ABCD 和点O ,若OA →=a ,OB →=b ,OC →=c ,OD →=d ,且a +c =b + d ,则四边形ABCD 为( ) A .菱形 B .梯形 C .矩形 D .平行四边形
金题精讲 题一:(1)假命题;(2) 假命题;(3)真命题;(4) 假命题;(5) 假命题. 题二:A . 题三:B . 题四:OD → = 49a +13b . 题五:D .