支持向量机基本原理
支持向量机基本原理
支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种基于统计学习理论的分类器，广泛应用于模式识别、图像处理、生物信息学等领域。SVM在处理高维数据和小样本问题时表现出色，具有较强的泛化能力和鲁棒性。
一、线性可分支持向量机
1.1 概念定义
给定一个训练数据集$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}$，其中$x_i\in R^n$为输入样本，$y_i\in\{-1,1\}$为输出标记。线性可分支持向量机的目标是找到一个超平面将不同类别的样本分开，并使得该超平面到最近的样本点距离最大。
设超平面为$x^Tw+b=0$，其中$w\in R^n$为法向量，$b\in R$为截距，则样本点$x_i$到超平面的距离为：
$$
r_i=\frac{|x_i^Tw+b|}{||w||}
$$
对于任意一个超平面，其分类效果可以用间隔来度量。间隔指的是两个异类样本点到超平面之间的距离。因此，最大化间隔可以转化为以下优化问题：
$$
\max_{w,b}\quad \frac{2}{||w||}\\
s.t.\quad y_i(x_i^Tw+b)\geq1,\quad i=1,2,...,N
$$
其中，$y_i(x_i^Tw+b)-1$为样本点$x_i$到超平面的函数间隔。因为函数间隔不唯一，因此我们需要将其转化为几何间隔。
1.2 函数间隔与几何间隔
对于一个给定的超平面，其函数间隔定义为：
$$
\hat{\gamma}_i=y_i(x_i^Tw+b)
$$
而几何间隔定义为：
$$
\gamma_i=\frac{\hat{\gamma}_i}{||w||}
$$
可以证明，对于任意一个样本点$x_i$，其几何间隔$\gamma_i$都是该点到超平面的最短距离。
因此，我们可以将最大化几何间隔转化为以下优化问题：
$$
\max_{w,b}\quad \frac{2}{||w||}\\
s.t.\quad y_i(x_i^Tw+b)\geq\gamma,\quad i=1,2,...,N
$$
其中$\gamma$是任意正数。由于最大化$\frac{2}{||w||}$等价于最小化$||w||^2$，因此上述问题可以进一步转化为以下二次规划问题：
$$
\min_{w,b}\quad \frac{1}{2}||w||^2\\
s.t.\quad y_i(x_i^Tw+b)-1\geq0,\quad i=1,2,...,N
$$
1.3 求解线性可分支持向量机
对于上述二次规划问题，可以使用拉格朗日乘子法来求解。引入拉格朗日乘子$\alpha_i\geq0$，则原问题的拉格朗日函数为：
$$
L(w,b,\alpha)=\frac{1}{2}||w||^2-
\sum_{i=1}^{N}\alpha_i[y_i(x_i^Tw+b)-1]
$$
对$w$和$b$求偏导数，令其等于0，得到：
$$
w=\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_ix_i\\
\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0
$$
将上述结果代入原问题中，则可以得到对偶问题：
$$
\max_{\alpha}\quad \sum_{i=1}^{N}\alpha_i-
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{N}\alpha_i\alpha_jy_iy_jx_i^Tx_j\\
s.t.\quad \alpha_i\geq0,\quad i=1,2,...,N\\
\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0
$$
其中，$\alpha$是拉格朗日乘子向量。通过求解对偶问题，我们可以得到最优的超平面参数$w^*$和$b^*$。
二、非线性支持向量机
2.1 核函数
在实际应用中，很多情况下样本点不是线性可分的。为了处理这种情况，我们可以将输入空间映射到一个更高维的特征空间，使得样本在该空间中线性可分。
设$\phi(x)$为从原始输入空间到特征空间的映射函数，则我们可以将原问题转化为：
$$
\max_{\alpha}\quad \sum_{i=1}^{N}\alpha_i-
\frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{N}\alpha_i\alpha_jy_iy_j\phi(x_i)^T\phi(x _j)\\
s.t.\quad \alpha_i\geq0,\quad i=1,2,...,N\\
\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_i=0
$$
由于计算$\phi(x)$的复杂度较高，因此我们可以使用核函数来避免直接计算。核函数$K(x,z)=\phi(x)^T\phi(z)$满足Mercer条件时，可以表示为：
$$
K(x,z)=\sum_{i=1}^{N}\alpha_iy_ix_i^Tx_j+\theta_0
$$
其中$\theta_0$是常数项。
2.2 常用核函数
常见的核函数有：
（1）线性核函数
$$
K(x,z)=x^Tz
$$
（2）多项式核函数
$$
K(x,z)=(x^Tz+1)^p
$$
（3）高斯径向基核函数
$$
K(x,z)=\exp(-\frac{||x-z||^2}{2\sigma^2})
$$
（4）Sigmoid核函数
$$
K(x,z)=\tanh(\beta x^Tz+\theta)
$$
其中，$p$、$\sigma$、$\beta$、$\theta$均为超参数，需要通过交叉验证等方法进行调参。
三、支持向量机的推广
3.1 多分类问题
对于多分类问题，我们可以使用一对多的方法进行处理。具体来说，
我们将每个类别作为正例，其余类别作为负例，训练$n$个二分类器。在预测时，对于一个新样本点$x$，将其输入到每个二分类器中进行预测，并选择置信度最高的分类结果。
3.2 不平衡分类问题
在实际应用中，很多情况下不同类别的样本数量存在较大差异。此时，我们可以采用一些策略来解决不平衡分类问题：
（1）调整损失函数权重：对于少数类样本增加损失函数权重。
（2）欠采样：随机删除多数类样本。
（3）过采样：随机复制少数类样本或生成新的少数类样本。
（4）阈值移动：调整决策阈值使得准确率和召回率达到平衡。
3.3 支持向量回归问题
支持向量回归（Support Vector Regression，SVR）是一种基于
SVM的回归方法。与分类问题不同，SVR的目标是找到一个超平面使得训练样本点与该超平面之间的距离最小。
具体来说，对于给定的训练数据集
$D=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}$，其中$x_i\in R^n$为输入
样本，$y_i\in R$为输出标记。SVR的目标是最小化以下损失函数：
$$
\min_{w,b,\xi,\xi^*}\quad
\frac{1}{2}||w||^2+C\sum_{i=1}^{N}(\xi_i+\xi_i^*)\\
s.t.\quad y_i-w^Tx_i-b\leq \epsilon+\xi_i\\
w^Tx_i+b-y_i\leq \epsilon+\xi_i^*\\
\xi_i,\xi_i^*\geq0,\quad i=1,2,...,N
$$
其中$\epsilon$为预测误差上限，$C$为惩罚参数。求解上述问题时，需要使用对偶问题和核函数。
四、总结
支持向量机是一种强大的分类器和回归器，在处理高维数据和小样本
问题时表现出色。通过使用核函数可以将其扩展到非线性情况。在实
际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的核函数和调整超参数。
同时，对于不平衡分类问题和支持向量回归问题，我们也可以使用支持向量机进行处理。
支持向量机（SVM ）原理及应用 一、SVM 的产生与发展 自1995年Vapnik (瓦普尼克)在统计学习理论的基础上提出SVM 作为模式识别的新方法之后，SVM 一直倍受关注。同年，Vapnik 和Cortes 提出软间隔(soft margin)SVM ，通过引进松弛变量i ξ度量数据i x 的误分类(分类出现错误时i ξ大于0)，同时在目标函数中增加一个分量用来惩罚非零松弛变量(即代价函数)，SVM 的寻优过程即是大的分隔间距和小的误差补偿之间的平衡过程；1996年，Vapnik 等人又提出支持向量回归 (Support Vector Regression ，SVR)的方法用于解决拟合问题。SVR 同SVM 的出发点都是寻找最优超平面(注：一维空间为点；二维空间为线；三维空间为面；高维空间为超平面。)，但SVR 的目的不是找到两种数据的分割平面，而是找到能准确预测数据分布的平面，两者最终都转换为最优化问题的求解；1998年，Weston 等人根据SVM 原理提出了用于解决多类分类的SVM 方法(Multi-Class Support Vector Machines ，Multi-SVM)，通过将多类分类转化成二类分类，将SVM 应用于多分类问题的判断：此外，在SVM 算法的基本框架下，研究者针对不同的方面提出了很多相关的改进算法。例如，Suykens 提出的最小二乘支持向量机 (Least Square Support Vector Machine ，LS —SVM)算法，Joachims 等人提出的SVM-1ight ，张学工提出的中心支持向量机 (Central Support Vector Machine ，CSVM)，Scholkoph 和Smola 基于二次规划提出的v-SVM 等。此后，台湾大学林智仁(Lin Chih-Jen)教授等对SVM 的典型应用进行总结，并设计开发出较为完善的SVM 工具包，也就是LIBSVM(A Library for Support Vector Machines)。LIBSVM 是一个通用的SVM 软件包，可以解决分类、回归以及分布估计等问题。 二、支持向量机原理 SVM 方法是20世纪90年代初Vapnik 等人根据统计学习理论提出的一种新的机器学习方法，它以结构风险最小化原则为理论基础，通过适当地选择函数子集及该子集中的判别函数，使学习机器的实际风险达到最小，保证了通过有限训练样本得到的小误差分类器，对独立测试集的测试误差仍然较小。 支持向量机的基本思想：首先，在线性可分情况下，在原空间寻找两类样本的最优分类超平面。在线性不可分的情况下，加入了松弛变量进行分析，通过使用非线性映射将低维输
支持向量机（SVM）原理详解 支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种机器学习算法，用于二分类和多分类问题。它的基本思想是寻找一个超平面，能够将不同类别的数据分隔开来，并且与最近的数据点之间的间隔最大。 一、原理概述： SVM的基本原理是将原始数据映射到高维空间中，使得在该空间中的数据能够线性可分，然后在高维空间中找到一个最优的超平面。对于线性可分的情况，SVM通过最大化分类边界与最近数据点之间的距离，并将该距离定义为间隔，从而使分类边界具有更好的泛化能力。 二、如何确定最优超平面： 1.线性可分的情况下： SVM寻找一个能够将不同类别的数据分开的最优超平面。其中，最优超平面定义为具有最大间隔(margin)的超平面。间隔被定义为超平面到最近数据点的距离。 SVM的目标是找到一个最大化间隔的超平面，并且这个超平面能够满足所有数据点的约束条件。这可以通过求解一个凸二次规划问题来实现。 2.线性不可分的情况下： 对于线性不可分的情况，可以使用一些技巧来将数据映射到高维空间中，使其线性可分。这种方法被称为核技巧(kernel trick)。核技巧允许在低维空间中计算高维空间的内积，从而避免了直接在高维空间中的计算复杂性。
核函数定义了两个向量之间的相似度。使用核函数，SVM可以在高维 空间中找到最优的超平面。 三、参数的选择： SVM中的参数有两个主要的方面：正则化参数C和核函数的选择。 1.正则化参数C控制了分类边界与数据点之间的权衡。较大的C值将 导致更少的间隔违规，增加将数据点分类正确的权重，可能会导致过拟合；而较小的C值将产生更宽松的分类边界，可能导致欠拟合。 2.核函数选择是SVM中重要的一步。根据问题的特点选择合适的核函 数能够更好地处理数据，常用的核函数有线性核函数、多项式核函数和高 斯核函数等。 四、优缺点： SVM有以下几个优点： 1.在灵活性和高扩展性方面表现出色，尤其是在高维数据集上。 2.具有良好的泛化能力，能够很好地处理样本数量较少的情况。 3.在核技巧的帮助下，能够有效地处理非线性问题。 然而，SVM也存在一些不足之处： 1.当样本数量较大时，计算复杂度较高。 2.对于非线性问题，核函数的选择需要谨慎，不同的核函数可能会导 致不同的结果。 总结：
支持向量机基本原理 支持向量机(Support Vector Machine, SVM)是一种在机器学习中常用的分类 算法，它的基本原理是基于统计学习理论和结构风险最小化原则，通过找到最优超平面来进行分类。支持向量机最初由Vapnik等人提出，经过不断的发展和改进，已经成为了机器学习领域中应用广泛的算法之一。 在支持向量机中，我们首先要了解什么是超平面。在一个二维空间中，一个超平面可以理解为一条直线，它将这个空间划分为两个部分。在一个三维空间中，超平面可以理解为一个平面，同样它将这个空间划分为两个部分。在更高维的空间中，超平面是一个可以将空间划分为两个部分的线性子空间。在支持向量机中，我们的目标就是找到一个最优的超平面，它可以将我们的数据点正确地分为不同的类别。 对于线性可分的数据，即存在一个超平面可以将不同类别的数据完全分开的情况，支持向量机的目标就是找到这个最佳的超平面。在这种情况下，我们只需要找到一个最优超平面就可以了。但是在实际的应用中，我们经常会遇到线性不可分的情况，即数据并不能被一个超平面完美地分开。这时候我们需要用到一些技巧来处理这种情况。 在支持向量机中，我们需要引入一个概念叫做“间隔”。间隔可以理解为超平面和离超平面最近的数据点之间的距离。在支持向量机中，我们的目标就是找到一个最大间隔的超平面，使得这个超平面能够将数据点正确地分开。为了达到这个
目标，我们需要引入一个优化问题，即最大化间隔的问题，这个问题可以通过数学方法来求解。 在实际应用中，我们不能够保证数据一定是线性可分的，因此支持向量机的一个重要进展就是引入了核函数。核函数可以将原始的特征空间映射到一个更高维的空间，从而使得数据在新的空间中变得线性可分。这样一来，即使原始特征空间中的数据不是线性可分的，我们也可以通过核函数的方式将数据映射到一个高维空间中，从而找到一个在新的空间中可以将数据完美分开的超平面。 支持向量机还有一个重要的概念叫做“支持向量”。支持向量指的是离超平面最近的那些数据点，它们对于确定超平面起着决定作用。在支持向量机中，我们的目标就是找到这些支持向量，从而确定最优超平面。由于支持向量的作用非常重要，因此支持向量机的名称就是来源于这个概念。 在实际应用中，支持向量机已经被广泛地应用于各种领域，包括文本分类、图像识别、生物信息学等。它具有很好的鲁棒性和泛化能力，在面对小样本学习和非线性问题时表现突出。同时，支持向量机的理论基础也非常牢固，其优化问题可以通过数学方法求解，因此在实际应用中具有很好的可解释性和可控性。 总的来说，支持向量机是一种功能强大的分类算法，它通过最优超平面的方式来对数据进行分类，具有很好的泛化能力和鲁棒性，同时在处理非线性问题时也具
支持向量机算法原理 支持向量机（SupportVectorMachine，简称 SVM）是一种常用的机器学习技术，具有准确率高、泛化能力强等特点，广泛应用于分类、回归和其他科学领域中。本文将介绍支持向量机的基本原理及其应用场景，以及支持向量机算法的基本思想和工作流程。 1.支持向量机的基本原理 支持向量机是一种基于统计学习方法的机器学习技术，它可以帮助机器学习任务快速有效地解决复杂问题，是一种建模技术，可以建立实际场景下各种问题的非线性模型。支持向量机的基本原理有三要素：决策边界，结构风险最小化和核函数。 所谓决策边界，就是根据输入的特征数据，构建一个最优决策边界，使得分类精度更高。结构风险最小化是支持向量机建模过程中的一种重要思想，主要是在模型的构建过程中，关注模型的泛化能力，而不是拟合精度，而是关注最终模型的全局拟合能力，从而达到最小化结构风险的目的。核函数是支持向量机技术中最为重要的一项机制，它可以将非线性可分的问题转换为线性可分的问题，极大地提高了支持向量机的适用范围和准确度。 2.支持向量机的应用场景 支持向量机在工业上有广泛的应用。常见的应用场景有二元分类、多元分类、回归和异常检测等。 二元分类是指建立一个可以将样本划分为两类的决策边界，通常用来解决疾病分类、股票市场分析等问题。多元分类是指模型可以将
样本分为多个类别，常用于文本分类和语音识别中。回归是指根据输入数据，构建一个可以预测结果的模型，应用场景比较广泛，包括天气预报、价格预测等问题。异常检测，是指根据训练数据，构建一个可以检测异常事件的模型，比如检测网络安全异常、垃圾邮件等。 3.支持向量机算法的基本思想和工作流程 支持向量机算法的基本思想是从训练数据中，找到能够最大程度区分两类数据的超平面，又称分类边界。在训练过程中，支持向量机算法会试图找到一个约束条件下，最大化决策边界距离两类样本点最大化的决策边界，以此来最小化模型的结构风险。 支持向量机算法的工作流程分三步：第一步是构造损失函数，根据训练数据构造损失函数，并使用梯度下降法进行参数优化，找到最优参数；第二步是求解最优解，使用参数优化求解问题，找到最小值；第三步是模型训练，了解支持向量机的优点和原理；根据样本数据训练支持向量机模型，以此来实现机器学习的目的。 综上所述，支持向量机是一种建模技术，它基于统计学习方法，可以帮助机器学习任务快速有效地解决复杂问题，支持向量机的基本原理有三要素：决策边界、结构风险最小化和核函数，支持向量机的应用场景有二元分类、多元分类、回归和异常检测等，支持向量机算法的基本思想是从训练数据中，找到能够最大程度区分两类数据的超平面，其工作流程分三步，构造损失函数、求解最优解和模型训练。
支持向量机的工作原理 支持向量机，简称SVM，是一种基于统计学习理论的有监督学习算法。SVM在许多领域都被广泛应用，如数据挖掘、机器视觉、自然语言处理等领域。 SVM的工作原理可以概括为以下几个步骤： 1. 数据预处理 在SVM算法中，首先需要对数据进行预处理，也叫做特征提取。这个过程中需要将原始数据转换为可供算法处理的特征向量。 2. 建立模型 在SVM算法中，需要建立一个目标函数，该函数能够将数据划分成正类和负类。 目标函数的定义通常是最优化问题的形式，根据数据的不同，有时候目标函数比较难以求解，会取得近似解。 3. 优化模型 SVM算法中需要对目标函数进行优化，以找到最优解。 由于SVM算法是一种凸优化问题，可以使用一些优化方法，如拉格朗日乘子法和序列最小优化算法等。 在实际模型优化过程中，如果数据太大，模型的优化会非常耗时，甚至得不到结果。 4. 选择最佳超参数 SVM算法中有两个超参数，即kernel函数和正则化参数C。kernel函数用于将特征空间映射到高维空间，而正则化参数C是用来控制模型的复杂度的。 在实践中，通常使用交叉验证来确定最佳的超参数，交叉验证可以帮助选择最优的超参数。 5. 预测 在SVM算法中，可以使用训练数据集训练出最佳SVM模型，再使用测试数据集对模型进行测试和评价。对于新的数据，可以使用训练好的模型对其进行分类。 在预测过程中，可以计算每一个数据点到分界线的距离（即一个样本点和支持向量之间的距离），使用这个距离来进行预测。
以上就是SVM算法的基本工作原理，通过对数据的预处理、建立模型、优化模型、选择最佳超参数和预测等几个步骤，SVM算法可以在很多领域中实现有效的分类和回归。
支持向量机（SVM）、支持向量机回 归（SVR）： 原理简述及其MATLAB实例 一、基础知识 1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件 1）关于拉格朗日乘子法 2）关于KKT条件 2、范数 1）向量的范数 2）矩阵的范数 3）L0、L1与L2范数、核范数 二、SVM概述 1、简介 2、SVM算法原理 1）线性支持向量机 2）非线性支持向量机 二、SVR：SVM的改进、解决回归拟合问题 三、多分类的SVM 1. one-against-all 2. one-against-one 四、QP（二次规划）求解
五、SVM的MATLAB实现：Libsvm 1、Libsvm工具箱使用说明 2、重要函数： 3、示例 支持向量机（SVM）：原理及其MATLAB实例 一、基础知识 1、关于拉格朗日乘子法和KKT条件 1）关于拉格朗日乘子法 首先来了解拉格朗日乘子法，为什么需要拉格朗日乘子法呢？记住，有需 要拉格朗日乘子法的地方，必然是一个组合优化问题。那么带约束的优化问题 很好说，就比如说下面这个： 这是一个带等式约束的优化问题，有目标值，有约束条件。那么你可以想想，假设没有约束条件这个问题是怎么求解的呢？ 是不是直接 f 对各个 x 求导等于 0，解 x 就可以了，可以看到没有约束的话， 求导为0，那么各个x均为0吧，这样f=0了，最小。但是x都为0不满足约束条件呀，那么问题就来了。 有了约束不能直接求导，那么如果把约束去掉不就可以了吗？怎么去掉呢？这才需要拉格朗日方法。既然是等式约束，那么我们把这个约束乘一个系数加
到目标函数中去，这样就相当于既考虑了原目标函数，也考虑了约束条件。 现在这个优化目标函数就没有约束条件了吧，既然如此，求法就简单了，分别对x求导等于0，如下： 把它在带到约束条件中去，可以看到，2个变量两个等式，可以求解，最终可以得到,这样再带回去求x就可以了。 那么一个带等式约束的优化问题就通过拉格朗日乘子法完美的解决了。更高一层的，带有不等式的约束问题怎么办？那么就需要用更一般化的拉格朗日乘子法，即KKT条件，来解决这种问题了。 2）关于KKT条件 继续讨论关于带等式以及不等式的约束条件的凸函数优化。任何原始问题约束条件无非最多3种，等式约束，大于号约束，小于号约束，而这三种最终通过将约束方程化简化为两类：约束方程等于0和约束方程小于0。再举个简单的方程为例，假设原始约束条件为下列所示： 那么把约束条件变个样子：
机器学习中的支持向量机原理及应用机器学习是一门以数据为基础，以预测或决策为目标的学科。 支持向量机是机器学习中的一种常见算法，它强调的是模型的泛 化能力，独立于任何给定的输入样本集，且泛化误差尽可能小。 1. 支持向量机原理 支持向量机是一种监督学习算法。以二分类问题为例，其原理 可以简单用“最大间隔超平面”来描述。对于一个n维的特征空间，我们的目标就是要找到一个超平面，使得这个超平面将两个类别 间的样本完全分开，并且对未知数据的分类能力最强。 如何定义“最大间隔”呢？我们首先在超平面两侧分别找到最靠 近超平面的两个点，称之为支持向量点；这些支持向量点到超平 面的距离和就是所谓的“间隔”。 在寻找最大间隔超平面时，我们的目标就是最大化这个间隔值。同时，由于数据存在噪声、不可分等问题，我们需要一个优化目标，使其能够让分类错误率低。这个目标在支持向量机算法中被 形式化为一种“软”约束条件，用惩罚系数调整误差的大小。
2. 支持向量机应用 支持向量机算法在实际应用中具有广泛的应用范围：分类，回归，异常检测等任务都可以使用它来完成。 2.1 分类 在分类任务中，支持向量机常用于二分类问题，在高维数据分析中有很好的表现。举个例子，我们可以使用支持向量机算法来判别肿瘤组织是恶性还是良性。在这种情况下，我们使用一些之前的数据来生成一个分类器，然后根据这个分类器来对新病人进行分类。 2.2 回归 在回归任务中，支持向量机可用于非线性回归和多变量回归等问题。举个例子，我们可以使用支持向量机算法来预测一辆车的油耗量。在这种情况下，我们使用一些之前的数据来生成一个回归器，然后根据这个回归器来对新的车辆进行预测。 2.3 异常检测 异常检测是指在数据中找到异常值或离群点。支持向量机也可以用于这种任务。学习算法在训练数据中学习正常的模式，然后
支持向量机（Support Vector Machine）算法的原理 引言 支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种非常常用的机器学习算法，广泛应用于分类和回归问题。它基于统计学习理论中的VC维和结构风险最小化原理，并具有良好的泛化能力和鲁棒性。本文将详细介绍SVM算法的原理。 SVM算法的基本原理 SVM算法的基本原理是通过寻找一个超平面，将不同类别的样本分隔开来。这个超平面应该满足两个条件：一是尽可能地使不同类别的样本离超平面的距离最大化，以保证对未知样本的分类能力；二是尽可能地使最靠近超平面的样本点离超平面的距离最小化，以保证对异常值的鲁棒性。 线性可分支持向量机 最大间隔分类器 在线性可分的情况下，SVM的目标是找到一个最佳的超平面，使得训练样本中不同类别之间的间隔最大化。这个超平面可以用如下的线性方程表示： w T x+b=0 其中，w是法向量（决定超平面方向的向量），b是位移（决定超平面与原点的距离）。 优化问题 最大间隔分类器可以被转化为一个优化问题，即求解以下目标函数的最小值： min w,b 1 2 ∥w∥2 约束条件为： y(i)(w T x(i)+b)≥1,i=1,2,...,n
其中，(x (i ),y (i ))是训练样本，n 是样本数量。 拉格朗日乘子法 为解决上述优化问题，引入拉格朗日乘子α(i )，并定义拉格朗日函数： L (w,b,α)=12∥w ∥2−∑α(i )n i=1[y (i )(w T x (i )+b)−1] 其中，α(i )≥0是拉格朗日乘子。 对偶问题 通过求解拉格朗日函数的对偶问题，可以得到超平面的最优解。对偶问题的目标是最大化，即： max α{min w,b L (w,b,α)} 经过推导可以得到对偶问题的最优解： max α∑α(i )n i=1−12∑∑α(i )n j=1n i=1α(j )y (i )y (j )(x (i ))T x (j ) 满足以下约束条件： ∑α(i )n i=1 y (i )=0, α(i )≥0, i =1,2,...,n 优化求解 对于对偶问题，可以通过优化算法（如序列最小优化算法）求解得到最优的拉格朗日乘子α(i )。然后，利用最优的α(i )可以计算出权重向量w 和位移b ： w =∑α(i )n i=1 y (i )x (i ) b = 1n SV ∑(y (i )−w T x (i ))n SV i=1 其中，n SV 是支持向量的数量。
第3章支持向量机基础 By Dean 支持向量机（SupportVectorMachies）是由Vapiiik等人于1995年提出来的。之后随着统计理论的发展，支持向量机也逐渐受到了各领域研究者的关注，在很短的时间就得到很广泛的应用。支持向量机是建立在统计学习理论的VC维理论和结构风险最小化原理基础上的，利用有限的样本所提供的信息对模型的复杂性和学习能力两者进行了寻求最佳的折衷，以获得绘好的泛化能力。SVM的基本思想是把训练数据非线性的映射到一个更高维的特征空间（Hilbert空间）中，在这个高维的特征空间中寻找到一个超平而使得正例和反例两者间的隔离边缘被最大化。SVM的出现有效的解决了传统的神经网络结果选择问题、局部极小值、过拟合等问题。并且在小样本、非线性、数据高维等机器学习问题中表现出很多令人注目的性质，被广泛地应用在模式识别，数据挖掘等领域（张学工2000：崔伟东2001） o支持向量机可以用于分类和回归问题，本章着重介绍分类相关的知识。 3. 1 SVM的基本思想 3.1.1最优分类面 SVM是由线性可分情况的最优分类而发展而來的，用于两类问题的分类。下而用一个二维两类问题來说明SVM基本思想（白鹏等，2008） o
图3・1最优超平面示意图 C1和C2代表两类数据样本，各样本在二维中显示如图3. 1,图中的直线PO,P1 就是分类函数。如果一个线性函数就完全可以把两类所有样本分开，那么就称这些数据是线性可分的：否则称非线性可分。假设两类线性可分的训练数据样本 {(巾力),(尢2』2)，…(祁珈)}，焉G R d (d代表样本人的长度)，刃6 {+1,-1}, i = 其线性判别函数的一般表达式是 f(x) = w*x + b,该函数对应的分类而方程是： w * x + b = 0 (3-1) 线性判别函数的值一般是连续的实数，而分类问题需要输出的是离散值。例如利用数值-1表示类别C1,而用数值+1表示类别C2.所有的样本都只能用数值-1 和+1表示。这时我们可以通过设置一个阀值，通过判断判别函数的值是大于或者小于这个阀值來判断属于某一类。若我们取这个阀值为0,即当f(x)W0时，判别样本为类别C1 (即-1)；当f(x)N0时，判别样本为类别C2(即+1). 现在将判别函数进行归一化，使两类所有样本都满足|/(%)| > 1，这时离分类面近的样本都有|/(x)| = lo若要对所有样本正确分类需满足， y,[(w * %) 4- b] — 1 > 0, i=l,…N (3-2) 这时分类间隔为2/||w||.寻求最优的分类面即使得分类间隔最大化。可以发现间隔最大等价于#121卩最小。 因此最优化分类面问题可以表示成如下的约束优化问题，如下： MiiVP (w) = y ||w|F (3-3) 约束条件为： y([(w * %) 4- b] — 1 > 0, i=l,…川彳-4) 定义如卜Lagiange函数： L(w,bg) = |||w||2一* Xi + /?)-!] (3-5) 式中,a t N 0为Lagrange乘子。为了求得函数式(3-5)的最小值,我们对w,b,a分别求导有： 券=0 => w = 篇=0 => 爲3 (3-6) 鈴=0 n a l[y t(w*x i + b)-l] = 0 由式(3-6)和(3-2)可将上述的最优化分类面的求解问题转化为一个凸二次规划寻优的对偶问题，如下：
机器学习中的支持向量机原理及优化方法 支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种非常常用的机器学习算法，主要用于分类和回归问题。它的基本原理是通过在特征空间中找到一个最佳的超平面，来实现对数据样本的分类。SVM算法的优化方法包括凸优化、核函数和软间隔最大化。 SVM的原理是基于统计学习理论和结构风险最小化原则。它的基本思想是将输入空间中的样本点映射到高维特征空间中，并在特征空间中找到一个最佳的超平面，使距离超平面最近的样本点到超平面的距离最大化。通过这样的方式，能够得到一个能够很好地区分不同类别的分类器。 SVM算法的优化方法主要包括凸优化、核函数和软间隔最大化。 首先，凸优化是SVM算法的核心思想。SVM的目标是寻找一个最佳的超平面，使得所有样本点到超平面的距离最大化。这个距离被称为间隔（margin），表示了样本点分类的可靠性。凸优化的目标是在满足约束条件（样本点到超平面的距离大于等于间隔）的情况下，找到
一个最大间隔的超平面。这个问题可以转化为一个二次规划问题，通 过求解约束最优化问题可以得到最佳的超平面。 其次，核函数是SVM算法的另一个重要组成部分。在实际应用中，往往需要处理高维甚至是无限维的特征空间。为了避免计算复杂度过高，我们可以使用核函数将高维特征空间的运算转化为低维特征空间 的运算。核函数的作用是将输入样本点映射到特征空间中，并通过计 算这些样本点在特征空间中的内积来计算它们之间的相似度。常用的 核函数有线性核、多项式核、高斯核等，可以根据具体问题选择合适 的核函数。 最后，软间隔最大化是SVM算法的一种改进。在实际应用中，样 本点很可能不是完全线性可分的，即使找到了一个超平面，也可能存 在分类错误的样本点。为了避免过拟合和提高模型的鲁棒性，可以引 入一定的分类误差容忍度，允许某些样本点被错误地分类。软间隔最 大化的目标是在凸优化问题的基础上，找到一个最佳的超平面，使得 同时最大化间隔和最小化分类误差。通过调整超平面的参数，可以控 制分类误差的容忍度，从而实现对不同问题的灵活应用。
支持向量机基本原理 介绍 在机器学习领域中，支持向量机（Support Vector Machine，简称SVM）被广泛应用于分类和回归问题。它是一种强大的监督学习算法，具有较好的泛化性能和统计效率。本文将详细介绍支持向量机的基本原理。 支持向量机的基本概念 超平面 在支持向量机中，首先需要了解超平面的概念。超平面是一个将n维空间分割成两个部分的(n-1)维平面。在二维空间中，超平面是一条直线，可以将平面分为两个部分。在三维空间中，超平面是一个平面，可以将空间分为两个部分。在支持向量机中，我们寻找一个超平面，将样本点正确地划分为不同的类别。 支持向量 在寻找超平面的过程中，支持向量是非常重要的概念。支持向量是离超平面最近的样本点，它们决定了超平面的位置和方向。在支持向量机中，只有支持向量对分类结果产生影响，其他样本点对于超平面的位置和方向没有影响。 间隔和最大间隔分类器 在支持向量机中，我们希望找到的超平面能够使得不同类别的样本点之间的间隔最大化。间隔是指离超平面最近的两个不同类别的支持向量之间的距离。最大间隔分类器就是寻找一个超平面，使得这个间隔最大。
支持向量机的分类算法 线性可分支持向量机 在理想情况下，我们希望数据集是线性可分的，即存在一个超平面可以完美地将不同类别的样本点分开。线性可分支持向量机的目标就是找到这个超平面。 为了找到最佳的超平面，我们需要定义一个优化问题。优化问题的目标是最大化间隔，并且要求在超平面两侧的样本点属于不同的类别。 数学表达如下： 通过求解这个优化问题，我们可以得到超平面的法向量w和截距b。分类器可以表示为： 软间隔支持向量机 现实中的数据往往是不完美的，很难找到一个能够完美地将样本点分开的超平面。为了解决这个问题，我们引入软间隔支持向量机。 软间隔支持向量机允许一些样本点出现在超平面的错误一侧。通过引入松弛变量，优化问题变为： 这里C是一个常数，用于控制超平面的错误分类。C越大，超平面越倾向于正确分类，C越小，超平面容忍错误分类的程度越高。 核函数 支持向量机在处理线性可分问题时表现出色，但对于非线性问题则不那么有效。为了处理非线性问题，我们引入核函数的概念。 核函数将数据从原始空间映射到高维特征空间，使得原本线性不可分的问题变为线性可分的问题。常用的核函数有线性核函数、多项式核函数、高斯核函数等。 通过引入核函数，我们可以得到非线性支持向量机。 总结 支持向量机是一种强大的监督学习算法，具有较好的泛化性能和统计效率。它通过寻找最优的超平面来实现分类和回归任务。线性支持向量机处理线性可分问题，软间隔支持向量机处理线性不可分问题，而核函数进一步扩展了支持向量机的能力，使其可以处理非线性问题。
SVM算法原理及应用 支持向量机（Support Vector Machine，SVM）是一种监督学习 算法，属于分类算法的一种。SVM的主要思想是找到一个可以将 不同类别的数据集分开的最优超平面（Optimal Hyperplane）。本 文将从SVM的基本原理、优缺点以及应用案例等方面进行讲解。 一、SVM的基本原理 SVN算法的基本原理是基于统计学习理论和结构风险最小化思 想所产生的。它的基本思想是通过求解最优化问题，构造一个能 够正确划分样本并且泛化能力强的分离超平面，使得该分离超平 面与支持向量之间的间隔最大，最大间隔超平面。具体而言， SVM将样本映射到高维特征空间中，在该空间中构造一个超平面。SVM分类器的目标就是在高维特征空间中找到一个最优的超平面，使得训练数据集的所有样本都被正确分类，并且在新数据上具有 良好的泛化能力。 二、SVM的优缺点 1. 优点
（1）处理高维数据的能力。可以应对高维数据的分类问题； （2）泛化能力强。通过控制间隔的大小，可以使得该超平面更加鲁棒，从而避免过拟合； （3）准确度高。相较于其他分类器如KNN和决策树，其准确度更高； （4）可处理非线性问题。通过核函数的使用，可以将数据映射到高维空间，从而可以线性可分。 2. 缺点 （1）数据量较大时，其训练时间会较长，需要较高的计算资源； （2）对噪声敏感。如果训练数据中存在噪声，很容易出现过拟合现象。
三、SVM的应用案例 SVM由于其准确度高、泛化能力强等特点，在许多领域都有广泛的应用。 1. 文本分类 SVM可以将文本映射到高维空间中，从而可以使用SVM对文 本进行分类。如在智能客服领域，可以使用SVM将用户的问题自 动分类，从而提高客户服务的效率。 2. 图像识别 SVM也可以被用于图像分类和识别。由于SVM的鲁棒性强， 可以应对样本数较小、数据呈现不平衡的情况。 3. 生物信息学 SVM也被广泛用于生物信息学领域中，如预测蛋白质二级结构、酶的功能分类等。
机器学习中的支持向量机算法原理机器学习作为一项炙手可热的技术，正日益成为科技、金融、医疗、教育等领域不可或缺的工具。支持向量机是机器学习中的一种重要算法，在分类和回归等任务中取得了广泛的应用。本文将详细介绍支持向量机算法的原理和应用，在计算机科学、数据科学等领域中拥有重要的作用。 一. 支持向量机的定义和基本思想 支持向量机，英文名 support vector machine，缩写为 SVM。SVM 是一种监督学习算法，它通过分析已有的一组数据，得出一个最优的边界，在更好的面对未知数据时得到更准确的结果。支持向量机是一种线性分类器，也可以处理非线性分类问题。支持向量机能够找到一个最大的间隔来分开正类和负类，使得间隔两侧的距离最大化，这个间隔被称为“最优超平面”。 二. SVM 的数学原理和核函数的定义 1、数学原理SVM 的数学原理是通过将点映射到高维空间中，找到最优解的超平面来实现分类。 2、核函数的定义同样是SVM 的核心。核函数可以将原来低维度空间中线性不可分的数据映射到高维度的空间中，从而提高了数据的线性可分性。 其中常用的核函数有：
(1)线性核函数 公式：K(xi, xj) = xi* xj (2)多项式核函数 公式：K(xi, xj) = ( xi * xj + 1 )^d (3)高斯核函数 公式：K(xi, xj) = e(-1/ 2* σ||xi- xj||) (4)拉普拉斯核函数 公式：K(xi, xj) = e(-λ |xi- xj|) 三. SVM 的优缺点 优点： 1、可以有效地处理高纬度的数据； 2、SVM 算法的学习模型具有极佳的泛化性能； 3、SVM 算法是在求解时直接计算内积，因此具有较快的运算速度。 缺点： 1、SVM 算法处理大训练样本问题时计算量较大； 2、SVM 算法不适用于非线性多分类问题；
2.2支持向量机 支持向量机(SVM)算法是山前苏联数学家Vapnik等首先提出的，这种算法的基本定义是一个在特征空间上的间隔最大的分类器。支持向量机技术具有坚实的数学理论作为支撑W】，根据支持向量机学习算法的难易程度【珂，可以将支持向量机模型简单的分为线性支持向量机和非线性支持向量机。简单的SVM模型是理解和设讣复杂SVM模型的基础，支持向量机自诞生以来，展现出了大有可为的应用前景，在解决现实问题的算法中，支持向量机总是留到最后的算法之一，尤其是针对小样本、高维度的数据。在深度学习技术没有出现之前，支持向量机的研究热度一直较高，即使在深度学习出现之后，支持向量机也在一些特定的问题下有着良好的表现。 2.2.1支持向量机的基本原理 支持向量机按照分类是有监督学习，本节阐述一下基础的支持向量机原理，也就是线性可分的支持向量机算法原理。因为是有监督学习，所以训练模型需要有样本特征以及样本□标值。样本特征所在的集合称之为输入空间，对应的U标值所在的集合称为特征空间。支持向量机算法的核心是将输入空间的样本数据，映射为对应的特征空间中的特征向量。所以可以知晓支持向量机的特征学习发生在特征空间中。 (1)分类面 假设有一个特征空间上的训练数据集，是一个可以进行二分类的数据集T, 其组成如式2.10所示： T = {(Xi，yi),(x2,y2),-,(x N,y N)} 式(2.10) 其中x t eR n, y t el/ = {+l,-l}, i = 1,2,…,N °石表示第i个特征向量，也称为样本，％为禺对应的类标记，(直，％)为样本实例。模型学习的目标是在特征空间中找到一个可用于分割两类的超平面，将为正例和负例能够尽可能远的分开。分类超平面的函数方程为：a)x + b = 0,其中3为求解出的超平面的法向量，b为与坐标轴的截距，方程简单表示可用(co.b)来表示。当数据是线性可分的时候，会存在无数个这样的平面来分割两类数据，感知机采取的方法是将误差分类最小，求得分类面，此时模型的解有无限个。线性支持向量机利用间隔最大化方法求解时，结果是唯一的。在有了分类平面的函数之后，对应的分类决策函数也就很容易得出，即为：