2019-2020学年青海省海东市高一第二学期期末数学试卷
一、选择题（共12小题）.
1．下列说法正确的是（）
A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系
B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系
C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系
D．人的体重与视力成负相关关系
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＝，a＝3，c＝5，则△ABC 的面积为（）
A．4B．3C．4D．3
3．若a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）
A．﹣B．ab＜b2C．﹣＞﹣D．a2＞ab
4．已知数列{a n}，{b n}分别为等差数列、等比数列，若a3+a5＝4，b3b4b5＝﹣8，则a4+b4＝（）
A．﹣1B．0C．1D．2
5．八进制数672（8）化为十进制数的值为（）
A．442B．452C．462D．472
6．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（）
A．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长
B．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升
C．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额
D．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降
7．从长度分别为3，5，7，8，9的5条线段中任意取出3条，则以这3条线段为边，不可以构成三角形的概率为（）
A．B．C．D．
8．一袋中装有3个红球，4个白球，现从中任意取出3个球．记事件A为“取出的球都是白球”，事件B为“取出的球都是红球”，事件C为“取出的球中至少有一个白球”，则下列结论正确的是（）
A．B与C是对立事件
B．A与C是互斥事件
C．A与B是对立事件
D．B与C是互斥事件，但不是对立事件
9．在△ABC中，若sin A cos C＝sin B，则△ABC的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
10．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝1，输出的x，y，n满足，则（）
A．x+y＝12n B．x n＝y C．x+y＞12n D．x n＞y
11．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+3n+5，则a10＝（）
A．151B．161C．171D．181
12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，
b＝1，则2a﹣2c的最小值为（）
A．﹣4B．﹣2C．﹣2D．﹣
二、填空题（共4小题）.
13．不等式x2+6x＜0的解集为．
14．某公司的营销部有3个科室，其中市场科有30人，销售科有50人，企划科有n人．若从这3个科室中用分层抽样的方法选取18人，已知企划科选取了2人，则n＝．15．鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质．如图，已知长方形ABCD，AB＝2AD，点E为线段AB的一个三等分点且AE＝2EB，分别以线段AB，AE，BE为直径且在AB同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）．若在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自鞋匠刀形内的概率为．
16．已知正数a，b满足（a﹣1）（b﹣1）＝1，则a+4b的最小值等于．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某校统计了本校高一年级学生期中考试的数学成绩，其数学成绩（满分150分）均在[50，150]内，将这些成绩分成[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）求该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数（结果保留一位小数）．
18．某校举行校园十佳歌手比赛，五位评委对A，B两位参赛选手的评分如表：A8282799587
B7595908085（1）根据五位评委对A，B两位参赛选手的评分完成如图所示的茎叶图；
（2）从统计学的角度考虑，你认为哪位选手实力更强？并说明理由．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin C＝﹣c cos B．（1）求B；
（2）若b＝2，ac＝4，求△ABC的周长．
20．已知数列{a n}为等比数列，且a2＝9，a5＝243．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）若b n＝a n log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．
21．某市2月份到8月份温度在逐渐上升，为此居民用水也发生变化，如表显示了某家庭2月份到6月份的用水情况．
月份x23456用水量y（吨） 4.55677.5
（1）根据表中的数据，求y关于x的线性回归方程＝x+．
（2）为了鼓励市民节约用水，该市自来水公司规定若每月每户家庭用水不超过7吨，则水费为2.5元/吨；若每月每户家庭用水超过7吨，则超出部分水费为3元/吨．预计该家庭8月份的用水量及水费．
参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝
＝，＝﹣．
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）若b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，证明：≤T n＜1．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．下列说法正确的是（）
A．圆的面积与半径之间的关系是相关关系
B．粮食产量与施肥量之间的关系是函数关系
C．一定范围内，学生的成绩与学习时间成正相关关系
D．人的体重与视力成负相关关系
解：对于A，圆的面积与半径之间的关系是确定的关系，是函数关系，所以A错误；
对于B，粮食产量与施肥量之间的关系是不是函数关系，是相关关系，所以B错误；
对于C，一定范围内，学生的成绩与学习时间是成正相关关系的，所以C正确；
对于D，人的体重与视力是没有相关关系的，所以D错误．
故选：C．
2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos B＝，a＝3，c＝5，则△ABC 的面积为（）
A．4B．3C．4D．3
【分析】由已知可求sin B，然后利用三角形的面积公式，求出△ABC的面积．
解：因为cos B＝，所以sin B＝，
所以△ABC的面积S＝＝＝3．
故选：D．
3．若a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）
A．﹣B．ab＜b2C．﹣＞﹣D．a2＞ab
【分析】根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，即可排除错误选项．
解：根据a＜b＜0，取a＝﹣2，b＝﹣1，则可排除ABC．
故选：D．
4．已知数列{a n}，{b n}分别为等差数列、等比数列，若a3+a5＝4，b3b4b5＝﹣8，则a4+b4＝（）
A．﹣1B．0C．1D．2
【分析】运用等差数列和等比数列的中项性质，解方程可得a4，b4，进而得到所求和．解：因为数列{a n}，{b n}分别为等差数列、等比数列，
所以a3+a5＝2a4＝4，b3b4b5＝b43＝﹣8，
所以a4＝2，b4＝﹣2，
则a4+b4＝0．
故选：B．
5．八进制数672（8）化为十进制数的值为（）
A．442B．452C．462D．472
【分析】利用累加权重法，即可将八进制数转化为十进制，从而得解．
解：由题意，672（8）＝6×82+7×81+2×80＝442．
故选：A．
6．某地区城乡居民储蓄存款年底余额（单位：亿元）如图所示，下列判断一定不正确的是（）
A．城乡居民储蓄存款年底余额逐年增长
B．农村居民的存款年底余额所占比重逐年上升
C．到2019年农村居民存款年底总余额已超过了城镇居民存款年底总余额
D．城镇居民存款年底余额所占的比重逐年下降
【分析】根据扇形统计图和条形统计图即可判断出答案．
解：到2019年，在城乡居民储蓄存款年底总余额中，农村居民储蓄存款所占的比例仍然小于城镇居民储蓄存款所占的比例，因此农村居民的存款年底总余额仍然少于城镇居民的存款总额，
选项C说农村居民的存款年底总余额已经超过了城镇居民的存款总额显然是错误的．故选：C．
7．从长度分别为3，5，7，8，9的5条线段中任意取出3条，则以这3条线段为边，不可以构成三角形的概率为（）
A．B．C．D．
【分析】利用列举法求出基本事件总数有10种，以这3条线段为边，不可以构成三角形的情况有2种，由此能求出以这3条线段为边，不可以构成三角形的概率．
解：从长度分别为3，5，7，8，9的5条线段中任意取出3条，
基本事件总数有10种，分别为：
（3，5，7），（3，5，8），（3，5，9），（3，7，8），（3，7，9），
（3，8，9），（5，7，8），（5，7，9），（5，8，9），（7，8，9），
以这3条线段为边，不可以构成三角形的情况有2种，分别为：
（3，5，8），（3，5，9），
则以这3条线段为边，不可以构成三角形的概率为P＝＝．
故选：A．
8．一袋中装有3个红球，4个白球，现从中任意取出3个球．记事件A为“取出的球都是白球”，事件B为“取出的球都是红球”，事件C为“取出的球中至少有一个白球”，则下列结论正确的是（）
A．B与C是对立事件
B．A与C是互斥事件
C．A与B是对立事件
D．B与C是互斥事件，但不是对立事件
【分析】根据题意，列举从袋中任取3个球的情况，据此结合互斥、对立事件的定义分析选项，即可得答案．
解：根据题意，一袋中装有3个红球，4个白球，现从中任意取出3个球，有4种情况：
①全部都是白球，即事件A，
②1个红球，2个白球，
③2个红球，1个白球，
④3个红球，即事件B，
事件C包括①②③，
故B与C是对立事件，事件A是事件C的子事件，A与B是互斥事件，但不是对立事
件，
则A正确，B、C、D错误．
故选：A．
9．在△ABC中，若sin A cos C＝sin B，则△ABC的形状为（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法判断
【分析】由三角形的内角和定理得到B＝π﹣（A+C），代入已知等式左侧，利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简整理，结合sin C≠0，可得cos A＝0，又A∈（0，π），可得A为直角，即可得解．
解：在△ABC中，
∵sin B＝sin[π﹣（A+C）]＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C＝sin A cos C，
∴cos A sin C＝0，
∵C为三角形内角，sin C≠0，
∴cos A＝0，
∴由A∈（0，π），可得A＝，即△ABC为直角三角形．
故选：B．
10．执行如图所示的程序框图，若输入的n＝1，输出的x，y，n满足，则（）
A．x+y＝12n B．x n＝y C．x+y＞12n D．x n＞y
【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量x，y，n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解：由题意输入n＝1，开始循环；
第一次循环后x＝0，y＝﹣2，xy＝0＜100，n＝2，继续循环；
第二次循环后x＝2，y＝4，xy＝8＜100，n＝3，继续循环；
第三次循环后x＝0，y＝﹣8，xy＝0＜100，n＝4，继续循环；
第四次循环后x＝2，y＝16，xy＝32＜100，n＝5，继续循环；
第五次循环后x＝0，y＝﹣32，xy＝0＜100，n＝6，继续循环；
第六次循环后x＝2，y＝64，xy＝128＞100，循环结束，
输出n＝6，x＝2，y＝64，此时x n＝y．
故选：B．
11．已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+3n+5，则a10＝（）
A．151B．161C．171D．181
【分析】由数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+3n+5，利用递推思想能求出a10．
解：∵数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝a n+3n+5，
∴a2＝a1+8＝9，a3＝a2+11＝20，a4＝a3+14＝34，
a5＝a4+17＝51，a6＝a5+20＝71，a7＝a6+23＝94，
a8＝a7+26＝120，a9＝a8+29＝149，a10＝a9+32＝181．
∴a10＝181．
故选：D．
12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，b＝1，则2a﹣2c的最小值为（）
A．﹣4B．﹣2C．﹣2D．﹣
【分析】由已知利用正弦定理可得a2+c2﹣b2＝ac，利用余弦定理可得cos B＝，结合范围B∈（0，π），可求B的值，利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求2a﹣2c＝4cos（+C），由已知可求范围＜+C＜，利用余弦函数的性质即可求解其最小值．
解：∵△ABC中，sin2A+sin2C﹣sin2B＝sin A sin C，
∴a2+c2﹣b2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
∵B∈（0，π），
∴B＝，
∵b＝1，
∴＝＝2，
∴2a﹣2c＝4sin A﹣4sin C＝4sin（B+C）﹣4sin C＝2cos C﹣2sin C＝4cos （+C），
∵0，可得＜+C＜，
∴当+C＝π时，即C＝时，2a﹣2c的最小值为﹣4．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13．不等式x2+6x＜0的解集为（﹣6，0）．
【分析】由题意，一元二次不等式，求得它的解集．
解：不等式x2+6x＜0，即x（x+6）＜0，
∴﹣6＜x＜0，
故答案为：（﹣6，0）．
14．某公司的营销部有3个科室，其中市场科有30人，销售科有50人，企划科有n人．若从这3个科室中用分层抽样的方法选取18人，已知企划科选取了2人，则n＝10．【分析】由题意利用分层抽样的定义和方法可得＝，由此求得n的值．解：由题意可得＝，求得n＝10，
故答案为：10．
15．鞋匠刀形是一种特殊的图形，古希腊数学家阿基米德发现该图形有许多优美的性质．如图，已知长方形ABCD，AB＝2AD，点E为线段AB的一个三等分点且AE＝2EB，分别以线段AB，AE，BE为直径且在AB同侧作半圆，则这三个半圆周所围成的图形称为鞋匠刀形（即图中阴影部分）．若在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自鞋匠刀形内的概率为．
【分析】设AE＝2r1，BE＝2r2，则AB＝2r1+2r2，r1＝2r2，求出阴影部分的面积为S＝πr1r2，利用几何概型能求出在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自鞋匠刀形内的概率．解：设AE＝2r1，BE＝2r2，则AB＝2r1+2r2，r1＝2r2，
∴阴影部分的面积为：
S＝＝πr1r2，
∴若在长方形ABCD内随机取一点，则该点取自鞋匠刀形内的概率为：
P＝＝＝＝．
故答案为：．
16．已知正数a，b满足（a﹣1）（b﹣1）＝1，则a+4b的最小值等于9．【分析】先将（a﹣1）（b﹣1）＝1整理成，然后利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得解．
解：因为（a﹣1）（b﹣1）＝1，所以ab﹣a﹣b＝0，即，
因为a，b均为正数，
所以a+4b＝（a+4b）?（）＝1+++4≥5+2＝9，
当且仅当，即a＝2b时，等号成立．
故答案为：9．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某校统计了本校高一年级学生期中考试的数学成绩，其数学成绩（满分150分）均在[50，150]内，将这些成绩分成[50，70），[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]5组，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值；
（2）求该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数（结果保留一位小数）．
【分析】（1）由频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，能求出a．
（2）由频率分布直方图的性质能求出该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数．解：（1）∵频率分布直方图中的各个矩形的面积之和为1，
∴20×（0.0025+a+0.0175+0.0100+0.0075）＝1，
解得a＝0.0125．
（2）由题知，数学成绩在[50，70），[70，90）内的频率为20×（0.0025+0.0125）＝0.3＜0.5，
数学成绩在[50，70），[70，90），[90，110）内的频率为：
20×（0.0025+0.0125+0.0175）＝0.65＞0.5，
∴该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数在[90，110）内，
设该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为x，
则（x﹣90）×0.0175＝0.2，
解得x≈101.4，
∴该校高一年级学生期中考试的数学成绩的中位数为101.4．
18．某校举行校园十佳歌手比赛，五位评委对A，B两位参赛选手的评分如表：A8282799587
B7595908085（1）根据五位评委对A，B两位参赛选手的评分完成如图所示的茎叶图；
（2）从统计学的角度考虑，你认为哪位选手实力更强？并说明理由．
【分析】（1）根据茎叶图的概念，写出A和B的茎叶图．
（2）结合茎叶图中的数据，根据平均数和方差的计算分别计算出，，和，再根据平均数和方差的含义即可作出判断．
解：（1）茎叶图如下：
（2）A选手的实力更强．理由如下：
＝＝85，
＝＝85，
＝×[（79﹣85）2+（82﹣85）2+（82﹣85）2+（87﹣85）2+（95﹣85）2]＝31.6，＝×[（75﹣85）2+（80﹣85）2+（85﹣85）2+（90﹣85）2+（95﹣85）2]＝50．因为＝，＜，所以A选手的实力更强．
19．△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin C＝﹣c cos B．（1）求B；
（2）若b＝2，ac＝4，求△ABC的周长．
【分析】（1）由正弦定理化简已知等式，结合sin C≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tan B＝﹣，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（2）由已知利用余弦定理可求a+c的值，进而即可求解△ABC的周长的值．
解：（1）∵b sin C＝﹣c cos B，
∴由正弦定理可得sin B sin C＝﹣sin C cos B，
∵C为三角形内角，sin C≠0，
∴sin B＝﹣cos B，即tan B＝﹣，
∵B∈（0，π），
∴B＝．
（2）∵B＝，b＝2，
∴由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B，可得：12＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac，
又∵ac＝4，
∴12＝（a+c）2﹣4，解得a+c＝4，
∴△ABC的周长a+b+c＝4+2．
20．已知数列{a n}为等比数列，且a2＝9，a5＝243．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）若b n＝a n log3a n，求数列{b n}的前n项和S n．
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式求出首项和公差，进一步确定数列的通项公式．
（2）利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和．
解：（1）数列{a n}为等比数列，设公比为q，
由于a2＝9，a5＝243．
所以，解得a1＝q＝3．
所以．
（2）由于，
所以b n＝a n log3a n＝n?3n，
所以①，
3②
①﹣②得：，
整理得．
21．某市2月份到8月份温度在逐渐上升，为此居民用水也发生变化，如表显示了某家庭2月份到6月份的用水情况．
月份x23456
用水量y（吨） 4.55677.5
（1）根据表中的数据，求y关于x的线性回归方程＝x+．
（2）为了鼓励市民节约用水，该市自来水公司规定若每月每户家庭用水不超过7吨，则水费为2.5元/吨；若每月每户家庭用水超过7吨，则超出部分水费为3元/吨．预计该家庭8月份的用水量及水费．
参考公式：回归方程＝x+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝
＝，＝﹣．
【分析】（1）由已知表格中的数据求得与的值，则线性回归方程可求；
（2）把x＝8代入（1）中的线性回归方程，求得用水量，再由已知列式求得水费．解：（1），，
，．
∴，
．
∴y关于x的线性回归方程为；
（2）当x＝8时，吨，
水费为7×2.5+（9.2﹣7）×3＝24.1元．
∴预计该家庭8月份的用水量为9.2吨，水费为24.1元．
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）若b n＝，数列{b n}的前n项和为T n，证明：≤T n＜1．
【分析】（1）直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法和放缩法求出结果．
解：（1）数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n﹣2①．
当n＝1时，解得a1＝2．
当n≥2时，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2②，
①﹣②得：a n＝2a n﹣1，
所以数列{a n}是以2为首项、2为公差的等比数列．
所以．
证明：（2）由（1）得：
所以＝＝，
所以+…+＝，由于，
所以．
即≤T n＜1．