高一上期末数学试卷
一、选择题
1.sin20°sin80°﹣cos160°sin10°=()
A.
B.
C.
D.
2.若=,则tanθ=()
A.1
B.﹣1
C.3
D.﹣3
3.在函数y=sin|x|、y=|sin x|、y=sin(2x+)、y=tan(2x+)中,最小正周期为π的函数的个数为()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.方程x﹣sin x=0的根的个数为()
A.1
B.2C.3
D.4
5.若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”,那么函数解析式为f(x)=x2+1,值域为{5,10}的“孪生函数”共有()A.4个
B.8个
C.9个
D.12个
6.函数y=2sin(﹣2x)的单调递增区间是()
A.
B.
C.
D.
7.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是()
A.
B.
C.
D.
8.定义在R上的函数f(x)的图象关于点(﹣,0)成中心对称,且对任意的实数x都有,f(﹣1)=1,f(0)=﹣2,则f(1)+f(2)+…+f(2 017)=()
A.0
B.﹣2
C.1
D.﹣4
9.已知函数f(x)=a sin x﹣b cos x(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x=处取得最大值,则函数y=f(x+)是()
A.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点(,0)对称
C.奇函数且它的图象关于点(,0)对称
D.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
10.将函数y=sin(x﹣)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将所得图象向左平移个单位,则所得函数图象对应的解析式为()A.y=sin(x﹣)B.y=sin(2x﹣)C.y=sin x D.y=sin(x﹣)11.函数f(x)=2sin(2x+),g(x)=m cos(2x﹣)﹣2m+3(m>0),若对任意x1∈[0,],存在x2∈[0,],使得g(x1)=f(x2)成立,则实数m的取值范围是()
A.
B.
C.
D.
12.已知函数f(x)=e x﹣e﹣x+4sin3x+1,x∈(﹣1,1),若f(1﹣a)+f(1﹣a2)>2成立,则实数a的取值范围是()
A.(﹣2,1)B.(0,1)C.D.(﹣∞,﹣2)∪(1,+∞)
二、填空题
13.若α+β=则(1﹣tanα)(1﹣tanβ)的值为________.
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,,则f(﹣2+log35)=_______.
15.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周,最低点距地面2米,最高点距地面18米,P是摩天轮轮周上一定点,从P在最低点时开始计时,则14分钟后P点距地面的高度是________米.
16.定义在R上的单调函数f(x)满足:f(x+y)=f(x)+f(y),若F(x)=f(a sin x)+f(sin x+cos2x﹣3)在(0,π)上有零点,则a的取值范围是________.
三、解答题
17.某正弦交流电的电压v(单位V)随时间t(单位:s)变化的函数关系是v=120 sin(100πt﹣),t∈[0,+∞).
(1)求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅;
(2)若加在霓虹灯管两端电压大于84V时灯管才发光,求在半个周期内霓虹灯管点亮的时间?(取≈1.4)
18.已知函数f(x)=2sin(2ωx+)+1(其中0<ω<1),若点(﹣,1)是函数f(x)图象的一个对称中心,
(1)试求ω的值;
(2)先列表,再作出函数f(x)在区间x∈[﹣π,π]上的图象.
19.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x+x2.
(1)求x<0时,f(x)的解析式;
(2)问是否存在这样的非负数a,b,当x∈[a,b]时,f(x)的值域为[4a﹣2,6b﹣6]?若存在,求出所有的a,b值;若不存在,请说明理由.
20.(1)若cos=,π<x<π,求的值.(2)已知函数f(x)=2sin x cos x+2cos2x﹣1(x∈R),若f(x0)=,x0∈[,],求cos2x0的值.
21.已知函数f(x)=4sin2(+)?sin x+(cos x+sin x)(cos x﹣sin x)﹣1.
(1)化简f(x);
(2)常数ω>0,若函数y=f(ωx)在区间上是增函数,求ω的取值范围;
(3)若函数g(x)=在的最大值为2,求实数a的值.
22.已知函数.任取t∈R,若函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值为M(t),最小值为m(t),记g(t)=M(t)﹣m(t).
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程;
(2)当t∈[﹣2,0]时,求函数g(t)的解析式;
(3)设函数h(x)=2|x﹣k|,H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8,其中实数k为参数,且满足关于t的不等式有解,若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h (x2)=H(x1)成立,求实数k的取值范围.
高一期末数学试卷(一)
参考答案与试题解析
一、选择题
二、填空题
13.2
14.
15.6
16.[2,+∞).
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)周期,频率,振幅
(2)由及得
结合正弦图象,取半个周期有解得
所以半个周期内霓虹灯管点亮的时间为(s)
点拨:(1)根据v=120sin(100πt﹣),t∈[0,+∞),求该正弦交流电电压v的周期、频率、振幅;
(2)由及得,结合正弦图象,取半个周期,即可得出结论.18.答案:见解析
解析:(1)点(﹣,1)是函数f (x )图象的一个对称中心,∴﹣2ω?+=k π,k ∈Z
,
即ω=
﹣3
k+
∵0<ω<1,
∴ω=,
(2)由(1)知f(x)=2sin(x+)+1,x∈[﹣π,π]列表如下x+﹣π﹣0π
x﹣π﹣π﹣π
y0﹣11310
点拨:(1)根据三角函数的对称中心求出ω,
(2)利用五点作图法,画图即可.
19.答案:见解析
解析:(1)设x<0,则﹣x>0,于是f(﹣x)=﹣x+x2,
又f(x)为奇函数,f(﹣x)=﹣f(x),∴﹣f(x)=﹣x+x2,
即x<0时,f(x)=x﹣x2.…(4分)
(2)假设存在这样的数a,b.
∵a≥0,且f(x)=x+x2在x≥0时为增函数,…(6分)
∴x∈[a,b]时,f(x)∈[f(a),f(b)]=[4a﹣2,6b﹣6],
∴…(8分)
,即…(10分)
或,考虑到0≤a<b,且4a﹣2<6b﹣6,…(12分)
可得符合条件的a,b值分别为…(14分)
点拨:(1)设x<0,则﹣x>0,利用x≥0时,f(x)=x+x2.得到f(﹣x)=﹣x+x2,再由奇函数的性质得到f(﹣x)=﹣f(x),代换即可得到所求的解析式.
(2)假设存在这样的数a,b.利用函数单调性的性质建立方程求参数,若能求出,则说明存在,否则说明不存在.
20.答案:见解析
解析:(1)由π<x<π,得π<x+<2π,
又cos=,∴sin=﹣;
∴cos x=cos=cos cos+sin sin=﹣,
从而sin x=﹣,tan x=7;故原式=;
(2)f(x)=2sin x cos x+2cos2x﹣1
=sin2x+cos2x
=2sin(2x+),
当f(x0)=时,
sin(2x0+)=,
又x0∈[,],∴2x0+∈[,],
∴cos(2x0+)=﹣,
∴cos2x0=cos[(2x0+)﹣]=﹣×+×=.
点拨:(1)根据同角的三角函数关系,转化法求出cos x、sin x和tan x的值,再计算所求的算式;
(2)利用三角恒等变换化简f(x),根据f(x0)=求出sin(2x0+)和cos(2x0+)的值,再计算cos2x0的值.
21.答案:见解析
解析:(1)f(x)=2[1﹣cos(+x)]?sin x+cos2x﹣sin2x﹣1=(2+2sin x)?sin x+1﹣2sin2x ﹣1=2sin x.
(2)∵f(ωx)=2sinωx,由≤ωx≤,解得﹣+≤x≤+,∴f(ωx)的递增区间为[﹣+,+],k∈Z.∵f(ωx)在[﹣,]上是增函数,
∴当k=0时,有,∴,解得,
∴ω的取值范围是(0,].
(3)g(x)=sin2x+a sin x﹣a cos x﹣a﹣1,令sin x﹣cos x=t,则sin2x=1﹣t2,
∴y=1﹣t2+at﹣a﹣1=﹣(t﹣)2+﹣,∵t=sin x﹣cos x=sin(x﹣),
∵x∈[﹣,],∴x﹣∈[﹣,],∴.
①当<﹣,即a<﹣2时,y max=﹣(﹣)2+﹣=﹣a﹣﹣2.
令﹣a﹣﹣2=2,解得a=﹣(舍).
②当﹣≤≤1,即﹣2≤a≤2时,y max=﹣,令,解得a=﹣2或a=4(舍).
③当,即a>2时,在t=1处,由得a=6.
因此,a=﹣2或a=6.
点拨:(1)使用降次公式和诱导公式化简4sin2(+),使用平方差公式和二倍角公式化简(cos x+sin x)(cos x﹣sin x);
(2)求出f(ωx)的包含0的增区间U,令[﹣,]?U,列出不等式组解出ω;(3)求出g(x)解析式,判断g(x)的最大值,列方程解出a.22.答案:见解析
解析:(1)函数,
则f(x)的最小正周期为;
令,解得f(x)的对称轴方程为x=2k+1(x∈Z);
(2)①当时,在区间[t,t+1]上,,
m(t)=f(﹣1)=﹣1,
∴;
②当时,在区间[t,t+1]上,,m(t)=f(﹣1)=﹣1,
∴;
③当t∈[﹣1,0]时,在区间[t,t+1]上,,
,
∴;
∴当t∈[﹣2,0]时,函数;
(3)∵的最小正周期T=4,
∴M(t+4)=M(t),m(t+4)=m(t),
∴g(t+4)=M(t+4)﹣m(t+4)=M(t)﹣m(t)=g(t);
∴g(t)是周期为4的函数,研究函数g(t)的性质,只须研究函数g(t)在t∈[﹣2,2]时的性质即可;
仿照(2),可得;
画出函数g(t)的部分图象,如图所示,
∴函数g(t)的值域为;
已知有解,即k≤4g(t)max=4,
∴k≤4;
若对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立,
即H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集.∵,
当k≤4时,∵h(x)在(﹣∞,k)上单调递减,在[k,4]上单调递增,
∴h(x)min=h(k)=1,
∵H(x)=x|x﹣k|+2k﹣8在[4,+∞)上单调递增,
∴H(x)min=H(4)=8﹣2k,
∴8﹣2k≥1,即;
综上,实数的取值范围是.
点拨:(1)根据正弦型函数f(x)的解析式求出它的最小正周期和对称轴方程;(2)分类讨论、和t∈[﹣1,0]时,求出对应函数g(t)的解析式;
(3)根据f(x)的最小正周期T,得出g(t)是周期函数,研究函数g(t)在一个周期内的性质,求出g(t)的解析式;画出g(t)的部分图象,求出值域,利用不等式求出k的取值范围,再把“对任意x1∈[4,+∞),存在x2∈(﹣∞,4],使得h(x2)=H(x1)成立”转化为“H(x)在[4,+∞)的值域是h(x)在(﹣∞,4]的值域的子集“,从而求出k的取值范围.
高一上数学期末试卷
一、选择题
1.集合}
{0
10
3
2<
-
+
=x
x
x
A,}
{4
1
0<
+
<
=x
x
B,则)
(B
C
A
R
?=()A.}
{2
1<
<
-x
xB.}
{3
2
1
5≤
<
-
≤
≤
-x
x
x或
C
.}{15-≤<-x x D.}{15-≤≤-x x
2.若1
,2
(2,3),(3,2),()m A B C --三点共线 则m 的值为( )
A.21 B.2
1
- C.2- D.2 3.如果一个水平放置的图形的斜二侧直观图是一个底角为45°,腰和上底都为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( )
A.222+ B.2
21+ C.22+ D.21+
4.已知函数)1(+=x f y 定义域是[]3,2-,则y =f (2x -1)的定义域是( )
A.[]-
14, B.[]05
2
, C.[]-
55, D.]73[,- 5.b a ,满足10<<
6.已知))()(()(b a b x a x x f >--=其中,若)(x f 的图象 如图所示:则b a x g x
+=)(的图象是( )
7.一个几何体的三视图如图,则该几何体的体积为( ) A.46+π B.412+π C.126+π D.1212+π
8.在空间给出下面四个命题(其中n m ,为不同的两条直线,βα,为不同的两个平面)①n m n m ⊥?⊥αα∥,
②αα∥∥,∥m n n m ?③βααβ⊥?⊥∥,,∥m n n m ④βαβαβα∥∥,∥,∥,∥,?=?n n m m A n m
其中正确的命题个数有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9.函数)3(log )(22a ax x x f +-=在),2[+∞上是增函数,则实数a 的取值范围是( ) A.4≤a B.2≤a C.44≤<-a D.42≤≤-a 10.已知1,0≠>a a ,x a x x f -=2)(,当)1,1(-∈x 时,均有2
1
)(<
x f ,则实数a 的取值x
y
o
1
-1
1
o
x
y
1
o
x
y 1
o
x
y
1
o
x
y
A B C D
范围是( )
A.[)∞+???? ??,,2210 B.(]2,1121???????,
C.[)∞+???? ??,,4410 D.(]4,1141???
????, 11.已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,且满足)()()(y f x f xy f +=,1)21
(=f ,如果对
于y x <<0,都有)()(y f x f >,不等式2)3()(-≥-+-x f x f 的解集为( ) A.[)(]4,30,1?- B.[]4,1- C.(]4,3 D.[)0,1-
12.设函数)(x f 的定义域为D ,若函数)(x f 满足条件:存在[]D b a ?,,使)(x f 在[]
b a ,上的值域为??
????2,2b a ,则称)(x f 为“倍缩函数”,若函数)2(log )(2t x f x +=为“倍缩函数”,
则t 的范围为( )
A.??? ??41,0 B.)
(1,0 C.???
??210, D.),41(+∞ 二、填空题
13.已知定点)31(,-A ,)24(,B ,以B A ,为直径的端点作圆,与x 轴有交点C ,则交点C 的坐标_________.
14.函数)54lg(2+-=x x y 的值域为_____________.
15.三棱锥ABC P -的各顶点都在一半径为R 的球面上,球心O 在AB 上,且有
PC PB PA ==,底面ABC ?中?=∠60ABC ,则球与三棱锥的体积之比是 .
16.对于实数b a ,,定义运算?
??>-≤-=??11
:""b a b b a a b a ,设函数
)()2()(2
2
x x x x f -?-=,
若函数c x f y -=)(的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是________. 三、解答题
17.已知集合}
{01032<--=x x x A ,}{121-≤≤+=m x m x B . (1)当3=m 时,求集合B A ?,B A C R ?)(; (2)若B B A =?,求实数m 的取值范围.
18.某企业生产的新产品必须先靠广告打开销路,该产品广告效应应该是产品的销售额与广告费之间的差,如果销售额与广告费的算术平方根成正比,根据对市场的抽样调查:每付出100万元的广告费,所得的销售额是1000万元,问该企业投入多少广告费才能获得最大的广告效应?是不是广告做的越大越好? 19.如图,
三棱柱111C B A ABC -中,,AC BC ⊥1,AB BB ⊥1AC BC BB ==,D 为AB 的中点,且
1CD DA ⊥.(1)求证:1BC ∥平面1DCA ; (2)求1BC 与平面11ABB A 所成角的大小.
20.已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数,且当0≤x 时,x x x f 2)(2+=.(1)求函数
)(x f ,R x ∈的解析式;
(2)若函数[]2,1,22)()(∈+-=x ax x f x g ,求函数)(x g 的最小值 21.已知函数)(Z ∈=++-m x
x f m m 3
22)(为偶函数,且)5()3(f f <.
(1)求m 的值,并确定)(x f 的解析式.
(2)若)1,0]()([log ≠>-=a a ax x f y a 且在区间[]3,2上为增函数,求实数a 的取值范围.
22.已知函数()f x 对任意实数,x y 都有()()()f xy f x f y =,(1)1,(27)9f f -==,当
01x <<时,0()1f x <<.
(1)判断()f x 的奇偶性;
(2)判断()f x 在()∞+,
0上的单调性,并给出证明; (3)若0a ≥
且(1)f a +≤,求a 的取值范围
高一期末试卷(二)
答案及解析
一、选择题
13.(1,0),(2,0)
14.[)∞+,
0 15.
16.
三、解答题
17.答案:见解析
解析:(1)}
}{{5201032<<-=<--=x x x x x A 当3=m 时,}{54≤≤=x x B
所以}{54<≤=?x x B A ,}{52≥-≤=x x x A C R 或
所以
}{5=?B A C R )( (2)因为B B A =?,所以A B ?
①当φ=B 时,121->+m m ,即2 ②当φ≠B 时,??? ??<-->+-≤+512211 21m m m m 即32<≤m ,此时A B ? 综上所述,m 的取值范围是}{32<≤m m 点拨:(1)集合的基本运算. (2)集合间的基本关系. 18.答案:见解析 解析:设广告费为x 万元,广告效应为y 万元,销售额为t 万元. 由题意知x t y x k t -=?=, . 25002500502500)50(100),0(,,100,100.100,10010001000t 100222有最大值时,,即当则令,时,当y x m m m m y m m x m x x x y x t k k x ==∴+--=-=∴≥==-=∴=∴=∴?=∴== 所以该企业投入2500万元广告费时,能获得最大的广告效应,显然,并非广告做的越大越好. 点拨:解决实际应用的步骤:(1)建数学模型. (2)写出解析式.(3)依据二次函数求最值. 19.答案:见解析 解析:⑴证明:如图一,连结1AC 与1A C 交于点K ,连结DK . 在△1ABC 中,D 、K 为中点,∴DK ∥1BC . 又DK ?平面1DCA ,1BC ?平面1DCA ,∴1BC ∥平面1DCA . 图一 图二 图三 ⑵证明:(方法一)如图二,∵,AC BC D =为AB 的中点,∴CD AB ⊥. 又1CD DA ⊥,1AB DA D =,∴CD ⊥平面11ABB A . 取11A B 的中点E ,又D 为AB 的中点,∴DE 、1BB 、1CC 平行且相等, ∴1DCC E 是平行四边形,∴1C E 、CD 平行且相等. 又CD ⊥平面11ABB A ,∴1C E ⊥平面11ABB A ,∴∠1EBC 即所求角. 由前面证明知CD ⊥平面11ABB A ,∴1CD BB ⊥, 又1AB BB ⊥,AB CD D =,∴1BB ⊥平面ABC ,∴此三棱柱为直棱柱. 设12,AC BC BB === ∴1BC = ,1EC =1EBC =30?. (方法二)如图三,∵,AC BC D =为AB 的中点,∴CD AB ⊥. 又1CD DA ⊥,1AB DA D =,∴CD ⊥平面11ABB A . 取1DA 的中点F ,则KF ∥CD ,∴KF ⊥平面11ABB A . ∴∠KDF 即1BC 与平面11ABB A 所成的角. 由前面证明知CD ⊥平面11ABB A ,∴1CD BB ⊥, 又1AB BB ⊥,AB CD D =,∴1BB ⊥平面ABC ,∴此三棱柱为直棱柱. 设12,AC BC BB === ∴KF = ,DK =30KDF =?. 点拨:(1)线面平行的判定定理. (2)线面交的求法. 20.答案:见解析 解析:(1)当0>x 时,0<-x , 所以x x x x x f 2)(2)()(22-=-?+-=-, 函数 是定义在上的偶函数,所以)()(x f x f =-, 所以x x x f 2)(2-=, 所以2 22,0 ()2,0 x x x f x x x x ?+≤?=?->??. (2)①当11a +≤时,即0a ≤ min ()(1)12g x g a ==- ②当112a <+<时,即01a << 2min ()(1)21g x g a a a =+=--+ ③当12a +≥时,即1a ≥ min ()(2)22g x g a ==- 综上:212,0()21,0124,1a a h a a a a a a -≤?? =--+<?-≥? . 点拨:(1)依据奇偶性求解析式. (2)含参数的二次函数的最值求法. 21.答案:见解析 解析:(1)∵)(x f 是偶函数,∴322++-=m m y 为偶函数。 又∵)5()3(f f <, 即3 23 22 2 53++-++- m m ,整理得15 33 22<++-m m )(, ∴0322>++-m m ,根据二次函数图象可解得2 31< <-m . ∵Z ∈m ,∴0=m 或1=m .当0=m 时,3322 =++-m m , 不合题意,应舍去. 当1=m 时,2322=++-m m ,)(x f 为偶数,∴1=m ,此时2)(x x f = (2)由(1)知,)(ax x y a -=2 log ,设ax x u -=2, 则) (ax x y a -=2log 是由u y a log =、ax x u -=2复合而成的. 当10< (ax x y a -=2log 在[]3,2上为增函数, 只需ax x u -=2 在[]3,2上为减函数,且02 >-ax x , 故有?????>-≥, 039, 32a a ,即???<≥36a a ,故集合为φ. 当1>a 时,u y a log =为增函数.要使) (ax x y a -=2 log 在[]3,2上为增函数, 只需ax x u -=2在[]3,2上为增函数,且02>-ax x , 故有?????>-≤,