条件期望的性质和应用
摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际上都有很重要的应用。本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。 关键词：条件期望；定义；性质；应用
条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。近年来，随着人们对随机现象的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的是条件期望在最优预测中的应用。现代概率论总是从讲述条件期望开始的。鉴于此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学习，实现知识的迁移。通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理等方面有着重要的作用与贡献。总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。 1 条件期望的几种定义
1.1 条件分布角度出发的条件期望定义
从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。
由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。 定义1 离散随机变量的条件期望
设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为(),ij j i p P X x Y y ===，
1,2,,1,2,.i j =???=???，对一切使()10j j ij i P Y y p p +∞
?====>∑的j y ，称
()()
|,(),1,2,j ij i i j i j j
j P X x Y y p p P X x Y y i p P Y y ?======
=
=???=
为给定j Y y =条件下X 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()
()i i j i j i j x x
x x
F x y P X x Y y p ≤≤====∑∑；
同理，对一切使()1
0i i ij j P X x p p +∞
?====>∑的i x ，称
()()()
j|i ,,1,2,j ij i j i i j P X x Y y p p P Y y X x j p P X x ?
======
=
=???=
为给定i X x =条件下Y 的条件分布列。
此时条件分布函数为 ()()j j i j
i j i
y y
y y
F y x P Y y
X x p
≤≤=
===
∑∑。
故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下
()()i i i
E X Y y x P X x Y y ====∑或()()j j j
E Y X x y P Y y X x ====∑。
定义2 连续随机变量的条件期望
设二维连续随机变量（X,Y ）的联合密度函数为(,)p x y ，边际密度函数为
()X p x 和()Y p y 。
对一切使()Y p y >0的y ，给定Y y =条件下X 的条件分布函数和条件密度函数 分别为(,)
()()x
Y p u y F x y du p y -∞
=?
，()()()
,Y p x y p x y p y =； 同理对一切使()X p x >0的x ，给定X=x 条件下Y 的条件分布函数和条件密度 函数分别为(,)
()()y
X p x v F y x dv p x -∞
=?
，()()()
,X p x y p y x p x =。 故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下
()()E X Y y xp x y dx +∞
-∞
==?
或()()E Y X x yp y x dy +∞
-∞
==?
。
1.2 测度论角度出发的条件期望定义
借助测度论这一数学工具，给出了随机变量在给定子δ代数下条件期望的一 般性定义——公理化定义，通过讨论，还可同时发现它的两条等价性定义。 引理1 若X 是可积(或积分存在)随机变量，则必存在惟一的(不计几乎处处相等的差别)可积(相应地，积分存在)的G 可测随机变量Y ，它满足
,A
A
YdP XdP A G =?∈??
(1)
定义3(公理化定义) 设X 是概率空间(,,)F P Ω上的可积(或积分存在)随机 变量，G 是F 的子σ代数，则X 关于G 的条件期望()E X G 是满足以下两条件的随机变量：
(i) ()E X G 是G 可测的；
(ii) (),A
A
E X G dP XdP A G =?∈??。
特别地，当()G Y σ=时，也称()E X G 为X 关于随机变量Y 的条件期望，记 为()E X Y 。
由引理1，条件期望()E X G =
dv
dP
就是由(1)式定义的符号测度v 关于P 的 Radon 导数。
由定义 3看出，条件期望是通过积分等式(1)确定的，根据积分性质易知，两个几乎处处相等的函数的积分是相等的。 因此，条件期望的确定以及许多有关条件期望的论断都是不计几乎处处相等的差别的，从而涉及的关系式都是几乎处处相等意义下的。
由上面的讨论，我们有如下的等价定义：
定义4 设X 是概率空间(,,)F P Ω上的可积(或积分存在)随机变量，
G 是F 的子σ代数，则X 关于G 的条件期望Y 是满足以下两条件的随机变量
(i)Y 是G 可测的；
(ii),A
A
YdP XdP A G =?∈??。
定义5 设X 是概率空间(,,)F P Ω上的可积(或积分存在)随机变量，G 是F 的子σ代数，则X 关于G 的条件期望()E X G 是满足以下两条件的随机变量：
(i)()E X G 是G 可测的；
(ii)()[],A A E E X G I E XI A G ??=?∈??。
上述三个定义虽然表达式有所不同，但其本质是相同的，且都是以公理化的 形式给出的，显得比较抽象，增加了定义的理解难度。 1.3 几何角度出发的条件期望定义
从几何的角度，利用投影定理这一数学工具，给出条件期望的几何定义。 引理2(投影定理) 如果M 是Hilbert 空间H 的一个闭线性子空间,且x H ∈,那么
(i) 存在惟一元素^
x M ∈,使得 inf y M
x x
x y ∈-=-, (ii) x
M ∈且 inf y M
x x x y ∈-=-成立的充分必要条件是 x M ∈, x x M ⊥-∈,其 中?是Hilbert 空间上的范数, M ⊥是M 的正交补。 称 x
为x 在M 上的正交投影,记为Mx P 。
实Hilbert 空间2(,,)L F P Ω内积定义为,()X Y E XY =。
引理3 记():(,,)P P L F L F μΩ； ():(,,)P P L G L G μΩ， 则()P L G 是()P L F 的子空
间。
于是,特别地, 2()L G 是2()L F 的闭子空间。
定义6(几何定义) 以22(,,)(,,)L F P X E X G L G P →Ω∈??∈Ω??表示2
(,,)L F P Ω
到2(,,)L G P Ω中的正交投影， 则任给2(,,)X L F P ∈Ω,E X G ????称为给定G 时X 的条件期望。 2 条件期望的性质 2.1 一般性质
因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数 学期望的所有性质。
性质1 若c 是常数，则()E c c =； 性质2 对任意常数a ，有()()E aX aE X =； 性质3 对任意的两个函数1()g x 和2()g x ，有
[][][]1212()()()()E g X g X E g X E g X ±=±；
性质4 若X 、Y 相互独立，则()()()E X Y E X E Y ?=?。
根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：
推论 1 11221122()()()()n n n n E a X a X a X b a E X a E X a E X b ++???++=++???++，
其中12,,,,n a a a b ???均是常数时，特别有
1212()()()()n n E X X X E X E X E X ++???+=++???+。
推论 2 若12,,,n X X X ???相互独立，则
1212(...)()()...()n n E X X X E X E X E X ???=???。
注意：对于“和” ，不要求12,,,n X X X ???相互独立，对于“积” ，则要求
12,,,n X X X ???相互独立。 2.2 特殊性质
从条件期望的这几种定义出发还可得到以下性质。
性质1 11221122()()()E a X a X G a E X G a E X G +=+,其中12,a a R ∈，且假定
()1122E a X a X G +存在；
证明：根据条件期望的定义 5 ，由于12(),()E X G E X G 都G 可测，所以
1122()()a E X G a E X G +也G 可测；
其次，令[]{}
,1,2i A G A G E X I i '=∈<∞=，则
()[](),1,2i A i A A G E E X G I E X I i ??'?∈==??，
所以 ()11221122(()()),A A E a E X G a E X G I E a X a X I A G '?+?=+?∈??????
这表明1122()()a E X G a E X G +是1122a X a X +关于G 的条件期望，从而证得
11221122()()()E a X a X G a E X G a E X G +=+。
性质2 如果,X Y 关于G 为σ-可积时，如果X Y ≥(..)a s ，则()()E X G E Y G ≥
(..)a s ；
证明：令()()[]A E X G E Y G =<,()()1
[]m A E X G E Y G m =≤-
，则m m
A A = 。 由于,X Y 关于G 为σ-可积，所以 ,n n G ?Ω∈Ω↑Ω，()
n E X I Ω<∞, ()
n E Y I Ω<∞,因而
()()
()11
0()()n m n A A P A E I E E X G E Y G I m m
??≥-
=-≥-?? ()()()m n A E E X G E Y G I ?Ω??≥-?? ()m n A E E X Y G I ?Ω??=-?? ()m n A E X Y I ?Ω??=-??0≥
于是()0n P A =，从而()0P A =。这表明
()()E X G E Y G ≥ (..)a s
性质3 如果X 关于G 为σ-可积时，()()E X G E X G ≥ (..)a s ；
证明：因为,X X -关于G 为也σ-可积，且,X X X X ≥≥-，所以由条件 期望的特殊性质2可知， ()()E X G E X G ≥ (..)a s ，
()()E X G E X G ≥- (..)a s
又由条件期望的特殊性质1可知， ()()E X G E X G -=- (..)a s 所以， ()()E X G E X G ≥ (..)a s 。
性质4 （全数学期望公式）()()E E X G E X ??=??；
证明：若()X G 为离散型的随机变量时，
()()j j j
E E X G E X G b p G b ????===????∑
()()i i j j j i a p X a G b p G b ??
====????∑∑
,(,)i i j i j
a p X a G
b ===∑
()E X = 若()X G 为连续型的随机变量时，
()()()G E E X G E X G y p y dy +∞
-∞??==??? [()]()G xp x y dx p y dy +∞
+∞-∞-∞=??
()()G xp x y p y dxdy +∞
+∞
-∞-∞=??
(,)xp x y dxdy +∞
+∞
-∞
-∞
=?
?
[(,)]xp x y dy dx +∞+∞
-∞
-∞
=??
()X xp x dx +∞
-∞
=?
()E X = 性质5 如果X 为G 可测，则()E X G X =；
证明：这是条件期望的定义5的显然推论。 特别当X C =（常数）时，()E C G C = (..)a s 。 性质6 如果X 与σ代数G 独立，则()()E X G E X =； 证明：设(),X G 是二维连续型随机变量，由独立性有
()()(),X G p x y p x p y =，
其中(),p x y ，()X p x ，()G p y 分别是(),X G 的密度函数和边际密度函数，这时条件密度函数()(),X X G p x y p x =，于是当G y =时，
()()X G
E X G y xp x y dx +∞
-∞
==
?
()()X
xp x dx E X +∞
-∞
=
=?，
上式对一切y 成立，所以()()E X G E X =。
在此仅就连续型的情况进行证明，而离散型的可类似证明。 性质7 若关于G 为σ-可积，Y 为G 可测且有限时，则
()()E XY G YE X G =(..)a s .
证明：为了证明()E XY G 有意义，首先须证XY 关于G 为σ-可积。 由于X 关于G 为σ-可积，所以()
,,n n n A A G A E X I ?∈↑Ω<∞。由于Y 为G 可测且有限，所以令()n B Y n =≤时n B G ∈且n B ↑Ω。令n n n A B Ω= ，则n G Ω∈，
n Ω↑Ω，并且
()()
n A E XY I nE Y I Ω≤<∞
因此，XY 关于G 为σ-可积。
于是存在..a s 唯一的G 可测随机变量()E XY G ，使得
()(),A A A G E E XY G I E XYI ??'?∈=??，
这里(){}
A G A G E XY I '=∈<∞，于是A G '?∈，
()()
n n A A E E XY G I I E XYI I ΩΩ??=??。
又因()n E XY G I Ω为G 可测，所以由上式知，()n E XY G I Ω是n XYI Ω关于G 的 条件期望。于是()()
n n E XY G I E XYI G ΩΩ= (..)a s
由于n n n XYI XI YI ΩΩΩ=，()
,n n n n XYI XI YI E X I ΩΩΩΩ=<∞，n YI Ω为G 可测，所以
()()n n n E XYI G YI E XI G ΩΩΩ= (..)a s 。
对于X ，由于它关于G 为σ-可积，所以同样可以得到 ()()n n E X G I E XI G ΩΩ= (..)a s ， 于是，()()n n n YI E XI G YI E X G ΩΩΩ= (..)a s 。
综上所证，得()()n n E YX G I YI E X G ΩΩ= (..)a s ， 令n →∞，则由上式得()()E XY G YE X G = (..)a s 。
性质8 如果1G 是σ代数G 的子σ代数，则()11()E E X G G E X G ??=??；
证明：显然，X 关于G 也σ-可积。为了证明()1E E X G G ????有意义须证
()E X G 关于1G 为σ-可积。
由于X 关于1G 为σ-可积，所以1,n n G ?Ω∈Ω↑Ω，()
n E X I Ω<∞。又因
()()A A E E X G I E XI ??=??，这里(){}
A A A G E X I ∈∈<∞，并注意到1G G ?，所
以
()()n n E E X G I E X I ΩΩ??=<∞??。
这表明()E X G 关于1G 为σ-可积。
既然()n E X I Ω<∞，所以由条件期望的特殊性质4可知，
()
11()n n E XI G E E XI G G ΩΩ??=??
(..)a s
因n I Ω为1G 可测，所以由条件期望的特殊性质7，
()
111()()n n n E X G I E XI G E E XI G G ΩΩΩ??
==??
()()11n n E I E X G G E E X G G I ΩΩ????==???? (..)a s
令n →∞，则由上式得()11()E E X G G E X G ??=?? (..)a s
引理4 随机变量X 和Y 的相关系数(),X Y ρ在坐标平移变换中保持不变。 证明：设平移变换11,X X a Y Y b =+=+，（,a b 为常数） 由期望和方差的性质易知
()[](){
}()()
(),E X E X Y E Y X Y D X D Y ρ--????
=
[](){
}()()
111111()E X a E X a Y b E Y b D X a D Y b +-++-+????
=
++
[](){
}()()
111111()E X E X Y E Y D X D Y --????
=
()11,X Y ρ= 性质9 （增减性）设X 和Y 是随机变量，
(i)当()E Y X x =是x 的减函数时，则(),0X Y ρ?； (ii)当()E Y X x =是x 的增函数时，则(),0X Y ρ?； (iii)当()E Y X x =是常数时，则(),0X Y ρ=。
证明：由引理知相关系数(),X Y ρ在平移变换中保持不变，故不妨设
()()0E X E Y ==。
因为()()()()
,()()
E XY E X E Y X Y D X D Y ρ-=，故(),X Y ρ的符号只决定于()E XY 的符
号。
(i)若()E Y X x =是x 的减函数，任取非零实数12x x <，
如果 10x <，有1()(0)E Y X x E Y X =>= (2) 如果 20x >，有2()(0)E Y X x E Y X =<= (3) 若(2)式成立，当10x x ≤<，则有
1()()(0)E Y X x E Y X x E Y X =≥=>=
故也有()(0)xE Y X x xE Y X =<=。
又当1x x >，即10x x <≤，则有()(0)E Y X x E Y X =≥=；
10x x <≤，则有()(0)E Y X x E Y X =≤=。
故也有()(0)xE Y X x xE Y X =≤=。
使用Lebesgue-Stieltges 积分表示则有
()()()X E XY xE Y X x dF x +∞
-∞
==?
1
1
()()()()x X X x xE Y X x dF x xE Y X x dF x +∞-∞==+=??
1
1
(0)()(0)()x X X x xE Y X dF x xE Y X dF x +∞
-∞
<=+=??
(0)()X E Y X xdF x +∞
-∞
==?
(0)()E Y X E X ==
0=
故(),0X Y ρ<
当不等式(3)成立时，用类似的方法同样可证。 为节省篇幅，不再赘述。 (ii) 若()E Y X x =是x 的增函数，任取非零实数12x x <，
如果10x <，有若()E Y X x =是x 的减函数，任取非零实数12x x <。 如果 10x <，有1()(0)E Y X x E Y X =<= (4) 如果 20x >，有2()(0)E Y X x E Y X =>= (5) 若(4)式成立，当10x x ≤<，则有
1()()(0)E Y X x E Y X x E Y X =≤=<=
故也有
()(0)xE Y X x xE Y X =>=。
又当1x x >，即10x x <≤，则有()(0)E Y X x E Y X =≤=；
10x x <≤，则有()(0)E Y X x E Y X =≥=。
故也有()(0)xE Y X x xE Y X =≥=。
使用Lebesgue-Stieltges 积分表示则有
()()()X E XY xE Y X x dF x +∞
-∞
==?
1
1()()()()x X X x xE Y X x dF x xE Y X x dF x +∞-∞==+=??
1
1
(0)()(0)()x X X x xE Y X dF x xE Y X dF x +∞
-∞
>=+=??
(0)()X E Y X xdF x +∞
-∞
==?
(0)()E Y X E X == 0=
故(),0X Y ρ>
当不等式(5)成立时，用类似的方法同样可证。 (iii)当()E Y X x const k ===
()()()X E XY xE Y X x dF x +∞
-∞
==?
()X k xdF x +∞
-∞
=?
()kE X =
0=
故(,)0X Y ρ=。
综上所述，可知条件期望()E Y X x =关于变量x 的增减性，决定了相关系数
(,)X Y ρ的符号。 3 条件期望的重要定理
定理1 （单调收敛定理） 若..n X Xa s ↑，则在1{()}E X G >-∞上，有
()lim ()n n E X G E X G →∞
=；
证明：显然，n X 关于G 为σ-可积。由条件期望的特殊性质2可知，
()()0..n E X G a s ≤↑，所以..a s 存在lim ()n n E X G →∞
。
在极限不存在的ω∈Ω上补定义为0，这样就得倒一个G 可测的随机变量
lim ()n n E X G →∞
,令(){}
A G A G E X I '=∈<∞， 由积分单调收敛定理，A G '?∈，
[lim ()]lim [()]n A n A n n E E X G I E E X G I →∞
→∞
=
lim ()A n E XI →∞
=
[(lim )]n A n E X I →∞
=
()A E XI =
这表明lim ()n n E X G →∞
是ξ关于G 的条件期望，因而
lim ()()n n E X G E X G →∞
=
定理2 （控制收敛定理） 若n X Y ≤，.a s ，Y 可积，且n X X →，.a s 或p ，则
lim ()0n n E X X G →∞
-=；
证明：显然，,n X X 关于G 为σ-可积。 令0
sup n n k k X ζ++≥=，0
inf n n k k X ζ-+≥=，则
0n Y Y X ζ+≤-↑- 且 0n Y Y X ζ-≤+↑+ (..)a s 由条件期望的单调收敛定理可知
()()n E Y G E Y X G ζ+-↑-且()()n E Y G E Y X G ζ-+↑+ (..)a s 因而由条件期望的特殊性质1可知
()()n E G E X G ζ+↓ 且 ()()n E G E X G ζ-↑ (..)a s 又由条件期望的特殊性质2可知
()()()n n n E G E X G E G ζζ-+≤≤ (..)a s 所以，()()n E X G E X G → (..)a s 故 lim ()0n n E X X G →∞
-=
定理3 （均方误差最小定理） 设Y 是(,,)F P Ω上的任一随机变量，2EY <∞，G 是F 的一个子σ代数，则对每个G 上可测函数()2Z EZ <∞有
()()()
22E Y Z E Y E Y G ????-≥-??????
（6）
式中等号当且仅当()Z E Y G =，..a s 时成立。
证明：因为()()
E Z E Y G -<∞，是G 可测的，故有
()()()(
)()()()()
0E Z E Y G Y E Y G G Z E Y G E Y E Y G G ????--=--=????
..a s
()()(
)()()()()()()
2222E Y Z E Y E Y G E Z E Y G E Y E Y G Z E Y G ????????-=-+----????????????
()()()(
)
22
E Y E Y G E Z E Y G ????=-+-????????
故得 ()()()
22
E Y Z E Y E Y G ????-≥-??????
这也证明了（6）式成立的充要条件是()()
2
0E Z E Y G ??-=????
，
即()Z E Y G = ，..a s
说明：在最小二乘（均方）意义下，已知G 的条件下，()E Y G ，..a s 是Y 的 最佳预测。通常当观察到{}G X x ==时，()E Y x 是一切对Y 的估计值中均方误差最小的一个，则称之为Y 关于X 的回归。特别当()1,,n X X X =???，()G X σ=则在n R R →的一切可测函数g 中，在最小二乘意义下，()1,,n E Y X X ???是Y 的最佳预测。
4 条件期望的求法
在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧。本文对几种不同情形下的条件期望的求法做出讨论。
方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解
例 1 设12,,,n X X X ???是独立同分布随机变量，1E X <∞,记1n
k k S X ==∑，求
(),1,2,,k E X S k n =???。
解：首先证()(),i j E X S E X S i j =≠。
()i E X S 关于()S σ可测，()j E X S 关于()S σ可测，为此只需证 ()A S σ?∈,()()i j A
A
E X S dp E X S dp =??即可。
由
()()i i j j A
A
A
A
E X S dp X dp X dp E X S dp ===?
???，
可知i j ≠ 时，()()i j E X S E X S =几乎处处成立。 从而12()()n k E X X X S nE X S S ++???+==，即
(),..1,2,,k S
E X S a s k n n
=
=???。 方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的σ域可测或独立的随机变量之和, 利用条件期望的性质求和。
例 2 设有正态样本2
12,,,~(0,)n X X X N σ???，统计量1n
k k T X ==∑，求2()k E X T 。
解：令21
n
k k S X ==∑，则21
()()k E X T E S T n
=
。 作正交变换：1122n n Y X Y X Y C Y X ???? ? ? ? ? ? ?=?=? ? ??? ? ? ? ?????
，其中C 为正交阵，第一行为1
1,,n n ????? ???，
则有0EY =，(,)T
n Cov X Y CC I ==，即T 与22
n
k k Y =∑独立，2~(0,),2,,k Y N k n σ=???，
从而22
22
11
2n
n
n k
k
k k k k T S X Y Y n ======+∑∑∑。
2T 关于()T σ可测，所以()21
()k E X T E S T n
=
2222211
[()](1)n k k T T E Y T n n n n σ==++-∑
方法三：通过猜想，再利用公理化定义证明。
例 3 设X 服从标准正态分布，其概率函数()22
1
,2t x
F x e dt x R π
-
-∞
=
∈?
，求
()E X X 。
解：设{}1{}(,)A X x x R -=-∞∈,则A 是一个π类。
()
(),0X x A
A A E X X dP I XdP
令()102A B A A X
E X dP σ?
???
=∈=?? ?????
?,则A B ?。 下面先证B 是一个λ类， （i ）若A B ∈，
则
()()()0c
A A
E X X dP E X X dP E X X dP Ω
=-=
?
??，
即c A B ∈。
（ii ）若A B ∈，B B ∈，且AB ?=，则
()()()0A B
A
B
E X X dP E X X dP E X X dP +=+=?
??即A B B +∈。
（iii ）若n A ↑，且n A B ∈，则lim 1()lim ()n n n
k A n k E X X dP I A E X X dP →∞=??
=????
??
1
lim ()n
k n k I A E X X dP →∞
==?
lim ()n n IA E X X dP →∞
=?
0= 即lim n n
A B ∈。
综合（i ）、（ii ）、（iii ）可知B 是一个λ类，由πλ-定理可知，()B X σ=. 从而()A X σ?∈，()0A A
E X X dP dP =??，又0关于()X σ可测，即
()0,..E X X a s =
从以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，在具体的情形下我们必须从问题本身出发去寻求解决问题的方法，通过化简，将其转化为可测或独立于σ代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解。以上从三个方面给出了求解条件期望的三种途径，也是较多时候可以采用的三种途径。 5 条件期望的应用
5.1 利用条件期望计算数学期望
由条件期望的定义1可知，要计算()E X ，可取在条件Y y =下，X 的条件期 望的加权平均，加在每一项()E X Y y =的权重等于作为条件的那个事件的概率， 这是一个极为有用的结果，采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法，往往 能够较容易地把数学期望计算出来。下面举例说明其用法。
例4 假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量，进一步假设 每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量，且每个顾客消费的钱数与一天内 进入景点的游客数也是独立的，求某天游客总消费钱数的期望值。
解：令N 表示进入这个景点的游客人数，令i X 表示第i 个游客在这个景点消费的钱数，则所有游客消费的钱数为1N
i i X =∑，现在有
11
()N
N i i i i E X E E X N ==????=?? ?????∑∑
而()11()N
N i i i i E X N n E E X nE X ==??
=== ???∑∑ (由i X 与N 的独立性知)
其中()()i E X E X =。这意味着()1()N
i i E X N NE X ==∑，因此
()()()1
()506300N
i i E X E NE X E N E X ====?=????∑
故由上面的结果可知，某天有课总消费钱数的期望值为300元。
例5 一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通过一坑道，沿此坑道走3 小时可使他到达安全地点；第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道；第 三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。如设这矿工在任何时刻都等可能地选 定其中一个门，试问他到达安全地点平均要花多长时间？
解：令X 表示该矿工到达安全地点所需时间（单位：小时），Y 表示他最初 选定的门，应用全数学期望公式，有 ()()E X E E X Y ??=??
()()()()()()112233E X Y P Y E X Y P Y E X Y P Y ===+==+==
()()()1
1233
E X Y E X Y E X Y ??==+=+=??， 易知()13E X Y ==；
现在考虑计算()2E X Y =。设该矿工选择第二个门，他沿地道走5小时后又 转回原地，而一旦他返回原地，问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。因此，他要到达安全地点平均还需要()E X 小时，故 ()()25E X Y E X ==+； 类似地，有 ()()37E X Y E X ==+，
从而 ()()()1
3573E X E X E X =++++???
?。 解得 ()15E X =。 所以他到达安全地点平均要花15小时。
此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似，不再一一做一 说明。
例 6 箱内有a 个白球和b 个黑球，每次从中随机地取出一球，直到首次取得 白球为止，求被取出的黑球的平均数。
解：设X 表示被取出的黑球数，记(),a b M E X =，定义
1Y =，如第一个被抽出的球是白色；
0Y =，如第一个被抽出的球是黑色。
则 ()()()()(),1100a b M E X E X Y P Y E X Y P Y ====+==。 但是 ()10E X Y ==， (),101a b E X Y M -==+， ()0b
P Y a b
==+ 于是 (),,11a b a b b
M M a b -=
++， (),1,011
111a a M M a a =+=++, (),2,122
121
a a M M a a =+=++。 用归纳法易证 ,1
a b b
M a =+。
5.2 利用条件期望求随机变量的方差
因为对任一随机变量X ，有公式()()()2
2D X E X E X =-????，
因此可用条件期 望来计算方差。
例 7 若保单持有人在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为100000元； 若属于非意外死亡，赔付额为50000元；若不发生死亡则不赔付。根据历史数据 记录，发生意外和非意外死亡的概率分别是0.0005和0.0020，试讨论第i 张保单
理
赔的概率分布。
解：用I 表示理赔次数，1I =表示有死亡事故发生需要赔付；
0I =则表示事故发生不需要赔付。
若用A 表示需要赔付的数额，A 不再是一个常数，而是一个与I 有关的随 机变量，依题意有
()1,1000000.0005P I A ===，()0,500000.0020P I A === 而且令()1q P I ==，
则()()()11,1000000,500000.0025q P I P I A P I A =====+===，
()()10110.9975q P I P I -===-==。
因此，记i X IA =，其中A 的条件分布概率为
()5000010.8P A I ===，()10000010.2P A I ===
且有 ()()i i E X E E X I ??=??
()()()()0011i i P I E X I P I E X I ===+== ()()101q qE A I =-?+=
()()500005000011000001000001q P A I P A I ??===+==?? ()0.0025500000.81000000.2=??+? 150=
则 ()()()2
2i i i D X E X E X =-????
()()2
2
i i E E X I E X ??=-?
????? ()()()()()2
220011i i i P I E X I P I E X I E X ===+==-????
()221150qE A I ==-
()22220.0025500000.81000000.2150=??+?- 4977450=
例 8 接连做一独立重复试验，每次试验成功的概率为p 。设X 表示出现首 次成功所需的试验次数，求()D X 。 解：设1Y =，如第一次实验结果成功； 0Y =，如第一次实验结果失败。
因为 ()()22
E X E E X Y ??=??
()211E X Y ==
()()2
201E X Y E E X ??==+??
因此 ()()()()()221100E X E X Y P Y E X Y P Y ===+==
()()2
11p p E X ??=+-+??
()()2112p E X X =+-+
()
()()22111p p E X p -=++-
或 ()22
2p
E X p -=
故 ()()()2
2
2D X E X
E X ??=-??
2
221p p p ??-=- ???
21p
p -=
在实际生活中条件数学期望的应用也比较广泛，这需要仔细观察。 5.3 条件期望在商业决策中的应用
在商业竞争中，商家必须对某种商品未来一段时间内的销售状况作出合理的 预测，才能使自己获得最大利润，或使得损失最小。这就要求决策者们根据以往 的销售情况及最新的信息资料进行综合分析作出决策。利用贝叶斯公[]9
式计算条
件数学期望，就是商业决策中的一种方法，下面以具体实例来介绍此方法的运用。 例 9 三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器甲生产的占40%，机 器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%。 平均说来，机器甲生产的零件有10% 不合格，对于机器乙和丙，相应的百分数分别是5%和1%。如果从总产品中任意 的抽取一个零件，发现为不合格，试问： （1）它是由机器甲生产出来的概率是多少? （2）它是由哪一部机器生产出来的可能性最大?
分析：本例是在“取得的零件为不合格品”已经发生的条件下，计算该零件 由机器甲、乙、丙生产的概率，即由“结果”“推断”“原因”发生的概率。考虑 用贝叶斯公式，令
B =“取得的零件为不合格品”，
1A =“取得的零件由机器甲生产的”，
2A =“取得的零件由机器乙生产的”， 3A =“取得的零件由机器丙生产的”，
则 ()10.40P A =, ()20.25P A =, ()30.35P A =,
()
10.10P B A =, ()20.05P B A =, ()
30.01P B A =。
（1）根据题意指的是计算()1P A B ,由贝叶斯公式，有 ()()()
()()()()()()
111112233P A P B A P A B P A P B A P A P B A P A P B A =
++
()()()()()()()()
0.400.100.400.100.250.050.350.01=
++
0.04
0.056
=
0.714≈。
（2）类似（1）的计算，可得
()()()20.250.050.2230.056
P A B =≈，
()
()()30.350.010.0630.056
P A B =≈。
可见，机器甲生产的可能性最大。
例10某服装商场根据以往的资料，预测服装在未来一段时间内畅销的概率为0.4，滞销的概率为0.6，现有两种销售方案（1）打折处理：预计在商品畅销时可获利6万元，在商品滞销时可获利2万元；（2）对商品重新包装，做广告宣传，仍按原价销售，预计在商品畅销时可获利10万元，在商品滞销时将损失4万元。
为了做出正确决策，先进行了一段时间的试销，发现原来认为畅销的商品实际畅销的概率为0.6，实际滞销的概率为0.4；原来认为滞销的商品实际畅销的概率为0.3，实际滞销的概率为0.7，根据这些资料我们来分析一下，采用哪种销售方案最佳。
分析：我们用1A 表示预测商品畅销，2A 表示预测商品滞销，1B 表示实际商品畅销，2B 表示实际商品滞销，X 表示采取第一方案所取得的利润，Y 表示采取第二方案所取得的利润。
则X 取值为6，2，Y 取值为10，-4。且6X =与10Y =表示预测商品畅销，即事件1A ；2X =与4Y =-表示预测商品滞销，即事件2A 。
于是()10.4P A =，()20.6P A =，()110.6P B A =, ()210.4P B A =,
()120.3P B A =, ()220.7P B A =, 由贝叶斯公式知
()()()
()()()()11111111212P A P B A P A B P A P B A P A P B A =
+
0.40.64
0.40.60.60.37
?=
=?+?，
()()()
()()()()21221111212P A P B A P A B P A P B A P A P B A =
+
0.60.33
0.40.60.60.37
?=
=?+?，
()()()
()()()()12112121222P A P B A P A B P A P B A P A P B A =
+
0.40.48
0.40.40.60.729
?=
=?+?，
()()()
()()()()22222121222P A P B A P A B P A P B A P A P B A =
+
0.60.721
0.40.40.60.729
?=
=?+?。
因此，实际畅销商品采取第一方案的利润均值为 ()()()1116622E X B P X B P X B ==+=
()()
112143
6262 4.2977
P A B P A B =+=?
+?≈， 实际滞销商品采取第一方案的利润均值为
()()()2226622E X B P X B P X B ==+=
()()
12228216262 3.102929
P A B P A B =+=?
+?≈， 实际畅销商品采取第二方案的利润均值为
()()()()111101044E Y B P Y B P Y B ==+-=-
()()
112143
104104477
P A B P A B =-=?
-?=, 实际滞销商品采取第二方案的利润均值为 ()()()()222101044E Y B P Y B P Y B ==+-=-
()()
12228211041040.072929
P A B P A B =-=?
-?≈-。 由此可以看出，不论是实际畅销还是实际滞销的商品，采取第一销售方案的利润均值（条件期望）都大于第二方案，故应采取第一方案进行销售。 5.4 条件期望在预测中的应用
条件期望在预测问题中有重要作用，主要是通过“均方误差最小”解决一类 最优预测问题。
例 11 设身高为x ()cm 的男子其成年儿子的身高服从均值为3x +，方差为10的正态分布，问身高为175cm 的男子，其成年儿子的身高的最佳预测值是多少?
分析：令X 表示父亲身高，Y 表示儿子身高，则3Y X ζ=++，其中
()~0,10N ζ，ζ与X 独立，由条件期望的“均方误差最小”定理可知，Y
的最佳预测是
()()1753175E Y X E X X ζ==++=
()1753175178178()E X E cm ζζ=++==+=
例 12 设到达某车站的顾客数为参数是λ的泊松流，求在时间间隔(]0,t 中，
数学期望的计算及应用 数学与应用数学111 第四小组 引言： 我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即∑∞ == 1 )(k k k p x X E ；2. 应用随机变量函数的期望公式 ∑∞ ==1 )())((k k k p x q x q E 3. 利用期望的有关性质。但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将 介绍一些解决这些难题的简单方法。在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。 下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。 1. 变量分解法 ] 1[ 如果可以把不易求得的随机变量X 分解成若干个随机变量之和,应用)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++再进行求解得值， 这种方法就叫做变量分解法。这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。 例题1 ： 从甲地到乙地的旅游车上载有20位旅客，自甲地开出，沿途有10个车站，如到达一个车站没有旅客下车，就不停车，以X 表示停车次数，求E(X).(设每位旅客在各个车站下车是等可能的) 分析 ： 汽车沿途10站的停车次数X 所以可能取值为0，1，….，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X)，则需要分别计算{X=0}，{X=1}，…，{X=10}等事件的概率，计算相当麻烦。注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1对应起来，映入随机变量i X 每一种结果的概率较易求得。把X 分解成若干个随机变量i X 之和，然后应用公式)(...)()()...(2121n n X E X E X E E E X E ++=++就能最终求出E(X)。
1.1 分式 1.1.1分式的概念 （第1课时） 教学目标 1 了解分式的概念。 2 通过具体情境感受分数的基本性质并类比得出分式的基本性质。 3理解分式有意义的条件。 教学重点、难点： 重点：分式的概念和性质难点：理解分式的性质。 教学过程 一创设情境，导入新课 探究： 1把三个一样的苹果分给4位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？你怎么分给他们？（交流讨论） （1）每位小朋友分3 4 （2）分法： ①每个苹果切成四个相等的小块，共12块，每人分3块，这3块占一个苹果 的3 4 ②为了每个小朋友吃起来方便，每个苹果切成8块，共24块，每人分6块， 这六块占一个苹果的6 8 。 想想这两种分法分得的是否一样多？（36 = 48，即：3326 == 4428 ? ? ）由此表明了什 么？
分数的分子和分母都乘以或除以一个不等于零的数，分数的值不变。 分数的分子与分母约去共因数，分数的值不变。 这就是分数的基本性质。 2 (1)把上面问题变为：把3个一样的苹果分给n(m>0)位小朋友，每位小朋友分到多少苹果？ 用除法表示：3n ÷，用分数表示为：3n ，33n n ÷、相等吗？（33=n n ÷）这里的n 可以是实数吗？（n 不能为0） (2) 334n 与有什么区别？（后者分母含有字母）我们把前者叫分数，后者叫分式，什么叫分式呢？分式有没有和分数一样的性质？ 这节课我们来学习-----分式的基本性质。（板书课题） 二 合作交流，探究新知 1 分式的概念 填空： （1 ）如果小王用a 元人民币买了b 袋相同的瓜子，那么每袋瓜子的价格是______元。 （2）一个梯形木板的面积是6 2m ，如果梯形上底是am ，下底是bm ，那么这个梯形的高是________m. (3) 两块面积分别为a 亩，b 亩的稻田m kg ，n kg ，这两块稻田平均每亩产稻谷________kg. 观察多项式：12a m n b a b a b +++、、这些代数式有什么共同点特点？（分子分母都是整式，分母含有字母） 一般地，如果f 、g 分别表示两个整式，并且g 中含有字母，那么代数式 f g 叫分式。
条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it ’s application Abstract ：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it ’s application in geometry and in physical. Keywords ：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1 设X 是一个离散型随机变量，取值为},,{21 x x ，分布列为 },,{21 p p .又事件A 有0)( A P ，这时 ,2,1,) () }({)|(| i A P A x X P A x X P P i i A i 为在事件A 发生条件下X 的条件分布列.如果有 A i i i p x | 则称 A i i i p x A X E |]|[ ． 为随机变量X 在条件A 下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2 设X 是一个连续型随机变量，事件A 有0)( A P ，且X 在条件A 之
数学期望在生活中的应用 王小堂保亭中学 摘要：数学期望是随机变量的重要数字特征之一，也是随机变量最基本的特征之一。通过几个例子,阐述了概率论与数理统计中的教学期望在生活中的应用,文章内容包括决策、利润、彩票、医疗等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中颇有价值的应用。 关键词：随机变量，数学期望，概率，统计 数学期望(mathematical expectation)简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 随机变量的数学期望值： 在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望值（或数学期望、或均值，亦简称期望）是试验中每次可能结果的概率乘以其结果的总和。换句话说，期望值是随机试验在同样的机会下重复多次的结果计算出的等同“期望”的平均值。需要注意的是，期望值并不一定等同于常识中的“期望”——“期望值”也许与每一个结果都不相等。（换句话说，期望值是该变量输出值的平均数。期望值并不一定包含于变量的输出值集合里。） 单独数据的数学期望值算法： 对于数学期望的定义是这样的。数学期望 E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) X1,X2,X3,……,Xn为这几个数据，p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中p(X1),p(X2),p(X3),……p(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3,……,Xn出现的频率f(Xi).则：E(X) = X1*p(X1) + X2*p(X2) + …… + Xn*p(Xn) = X1*f1(X1) + X2*f2(X2) + …… + Xn*fn(Xn) 很容易证明E(X)对于这几个数据来说就是他们的算术平均值。 1 决策方案问题 决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案Ai(i=1,2,…m)在每个影响因素Sj(j=1,2,…,n)发生的情况下，实施某种方案所产生
分式的概念及基本性质-分式的运算
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期: ?
分式的概念及基本性质分式的运算一. 知识精讲及例题分析 （一)知识梳理 1. 分式的概念 形如A B (Ａ、B是整式,且Ｂ中含有字母,B≠0)的式子叫做分式。其中A叫分式的分子，Ｂ叫分式的分 母。 注: （１)分式的分母中必须含有字母 (2）分式的分母的值不能为零，否则分式无意义 2. 有理式的分类 有理式 整式 单项式 多项式分式 ? ? ? ? ? ? ? ? 3. 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变。 A B A M B M = ? ? , A B A M B M = ÷ ÷ (M为整式,且M≠0） ４. 分式的约分与通分 （1)约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分。 步骤： ①分式的分子、分母都是单项式时 ②分子、分母是多项式时 (2)通分:把n个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式,为进行分式加减奠定基础。 通分的关键是准确求出各个分式中分母的最简公分母，即各分母所有因式的最高次幂的积。 求最简公分母的步骤: ①各分母是单项式时 ②各分母是多项式时 5. 分式的运算 (1)乘除运算 (2）分式的乘方 （３)分式的加减运算 (4）分式的混合运算 【典型例题】 例1. 下列有理式中，哪些是整式,哪些是分式。 ab a 2 ， 1 x ， a 3 ,- - x x y ， x+1 π ， 1 4 () x y -, 1 y a b () +， 1 2 a- 例2．下列分式何时有意义 (1)x x - + 1 2 ??（２) 1 1 ||x- （３) 4 1 2 x x- (4） x x x 22 + 例３. 下列分式何时值为零
龙文教育学科教师辅导讲义 一、知识梳理 考 点 一 、 分 式 的 概 念 1、正确理解分式的概念： A A 整式A 除以整式B ，可以表示成 的形式。如果除式 B 中含有字母，那么称 为分式, B B 其中A 称为分式的分子, B 为分式的分母。对于任意一个分式，分母都不能为零。 【例 1】有理式（1）- ； （ 2） X ； （ 3） -2Xy ； （ 4） 3X y （ 5） 丄 x 2 x y 3 x -1 1 （6）—中，属于整式的有： _______________ ;属于分式的有： __________________ 。. 2、判断分式有无意义关键是看分母是否为零 x 2 亠亠、， 时，分式 有意义. x 2 x 3 （2）不要随意用“或”与“且” 学员姓名： 辅导科目：数学 年级：七年级（上） 学科教师：王恒 （1）例如，当x 为
例如当x时，分式有意义? 3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制. 【例2】当x x 1 时，分式——有意义?当x x-1 x 1 时，分式------- 无意义. x-1 考点二、分式的基本性质: 时，分式J值为0. x-1 1、分式的分子与分母都乘以（或除以） A 同一个不等于零的整式，分式的值不变?AM A AM ------- ，一----------- （M为不等于零的整式）B M B B M
（1）分式的基本性质是分式恒等变形的依据，它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基础，因此，我们要 正确理解分式的基本性质，并能 熟练的运用它. 理解分式的基本性质时，必须注意： ① 分式的基本性质中的 A 、B 、M 表示的都是整式. ② 在分式的基本性质中， M 工0. ③ 分子、分母必须“同时”乘以 M （M 工0），不要只乘分子（或分母）. ④ 性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的。但是 变形前后分式中字母的取值范围是变化的. （2）注意： ①根据分式的基本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变. ，分子与分母只能同乘以（或除以）同一个不等于零的整式，而不能同时加 上（或减去）同一个整式. 3、通分 通分的依据是分式的基本性质，通分的关键是确定最简公分母 ?最简公分母由下面的方法确定: （1） 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； （2） 最简公分母的字母，取各分母所有字母的最高次幕的积 ； 二、典型例题及针对练习 考点一、分式的概念 2 ②分式的基本性质是一切分式运算的基础 【例3】 A . F 列变形正确的是（ a b ). C. a b c a b a b a b c a b a b 【例4】 如果把分式 5x 2x y 中的x, y 都扩大3倍,那么分式的值一定（）. A.扩大3倍 2、约分 约分是约去分式的分子与分母的最大公约式 式的基本性质. B.扩大9倍 C.扩大6倍 D.不变 ,约分过程实际是作除法，目的在于把分式化为最简分式或整式 ，根据是分 【例5】约分（1） 2 3 16x y 20xy 4 (2) x 2 4 x 2 4x 4
实用文档 文案大全条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it's application Abstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it's application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各 点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）后的黎曼和.带有权重是曲线积 分与一般区间上的积分的主要不同点.物理学中的许多公式在推广之后都 是以曲线积分的形式出现.曲线积分是物理学中重要的工具. 1条件数学期望 1.1条件数学期望的定义 定义1设X是一个离散型随机变量，取值为},,{21?xx，分布列 为},,{21?pp.又事件A有0)(?AP，这时 ,2,1,)()}({)|(|??????iAPAxXPAxXPP iiAi
为在事件A发生条件下X的条件分布列.如果有 ???Aiii px| 则称 ??． Aiii pxAXE|]|[ 为随机变量X在条件A下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2设X是一个连续型随机变量，事件A有0)(?AP，且X在条件A 之 实用文档 ??????dxAXxf)|(称为随机变量文案大全下的条件分布密度函数为)|(Axf．若 X在条件A下的条件数学期望． 定义3设),(YX是离散型二维随机变量，其取值全体为 },2,1,),,{(??jiyx ii， 联合分布列为 ?,2,1,),,(????jiyYxXPp iiij， 在i yY?的条件下X的条件分布列为?,2,1),|(|????iyYxXPp iiji若 ???jiii px|， 则 ??? jiiii pxyYXE|]|[ 为随机变量X在i yY?条件下的条件数学期望． 定义4 设),(YX是连续型二维随机变量，随机变量X在yY?的条件下的条件密度函数为)|(|yxp YX，若 ??????dxyxpx YX)|(|， 则称
一、数学期望的定义及性质 （一）数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。 （二）数学期望的常用性质 1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）； 2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。 对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。 对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。
分式的概念和性质（基础） 【学习目标】 1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件. 2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】 【高清课堂403986 分式的概念和性质知识要点】 要点一、分式的概念 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式.其中A 叫做分子，B叫做分母. 要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母. （2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况. （3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个 常数，不是字母，如a π 是整式而不能当作分式. （4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式 不能先化简，如 2 x y x 是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， 不能看化简的结果. 要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件 1.分式有意义的条件：分母不等于零. 2.分式无意义的条件：分母等于零. 3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零. 要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零. （2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零. （3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值. 要点三、分式的基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 分式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M B B M B B M ?÷ == ?÷ ，（其中M是不等于零的整式）. 要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件. （2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有可能发生变化.例如：，在变形后， 字母x的取值范围变大了. 要点四、分式的变号法则
数学期望在经济生活中的应用 【摘要】数学期望是随机变量的重要数字特征之一。本文通过探讨数学期望在决策、利润、委托代理关系、彩票等方面的一些实例，阐述了数学期望在经济和实际问题中的应用。 【关键词】随机变量数学期望经济应用 数学期望(mathematical expectation)简称期望．又称均值，是概率论中一项重要的数字特征．在经济管理工作中有着重要的应用。本文通过探讨数学期望在经济和实际问题中的一些简单应用，以期起到让学生了解知识与人类实践紧密联系的丰富底蕴，切身体会到“数学的确有用”。 一．决策方案问题 决策方案即将数学期望最大的方案作为最佳方案加以决策。它帮助人们在复杂的情况下从可能采取的方案中做出选择和决定。具体做法为：如果知道任一方案A(i=1，2，?，m)在每个影响因素S(j=1．2，?，n)发生的情况下，实施某种方案所产生的盈利值及各影响因素发生的概率，则可以比较各个方案的期望盈利，从而选择其中期望盈利最高的为最佳方案。 1．风险方案 假设某公司预计市场的需求将会增长。目前公司的员工都满负荷地工作着．为满足市场需求，公司考虑是否让员工超时工作或以添置设备的办法提高产量。假设公司预测市场需求量增加的概率为P，同时还有1-p的可能市 是合算的。然而现实是不知道哪种情况会出现，因此要比较几种方案获利的 期望大小。用期望值判断，有：E(A 1)=30(1-p)+34p，E(A 2 )=29(1-p)+42p， E(A 3)=25(1-p)+44p。事实上．若p=0.8，则E(A 1 )-33.2（万）， E(A 2)=39.4(万)，E(A 3 )=40.2(万)，于是公司可以决定更新设备，扩大生产。 若p=O.5，则E(A 1)=32(万),E(A 2 )=35.5(万)，E(A 3 )=34.5(万)，此时公司 可决定采取员工超时工作的应急措施。由此可见，只要市场需求增长可能性在50％以上．公司就应采取一定的措施，以期利润的增长。 2．投资方案 假设某人用10万元进行为期一年的投资．有两种投资方案：一是购买股票：二是存入银行获取利息。买股票的收益取决于经济绝势，若经济形势
分式的概念 当两个整数不能整除时,出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ,B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子A B 叫做分式. 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时,注意以下三点: ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开. 分式有意义的条件 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时,分式无意义． 如:分式 1 x ，当0x ≠时,分式有意义;当0x =时，分式无意义. 分式的值为零 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零,注意是“同时”. 分式的基本性质 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值不变. 上述性质用公式可表示为：a am b bm =,a a m b b m ÷=÷（0m ≠). 注意：①在运用分式的基本性质时,基于的前提是0m ≠; ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据. 一、分式的基本概念 【例1】 在下列代数式中,哪些是分式?哪些是整式? 1t ，(2)3x x +,2211x x x -+-，24x x +,52a ,2m ,21321x x x +--，3πx -，323a a a + 【考点】分式的基本概念 【解析】根据分式的概念可知,分式的分母中必然含有字母， 由此可知1t ，2211x x x -+-,24x x +,21 321x x x +--,323a a a +为分式． (2)x x +， 5a ，2m ，3x -为整式. 【答案】1t ,1x -，24x x +，21 321x x x +--，3a 为分式
分式及分式的基本性质练习 题型 1：分式概念的理解应用 1．下列各式 a ， 1 ， 1 x y ， a 2 2 b ， 3x 2 ，0? 中，是分式的有 ___ __ ；是整式的有 _____ ． π x 1 5 a b 题型 2：分式有无意义的条件的应用 2．下列分式，当 x 取何值时有意义． （ 1） 2x 1 ； （ 2） 3 x 2 ． 3x 2 2 x 3 3．下列各式中，无论 x 取何值，分式都有意义的是（ ） ． 3x 1 2 A ． 1 1 B ． x 1 C D ． x 1 2x 2x x 2 2x 2 4．当 x ______时，分式 2 x 1 无意义． 3x 4 题型 3：分式值为零的条件的应用 2 1 5．当 x _______ 时，分式 x 的值为零． x 2 x 2 6．当 m ________时，分式 (m 1)(m 3) 的值为零． m 2 3m 2 题型 4：分式值为 1的条件的应 用 7．当 x ______时，分式 4x 3 的值为 1；当 x _______时，分式 4x 3 的值为 1 ． x 5 x 5 课后训练 基础能力题 8．分式 x ，当 x _______时，分式有意义；当 x _______时，分式的值为零． x 2 4 9．有理式① 2 ，② x y ，③ 1 ，④ x 中，是分式的有（ ） x 5 2 a 1 A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．①②③④ 10．分式 x a 中，当 x a 时，下列结论正确的是（ ） 3x 1 A ．分式的值为零； B ．分式无意义 C ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零； D ．若 a ≠ 1 时，分式的值为零 3 3 11．当 x _______时，分式 1 的值为正；当 x ______ 时，分式 4 的值为负． x 5 2 1 x 12．下列各式中，可能取值为零的是（ ） A ． m 2 1 B ． m 2 1 C m 1 D ． m 2 1 2 1 m 1 ． 2 1 m 1 m m 13．使分式 x 无意义， x 的取值是（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 1 D ． 1 | x | 1 拓展创新题 14．已知 y x 1 ， x 取哪些值时：（ 1） y 的值是正数；（ 2） y 的值是负数；（ 3） y 的值是零；（ 4）分式 2 3x 无意义． 题型 1：分式基本性质的理解应用
２ＱＱ２±：箜！塑工 －学术－理论现代衾案一 数学期望和方差的应用 陈奕宏张鑫 （武警广州指挥学院广东广州５１０４４０） 摘要：本文主要讨论随机变量的数学期望和方差的性质，利用随机变量的对称性可简化求数学期望和方差的计算过程： 关键词：对称性数学期望方差 在教学过程中，由于很多同学对概牢论巾的定义和性质认识不深刻，冈此对概率论巾的问题存在许多认识误区，进一步影响了计算、证明能力。 性质ｌ对随机变量ｘ和ｙ，则有Ｅ（ｎｎ簟Ⅸ＋Ｅｙ①性质２设随机变量ｘ和ｙ相互独立，贝咿育层陇ｎ＝Ｅｘ?Ｅｙ②定义ｌ设Ｘ是一个随机变量，若ＥＩ肛删Ｉｚ存在，则称其为Ｘ的方差，记为Ｄｘ。即 Ｄｘ＝坦Ｉｘ—Ｅｘ】２③显然可得：们，－ＥｌＸ一以】２ ＝Ｅ瞄２—２ｘＥＸ＋（踊２］ ＝麟ｚ一（删）：④性质３设随机变量ｘ和ｙ相互独立，则有层孵ｙ：净Ｅ孵?Ｅｙ２⑤证明：设随机变量Ｘ和ｙ的联合分布密度为ｍ砂），｜ｊｌ《为ｘ和ｙ相互独立，有 “ｒ，ｙ）＝＾（掌）。，ｒ（ｙ） ．’．Ｅ（ｘ２ｙ２）＝Ｊ一。Ｊ一。工２ｙ２“ｒ，ｊ，）ｄ膏咖 ＝ｅｅｘ２ｙ２以（ｒ）厂ｒ（ｙ）如咖 ＝Ｃｘ２＾（工）如Ｃｙ２加）咖 ：Ｅｘ２Ｅ】，２⑥性质４设随机变量ｘ和ｌ，，ｎ和西为常数，则有Ｅ（口Ｘ２＋６ｙ２）＝ｎ露ｘ２＋６曰ｙ２（Ｄ证明：设随机变量ｘ和ｌ，的联合分布密度为厂（ｘ，ｊ，），则有 Ｅ似ｘ２＋６ｙ２）＝Ｊ＋。Ｊ一。（口工２＋６ｊ，２）“ｒ，ｊ，）ｄ＿咖 ＝ｅ仁ｎｘ２ｆｌｘ，，Ｍｘｄｙ＋ｅ仁ｂ矿ｆＩｘ，ｙⅪｘｄｙ ，＋∞，＋∞ｒ十ｏ，＋∞ ＝ｎ＼一。＼一亭２ｆＩｘ，如ｄｘｄ，＋ｂ１．。１一。旷ｆＩｘ，，Ⅺｘｄｙ ＝口ｆ）２【ｅ№ｊ，）ｄｙ】ｄｒ拍ｅｊ，２【Ｃ“础）ｄｘ协 ＝口仁量２【ｅ，（Ⅵ）ｄｙＪｄｘ柏ｅｊ，２【Ｃ，（础）ｄｘ坳 ＝ｎ尽２以（ｒ）ｄｙ拍Ｄ２加）ｄｙ ＝口ＥＸ２＋西Ｅｙ２ 掣狮，＝∥茗引ｍ，＝驴㈣’翟引 求Ｅ伍２＋ｙ２）。 解：Ｅ（ｘ２＋ｙ２）＝Ｅｘ２＋Ｅｙｚ（南公式⑦） ＝Ｉ：一４ｒ３出＋炒．１２ｙ２（１＋ｙ）咖《 性质５设随机变量ｘ和ｙ卡Ｈ互独立，则有 Ｄ（ｘ的＝Ｄｘ?Ｄｙ＋（Ｅ幻２?Ｄｌ，＋（层ｙ）２?Ｄｘ⑧ 证明：ＯＤⅨｙ）＝层（ｘｙ）２一ＩＥ（ｘｙ）Ｊ２ ＝Ｅ（Ｘ２ｙ２）一（ＥＸ）２（Ｅ】，）２ 南公式⑤，所以 Ｄ（Ｘｎ＝ＥＸ２Ｅｙ２一（ＥＸ）２（Ｅ”２ ＝曰ｘ２Ｅｌ，２一（Ｅ的２ＥＰ＋（Ｅ的２（Ｅｌ，）２一（Ｅ抑２僻ｙ）２ ＝【层ｘ２一（ＥＸ）２】ＥＰ＋（Ｅｘ）２【（Ｅ】，）２一（日ｙ）２】 矗剪陋妒＋（雕净汗钮曙（联）辚苦帮 ＝ｎ碰Ｉｙ＋（ＥＹ）２Ｄｙ＋（Ｅｙ）２蹦 显然，若随机变量ｘ和ｙ独立，则可得Ｄ（ｘｎ＞Ｄｘ?Ｄｙ⑨例设随机变量ｘ和ｌ，相互独立，均服从Ⅳ（Ｏ，１）分布，ｆ＝ｘ—ｙ，叩＝ｘｙ，试求１）Ｄ叩；２）ｐ￡。。 解：１）方法一 ＯＸ和ｙ相互独立 ．‘．Ｄ即＝Ｄ（ｘｙ）＝Ｅ（ｘｌ，）２一【层（ｘ聊】２ ＝Ｅ（ｒ—ｌ，）２一（以Ｅ的２ ＝Ｅ舻ＥＰ（由公式⑤） ＝【脚“（Ｅ的２】【Ｄｙ；（Ｅ玢２】＝１ 方法二 ０Ｘ和ｙ相互独立 ．?．Ｄｑ＝Ｄ（ｘ】，）＝似Ｄｙ＋（Ｅ柳２Ｄｙ＋（目】，）２Ｄｘ＝ｌ（由公式⑧）２）ｏｐ。：』业 ｑ厩丽 又ＯｃｏＶ（ｆ，＇７）＝层【（ｆ—Ｅｆ）（＇７一露７７）ｊ ＝层（ｘ２ｙ）一Ｅ（ｘＰ）（把ｆ＝ｘ—ｙ，’７＝ｘｙ代人） 曲（南ｘ与ｒ鹃对称性）综上所述，本文主要讨论连续型随机变量的数字特征的性质，结合对随机变量的对称性可解决存概率论巾一些常见的求数［字特征的问题。 参考文献： …盛骤等编概率论与数理统计高等教育出版社２００１．１２口 现代企业教育ＭＯＤＥＲＮＥＮＴＥＲＰＲＩＳＥＥＤＵＣＡＴＩＯＮ１１７ 万方数据
分式（1）（分式概念、基本性质） 一、基础知识梳理： 1.分式的概念：一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 做分式。A 叫做分子，B 叫做分母. 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0. 2.分式的基本性质：分式的分子分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变. 3.分式的约分 (1)约分的概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． (2)分式约分的依据：分式的基本性质． (3)分式约分的方法：把分式的分子与分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式． 4.最简分式的概念：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式． 二、针对性练习： （一）、填空题： 1.对于分式 1 22 x x -+（1）当________时，分式的值为0 ； （2）当________时，分式的值为1；（3）当________时，分式无意义； （4）当________时，分式有意义. 2．填充分子，使等式成立； ()2 22(2)a a a -= ++； ()22233x x x -=-+- 3．填充分母，使等式成立：() 22 23434254x x x x -+-=- -- ； ()2 1a a a c ++=（a ≠0）. 4．化简：233812a b c a bc =_______；6425633224a b c a b c = ；22 4488a b a b -=- ；
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法 ABSTRACT：
第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1利用数学期望的定义，即定义法[1] 定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)( 1i n i i x p x ∑=
注意：这里要求级数)( 1i n i i x p x ∑ = 绝对收敛，若级数 []2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 解设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得= ) (X E10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松
分式的概念： 当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A B 叫做分式． 整式与分式统称为有理式． 在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0； ⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件： 两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义． 如：分式1 x ，当0 x≠时，分式有意义；当0 x=时，分式无意义． 分式的值为零： 分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质： 分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变． 上述性质用公式可表示为：a am b bm =， a a m b b m ÷ = ÷ (0 m≠)． 注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0 m≠； ②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据． 一、分式的基本概念 【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ 1 t ，(2) 3 x x+， 221 1 x x x -+ - ， 24 x x + ， 5 2 a ，2m， 2 1 321 x x x + -- ， 3 π x - ， 32 3 a a a + 【例2】代数式 2222 113 1 321223 x x x a b a b ab m n xy x x y +-- +++ + ，，，，，，，中分式有（） A.1个 B.1个 C.1个 D.1个 分式的基本概念及性质
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)= )(1 i n i i x p x ∑=
学期望不存在 [] 2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。 （1） 二点分布：X ~??? ? ??-p p 101 ，则()p X E = （2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1 )(= （4） 泊松分布：) (~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布： ),,(~M N n h X ,有N M n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望. 解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中 6,4,3N M n ===, 设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则 )32,3(~B Y ,23 2 3)(=?==np Y E 1.3 性质法
6、分式的概念、分式的基本性质 【知识精读】 分式的概念要注意以下几点： （1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式的分子可以含字母，也可以不含字母，但分母必须含有字母； （3）分式有意义的条件是分母不能为0。 分式的基本性质类似于分数的基本性质，是分式的符号变换法则、约分和通分的理论基础。在运用分式的基本性质时，要抓住对性质中的“都”与“同”两个字的理解，并注意法则中M “不为零”的条件。 下面我们通过习题进一步理解分式的有关概念。 【分类解析】 例1. 已知a b ，为有理数，要使分式 a b 的值为非负数，a b ，应满足的条件是（ ） A. a b ≥≠00， B. a b ≤<00， C. a b ≥>00， D. a b ≥>00，，或a b ≤<00， 分析：首先考虑分母b ≠0，但a 可以等于0，由a b ≥0，得a b ≥>00，，或a b ≤<00，，故选择D 。 例2. 当x 为何值时，分式||x x -+55 的值为零？ 分析：分式的值为零必须满足两个条件：（1）分子为零；（2）分母不为零。 解：由题意得，得||x x -==±505，，而当x =-5时，分母x +5的值为零。 ∴当x =5时，分式 55||+-x x 的值为零。 例3. 已知 113a b -=，求2322a ab b a ab b ----的值（ ） A. 12 B. 23 C. 95 D. 4
分析： 113113a b b a -=∴-=-，，将分式的分母和分子都除以ab ，得 23222231122333295a ab b a ab b b a b a ----=----=?----=()，故选择C 。 例4. 已知x y -=20，求x xy y x xy y 22 22323-++-的值。 分析：根据已知条件，先消元，再化简求值。 解： x y x y -=∴=202 ∴原式=-?+?+-()()2322223222 222y y y y y y =-=-y y 22717 例5. 已知：x x 210--=，求x x 44 1+的值。 解一：由x x 210--=得x ≠0，等式两边同除以x 得： x x -- =110，即x x -=11 x x x x 44441122+=+-+ =-+=-++=-+++=--++=+=()[()()]()()()[()]x x x x x x x x x x x x x x 222222221211211221142527 解二：由已知得：x x - =11，两边平方得：x x 2213+= 两边平方得：x x 44 17+ =
数学期望及其应用 Document serial number【KKGB-LBS98YT-BS8CB-BSUT-BST108】
本科生毕业论文 题目: 数学期望的计算方法与实际应用 专业代码: 070101 原创性声明 本人郑重声明: 所提交的学位论文是本人在导师指导下, 独立进行研究取得的成果. 除文中已经注明引用的内容外, 论文中不含其他人已经发表或撰写过的研究成果, 也不包含为获得聊城大学或其他教育机构的学位证书而使用过的材料. 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体, 均已在文中以明确方式标明. 本人承担本声明的相应责任. 学位论文作者签名: 日期 指导教师签名: 日期 目录
摘要 数学期望简称期望，又称均值，是概率论中一项重要的数字特征，它代表了随机变量总体取值的平均水平。数学期望的涉及面非常之大，广泛应用于实际生活中的各个领域。在实际生活中，有许多问题都可以直接或间接的利用数学期望来解决。其意义是运用对实践中抽象出来的数学模型进行分析的方法，从而达到认识客观世界规律的目的，为进一步的决策分析等提供准确的理论依据。 本文从数学期望的内涵出发，介绍了数学期望的定义、性质，介绍了数学期望的几种计算方法并举以实例，通过数学期望在医学疾病普查、体育比赛和经济问题中的应用的探讨。特别是在经济问题方面，本文又详细分为免费抽奖问题、保险公司获利问题、决定生产批量问题、机器故障问题、最佳进货量问题和求职决策问题，试图初步说明数学期望在实际生活中的重要作用，几个例子将数学期望与实际问题结合，用具体实例说明利用数学期望方法解决实际问题的可行性，体现了数学期望在生活中的应用。 关键词：概率论与数理统计；数学期望；性质；计算方法；应用 Abstract Mathematical expectation or expectations, also known as average, is very important digital features in the theory of probability, and it represents the overall average value random variables. Mathematical expectation is very big, widely applied in all fields in actual life. In real life, there are a lot of problems can be directly or indirectly solved by using the mathematical expectation. Its meaning is to use mathematical model to carry on the analysis of practice of abstracting