第6章 应力状态分析
一、选择题
1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。
2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。
（A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）AC AC /2,0ττσ==； （B
）AC AC /2,/2ττσ=； （C
）AC AC /2,/2ττσ==；（D
）AC AC /2,/2ττσ=-。
4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。
（A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的。
5、对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。 （A ）三种应力状态均相同；（B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同；
6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 解答：max τ发生在1σ成45o 的斜截面上
7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）脆性材料；
（B ）塑性材料；
（C ）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适用于（ C ）。
（A ）任何材料在任何变形阶级； （B ）各向同性材料在任何变形阶级； （C ）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D ）任何材料在弹性变形范围内。
解析：在推导公式过程中用到了虎克定律，且G 、E 、v 为材料在比例极限内的材料常数，故
适应于各向同性材料，应力在比例极限范围内
9、点在三向应力状态中，若312()σνσσ=+，则关于3ε的表达式有以下四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）3/E σ；（B ）12()νεε+；（C ）0；（D ）12()/E νσσ-+。
2(1)E G v =
+
解析： 10、图示单元体处于纯剪切应力状态，关于045α=方向上和线应变，现有四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）等于零；（B ）大于零；（C ）小于零；（D ）不能确定。 解析：
11、图示应力状态，现有四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）0z ε>；（B ）0z ε=；（C ）0z ε<；（D ）不能确定 。 解析： 12、某点的应力状态如图所示，当x σ、y σ、z σ，xy τ增大时，关于z ε值有以下四种答案，正确答案是（ A ）。
（A ）不变；（B ）增大；（C ）减小；（D ）无法判断。 解析： 与xy τ无关
13、在图示梁的A 点测得梁在弹性范围内的纵横方向的线应变x ε、y ε后，所能算出的材料常数有（ D ）。
（A ）只有E ；（B ）只有 v ；（C ）只有G ；（D ）E 、v 和G 均可算出。
解析：中间段为纯弯曲，A 点为单向拉伸， 则
14、纯剪应力状态下，各向同性材料单元体的体积改变有四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）变大；（B ）变小；（C ）不变；（D ）不一定 。 解析：因纯剪应力状态： 体积改变比能 二、填空题 1、图示单元体属于 单向（拉伸 ） 应力状态。
2、图示梁的A 、B 、C 、D 四点中，单向应力状态的点是 A 、B ，纯剪应力状态的点是 D ，在任何截面上应力均为零的点是 C 。
三、计算题
1、求图示单元体的主应力，并在单元体上标出其作用面的位置。 解答：
确定1σ 确定3σ
2、已知应力状态如图。试求主应力及其方向角，并确定最大切应力值。 解答：
()()()()3312312312121
,1
0v v E v v E εσσσσσσεσσσσ=
-+=+???
?∴=+-+=????()33121110xy xy xy v
v v E E E
εσσστττ+??=-+=--=
0()0z xy xy v v E E εεσσσττ??==
-+=--=?????
?()1
z z x y v E εσσσ??=-+??,2(1)y x X x x z
v Fa y
E I E
G v εεσσε=-?===
+()123123
,0,1212(0)0
600r r v v V E E V V V
V στσστ
σσσττ===---∴=++=+-=?∴==∴?=
确定1σ 所以090α+o 确定3σ
3、图示单元体，求：（1）指定斜截面上的应力：（2）主应力大小，并将主平面标在单元体图上。
解答：
确定1σ
所以090α+o 确定3σ 4、用解析法求图示单元体ab 面上的应力（0
30α=），并求max τ及主应力。
解答： 5
解答：
0α∴确定1σ，090α+o 确定3σ
6、 物体内某一点，载荷系统Ⅰ和载荷系统Ⅱ单独作用时产生的应力状态分别如图（a ）和（b ）
所示。试求两载荷系统同时作用时（仍处于弹性小变形）的主单元体和主应力。
解答：
7、构件上某点处的应力状态如图所示。试求该点处的主应力及最大切应力之值，并画出三向应力状态的应力圆。
解答：
8、图示单元体，已知
40MPa =及该点的最大主应力1120MPa σ=。求该点的另外两个主应力2σ、3σmax 解答：
9、试确定图示单元体的最大切应力，以及图示斜截面上的正应力和切应力。 解答：
10、已知受力构件某处的640010x ε-=?，50MPa y σ=，40MPa z σ=-，材料的E ＝200GPa ，v ＝0.3。试求该点处的y ε、z ε。
解答：
11、图示拉杆，F 、b 、h 以及材料的弹性常数E 、v 均为已知。试求线段AB 的正应变和转角。 解答:
12、求图示梁1—1截面B 点与水平方向成045角方向的线应变0
45ε。已知F ＝10kN ，l ＝4m ，h
＝2b ＝200mm ，E ＝1×104MPa ，v ＝0.25。 解答：
从s F 、M 图知，由于B 点在中性轴上，故为纯剪应力状态，对于纯剪应力状态，有： 13、空心圆轴外径D ＝8cm ，内径d ＝6cm ，两端受外力偶矩m 作用。测得表面上一点沿045方
向的线应变5
3410ε-=-?。材料弹性模量E ＝2×105MPa ，泊松比v ＝0.3，求外力偶矩m 。
max 3
min
60601200,200,300,604001cos 2sin 20cos120300sin120200300159.82222
400sin 2cos 2sin120300cos12032.3222
}2x y xy x y x y xy x y xy x y Mpa Mpa Mpa Mpa σσσσσστασσσσσατασστατασσ==-=-=+-=+-=++=-?+=-=+=-=+∴==o
o o o o o o Q 1230000360.56360.56,0,360.5622300tan 2 1.5;28.15400
28.15xy x y x y Mpa
Mpa Mpa σσσταασσσσα==±∴===-?=-=-==->∴=o
o
Q ()max min
77.77.7123max 13}{277.7,7.7,301
53.92
x y Mpa Mpa
Mpa Mpa Mpa
σσσσσσστσσ-+=∴==-=-=-=Q ()()245245454545454545cos cos 452
cos cos 4521112222122x AB AB v v F v E
bh
AB AB v F
bh
AB AB
σσσασσσσασσεσσσεεαε--∴==?===?-=
--??=-+=?=???
?=???-====?
o
o
o
o o
o
o
o
o
o o o
解答： 纯剪应力状态，则：
14、一个处于二向应力状态下的单元体，材料E ＝200GPa ，v ＝0.3，170MPa σ=，370MPa σ=-。求最大切应变max γ。
解答：
15、圆轴直径为d ，材料的弹性模量为E ，泊松比为v ，为了测得轴端的力偶m 之值，但只有一枚电阻片。试设计电阻片粘贴的位置和方向；若按照你所定的位置和方向，已测得线应变为0ε，则m ＝？
解答：
(1)电阻片沿图示45o 方向粘贴于轴的表面，设max ττ= (2)取单元体如图， 16、如图所示，薄壁圆筒受扭矩和轴向力作用。已知圆筒外径D ＝52mm ，壁厚t ＝2mm ，外力偶矩m ＝600N m ?，拉力F ＝20kN 。试用单元体表示出D 点的应力状态；求出与母线AB 成030角
的斜截面上的应力；求出该点的主应力与主平面位置（并在单元体上画出）。
解答：
17、一体积为10×10×10mm 3的立方铝块，将其放入宽为10mm 的刚性槽中，
已知v （铝）=0.33，求铝块的三个主应力。
解答：
18、外径为D 、内径为d 的空心圆轴受扭转时，若利用一电阻应变片作为测力片，用补偿块作为温度补偿，采用半桥接线。问：（1）此测力电阻片如何粘贴可测出扭矩；（2）圆轴材料的E 、v 均为已知，ε为测得的应变值，写出扭矩计算式。
解答：
(1)电阻片贴在与轴线成沿45o 方向，设max ττ= (2)取单元体如图，
19、一平均半径为R ，壁厚为t （t ≤R /10）的薄壁圆球受内压力p 作用。已知球体材料的E 、v ，求圆球半径的改变量。
解答：
取图示分离体，由经向平衡条件：
20、图示单元体，已知材料的弹性模量E ＝200GPa ，泊松比v ＝0.25。求：（1）体积应变；（2）体积改变比能（应变能密度）。
解答： （1） 体积应变 （2） 体积改变比能 21、已知某点的650010x ε-=?、640010y ε-=-?、620010xy γ-=?。求：（1）与x ε成060面上的0
60ε；
()max 34161xy m
D ττπα==
-()()123011230
30,0,1111116P v v v E E E E v
E d m T w v σ
τσστεεσσστττετεπτ===-+∴==-+=--=?????????∴=+∴===?
+()12323124sin 2,021R d Rd t pRd Rd pR t
vpR R R R v E Et θσθθθσσσσεσσσ??
??=? ???
∴====?==?-+=-????()66412120.253010751020010
x y z v E θσσσ---?=++=??=??
（2）该点的主应变。
解答: 孙书： 李书、刘书： 主应变：
第7章 强度理论及其应用
一、选择题
1、图示应力状态，按第三强度理论校核，强度条件有以下四种答案，正确答案是（ D ）。
（A ）[]xy τσ≤；（B []xy σ≤；（C ）[]xy σ≤；（D ）2[]xy τσ≤。 解答：
2四种答案，正确答案是（ B ）。
（A ）（a ）、（b ）都正确； （B ）（a ）、（b ）都不正确；
（C ）（a ）正确，（b ）不正确；（D ）（a ）不正确，（b ）正确 。
3、塑性材料的下列应力状态中，哪一种最易发生剪切破坏，正确答案是（B ）。 解答：
A 123313,/2,0,r σσσσσσσσ====-=
B 123313,0,/2,/23/2r σσσσσσσσσσ===-=-=+=
C 123313,0,r σσσσσσσ====-=
D 123313/2,0,/2,/2/2r στσσστσσσσσσσ====-=-=-=+=
4、两危险点的应力状态如图，且στ=，由第四强度理论比较其危险程度，有如下答案，正确答案是（ C ）。
（A ）（a ）应力状态较危险；（B ）（b ）应力状态较危险； （C ）两者的危险程度相同； （D ）不能判断 。
5、已知折杆ABC 如图示，AB 与BC 相互垂直，杆的截面为圆形，在B 点作用一垂直于ABC 平面的力F 。该杆的AB 段和BC 段变形有以下四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ） 平面弯曲；（B ） 斜弯曲；（C ） 弯扭组合；（D ） 拉弯组合。
6、一正方形截面钢杆，受弯扭组合作用，若已知危险截面上弯矩为M ，扭矩为T ，截面上A 点具有最大弯曲正应力σ及最大扭转切应力τ，其弯曲截面系数为W 。关于A 点的强度条件现有下列四种答案，正确答案是（ C ）。
（A ）[],[]σσττ≤≤；（B []W σ≤；
（C
[]σ；（D
[]W σ≤。
二、填空题
1、图示应力状态，按第三强度理论的强度条件为[]z xy στσ+≤。 （注：z xy στ>） 解答：
2、第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为r3σ及r4σ，对于纯剪切应力状态，恒有
r3σ/r4σ
解答：纯剪应力状态
3、一般情况下，材料的塑性破坏可选用 最大剪应力或形状改变能密度
强度理论；而材料的脆性破坏则选用 最大拉应力或最大伸长线应变 强度理论（要求写出强度理论的具体名称）。
4、危险点接近于三向均匀受拉的塑性材料，应选用 第一（最大拉应力） 强度理论进行计算，因为此时材料的破坏形式为 脆性断裂 。
三、计算题
1、试对给定应力状态：212MPa x σ=、212MPa y σ=-、212MPa xy τ=，确定材料是否失效： （1）对脆性材料用最大拉应力理论，若已知材料b 300MPa σ=；
（2）对塑性材料用最大切应力理论及形状改变比能理论，若已知材料s 500MPa σ=。 解答：
xy 平面内： （1）脆性材料：1
b σ=
（2）塑像材料：313299.8(299.8)599.6r s Mpa σσσσ=-=--=>故材料失效 2、已知某构件危险点的应力状态如图，[]160MPa σ=。试校核其强度。 （用第三强度理论） 解答：
在x ，y 平面内60,50x y xy Mpa Mpa σστ===-
3、钢制构件，已知危险点单元体如图所示，材料的240MPa s σ=，按第三强度理论求构件的工作安全因数。
解答： 在xz 平面内：
4、工字型截面钢梁，[]170MPa σ=，49940cm z I =，危险截面上S 180kN F =，100kN m M =?。校核梁的正应力及相当应力强度。（用第三强度理论）
解答：
3max max
8
100100.16161[]170994010z My Mpa Mpa
I σσ-??===<=?max
min 299.8299.8212212}{22x y Mpa Mpa
σσσσ-+-===
先对上下边缘进行强度校核：
其次对胶板剪缘分界处进行强度校核
但， 所以安全 5
、箱形截面梁，其截面尺寸如图。已知危险截面上S F =150kN m M =?，材料的[]170MPa σ=，[]100MPa τ=，全面校核梁的强度。
解答：
校核上下边缘的最大弯曲应力 其次对胶板剪缘分界处进行强度校核 校核交界处强度 按强度理论
不安全 6、空心圆轴的外径D ＝200mm ，内径d ＝160mm 。在端部有集中力F ，作用点为切于圆周的A
点。已知：F ＝60kN ，[]80MPa σ
=，l ＝500mm 。试：（1）校核轴的强度；
（2）标出危险点的位置（可在题图上标明）；（3）给出危险点的应力状态。 解答:
（1）危险截面在最左端面，在其截面上有
由于轴是塑性材料。故按第三强度理论进行强度校核 安全 （2）
（3）
7、图示水平放置的圆截面直角钢折杆，直径d ＝100mm ，l ＝2m ，q ＝1kN/m ，[]160MPa σ=。校核该杆的强度。
解答：
在危险截面A 上有 按第三强度理论 8、直径为d 的圆截面钢杆处于水平面内，AB 垂直于CD ，铅垂作用力12kN F =，26kN F =，
已知d ＝7cm ，材料[]110MPa σ=。用第三强度理论校核该杆的强度。
解答：
在危险截面A 上危险点在七上下边缘 由第三强度理论 安全 9、圆截面水平直角折杆,直径d ＝6cm ，0.8kN /m q =，[]80MPa σ=。试用第三强度理论校核其强度。
解答“
在危险截面A 上危险点在七上下边缘 由第三强度理论 安全
3
8100100.15151,0944010x
x y z
My Mpa z σσσ-??=====?176170 3.5%5%170-=<33
440.140.30.120.26 1.392101212
z I m -??=
-=?44max 0.140.020.1420.130.010.065 5.6110S m *-=??+???=?3max 4
150100.13140k x
My Mpa σ-??====3
195[]r Mpa σσ==>23,ql M T =364.4[]32r Mpa σσ==<1220.60.33,0.3 1.8M F F KN m T F KN m =+=?==?112 1.6,10.42
M q KN m T q KN m =??=?=??=?
10、直径为20mm 的圆截面折杆受力情况如图所示，已知：F ＝0.2kN ，材料的许用应力为[]170MPa σ=。试用第三强度理论确定折杆的长度a 的许用值。
解答：
在危险截面A 上危险点在七上下边缘 由第三强度理论 取 11、AB 、CD 两杆互相垂直，在水平面内，C 点的集中力2F 及D 点的集中力F 与刚架平面垂直。已知F ＝20kN ，l ＝1m ，各杆直径相同d ＝10cm ，[]70MPa σ=。试按最大切应力强度理论校核强度。
解答：在危险截面A 上危险点在七上下边缘
由第三强度理论 不安全
12、图示齿轮传动轴内电机带动，作用在齿轮上的力如图示，已知轴的直径d ＝30mm ，P ＝0.8kN ，Q ＝2kN ，l ＝50mm ，齿轮节圆直径D ＝200mm 。试用第三强度理论校核轴的强度。已知轴的[]80MPa σ=。
13、图示传动轴，皮带轮Ⅰ直径D 1＝80cm ，皮带轮Ⅱ直径D 2＝40cm ，已知轴的许用应力[]50MPa σ=。试以第四强度理论设计轴的直径d ，并指出危险截面位置，画出危险点的应力状态。
解答：
在危险截面A 上危险点在七上下边缘
由第四强度理论 取
14、图示拐轴于水平面内，受铅垂载荷1F 及水平载荷2F 作用，试按第三强度理论确定圆轴的AB 直径。已知：120kN F =，210kN F =，1150mm l =，2140mm l =，[]160MPa σ=。
解答：
作图知其危险截面为A 截面，在危险截面A 上有： 按第三强度理论 即
取 15、图示水平直径折杆受竖直力F 作用，已知轴直径d ＝100mm ，a ＝400mm ，E ＝200GPa ，v ＝0.25；在D 截面顶点K 测出轴向应变0ε＝2.75×10-4。试求该杆危险点的相当应力r3σ。
解答：
作图可知其危险截面在A 截面，危险点在其上下边缘，则有： 在危险截面上2,M F a T Fa =?=
2,M Fa T Fa
==[]299a mm
=,3M Fl T Fl
=
=,0.8M m T KN m
?=?0.09479a m
∴≥[]94.8a mm
=65.3d mm
=
所以在危险点处33
32134990.41230.1r Mpa σπ??? 16、一端固定的圆杆，直径为d ，长度为l ，载荷如图，指出危险截面、危险点的位置，写出危险点的应力式，按第三强度理论的相当应力式。
解答：
作图可知危险截面在A
按第三强度理论 17，14000N z P =，28000N y P
=，23000N z P =。AB 轴材料的许用应力[]50MPa σ=。求：
（1）指出危险截面，危险点的大概位置（标在图上）；（2）画出危险点应力状态并按静荷设计AB 轴的直径。
解答：
作图可知危险截面在D 左侧截面，危险点如图a 、b 两点，危险点a 的应力状态如图，危险截面上：
18、圆形截面的开口圆环，尺寸如图，在开口处作用一对垂直圆环平面的力F ，若[]600MPa σ=。试按第三强度理论求许可载荷[]F 。
解答：
考虑B 截面的上下边缘，在该截面上： 那个考虑A 截面处边缘，在该截面上：
19、一平均直径为D ，壁厚为t 的两端封闭的薄壁圆筒，当筒承受压力p 时，测得筒壁表面的轴向应变为x ε。已知材料的弹性模量E 和泊松比v ，求压力p 。
解答：
第8章 压杆稳定
一、选择题
1、长方形截面细长压杆，b /h ＝1/2；如果将b 改为h 后仍为细长杆，临界力F cr 是原来的多少倍？有四种答案，正确答案是（C ）。
（A ）2倍； （B ）4倍；（C ）8倍；（D ）16倍。 解答：因为 ，
2、压杆下端固定，上端与水平弹簧相连，如图，则压杆长度系数μ的范围有四种答案，正确
答案是（D ）。
（A ）0.5μ<；（B ）0.50.7μ<<；（C ）0.72μ<<；（D ）0.52μ<<。
3、图示中心受压杆（a ）、（b ）、（c ）、（d ）。其材料、长度及抗弯刚度相同。两两对比。临界力相互关系有四种答案，正确答案是（C ）。
3r σ==()2cr 2
E F I
ul π=
3
112I bh =
（A ）(F cr )a > (F cr )b ，(F cr )c < (F cr )d ；（B ）(F cr )a < (F cr )b ，(F cr )c > (F cr )d ； （C ）(F cr )a > (F cr )b ，(F cr )c > (F cr )d ；（D ）(F cr )a < (F cr )b ，(F cr )c < (F cr )d 。
4、图示（a ）、（b ）两细长压杆材料及尺寸均相同，压力F 由零以同样速度缓慢增加，则失稳先后有四种答案，正确答案是（B ）。
（A ）（a ）杆先失稳； （B ）（b ）杆先失稳； （C ）（a ）、（b ）杆同时失稳；（D ）无法比较。
5、细长压杆，若其长度系数μ增加一倍，则压杆临界力F cr 的变化有四种答案，正确答案是（C ）。 （A ）增加一倍； （B ）为原来的四倍； （C ）为原来的四分之一；（D ）为原来的二分之一。 解答：
6、两端球铰的正方形截面压杆，当失稳时，截面将绕哪个轴转动，有四种答案，正确答案是
（D ）。
（A ）绕y 轴弯曲；（B ）绕z 1轴弯曲；
（C ）绕z 轴弯曲；（D ）可绕过形心C 的任何轴弯曲。
7、正方形截面杆，横截面边长a 和杆长l 成比例增加，它的长细比有四种答案，正确答案是（B ）。
（A ）成比例增加；（B ）保持不变；（C ）按2(/)l a 变化；（D ）按2(/)a l 变化。
8、若压杆在两个方向上的约束情况不同，且y Z μμ>。那么该压杆的合理截面应满足的条件有四种答案，正确答案是（D ）。
（A ）y Z I I =；（B ）y Z I I <；（C ）y Z I I >；（D ）y Z λλ=。
9、两根细长杆，直径、约束均相同，但材料不同，且E 1＝2E 2，则两杆临界应力的关系有四种答案，正确答案是（B ）。
（A ）cr 1()σ＝cr 2()σ； （B ）cr 1()σ＝2 cr 2()σ； （C ）cr 1()σ＝cr 2()σ/ 2；（D ）cr 1()σ＝3 cr 2()σ。
10、两根中心受压杆的材料和支承情况相同，若两杆的所有尺寸均成比例，即彼此几何相似，则两杆临界应力比较有四种答案，正确答案是（A ）。
（A ）相等； （B ）不等；
（C ）只有两杆均为细长杆时，才相等；（D ）只有两杆均非细长杆时，才相等； 11、如果细长压杆有局部削弱，削弱部分对压杆的影响有四种答案，正确答案是（D ）。 （A ）对稳定性和强度都有影响； （B ）对稳定性和强度都没有影响； （C ）对稳定性有影响，对强度没影响；（D ）对稳定性没影响，对强度有影响。
12、细长压杆两端在x －y 、x －z 平面内的约束条件相同，为稳定承载能力，对横截面积相等的同一种材料，合理的截面形式有四种答案，正确答案是（C ）。
（A ）选（a ）组；（B ）选（b ）组；
()2cr 2
E F I
ul π=
（C ）选（c ）组；（D ）（a ）、（b ）、（c ）各组都一样；
二、填空题
理想压杆的条件是① 压力作用线与杆轴重合；② 材质均匀；③无初曲率。
2、非细长杆如果误用了欧拉公式计算临界力，其结果比实际大（危险）；横截面上的正应力有可能超过比例极限 。
3、将圆截面压杆改成面积相等的圆环截面压杆，其它条件不变，其柔度将 降低 ，临界应力将 增大 。
4、两根材料和约束均相同的圆截面细长压杆，l 2＝2l 1，若两杆的临界压力相等，则d 1 / d 2
5、三种不同截面形状的细长压杆如图所示。试标出压杆失稳时各截面将绕哪根形心主轴转动。（a ） 绕过形心的任意轴；（b ） y 轴 ；（c ） y 轴 。
6、当压杆有局部削弱时，因局部削弱对杆件整体变形的影响 很小 ；所以在计算临界应力时都采用 削弱前 的横截面面积A 和惯性矩I 。
7、提高压杆稳定性的措施有① 减小压杆长度；② 强化约束或增加约束数；③ 选择合理载荷；④ 选用合理材料 。
三、计算题
1、桁架ABC 由两根具有相同截面形状和尺寸以及同样材料的细长杆组成。确定使载荷F 为最大时的θ角（设0πθ<<）。
解答：1）由节点B 的平衡有:
cos NAB F F θ=,sin NBC F F θ=
2)设AC l =，则cos AB l β=，sin BC l β=
经分析，只有当AB 杆和BC 杆的内力都达到临界力时，F 才有最大值，即: , 又
3）综合两式可得， 即：2
tan t c ag θβ= 可解得45θ=o
2、角钢长3m ，两端固定，受轴向压力。已知443.9310mm x I =?，441.1810mm y I =?，
441.2310mm xy I =?，E ＝200GPa ，求该细长压杆的临界载荷F cr （图中C 为截面形心）。
解答:
3、图示结构，各杆均为细长圆杆，且均相同，求F 的临界值。 解答：各杆内力： （压），NBD F F ∴=（拉）
()
2NABcr 2cos NAB EI
F l F πβ==()
2NBCcr
2sin NBC EI F l F πβ==()()
2222
tan sin cos EI EI
l l ππθββ=min 2x y I I I +=Q
分析AB 、BC 、CD 、DA 杆受压存在稳定性问题，BD 杆受拉，不存在稳定； 当AB 、BC 、CD 、DA 四杆失稳时，F 达到峰值，故有： 故F 的峰值：
4
比d 1 / d 2，以及临界力之比(F cr )1 / (F cr )2。并指出哪根杆的稳定性好。
解答：由临界应力总图可知，cr σ相同，则λ值相同，12λλ= 对1杆， 对
2杆， 故：
12cr cr F F ∴>，即2杆稳定性好些。 5、图中AB 为刚体，圆截面细长杆1、2两端约束、材料、长度均相同，若在载荷F cr 作用下，
两杆都正好处于临界状态，求两杆直径之比d 2 / d 1。
解答：1）画变形图，受力图如图：
2）两杆都正好处于临界状态，有变形协调条件：212l l =V
V ，得 两杆都处于临界状态时，
两杆都正好处于临界状态条件： 即， 6、图示压杆，AC 、CB 两杆均为细长压杆，问x 为多大时，承载能力最大？并求此时承载能力与C 处不加支撑时承载能力的比值。
解答：1）承载能力最大的条件是AC 杆和BC 杆同时达到临界力，且相同 即： 即：()0.7x l x =- 2）对所承载的力与C 处不加支撑是承载的力的比值
7、图示1、2两杆为一串联受压结构，1杆为圆截面，直径为d ；2杆为矩形截面，b ＝3d /2，h ＝d /2。1、2两杆材料相同，弹性模量为E ，设两杆均为细长杆。试求此结构在xy 平面内失稳能承受最大压力时杆长的比值。 解答：分析两杆在x-y 平面内失稳，而能承受最大压力的条件是： 两杆同时达到临界力且相等，即12cr cr F F = 其中， 代入，可得：
可解得，
8、图示矩形截面细长压杆，下端固定，上端有一销孔，通过销轴转动。绘出xy 和xz 平面内压杆的两个计算简图，并求h 和b 的合理比值。
4
2
34
cr 2
64d Ed a F π===
11
11
1111
1
44
d i d μμμμμμλ==
=
=
1112220.720.72d l l d l l
μμ?===?2244244F l F l d d E E ππ∴
=g g 2222
112F d F d =22224224112
64
64
cr cr d E F d F d l
ππ==2211cr cr F F F F =4222421112 1.414d d d d ==()22cr crBC 2
2
0.7AC
EI EI
x l x F F ππ===-???
?()()
222
2
22
0.4120.7 2.89
0.412
0.7crAC crAB EI
l F EI F l ππ===()
()
224
cr12
2
1164
0.70.7EI
E
d l l F πππ=
=
g
解答：由图可取： 0.5b xy μμ==
在xy 平面内： 在xz 平面内，0.5b xy μμ==
a b λλ= 9、图示圆截面压杆d ＝40mm ，235MPa s σ=。求可以用经验公式cr 304 1.12σλ=-（MPa ）计算临界应力时的最小杆长。
解答：由于使用经验公式cr 304 1.12σλ=-的最小柔度是
又 10、截面为矩形b ×h 的压杆两端用柱形铰连接（在xy 平面内弯曲时，可视为两端铰支；在xz 平面内弯曲时，可视为两端固定）。E ＝200GPa ，P 200MPa σ=求：
（1）当b ＝30mm ，h ＝50mm 时，压杆的临界载荷；
（2）若使压杆在两个平面（xy 和xz 平面）内失稳的可能性相同时，b 和h 的比值。 解答：
11、试确定图示结构中压杆BD
失稳时的临界载荷F 值。 已知：E ＝2
×105MPa ，
200MPa p σ=。
解答：取研究对象，画受力图如图，其中BD 杆受拉 对于BD 杆， 代入得：
12E ＝200GPa ，P 200MPa σ=，求AB 杆的临界应力，并根据AB 杆的临界载荷的1/5确定起吊重量P 的许可值。
解答：1）求AB 杆的临界应力
2）由0D M =∑ 可知：20.2
sin 30 1.50crAB P F -?=o g 13、图示结构，CD 为刚性杆，杆AB 的E ＝200GPa ，P 200MPa σ=，240MPa s σ=，经验公式
cr 304 1.12σλ=-（MPa ），求使结构失稳的最小载荷F 。
解答： 对于AB 杆，
故AB 杆为中柔度杆。 故使结构失稳的最小载荷是 14、校核两端固定矩形截面压杆的稳定性。已知l ＝3m ，F ＝100kN ，b ＝40mm ，h ＝60mm 。材料的弹性模量E ＝200GPa ，P 196MPa σ=，稳定安全因数n st ＝3。
解答：
0.7a xz μμ=
=0.7
a xz μμ===0.74
s l
l
d i μλλ=
=
≥15774cr F kN == 1.5
1cos30173.20.0444AB p
l l d i μμλλ?
====>o 10.8800.044
l
i
μλ?==
=100,130p p l
ul
b i
μλλλ=
==
=
=
=>Q
15、图示结构中，二杆直径相同d ＝40mm ，p 100λ=，s 61.6λ=，临界应力的经验公式为
cr 304 1.12σλ=-（MPa ），稳定安全因数n st ＝2.4，试校核压杆的稳定性。
解答：由三角形法则可知，两杆压力100N F F kN ==
又压杆
则 故压杆稳定。
16、图示结构，由Q235钢制成，[σ]＝160MPa ，斜撑杆外径D ＝45mm ，内径d ＝36mm ，n st
＝3，斜撑杆的p 100λ=，s 61.6λ=，中长柱的cr 304 1.12σλ=-（MPa ），试由压杆的稳定计算，确定结构的许用载荷[F ]。
解答：1）对结构进行受力分析：
2）对BD 杆， 3）由1）可知， 17
E ＝200GPa ，P 200MPa σ=，
240MPa s σ=，直线公式的系数a ＝304MPa ，b ＝1.12MPa ，试求其工作安全因数。 18、图示结构，尺寸如图所示，立柱为圆截面，材料的E ＝200GPa ，P 200MPa σ=。若稳定安全因数n st ＝2，试校核立柱的稳定性。
解答：1）取研究对象如图，算工作压力
2）求crCD F 故立柱满足稳定条件。
19、图示结构，1、2杆均为圆截面，直径相同，d ＝40mm ，弹性模量E ＝200GPa ，材料的许用应力[σ]＝120MPa ，适用欧拉公式的临界柔度为90，并规定安全因数n st ＝2，试求许可载荷[F ]。
解答：1）由节点B 的平衡得： 2）杆1受拉为强度问题。
由杆1的强度条件 3）对于2杆，
故2杆为细长杆且受压，故为稳定问题。 故2杆工作压力
比较可得：
[
]71.6F kN =20、图示由五根圆形钢杆组成的正方形结构，连接处为铰结，各杆直径均为d ＝40mm ，材料为A3钢，[σ]＝160MPa
，求许可载荷[Ｆ]。
解答：由节点法求得各杆内力如图 对于AB 、BC 、CD 、DA 杆：
0.7
1cos3080.80.0404l i
μλ?
===o s p λλλ<<0,sin 45
12.572
A NBD NBD M F F F =?∴==∑o g 98.16BD l
i μλ====[]][]37.03614.412.57 2.57NBDcr NBD F F kN ====[]12
1
2
6
20.04
40.041201075.48N F
F
A F kN σππ=
=Q ()
3292N2cr 2
0.04200106424811kN F ππ????∴===?12471.6F kN
≤∴≤=[]N F =
且
查表可得0.604?= 由稳定条件AB 、BC 、CD 、DA 四杆为稳定问题。
对于BD
由具强度条件：
第9章 能量方法
一、选择题
1、图示四种结构，各杆EA 相同，在集中力F 作用下结构的应变能分别用ε1V 、ε2V 、ε3V 、ε4V 表示。下列结论中哪个是正确的？正确答案是（C ）。
（A ）ε1V > ε2V > ε3V > ε4V ；（B ）ε1V < ε2V < ε3V < ε4V ； （C ）ε1V > ε2V < ε3V > ε4V ；（D ）ε1V < ε2V > ε3V < ε4V 。
2、图示同一根梁的三种载荷情况，但均在线弹性范围内工作，试指出下列关系式中哪个是正确的？正确答案是（D ）。
（A ）12w w w ≠+；（B ）12θθθ≠+；（C ）12()()()M x M x M x ≠+；（D ）εε1ε2V V V ≠+。 3、悬臂梁如图所示。加载次序有下述三种方式：第一种为F 、m 同时按比例施加；第二种为先加F ，后加m ；第三种为先加m ，后加F ，在线弹性范围内它们的变形能应为（D ）。
（A ）第一种大 ；（B ）第二种大 ；（C ）第三种大 ；（D ）一样大 。
4、一受扭矩T 作用，直径为D 的圆轴，若改为外直径仍为D 而内直径为d 的空心圆轴，所受扭矩及其它条件均保持不变，则与实心圆轴相比，空心轴的应变能将是下列情况中的哪一种？正确答案是（A ）。
（A ）增加 ；（B ）减少 ；（C ）不变 ；（D ）与d / D 相关 。
5、图示梁B 端为弹簧支座，设在m 作用下，梁的应变能为ε1V ，弹簧的应变能为ε2V ，则A 截面的转角A θ应是下列式中的哪一个？正确答案是（C ）。
（A ）ε1/V m ??；（B ）ε2/V m ??；（C ）ε1ε2()/V V m ?+?；（D ）ε1ε2()/V V m ?-?。
6、图示刚架在A 点受铅垂力F 的作用，发生小变形，其应变能ε/2V F =??，式中的? 应是图中的哪个位移？正确答案是（C ）。
（A ）AA '；（B ）x ?；（C ）y ?；（D ）θ。
7、图示简支梁，利用卡氏第二定理表示C 、D 截面挠度的下列诸式中哪个是正确的？正确答案是（B ）。
（A ）C w ＝D ε/w V F =??；（B ）C w ＝D ε(/)/2w V F =??； （C ）ε/V F ??无意义；
（D ）C w ＝D ε/(2)w V F =?。
111000.044l i
μλ?===[][][][]2
60.04
0.604160101714
N F A F A kN
σ?σ?σπ?σ∴=≤?
≤?∴≤=???=
8、一刚架承载如图，其弹性变形能为εV ，则由卡氏第二定理ε/V F δ=??求得的应是下述的哪种位移？正确答案是（A ）。
（A ）截面A 水平位移和铅垂位移的代数和； （B ）截面A 水平位移和铅垂位移的矢量和； （C ）截面A 沿合力方向0(45)的位移； （D ）截面A 的总位移。
9、根据卡氏第二定理求图示梁B 截面的挠度时，下列答案中哪个是正确的？正确答案是（C ）。 （A ）B ε/w V F =??； （B ）B ε2(/)w V F =??； （C ）B ε(/)/2w V F =??；（D ）以上三式均不对。
10、一简支梁分别承受两种形式的单位载荷，其变形如图。下列关系式中哪个是正确的？正确答案是（C ）。
（A ）C1A2B2w θθ=+；（B ）C1A2B2w θθ=-；（C ）C2A1B1w θθ=+；（D ）C1A2B2w θθ==。 11、图示两相同的悬臂梁，A 点为梁中点，在图（a ）所示m 作用下，A ，B 两点的挠度和转角分别设为Aa w 、Ba w 、Aa θ、Ba θ；在图（b ）所示m 作用下，A ，B 两点的挠度和转角分别设为Ab w 、Bb w 、Ab θ、Bb θ。下列关系式中哪个是正确的？正确答案是（B ）。
（A ）Aa w ＝Bb w ；（B ）Aa θ＝Bb θ；（C ）Ba θ＝Ab θ；（D ）数值上Aa w ＝Bb w 。
12、图示两梁的材料、截面形状、尺寸和长度彼此相同。已知12F F ≠。下列关系中哪个是正确的？正确答案是（C ）。
（A ）21w ＝12w ；（B ）1F 21w ＝2F 12w ；（C ）2F 21w ＝1F 12w ；（D ）1F 11w ＝2F 22w ； 13、同一简支梁在图示两种不同载荷作用下产生变形，指出下列关系式中哪个是正确的？正确答案是（D ）。
（A ）AA AC θθ=； （B ）CA CC w w =；（C ）AA CC θθ=；（D ）AC CA w θ=。 14、图示梁为（B ）。
（A ）静定梁；（B ）一次静不定梁；（C ）二次静不定梁；（D ）三次静不定梁。 15、图示平面刚架的静不定次数为（B ）。
（A ）一次静不定 ； （B ）二次静不定 ；（C ）三次静不定 ；（D ）四次静不定 。 16、图示平面结构的静不定次数为（C ）。 （A ）5次；（B ）6次；（C ）7次；（D ）8次。
17、梁的受载情况如图所示。设F SC 和M C 分别表示梁中央截面上的剪力和弯矩，则下列结论中哪个是正确的？正确答案是（ A ）。
（A ）F SC ＝0，M C ＝0；（B ）F SC ≠0，M C ＝0； （C ）F SC ＝0，M C ≠0；（D ）F SC ≠0，M C ≠0。
18、等刚度平面刚架及所受载荷如图所示。截面C 上的内力有（D ）。 （A ）轴力、剪力和弯矩；（B ）轴力和剪力；（C ）剪力和弯矩；（D ）剪力。
二、填空题
1、图示左端固定的等直杆，拉压刚度EA 已知，该杆右端与刚性平面B 之间有空隙?。在F 力作用下，当C 截面的位移C ?＝?时，杆件的应变能εV ＝ 。
2、已知图（a ）所示梁C 截面的转角2C /(8)Fl EI θ=，则图（b ）所示梁B 截面的挠度
为 。
3、已知图示的梁在m 单独作用下，C 截面的挠度为3mm （↓），则在F 单独作用下D 截面
的转角为 0.006rad 逆时针方向 。
4、如图所示两简支梁，材料及所有尺寸相同。当力偶m 作用于梁①的截面1处，集中力F 作用于梁②的截面2处时，由 功的互等定理 定理可知m 、F 与θ、w 间的关系为 。
5、力F 可在梁上自由移动。为了测定F 力作用在C 处时梁的挠曲线，可以利用千分表测各截
面的挠度。问如不移动千分表而移动F 力，则千分表应放在x ＝l-a 处，其根据是 位移互等定理 。
6、图示结构受结构平面内的外力作用，试判断结构的静不定次数。 （a ） 1 次；（b ） 2 次；（c ） 4 次。
7、结构（a ）、（b ）、（c ）、（d ）的静不定次数分别为： （a ） 1 次；（b ） 1 次；（c ） 1 次 ；（d ） 0（静定） 次。 8、给出此静不定梁的至少三种可能取用的静定基。 9、画出图示受载由杆的三种静定基。
10、平面框架受切向分布载荷q ，则A 截面上的弯矩、轴力、剪力分别为：M A ＝ 0 ，F NA ＝ 0 ，F S A ＝ qb 。
11、图示静不定梁AC 段的挠曲线方程为EIw ＝—Fx 3 / 12 + M A x 2 / 2，则，M A ＝ 。 12、图（2）是图（1）所示静不定梁的基本静定系，其力法正则方程为11110F X δ+?=，则 ：11
δ的几何意义是 为X=1时在A 处产生的转角 ，1F ?的几何意义是 1F
?为F 作用下在A 处的转角 。
三、计算题
1、曲杆AB 的直径为d ，曲率半径为R ，弹性模量E 为已知，求曲杆的弹性变形能。 解答：()sin M FR θθ=
2、试用卡氏第二定理计算图示梁之横截面A 的挠度A w 和转角A θ。设抗弯刚度EI 为常数。
解答：令qa F =，另加f M 如图。
3、图示直角刚架，已知各杆的抗拉刚度EA 和抗弯刚度EI 为常数。试用卡氏第二定理求在一
对F 力作用下，A 、B 两点的相对位移。 解答：题目中给出了EA 和EI ，故需考虑轴力及弯矩对变形的影响，取坐标如图，任一截面上，
有()()cos45,sin 45N F x F M x F x ==o
o
g
2
F g V ()2
8ml EI
-↑1221m Ff θ=g 11δ()2
2
,1
f f qx M x Fx M M M
x F M =---??=-=-??
故变形能
故A 、B 两点的相对线位移为： 4、图示梁的抗弯刚度EI ，试用卡氏第二定理求中间铰B 处左右两侧截面的相对转角。 解答：为求相对转角B θ，加附加力偶f M 如图。取坐标如图，研究对象如图。 对于CB 段： 对于AB 段： 5、图示刚架，各段的抗弯刚度均为EI 。不计轴力和剪力的影响，用卡氏第二定理求截面D 的水平位移D
?和转角D
θ。
解答：；令D 处1F F =，B 处22F F =，取坐标如图所示。 对于DC 段： 对于BC 段： 对于AB 段： 故：
6、杆系如图所示，在B 端受到集中力F 作用。已知杆AB 的抗弯刚度为EI ，杆CD 的抗拉刚度为EA 。略去剪切的影响，试用卡氏第二定理求B 端的铅垂位移。
解答：由平衡条件，求支座反力如图，取坐标如图
在AB 段， 在BD 段， 在BC 段， 7、已知等截面小曲率曲杆的抗弯刚度为EI ，曲率半径为R ，若视AB 杆为刚性杆，试用卡氏第二定理求在F 力作用下，图示曲杆B 点水平位移及铅垂位移。
解答：为求Bx V 、By V
，加附加力如图 故：
8、已知梁的弯曲刚度EI 和支座B 的弹簧刚度k 。试用能量法求截面C 的挠度。 解答：由平衡条件求许用应力如图，取坐标如图
9、等直外伸梁受两个数值均为F 的集中载荷作用，如图所示。已知F 、a 及EI 。要求： （1）应用卡氏第二定理求D 点的挠度； （2）试证明在现在这种情况下ε/V F ??代表两个F 力作用点沿F 力方向的位移之和（即εC D /V F w w ??=+）。
解答：1）令D 处1F F =，C 处2F F =，取坐标求支座反力如图。 在BD 段： 在CB 段： 在AC 段： 2）12,F F F F ==Q
()()()0
2
202202
232222cos 45sin 452222443l N l V V M x dx F l EA EI F l F x dx EA EI F l F l EA EI εε=??
=+??????????=+??????=+????
??o o g g 32223AB V F
Fl F l EA EI ε?=???=+????V g ()()1111
,f f M M x x M x x l M l ?==?g ()()222222,12f f f M M x qx x M x M x l M l ?=-++=+?g ()()()
1111111,,1f f
M x M x M x F x M x F M ??=+==??()()1111,33M x x F
M x x F ?=-
=-?g ()()2222
,M x M x F x x F ?=-=-?g 44
,33
N N F F F F ?==
?()()()
022
22
3223
sin cos sin cos 2x y F F Bx x M M FR Rd R Rd EI F EI FR R d EI FR EI
π
π
πππ
πθθθθθθθθθ==---?-=????→?=-=←???V g g g ()11
2,3F M x x =g ()223
F M x x =g ()()
11111
1,
M x M x F x x F ?=-=?()()()()()122122221
11,22M x M x F F a x F x a x F ?=-+-=-+?g ()()()33321311
,22
M x x M x F F x F ?=-=-?
10、试用莫尔积分法求图示刚架C 截面处的水平位移。已知两杆EI 相等且为常数。（略去剪力和轴力对位移的影响）
解答：为求cx V ，加单位力如图，求得支座反力，并取坐标如图。 在AB 段：()()1111,M x qa x M x x ==g 在BC 段： 则：
11、试用莫尔积分法求图示结构C 点处的竖向位移C w 。
AC 杆的抗弯刚度EI 和BD 杆的抗拉压刚度EA 已知。受弯构件不计剪力和轴力的影响；BD 杆不会失稳。 解答：画单位力图，取研究对象，取坐标如图。 由0A M =∑，可知sin 452NBD F a F a ?=o
g g
可得
NBD F F ，同理，NBD F =对于CD 段：()()1111,M x Fx M x x =-=-
对于AD 段：()()()()2222sin 45,NBD M x F x a F a M x x a =-++?=-o g g
杆：NBD F =，NBD F =12、试用莫尔积分法求图示曲杆在F 力作用下，A 截面的水平位移A x ?及铅直位移A y ?。
EI 为已知。
解答：为求
Ax V 、Ay V
，加单位力如图所示。 13、
F 力作用，如图。试用莫尔积分法求开口处两截面的相对线位移和相对转角。EI 已知。 解答：为求 分别加单位力及单位力偶如图： 在AB 段： 在BC 段： 14、半径为R 的开口圆环受力如图所示，A 点F 力垂直纸面向外，B 点F 力垂直纸面向里。EI 及GI P 均为常数。试用莫尔积分法求开口处A 及B 两点的相对垂直线位移。
解答：加上单位力如图，取坐标如图。
15、等截面刚架如图所示，各杆的抗弯刚度EI 相同。试用单位载荷法计算截面A 的铅 直位移A w 。略去轴力及剪力对变形的影响。 解答：为求A f ，在A 处加垂直单位力如图。 取坐标如图，可求得：
在AB 段：()()1111,M x Fx M x x ==
在BC 段：()()223,M x Fa m Fa M x a =+==
16、图示刚架中各杆EI 相同。不计轴力及剪力对变形的影响。试用单位载荷法求B 截 面的转角B θ和A 、C 两点间的相对线位移AC ?。
解答：为求,B AC θV 分别加单位力偶及单位力，并取坐标如图。
()()2
222
223,22qx qa M x x M x x =-=g ()()()()()1122
1200
22
211222004444132
211281724a
a cx a a M x M x M x M x dx dx EI EI
qx qa qax dx x x dx EI qa qa EI EI qa EI ∴=+??=+- ?????=-????=→????V g g ()()()()()()112212002
2
2112003123a a NBD NBD C a a M x M x M x M x F F f dx dx EI EI EA F x a Fx dx dx EI EI EA Fa EI EA ∴=++-=++=+↓????g g ,,ACx AC ACy
θV V ()()()()()123sin ,sin ,1,1cos M FR M R M M R θθθθθθθ====-()()()()()123sin ,sin ,1,1cos M FR M R M M R βββββββ=-=-==-
在AB 段：()()()1111211,0,1sin 45M x Fx M x M x x =-==-o
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在BC 段：()()()212222,1,1sin 451cos 45M x Fl M x M x l x =-=-=-+o
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g g g g
在CD 段：()()()()331323,1,0M x F l x M x M x =-+=-=
17、对于图示刚架，试用单位载荷法计算杆AB 的转角。各杆的抗拉（压）刚度EA 相同，且均为常数。
解答：加单位力偶，并求各杆内力如图。
18、图示刚架中各杆的抗弯刚度EI 相同，试求载荷F 作用下C 截面的竖直位移C y ?。 （略去轴力及剪力的影响）
解答：取基本静定系统坐标如图，以c F 为多余约束力（一次静不定系统）
在BC 段： 在AB 段： 解得：
19、刚架如图所示，设EI 为已知。试求支座C 的约束反力。
解答：取基本静定系统及坐标如图，以c F 为多余约束力（一次静不定系统）
在BC 段： 在AB 段： 即： 可解得： 20、平面刚架ABC ，各杆的EI 相同且为常数，受力如图所示。求支反力、最大弯矩及其发生
位置。
解答：取基本静定系统及坐标如图，以c F 为多余约束力（二次静不定系统）
在BC 段： 在BD 段： 在AD 段： 得 由平衡可得 在A 处， 21、图示平面刚架，已知各段EI 相同且为常数。试求截面B 上的弯矩。
解答：取基本静定系统及坐标如图，以D F 为多余约束力（一次静不定系统）
在DC 段： 在BC 段： 在AB 段： 可解得： 22、对于图示平面刚架，不计轴力及剪力对变形的影响。求支座反力、最大弯矩及其发生位置。
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,0,c M x M x M x Fx x F F ??=-==-??()()()
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2D M x qx M x F ?=-=?()()221222
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M x qx
ql M x F x x F ?=--=?g ()()2333,22D D M x qx q M x F l ql x l
F ???=---= ????2132
D ql
F =
1. 图示悬臂梁，横截面为矩形，承受载荷F 1与F 2作用，且F 1=2 kN ，F 2=5 kN ，试计算梁 内的最大弯曲正应力，及该应力所在截面上K 点处的弯曲正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 (2) 最大弯矩（位于F 2作用点所在横截面）： M max =2kNm (3) 计算应力： 最大应力：MPa W M Z 9.4661080401029 23 max max =???==-σ K 点的应力：MPa I y M Z K 2.3512 1080401021233 max =???== -σ 1 z
5. 铸铁梁的载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力[σl ]=40 MPa ，许用压应力[σc ]=160 MPa 。 试按正应力强度条件校核梁的强度。若载荷不变，但将T 形截面倒置成为⊥形，是否 合理？何故？ 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是B 和C 截面 (2) 计算截面几何性质 形心位置和形心惯性矩 mm A y A y i Ci i C 5.15730 20020030100 3020021520030=?+???+??=∑∑= 4 6232 310125.60200 30)1005.157(12 2003020030)5.157215(1230200m I zC -?=??-+?+??-+?=(3) 强度计算 B 截面的最大压应力 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C C C zC M y MPa I σσ-??===?p B 截面的最大拉应力 3max 6 (0.23)2010(0.230.1575) 24.12 []60.12510B C t t zC M y MPa I σσ--?-===?p C 截面的最大拉应力 3max 6 10100.157526.2 []60.12510 C C t t zC M y MPa I σσ-??===?p 梁的强度足够。 (4) 讨论：当梁的截面倒置时，梁内的最大拉应力发生在B 截面上。 3max 6 20100.157552.4 []60.12510 B C t t ZC M y MPa I σσ-??===?f 梁的强度不够。 x
6.1. 矩形截面悬臂梁如图所示，已知l =4 m ， b / h =2/3，q =10 kN/m ，[σ]=10 MPa ，试确 定此梁横截面的尺寸。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： 2max 2 ql M = (2) 计算抗弯截面系数 32 323669 h bh h W === (3) 强度计算 2 2max max 33912[]29 416 277ql M ql h W h h mm b mm σσ= ==?≤∴≥==≥ 6.2. 20a 工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[σ]=160 MPa ，试求许可载荷。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知： No20a x ql 2x
max 23 P M = (2) 查表得抗弯截面系数 6323710W m -=? (3) 强度计算 max max 66 22 3[] 33[]3237101601056.8822 P M P W W W W P kN σσσ-===?≤????∴≤== 取许可载荷 []57P kN = 6.3. 图示圆轴的外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力。 解：(1) 画梁的弯矩图 由弯矩图知：可能危险截面是C 和B 截面 (2) 计算危险截面上的最大正应力值 C 截面： 3max 33 32 1.341063.20.0632 C C C C C M M MPa d W σππ??====? B 截面： 3max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (3) 轴内的最大正应力值 MPa C 2.63max max ==σσ x
土体应力计算 补充一、力学基础知识 材料力学研究物体受力后的内在表现，即变形规律和破坏特征。 一、材料力学的研究对象 材料力学以“梁、杆”为主要研究对象。
二、材料力学的任务 材料力学的任务：在满足强度、刚度、稳定性的要求下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，选择适宜的材料，而提供必要的理论基础和计算方法。 强度:杆件在外载作用下，抵抗断裂或过量塑性变形的能力。刚度:杆件在外载作用下，抵抗弹性变形的能力。 稳定性:杆件在压力外载作用下，保持其原有平衡状态的能力。 如：自行车结构也有强度、刚度和稳定问题； 大型桥梁的强度、刚度、稳定问题 强度、刚度、稳定性
三、基本假设 1、连续性假设：物质密实地充满物体所在空间，毫无空隙。（可用微积分数学工具） 2、均匀性假设：物体内，各处的力学性质完全相同。 3、各向同性假设：组成物体的材料沿各方向的力学性质完全相同。（这样的材料称为各项同性材料；沿各方向的力学性质不同的材料称为各项异性材料。） 4、小变形假设：材料力学所研究的构件在载荷作用下的变形与原始尺寸相比甚小，故对构件进行受力分析时可忽略其变形。 假设
四、杆件变形的基本形式
五、内力?截面法?轴力 1、内力 指由外力作用所引起的、物体内相邻部分之间分布内力系的合成（附加内力）。 2、截面法 内力的计算是分析构件强度、刚度、稳定性等问题的基础。求内力的一般方法是截面法。
（1）截面法的基本步骤： ①截开：在所求内力的截面处，假想地用截面将杆件一分为二。 ②代替：任取一部分，其弃去部分对留下部分的作用，用作用在截开面上相应的内力（力或力偶）代替。 ③平衡：对留下的部分建立平衡方程，根据其上的已知外力来计算杆在截开面上的未知内力（此时截开面上的内力对所留部分而言是外力） 截面法
材料力学应力状态
关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。
特别还要记住，这个公式里的夹角α是斜截面的外法线与σx 作用平
σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取；
弯 曲 应 力 基 本 概 念 题 一、择题(如果题目有5个备选答案，选出2～5个正确答案，有4个备选答案选出一个正确答案。) 1. 弯曲正应力的计算公式y I M z = σ的适用条件是（ ） 。 A . 粱材料是均匀连续、各向同性的 B ．粱内最大应力不超过材料的比例极限 C ．粱必须是纯弯曲变形 D ．粱的变形是平面弯曲 E ．中性轴必须是截面的对称轴 2. 在梁的正应力公式y I M z = σ中，I z 为粱的横截面对（ ）轴的惯性矩。 A . 形心轴 B ．对称轴 C ．中性轴 D ．形心主惯性轴 3. 梁的截面为空心圆截面，如图所示，则梁的抗弯截面模量W 为（ ）。 A . 32 3 D π B ． )1(32 4 3 απ-D C ． 32 3 d π D ． 32 32 3 3 d D ππ- E ．2 6464 44 D d D ππ- 题3图 题4图 4. 欲求图示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中，S *z 表示 的是（ ）对中性轴的静矩。 A ．面积I B ．面积Ⅱ C ．面积I 和Ⅱ D ．面积Ⅱ和Ⅲ E ．整个截面面积 -21-
5．欲求题4图所示工字形截面梁上A 点剪应力τ，那么在剪应力公式z z S bI S F *=τ中，b 应取（ ）。 A ．上翼缘宽度 B ．下翼缘宽度 C ．腹板宽度 D ．上翼缘和腹板宽度的平均值 6．图为梁的横截面形状。那么，梁的抗弯截面模量W z ＝（ ）。 A . 6 2 bh B ．32632d bh π- C ．2641243h d bh ? ??? ??-π D ．??? ? ?-???? ??-22641243d h d bh π 7．两根矩形截面的木梁叠合在一起(拼接面上无粘胶无摩擦)，如图所示。那么该组合梁的抗弯截面模量W 为( ) A . 62bh B ．??? ? ??622 bh C ．)2(612 h b D ．h bh 21222???? ?? 8．T 形截面的简支梁受集中力作用(如图)，若材料的[σ]- ＞[σ]+，则梁截面位置的合理放置为( )。 -22-
第 五 章 弯 曲 应 力 一、是非判断题 1、设某段梁承受正弯矩的作用，则靠近顶面和靠近底面的纵向纤维分别是伸长的和缩短的。 （ × ） 2、中性轴是梁的横截面与中性层的交线。梁发生平面弯曲时，其横截面绕中性轴旋转。 （ √ ） 3、 在非均质材料的等截面梁中，最大正应力max σ 不一定出现在max M 的截面上。（ × ） 4、等截面梁产生纯弯曲时，变形前后横截面保持为平面，且其形状、大小均保持不变。 （ √ ） 5、梁产生纯弯曲时，过梁内任一点的任一截面上的剪应力都等于零。 （ × ） 6、控制梁弯曲强度的主要因素是最大弯矩值。 （ × ） 7、横力弯曲时，横截面上的最大切应力不一定发生在截面的中性轴上。 （ √ ） 二、填空题 1、应用公式y I M z = σ时，必须满足的两个条件是 满足平面假设 和 线弹性 。 2、跨度较短的工字形截面梁，在横力弯曲条件下，危险点可能发生在 翼缘外边缘 、 翼缘腹板交接处 和 腹板中心 处。 3、 如图所示的矩形截面悬臂梁，其高为h 、宽为b 、长为l ，则在其中性层的水平剪力 =S F bh F 23 。 4、梁的三种截面形状和尺寸如图所示，则其抗弯截面系数分别为 226 1 61bH BH -、 H Bh BH 66132- 和 H bh BH 66132 - 。 x
三、选择题 1、如图所示，铸铁梁有A，B，C和D四种截面形状可以供选取，根据正应力强度，采用（ C ）图的截面形状较合理。 2、 如图所示的两铸铁梁，材料相同，承受相同的载荷F。则当F 增大时，破坏的情况是（ C ）。 A 同时破坏； B （a）梁先坏； C （b）梁先坏 3、为了提高混凝土梁的抗拉强度，可在梁中配置钢筋。若矩形截面梁的弯矩图如图所示，则梁内钢筋（图中虚线所示）配置最合理的是（ D ） A B C D A B D x
材料力学 第一章 a 绪论 变形固体的基本假设、内力、截面法、应力、位移、变形和应变的概念、杆件变形的基本形式 第一节 材料力学的任务与研究对象 1、 变形分为两类：外力解除后能消失的变形成为弹性变形；外力解除后不能消失的变形，称为塑性变形或 残余变形。 第二节 材料力学的基本假设 1、 连续性假设：材料无空隙地充满整个构件。 2、 均匀性假设：构件内每一处的力学性能都相同 3、 各向同性假设：构件某一处材料沿各个方向的力学性能相同。 第三节 内力与外力 截面法求内力的步骤：①用假想截面将杆件切开，得到分离体②对分离体建立平衡方程，求得内力 第四节 应力 1、 切应力互等定理：在微体的互垂截面上，垂直于截面交线的切应力数值相等，方向均指向或离开交线。 胡克定律 2、 E σε=，E 为（杨氏）弹性模量 3、 G τγ=，剪切胡克定律，G 为切变模量 第二章 轴向拉压应力与材料的力学性能 轴力和轴力图、直杆横截面上的应力和强度条件、斜截面上的应力、拉伸和压缩时杆件的变形、虎克定律、横向变形系数、应力集中 第一节 拉压杆的内力、应力分析 1、 拉压杆受力的平面假设：横截面仍保持为平面，且仍垂直于杆件轴线。即，横截面上没有切应变，正应 变沿横截面均匀分布N F A σ= 2、 材料力学应力分析的基本方法：①几何方程：const ε=即变形关系②物理方程：E σε=即应力应变 关系③静力学方程：N A F σ?=即内力构成关系 3、 N F A σ= 适用范围：①等截面直杆受轴向载荷（一般也适用于锥角小于5度的变截面杆）②若轴向载荷沿横截面非均匀分布，则所取截面应远离载荷作用区域 4、 圣维南原理（局部效应原理）：力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的 轴向范围约离杆端1—2个杆的横向尺寸 5、 拉压杆斜截面上的应力：0c o s /c o s N N F F p A A αασαα= ==；2 0cos cos p αασασα==， sin sin 22 p αασταα==；0o α=， max 0σσ=；45o α=，0 max 2 στ= 第二节 材料拉伸时的力学性能 1、 材料拉伸时经过的四个阶段：线弹性阶段，屈服阶段，硬化阶段，缩颈阶段 2、 线（弹）性阶段：E σε=；变形很小，弹性；p σ为比例极限，e σ为弹 性极限 3、 屈服阶段：应力几乎不变，变形急剧增大，含弹性、塑性形变；现象是出 α p α α τα
第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥
(2) 主应力大小及主平面位置，并将主平面标在单元体上。 解：(1) MPa 6.762sin 2cos 2 2 =--+ += ατασσσσσα x y x y x MPa 7.322cos 2sin 2 -=+-=ατασστα x y x (2) 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+=98.12198.81-=MPa 98.811=σMPa ，02 =σ，98.1213-=σ MPa 35.3940 200 arctan 21)2arctan( 2 10== --=y x xy σστα 2. 解：取合适坐标轴令25=x σ MPa ，9.129-=x τ由02cos 2sin 2 120 =+-= ατασστxy y x 得125-=y σMPa 所以2 2m in m ax )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-± += 200 100 15050)9.129(755022-= ±-=-+± -= MPa 1001=σ MPa ，02=σ，2003-=σ MPa 3. 一点处两个互成 45平面上的应力如图所示，其中σ未知，求该点主应力。 解：150=y σ MPa ，120-=x τ MPa
由 ατασστ2cos 2sin 2 45 xy y x +-= 802 150 -=-= x σ 得 10-=x σ MPa 所以 2 2min max )2 (2xy y x y x τσσσσσσ+-±+= 22 .7422.214-= MPa 22.2141=σ MPa ，02=σ，22.743-=σ 4. 图示封闭薄壁圆筒，内径100=d mm ，壁厚2=t mm ，承受内压4=p MPa ，外力偶矩192.0=e M kN ·m 。求靠圆筒内壁任一 点处的主应力。 解：75.505.032 ) 1.0104.0(π1019 2.0443 =?-?= x τ MPa 504==t pd x σ MPa 1002==t pd y σ MPa 35.497.100)2 (22 2min max =+-±+=xy y x y x τσσσσσσ MPa 7.1001=σ MPa ，35.492=σ MPa ，43-=σ MPa 5. 受力体某点平面上的应力如图示，求其主应力大小。 解：取坐标轴使100=x σMPa ，20=x τ α τασσσσσα2sin 2cos 2 2 x y x y x --+ += ' 45-M e
弯曲应力 6-1 求图示各梁在m －m 截面上A 点的正应力和危险截面上最大正应力。 题 6-1图 解：（a ）m KN M m m ?=-5.2 m KN M ?=75.3max 488 44 108.49064 1010 64 m d J x --?=??= = ππ MPa A 37.20108.490104105.28 2 3=????=--σ （压）
MPa 2.3810 8.4901051075.38 23max =????=--σ （b ）m KN M m m ?=-60 m KN M ?=5.67max 488 331058321210181212m bh J x --?=??== MPa A 73.6110583210610608 2 3=????= --σ （压） MPa 2.10410 5832109105.678 23max =????=--σ （c ）m KN M m m ?=-1 m KN M ?=1max 4 8106.25m J x -?= 3 6108.7m W x -?= cm y A 99.053.052.1=-= MPa A 67.38106.251099.01018 2 3=????= --σ （压） MPa 2.12810 6.251018 3 max =??=-σ 6-2 图示为直径D ＝6 cm 的圆轴，其外伸段为空心，内径d ＝4cm ，求轴内最大正应力。
解：)1(32 43 1απ-= D W x ??? ? ? -???= -463 )64(11032 6π 3 6 1002.17m -?= 346 33 21021.2132 10632 m D W x --?=??= = ππ MPa 88.521002.17109.06 3 1=??=-σ MPa 26.551021.2110172.16 3 1=??= -σ MPa 26.55max =σ 6-3 T 字形截面铸铁梁的尺寸与所受载荷如图示。试求梁内最大拉应力与最大压应力。已知I z =10170cm 4，h 1=9.65cm ，h 2=15.35cm 。 解：A 截面： Mpa 95.371065.910 101701040283 1 max =????=--σ （拉）
一、判断题（正确打“√”，错误打“X ”，本题满分为10分） 1、拉杆伸长后，横向会缩短，这是因为杆有横向应力的存在。( ) 2、圆截面杆件受扭时，横截面上的最大切应力发生在横截面离圆心最远处。( ) 3、两梁的跨度、承受载荷及支承相同，但材料和横截面面积不同，因而两梁的剪力图和弯矩图不一定相同。( ) 4、交变应力是指构件内的应力，它随时间作周期性变化，而作用在构件上的载荷可能是动载荷，也可能是静载荷。( ) 5、弹性体的应变能与加载次序无关，只与载荷的最终值有关。（ ） 6、单元体上最大切应力作用面上必无正应力。( ) 7、平行移轴公式表示图形对任意两个相互平行轴的惯性矩和惯性积之间的关系。（ ） 8、动载荷作用下，构件内的动应力与材料的弹性模量有关。( ) 9、构件由突加载荷所引起的应力，是由相应的静载荷所引起应力的两倍。( ) 10、包围一个点一定有一个单元体，该单元体各个面上只有正应力而无切应力。( ) 二、选择题（每个2分，本题满分16分） 1．应用拉压正应力公式A F N =σ的条件是（ ）。 A 、应力小于比例极限； B 、外力的合力沿杆轴线； C 、应力小于弹性极限； D 、应力小于屈服极限。 2．梁拟用图示两种方式搁置，则两种情况下的最大弯曲正应力之比 ) (m ax )(m ax b a σσ 为 （ ）。 A 、1/4； B 、1/16； C 、1/64； D 3 A B C 、有应力不一定有应变，有应变一定有应力； D 、有应力一定有应变，有应变一定有应力。 4、火车运动时，其轮轴横截面边缘上危险点的应力有四种说法，正确的是 。 A ：脉动循环应力： B ：非对称的循环应力； C ：不变的弯曲应力；D ：对称循环应力 5、如图所示的铸铁制悬臂梁受集中力F 作用，其合理的截面形状应为图（ ） 6、对钢制圆轴作扭转校核时，发现强度和刚度均比规定的要求低了20%，若安全因数不 (a (b
材料力学二 1、横力弯曲梁，横截面上（）。[C] A、仅有正应力 B、仅有切应力 C、既有正应力，又有切应力 D、切应力很小，忽略不计 2、一圆型截面梁，直径d=40mm，其弯曲截面系数W Z为（）。[B] A、1000πmm3 B、2000πmm3 C、400πmm2 D、400πmm3 3、弯曲梁上的最大正应力发生在危险截面（）各点处。[B] A、中性轴上 B、离中性轴最远 C、靠近中性轴 D、离中性轴一半距离 4、考虑梁的强度和刚度，在截面面积相同时，对于抗拉和抗压强度相等的材料（如碳钢），最合理的截面形状是（）。[D] A、圆形 B、环形 C、矩形 D、工字型 5、两梁的横截面上最大正应力相等的条件是（）。[B] A、M MAX与横截面积A相等 B、M MAX与W Z（抗弯截面系数）相等 C、M MAX与W Z相等，且材料相同 D、都正确 6、提高梁的强度和刚度的措施有（）。[c] A、变分布载荷为集中载荷 B、将载荷远离支座 C、将梁端支座向内侧移动 D、撤除中间支座 7、一铸铁梁，截面最大弯矩为负，其合理截面应为（B）。 A、工字形 B、“T”字形 C、倒“T”字形 D、“L”形 8、图示三种截面的截面积相等，高度相同，试按其抗弯截面模量由大到小依次排列（ B ） A、ABC B、CBA C、CAB D、BAC 9、几何形状完全相同的两根梁，一根为铝材，一根为钢材，若两根梁受力状态也相同，则它们的（ A ） A、弯曲应力相同，轴线曲率不同 B、弯曲应力不同，轴线曲率相同 C、弯曲应力和轴线曲率均相同 D、弯曲应力和轴线曲率均不同 10、设计钢梁时，宜采用中性轴为（ A ）的截面 A、对称轴 B、靠近受拉边的非对称轴 C、靠近受压边的非对称轴 D、任意轴 11、关于图示梁上a点的应力状态有下列四种答案：正确答案是（ D ）
第七章应力状态和强度理论习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A点和B点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a）] 解：A点处于单向压应力状态。 2 2 4 4 1 2 d F d F F A N Aπ π σ- = - = = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 3 3 16 16 1d T d T W T P Aπ π τ- = = = MPa mm mm N 618 . 79 80 14 .3 10 8 16 3 3 6 = ? ? ? ? = [习题7-1（b）] 解：A点处于纯剪切应力状态。 = ∑A M 4.0 2 8.0 2.1= ? - - ? B R ) ( 333 .1kN R B = A σ A τ
)(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa mm mm mm N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa mm mm mm N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa mm mm N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa mm mm N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x =σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 0x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/3003002 2 ==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆
6.1.矩形截而悬臂梁如图所示，已知1=4 b/h=2!3, q二10 kN/m, [cr]=10 MPa,试确 定此梁横截面的尺寸. max 2 (2)计算抗弯截面系数 2,3 W 如31" yy = ----- = ------- =— 6 6 9 (3)强度计算 0尸 max W M 2 h3~[ T /9X10X103X42心 /. h > / —— = 3 ------------------- - - =416〃〃〃 \2[(T] V 2xl0xl06 b > 277mm 62 20a工字钢梁的支承和受力情况如图所示，若[a]=160 MPa,试求许可载荷。 由弯矩图知:
2P = = J_.pgE W W 3W .? A 哄=3x237xl0F60>d。”= %.8 球 2 取许可载荷 [P] = 57AN 解：(1)画梁的弯矩图 M c M c 32xl.34xl03 =—=—Y = :— = 63.2MPa W c诚;. n x 0.06? "3T B截面: 0.9xlO3 5 z 4——；------------ -- = 62.1 MPa 力以八d；、〃x0.06 〃 0.045、 ---- U ——r)------------ (1 —----- r-) 32 矶32 0.064 (3)轴内的最大正应力值 (2)查表得抗弯截面系数 (3)强度计算 2P 、=—— W =237x10^7/1 max bfmax 63.图示圆轴的外伸部分系空心轴.试作轴弯矩图，并求轴内最大正应力. 由弯矩图知：可能危险截面是C和B截而 (2)计算危险截而上的最大正应力值 C截面：
材料力学习题册答案-第7章-应力状态
第七章应力状态强度理论 一、判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×)原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×)原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×)原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×)原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态
二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥ 6、下列结论那些是正确的： ( A ) (1) 单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零； （2）单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零；
6、1、 矩形截面悬臂梁如图所示,已知l =４ m , b / ｈ =2/3，q =10 kN/m ,[σ]=１0 MPa , 试确定此梁横截面得尺寸。 解：(１) 画梁得弯矩图 由弯矩图知： (2) （3) 强度计算 6.２. 20a 工字钢梁得支承与受力情况如图所示，若[σ］=160 M Ｐa ,试求许可载荷。 解:(1） 由弯矩图知: (2） (３) 强度计算 取许可载荷 6、３、 图示圆轴得外伸部分系空心轴。试作轴弯矩图,并求轴内最大正应力。 解：(1) (2) Ｃ截面: B 截面： 3 max 34 3444 0.91062.10.060.045(1)(1)32320.06B B B B B B B M M MPa D d W D σππ?====?-- (３) 轴内得最大正应力值 ６、５、 把直径ｄ=１ m 得钢丝绕在直径为2 ｍ得卷筒上,设E =2００ GP ａ，试计算钢 丝中产生得最大正应力。 解:（1） 由钢丝得曲率半径知 （2） 钢丝中产生得最大正应力 No20a x x ql x
6、８、压板得尺寸与载荷如图所示。材料为45钢,σｓ＝380 MPa,取安全系数n=1、5。试 校核压板得强度。 解：(1） (2） 3 63 3 12 ) 1.56810 20 m - -=? (3) 强度计算 许用应力 强度校核 压板强度足够. ６、12、图示横截面为⊥形得铸铁承受纯弯曲,材料得拉伸与压缩许用应力之比为[σt]/［σc］=1/4。求水平翼缘得合理宽度ｂ。 解：(1) (2) 6、1３、MPa,许用压应力为 [σc]=16０MＰa,截面对形心z c zｃ1=96.4 mm，试求梁得许用载荷Ｐ。 解：（1） （２） A A C截面得最大拉应力 取许用载荷值 ６、14、铸铁梁得载荷及截面尺寸如图所示。许用拉应力［σl］=40 MPａ，许用压应力[σｃ]=1６0MＰa.试按正应力强度条件校核梁得强度。若载荷不变,但将 T形截面倒置成为⊥形,就是否合理？何故? A-A x
第6章 应力状态分析 一、选择题 1、对于图示各点应力状态，属于单向应力状态的是（A ）。 （A ）a 点；（B ）b 点；（C ）c 点；（D ）d 点 。 2、在平面应力状态下，对于任意两斜截面上的正应力αβσσ=成立的充分必要条件，有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 （A ）,0x y xy σστ=≠；（B ）,0x y xy σστ==；（C ）,0x y xy σστ≠=；（D ）x y xy σστ==。 3、已知单元体AB 、BC 面上只作用有切应力τ，现关于AC 面上应力有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）AC AC /2,0ττσ==； （B ）AC AC /2,/2ττσ=； （C ）AC AC /2,/2ττσ==；（D ）AC AC /2,/2ττσ=-。 4、矩形截面简支梁受力如图（a ）所示，横截面上各点的应力状态如图（b ）所示。关于它们的正确性，现有四种答案，正确答案是（ D ）。 （A ）点1、2的应力状态是正确的；（B ）点2、3的应力状态是正确的； （C ）点3、4的应力状态是正确的；（D ）点1、5的应力状态是正确的。 5、对于图示三种应力状态（a ）、（b ）、（c ）之间的关系，有下列四种答案，正确答案是（ D ）。 （A ）三种应力状态均相同；（B ）三种应力状态均不同； （C ）（b ）和（c ）相同； （D ）（a ）和（c ）相同； 6、关于图示主应力单元体的最大切应力作用面有下列四种答案，正确答案是（ B ）。 解答：max τ发生在1σ成45o 的斜截面上 7、广义胡克定律适用范围，有下列四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）脆性材料； （B ）塑性材料； （C ）材料为各向同性，且处于线弹性范围内；（D ）任何材料； 8、三个弹性常数之间的关系：/[2(1)]G E v =+ 适用于（ C ）。 （A ）任何材料在任何变形阶级； （B ）各向同性材料在任何变形阶级； （C ）各向同性材料应力在比例极限范围内；（D ）任何材料在弹性变形范围内。 解析：在推导公式过程中用到了虎克定律，且G 、E 、v 为材料在比例极限内的材料常数，故 适应于各向同性材料，应力在比例极限范围内 9、点在三向应力状态中，若312()σνσσ=+，则关于3ε的表达式有以下四种答案，正确答案是（ C ）。 （A ）3/E σ；（B ）12()νεε+；（C ）0；（D ）12()/E νσσ-+。 2(1)E G v = +
弯曲应力 1. 圆形截面简支梁A 、B 套成，A 、B 层间不计摩擦，材料的弹性模量2B A E E =。求在外力偶矩e M 作用下，A 、B 中最大 正应力的比值max min A B σσ有4个答案： (A)16； (B)14； (C)18 ； (D)110。 答：B 2. 矩形截面纯弯梁，材料的抗拉弹性模量t E 大于材料的抗压弹性模量c E ，则正应力在截面上的分布图有以下4种答案： 答：C 3. 将厚度为2 mm 的钢板尺与一曲面密实接触，已知测得钢 尺点A 处的应变为1 1000 -，则该曲面在点A 处的曲率半径 为 mm 。 答：999 mm 4. 边长为a 的正方形截面梁，按图示两种不同形式放置，在相同弯矩作用下，两者最大 正应力之比max a max b () ()σσ= 。 答：2/1 5. 一工字截面梁，截面尺寸如图，, 10h b b t ==。试证明，此梁上,下翼缘承担的弯矩约为截面上总弯矩的88%。 证：4 12, (d ) 1 8203B A z z z My M Mt M y yb y I I I σ==?=?? 4 690z I t =, 414 1 1 82088%3690M t M t =??≈ 其中：积分限1 , 22 h h B t A M =+=为翼缘弯矩 (a)
6. 直径20 mm d =的圆截面钢梁受力如图，已知弹性模量200 GPa E =, 200 mm a =，欲将其中段AB 弯成 m ρ=12的圆弧，试求所需载荷，并计算最大弯曲正应力。 解：1M EI ρ= 而M Fa = 4840.78510 m , 0.654 kN 64d EI I F a πρ-==?== 33 max 8 0.654100.22010 2220.78510M d Fad I I σ--?????= ===?? 7. 钢筋横截面积为A ，密度为ρ，放在刚性平面上，一端加力F ，提起钢筋离开地面长度/3l 。试问F 解：截面C 曲率为零 2 (/3)0, 326 C Fl gA l gAl M F ρρ=-== 8. 矩形截面钢条长l ，总重为F ，放在刚性水平面上，在钢条A 端作用/3F 向上的拉力时，试求钢条内最大正应力。 解：在截面C 处， 有 10C M EI ρ== 2 ( )2 0, 323AC C AC AC l F F l M l l l = ?-?==即 AC 段可视为受均布载荷q 作用的简支梁 2max max 22 ()/8/63AC M q l Fl W bt bt σ=== 9. 图示组合梁由正方形的铝管和正方形钢杆套成，在两端用刚性平板牢固联接。已知：钢和铝的弹性模量关系为s a 3E E =；在纯弯曲时，应力在比例极限内。试求铝管和钢杆的最大线应变之比s a /εε及最大正应力之比s a /σσ。 解：a ε=s , a ερ2a ρ= a ε∶s ε=2∶ 1 又E σε= a σ∶s σ=[a E a ε?] ∶s [E s ε?2]3 = M e M e
关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。
特别还要记住，这个公式里的夹角α是斜截面的外法线与σx 作用平
σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取； 4.单轴应力状态、平面应力状态、三轴应力状态是由主应力等于零的个数决定的，不受单元体取法的影响，也不是看单元体的三对截面上是否都存在正应力；比如单轴应力状态下，也可以取出一个单元体，让这个单元体的各平面上都有正应力和切应力，但是它仍然是单轴应力状态；同样，平面应力状态下，也可以取出一个单元体，让其各平面上都有正应力和剪应力，但它仍然是平面应力状态； 5.按不同方位截取的单元体，尽管作用在这些单元体上的应力不同，但是在它们之间却存在着一定的关系：因为二者表示的是同一点的应力状态，因而可以从一个单元体上的应力求出另一个与其方向不同的单元体上的应力。 6.既然怎么取单元体不影响一点的应力状态：无论你怎么取，应力状态就在那里，不会发生变化，那么就可以取主平