复变函数复习提纲
第一章 复数与复变函数
(一)复数的概念
1.复数的概念：z x iy =+，,x y 是实数, ()()Re ,Im x z y z ==.2
1i =-.
注：一般两个复数不比较大小，但其模（为实数）有大小. 2.复数的表示
1）
模：z =
2）幅角：在0z ≠时，矢量与x 轴正向的夹角，记为()Arg z （多值函数）；主值()arg z 是
位于(,]ππ-中的幅角。
3）()arg z 与arctan
y
x
之间的关系如下： 当0,x > arg arctan y
z x
=；
当0,arg arctan 0,0,arg arctan y
y z x x y y z x
ππ?
≥=+??
?<=-??； 4）三角表示：()cos sin z z i θθ=+，其中arg z θ=；注：中间一定是“+” 5）指数表示：i z z e θ
=，其中arg z θ=。 (二) 复数的运算
1.加减法：若111222,z x iy z x iy =+=+，则()()121212z z x x i y y ±=±+±
2.乘除法：
1）若111222,z x iy z x iy =+=+，则
()()1212122112z z x x y y i x y x y =-++；
()()()()1122111121212212222
22222222222
x iy x iy z x iy x x y y y x y x i z x iy x iy x iy x y x y +-++-===+++-++。
2）若12
1122,i i z z e z z e θθ==, 则()
121212i z z z z e
θθ+=；()1211
22
i z z e z z θθ-= 3.乘幂与方根
1） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则(cos sin )n n
n
in z z n i n z e
θ
θθ=+=。
2） 若(cos sin )i z z i z e θθθ=+=，则
1
22
cos sin (0,1,21)n
k k z i k n n n θπθπ++?
?=+=- ?
??
（有n 个相异的值）
第二章 解析函数
（三）复变函数
1．复变函数：()w f z =，在几何上可以看作把z 平面上的一个点集D 变到w 平面上的一个点集G 的映射. 2．复初等函数
指数函数：()cos sin z x e e y i y =+，在z 平面处处可导，处处解析；且()z
z
e e
'=。注：z
e
是以2i π为周期的周期函数。（注意与实函数不同） 对数函数： ln (arg 2)Lnz z i z k π=++(0,1,2
)k =±±（多值函数）
； 主值：ln ln arg z z i z =+。（单值函数）
Lnz 的每一个主值分支ln z 在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1lnz z
'=；
注：负复数也有对数存在。（与实函数不同） 乘幂与幂函数：(0)b
bLna
a e
a =≠；(0)
b bLnz
z e z =≠
注：在除去原点及负实轴的z 平面内处处解析，且()1
b b z
bz
-'=。
三角函数：sin cos sin ,cos ,t ,22cos sin iz iz iz iz e e e e z z
z z gz ctgz i z z
---+==== sin ,cos z z 在z 平面内解析，且()()sin cos ,cos sin z z z z ''==-
注：有界性sin 1,cos 1z z ≤≤不再成立；（与实函数不同）
双曲函数 ,22
z z z z
e e e e shz chz ---+==； shz 奇函数，chz 是偶函数。,shz chz 在z 平面内解析()(),shz chz chz shz ''==。
（四）解析函数的概念 1．复变函数的导数 1）点可导：()0f z '=()()
000
lim
z f z z f z z
?→+?-?；
2）区域可导： ()f z 在区域内点点可导。 2．解析函数的概念
1）点解析： ()f z 在0z 及其0z 的邻域内可导，称()f z 在0z 点解析； 2）区域解析： ()f z 在区域内每一点解析，称()f z 在区域内解析； 3）若()f z 在0z 点不解析，称0z 为()f z 的奇点；
3．解析函数的运算法则：解析函数的和、差、积、商（除分母为零的点）仍为解析函数；解析函数的复合函数仍为解析函数； （五）函数可导与解析的充要条件
1．函数可导的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在z x iy =+可导
?(),u x y 和(),v x y 在(),x y 可微，且在(),x y 处满足C R -条件：
,u v u v x y
y x ????==-???? 此时， 有()u v f z i x x
??'=+??。 2．函数解析的充要条件：()()(),,f z u x y iv x y =+在区域内解析
?(),u x y 和(),v x y 在(),x y 在D 内可微，且满足C D -条件：
,u v
u v x y y x
????==-????； 此时()u v
f z i x x
??'=
+??。 注意： 若()(),,,u x y v x y 在区域D 具有一阶连续偏导数，则()(),,,u x y v x y 在区域D 内
是可微的。因此在使用充要条件证明时，只要能说明,u v 具有一阶连续偏导且满足C R
-
条件时，函数()f z u iv =+一定是可导或解析的。 3．函数可导与解析的判别方法
1）利用定义 （题目要求用定义，如第二章习题1）
2）利用充要条件 （函数以()()(),,f z u x y iv x y =+形式给出，如第二章习题2） 3）利用可导或解析函数的四则运算定理。（函数()f z 是以z 的形式给出，如第二章习题3） （六）解析函数与调和函数的关系
1．调和函数的概念：若二元实函数(,)x y ?在D 内有二阶连续偏导数且满足
22220x y
??
??+=??，(,)x y ?为D 内的调和函数。 2．解析函数与调和函数的关系
● 解析函数()f z u iv =+的实部u 与虚部v 都是调和函数，并称虚部v 为实部u 的共轭调
和函数。
● 两个调和函数u 与v 构成的函数()f z u iv =+不一定是解析函数；但是若,u v 如果满足
柯西—黎曼方程，则u iv +一定是解析函数。
3．已知解析函数()f z 的实部或虚部，求解析函数()f z u iv =+的方法。 1）偏微分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件，得
,v v
x y
????； 对
v u y x ??=??两边积分，得()u v dy g x x
?=+?? （*） 再对（*）式两边对x 求偏导，得
()v u dy g x x x x ?????
'=+ ??????
? （**） 由C R -条件，
u v
y x
??=-??，得()u u dy g x y x x ?????'=-+ ???????，可求出 ()g x ； 代入（*）式，可求得虚部()u
v dy g x x ?=
+?? 。
2）线积分法：若已知实部(),u u x y =，利用C R -条件可得
v v u u dv dx dy dx dy x y y x ????=+=-+????，故虚部为()()00,,x y x y u u
v dx dy c y x
??=-++???；
由于该积分与路径无关，可选取简单路径（如折线）计算它，其中()00,x y 与(),x y 是解析区域中的两点。
3）不定积分法：若已知实部(),u u x y =，根据解析函数的导数公式和C R -条件得知，
()u v u u
f z i i x y x y
????'=
+=-???? 将此式右端表示成z 的函数()U z ，由于()f z '仍为解析函数，()()f z U z dz c =+?
注：若已知虚部v 也可用类似方法求出实部.u
第三章 复变函数的积分
（七）复变函数积分的概念与性质
1． 复变函数积分的概念：
()()1
lim n
k
k
c
n k f z dz f z
ξ→∞
==?∑?，c 是光滑曲线。
注：复变函数的积分实际是复平面上的线积分。 2． 复变函数积分的性质 1）
()()1
c
c
f z dz f z dz -=-??
（1c -与c 的方向相反）
； 2） ()()()()[],,c
c
c
f z
g z dz f z dz g z dz αβα
βαβ+=+?
??是常数；
3） 若曲线c 由1c 与2c 连接而成，则()()()1
2
c
c c f z dz f z dz f z dz =+???。
3．复变函数积分的一般计算法 1）化为线积分：
()c
c
c
f z dz udx vdy i vdx udy =-++???；
（常用于理论证明） 2）参数方法：设曲线c ： ()()z z t t αβ=≤≤，其中α对应曲线c 的起点，β对应曲线c 的终点，则
()()[]()c
f z dz f z t z t dt β
α
'=?
?。
（八）关于复变函数积分的重要定理与结论 1．柯西积分定理：
设()f z 在单连域B 内解析，c 为B 内任一闭曲线，则
()0c
f z dz =?
2．复合闭路定理： 设()f z 在多连域D 内解析，
c 为D 内任意一条简单闭曲线，12,,n
c c c 是c 内的简单闭曲线，它们互不包含互不相交，并且以12,,
n c c c 为边界的区域全含于
D 内，则
①
()c
f z dz ?()1,k
n
k c f z dz ==∑? 其中c 与k
c
均取正向；
②
()0f z dz Γ
=?
，其中Γ由c 及1(1,2,
)k c k n -=所组成的复合闭路。
3．闭路变形原理 ： 一个在区域D 内的解析函数()f z 沿闭曲线c 的积分，不因c 在D 内
作连续变形而改变它的值，只要在变形过程中c 不经过使()f z 不解析的奇点。 4．解析函数沿非闭曲线的积分： 设()f z 在单连域B 内解析，()G z 为()f z 在B 内的一个原函数，则
()()()
2
1
2112(,)z z f z dz G z G z z z B =-∈?
说明：解析函数()f z 沿非闭曲线的积分与积分路径无关，计算时只要求出原函数即可。 5. 柯西积分公式：设()f z 在区域D 内解析，c 为D 内任一正向简单闭曲线，c 的内部完全属于D ，0z 为c 内任意一点，则
()
()002c f z dz if z z z π=-?
6．高阶导数公式：解析函数()f z 的导数仍为解析函数，它的n 阶导数为
()()
()
0102(1,2)()!n n c f z i dz f z n z z n π+==-?
其中c 为()f z 的解析区域D 内围绕0z 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的内部完全属于D 。 7．重要结论：
02,1
1
0,
1
()n c
i n dz n z z π=?=?
≠-??
。 （c 是包含0z 的任意正向简单闭曲线） 8．复变函数积分的计算方法
1）若()f z 在区域D 内处处不解析，用一般积分法()()()[]c
f z dz f z t z t dt β
α
'=?
?
2）设()f z 在区域D 内解析， ● c 是D 内一条正向简单闭曲线，则由柯西积分定理，()0c
f z dz =?
●
c 是D 内的一条非闭曲线，12,z z 对应曲线c 的起点和终点，则有
()()()()21
21z c
z f z dz f z dz F z F z ==-??
3）设()f z 在区域D 内不解析
● 曲线c 内仅有一个奇点：()
()()()()00
01022()!c
n n c f z dz i f z z z f z i dz f z z z n ππ+?=?-???=?-?
??（()f z 在c 内解析）
● 曲线c 内有多于一个奇点：
()c
f z dz ?()1k
n
k c f z dz ==∑? （k
c
内只有一个奇点k z ）
或：
()1
2Re [(),]n
k
k c
f z dz i s f z z π==∑?（留数基本定理）
● 若被积函数不能表示成
()
1
()
n o f z z z +-，则须改用第五章留数定理来计算。 第四章 解析函数的级数表示
（九）复数项级数 1．复数列的极限
1）复数列{}{}n n n z x iy =+（1,2
n =）收敛于复数000z x y i =+的充要条件为
00lim ,
lim n n n n x x y y →∞
→∞
== （同时成立）
2）复数列{}n z 收敛?实数列{},{}n n x y 同时收敛。 2．复数项级数
1）复数项级数
()n n
n n n z z
x iy ∞
==+∑收敛的充要条件是级数0
n n x ∞=∑与0
n n y ∞
=∑同时收敛；
2）级数收敛的必要条件是lim 0n n z →∞
=。
注：复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问题的讨论。 （十）幂级数的敛散性
1．幂级数的概念：表达式
()
n
n
n c z z ∞
=-∑或
n
n n c z
∞
=∑为幂级数。
2．幂级数的敛散性
1）幂级数的收敛定理—阿贝尔定理(Abel)： 如果幂级数
n
n n c z
∞
=∑在00z ≠处收敛，那么对满足0z z <的一切z ，该数绝对收敛；
如果在0z 处发散，那么对满足0z z >的一切z ，级数必发散。 2）幂级数的收敛域—圆域
幂级数在收敛圆域内，绝对收敛；在圆域外，发散； 在收敛圆的圆周上可能收敛；也可能发散。 3）收敛半径的求法：收敛圆的半径称收敛半径。 ● 比值法 如果1lim
0n n n
c c λ+→∞
=≠，则收敛半径1
R λ=；
● 根值法
lim
0n λ→∞
=≠，则收敛半径1
R λ
=
；
● 如果0λ=，则R =∞；说明在整个复平面上处处收敛； 如果λ=∞，则0R =；说明仅在0z z =或0z =点收敛； 注：若幂级数有缺项时，不能直接套用公式求收敛半径。（如
20
n
n n c z
∞
=∑）
3．幂级数的性质 1）代数性质：
设
,n n
n
n
n n a z b z
∞∞
==∑∑的收敛半径分别为1R 与2R ，记()12min ,R R R =，
则当z R <时，
()n
n
n n
n n n n n n a
b z a z b z αβαβ∞
∞
∞
===+=+∑∑∑ （线性运算）
01100
(
)()()n n
n n
n
n n n n n n a z b z
a b a b a b z ∞∞
∞
-====++
+∑∑∑ （乘积运算）
2） 复合性质：设当r ξ<时，()0n
n n f a ξξ
∞
==
∑，当z R <时，()g z ξ=解析且()g z r <，
则当z R <时，()()0[][]
n
n
n f g z a g z ∞
==
∑。
3） 分析运算性质：设幂级数
n
n n a z
∞
=∑的收敛半径为0R ≠，则
● 其和函数()0
n
n n f z a z
∞
==
∑是收敛圆内的解析函数；
● 在收敛圆内可逐项求导，收敛半径不变；且()1
n n
n f z na z
∞
-='=
∑ z R <
● 在收敛圆内可逐项求积，收敛半径不变；
()1
01
z n n n a f z dz z n ∞
+==+∑
?
z R <
（十一）幂函数的泰勒展开
1. 泰勒展开：设函数()f z 在圆域0z z R -<内解析，则在此圆域内()f z 可以展开成幂级数 ()()()()000
!
n n
n f z f z z z n ∞
==
-∑
；并且此展开式是唯一的。 注：若()f z 在0z 解析，则()f z 在0z 的泰勒展开式成立的圆域的收敛半径0R z a =-；其中R 为从0z 到()f z 的距0z 最近一个奇点a 之间的距离。 2．常用函数在00z =的泰勒展开式
1）23
11!2!3!!
n
z
n n z z z e z z n n ∞===++
++++∑ z <∞
2）
20
1
11n n n z z z z z ∞
===+++++
-∑ 1z <
3）35
2121
0(1)(1)sin (21)!3!5!(21)!
n n n n n z z z z z z n n ∞
++=--==-+-++++∑ z <∞
4）24
220
(1)(1)cos 1(2)!2!4!(2)!
n n n n
n z z z z z n n ∞=--==-+-++∑ z <∞
3．解析函数展开成泰勒级数的方法
1）直接法：直接求出()()01!n n c f z n =，于是()()00
n
n n f z c z z ∞
==-∑。
2）间接法：利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算、复合运算和逐项求导、逐项
求积等方法将函数展开。 （十二）幂函数的洛朗展开 1. 洛朗级数的概念：
()
n
n
n c z z ∞
=-∞
-∑，含正幂项和负幂项。
2．洛朗展开定理：设函数()f z 在圆环域102R z z R <-<内处处解析，c 为圆环域内绕0
z 的任意一条正向简单闭曲线，则在此在圆环域内，有()()0n
n n f z c z z ∞
=-∞
=-∑ ，且
展开式唯一。
3．解析函数的洛朗展开法：洛朗级数一般只能用间接法展开。
4．利用洛朗级数求围线积分：设()f z 在0r z z R <-<内解析，c 为0r z z R <-<内的任何一条正向简单闭曲线，则
()12c
f z dz ic
π-=?。
其中1c
-为()f z 在0r z z R <-<内洛
朗展开式中
1
z z -的系数。 说明：围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中1
0()z z --的系数。
第五章 留数及其应用
（十三）孤立奇点的概念与分类
1．孤立奇点的定义 ：()f z 在0z 点不解析,但在0z 的00z z δ<-<内解析。 2．孤立奇点的类型：
1）可去奇点：展开式中不含0z z -的负幂项；()()()2
01020f z c c z z c z z =+-+-+
2）极点：展开式中含有限项0z z -的负幂项；
()(1)21
010201
000()()()()
()
m m
m m c c c f z c c z z c z z z z z z z z -----=
+++
++-+-+
---()
0,()
m
g z z z =
- 其中()1(1)01000()()()m m m m g z c c z z c z z c z z -----=+-+
+-+-+
在0z 解析，
且()00,1,0m g z m c -≠≥≠；
3）本性奇点：展开式中含无穷多项0z z -的负幂项；
()1
010000()()()()
m m
m m
c c f z c c z z c z z z z z z --=
+
+
+
++-+
+-+
--
（十四）孤立奇点的判别方法 1．可去奇点：()0
0lim z z f z c →=常数；
2．极点：()0
lim z z f z →=∞
3．本性奇点：()0
lim z z f z →不存在且不为∞。
4．零点与极点的关系
1）零点的概念：不恒为零的解析函数()f z ，如果能表示成()()0()m f z z z z ?=-， 其中()z ?在0z 解析，()00,z m ?≠为正整数，称0z 为()f z 的m 级零点； 2）零点级数判别的充要条件：
0z 是()f z 的m 级零点?()()()()000,
(1,2,1)
0n m f z n m f z ?==-??
≠??
3）零点与极点的关系：0z 是()f z 的m 级零点?0z 是()
1
f z 的m 级极点； 4）重要结论:
若z a =分别是()z ?与()z ψ的m 级与n 级零点，则 ●
z a =是()z ?()z ψ的m n +级零点；
● 当m n >时，z a =是
()
()
z z ?ψ的m n -级零点； 当m n <时，z a =是
()
()
z z ?ψ的n m -级极点； 当m n =时，z a =是
()
()
z z ?ψ的可去奇点； ● 当m n ≠时，z a =是()()z z ?ψ+的l 级零点，min(,)l m n = 当m n =时，z a =是()()z z ?ψ+的l 级零点，其中()l m n ≥ （十五）留数的概念
1．留数的定义：设0z 为()f z 的孤立奇点，()f z 在0z 的去心邻域00z z δ<-<内解析，
c 为该域内包含0z 的任一正向简单闭曲线，则称积分
()1
2c
f z dz i
π?为()f z 在0
z 的留数
（或残留），记作 ()0Re [,]s f z z =()12c
f z dz i
π?
2．留数的计算方法
若0z 是()f z 的孤立奇点，则()0Re [,]s f z z =1c -，其中1c -为()f z 在0z 的去心
邻域内洛朗展开式中1
0()z z --的系数。
1）可去奇点处的留数：若0z 是()f z 的可去奇点，则()0Re [,]s f z z =0 2）m 级极点处的留数 法则Ⅲ
若0z 是()f z 的m 级极点，则()0Re [,]s f z z =
()01
011lim [()](1)!m m m z z d z z f z m dz
--→-- 特别地，若0z 是()f z 的一级极点，则 ()0Re [,]s f z z =()0
0lim()z z z z f z →-（法则I ）
注：如果极点的实际级数比m 低，上述规则仍然有效。 法则II 设()()
()
P z f z Q z =
，()(),P z Q z 在0z 解析，()00,P z ≠()()000,0Q z Q z '=≠， 则()()()()
000Re [,]P z P z s z Q z Q z =
' （十六）留数基本定理
设()f z 在区域D 内除有限个孤立奇点12
,,n z z z 外处处解析，c 为D 内包围诸奇点
的一条正向简单闭曲线，则
()()1
2Re [,]n
k
c
k f z dz i s f z z π==∑?
说明：留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积函数()f z 在c 内各孤立奇点处留数的局部问题。
（十七）留数在定积分计算中的应用 1. 形如 的积分 令i z e θ
=，21sin 22i i e e z i iz θθθ---==，21
cos 22i i e e z z
θθθ-++==，有 ()20
cos ,sin R d π
θθθ?
()1120
1
cos ,sin ,22z z z z z dz
I R d R i iz π
θθθ--=??+-== ????
?，
令111
(),2
2z z z z f z R i iz --??+-= ???，
()1
() 2 Re {,}k z k
f z dz i s f z z π==∑?
。
2. 形如
() R x dx +∞
-∞
?
的积分
被积函数()R x 是x 的有理函数，分母的次数至少比分子的次数高两次，作为复变量z 的函数()R z 在实轴上没有奇点，有
()() 2 Re {,}k k
R x dx i s R z z π+∞
-∞
=∑?
。
3. 形如
() (a>0)iax R x e dx +∞
-∞
?
的积分
被积函数()R x 是x 的有理函数，分母的次数至少比分子的次数高一次，作为复变量z 的函数()R z 在实轴上没有奇点，有
()() 2 Re {,}iax iaz k k
R x e dx i s R z e z π+∞
-∞
=∑?
。
习题三 3.1计算积分 2C z dz ? ，其中C 是： （1）原点到()2i +的直线段； （2）原点到2再到()2i +的折线； （3）原点到i 再沿水平到()2i +的折线。 解：（1）C 的参数方程为()()22201z t i t ti t =+=+≤≤ ()2dz i dt =+ 于是 ()()()222 1 222113 C i i d z d t i z t +++== ? （2）12C C C =+，1C 参数方程为()02z t t =≤≤， 2C 参数方程为()201z it t =+≤≤ ()()1 2 2 21 2 2 2 2 1 22113 C C C z dz z dz z dz t dt id it i t += +=+=+? ???? （3）12C C C =+，1C 参数方程为()01z it t =≤≤， 2C 参数方程为()02z t i t =+≤≤ ()()()1 2 2 1 2 2 2 22 1 2113 C C C z dz z dz z dz it idt dt t i i += +++==????? 3.2设C 是,i z e θ θ=是从π-到π的一周，计算： （1） ()Re C z dz ? ；（2）()Im C z dz ?；（3）C zdz ? 解：cos sin i z e i θ θθ==+，()sin cos dz i d θθθ=-+ （1）()()Re cos sin cos C z dz i d i π π θθθθπ-=-+=??； （2）()()Im sin sin cos C z dz i d π π θθθθπ-=-+=-? ?； （3） ()()cos sin sin cos 2C zdz i i d i π π θθθθθπ-=--+=? ? 3.3计算积分C z zdz ? ，其中C 是由直线段11,0x y -≤≤=及上半单位圆周组成的正向闭 曲线。 解：12C C C =+，1C 表示为z x iy =+，()11,0x y -≤≤=；
第一章习题解答 （一） 1 ．设2z =z 及A rcz 。 解：由于32i z e π- = 所以1z =，2,0,1,3 A rcz k k ππ=- +=± 。 2 ．设1 21z z = = ，试用指数形式表示12z z 及 12 z z 。 解：由于6 4 12,2i i z e z i e π π - += == = 所以( )646 4 12 12222i i i i z z e e e e π π π π π - - === 54( )14 6 12 2 6 112 2 2i i i i z e e e z e π ππππ+ - = = = 。 3．解二项方程440,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+= ===。 4．证明2 2 2 1212 122()z z z z z z ++-=+，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212 122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 121 2 122R e () z z z z z z -=+- 所以2 2 2 12 12122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0 321=++z z z , 1 321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 3 21z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 3 1z z z == ()[]()[]2 12322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 2 1212z z z z ++= 所以， 12121-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 2 1z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()3 22121=+-=z z z z
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分 ? +i dz z 30 2。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 ()()()?? +=??????+=+=+1 3 1 0332 3 30 2 33 13313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 0330 2 3 2 33 131=??? ???==?? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t idt dz = ()()()33 1 031 0233 233133 13313-+=??????+=+=?? +i it idt it dz z i ()()()3 3331 02 3 0230233 133********i i idt it dt t dz z i +=-++= ++= ∴??? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t idt dz = ()()31 031 202 3 131i it idt it dz z i =??????==?? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = ()()()33 1 031 02 32 3113 131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+=?? + ()()3 333320 2 30 2 13 13113131i i i i dz z dz z dz z i i i i +=-++= += ∴? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分 ()?++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ ?? +i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 0210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 043210 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i
第三章习题详解 1． 沿下列路线计算积分? +i dz z 30 2 。 1) 自原点至i +3的直线段； 解：连接自原点至i +3的直线段的参数方程为：()t i z +=3 10≤≤t ()dt i dz +=3 () ()()?? +=??????+=+= +1 3 1 332 3 30 2 3313313i t i dt t i dz z i 2) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至i +3； 解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：t z = 10≤≤t dt dz = 33 33 2 3 2 33131=??? ???== ? ? t dt t dz z 连接自3铅直向上至i +3的参数方程为：it z +=3 10≤≤t i d t dz = () ()()33 1 31 2 33 2 3313313313-+=??????+=+= ?? +i it idt it dz z i ()()()33 3 3 1 02 30 2 30 2 33 13 3 133 133 13i i idt it dt t dz z i += - ++ = ++ = ∴ ?? ? + 3) 自原点沿虚轴至i ，再由i 沿水平方向向右至i +3。 解：连接自原点沿虚轴至i 的参数方程为：it z = 10≤≤t i d t dz = ()()31 31 20 2 3131i it idt it dz z i =??? ???== ? ? 连接自i 沿水平方向向右至i +3的参数方程为：i t z += 10≤≤t dt dz = () ()()33 1 31 2 32 3113131i i i t dt i t dz z i i -+=??????+=+= ?? + ()()33 3 3 32 2 30 2 13 13 113 13 1i i i i dz z dz z dz z i i i i += - ++ = + = ∴ ? ? ? ++ 2． 分别沿x y =与2 x y =算出积分()? ++i dz iy x 10 2 的值。 解：x y = ix x iy x +=+∴2 2 ()dx i dz +=∴1 ()()()()()??? ??++=? ???? ???? ??++=++=+∴ ? ?+i i x i x i dx ix x i dz iy x i 213112131111 0231 210 2 2 x y = ()2 2 2 2 1x i ix x iy x +=+=+∴ ()dx x i dz 21+=∴ ()()()()()? ???? ??++=????? ???? ??++=++=+∴ +1 1 0432 10 2 2131142311211i i x i x i dx x i x i dz iy x i 而()i i i i i 6 5 6121213131213 11+-=-++=??? ??+ +
p141第三章习题 (一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5.由积分 C1/(z+ 2)dz之值证明 [0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d= 0，其中C取单位圆周|z| = 1． 【解】因为1/(z+ 2)在圆|z内解析，故 C1/(z+ 2)dz= 0． 设C: z()= ei ，[0, 2]． 则 C1/(z+ 2)dz= C1/(z+ 2)dz= [0, 2]iei /(ei + 2)d = [0, 2]i(cos+isin)/(cos+isin+ 2)d =
[0, 2]( 2 sin+i(1 + 2cos))/(5 + 4cos)d = [0, 2]( 2 sin)/(5 + 4cos)d+i [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d． 所以 [0, 2](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)以2为周期，故 [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0；因(1 + 2cos))/(5 + 4cos)为偶函数，故[0,](1 + 2 cos)/(5 + 4cos)d [,](1 + 2cos)/(5 + 4cos)d= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z),g(z)在单连通区域D内解析，,是D内两点，试证 [,]f(z)g’(z)dz= (f(z)g(z))| [,] [,]g(z)f’(z)dz． 【解】因f(z),g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z)f’(z)，以及(f(z)g(z))’的积分都与路径无关．[,]f(z)g’(z)dz+ [,]g(z)f’(z)dz= [,](f(z)g’(z)dz+g(z)f’(z))dz
复变函数论第四版答案钟玉泉 （1）提到复变函数，首先需要了解复数的基本性质和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根，极坐标与 xy 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候基本上都会学过。 （2）复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之类的运算就会很自然的引入到 复平面里面，从而引出解析函数的定义。那么研究解析函数的性质就是关键所在。最关键的地方就是所谓 的Cauchy—Riemann 公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。 （3）明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分的概念引入复分析中，定义几乎 是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理：Cauchy 积分公式。这 个是复分析的第一个重要定理。 （4）既然是解析函数，那么函数的定义域就是一个关键的问题。可以从整个定义域去考虑这个函数，也可 以从局部来研究这个函数。这个时候研究解析函数的奇点就是关键所在，奇点根据性质分成可去奇点，极 点，本性奇点三类，围绕这三类奇点，会有各自奇妙的定理。（5）复变函数中，留数定理是一个重要的定理，反映了曲线积分和
零点极点的性质。与之类似的幅角定理 也展示了类似的关系。 （6）除了积分，导数也是解析函数的一个研究方向。导数加上收敛的概念就可以引出Taylor 级数和 Laurent 级数的概念。除此之外，正规族里面有一个非常重要的定理，那就是Arzela 定理。 （7）以上都是从分析的角度来研究复分析，如果从几何的角度来说，最重要的定理莫过于Riemann 映照 定理。这个时候一般会介绍线性变换，就是Mobius 变换，把各种各样的区域映射成单位圆。研究 Mobius 变换的保角和交比之类的性质。 （8）椭圆函数，经典的双周期函数。这里有Weierstrass 理论，是研究Weierstrass 函数的，有经典的 微分方程，以及该函数的性质。 以上就是复分析或者复变函数的一些课程介绍，如果有遗漏或者疏忽的地方请大家指教。
复变函数 第四、五章 练习 一、 掌握复级数收敛，绝对收敛的判别 1. 判断下列级数是否收敛，是否绝对收敛。 （1）2ln n n i n ∞ =∑ （2）01cos 2n n in ∞=∑ （3）0(1)2n n n n i ∞=+∑ 2.如果级数1n n c ∞=∑收敛，且存在0,,..,|arg |,2n s t c πααα><≤证明级数1n n c ∞ =∑绝对收敛. 二、充分掌握幂级数，及解析函数的泰勒展开式 3. 证明级数11n n n z z ∞ =-∑在||1z ≥上发散；在||1z <内绝对收敛且内闭一致收敛 4. 试证：黎曼函数 11(),(ln 0)z n z n n ζ∞ ==>∑，在点2z =的邻域内可展开为泰勒级数，并求收敛半径。 5.求下列幂级数的收敛半径： （1）0()n n n n a z ∞=+∑ （2）0[3(1)](1)n n n n z ∞=+--∑ （3）(1)0()(1)n n n n i z n ∞ +=-∑ 6.设0n n n a z ∞ =∑的收敛半径为R , 证明：0[Re()]n n n a z ∞=∑的收敛半径大于等于R 。 7．若幂级数∑∞=0n n n z c 在i z 21+=处收敛，试回答该级数在2=z 处的敛散性。 8.设函数z e z cos 的泰勒展开式为∑∞=0n n n z c ，求幂级数∑∞=0 n n n z c 的收敛半径。 9. 将函数31()z f z z -= 在点1z =-展成泰勒级数。 10.证明：若1||,2z ≤则2|ln(1)|||z z z +-≤. （这里ln(1)z +取主值支） 三、充分掌握解析函数零点阶数的求法、具有零点的解析函数的表达 式、零点的孤立性、惟一性定理、最大模原理
第三章 教学课题：第三节 柯西积分公式及其推论 教学目的：1、充分掌握柯西积分公式以及其解析函数的平均值定理； 2、了解柯西高阶导数分公式； 3、切实掌握解析函数的无穷可微性； 4、理解柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画。 教学重点：柯西积分公式； 教学难点：柯西不等式、刘威尔定理及解析函数的一些等价刻画 教学方法：启发式 教学手段：多媒体与板书相结合 教材分析：柯西积分公式是解析函数的积分表达式，可以帮助我们详细地去研究解析函数的局部性质。柯西不等式是对解析函数各阶导数模的估计式。 教学过程： 1、柯西积分公式： 定理3.11设f (z )在以圆)0(|:|000+∞<<=-ρρz z C 为边界的闭圆盘上连续，C 的内部D 上解析，则有 其中，沿曲线C 的积分是按反时针方向取的，这就是柯西积分公式。它是解析函数的积分表达式，因而是今后我们研究解析函数的重要工具。 证明：设D z ∈，显然函数在z f -ζζ)(满足z D ≠∈ζζ,的点ζ处解析。 以到z 为心，作一个包含在D 内的圆盘，设其半径为ρ，边界为圆ρC 。在D 上，挖去以ρC 为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域ρD 。在ρD 上，ζ的函数)(ζf 以及z f -ζζ)(解析，所以有 其中，沿曲线C 的积分是按关于D 的正向取的，沿ρC 的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 说明：f(z)沿C 的积分为零。考虑积分 则有：（1）被积函数在C 上连续，积分I 必然存在；
（2）在上述闭圆盘上0 )(z z z f -不解析，I 的值不一定为0，例如i I z f π21)(=≡时，； 现在考虑f (z )为一般解析函数的情况。作以为 0z 心，以)0(0ρρρ<<为半径的圆ρC ，由柯西定理，得 因此，I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关。令θρi e z z =-0， 则有 由于I 的值只f (z )与在点 0z 附近的值有关，与ρ无关，由f (z )在点0z 的连续性，应该有)(20z if I π=，即 事实上，当ρ趋近于0时，有 由于由f (z )在点0z 的连续性，所以)(0,00ρδδε≤>?>?，使得当ρδρC z ∈<<,0时，ε<-|)()(|0z f z f ，因此 即当ρ趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而i dz z z C πρ210 =-?，因此，结论成立。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 2、解析函数的无穷可微性 定理3.12 设D 是以有限条简单闭曲线C 为边界的有界区域。设f (z )在D 及C 所组成的闭区域D 上解析，那么f (z )在D 内有任意阶导数 ,...)3,2,1( )()(2!)(1 )(=-=?+n d z f i n z f C n n ζζζπ, 证明：先证明结论关于n =1时成立。设D h z ∈+是D 内另一点。 只需证明，当h 趋近于0时，下式也趋近于0 现在估计上式右边的积分。设以z 为心，以2d 为半径的圆盘完全在D 内，并且
习题三答案 1． 计算积分 2 (c )x y ix dz ?+∫，其中为从原点到1c i +的直线段 解：积分曲线的方程为，即 , x t y t == ，，代入原积分表达式中，得 z x iy t t =+=+i ):01t →1 2 2 ()()(c x y ix dz t t it t ti dt ′?+=?++∫∫ 1 12 30011(1)33 i i it i dt t ?+?=+==∫+ 2． 计算积分z c e dz ∫ ，其中为 c （1）从0到1再到1的折线 （2）从0到1i +i +的直线 解：（1）从0到1的线段方程为：1c , :01z x iy x x =+=→， 从1到1的线段方程为：i +2c 1, :0z x iy iy y 1=+=+→， 代入积分表达式中，得 1 2 1110 (1)z z z x yi c c c e dz e dz e dz e dx e yi dy +′=+=++∫∫∫∫∫ 1 11 00 (cos sin )1(sin cos )x e ei y i y dy e ei y i y =++=?+?∫ 11(sin1cos1)(cos1sin1)11i e ei i i e i e +=?+?+=+?=?； （2）从0到1的直线段的方程为i +z x iy t ti =+=+，， :01t →代入积分表达式中，得 ， 1100 ()(1)(cos sin )z t ti t c e dz e t ti dt i e t i t dt +′=+=++∫∫∫对上述积分应用分步积分法，得 1 (sin cos )(sin cos ) (1)[]22t t z c e t t e i t t e dz i +?=++∫ 1 1 00(1)(1)(cos sin sin cos )()22t t it it i e i e t i t t i t e ie ++=++?=? 1 (1)1010 1i t i i e e e e +++==?=? 3． 积分 2 ()c x iy dz +∫，其中为 c （1）沿从0到1 （2）沿y x =i +2y x =从0到1i + 解：（1）积分曲线的方程为z x iy t ti =+=+，， :01t →代入原积分表达式中，得
复变函数第三版习题 第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续？是否一致连续？ 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。 3. 设函数f(z)在区域D内解析。证明：如果对每一点z?D，有f’(z)?0，那么f(z)在D内为常数。 4. 设函数f(z)在区域D内解析。证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常数：Ref(z)或Imf(z)在D内为常数；|f(z)|在D内为常数。 5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。 6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析：z,e,sinz,cosz。 7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：?u1?v?u?v。?,??r?rr?????r2z 8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一
定有任意阶导数。证明：f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：22?U?x2??U?y2?0 在D内，(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。 10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。 11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出：cosh2z?sinh2z?1，sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy，cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，dsinhzdzdcoszdz。?sinhz?coshz, 12. 设两个实变数的函数u(x,y)有偏导数。这一个函数可以写成z?x?iy及z的
p141第三章习题(一)[ 5, 7, 13, 14, 15, 17, 18 ] 5. 由积分?C1/(z + 2) dz之值证明?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = 0，其中C取单位圆周| z | = 1． 【解】因为1/(z + 2)在圆| z | < 3/2内解析，故?C1/(z + 2) dz = 0． 设C : z(θ)= e iθ，θ∈[0, 2π]． 则?C1/(z + 2) dz = ?C1/(z + 2) dz = ?[0, 2π] i e iθ/(e iθ + 2) dθ = ?[0, 2π] i (cosθ + i sinθ)/(cosθ + i sinθ + 2) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ + i (1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ) dθ = ?[0, 2π] (- 2 sinθ)/(5 + 4cosθ) dθ+ i ?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ． 所以?[0, 2π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)以2π为周期，故?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0；因(1 + 2cosθ ))/(5 + 4cosθ)为偶函数，故 ?[0, π] (1 + 2 cosθ)/(5 + 4cosθ) dθ = (1/2) ?[-π, π] (1 + 2cosθ )/(5 + 4cosθ) dθ= 0． 7. (分部积分法)设函数f(z), g(z)在单连通区域D内解析，α, β是D内两点，试证 ?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 【解】因f(z), g(z)区域D内解析，故f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’都在D 内解析．因区域D是单连通的，所以f(z)g’(z)，g(z) f’(z)，以及( f(z)g(z))’的积分都与路径无关． ?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ?[α, β] ( f(z)g’(z)dz + g(z) f’(z))dz = ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz． 而f(z)g(z)是( f(z)g(z))’在单连通区域D内的一个原函数，所以 ?[α, β] ( f(z)g(z))’dz = f(β)g(β) -f(α)g(α) = ( f(z)g(z))|[α, β]． 因此有?[α, β] f(z)g’(z)dz + ?[α, β] g(z) f’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β]， 即?[α, β] f(z)g’(z)dz = ( f(z)g(z))|[α, β] -?[α, β] g(z) f’(z)dz． 13. 设C : z = z(t) (α≤t≤β)为区域D内的光滑曲线，f(z)于区域D内单叶解析且f’(z) ≠ 0，w = f(z)将曲线C映成曲线Γ，求证Γ亦为光滑曲线． 【解】分两种情况讨论． (1) 当z(α) ≠z(β)时，C不是闭曲线．此时z(t)是[α, β]到D内的单射，z(t)∈C1[α, β]，且在[α, β]上，| z’(t) |≠ 0． 因Γ是曲线C在映射f下的象，所以Γ可表示为w = f(z(t)) (α≤t≤β)． ?t∈[α, β]，z(t)∈D．因f于区域D内解析，故f在z(t)处解析， 因此f(z(t))在t处可导，且导数为f’(z(t))z’(t)． 显然，f’(z(t))z’(t)在[α, β]上是连续的，所以f(z(t))∈C1[α, β]． 因为f(z)于区域D内是单叶的，即f(z)是区域D到 的单射，而z(t)是[α, β]到D 内的单射，故f(z(t))是[α, β]到 内的单射． 因在D内有f’(z) ≠ 0，故在[α, β]上，| f’(z(t))z’(t) |= | f’(z(t)) | · |z’(t) |≠ 0． 所以，Γ是光滑曲线． (2) 当z(α) = z(β)时，C是闭曲线．此时z(t)∈C1[α, β]；在[α, β]上，有| z’(t) |≠ 0；z’(α) = z’(β)；?t1∈[α, β]，?t2∈(α, β)，若t1 ≠t2，则z(t1) ≠z(t2)．
第三章 复变函数的积分 一、 判断题 （1） 微积分中的求导公式、洛必达法则、中值定理等均可推广到复变函数。（ ） （2） 有界整函数必为常数。（ ） （3） 积分 ? =--r a z dz a z 1 的值与半径)0(>r r 的大小无关。（ ） （4） 若在区域D 内有)()(z g z f ='，则在D 内)(z g '存在且解析。（ ） （5） 若)(z f 在10< §7-3 单位脉冲函数及其傅立叶变换 一．δ—型序列和δ—函数 例1． 在电流为零的电路中，从时刻0t 到ε+0t 通入一个单位电量的矩形脉冲。设电流强 度为()0t t -εδ，则有： ()??? ??+><+<<=-ε εε δε00000,0 1t t t t t t t t t 当时间间隔+ →0ε时，函数()0t t -εδ的极限状态就可以看成在瞬时0t 通入单位电量所产生的电流。在电路分析中，称这个极限电流为作用在时刻0t 的单位脉冲电流，称这个极限状 态下的函数()()000 lim t t t t -=-+ →δδεε为单位脉冲函数，即δ—函数，也称为狄拉克（Dirac ）函数。00=t 时，δ—函数()t δ更为常见。 说明：δ—函数是一个广义函数，它不能用普通意义的函数定义法（即值的对应关系）来定义，我们可以认为，δ—函数()t δ是某个普通函数序列()t εδ的极限（称为δ—型序列）。 二．δ—函数的积分 我们可以认为δ—函数具有如下两个特征： 1． 0=t 时，δ—函数()∞→t δ，0≠t 时，δ—函数()0=t δ 2． ()t δ在区间()+∞∞-,上的积分表示为： ()()1lim 0==? ?+∞ ∞-→+∞∞-+ dt t dt t εεδδ 由此推出δ—函数的一个重要结果，称为δ—函数的筛选性质： ()()()()()00f dt t f dt t t f ==??+∞ ∞ -+∞ ∞-δδ (7-3-1) ()()()()()000t f dt t t f dt t t t f ==-?? +∞ ∞ -+∞ ∞ -δδ (7-3-1)’ 三．δ—函数的傅氏变换 ()=ωF F ()[]t δ ()10 ====-+∞ ∞ --?t t j t j e dt e t ωωδ 同理我们还可以得： F ()[]0t t -δ ()00 0t j t t t j t j e e dt e t t ωωωδ-=-+∞ ∞--==-=? 即()0 0t j e t t ωδ-?- 需要指出，δ—函数的傅氏变换是一种广义的傅氏变换。 第二章 解析函数 习题课 1. 试问函数 2 11z +在圆盘1|| 10. 由w z sin =及w z cos =所定义w 的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。 11. 由 2 sinh z z e e z --= 及2 cosh z z e e z -+= 所定义w 的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明： ,cos cosh ,sin sinh iz z iz i z =-= 由此从关于三角函数的有关公式导出： 1sinh cosh 2 2 =-z z ， 212121sinh cosh cosh sinh )sinh(z z z z z z +=+， 212121sinh sinh cosh cosh )cosh(z z z z z z +=+， y x i y x iy x sinh cos cosh sin )sin(+=+， y x i y x iy x sinh sin cosh cos )cos(-=+， z z z z z z sinh d cos d ,cosh d sinh d ==。 12. 设两个实变数的函数),(y x u 有偏导数。这一个函数可以写成iy x z +=及z 的函数： )2,2( i z z z z u u -+=。 证明： ),(21),(21y u i x u z u y u i x u z u ??+??=????-??=?? 设复变函数)(z f 的实部及虚部分别是),(y x u 及),(y x v ，并且它们都有偏导数，求证，对于)(z f ，柯西-黎曼条件可以写成 =??+??=??z v i z u z f 。 13. 设函数 )1(z f 在0=z 解析，那么我们说)(z f 在∞=z 解析。下列函数中，哪些在无穷远 点解析？ 我的答案 祝大家学习愉快 第一章习题解答 （一） 1 ．设z =z 及Arcz 。 解：由于3i z e π -== 所以1z =，2,0,1,3 Arcz k k ππ=-+=± 。 2 ．设121z z =，试用指数形式表示12z z 及12 z z 。 解：由于6412,2i i z e z i e ππ -==== 所以()6 46 412 12222i i i i z z e e e e π πππ π --=== 54()14612 26 11222i i i i z e e e z e πππππ +-===。 3．解二项方程44 0,(0)z a a +=>。 解：1 244 4 (),0,1,2,3k i i z a e ae k ππ π+====。 4．证明 ，并说明其几何意义。 证明：由于2 2 2 1212122Re()z z z z z z +=++ 2 2 2 12 12122Re()z z z z z z -=+- 所以2 2 21212 122()z z z z z z ++-=+ 其几何意义是：平行四边形对角线长平方和等于于两边长的和的平方的二倍。 5．设z 1，z 2，z 3三点适合条件：0321=++z z z ,1321===z z z 。证明z 1，z 2，z 3 是内 接于单位圆1 =z 的一个正三角形的顶点。 证 由于 1 321===z z z ，知 321z z z ?的三个顶点均在单位圆上。 因为 3 33 31z z z == ()[]()[]212322112121z z z z z z z z z z z z +++=+-+-= 21212z z z z ++= 所以， 1212 1-=+z z z z ， 又 ) ())((1221221121212 21z z z z z z z z z z z z z z +-+=--=- ()322121=+-=z z z z 复变函数论 第三章 练习题 2014-04-14 复积分是研究解析函数的一个重要工具. 柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要，是复变函数论的基本定理和基本公式。由柯西定理可导出解析函数的一系列重要结果，诸如柯西积分公式、柯西不等式、唯一性定理和最大模原理等。特别地，有解析函数有连续导数以及任意阶导数. 直到20世纪中期，这两个结果才分别由R.L.Plunkett(Bull.Amer.Math.Soc.65, 1959)及E.H.Conell and P.Porcelli(Bull.Amer.Math.Soc.67,1961)不用柯西定理，而用拓扑方法做出证明。作为柯西积分定理的推广，则由应用广泛的留数基本定理，代数学基本定理就是留数定理的一个简单推论，应用它还可以计算一些较复杂的实定积分。 一、柯西积分定理的理解 1.设函数()f z 在区域D 内解析，那么这个函数沿D 内任意闭路线积分是否都为零？为什么？ 2.对什么样的周线C , 有210.1 C dz z z =++? 3.设函数()f z 在0||1z <<内解析，且沿任何圆周:||,01C z r r =<<的积分值为零。问()f z 是否必须在0z =处解析？试举例说明之？ 4.设函数()f z 在单连通区域D 内解析，且在D 内的闭曲线C 上满足|()1| 1.f z -<证明：()0() C f z dz f z '=?. 二、利用柯西定理、柯西公式、不定积分（原函数）和路径无关性等计算积分 1.计算下列积分： （1）2,:||3(1)C dz C z z z =-? ； （2） 2sin ,:|2|29C z dz C z i z -=+?；（3）(||),:||1C z z C z +=? ； (4) (||sin ),:||0z C z e z dz C z a -=>?; *（5）,:||99(2)(4)(6)(100)C dz C z z z z z =-+-+?。 2.沿从1到1-的如下路径求. ? （1）上半单位圆周；（2）下半单位圆周，取沿负实轴割开平面的主值支。 3.设函数()f z 在||1z <内解析，在闭圆||1z ≤上连续，且(0)1,f =求积分复变函数第七章_傅里叶变换(3)
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