Y.P .M 数学竞赛讲座 1
竞赛中的复数问题
复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一.
一、知识结构
1.概念与运算:
⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R.
⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ?=21z z ?;)(
21z z =2
1z z
;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= |
||
|21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ?z ∈R;|z|=|Re(z)|?z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法:)
sin (cos )
sin (cos 222121θθθθi r i r ++
=
2
1
r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)?z =n r (cos
n
k πθ2++isin
n
k πθ2+)(k=0,1,2…,n-1).
2.辐角与三角:
⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(2
1
z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos
2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2
θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cos
n k π2+isin n
k π
2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1.
⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π.
3.复数与几何:
⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ).
⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z=
λ
λ++12
1z z ;②三
点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i.
2 Y.P .M 数学竞赛讲座
⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积=
2
1
×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+
z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1
312w w w
w --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是:
1413z z z z --:2
42
3z z z z --∈R. 二、典型问题
1.复数概念
[例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值
范围为 .
[解析]:
[类题]:
1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若
2
1
z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= .
2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若
3
131
-
+
z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 .
4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2
+b 2
>c 2
,则a 2
+b 2
-c 2
>0;②设a,b,c 都是
复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2
.那么下述说法正确的是( )
(A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+
z
1
,且-1 [例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且 2 βα 为实数,则|α|= . [解析]: [类题]: 1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4 +(1-i)4 = . ②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！ ！！！i i i i 100 210+???+++= . 2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2 =-1,在集合{s|s=1+i+i 2 +i 3 +…+i n ,n ∈N}中包含的元素 是 . 3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12 +i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和 = . 4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2 -i,则|z 2000|= 5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=i x x x x i x x --++cos ) tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合 是 . Y.P .M 数学竞赛讲座 3 3.三角形式 [例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:?? ???=++===11 ||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值. [解析]: [类题]: 1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数A i A C i C B i B 2sin 2cos 1) 2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的 虚部是 . 2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150 +isin150 ,则 2 1 z z = . 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13 z 23 的值是 . 4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2 -z+2|的最小值为 . 5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14 +1-2z 12 |.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 . 4.共轭运算 [例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=2 3-i,则z 1z 2= . [解析]: [类题]: 1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2 =|z-1|2 },那么( ) (A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}?M ?{复数} (D)M={复数} 2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2 ||1λλ-+w w 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( ) (A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则 | |212 1z z z z 的值为 . 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg 2 1 z z z z ++= . 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000 +(1z z 2)2000 |= . 5.模的运算 [例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值 为 . [解析]: [类题]: 1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)| ) 52)(32()35)(25)(23(2 i i i i i --+++|= . 2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz ?6),则|z|等于 . 3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2 i ) (1) n i ),则∑=+-n n n n z z 1 1||= . 4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)= 3 π,则z= . 4 Y.P .M 数学竞赛讲座 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2 -z+1|的最大值与最小值是 . 6.乘方运算 [例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =( 22-+i 22+)n 取实数值的最小正 整数,则对应此n 的a n = . [解析]: [类题]: 1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:( 2 1i -) 1989 = . 2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n ,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =(21 3++2 13-i)n 取实数的最小自然数,则对应此n 的a n = . 3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n =sinn θ +icosn θ成立,则这种n 的总个数为 . ②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m =(1+i)n 成立(其中i 是虚数单位),则乘积 mn 的最小值是 . 4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n (n 为正整数)为实数时,|z+i| n 的最小值为 . 5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[( 2 3i +)8+1]n 当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 7.单位复数 [例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且b a =c b =a c ,则c b a c b a +--+的值为 . [解析]: [类题]: 1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2 -x+1=0的两个根,则x 1 1980 + 19802 1x = . ②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+ m 1=1,则m 2008 +20091m = . 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2 +xy+y 2 =0,则代数式( y x x +)1990+(y x y +)1990 的值是 . ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2 +xy+y 2 =0,则代数式[2 ) )((y x y x xy -+] 2006 (x 2006 +y 2006 )的值是 . 3.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10 =1,则1+x+x 2 +x 3 +…+x 2009 +x 2010= . 4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3 =27,则z 5 +3z 4 +2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2 x i)2008 =f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 . 8.复数方程 [例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程 的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值. [解析]: Y.P .M 数学竞赛讲座 5 [类题]: 1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+ z 1为实数,则2z+z 1 的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2 +(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________. 3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4 =z (z 为z 的共轭复数)的根为 . 4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3 =0,则z= . 5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos 5 π+isin 5 π,则以ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是( ) (A)x 4 +x 3 +x 2 +x+1=0 (B)x 4 -x 3 +x 2 -x+1=0 (C)x 4 -x 3 -x 2 +x+1=0 (D)x 4 +x 3 +x 2 -x -1=0 9.复数与点 [例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三 个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _. [解析]: [类题]: 1.(1989年全国高中数学联赛试题)若A,B 是锐角△ABC 的两个内角,则复数z=(cosB-sinA)+i(sinB-cosA)在复平面内所对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 2.(2011年全国高中数学联赛安徽初赛试题)若点A,B 分别对应复数z,z -1 ,z ?R,则直线AB 与x 轴的交点对应的复数为 (用z 和z 表示). 3.(2002年湖南高中数学夏令营试题)已知z 为复数,arg(z+3)=1350 ,则 | 3||6|1 i z z -++取最大值时,z= . 4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)在复平面内由i 1,1-i ,(i-1)3 对应的点构成的三角形的最大内 角等于 . 5.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)如果复数z 满足|z|=1,A(-1,0),B(0,-1)是复平面上两点,那么函数f(z)= |(z+1)(z -i)|取最大值时,△ABZ 的形状是 . 10.模的意义 [例10]:(2002年全国高中数学联赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,若它们所对应向量的夹角为600,则 | 2 12 1z z z z -+|= . [解析]: [类题]: 1.①(2007年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设复数z 1=(2-a)+(1-b)i,z 2=(3+2a)+(2+3b)i,z 3=(3-a)+(3-2b)i,其中a,b ∈R,当|z 1|+|z 2|+|z 3|取得最小值时,3a+4b= . ②(1993年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|≥1,|z 2|≥2 3,则复数i 1993z 1+i 1995 z 2+2z 1z 2的模长的最小值是 . 2.(2010年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设z 是复数,则|z-1|+|z-i|+|z+1|的最小值等于__________. 3.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)设z 是模为2的复数,则|z-z 1 |的最大值与最小值的和为 . 4.(1999年全国高中数学联赛河北初赛试题)若复数z 满足|z+1+i|+|z-1-i|=22,记|z+i|的最大值和最小值分别为 6 Y.P .M 数学竞赛讲座 M,m,则 m M = . 5.(1998年第九届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 的模为1,则函数|z 2 +iz 2 +1|的值域是 . 11.幅角主值 [例11]:(1998年全国高中数学联赛试题)已知复数z=1-sin θ+icos θ(2 π<θ<π).求z 的共轭复数z 的辐角主值. [解析]: [类题]: 1.(1984年全国高中数学联赛试题)集合S={z 2 |argz=a,a ∈R}在复平面的图形是( ) (A)射线argz=2a (B)射线argz=-2a (C)射线argz=-a (D)上述答案都不对 2.(1998年全国高中数学联赛湖南初赛试题)设z 是复数,z+2的幅角为3 π,z-2的幅角为 6 5π ,则z= . 3.(1993年全国高中数学联赛试题)若z ∈C,arg(z 2 -4)= 65π,arg(z 2 +4)=3 π,则z 的值是________. 4.(1992年全国高中数学联赛试题)设z 1,z 2都是复数,且|z 1|=3,|z 2|=5|z 1+z 2|=7,则arg(1 2z z )3 的值是______. 5.(1999年全国高中数学联赛试题)已知θ=arctan 12 5 ,那么,复数z=i i ++2392sin 2cos θθ的辐角主值是_________. 12.几何形状 [例12]:(1995年全国高中数学联赛试题)设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为 z 1,z 2,…,z 20,则复数Z 11995 ,z 2 1995 ,…,z 20 1995 所对应的不同的点的个数是 . [解析]: [类题]: 1.(2007年全国高中数学联赛浙江初赛试题)若在复平面上三个点A(0),B(z 0-z),C(z 0+z)构成以A 为直角顶点的等腰直 角三角形,其中z 0=-3 1+ 3 2 i,则△ABC 的面积为 . 2.①(1992年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2在复平面上对应的点分别为A,B,且|z 1|=4,4z 12 -2z 1z 2+z 22 =0,O 为坐标原点,则△OAB 的面积为 . ②(1997年全国高中数学联赛上海初赛试题)设复数z 1、z 2满足z 1z 2=1,z 13 +z 23 =0,且z 1+z 2≠0.z 1、z 2在复平面内的对应点为 Z 1、Z 2,O 为原点,则△Z 1OZ 2的面积是_____. 3.(1996年全国高中数学联赛试题)复平面上,非零复数z 1,z 2在以i 为圆心,1为半径的圆上,1z z 2的实部为零,z 1的辐角主值为 6 π,则z 2=_______. 4.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知关于x 的实系数方程x 2 -2x+2=0和x 2 +2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆,则m 的取值范围是 . 5.(1997年全国高中数学联赛试题)设非零复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5满足??? ? ??? =++++==++++===S a a a a a a a a a a a a a a a a a a )1 1111(4543215432145342312,其中 S 为实数,且|S|≤2.求证:复数a 1,a 2,a 3,a 4,a 5在复平面上所对应的点位于同一圆周上. Y.P .M 数学竞赛讲座 7 13.解折综合 [例13]:(2003年全国高中数学联赛试题)设A,B,C 分别是复数Z 0=ai,Z 1=2 1+bi,Z 2=1+ci(其中a,b,c 都是实数)对应的不 共线的三点,证明:曲线Z ＝Z 0cos 4 t+2Z 1cos 2 tsin 2 t+Z 2sin 4 t(t ∈R )与?ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点,并求出此 点. [解析]: [类题]: 1.(1993年全国高中数学联赛试题)设m,n 为非零复数,i 为虚数单位,z ∈C,则方程|z+ni|+|z -mi|=n 与|z+ni|-|z -mi| -m 在同一复平面内的图形(F 1,F 2为焦点)是( ) x x (B) (C) (D) 2.(1989年全国高中数学联赛试题)若M={z|z= t t +1+i t t +1,t ∈R,t ≠-1,t ≠0},N={z|z=2[cos(arcsint)+icos(arc cost)],t ∈R,|t|≤1},则M ∩N 中元素的个数为( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)4 3.(1988年全国高中数学联赛试题)复平面上动点z 1的轨迹方程为|z 1-z 0|=|z 1|,z 0为定点,z 0≠0,另一个动点z 满足z 1z=-1,求点z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 4.①(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z,w 满足:|z-1-i|-|z|=2,|w+3i|=1,则|z –w|的最小值= . ②(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)x 、y 是实数.z 1=x+11+yi,z 2=x-11+yi(i 为虚数单位),|z 1|+|z 2|=12,令u=|5x ?6y ?30|,则u 的最大值是_____,u 的最小值是_____. 5.(1996年全国高中数学联赛上海初赛试题)已知满足条件|z 2 |+|z 2 ?1|=7的复数z 在复平面内的所对应的点的集合是一条 二次曲线,则该二次曲线的离心率e=_____. 14.复数应用 [例14]:(2001年全国高中数学联赛试题)若(1+x+x 2)1000的展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 2000x 2000,则a 0+a 3+a 6+a 9+…+a 1998的值 为 . [解析]: [类题]: 1.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)已知sin α+sin β=51,cos α+cos β=3 1 ,则)(2sin )(2cos 1)(2sin )cos(21βαβαβαβα+++++++-= . 2.(2007年湖北数学奥林匹克夏令营试题)求值:tan700 -0 10cos 1= . 3.(2007年全国高中数学联赛广西初赛试题)化简arccot2+arctan 3 1 = . 4.(2012年复旦自主招生试题)arctan 3 1+arctan 51+arctan 71+arctan 8 1 = . Y.P .M 数学竞赛讲座 1 竞赛中的复数问题 复数不仅具有自身知识体系的丰富性,而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系.复数的演绎独具特色,饶于技巧,复数是竞赛数学的内容之一. 一、知识结构 1.概念与运算: ⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b ∈R);②三角式:z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R);③指数式:z=re i θ(r ≥0,θ∈R);④欧拉公式:e i θ=cos θ+isin θ,θ∈R. ⑵共轭与模:①21z z ±=21z z ±;21z z ?=21z z ?;)( 21z z =2 1z z ;②||z 1|-|z 2||≤|z 1+z 2|≤|z 1|+|z 2|;|z 1z 2|=|z 1||z 2|;|21z z |= | || |21z z ;③z z =|z|2=|z |2;④z=z ?z ∈R;|z|=|Re(z)|?z ∈R. ⑶运算法则:①乘法:r 1(cos θ1+isin θ2)r 2(cos θ2+isin θ2)=r 1r 2(cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2));②除法: ) sin (cos ) sin (cos 222121θθθθi r i r ++ = 2 1 r r (cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2));③乘方:[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ);④开方:z n =r(cos θ+isin θ)?z =n r (cos n k πθ2++isin n k πθ2+)(k=0,1,2…,n-1). 2.辐角与三角: ⑴辐角性质:①定义:若z=r(cos θ+isin θ)(r ≥0,θ∈R),则θ称为复数z 的辐角,记为Argz;特别地,当θ∈[0,2π)时,则θ称为复数z 的辐角主值,记为argz;②运算:Argz 1+Argz 2=Arg(z 1z 2);Argz 1-Argz 2=Arg(2 1 z z )=Arg(z 12z );nArgz= Argz n ;③性质:若z=cos θ+isin θ,则1+z=2cos 2θ(cos 2θ+isin 2θ);1-z=-2sin 2θ(cos 2θ+isin 2 θ). ⑵单位根:①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根,分别记为ωk (k=0,1,2,…,n-1);ωk =(cos n k π2+isin n k π 2)(k=0, 1,2…,n-1);②性质:ω0=1;ωk =ω1k ;ωk ωj =ωk+j ;单位根的积仍是单位根;n 次单位根的全部为:1,ω1,ω12,…,ω1n-1;③1+ω1+ω12+…+ω1n-1=0,(x-1)(x-ω1)(x-ω12)…(x-ω1n-1)=x n -1. ⑶基本结论:①实系数n 次方程的虚根α与其共轭复数α成对出现;②若|z 1|=|z 2|=…=|z n |,且z 1+z 2+…+z n =0,则z 1,z 2, …,z n 对应的点是正n 边形的顶点,且正n 边形的中心在坐标原点;③若复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,且z 1=z 0z 2,则∠Z 1OZ 2=argz 0,或argz 0-π. 3.复数与几何: ⑴基本原理:①点的对应:复数z=x+yi 与点Z(x,y)成一一对应;②向量对应:复数z=x+yi 与向量OZ =(x,y)成一一对应;③距离公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,则|Z 1Z 2|=|z 1-z 2|;④旋转公式:复数z 1,z 2对应的点分别为Z 1,Z 2,向量21z z 绕点Z 1逆时针旋转θ角,再伸长r(r>0)倍,则所得向量z z 1中的Z 对应的复数z=z 1+r(z 2-z 1)(cos θ+isin θ). ⑵线性结论:①定比分点:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,点Z 分有向线段21z z 的比为λ(λ≠-1),则z= λ λ++12 1z z ;②三点共线:若复数z,z 1,z 2对应的点分别为Z,Z 1,Z 2,则三点Z,Z 1,Z 2共线的充要条件是:Z=λZ 1+(1-λ)Z 2;③平行条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2∥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4);④垂直条件:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则Z 1Z 2⊥Z 3Z 4的充要条件是:z 1-z 2=λ(z 3-z 4)i. 2 Y.P .M 数学竞赛讲座 ⑶几何结论:①三角形面积:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3的面积= 2 1 ×复数(z 13z +z 21z +z 32z )的虚部;②三角形形状:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,则△Z 1Z 2Z 3为正三角形的充要条件是:z 12+z 22+z 32=z 1z 2+z 2z 3+ z 3z 1;或z 1+ωz 2+ω2z 3=0;③三角形相似:若复数z 1,z 2,z 3对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,复数w 1,w 2,w 3对应的点分别为W 1,W 2,W 3,则△Z 1Z 2Z 3∽△W 1W 2W 3的充要条件是:1312z z z z --=1 312w w w w --;④四点共圆:若复数z 1,z 2,z 3,z 4对应的点分别为Z 1,Z 2,Z 3,Z 4,则四点Z 1, Z 2,Z 3,Z 4共圆的充要条件是: 1413z z z z --:2 42 3z z z z --∈R. 二、典型问题 1.复数概念 [例1]:(2006年全国高中数学联赛试题)若对一切θ∈R,复数z=(a+cos θ)+(2a-sin θ)i 的模不超过2,则实数a 的取值 范围为 . [解析]:|z|≤2?(a+cos θ)2+(2a-sin θ)2≤4?2acos θ-4asin θ≤3-5a 2?-2 5asin(θ+φ)≤3-5a 2 ?25|a|≤3 -5a 2 ?(5|a|-1)(5|a|+3)≤0?a ∈[- 55,5 5]. [类题]: 1.①(2010全国高中数学联赛黑龙江初赛试题)已知复数z 1=m+2i,z 2=3-4i,若 2 1 z z 为实数,则实数m 的值为 . ②(2011年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 1满足(z 1-2)(1+i)=1-i,复数z 2的虚部为2,则z 1z 2为实数的条件是z 2= . 2.(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)若 3 131 - + z z 为纯虚数,则|z|= . 3.(2011年全国高中数学联赛浙江初赛试题)如果复数(a+2i)(1+i)的模为4,则实数a 的值为 . 4.(1994年全国高中数学联赛试题)给出下列两个命题:①设a,b,c 都是复数,如果a 2 +b 2 >c 2 ,则a 2 +b 2 -c 2 >0;②设a,b,c 都是 复数,如果a 2+b 2-c 2>0,则a 2+b 2>c 2 .那么下述说法正确的是( ) (A)命题①正确,命题②也正确 (B)命题①正确,命题②错误 (C)命题①错误,命题②也错误 (D)命题①错误,命题②正确 5.(2010年全国高中数学联赛浙江初赛试题)设z 是虚数,w=z+ z 1 ,且-1 2 2 b a bi a +-=a+ 2 2 b a a ++(b- 2 2 b a b +)i.由-1 2 b a b +=0?b=0,或a 2+b 2 =1. 当b=0时,a ≠0,w=a+ a 1?|w|≥2,不符合-1 b 2 =1时,w=2a,由-1 1 [例2]:(1995年全国高中数学联赛试题)设α,β为一对共轭复数,若|α-β|=23,且 2 βα 为实数,则|α|= . [解析]:设α=a+bi(a,b ∈R)?β=a-bi ?αβ=a 2+b 2∈R,α-β=2bi,|α-β|=2 3?|b|=3, 2βα=2 3 )(αβα为实数?α3 =(a+bi)3 =(a 3 -3ab 2 )+(3a 2 b-b 3 )i 为实数?3a 2 b-b 3 =0?|a|=1?|α|=2. [类题]: 1.①(2011年全国高中数学联赛江苏初赛试题)复数(1+i)4 +(1-i)4 = . ②(2005年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:！ ！！！i i i i 100 210+???+++= . Y.P .M 数学竞赛讲座 3 2.(1996年第七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知i 2 =-1,在集合{s|s=1+i+i 2 +i 3 +…+i n ,n ∈N}中包含的元素 是 . 3.(2007年全国高中数学联赛上海初赛试题)复数数列{a n }满足a 1=0,a n =a n-12 +i(n ≥2,i 为虚数单位,则它的前2007项的和 = . 4.(2000年湖南高中数学夏令营试题)设复数数列{z n }满足z 1=i,z n+1=-z n 2 -i,则|z 2000|= 5.(1991年全国高中数学联赛上海初赛试题)使复数z=i x x x x i x x --++cos ) tan sin cos 2(2sin sin 2成为实数的所有x 构成的集合 是 . 解:复数z=i x x x x i x x --++cos )tan sin cos 2(2sin sin 2为实数?[sinx+sin2x+i(2cos 2 xsinx-tanx)](cosx+i)为实数?sinx+sin2x +(2cos 2xsinx-tanx)cosx=0?sin2x+cos 2 xsin2x=0?sin2x=0?sinx=0(cosx ≠0)?x=k π. 3.三角形式 [例3]:(1999年全国高中数学联赛试题)给定实数a,b,c,已知复数z 1,z 2,z 3满足:?? ???=++===11 ||||||133221321z z z z z z z z z ,求|az 1+bz 2+cz 3|的值. [解析]:由|z 1|=|z 2|=|z 3|=1,可设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β,z 3=cos γ+isin γ? 21z z +32z z +1 3z z =cos(α-β)+ isin(α-β)+cos(β-γ)+isin(β-γ)+cos(γ-α)+isin(γ-α)=1?sin(α-β)+sin(β-γ)+sin(γ-α)=0? 2sin 2 γα-cos 2 2β γα-+-2sin 2 γα-cos 2 γα-=0?sin 2 γα-sin 2 αβ-sin 2 βγ-=0. 当sin 2 αβ-=0时,β=2k π+α?z 1=z 2,由 21z z +32z z +13z z =1?31z z +13z z =0?(13z z )2+1=0?1 3z z =±i ?|az 1+bz 2+cz 3|=|(a+b ±ic)z 1|=22)(c b a ++;同理可得:当sin 2 βγ-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|=22)(a c b ++;当sin 2 γα-=0时,|az 1+bz 2+cz 3|= 22)(b c a ++. [类题]: 1.(1992年全国高中数学联赛上海初赛试题)设A 、B 、C 为△ABC 的三内角,则复数A i A C i C B i B 2sin 2cos 1) 2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++的 虚部是 . 解: A i A C i C B i B 2sin 2cos 1)2sin 2cos 1)(2sin 2cos 1(-+++++=)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2)sin (cos cos 2A i A A C i C C B i B B ++?+=2A C B cos cos cos A i A C B i C B sin cos )sin()cos(-+++=2 A C B cos cos cos [(cos(A+B+C)+isin(A+B+C))=-2A C B cos cos cos ,虚部是0. 2.(1992年湖南高中数学夏令营试题)已知复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|=1,z 1-z 2=cos150 +isin150 ,则 2 1 z z = . 解:设z 1=cos α+isin α,z 2=cos β+isin β?z 1-z 2=(cos α-cos β)+(sin α-sin β)i=cos150+isin150 ?cos α-cos β= cos150,sin α-sin β=sin150?(cos α-cos β)2+(sin α-sin β)2 =1?cos(α-β)= 2 1 ,sin α-sin β=±23?2 1z z =cos(α-β)+isin(α-β)= 21 ±2 3 i. 3.(2000年全国高中数学联赛河北初赛试题)设|z 1|=|z 2|=a(a ≠0),且z 1+z 2=m+mi,其中m 为非零实数.则z 13 z 23 的值是 . 解:设z 1=acos α+aisin α,z 2=acos β+aisin β,由z 1+z 2=m+mi ?a(cos α+cos β)=m,a(sin α+sin β)=m ?cos α+cos β= 4 Y.P .M 数学竞赛讲座 sin α+sin β?2cos 2 βα+cos 2 βα-=2sin 2 βα+cos 2 βα-?cos 2 βα+=sin 2 βα+?tan 2 βα+=1?α+β= 2 π?z 1z 2= a 2 [cos(α+β)+isin(α+β)]=a 2 i ?z 13 z 23 =(z 1z 2)3 =-a 6 i. 4.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设|z|=1,则|z 2 -z+2|的最小值为 . 解:设z=cos θ+isin θ?|z 2 -z+2|=|cos2θ+isin2θ-cos θ-isin θ+2|=|cos2θ-cos θ+2+(sin2θ-sin θ)i|= θθ2cos 4cos 66+-=87)83(cos 82+-θ≥ 4 14 . 5.(2006年全国高中数学联赛辽宁初赛试题)已知复数集合D,复数z ∈D 当且仅当存在模为1的复数z 1,使得|z-2005-2006i| =|z 14 +1-2z 12 |.则D 中实部和虚部都为整数的复数的个数是 . 解:设z 1=cos θ+isin θ?|z 14 +1-2z 12 |=|(z 12 -1)2 |=|z 12 -1|2 =|cos2θ-1+isin2θ|2 =(cos2θ-1)2 +sin 2 2θ=2-2cos2θ≤4? |z-2005-2006i|≤4,设z=x+yi ?(x-2005)2+(y-2006)2≤16?x 2+y 2 ≤16共有49个解. 4.共轭运算 [例4]:(2001年全国高中数学联赛试题)若复数z 1,z 2满足|z 1|=2,|z 2|=3,3z 1-2z 2=2 3-i,则z 1z 2= . [解析]:|z 1|=2,|z 2|=3?z 11z =4,z 22z =9? 23-i=3z 1-2z 2=31z 1z 22z -21z 2z 11z =61z 1z 2(22z -31z )=-6 1 z 1z 2(31z -22z )= -61z 1z 2(23+i)?z 1z 2=-1330+13 72 i. [类题]: 1.(1986年全国高中数学联赛试题)为z 为复数,M={z|(z-1)2 =|z-1|2 },那么( ) (A)M={纯虚数} (B)M={实数} (C){实数}?M ?{复数} (D)M={复数} 解:(z-1)2=|z-1|2?(z-1)2 =(z-1)(z -1)?z=1,或z=z ?M={实数}. 2.(1985年全国高中数学联赛试题)设z,w,λ为复数,|λ|≠1关于z 的方程z -λz=w 下面有四个结论:①z=2 ||1λλ-+w w 是这个方程的解;②这个方程只有一个解;③这个方程有两个解;④这个方程有无穷多解.则( ) (A)只有①和②是正确的 (B)只有①和③是正确的 (C)只有①和④是正确的 (D)以上(A)、(B)、(C)都不正确 解:z -λz=w ?z-λz =w ?z-λ(λz+w)=w ?(1-λλ)z=λw+w ?z= 2 ||1λλ-+w w .故选(A). 3.(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)如果复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 2|,且z 1-z 2=2-i,则 | |212 1z z z z 的值为 . 解:设|z 1|=|z 2|=a ?z 11z =z 22z =a 2?a 2 (2-i)=z 1z 22z -z 2z 11z =-z 1z 2(1z -2z )=-z 1z 2(2+i)? ||212 1z z z z =221a z z =i i ++-22=543i +-. 4.(1996年湖南高中数学夏令营试题)z 1,z 2是已知的两个任复数,复数z 满足z ≠0,z+z 2≠0,z z 1+z 2z +z 12z =0,则 arg 2 1 z z z z ++= . 解:z z 1+z 2z +z 12z =0?z z 1+(z+z 1)2z =0?z z 1z 2+(z+z 1)2z z 2=0;z z 1+z 2z +z 12z =0?z 1z +z z 2+1z z 2=0?z z 2+(z+z 2)1z =0?z z 1z 2+(z+z 2)1z z 1=0?(z+z 1)2z z 2=(z+z 2)1z z 1? 21z z z z ++=2 211z z z z =正实数?arg 21z z z z ++=0. 5.(1991年全国高中数学联赛试题)设复数z 1,z 2满足|z 1|=|z 1+z 2|=3,|z 1-z 2|=33,则log 3|(z 12z )2000 +(1z z 2)2000 |= . 解:9=|z 1|2 =z 11z ,9=|z 1+z 2|2 =(z 1+z 2)(1z +2z )=z 11z +z 22z +z 21z +z 12z ;27=|z 1-z 2|2 =(z 1-z 2)(1z -2z )=z 11z +z 22z -(z 21z +z 12 z )?z 11z +z 22z =18?z 22z =9?|z 2|=3?|z 21z |=|z 12z |=9,z 21z +z 12z =-9,设z 12z =9(cos θ+isin θ)?z 21z =9(cos θ-isin θ)?cos θ=-2 1 ?sin θ=±2 3?z 12z =9ω,或ω2?log 3|(z 12z )2000+(1z z 2)2000|=log 3|(9ω)2000+(9ω2)2000 |= Y.P .M 数学竞赛讲座 5 log 3|9 2000 (ω+ω2)|=4000. 5.模的运算 [例5]:(2011年全国高中数学联赛新疆初赛试题)复数z 1和z 2满足:|z 2|=4,4z 12-2z 1z 2+z 22=0,则|(z 1+1)2(z 1-2)|的最大值 为 . [解析]: 由4z 12-2z 1z 2+z 22=0?3z 12+(z 1-z 2)2=0?(z 1-z 2)2=-3z 12?z 1-z 2=± 3z 1i ?z 2=(1±3i)z 1?|z 2|=2|z 1|?|z 1|= 2,设z 1=2(cos α+isin α)?|(z 1+1)2(z 1-2)|=|(z 1+1)2||(z 1-2)|=[(2cos α+1)2+(2sin α)2 ]22)sin 2()2cos 2(αα+-= )cos 88()cos 45(2αα-+≤36(cos α= 4 1 ). [类题]: 1.(1983年全国高中数学联赛上海初赛试题)| ) 52)(32()35)(25)(23(2 i i i i i --+++|= . 2.(2011年全国高中数学联赛天津初赛试题)复数z 满足|z|(3z+2i)=2(iz ?6),则|z|等于 . 解:设|z|=r(r>0)?z=i r ri 23212+-+?r 2=|z|2=|i r ri 23212+-+|2=22|23||212|i r ri +-+=4 9414422++r r ?r 4 =16?r=2. 3.(2004年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设{z n }是一个复数数列,定义z n =(1+i)(1+2 i ) (1) n i ),则∑=+-n n n n z z 1 1||= . 解:|z n -z n+1|=1. 4.(2002年全国高中数学联赛湖南初赛试题)已知复数z 满足z z -z-z =3,且arg(z-1)=3 π,则z= . 解:z z -z-z =3?(z-1)(z -1)=4?|z-1|=2?z-1=2(cos 3 π+isin 3 π). 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设z 是复数,且|z|=1,则u=|z 2 -z+1|的最大值与最小值是 . 解:u=|z 2 -z+1|=|z 2 -z+z z |=|z(z+z -1)|=|z+z -1|.设z=x+yi,则|x|≤1?u=|z+z -1|=|2x-1|∈[0,3]. 6.乘方运算 [例6]:(2007年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n ≥2007,且n 为使得a n =( 22-+i 22+)n 取实数值的最小正 整数,则对应此n 的a n = . [解析]:令tan θ= 2 222-+(0<θ< 2 π)?tan 2 θ= 2 222-+=3+22?tan θ=2+1?tan2θ=-1?2θ= 43π?θ=8 3π ? a n =[r(cos 83π+isin 83π)]n =r n (cosn 83π+isinn 83π)取实数值,其中r=2?sinn 83π=0?n 8 3π=k π?3n=8k ?n=8m,满足此条件且n ≥2007的最小正整数n 为2008,此时a n =a 2008=22008 cos753π=-2 2008 . [类题]: 1.(1989年全国高中数学联赛上海初赛试题)计算:( 2 1i -) 1989 = . 2.①(2011年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z=(3-3i)n ,若z 为实数,则最小的正整数n 的值为 . 解:令tan θ=-3 3=-3?θ= 3 5π ?3-3i=23(cos 35π+isin 35π)?z=(3-3i)n =[23(cos 35π+isin 3 5π)]n = (23)n [cos( 35πn)+isin(35πn)]为实数?sin(35πn)=0?35πn=k π?k= 3 5n ?最小的正整数n 的值为3. ②(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)设n 为使a n =( 2 1 3++2 13-i)n 取实数的最小自然数,则对应此n 的 6 Y.P .M 数学竞赛讲座 a n = . 3.①(2003年全国高中数学联赛安徽初赛试题)设n 为不超过2003的正整数.如果有一个角θ使得(sin θ+icos θ)n =sinn θ +icosn θ成立,则这种n 的总个数为 . 解:(sin θ+icos θ)n =[i(cos θ-isin θ)]n =i n [cos(-θ)+isin(-θ)]n =i n [cos(-n θ)+isin(-n θ)]=i n [cos(n θ)-isin(n θ)]=i n-1(sinn θ+icosn θ)?i n-1 =1?n-1=4k ?n=4k+1(n ≤2003)?k ≤500?(k=0)这种n 的总个数为501. ②(1988年全国高中数学联赛上海初赛试题)设m 、n 是自然数,且使(3+i)m =(1+i)n 成立(其中i 是虚数单位),则乘积 mn 的最小值是 . 4.(2010年全国高中数学联赛山东初赛试题)已知z 为复数.若|z|=1,|z +i|=1,则当(z+i)n (n 为正整数)为实数时,|z+i| n 的最小值为 . 解:由|z|=1?z z =1,|z +i|=1?(z +i)(z-i)=1?(z -z)i=1?z-z =i ?z=± 23+2 1 i ?z+i=±23+2 3 i=±3( 2 1 ± 2 3i)?(z+i)n =(±3)n ( 21±23i)n ,其中w=21±2 3i 是方程w 2-w+1=0的根?w 3=-1?n=3时,|z+i|n 的最小值为33. 5.(1985年全国高中数学联赛上海初赛试题)[(2 3i +)8+1]n 当n 取1,2,…,100时,可得 个不同的数值. 解:[( 23i +)8+1]n =[(-i)8(2 31i +-)8+1]n =[(-i ω)8+1]n =(ω2+1)n =(-ω)n ,可得6个不同的数值. 7.单位复数 [例7]:(1991年全国高中数学联赛试题)设a,b,c 均为非零复数,且b a =c b =a c ,则c b a c b a +--+的值为 . [解析]:设b a =c b =a c =x ?a=xb,b=xc,c=xa ?abc=x 3abc ?x 3=1?x=1,x=ω,x=ω2(三次方程有三个根)=0? c b a c b a +--+= 1 12 2+--+x x x x =1,或ω,或ω2 . [类题]: 1.①(1980年全国高中数学联赛上海初赛试题)设x 1,x 2是方程x 2 -x+1=0的两个根,则x 1 1980 + 19802 1x = . 解:x i 6 =1?x 1 1980 =1, 19802 1x =1?x 1 1980 + 19802 1x =2; ②(2009年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知复数m 满足m+m 1=1,则m 2008 +20091m = . 解:m+ m 1=1?m 2-m+1=0?(m+1)(m 2-m+1)=0?m 3=-1?m 6=1?m 2008=m 4=-m,m 2009=m 5= m 1?m 2008 +20091m =-m+m=0. 2.①(1990年全国高中数学联赛试题)设非零数复数x,y 满足x 2 +xy+y 2 =0,则代数式( y x x +)1990+(y x y +)1990 的值是 . 解:x 2 +xy+y 2 =0?(y x )2+y x +1=0.令y x =ω?ω2+ω+1=0?ω3=1?(y x x +)1990+(y x y +)1990 =19901990) 1(ωω++1990)1(1ω+= 1990 2) (ωω -+ 1990 2) (1ω-= 2 1 ωω+=-1. ②(2006年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设非零数相异复数x,y 满足x 2 +xy+y 2 =0,则代数式[2 ) )((y x y x xy -+] 2006 (x 2006 +y 2006 )的值是 . Y.P .M 数学竞赛讲座 7 3.(2011年全国高中数学联赛河南初赛试题)若z ∈C,且x 10 =1,则1+x+x 2 +x 3 +…+x 2009 +x 2010 = . 解:若z ∈R,由x 10=1?x=±1.当x=1时,1+x+x 2 +x 3 +…+x 2009+x 2010 =2011;当x=-1时,1+x+x 2+x 3+…+x 2009+x 2010=1;若z ≠±1,由 x 10 =1?(x 2 -1)(x 8 +x 6 +x 4 +x 2 +1)=0?x 8 +x 6 +x 4 +x 2 +1=0?x 9 +x 7 +x 5 +x 3 +x=0?1+x+x 2 +x 3 +…+x 10 =0?1+x+x 2 +x 3 +…+x 2009 +x 2010 =1. 4.(1999年第十届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知复数z 满足:z 3 =27,则z 5 +3z 4 +2242= . 5.(2008年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)设(23+2 x i)2008 =f(x)+ig(x)(f(x),g(x)均为实系数多项式),则f(x)的系数之和是 . 解:( 23+2x i)2008=f(x)+ig(x)?f(1)+ig(1)=(23+21i)2008=(-i)2008(-21+23i)2008=ω2008 =ω=-21+23i ?f(1)=-2 1. 8.复数方程 [例8]:(1994年全国高中数学联赛试题)x 的二次方程x 2+z 1x+z 2+m=0中,z 1,z 2,m 均是复数,且z 12-4z 2=16+20i,设这个方程 的两个根α,β满足|α-β|=27,求|m|的最大值和最小值. [解析]:由韦达定理知α+β=-z 1,αβ=z 2+m ?28=|α-β|2=|(α-β)2|=|(α+β)2-4αβ|=|z 12-4z 2-4m|=|16+20i-4m| ?|m-(4+5i)|=7?m 在以A(4,5)为圆心,7为半圆的圆上?|m|≥7-|OA|=7-41;|m|≤7+|OA|=7+41. [类题]: 1.(1995年全国高中数学联赛上海初赛试题)若虚数z 使2z+ z 1为实数,则2z+z 1 的取值范围是_____. 2.(1993年全国高中数学联赛试题)二次方程(1-i)x 2 +(λ+i)x+(1+i λ)=0(i 为虚数单位,λ∈R)有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为________. 解:设方程有实根x 0,则(x 02 +λx 0+1)+(-x 02 +x 0+λ)i=0??? ?? ?=++-=++00102 0020λλx x x x ?(x 0+1)(λ+1)=0?x 0=-1?λ=2;λ=-1?x 02 -x 0+1=0无实根,综上,λ=2;所以,有两个虚根的充分必要条件是λ的取值范围为λ≠2. 3.(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)方程z 4 =z (z 为z 的共轭复数)的根为 . 解:z 4=z ?|z|4=|z |?|z|=0,1?z=0,z 5=z z ?z 5 =1?z=cos 52πk +isin 5 2π k (k=0,1,2,3,4) 4.(2001年第十二届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)复数z 满足等式z+z |z|3 =0,则z= . 解:由z+z |z|3=0?z=-z |z|3?|z|=|-z |z|3|?|z|=|z |||z|3?|z|=|z|4?|z|=0,1;当|z|=0时,由z+z |z|3 =0?z= 0;当|z|=1时,由z+z |z|3 =0?z+z =0?z 是纯虚数?z=±i. 5.(2000年全国高中数学联赛试题)设ω=cos 5 π+isin 5 π,则以ω,ω3,ω7,ω9 为根的方程是( ) (A)x 4 +x 3 +x 2 +x+1=0 (B)x 4 -x 3 +x 2 -x+1=0 (C)x 4 -x 3 -x 2 +x+1=0 (D)x 4 +x 3 +x 2 -x -1=0 解:ω=cos 5 π+isin 5 π=cos 102π+isin 10 2π?ω,ω2,…,ω10是1的10个10次方根?(x-ω)(x-ω2)…(x-ω10)=x 10 -1;又因ω2 ,ω4 ,ω6 ,ω8 ,ω10 是1的5个5次方根?(x-ω2 )(x-ω4 )…(x-ω10 )=x 5 -1;两式相除得:(x-ω)(x-ω3 )…(x-ω9 )=x 5 +1,其中ω5 =cos π+isin π=-1?x-ω5 =x+1?(x-ω)(x-ω3 )(x-ω7 )(x-ω9 )= 1 15++x x =x 4-x 3+x 2 -x+1.选(B). 9.复数与点 [例9]:(1998年全国高中数学联赛试题)设复数z=cos θ+isin θ(00≤θ≤1800),复数z,(1+i)z,2z 在复平面上对应的三 个点分别是P,Q,R,当P,Q,R 不共线时,以线段PQ,PR 为两边的平行四边形的第四个顶点为S,则点S 到原点距离的最大值是 _. 1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 高中数学竞赛基本知识集锦 广州市育才中学数学科 邓军民 整理 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -= 三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x 高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相 高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcos θ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ =Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isinθ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）||z 1|-|z 2 || ≤|z 1±z 2 |≤|z 1 |+|z 2 |；（8）|z 1 +z 2 |2+|z 1 -z 2 |2=2|z 1 |2+2|z 2 |2；（9）若|z|=1，则 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形 第十五章 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， Y.P.M 数学竞赛讲座 竞赛中的复数问题 复数不仅具有自身知识体系的丰富性，而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系?复数的演绎独具特色，饶于 技巧,复数是竞赛数学的内容之一. 一、知识结构 1. 概念与运算： ⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b €R);②三角式:z=r(cos &+isin 9)(r 为，9 R);③指数式:z=re i 0(rM), 9 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=， 高中数学讲义 题型一：复数的概念 【例1】若复数()()2321a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．1或2 D ．1- 【例2】若复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A ． B ． C ． D ．或 【例3】已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ） A ．()15， B ．()13， C ．(1 D ．(1 【例4】若复数(2)i bi ?+是纯虚数，则实数b = ． 【例5】设1z 是复数，211z z iz =-（其中1z 表示1z 的共轭复数），已知2z 的实部是1-，则2z 的虚部 为 ． 【例6】复数3 2 1i +=（ ） A ．12i + B ．12i - C ．1- D ．3 【例7】计算：0!1!2! 100!i +i +i + +i = （i 表示虚数单位） 2(1)(1)z x x i =-+-x 1-011-1典例分析 复数 高中数学讲义 【例8】设22(253)(22)i z t t t t =+-+-+，t ∈R ，则下列命题中一定正确的是（ ） A ．z 的对应点Z 在第一象限 B ．z 的对应点Z 在第四象限 C ．z 不是纯虚数 D ．z 是虚数 【例9】在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小； ②若22(1)(32)i x x x -+++是纯虚数，则实数1x =±； ③z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ； ④若a b ， 是两个相等的实数，则()()i a b a b -++是纯虚数； ⑤z ∈R 的一个充要条件是z z =． ⑥1z =的充要条件是1 z z =． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 题型二：复数的几何意义 【例10】复数i i z -+=1)2(2 （i 是虚数单位）在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例11】复数13i z =+，21i z =-，则复数 1 2 z z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例12】在复平面内，复数2009 2 1i (1i)+-对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【例13】在复平面内，复数sin 2cos 2z i =+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2016年~2018年全国高中数学联赛一试试题分类汇编 12、复数部分 2018A 6、设复数z 满足1=z ，使得关于x 的方程0222 =++x z zx 有实根，则这样的复数z 的和为 ◆答案：2 3- ★解析：设bi a z +=（R b a ∈,，且12 2 =+b a ） 则原方程变为()()02222 2 =-+++i bx bx ax ax ，所以???=-=++0 202222bx bx ax ax *** ， ①若0=b ，则12 =a ，解得1±=a ，检验得，1=a ，31±-=x ，即1-=z ； ②若0=b ，则由**知0=x 或2，检验得：2=x ，代入* 得4 1 - =a ，415±=b ， 所以i z 4 15 41±- =； 综上满足条件的所有复数之和为2 3 41541415411-=--++-+-i i 2018B 8、已知复数321,,z z z 满足1321===z z z ，r z z z =++321，其中r 是给定的实数，则 1 3 3221z z z z z z ++的实部是 （用含有r 的式子表示） ◆答案： 2 3 2-r ★解析:记133221z z z z z z w ++= ，由复数的模的性质可知：111z z =，221z z =，3 31z z =，因此 133221z z z z z z w ++=。 于是()() w w w z z z z z z z z z r Re 2322 3222 1 3213212 +=++++=++++= 解得2 3 Re 2-=r w 。 2017A 11、（本题满分20分）设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2 22 1==z z ，（其中)Re(z 表示复数z 的实部） ⑴求)Re(21z z 的最小值； ⑵求212122z z z z --+++的最小值。 ★解析：⑴对2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），由条件知， ()0Re >=k k z x ，()2Re 2 ==-k k k z y x 因此： ()()()()() 2 222Re Re 2121212 22 12121221121≥-+≥-++= -=++=y y y y y y y y y y x x i y x i y x z z 又当221= =z z 时，()2Re 21=z z ，这表明)Re(21z z 的最小值为2。 ⑵对于2,1=k ，设i y x z k k k +=，（R y x k k ∈,），将k z 对应到平面直角坐标系xOy 中的点 ()k k k y x P ,，记/2P 是2P 关于x 轴的对称点，则1P ，/2P 均位于双曲线222=-y x 的右支上。 设21,F F 分别是双曲线的左右焦点，易知()()0,2,0,221F F -。根据双曲线的定义，有 2221+=PF PF ,222/21/2+=F P F P ，进而得到: =--+++212122z z z z /211/211212122P P F P F P z z z z -+=--+++2424/212/221≥-++=P P F P F P ,等号成 立当且仅当2F 位于线段/ 21P P 上（例如，当i z z 2221+ ==时，2F 恰是/ 21P P 的中点） 。 综上可知，212122z z z z --+++的最小值为24。 2017B 2、设复数z 满足i z z 22109+=+，则z 的值为 【2013浙江】集合{,11P x x R x =∈-<}，{,1},Q x x R x a =∈-≤且P Q ?=?,则实数a 取值范围为（ ） A. 3a ≥ B. 1a ≤-. C. 1a ≤-或 3a ≥ D. 13a -≤≤ 答案 C {02},{11},P x x Q x a x a =<<=-<<+要使P Q ?=?，则12a -≥或10a +≤。 解得1a ≤-或 3a ≥。 【2013浙江】若,,R αβ∈ 则90αβ+= 是sin sin 1αβ+>的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 D 当0,90sin sin 1αβαβ==?+= 。 当60sin sin 31αβαβ==?+=> ，但90αβ+≠ 。 【2013河北】已知集合{}11,10,,lg ,10A B y y x x A ? ?===∈???? ，则A B = . 答案：{}0,1,1B =-，{}1A B = . 【2013辽宁】已知集合{}{} 23100,121A x x x B x m x m =--≤=+≤≤-，当A B =? 时，实数m 的取值范围是（ ） (A) 24m << (B) 24m m <>或 (C) 142 m - << (D) 142m m <->或 答案：B.,B B =?≠?. 【2013吉林】已知函数[](),0,1f x ax b x =+∈，20a b +>是()0f x >恒成立的（ ） (A) 充分不必要条件 (B) 必要不充分条件 (C) 充要条件 (D) 既不充分也不必要条件 答案：B 【2013湖北】设集合{}1,3,5,7,9A =，{}2,4,6,18B =，{} ,C a b a A b B =+∈∈，则集 1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编 复数部分 2019A 11、称一个复数数列{}n z 为“有趣的”，若11z =，且对任意正整数n ，均有 2211420n n n n z z z z ++++=，求最大的常数C ，使得对一切有趣的数列{}n z 及任意正整数m ， 均有12m z z z C +++≥L 。 ★解析：考虑有趣的复数数列 {} n z ．归纳地可知0n z ≠ ．由条件得 2 114210n n n n z z z z ++????++= ? ????? （n N *∈ ），解得114n n z z +-±=（n N *∈），因此112n n z z +=， 故111 11 22 n n n z z --=? =（n N *∈）① 进而有111112n n n n n n z z z z z ++-+=?+ ==② 记12m m T z z z =+++L （m N * ∈）则 当m 为偶数时，记2m s =，由②得 122122122 22s m k k k k k k k T z z z z z z ∞∞--===≥+-+>-+== ∑∑。 当m 为奇数时，记21m s =+，由① ②得21 212211 12s k k s k s k s z z z ∞∞ +-=+=+=<==+∑∑， 故1221221 2122223s m k k s k k k k T z z z z z z z ∞-+-==?? ≥+-+->-+= ??? ∑∑ 当1m = 时，111T z ==> ，综上知3C =满足要求。 另一方面，当11z = ，2k z = ，21k z +=k N * ∈），时，易验证得{}n z 为“有趣的”数列， 此时( )2112211 1 34lim lim lim 11833s s s k k s s s k k T z z z ++→∞ →∞ →∞ ==-+=++=+=+?=∑， 备战2021年高中数学联赛之历年真题汇编（1981-2020） 专题21复数A辑 历年联赛真题汇编 1．【2000高中数学联赛（第01试）】设ω=cosπ 5+i sinπ 5 ，则以ω,ω3,ω7,ω9为根的方程是( ) A．x4+x3+x2+x+1=0B．x4?x3+x2?x+1=0 C．x4?x3?x2+x+1=0D．x4+x3+x2?x?1=0【答案】B 【解析】本题也可以用检验法.显然|ω|=1,ω10=1， 所以ω+ω3+ω7+ω9=ω+ω3+ω3+ω?=2cosπ 5+2cos3π 5 =4cos2π 5cosπ 5 =4cos2π 5 cosπ 5 sinπ 5 =1. 由根与系数的关系，从而排除A，D. 又有ωω3ω7+ωω3ω9+ωω7ω9+ω3ω7ω9=ω+ω3+ω7+ω9=1， 再排除C， 故选：B. 2．【1995高中数学联赛（第01试）】设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z 2 ，…，Z20，则复数Z11995,Z21995,?，Z201995所对应的不同的点的个数是( ) A.4 B.5 C.10 D.20 【答案】A 【解析】解法1设Z1=cosθ+isinθ， 则Z k=(cosθ+isinθ)(cos2(k?1)π 20)+ isin 2(k?1)π 20 (1?k?20)， 由1995=20×99+15得Z k1995=(cos1995θ+isin1995θ)(cos3π 2+i sin3π 2 ) k?1 =(cos1995θ+isin1995θ)(?i)k?1(k=1,2,?,20). 共有4个不同的值， 故选A． 解法2不妨设Z1,Z2,?,Z20为1的20个20次单位根， 则Z11995,Z21995,?,Z201995必为1的4次单位根， 且不难得知Z11995，Z21995,?,Z201995包含了1的4个4次单位根，故Z11995,Z21995,?,Z201995所对应不同点的个数为4. 复 数 专题一 复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握． 例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(41 i + 的等比复数列． （1）求4z ． （2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6 sin 6 (cos 21)26(41ππi i r += + = ．i r z 212483 4==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6r 的等比数列．所以 4 33= a ． （3）这个级数是公比8 16 - ==r 的无穷等比级数，从而和3 128) 8 1 (148= --= ． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正 的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时） 分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论． 解：1+n a 的辐角记作θ，21 2111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ． （1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+ -+=+-=+，所以)(13 1tan ∞→→+ -= n n n θ． （2）当1≠k 时，21 1 111) 1(a k k k a a n n n --++--= k k k k k n n n -- -++ --= -13)13(1111 ∴)()10(1)1(1 3313)13(1tan 1∞→?? ? ??<<>+-→---+= -n k k k k k k k n n n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示． （2）若（1）中的i 31+ =α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数． 解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,2 1223)(αα=-=-z z z z (1) 211)(----=-=-n n n n n z z z z α α 于是，从1≠α得，α α--= 11n n z ． 高中数学竞赛培优专题辅导-复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1? ?z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 数学建模中竞赛阅读中的问题 摘要 本文主要研究的是数学建模竞赛中试卷的优化配发，评分的标准化处理及对教师的评阅效果定量评价的问题． 问题一:针对试卷的随机分发问题，先利用MATＬＡB软件自带的rａnｄｐerm函数产生一个1至５00的随机矩阵，再用ｒeshaｐe函数对其进行重新排列成２５行２０列的矩阵,对矩阵ｙ进行列列交换的变化成两个新矩阵ｙ1与y2,构成75行20列的新矩阵z＝[]2 ,1 y y，从而实现对试卷的随机分发;针对均匀 ,y 性问题，以交叉数的方差作为评价任务单均匀性的评定指标,从多个随机分配方案中,选取交叉数方差最小的任务单供组委会使用. 问题二:评分的预处理需要对评阅教师的分数进行标准化，评分预处理方法是将不同的评分者变换到同一个尺度下,就是以某一位评分者的均值作为参照点，以其标准差表示距离转化为以零为参照点的标准分;然后采用均值为7０标准差为10将标准分转化为百分制的标准，分这样使得标准分与原始分相差不大；最后将同一份试卷的三个标准评分的几何平均值作为该份试卷的最终标准分。将附录中的２00份试卷的数据根据用Ｅxceｌ软件的统计与函数功能最终得到各份试卷的标准分值. 问题三：针对教师评阅效果的评价问题，本文给出两个评价标准:分别是评阅的原始成绩的可信度和评阅的原始成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的偏差值的稳定性．对于可信度，结合评分分制，对评阅的原始成绩与成绩标准化合成后的最终成绩的差分值做百分化处理，建立可信度数学模型,得出可信度最高的有10,１1，15,19，20号教师，高达96％；对于偏差值的稳定性，采用偏差值的方差来反映,得出稳定性最好的是第3号教师,稳定性较好的还有第1，７，１0,11，19号教师。最后,综合可信度和偏差值的稳定性两项指标,得出评阅效果较好的教师有第1,３,10,１1，15，19，20号教师，在下一次阅卷后合成成绩的时候可以考虑给他们以更大的权重. 关键词: 随机数矩阵标准化参照点可信度偏差值 高中数学《复数》练习题 一．基本知识：复数的基本概念 （1）形如a + b i 的数叫做复数（其中R b a ∈，）；复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.其中a 叫做复数的实部，b 叫做虚部 实数：当b = 0时复数a + b i 为实数 虚数：当0≠b 时的复数a + b i 为虚数； 纯虚数：当a = 0且0≠b 时的复数a + b i 为纯虚数 （2）两个复数相等的定义： 00==?=+∈==?+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且 （3）共轭复数：z a bi =+的共轭记作z a bi =-； （4）复平面： z a bi =+，对应点坐标为(),p a b ；（象限的复习） （5）复数的模：对于复数z a bi =+，把z =z 的模； 二．复数的基本运算：设111z a b i =+，222z a b i =+ （1） 加法：()()121212z z a a b b i +=+++； （2） 减法：()()121212z z a a b b i -=-+-； （3） 乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ?=-++ 特别22z z a b ?=+。 （4）幂运算：1i i =21i =-3i i =-41i =5i i =61i =-?????? 三．复数的化简 c di z a bi +=+（,a b 是均不为0的实数）；的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数：()()22 ac bd ad bc i c di c di a bi z a bi a bi a bi a b ++-++-==?=++-+ 四．例题分析 【例1】已知()14z a b i =++-，求 （1）当,a b 为何值时z 为实数（2）当,a b 为何值时z 为纯虚数 （3）当,a b 为何值时z 为虚数（4）当,a b 满足什么条件时z 对应的点在复平面内的第二象限。 【变式1】若复数2(1)(1)z x x i =-+-为纯虚数，则实数x 的值为 A ．1- B ．0 C 1 D ．1-或1高中数学竞赛讲义_复数
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