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高考数学难点突破_难点14__数列综合应用问题

难点14数列综合应用问题

纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 ?这就要求同学

们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以

提高解数列题的速度 ?

?难点磁场

t +2

t 2

(★★★★★)已知二次函数 y=f(x)在x= 处取得最小值一

(t > 0),f(1)=0.

(1) 求y=f(x)的表达式；

⑵若任意实数X 都满足等式f(x) ? g(X )+a n X+b n =X n+1 ［ g(x)］为多项式，n € N ),试用t 表示a n 和b n ； (3) 设圆C n 的方程为(X — a n )2+(y — b n )2=r n 2，圆C n 与C n+1外切(n=1,2,3,…);{r n }是各项都是正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求 r n 、S n .

?案例探究

［例1］从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，

根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少-，本年度当地旅游业收入估计为

400

1 4 .

(1) 设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为 b n 万元，写出a n ,b n 的表达式; (2) 至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

命题意图：本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型，属★★★★★级题目?

知识依托：本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点?

错解分析：(1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前 n 项和，易与“通项”混淆；次不等式又解指数不等式，易出现偏差 ? 技巧与方法：正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，采用了换元法，是解不等式常用的技巧

1 解:(1)第1年投入为800万元，第2年投入为800X (1 —-)万元，…第n 年投入为800X (1 -- )n

—

万元，所以，n 年内的总投入为

a n =800+800 X (1 — 1)+ …+800X (1 — 1 )n —

【'

800 X (1 — - )k —

5 5 心

第1年旅游业收入为 400万兀，第2年旅游业收入为 400X (1+ ),???,第n 年旅游业收入 400

1 _

X (1+丄)"—

1万元?所以，n 年内的旅游业总收入为

万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

(2)冋是既解一兀 (2)问中指数不等式

=4000 X [1—(4阳

b n =400+400 X (1+ -)+ …+400 X (1+ 1 厂

4 4

5 =1600 X[ ( —)n — 1]

(2)

设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此 b n —

a n > 0,即：

1600 X[ (-)n — 1]— 4000 X[1 — (4)n ]> 0，令 x=( -)n ，代入上式得：5x 2— 7x+2 > 0?解此不

4 5 5

2 4 2 等式，得X V 三，或x > 1(舍去).即(4)n v -，由此得n 》5.

???至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入 ?

,一，一，

1 1 1 *

[例2]已知S n =1+

+…+ —,(n € N )设f(n)=S 2n+1 — S n+1,试确定实数m 的取值范围，使得对

2 3 n

于一切大于1的自然数n ,不等式：f(n)> [log m (m — 1)] 2— 11 [log (m -1)m ] 2恒成立?

命题意图：本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力属★★★★★级题目?

知识依托：本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙错解分析：本题学生很容易求

f(n)的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理

技巧与方法：解决本题的关键是把

f(n)(n € N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为：

函数f(n)的最小值大于[log m (m — 1)] 2

1 1

解：Sn=1+

+ …+ —

=(」

」)(」

—)0

2n 2 2n 4 2n 3 2n 4

? f(n+1) > f(n)

? f(n)是关于n 的增函数 ?要使一切大于1的自然数n ，不等式

11 2

只要 __ >： log m (m

— 1)

]

- 10 :log (m -

1)m ]

成立即可

[lo g (m -1)m ]

1 * .(n € N ) n

f (n

) = S 2n 1 _ S n 1

又f (n 1) - f(n)=

1 + ------ +■ n 3 1 1 + ------- 2n 1 」+丄 2n

2 2n

3 n 2 2n 2 2n 3 2

2n 4 400 X (-)k I

--f (n) min =f(2)=

2 3 20 f(n)>： log m (m — 1)]

[log (m -

1)m ]恒成立

m A0, m 式1

T >0,m T 式1

此时设[log m(m —1)] 2=t 则t> 0

r 9 11 --- >t — ---- 于是丿20 20解得0v t v 1

t 0

由此得 0v[ log m (m — 1): v 1 解得m > 15且2.

?锦囊妙计

1. 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识

，又要有良好的思维能力和分析、解决问

题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差 (比)数列、递推

数列模型，再综合其他相关知识来解决问题

2. 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关：

(1) 事理关

(2) 文理关 (3) 事理关

扎实的基础知识和较强的数理能力

?歼灭难点训练一、选择题

1.( ★★★★★)已知二次函数 y=a(a+1)x 2 — (2a+1)x+1，当 a=1, 2，… 轴上截得的线段长依次为

d 1

,d 2,…，

d n ,…，则lim (d 1+d 2+…+d n )的值是(

n —^C

(2)求 b n 和 lim ，其中 S n =b 1 + b 2+ …+b n ；

r^cS n

(3)设r=219.2— 1, q=-，求数列｛ "2 * 1 ｝的最大项和最小项的值.

需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力

需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系

在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学

模型，完成用实际问题向数学问题的转化 .构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较

n ,…时，其抛物线在 x

B.2 A.1 二、填空题

2.( ★★★★★)在直角坐标系中,

若1，X i ，X 2, 4依次成等差数列，而 C.3

D.4

O 是坐标原点， 1, y i , y 2, 8依次成等比数列，则△ OP 1P 2的面积是 ___________

3. (★★★★)从盛满a 升酒精的容器里倒出 b 升，然后再用水加满，再倒出 b 升，再用水加满；这样倒了 n 次，则容器中有纯酒精 __________ 升.

4. ( ★★★★★)据2000年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长 7.3%，”如果“十?五”期间(2001年~2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十?五”末我国国内年生产总值约为

_________ 亿元.

三、解答题

5. (★★★★★)已知数列｛a n ｝满足条件：a 1=1,a 2=r(r >0),且｛ a n a n+仆是公比为q(q > 0)的等比数列, 设 b n =a 2n —1+a 2n (n = 1,2，…).

(1)求出使不等式 a n a n+1+a n+1a n+2>a n+2a n+3(n € N *)成立的q 的取值范围；

P l (x i , y”、P 2(X 2 , y 2)是第一象限的两个点,

2 log2b n

6. (★★★★★)某公司全年的利润为b元，其中一部分作为奖金发给n位职工，奖金分配方案如

下：首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小，由1到n排序，第1位职工得奖金-元,

然后再将余额除以 n 发给第2位职工，按此方法将奖金逐一发给每位职工，并将最后剩余部分作为公司发展基金.

(1) 设a k (1 < k w n)为第k 位职工所得奖金金额，试求 a 2,a 3，并用k 、n 和b 表示a?不必证明)； (2) 证明a k > a k+i (k=1,2,…,n — 1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义； (3) 发展基金与n 和b 有关，记为P n (b),对常数b ,当n 变化时，求lim P n (b). n _^c

7. ( ★★★★)据有关资料，1995年我国工业废弃垃圾达到 7.4X 108吨，占地562.4平方公里，若环保部门每年回收或处理

1吨旧物资，则相当于处理和减少

4吨工业废弃垃圾，并可节约开采各种

矿石20吨，设环保部门1996年回收10万吨废旧物资，计划以后每年递增

20%的回收量，试问：

(1) 2001年回收废旧物资多少吨？

(2) 从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨 (精确到万吨)? (3) 从1996年至2001年可节约多少平方公里土地？

8. (★★★★★)已知点的序列 A n (x n , 0),n € N ,其中 X 1=0,x 2=a(a >0),A 3是线段 A 1A 2 的中点，A A 是线段A 2A 3的中点，…,A n 是线段A n -2A n - 1的中点，….

(1) 写出X n 与X n —1、X n —2之间关系式(n > 3)；

(2) 设a n = X n+1 —冷，计算玄佃鸟念,由此推测数列 6｝的通项公式，并加以证明； (3) 求 lim X n .

n _jpc

参考答案

难点磁场

t +2

t 2

解：(1)设 f(X)=a(X —

)2—

，由 f(1)=0 得 a=1.

2 4

??? f(x)=x — (t+2)x+t+1.

(2)将 f(x)=(x — 1) : x — (t+1):代入已知得：

(x — 1) [x — (t+1)] g(x)+a n x+b n =x n+1,上式对任意的x € R 都成立，取x=1和x=t+1分别代入上式得：

、 ,

⑶由于圆的方程为(X — a n ) +(y — b n ) =r n ，又由⑵知a n +b n =1,故圆C n 的圆心O n 在直线x+y=1上, 又圆 C n 与圆 C n+1 相切，故有 r n +r n+1= '、2 | a n+1 — a .丨=2 (t+1)n+1

设｛

r n ｝的公比为q ，贝y

jn +佔=运0 +1)注 Jn+ +「n+q =V2(t +1)n ^

r *

J2(t +1)n41

②十①得q=^=t+1，代入①得r n =—

r n

t+2

歼灭难点训练

1 解得a n =- t

[(t+1)

n+1

1L b n = ￥ : 1 — (t+1]n )

二 Si= n (门2+「22+…+r n 2)=

二rj(q 2n _1)

q 2 -1

2二(t 1)4 t(t - 2)3

[(t+1)2n — 1]

上海市2019届高三数学理一轮复习专题突破训练：数列

上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练数列一、填空、选择题 1、（2016年上海高考）无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 2、（2015年上海高考）记方程①：x 2+a 1x+1=0，方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0，其中a 1，a 2，a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（） A ．方程①有实根，且②有实根 B ．方程①有实根，且②无实根 C ．方程①无实根，且②有实根 D ．方程①无实根，且②无实根 3、（2014年上海高考）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，若()134lim n n a a a a →∞ =++ +，则q = . 4、（虹口区2016届高三三模）若等比数列{}n a 的公比1q q <满足，且24 344,3,a a a a =+=则12lim()n n a a a →∞ ++ +=___________. 5、（浦东新区2016届高三三模）已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若 533S S =，则53 a a = 6、（杨浦区2016届高三三模）若两整数a 、 b 除以同一个整数m ，所得余数相同，即 a b k m -=()k Z ∈，则称a 、b 对模m 同余，用符号(mod )a b m ≡表示，若10(mod 6)a ≡(10)a >，满足条件的a 由小到大依次记为12,,,,n a a a ??????，则数列{}n a 的前16项和为 7、（黄浦区2016届高三二模）已知数列{}n a 中，若10a =，2i a k =*1 (,22,1,2,3, )k k i N i k +∈≤<=，则满足2100i i a a +≥的i 的最小值为 8、（静安区2016届高三二模）已知数列{}n a 满足181a =，1 311log ,2, (*)3, 21n n n a a n k a k N n k ---+=?=∈?=+?，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最大值为 . 9、（闵行区2016届高三二模）设数列{}n a 的前n 项和为n S ， 2 2|2016|n S n a n （0a >），则使得1 n n a a +≤（n ∈* N ）恒成立的a 的最大值为 . 10、（浦东新区2016届高三二模）已知数列{}n a 的通项公式为(1)2n n n a n =-?+，* n N ∈，则这个数列的前 n 项和n S =___________． 11、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）在等差数列{}n a 中，首项13,a =公差2,d =若某学生对其中连

高考数学难点突破_难点41__应用问题

难点41 应用性问题数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题.高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求. ●难点磁场 1.（★★★★★）一只小船以10 m/s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s 的速度前进（如图），现在小船在水平P 点以南的40米处，汽车在桥上以西Q 点30米处（其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为 .（不考虑汽车与小船本身的大小）. 2.（★★★★★）小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序：（1）洗锅盛水2分钟；（2）洗菜6分钟；（3）准备面条及佐料2分钟；（4）用锅把水烧开10分钟；（5）煮面条和菜共3分钟.以上各道工序除（4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟. 3.（★★★★★）某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律：每生产产品x （百台），其总成本为G （x ）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元（总成本=固定成本+生产成本），销售收入R (x )满足 R (x )=???>≤≤-+-)5( 2.10)50( 8.02.44.02x x x x .假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律. （1）要使工厂有盈利，产品x 应控制在什么范围？（2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？ ●案例探究［例1］为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从 B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料 60平方米，问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图：本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力，属★★★★级题目. 知识依托：重要不等式、导数的应用、建立函数关系式. 错解分析：不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到. 技巧与方法：关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决. 解法一：设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y = ab k (k ＞0为比例系数)其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60 ① 要求y 的最小值，只须求ab 的最大值. 由①(a +2)(b +1)=32(a ＞0,b ＞0)且ab =30–(a +2b )

高考数学重点难点讲解十二等差数列等比数列的性质运用

难点 12 等差数列、等比数列的性质运用
等差、等比数列的性质是等差、等比数列的概念，通项公式，前 n 项和公式的引申. 应用等差等比数列的性质解题，往往可以回避求其首项和公差或公比，使问题得到整体地解决，能够在运算时达到运算灵活，方便快捷的目的，故一直受到重视.高考中也一直重点考查这部分内容.
●难点磁场 (★★★★★)等差数列{an}的前 n 项的和为 30，前 2m 项的和为 100，求它的前 3m 项的和为_________. ●案例探究
［例 1］已知函数 f(x)= 1 (x<－2). x2 4
(1)求 f(x)的反函数 f-－1(x);
(2)设 a1=1, 1 =－f－-1(an)(n∈N*),求 an; a n 1
(3)设 Sn=a12+a22+…+an2,bn=Sn+1－Sn 是否存在最小正整数 m,使得对任意 n∈N*,有 bn< m 25
成立？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由. 命题意图：本题是一道与函数、数列有关的综合性题目，着重考查学生的逻辑分析能力，
属★★★★★级题目. 知识依托：本题融合了反函数，数列递推公式，等差数列基本问题、数列的和、函数单
调性等知识于一炉，结构巧妙，形式新颖，是一道精致的综合题. 错解分析：本题首问考查反函数，反函数的定义域是原函数的值域，这是一个易错点，
(2)问以数列{
1 an2
}为桥梁求
an,不易突破.
技巧与方法：(2)问由式子 1 an1
1 an2
4得
1
a
2 n1
1 an2
=4,构造等差数列{
1 an2
},从而
求得 an,即“借鸡生蛋”是求数列通项的常用技巧；(3)问运用了函数的思想.
解：(1)设 y=
1 ,∵x<－2,∴x=－ x2 4
4
1 y2
,
即 y=f－-1(x)=－
4
1 y2
(x>0)
(2)∵ 1 an1
4
1 an2
,
1 an12
1 an2
4，
∴{
1 an2
}是公差为
4
的等差数列，

2011高考数学压轴题专题训练

2011高考数学压轴题专题训练--数列（36页WORD ）第六章数列高考题三、解答题 22.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，1111 1,(1)2 n n n n a a a n ++==++ （I ）设n n a b n = ，求数列{}n b 的通项公式（II ）求数列{}n a 的前n 项和n S 分析：（I ）由已知有 1112n n n a a n n +=++11 2 n n n b b +∴-= 利用累差迭加即可求出数列{}n b 的通项公式: 1 122 n n b -=-(* n N ∈) （II ）由（I ）知1 22n n n a n -=- , ∴n S =11(2)2n k k k k -=-∑111(2)2n n k k k k k -===-∑∑ 而 1 (2)(1)n k k n n ==+∑,又11 2n k k k -=∑ 是一个典型的错位相减法模型，易得 11 12 42 2n k n k k n --=+=-∑ ∴n S =(1)n n +1242n n -++- 评析：09年高考理科数学全国(一)试题将数列题前置,考查构造新数列和利用错位相减法求前n 项和，一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。 23.（2009北京理）已知数集{}()1212,, 1,2n n A a a a a a a n =≤<<≥具有性质P ；对任意的 (),1i j i j n ≤≤≤，i j a a 与 j i a a 两数中至少有一个属于A . （Ⅰ）分别判断数集{}1,3,4与{}1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；

高三数学知识点重难点梳理最新5篇

高三数学知识点重难点梳理最新5篇与高一高二不同之处在于，高三复习知识是为了更好的与高考考纲相结合，尤其水平中等或中等偏下的学生，此时需要进行查漏补缺，但也需要同时提升能力，填补知识、技能的空白。高三数学知识点总结1 1.等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示. 2.等差数列的通项公式若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=a1+(n-1)d. 3.等差中项如果A=(a+b)/2，那么A叫做a与b的等差中项. 4.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an=am+(n-m)d(n，m∈N_. (2)若{an}为等差数列，且m+n=p+q，则am+an=ap+aq(m，n，p，q∈N_. (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N_是公差为md的等差数列. (4)数列Sm，S2m-Sm，S3m-S2m，…也是等差数列.

(5)S2n-1=(2n-1)an. (6)若n为偶数，则S偶-S奇=nd/2; 若n为奇数，则S奇-S偶=a中(中间项). 注意：一个推导利用倒序相加法推导等差数列的前n项和公式： Sn=a1+a2+a3+…+an，① Sn=an+an-1+…+a1，② ①+②得：Sn=n(a1+an)/2 两个技巧已知三个或四个数组成等差数列的一类问题，要善于设元. (1)若奇数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…. (2)若偶数个数成等差数列且和为定值时，可设为…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元. 四种方法等差数列的判断方法 (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an-an-1为同一常数; (2)等差中项法：验证2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N_都成立; (3)通项公式法：验证an=pn+q; (4)前n项和公式法：验证Sn=An2+Bn. 注：后两种方法只能用来判断是否为等差数列，而不能用来证明

高考数学难点突破_难点34__导数的运算法则及基本公式应用

难点34 导数的运算法则及基本公式应用导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. ●难点磁场 (★★★★★)已知曲线C ：y =x 3－3x 2+2x ,直线l :y =kx ,且l 与C 切于点(x 0,y 0)(x 0≠0)，求直线l 的方程及切点坐标. ●案例探究［例1］求函数的导数： )1()3( )sin ()2( cos )1(1)1(2322+=-=+-= x f y x b ax y x x x y ω 命题意图：本题3个小题分别考查了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求导的思想方法.这是导数中比较典型的求导类型，属于★★★★级题目. 知识依托：解答本题的闪光点是要分析函数的结构和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基本函数的导数. 错解分析：本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错. 技巧与方法：先分析函数式结构，找准复合函数的式子特征，按照求导法则进行求导.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y 2222222222 22222222222cos )1(sin )1)(1(cos )12(cos )1(]sin )1(cos 2)[1(cos )1(cos )1(] ))(cos 1(cos )1)[(1(cos )1(cos )1(]cos )1)[(1(cos )1()1(:)1(++-+--=++---+-=+'++'+--+-=-+' +--+'-='解 (2)解：y =μ3,μ=ax －b sin 2ωx ,μ=av －by v =x ,y =sin γ γ=ωx y ′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av －by )′ =3μ2(av ′－by ′)=3μ2(av ′－by ′γ′) =3(ax －b sin 2ωx )2(a －b ωsin2ωx ) (3)解法一：设y =f (μ),μ=v ,v =x 2+1,则 y ′x =y ′μμ′v ·v ′x =f ′(μ)·21 v －21·2x =f ′(12+x )·211 1 2+x ·2x =),1(122+'+x f x x 解法二：y ′=［f (12+x )］′=f ′(12+x )·(12+x )′ =f ′(12+x )·21(x 2+1)21- ·(x 2+1)′