4实证过程与结果
4.1主成分与聚类分析
首先通过SPSS软件对环境污染的相应指标进行主成分分析，得到：
提取Y
1、Y
2
、Y
3
和Y
4
四个主成分，其累积贡献率已经达到，超过80%，代表
所有环境污染指标的绝大部分信息。Y
1偏向于解释工业氢氧化物排放量，Y
2
偏向
于解释生活烟尘排放量，Y
3偏向于解释生活废水排放量，Y
4
偏向于解释工业二氧
化硫排放量。
然后，根据主成分分析结果，用Z=0.43226*Y
1+0.21911*Y
2
+0.10380*Y
3
+
0.06519*Y
4
计算综合得分，见下表1。
表1 环境污染地区的主成分综合得分表
序号地区Z排名序号地区Z排名1北京0.863517武汉-0.11613 2天津 1.088418长沙-0.84128 3石家庄0.455619广州-0.37319 4太原0.209820南宁-0.51924 5呼和浩特-0.0521221海口-1.2931 6沈阳-0.2731722重庆 2.7671 7长春-0.2571623成都-0.45120 8哈尔滨 2.489224贵阳-0.33118 9上海 1.979325昆明-0.55226 10南京-0.2321526拉萨-1.27530 11杭州0.175927西安0.3577 12合肥-0.52128兰州-0.51423 13福州-0.5252529西宁0.00411 14南昌-0.9492930银川-0.70227 15济南0.0221031乌鲁木齐-0.50222 16郑州-0.15214
最后将环境污染的综合得分作为个案进行层次聚类分析，将31个地区分为5类，如表2。
表
2 各地区污染分类
分类污染情况地区
1轻度污染海口、拉萨
2比较轻度污染
合肥、乌鲁木齐、福州、南宁、兰州、，昆明、成都、
银川、南昌、长沙、沈阳、长春、南京、广州、贵阳、
郑州、武汉、济南、西宁、呼和浩特
3污染情况一般太原、杭州、石家庄、西安
4污染比较严重北京、天津
5污染十分严重上海、哈尔滨、重庆
4.2主成分分析和聚类分析在SPSS中的操作过程
打开SPSS，“文件-打开-数据”，选中excel，如下图结果。
首先将变量标准化，“分析-描述统计-描述”，将变量全部选入对话框，点上“将标准化得分另存为变量（Z）”，结果如下。
在做主成分分析，“分析-降维-因子分析”，将为标准化的变量选入对话框。选择右侧“描述”，在弹出来对话框中点上“系数、显著性水平、KMO和Bartlett 的球形度检验”，点“继续”。选择右侧“抽取”，在弹出来对话框中将方法改成“主成分”，“基于特征值”改成“0.6”，点“继续”。选择右侧“旋转”，在弹出来对话框中，将方法改成“最大方差法”，点“继续”。
首先输出的各自变量的相关矩阵，由下图可见，各自变量间存在显著性相关。说明有必要进行因子分析。
接着输出的是KMO和Bartlett的检验，结果如下图，由表可见，KMO是Kaiser-Meyer-Olkin的取样适当性度量，当KM0越大时，表示变量间的共同因素越多，越适合进行因子分析，此处KMO大于0.6，表示可进行因子分析。此外，Bartlett球形检验的近似卡方分布为183.816(自由度为45)达到显著，代表有共同因素存在，适合进行因素分析。同时，Bartlett球度检验给出的相伴概率为0.000，小于显著性水平0.05，故适合进行因子分析。
随后输出的解释的总方差，由下图可见，主成分个数为4时，累积贡献率已经达到82.037%，超过80%。故本次因子分析中提取4个因子，我们分别称之为
F 1，F
2
，F
3
，F
4
。
在下面的成分矩阵图中可以看出，F1主要是和工业氢氧化物排放量有关，F2主要和生活烟尘排放量有关，F3主要和生活废水排放量有关，F4主要和工业二氧化硫排放量有关。
随后将成分矩阵表中的系数复制到数据窗口，并将变量名命名为a
1，a
2
，
a 3，a
4
。再在数据窗口点击“转换-计算变量”，将目标变量t
1
=a
1
/SQRT(4.323)。
（括号内为对应主成分的初始特征值），依次算出t
2
，t
3
，t
4
。则可知道
Y
1
=0.382*Z工业废水排放量+0.365*Z工业化学需氧量排放量+0.262*Z工业二氧化硫排放量+0.397*Z工业烟尘排放量+0.404*工业氢氧化物排放量+0.120*Z生活废水排放量+0.357*Z生活化学需氧量排放量+0.320*Z生活二氧化硫排放量+0.136*Z生活烟尘排放量+0.261*Z生活氢氧化物排放量，依次依据t
2，t
3
，t
4
得到Y
2
，Y
3
，Y
4
。再依据
Z=0.43226*Y
1+0.21911*Y
2
+0.10380*Y
3
+0.06519*Y
4
得到综合得分，见表1。
、
然后做层次聚类分析，“分析-分类-系统-系统聚类”，在弹出来对话框把综合得分选入变量栏，在右侧“绘制”中点上“树状图”，点确定。如下图。
依据下面的树状图，可将序号12,31,13,20,28,25,23,30,14,18,6,7,10,
19,24,16,17,15,29,5归结为一类，将21,26归结为一类，将4,11,3,27归结为一类，将1,2归结为一类，将8,22,9归结为一类。再依据综合得分的大小，绘制表2。
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4实证过程与结果 主成分与聚类分析 首先通过SPSS软件对环境污染的相应指标进行主成分分析，得到： 提取Y 1、Y 2 、Y 3 和Y 4 四个主成分，其累积贡献率已经达到，超过80%，代表 所有环境污染指标的绝大部分信息。Y 1偏向于解释工业氢氧化物排放量，Y 2 偏向 于解释生活烟尘排放量，Y 3偏向于解释生活废水排放量，Y 4 偏向于解释工业二氧 化硫排放量。 然后，根据主成分分析结果，用Z=*Y 1+*Y 2 +*Y 3 + *Y 4 计算综合得分，见下表1。 表1 环境污染地区的主成分综合得分表 序号地区Z排名序号地区Z排名1北京517武汉13 2天津418长沙28 3石家庄619广州19 4太原820南宁24 5呼和浩特1221海口31 6沈阳1722重庆1 7长春1623成都20 8哈尔滨224贵阳18 9上海325昆明26 10南京1526拉萨30 11杭州927西安7 12合肥2128兰州23 13福州2529西宁11 14南昌2930银川27 15济南1031乌鲁木齐22 16郑州14 最后将环境污染的综合得分作为个案进行层次聚类分析，将31个地区分为5类，如表2。 表2 各地区污染分类 分类污染情况地区 1轻度污染海口、拉萨
2比较轻度污染合肥、乌鲁木齐、福州、南宁、兰州、，昆明、成都、银川、南昌、长沙、沈阳、长春、南京、广州、贵阳、郑州、武汉、济南、西宁、呼和浩特 3污染情况一般太原、杭州、石家庄、西安 4污染比较严重北京、天津 5污染十分严重上海、哈尔滨、重庆 主成分分析和聚类分析在SPSS中的操作过程 打开SPSS，“文件-打开-数据”，选中excel，如下图结果。 首先将变量标准化，“分析-描述统计-描述”，将变量全部选入对话框，点上“将标准化得分另存为变量（Z）”，结果如下。
主成分分析和聚类分析的比较 一、定义： 1.主成分分析：PCA是一种数学方法，通过线性变换将原始数据投影到新的坐标系上，使得投影的数据在新的坐标系下具有最大的方差，从而达到降维和提取数据特征的目的。 2.聚类分析：聚类分析是一种无监督学习方法，通过对样本集合中的数据进行分类，使得同一类别的数据尽量相似，不同类别的数据尽量不相似。 二、目的： 1.主成分分析：PCA的主要目的是降低数据的维度，同时保留尽可能多的数据信息。通过确定主成分，可以选择保留最重要的几个主成分，达到降维的目的，同时避免信息损失。 2.聚类分析：聚类分析的主要目的是发现数据的内在结构和相似性，将数据分成若干个互不交叠的群组，使得同一群组的数据相似度较高，不同群组的数据相似度较低。 三、步骤： 1.主成分分析： -对数据进行标准化处理。 -计算数据样本的协方差矩阵。 -对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。 -选择主成分并确定保留的主成分数目。
-根据主成分和原始数据计算得到新的数据集，即降维后的数据集。 2.聚类分析： - 选择合适的聚类算法（如K-means、层次聚类等）。 -初始化聚类中心。 -计算每个样本与聚类中心的距离。 -将样本分配到最近的聚类中心。 -更新聚类中心，重复上述步骤直到满足终止条件。 四、应用领域： 1.主成分分析： -数据降维与特征提取：对于高维数据，可以通过PCA将数据降低到较低的维度，并保留主要特征信息。 -数据可视化：通过PCA将高维数据投影到二维或三维空间中，方便数据的可视化展示。 -噪声滤除：PCA可以去除数据中的噪声信息，保留主要特征。 2.聚类分析： -客户细分：在市场营销中，可以通过聚类分析将客户分为不同的群组，根据每个群组的特征制定相应的营销策略。 -图像分割：在图像处理中，可以利用聚类分析对图像进行分割，将图像中的不同物体分别提取出来。
主成分分析与因子分析聚类分析 主成分分析通过寻找原始数据中的主要变化方向来降低维度。它通过 线性变换将原始数据变换为一组不相关的主成分，其中每个主成分都是原 始数据中的线性组合。这些主成分按照方差大小排序，从而找到原始数据 中的主要变化模式。主成分分析可以帮助我们理解数据中的主要模式，并 在保留较少的维度的同时保留尽可能多的信息。 因子分析是一种统计方法，用于揭示观测数据背后的潜在因子。因子 分析假设一组观测数据是由一组潜在因子和测量误差共同决定的。通过因 子分析，我们可以确定潜在因子对观测数据的影响程度，并推断这些因子 的含义。因子分析可以帮助我们揭示观测数据背后的隐藏结构，并从中提 取有意义的信息。 1.数据预处理：在进行聚类分析之前，我们经常需要对输入数据进行 预处理，例如归一化或标准化。主成分分析可以帮助我们对原始数据进行 降维，从而减少数据维度，简化预处理过程。 2.特征提取：主成分分析和因子分析都可以用于提取数据中的主要特征。主成分分析通过保留方差较大的主成分，提取数据中的主要模式。因 子分析则可以帮助我们发现观测数据背后的潜在因子，并从中提取有意义 的特征。 3.可视化：主成分分析和因子分析可以将高维数据转换为低维数据， 并将其可视化。可视化降维后的数据可以帮助我们理解数据的结构和模式，并辅助聚类分析的结果解释。
4.噪声过滤：主成分分析和因子分析可以通过滤除方差较小的主成分或因子来减少数据中的噪声。这可以帮助我们提高聚类分析的准确性和稳定性。 总之，主成分分析和因子分析是常用的降维方法，可用于聚类分析的数据预处理、特征提取、可视化和噪声过滤等方面。它们可以帮助我们理解数据的结构和模式，并提高聚类分析的效果。
主成分分析聚类分析比较 主成分分析是一种数据降维技术，它能够将高维数据降低到低维，同 时保留主要的信息。它的原理是通过线性变换，将原始的维度高的数据线 性变换到维度较低的新坐标系下，并且在新坐标系下保持数据的原有结构 特征和方差。 1.数据标准化：为了消除量纲影响，需要对数据进行标准化处理。 2.计算协方差矩阵：将标准化后的数据计算协方差矩阵。 3.计算特征值和特征向量：通过解特征值问题，计算得到特征值和对 应的特征向量。 4.选择主成分：将特征值从大到小排序，选择前k个特征值所对应的 特征向量作为主成分。 5.构建新坐标系：将原始数据乘以特征向量，得到新的降维后的数据。 1.数据压缩：主成分分析可以将高维数据压缩到低维空间中，同时保 留主要信息。 2.数据可视化：降维后的数据可以更方便地进行可视化展示和分析。 3.特征提取：主成分分析可以从原始数据中提取出最具有代表性的主 成分。 4.数据预处理：主成分分析可以用于数据预处理，减少噪声和不必要 的冗余信息。 二、聚类分析（Cluster Analysis）
聚类分析是一种将相似对象组成簇的方法，以确定数据中的内在结构，它的目标是将相似的对象放在一个簇中，不相似的对象放在不同的簇中。 聚类分析的步骤如下： 1.确定距离度量：选择适当的距离度量方法来度量不同对象之间的相 似性。 2.计算距离矩阵：通过计算对象之间的距离，得到距离矩阵。 3. 构建聚类模型：根据距离矩阵，使用聚类算法（如K-means、层 次聚类等）构建聚类模型。 4.确定聚类数目：根据业务需求和算法要求，确定合适的聚类数目。 5.分配对象到簇：将对象分配给合适的簇，并且根据一定的标准评估 聚类模型的性能。 聚类分析的应用： 1.模式识别：聚类分析可以用于模式识别，从数据中发现数据的内在 结构和规律。 2.市场细分：聚类分析可以通过分析客户的购买行为和偏好，对市场 进行细分，从而进行有针对性的营销策略。 3.图像分割：聚类分析可以用于图像分割和目标提取，将图像分成若 干个簇，提取出目标区域。 4.异常检测：聚类分析可以用于异常检测，将异常数据分为一个簇， 从而对异常数据进行分析和处理。 三、主成分分析和聚类分析的比较
主成分分析、聚类分析的比较与应用 主成分分析、聚类
分析的比较与应用 摘要：主成分分析、聚类分析是两种比较有价值的多元统计方法,但同时也是在使用过程中容易误用或混淆的几种方法。本文从基本思想、数据的标准化、应用上的优缺点等方面,详细地探讨了两者的异同,并且 举例说明了两者在实际问题中的应用。 关键词：spss、主成分分析、聚类分析 一、基本概念 主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 二、基本思想的异同 （一）共同点 主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量(因子) 来综合反映原始变量(因子) 的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85 %以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。这两种分析法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，经过坐标变换，将原有的p个相关变量xi 作线性变换，每个主成分都是由原有p 个
主成分分析，聚类分析，因子分析的基本思想以及他们各自的优缺点。 主成分分析就是将多项指标转化为少数几项综合指标,用综合指标来解释多变量的方差- 协方差结构。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。 因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。三种分析方法既有区别也有联系，本文力图将三者的异同进行比较，并举例说明三者在实际应用中的联系,以期为更好地利用这些高级统计方法为研究所用有所裨益。 二、基本思想的异同 (一) 共同点 主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量(因子) 来综合反映原始变量(因子) 的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85 %以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。这两种分析法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，经过坐标变换，将原有的p个相关变量xi 作线性变换，每个主成分都是由原有p 个变量线性组合得到。在诸多主成分Zi 中，Z1 在方差中占的比重最大，说明它综合原有变量的能力最强，越往后主成分在方差中的比重也小，综合原信息的能力越弱。因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系，它不是对原始变量的重新组合，而是对原始变量进行分解，分解为公共因子与特殊因子两部分。公共因子是由所有变量共同具有的少数几个因子；特殊因子是每个原始变量独自具有的因子。对新产生的主成分变量及因子变量计算其得分，就可以将主成分得分或因子得分代替原始变量进行进一步的分析，因为主成分变量及因子变量比原始变量少了许多，所以起到了降维的作用，为我们处理数据降低了难度。 聚类分析的基本思想是: 采用多变量的统计值，定量地确定相互之间的亲疏关系，考虑对象多因素的联系和主导作用，按它们亲疏差异程度，归入不同的分类中一元，使分类更具客观实际并能反映事物的内在必然联系。也就是说，聚类分析是把研究对象视作多维空间中的许多点，并合理地分成若干类，因此它是一种根据变量域之间的相似性而逐步归群成类的方法，它能客观地反映这些变量或区域之间的内在组合关系[3 ]。聚类分析是通过一个大的对称矩阵来探索相关关系的一种数学分析方法，是多元统计分析方法，分析的结果为群集。对向量聚类后，我们对数据的处理难度也自然降低，所以从某种意义上说，聚类分析也起到了降维的作用。 (二) 不同之处
主成分分析、聚类分析的比较与应用
主成分分析、聚类 分析的比较与应用 摘要：主成分分析、聚类分析是两种比较有价值的多元统计方法,但同时也是在使用过程中容易误用或混淆的几种方法。本文从基本思想、数据的标准化、应用上的优缺点等方面,详细地探讨了两者的异同,并且 举例说明了两者在实际问题中的应用。 关键词：spss、主成分分析、聚类分析 一、基本概念
主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 二、基本思想的异同 （一）共同点 主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量(因子) 来综合反映原始变量(因子) 的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85 %以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。这两种分析法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，经过坐标变换，将原有的p个相关变量xi 作线性变换，每个主成分都是由原有p 个变量线性组合得到。在诸多主成分Zi中，Z1 在方差中占的比重最大，说明它综合原有变量的能力最强，越往后主成分在方差中的比重也小，综合原信息的能力越弱。因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系，它不是对原始变量的重新组合，而是对原始变量进行分解，分解为公共因子
主成分分析和聚类分析 1.主成分分析（PCA） 主成分分析是一种无监督学习方法，用于刻画数据集中的主要模式。 其基本思想是将高维数据转化为低维空间中的一组新变量，这些新变量被 称为主成分。主成分是原始数据按照方差大小依次降序排列的线性组合， 其中第一主成分方差最大，第二主成分方差次之，以此类推。通过对数据 集的主成分进行分析，我们可以发现数据中的主要结构和关联，实现数据 降维和可视化。 -标准化数据：对原始数据进行标准化处理，使得每个特征的平均值 为0，方差为1 -计算协方差矩阵：计算标准化后的数据的协方差矩阵。 -计算特征值和特征向量：对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征 向量和特征值。 -选择主成分：根据特征值的大小，选择前几个特征向量作为主成分。 -数据投影：将原始数据投影到主成分上，得到降维后的数据。 -数据可视化：通过主成分分析，可以将高维数据降维到二维或三维 空间中，便于进行可视化展示。 -数据预处理：主成分分析可以用于去除数据中的冗余信息和噪声， 提取数据中的主要结构。 -特征提取：主成分分析可以用于提取具有代表性的特征，用于后续 的数据建模和分析。
-降低数据维度，去除冗余信息。 -可以发现数据的主要结构和关联。 -不受异常值的影响。 -主成分是基于方差最大化的，可能忽略其他重要信息。 -主成分的解释性较差。 2.聚类分析 聚类分析是一种无监督学习方法，用于将数据集中的样本按照相似性进行分类。聚类分析的目标是将数据集中的样本划分为不同的组别，每个组别内部的样本相似度高，不同组别之间的样本相似度低。 聚类分析的步骤如下： - 选择合适的聚类算法：根据数据的性质和目标，选择合适的聚类算法，如K-means聚类、层次聚类等。 -确定聚类数量：对于一些聚类算法，需要事先确定聚类的数量。 -计算相似度/距离：根据选择的聚类算法，计算样本之间的相似度或距离。 -执行聚类算法：将样本按照相似性进行聚类。 -评估聚类结果：对聚类结果进行评估，可以使用内部评估指标或外部评估指标。 聚类分析的应用：
主成分分析及聚类分析 主成分分析（PCA）是一种无监督学习的技术，用于将数据从高维空间投影到低维空间，同时尽可能地保留原始数据的信息。主成分分析通过线性变换将原始数据转化为具有最大方差的新特征，这些新特征被称为主成分。第一主成分具有最大的方差，第二主成分则与前一主成分正交，并具有第二大的方差，依此类推。主成分的数量等于原始数据维度。 主成分分析有很多应用。首先，它可以用于数据降维。通过选择较少的主成分，可以将高维数据转化为低维数据，从而降低计算复杂度和存储需求，同时保留数据的主要特征。其次，主成分分析也可以用于提取数据中的主要特征。通过选择具有较高方差的主成分，可以过滤掉噪声和次要特征，从而更好地理解数据。此外，主成分分析还可以可视化数据，找出数据中的模式和相关结构。 聚类分析是一种将数据对象分组为无标记子集的技术。相似的数据对象被分到同一组中，不相似的数据对象被分到不同的组中。聚类分析可以帮助我们理解数据集中的结构和组织，发现隐藏的模式和规律。 聚类分析可以根据不同的算法进行，常用的包括k-means聚类、层次聚类和DBSCAN聚类等。k-means聚类是一种迭代优化算法，根据样本之间的距离将数据划分为k个互不重叠的簇。层次聚类将数据对象组织成一颗树状结构，根据样本之间的相似性递归地进行划分。DBSCAN聚类是一种基于密度的聚类算法，将具有足够多相邻样本的区域定义为一个簇。 聚类分析可以在很多领域中应用。在市场营销中，聚类分析可以根据顾客的购买行为和偏好将顾客分成不同的群体，从而定制个性化的营销策略。在图像处理中，聚类分析可以将像素点按照颜色和纹理特征聚类，从
而实现图像分割和目标检测。在生物信息学中，聚类分析可以根据基因的表达数据将基因分成不同的表达模式，从而发现潜在的功能和相互作用。 总结起来，主成分分析和聚类分析是常用的统计技术，它们在数据分析和模式识别中有广泛的应用。主成分分析可以用于数据降维、特征提取和可视化，聚类分析可以用于数据分组、模式发现和需求识别。这两种技术对于理解数据、发现规律和做出决策都具有重要意义。
主成分分析、因子分析、聚类分析等区 别 主成分分析、因子分析、聚类分析等区别2011-05-24 16：28因子分析法 的意义： 对于某个要研究的问题，往往希望尽可能多地收集相关变量，以期能对问 题有比较全面、完整的解释。但是多个变量之间往往会存在相关性，在多元线 性回归分析中，多个解释变量出现相关性就会产生多重共线性问题，这样会给 回归方程带来许多麻烦，为了解决此问题最简单方法就是削减变量个数，但这 样必然会导致信息丢失和信息不全面的问题，为此人们要寻找一种更为合理的 解决办法，它即能大大地减少参与数据建模的变量个数，同时不会造成信息的 大量丢失。因子分析正是这样一种能够有效降低变量个数，并没有过多地丢失 信息的分析方法 主成分分析是从诸多变量中选取主要变量，删掉次要解释变量。 因子分析是从诸多变量中归纳公共因子，这个公共因子是通过归纳几个相 关原变量而成的，比如偿债能力(公共因子)是由流动比率，长期负债率等原始 变量归纳而成。 聚类分析是将变量数据输入后归入相关类别。 主成分分析就是将多项指标转化为少数几项综合指标,用综合指标来解释多变量的方差-协方差结构。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。 因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个 因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据 进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。
其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 三种分析方法既有区别也有联系，本文力图将三者的异同进行比较，并举例说明三者在实际应用中的联系,以期为更好地利用这些高级统计方法为研究所用有所裨益。 二、基本思想的异同 一共同点 主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量因子来综合反映原始变量因子的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85%以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。这两种分析法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1，x2，x3，经过坐标变换，将原有的p个相关变量xi作线性变换，每个主成分都是由原有p个变量线性组合得到。在诸多主成分Zi中，Z1在方差中占的比重最大，说明它综合原有变量的能力最强，越往后主成分在方差中的比重也小，综合原信息的能力越弱。因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系，它不是对原始变量的重新组合，而是对原始变量进行分解，分解为公共因子与特殊因子两部分。公共因子是由所有变量共同具有的少数几个因子；特殊因子是每个原始变量独自具有的因子。对新产生的主成分变量及因子变量计算其得分，就可以将主成分得分或因子得分代替原始变量进行进一步的分析，因为主成分变量及因子变量比原始变量少了许多，所以起到了降维的作用，为我们处理数据降低了难度。 聚类分析的基本思想是采用多变量的统计值，定量地确定相互之间的亲疏关系，考虑对象多因素的联系和主导作用，按它们亲疏差异程度，归入不同的分类中一元，使分类更具客观实际并能反映事物的内在必然联系。也就是说，聚类分析是把研究对象视作多维空间中的许多点，并合理地分成若干类，因此它是一种根据变量域之间的相似性而逐步归群成类的方法，它能客观地反映这些变量或区域之间的内在组合关系。聚类分析是通过一个大的对称矩阵来探索
主成分分析聚类分析 主成分分析：利用降维（线性变换）的思想,在损失很少信息的前提 下把多个指标转化为几个综合指标（主成分）,用综合指标来解释多变量 的方差-协方差结构，即每个主成分都是原始变量的线性组合,且各个主成 分之间互不相关,使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能（主成分 必须保留原始变量90％以上的信息），从而达到简化系统结构，抓住问 题实质的目的综合指标即为主成分. 优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，这些综合变量集中了原始变量的大部分信息.其次它通过计算综合主成分 函数得分,对客观经济现象进行科学评价。再次它在应用上侧重于信息贡 献影响力综合评价。 缺点:当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就 不明确.命名清晰性低. 聚类分析：将个体（样品）或者对象（变量）按相似程度（距离远近）划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强.目的在于使类间元素的同质性最大化和类与类间元素的异质性最大化. 。其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不 同组的样本应该足够不相似。 常用聚类方法：系统聚类法，K—均值法，模糊聚类法，有序样品的 聚类，分解法，加入法. 注意事项：1。系统聚类法可对变量或者记录进行分类，K—均值法只 能对记录进行分类;
2.K—均值法要求分析人员事先知道样品分为多少类; 3。对变量的多元正态性,方差齐性等要求较高。 应用领域：细分市场，消费行为划分，设计抽样方案等。 因子分析:利用降维的思想,由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发,把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子。（因子分析是主成分的推广，相对于主成分分析，更倾向于描述原始变量之间的相关关系），就是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量,以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法. 求解因子载荷的方法：主成分法，主轴因子法,极大似然法，最小二乘法，a因子提取法. 注意事项：5。因子分析中各个公共因子之间不相关，特殊因子之间不相关，公共因子和特殊因子之间不相关。 应用领域：解决共线性问题,评价问卷的结构效度，寻找变量间潜在的结构，内在结构证实. 优点:第一它不是对原有变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重新组合，找出影响变量的共同因子，化简数据；第二,它通过旋转使得因子变量更具有可解释性，命名清晰性高。 缺点：在计算因子得分时，采用的是最小二乘法，此法有时可能会失效.
主成分分析、聚类 欧阳家百（2021.03.07） 分析的比较与应用 主成分分析、聚类 分析的比较与应用 摘要：主成分分析、聚类分析是两种比较有价值的多元统计方法,但同时也是在使用过程中容易误用或混淆的几种方法。本文从基本思想、数据的标准化、应用上的优缺点等方面,详细地探讨了两者的异同,并且 举例说明了两者在实际问题中的应用。 关键词：spss、主成分分析、聚类分析 一、基本概念 主成分分析就是设法将原来众多具有一定相关性（比如P个指标），重新组合成一组新的互相无关的综合指标来代替原来的指标。综合指标即为主成分。所得出的少数几个主成分，要尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此不相关。 因子分析是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。
聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。 其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 二、基本思想的异同 （一）共同点 主成分分析法和因子分析法都是用少数的几个变量(因子) 来综合反映原始变量(因子) 的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85 %以上，所以即使用少数的几个新变量，可信度也很高，也可以有效地解释问题。并且新的变量彼此间互不相关，消除了多重共线性。这两种分析法得出的新变量，并不是原始变量筛选后剩余的变量。在主成分分析中，最终确定的新变量是原始变量的线性组合，如原始变量为x1 ，x2 ，. . . ，x3 ，经过坐标变换，将原有的p个相关变量xi 作线性变换，每个主成分都是由原有p 个变量线性组合得到。在诸多主成分Zi中，Z1 在方差中占的比重最大，说明它综合原有变量的能力最强，越往后主成分在方差中的比重也小，综合原信息的能力越弱。因子分析是要利用少数几个公共因子去解释较多个要观测变量中存在的复杂关系，它不是对原始变量的重新组合，而是对原始变量进行分解，分解为公共因子与特殊因子两部分。公共因子是由所有变量共同具有的少数几个因子；特殊因子是每个原始变量独自具有的因子。
主成分分析和聚类分析的比较 摘要：主成分分析和聚类分析方多元统计中两种重要的分析方法，但却容易在使用中混淆。本文从基本思想，应用的优缺点、应用实例中讨论两者的异同，并简述两种方法在实际问题中的应用。 关键词：主成分分析；聚类分析 一、引言 主成分分析是利用降维的思想，在缺失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。通常把转化生成的综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。其主要依据是聚到同一个数据集的样本应该性质相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 两种方法既有区别又有联系，本文将两者的异同进行比较，并举例说明两者在实际应用中的联系，以便更好地理解这两种统计方法而为实际所应用。 二、基本思想的异同 相同点：主成分分析方法是用少数的几个变量来综合反映原始变量的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85%以上，因此其可信度很高。通过主成分分析，可以将事物之间错综复杂的关系中找出一些主要成分，从而能有效利用大量统计数据进行定量分析，解释变量之间的内在关系。因此主成分变量比原始变量少了很多，从而起到了降维的作用。 聚类分析的基本思想是采用多变量的统计值，定量的确定相互之间的亲疏关系，考虑对象多因素的联系和主导作用。按它们亲疏差异程度，归类不同的分类中的一元。使分类更具有客观实际并能反映事物的内在必然联系。聚类分析是通过一种大的对称矩阵来探索相关关系的一种数学分析方法。对变量分类后，我们
主成分分析、聚类分析、因子分析的基本思想及优缺点
注意事项：1. 系统聚类法可对变量或者记录进行分类，K-均值法只能对记录进行分类； 2. K-均值法要求分析人员事先知道样品分为多少类； 3. 对变量的多元正态性，方差齐性等要求较高。应用领域：细分市场，消费行为划分，设计抽样方案等 优点：聚类分析模型的优点就是直观，结论形式简明。 缺点：在样本量较大时，要获得聚类结论有一定困难。由于相似系数是根据被试的反映来建立反映被试间内在联系的指标，而实践中有时尽管从被试反映所得出的数据中发现他们之间有紧密 的关系，但事物之间却无任何内在联系，此时，如果根据距离或相似系数得出聚类分析的结果，显然是不适当的，但是，聚类分析模型本身却无法识别这类错误。 因子分析：利用降维的思想，由研究原始变量相关矩阵内部的依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的变量归结为少数几个综合因子。（因子
分析是主成分的推广，相对于主成分分析，更倾向于描述原始变量之间的相关关系），就是研究如何以最少的信息丢失，将众多原始变量浓缩成少数几个因子变量，以及如何使因子变量具有较强的可解释性的一种多元统计分析方法。 求解因子载荷的方法：主成分法，主轴因子法，极大似然法，最小二乘法，a因子提取法。 注意事项：5. 因子分析中各个公共因子之间不相关，特殊因子之间不相关，公共因子和特殊因子之间不相关。 应用领域：解决共线性问题，评价问卷的结构效度，寻找变量间潜在的结构，内在结构证实。 优点:第一它不是对原有变量的取舍，而是根据原始变量的信息进行重新组合，找出影响变量的共同因子，化简数据；第二，它通过旋转使得因子变量更具有可解释性，命名清晰性高。 缺点:在计算因子得分时，采用的是最小二乘法，此法有时可能会失效。 判别分析：从已知的各种分类情况中总结规律（训练出判别函数），当新样品进入时，判断其与判别函数之间的相似程度（概率最大，距离最
4实证过程与结果 4、1主成分与聚类分析 首先通过SPSS软件对环境污染的相应指标进行主成分分析，得到： 提取丫1、丫2、丫3与丫4四个主成分，其累积贡献率已经达到，超过80%,代表所有环境污染指标的绝大部分信息。丫1偏向于解释工业氢氧化物排放量，丫2偏向于解释生活烟尘排放量，丫3偏向于解释生活废水排放量，丫4偏向于解释工业二氧化硫排放量。 然后,根据主成分分析结果，用Z=0、43226*丫1+0、21911*丫2+0、10380*丫 3+ 0、06519*丫4计算综合得分，见下表1。 表1环境污染地区的主成分综合得分表 序号地区Z排名序号地区Z排名1北京0、863517武汉-0、11613 2天津1、088418长沙-0、84128 3石家庄0、455619广州-0、37319 4太原0、209820南宁-0、51924 5呼与浩特-0、0521221海口-1、2931 6沈阳-0、2731722重庆2、7671 7长春-0、2571623成都-0、45120 8哈尔滨2、489224贵阳-0、33118 9上海1、979325昆明-0、55226 10南京-0、2321526拉萨-1、27530 11杭州0、175927西安0、3577 12合肥-0、52128兰州-0、51423 13福州-0、5252529西宁0、00411 14南昌-0、9492930银川-0、70227 15济南0、0221031乌鲁木齐-0、50222 16郑州-0、15214 最后将环境污染的综合得分作为个案进行层次聚类分析，将31个地区分为5类，如表2。 表2各地区污染分类
分类污染情况地区
主成分分析：利用降维〔线性变换)的思想，在损失很少信息的前提下把多个指标转化为几个综合指标〔主成分),用综合指标来解释多变量的方差- 协方差构造，即每个主成分都是原始变量的线性组合,且各个主成分之间互不相关,使得主成分比原始变量具有*些更优越的性能〔主成分必须保存原始变量90%以上的信息〕，从而到达简化系统构造，抓住问题实质的目的综合指标即为主成分。 求解主成分的方法：从协方差阵出发〔协方差阵〕，从相关阵出发〔相关阵R〕。 〔实际研究中，总体协方差阵与相关阵是未知的，必须通过样本数据来估计〕 考前须知：1. 由协方差阵出发与由相关阵出发求解主成分所得结果不一致时，要恰当的选取*一种方法； 2. 对于度量单位或是取值范围在同量级的数据，可直接求协方差阵；对于度量单位不同的指标或是取值范围彼此差异非常大的指标，应考虑将数据标准化，再由协方差阵求主成分； 3.主成分分析不要求数据来源于正态分布； 4. 在选取初始变量进入分析时应该特别注意原始变量是否存在多重共线性的问题〔最小特征根接近于零，说明存在多重共线性问题〕。 优点：首先它利用降维技术用少数几个综合变量来代替原始多个变量，这些综合变量集中了原始变量的大局部信息。其次它通过计算综合主成分函数得分，对客观经济现象进展科学评价。再次它在应用上侧重于信息奉献影响力综合评价。 缺点：当主成分的因子负荷的符号有正有负时，综合评价函数意义就不明确。命名清晰性低。 聚类分析：将个体〔样品〕或者对象〔变量〕按相似程度〔距离远近〕划分类别，使得同一类中的元素之间的相似性比其他类的元素的相似性更强。目的在于使类间元素的同质性最大化和类与类间元素的异质性最大化。 。其主要依据是聚到同一个数据集中的样本应该彼此相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。 常用聚类方法：系统聚类法，K-均值法，模糊聚类法，有序样品的聚类，分解法，参加法。 考前须知：1. 系统聚类法可对变量或者记录进展分类，K-均值法只能对记录进展分类；2. K-均值法要求分析人员事先知道样品分为多少类；