小学几何之蝴蝶定理[整理]

几何之蝴蝶定理

一、 基本知识点

定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比

等于对应底边之比。

S 1 : S 2 = a : b

定理2：等分点结论( 鸟头定理) 如图，三角形△AED 的面积占三角形△ABC 的面积的

20

3

4153=

?

定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)

1） S 1∶S 2 =S 4∶S 3 或 S 1×S 3 = S 2×S 4

上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积

2）AO ∶OC = （S 1＋S 2）∶（S 4＋S 3）

梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)

1）S 1∶S 3 =a 2∶b 2

上、下部分的面积比等于上、下边的平方比

2）左、右部分的面积相等

3）S 1∶S 3∶S 2∶S 4 =a 2∶b 2 ∶ab ∶ab

4）S 的对应份数为（a+b ）2

C

B

E

F

D

A

定理4：相似三角形性质

1

）

H

h

C c B b A a ===

2） S 1 ∶S 2 = a 2 ∶A 2

定理5：燕尾定理

S △ABG ∶ S △AGC = S △BGE ∶ S △GEC = BE ∶EC

S △BGA ∶ S △BGC = S △AGF ∶ S △GFC = AF ∶FC

S △AGC ∶ S △BCG = S △ADG ∶ S △DGB = AD ∶DB

二、 例题分析

例1、如图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC 的面积是

多少平方厘米？

例2、有一个三角形ABC 的面积为1，如图，且12AD AB =，13BE BC =，1

4

CF CA =，求三角形DEF 的面积.

例3、如图，在三角形ABC 中，，D 为BC 的中点，

E 为

AB上的一点，且BE=1

3

AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积.

例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

例7、（小数报竞赛活动试题）

如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB 面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？

例8、如图：在梯形ABCD 中，三角形AOD 的面积为9平方厘米，三角形BOC 的面积为25平方厘米，求梯形ABCD 的面积。

25

9O D

C

B

A

例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）

四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O （如图）所示。

如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的

1

3

，且

2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍。

例10、左下图所示的ABCD 的边BC 长10cm ，直角三角形BCE 的直角边EC 长8cm ，已知

两块阴影部分的面积和比△EFG 的面积大10cm 2

，求CF 的长。

例11、长方形ABCD 的面积为36平方厘米，E 、F 、G 分别为边AB 、BC 、CD 的中点，H 为AD 边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？

例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部

分的面积。

例13、如图，大正方形ABCD 的边长为6，依以下条件求三角形BDF 的面积。

例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？

例15、如下图，已知D 是BC 的中点，E 是CD 的中点，F 是AC 的中点，且ADG ?的面积比

EFG ?的面积大6平方厘米。?的面积是多少平方厘米

ABC ?

A

B

C

D

E

F G

三、 练习题

1、如图，四边形ABCD 中，AC 和BD 相交于O 点，三角形ADO 的面积=5，三角形DOC 的面积

=4，三角形AOB 的面积=15，求三角形BOC 的面积是多少？

2、如图所示，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，△DEF 的面积是4 cm 2，△CED 的面积是6cm 2

。问：四边形ABEF 的面积是多少平方厘米？

3、如右图BE=

31BC ，CD=4

1

AC ，那么三角形AED 的面积是三角形ABC 面积的______.

D

E

C

B

A

5、如图所示，已知ABCD 是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF 的面积是16平方厘米，求三角形ABE 的面积是多少平方厘米？

6、 如右图，ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方

厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。

7、正方形ABFD 的面积为100平方厘米，直角三角形ABC 的面积，比直角三角形（CDE 的面积大30平方厘米，求DE 的长是多少？

8、 已知ABC ?中，12AB AC cm ==，ABC ?的面积是

2cm ，P 是BC 上任意一点，P 到

AB ,AC 的距离是,x y ，那么x y += ；

9、如右图所示，已知三角形ABC 面积为1，延长AB 至D ，使BD=AB ；延长BC 至E ，使CE=2BC ；延长CA 至F ，使AF=3AC ，求三角形DEF 的面积。

B