勾股定理在高维空间中的推广及其应用
摘要：勾股定理在平面中的基本内容“在任意一个直角三角形中两直角边的平方和是与第三边平方相等”反之，“在一个三角形中如果满足两条边的平方和等于第三条边的平方那么该三角形为直角三角形”，由此可以推导出在三维空间中正方体每个面的对角线的平方和等于空间对角线的平方。工人建筑时墙角的测量、蚂蚁绕柱爬行最短路径等都应用到勾股定理，在三维空间中还有一个比较普遍的应用就是“一个直四面体的三个侧面的面积的平方和等于这个直四面体的底面面积的平方”。通过分析勾股定理在平面上的结构性质，推导出三维空间及n维空间的勾股定理，深入了解勾股定理的性质特征和勾股定理的应用。
关键词：勾股定理；n维空间；应用
Abstract：The basic content of "in the plane of the Pythagorean theorem in any right triangle in two right angle side of the square and is equal to the square and third side" and "in a triangle if the two sides of the square and is equal to the square of third edges of the triangle triangle shape, which can be deduced in the three-dimensional space of each surface cube diagonal and the diagonal of the square space is equal to the square. The workers, the corner of the building when measuring the ants crawling around the column of the shortest path are applied to the Pythagorean theorem in three-dimensional space and a common application is the "three sides of a straight tetrahedral area of the square is equal to the straight tetrahedral area of the bottom surface of the square". Through the analysis of structural properties in the plane of the Pythagorean theorem, Pythagorean theorem derived three-dimensional space and n-dimensional space, understand the application characteristics of the Pythagorean theorem and Pythagorean theorem.
Key words：The pythagorean theorem; n-dimensional; Spaceapplication
目录
摘要..................................................................................................................................... I Abstract ....................................................................................................................................... I 目录.................................................................................................................................... I I
1 研究背景及意义 (1)
2 研究方法 (1)
2.1 文献索引法 (2)
2.2 几何研究 (2)
2.3 数型结合 (2)
2.4 类比推理法 (3)
2.5 反证法 (3)
3 研究对象 (4)
4 研究内容 (4)
4.1 研究勾股定理在高维中的基本内容 (4)
4.1.1 勾股定理在二维空间中的基本内容 (4)
4.1.2 勾股定理在三维空间中的基本内容 (5)
5 勾股定理在高维中的推广证明 (5)
5.1 勾股定理在二维空间的推广证明 (5)
5.2 勾股定理在三维空间上的推广证明 (7)
6 勾股定理在高维空间中的应用 (9)
6.1 勾股定理在二维空间上的应用 (9)
6.2 勾股定理在三维空间上的应用 (10)
7 研究勾股定理在高维空间推广应注意的问题 (10)
8 总结 (11)
参考文献 (12)
致谢.................................................................................................. 错误！未定义书签。
1 研究背景及意义
勾股定理无论是在数学领域还是其他领域中都是占据着举重若轻的地位，从古至今有多少数学、物理豪杰为之痴迷。赵爽《周髀注》中的《勾股圆方图注》；欧几里得《原本》中他就写到了勾股定理；还有就是中国古代数学著作《九章算术》的第九章勾股术。这些都是前人对勾股定理的理解以及获得研究成果，现在数学家们都在对勾股定理进行更深入的研究。勾股定理是几何的基石，这就足以可以知道勾股定理在几何中的地位是不可撼动的。远古人们对宇宙中自然形成的规律的自然起点，那就是勾股定理，不管是在东方文明起源还是在西方文化起源过程中，都有许多形形色色的动人故事。在很久以前就有古人应用勾股定理测长度，二维空间中的勾股定理，是几何中的一颗灿烂无比的夜光明珠，照亮了我们探索前进的道路，而三维、四维、乃至n维空间勾股定理,是二维空间勾股定理的延伸和推广扩展，其运用更具有丰富的时空性和现实性。每个科学研究的领域以及每个学术都有各自的延展性和不足性，没有任何人的研究成果就是完美无瑕的，总有很多大大小小的不足。牛顿的万有引力，到后来才有人的推广完善；爱迪生的灯的发明，也是后来进行完善与推广；以及中国古时候的蔡伦造纸，刚开始的粗糙到现在的精美以及更多的用处。这些开始都有不足，都是后来人在不断地去发掘完善。学术是无尽的，知识是无边的，勾股定理的延伸推广这是一个任重而道远的任务。关于n维欧式空间上得广义勾股定理研究及证明，最基础的那就是平面的勾股定理的证明。我们本文主要研究探索的是勾股定理在三维空间上的推广应用，开始以勾股定理基础利用初等数学知识，其主要是用数学方法推理证明以计算机维辅助方法进行检查证明。
2 研究方法
2.1 文献索引法
参考文献必须注意在质量比较高的期刊上查阅，仔细研究文献并通过自己的解析和认知重新组织语言。文献索引法是每个人写论文的必要方法之一，文献的研究要有正确方法，我们的论文中需要广泛查找并阅读勾股定理在高维空间的推广研究方面文献资料，认真分析文献中作者对勾股定理在高维空间推广中研究思想以及研究方法。文献的中心思想与自己的思想研究相互结合，这样才能从文献中学习到更多的知识。在查找文献的过程中，认真的阅读和研究文献，学习文献中的结构的技巧。在文献中，认真借鉴证明方法，作者是如何证明的，是从哪些方面开始着手的。特别是他的证明方法以及证明过程，这些都是我们特别要重视的，还有就是要研究别人的思想，那我们可以去揣摩咀嚼，领会其中的精华。
2.2 几何研究
对于很多数学问题我们都可以运用几何的简便性进行相关的研究，从简单到难，从平面到立体再到多维进行研究。几何是研究空间结构以及其性质的一门学科，最初的平面几何就是研究平面上的直线、曲线的几何结构和性质，后来就是三维空间立体几何，研究立体几何的性质，面积体积的计算，例如双曲面、球面、锥面、椭球面以及球体、椎体等[1]。
2.3 数型结合
数型结合是我们在研究数学和物理领域中不可缺少的一种研究方法，在研究勾股定理在高维空间的推广与应用这一问题中，数型结合是一种很实用而且也是很重要的一种方法。数型结合就是用代数和图像几何相互几何分析的方法，在研究高维空间中我们进行直观的图形结合，更简便，更直观。开始研究勾股定理在二维空间中的证明可以用数型结合，其次在研究勾股定理在三维空间中的证明，可以借助数型结合的方法进行研究，最后在研究勾股定理在n维空间中的证明推广也有应用到数型结合的方法。数型结合的思想简而言之的就是数和型的相互转化从而解决你要求的问题的一种思想方法。还有就是大家也有可能对这里的数和形不是很清楚，数型结合的“形”
就是指数字、数量关系、方程式、代数式、以及函数等等，那么形是什么的，形就是指的是函数图像以及几何图像[2]。
2.4 类比推理法
春秋鲁班以茅草割手创造了锯子等就是类比的方法，然而在数学中类比的方法更是比比皆是，类比的方法使我们在研究和探讨数学知识的过程中更加醒目，直观，使我们的思维更加的活跃。在研究勾股的定理在高维空间中的推广就可以应用到类比法，从二维空间的勾股定理类比到三维空间，从三维空间的勾股定理类比到n维空间。类比推理法在每个国家的科学研究也是深有应用，是不可缺少的一种研究方法。什么是类比推理，类比就是我们可以通过两个或者是两类事物的相似或者相像，可以类比推理到他们的其他方面是否相似或者相像的一种方法。
2.5 反证法
反证法我想大家对这个词都是十分的熟悉的，反证法顾名思义就是我们先假设一
个结论是不成立的，然后根据这个结论反起来进行论证，看是否与前面的真理相违背，如果相违背说明这一假设成立，如果不违背那么这一假设不成立。在我们数学当中很多证明的时候就可以应用到反证法，这种方法让抽象化的问题变得形象化。所以这是我们必须要掌握的一种证明方法，对我们之后要对勾股定理在高维空间上的推广和证明有着巨大的帮助。反证法特别适用于命题的真假的证明，反证法通常有下面这几个步骤：
1）假定所要证明的命题的结论是不成立的
2）根据我们假定的结论不成立进行严谨推理，我们在推理的过程中必定会出现下面的两种情况之一：要么所得到的结果是与已知的条件相互矛盾；要么所得到的结果是与公理或定理矛盾，
3）根据上面所叙述矛盾的出现，我们可以断定，我们之前的假定“结论不成立”是错误的。
4）肯定原来命题的结论是正确的。
§3.3勾股定理的简单应用教学案 学习目标： 1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题． 2．构造直角三角形及正确解出此类方程． 3．运用勾股定理解释生活中的实际问题． 自主学习 在Rt△ABC中，∠C=， （1）若BC=9，AC=12，则AB= ，（2）若BC=8，AC=10，则AC= （3）若AC=5，AB=13，则BC= ，（4）若AB+AC=9，BC=3，则AC= ，AB= 探究活动 例1、《九章算术》中有折竹问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高几何？ 题意是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面离竹根3尺，问折断处离地面多高 练习：在平静的湖面上，有一枝红莲高出水面1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深是多少？（画出图形并解答） 例2. 如图,AD是△ABC的中线，AD=24，AB=26,BC=20，求AC.
练习：在四边形ABCD中,∠B=90度AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积是多少? 例3. “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生 其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深，葭长各几何？”题意是：有一个底面是边长为1O尺的正方形池塘，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面BC为l尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．问水深和芦苇长各多少？（画出几何图形并解答） 练习：1.如图，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，测得BD长为0.5米，则梯子顶端A下落了多少米． 2.如图，折叠长方形纸片AB CD，使点D落在边B C上的点F处(折痕为AE)．已知AB＝D C＝6c m，A D＝B C＝10cm．求E C的长
勾股定理的推广 三角形按照角来分类可以分为三种：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。勾股定理可以用来判断一个三角形是否为直角三角形。但是可以将勾股定理进行推广，用它来判断一个三角形是否为锐角三角形或者钝角三角形。 两个三角形的三边长度分别是6、8、9和6、8、11，判断这两个三角形是什么三角形。 分析：因为直角三角形中斜边最大，所以如果该三角形是直角三角形，那么它的斜边应该等于9，但是2636=，2864=，2981=，36＋64﹥81，所以该三角形不是直角三角形。因为6、8、10可以构成直角三角形（如原图所示），如果最长边的长度从10缩短到9，而其他两边的长度不变，原三角形一定不是直角三角形。如果在BC 不改变位置的情况下要想继续构成三角形，边AC 就应该向右边倾斜，所以∠C 就会发生变化，由原来的90°缩小到锐角。根据大边对大角，∠C 仍然是三角形中最大的角，所以该三角形就是锐角三角形（如图1所示）； 同理，如果最长边的长度从10增加到11，而其他两边的长度不变，原三角形也一定不是直角三角形。如果在BC 不改变位置的情况下要想继续构成三角形，边AC 就应该向左边倾斜，所以∠C 就会发生变化，由原来的90°增大到钝角，所以该三角形就是钝角三角形（如图2所示）。 例1：三角形的三边长度分别是9、12、15，判断这个三角形是什么三角形。 分析：可以根据勾股定理进行判断。2981=，212144=，215225=，81＋144=225，即22291215+=，所以该三角形是直角三角形。 解：因为2981=，212144=，215225=， 81＋144=225， 即22291215+=， 8A C B 原图 8C B 图 1 8A C B 图2
勾股定理应用的教学设计教学目标 1．会用勾股定理进行简单的计算。 2.通过探究，会运用勾股定理解释生活中的实际问题。 教学重点 勾股定理的应用。 教学难点 实际问题向数学问题的转化 教学过程 通过小组合作学习探究，研究勾股定理在实际中的应用 一、复习旧知 复习勾股定理以及一些简单的计算 (1)勾股定理： （2）求出下列直角三角形中未知的边． A C B 二、合作探究 通过四个问题，让学生明白勾股定理在实际生活中的应用，以及如何去使用勾股定理。 问题1.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为多少米.？ 5 m处断裂，旗杆顶部落在离底部12 m处，问旗杆折断前 如下图，要将楼梯铺上地毯，则需要米长的地毯. 5米长的梯子AB，斜着靠在竖直的墙AO上，这时AO的距离为3米． ①球梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯的顶端A沿墙下滑1米至C，请同学们猜一猜，底端B也将滑动1米吗？ 算一算，底端滑动的距离。（结果保留1位小数）． 6 1 A C B 2 30° C B 2 2
三．深化新知 “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴 岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？” 四、课堂小结 本节课你有什么收获？你认为用勾股定理解决实际问题的关键是什么？ 五、运用新知 1校园里有两棵树，相距15米，一棵树高10米，另一棵树高18米，一只小鸟从一棵树的顶 端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞米。 2如图，一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 是。 4、一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点，PQ=16厘米，且RP⊥PQ，则RQ= 厘米。 3、小东拿着一根长竹竿进一个宽为三米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城 门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米。 六、课后反思 我学到了什么—————— 还想知道什么——————
勾股定理趣事 学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的； 勾股的发现 在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德.他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？ 只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。 于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。 1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来， 勾股的证明
人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 勾股定理同时也是数学中应用最广泛的定理之一。例如从勾股定理出发逐渐发展了开平方、开立方；用勾股定理求圆周率。据称金字塔底座的四个直角就是应用这一关系来确定的．至今在建筑工地上，还在用它来放线，进行“归方”，即放“成直角”的线。 正因为这样，人们对这个定理的备加推崇便不足为奇了。1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体——毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对勾股定理的说明。希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。 尼加拉瓜在1971年发行了一套十枚的纪念邮票，主题是世界上“十个最重要的数学公式”，其中之一便是勾股定理。 2002年的世界数学家大会在中国北京举行，这是21世纪数学家的第一次大聚会，这次大会的会标就选定了验证勾股定理的“弦图”作为中央图案，可以说是充分表现了我国古代数学的成就，也充分弘扬了我国古代的数学文化，另外，我国经过努力终于获得了2002年数学家大会的主办权，这也是国际数学界对我国数学发展的充分肯定。 今天，世界上几乎没有人不知道七巧板和七巧图，它在国外被称为“唐图”（T angram），意思是中国图（不是唐代发明的图）。七巧板的历史也许应该追溯到我国先秦的古籍《周髀算经》，其中有正方形切割术，并由之证明了勾股定理。而当时是将大正方形切割成四个同样的三角形和一个小正方形，即弦图，还不是七巧板。现在的七巧板是经过一段历史演变过程的。 勾股趣事
勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”或者“百牛定理“（毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”），法国、比利时人又称这个定理为“驴桥定理”。他们发现勾股定理的时间都比我国晚，我国是最早发现这一几何宝藏的国家。目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。 勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决集几何问题的最重要的工具之一，是数形结合的纽带之一。 勾股定理指出： 直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。 也就是说， 设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 a的平方+b的平方=c的平方a^2＋b^2＝c^2 周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[1]。法国和比利时称为驴桥定理，埃及称为埃及三角形。我国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。 我国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。我国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在我国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。 西欧对此定理戏称为“笨蛋的难关（Asses' Bridge）”，照原文直译，就是“驴桥”，因此，我国也有将此命题译作“驴桥定理”的。 这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的Pythagorean Proposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。
3.3 勾股定理的简单应用 学习目标：1、巩固勾股定理及其逆定理； 2、会用勾股定理及其逆定理解决问题。 教学重点：用勾股定理及其逆定理解决问题 教学难点：用勾股定理及其逆定理解决问题 【复习回顾】 问题1：勾股定理是如何描述的？符号语言如何表示？ 问题2：你能说出这个定理的逆命题吗？符号语言如何表示？ 【情境创设】 从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角 三角形．已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、 AF、AG的长？ 思考，讨论并交流线段的长的计算． 【例题1】 【课堂练习1】 “引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有池方一丈，葭 生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各 几何？”（有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有 一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池 边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水 池的深度和这根芦苇的长度各是多少？） 【例题2探究】 【课堂练习2】 1、在△ABC中，AB＝AC＝17，BC＝16，求△ABC的面积． 2、在△ABC中，AD⊥BC，AB＝15，AD＝12，AC＝13，求△ABC的周长和面积． 【课堂小结】 本节课2个目标你达成个？分别是： ：
3.3 勾股定理的简单应用练习 1、在一块平地上，离张大爷家屋前9m 处有一棵大树．在一次强风中，这棵树从离地面6m 处折断倒下，量得倒下部分的长是10m ，则大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？（） A.一定不会 B.可能会 C.一定会 D.无法确定 2、如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行（） A.8米 B.10米 C.12米 D.14米 3、如图，是一个人字形屋架，为等腰三角形ABC ，跨度AB =24?m ，上弦AC =13m ，则中柱CD =________m ． 4、如图，要在高AC 为6米，斜坡AB 长10米的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？ 5、如图，一圆柱体的底面周长为40cm ，高AB 为15cm ，BC 是上底面的直径，一只蚂蚁从 点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程． 6、某校A 与直线公路距离为3000m ，又与该公路上某车站D 的距离为5000m ，现要在公路 这边建一个小商店C ，使之与学校A 及车站D 的距离相等，那么该店与车站D 的距离是多少？ D C B A
几种简单证明勾股定理的方法 ——拼图法、定理法 江苏省泗阳县李口中学沈正中 据说对社会有重大影响的10大科学发现，勾股定理就是其中之一。早在4000多年前，中国的大禹曾在治理洪水的过程中利用勾股定理来测量两地的地势差。迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种，各种证法融几何知识与代数知识于一体，完美地体现了数形结合的魅力。让我们动起手来，拼一拼，想一想，娱乐几种，去感悟数学 的神奇和妙趣吧！ 一、拼图法证明（举例12种） 拼法一：用四个相同的直角三角形（直角边为a 、b ，斜边为c ）按图2拼法。 问题：你能用两种方法表示左图的面积吗？对比两种不同的表示方法，你发现了什么？ 分析图2：S 正方形=（a+b ）2= c 2 + 4×2 1ab 化简可得：a 2+b 2 = c 2 拼法二：做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再做三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，把它们像左 图那样拼成两个正方形。 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a + b ，所以面积相等. 即 a 2+ b 2+4×21ab = c 2+4×21ab 整理得 a 2+b 2 = c 2 拼法三：用四个相同的直角三角形（直角边为a 、b ，斜边为c ）按图3拼法。 问题：图3是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的。在图3中用同样的办法研究，你有什么发现？你能验证a 2+b 2=c 2吗？ 分析图3：S 正方形= c 2 =（a-b ）2+ 4×21ab 化简可得：a 2+b 2 = c 2 图1 图2 图3 图4 b a b a b a b a c b a c b a c b a c b a c b a c b a
勾股定理 一、教学背景 勾股定理又叫商高定理、毕氏定理，或称毕达哥拉斯定理，英文译法：Pythagoras' Theorem。勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。）人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。 欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。 勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。如此等等。 用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表 示斜边，则可得：勾2+股2 =弦2，亦即：a2+b2=c2 二、教学课题勾股定理 三、教学目标 1．了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算、作图和证明．
课题 3.3勾股定理的应用第1课时 学习目标1、在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想， 2、进一步发展有条理思考和有条理表达的能力。 3、通过对勾股定理应用，培养解决实际问题的能力和审美能力。 教学重点解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题 教学难点勾股定理及直角三角形的判定条件的应用的区别 教法教具自主探究合作交流 教师活动二次备课 一创设情境 勾股定理在生活中的应用 从远处看，斜拉桥的索塔、桥面与拉索组成许多直角三角形 二探索活动 已知桥面以上索塔AB的高，怎样计算AC、AD、AE、AF、AG的 长． A B C E F G D
二．例题教学 例1 九章算术中的“折竹”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 练习 “引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺,引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？” 题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ A C B 例2 如图，在△ABC中，AB＝26，BC＝20，BC边上的中线AD ＝24，求AC.
勾股定理与它的逆定理在应用上有什么区别？ 三．展示交流 1．如图，在△ABC 中， AB ＝AC ＝17，BC ＝16，求△ABC 的面积． 2如图，在△ ABC 中，AD ⊥BC ，AB ＝15，AD ＝12，AC ＝13，求△ABC 的周长和面积． 3、如图，以△ABC 的三边为直径向外作半圆，且S 1＋S 3＝S 2，试判断△ABC 的形状？ 四．总结 从勾股定理的应用中我们进一步体会到直角三角形与等腰三角形有着密切的联系；把研究等腰三角形转化为研究直角 D C B A D C B A
勾股定理应用的教学设计 教学目标 1 ?会用勾股定理进行简单的计算。 2.通过探究，会运用勾股定理解释生活中的实际问题 教学重点 勾股定理的应用。 教学难点 实际问题向数学问题的转化 教学过程 通过小组合作学习探究，研究勾股定理在实际中的应用 一、 复习旧知 复习勾股定理以及一些简单的计算 ⑴勾股定理： ____________________________________________________ (2)求出下列直角三角形中未知的边. 通过四个问题，让学生明白勾股定理在实际生活中的应用，以及如何去使用勾股定理 问题1.有一个边长为1米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口， 则圆形盖半径至 少为多少米? ？ 问题2.如图所示，一旗杆在离地面 5 m 处断裂，旗杆顶部落在离底部 12 m 处，问旗杆 折断前有多咼？ 合作探究 B A 2 C C C
问题4.如图，一个5米长的梯子AB 斜着靠在竖直的墙A0上，这时A0的距离为3米. ① 球梯子的底端B 距墙角0多少米？ ② 如果梯的顶端A 沿墙下滑1米至C,请同学们猜一猜，底端 B 也将滑动1米吗？ 算一算，底端滑动的距离。（结果保留 1位小数）. 三. 深化新知 “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺 ， 引 葭赴岸，适与岸齐。问水深、葭长各几何？” 四、课堂小结 本节课你有什么收获？你认为用勾股定理解决实际问题的关键是什么? 五、运用新知 1校园里有两棵树，相距15米，一棵树高10米，另一棵树高18米，一只小鸟从一棵树 的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞 ___________ 米。 2如图，一根12米高的电线杆两侧各用 15米的铁丝固定，两个固定点之间的距离 问题3.如下图，要将楼梯铺上地毯，则需要 _____ 米长的地毯.
渗透数学文化，课堂更精彩 ——例谈基于文化的勾股定理教学 古楼中心学校--胡丽玲 勾股定理是直角三角形的重要性质，它把三角形有一个直角的“形”的特点，转化为三边之间的“数”的关系，从而解决了许多直角三角形中的计算问题；它是数形结合的典范，也是初中数学教学内容重点之一，更因为其超过四百多种的证明方法，使其成为数学上最引人注目的定理之一。 勾股定理的教学蕴藏着浓厚的文化气息，读一读课后的数学故事、数学名题，体会数学家契而不舍的探究精神，感受数学美等等；教材处处告诉人们，数学不仅仅是一堆数字、符号的计算和证明游戏，它也是前人智慧的结晶，千古传承的文化。 对学生来说，用面积的“割补”证明一个定理应该是比较陌生的，尤其觉得不像证明，因此，勾股定理的证明是一个难点。但是，初二学生经过一年的几何学习，已具有初步的观察和逻辑推理能力，他们更希望独立思考和发表自己的见解。因此，教师要创设一种便于学生观察、思考、交流的教学情境，激发兴趣，培育他们学习的热情。 下面，我以新湘教版八年级下册1.2直角三角形的性质和判定《勾股定理》为例，谈谈在课堂上如何渗透数学文化，使学生觉得不再枯燥，数学课堂更精彩。 【教学目标】 知识技能：了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程． 数学思考：在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．解决问题：1．通过拼图活动，体验数学思维的严谨性，发展形象思维．2．在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究结果． 情感态度：1．通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情．2．在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．
14.2 勾股定理的应用 教学目标 教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题. 能力训练要求：1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念. 2.在将实际问题抽象成几何图形过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想. 情感与价值观要求：1.通过有趣的问题提高学习数学的兴趣. 2.在解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性，体现人人都学有用的数学. 教学重点难点： 重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题. 难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题. 教学过程 1、创设问题情境，引入新课： 前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？ 例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子？ 根据题意，(如图)AC是建筑物，则AC=12米，BC=5米，AB是梯子的长度.所以在Rt△ABC 中，AB2=AC2+BC2=122+52=132；AB=13米. 所以至少需13米长的梯子. 2、讲授新课：①、蚂蚁怎么走最近
出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米．在圆行柱的底面A 点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A 点相对的B 点处的食物，需要爬行的的最短路程是多少？(π的值取3)． （1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A 点到B 点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（小组讨论） （2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A 点到B 点的最短路线是什么?你画对了吗? （3）蚂蚁从A 点出发，想吃到B 点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？（学生分组讨论，公布结果） 我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA ′将圆柱的侧面展开(如下图). 我们不难发现，刚才几位同学的走法： (1)A →A ′→B ； (2)A →B ′→B ； (3)A →D →B ； (4)A —→B. 哪条路线是最短呢？你画对了吗？ 第(4)条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”. ②、做一做。李叔叔随身只带卷尺检测AD ，BC 是否与底边AB 垂直，也就是要检测 ∠DAB=90°，∠CBA=90°.连结BD 或AC ，也就是要检测△DAB 和△CBA 是否为直角三角形.很显然，这是一个需用勾股定理的逆定理来解决的实际问题. ③、随堂练习 出示投影片 A B A B
勾股定理研究 100900225 李熠霖 【摘要】：勾股定理是初等几何中最精彩、最著名和最有用的定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。从古巴比伦发现至今的悠悠4000年的历史长河里，它的身影若隐若现。勾股定理不仅是一些数学定理的基础,在生产和生活中的应用也很广泛。许多重要的数学、物理理论中都能发现它的踪迹。本文研究勾股定理的起源和发展,总结勾股定理可考的名称和证明方法;分析勾股定理的推广以及在现实生活中的应用。 【关键词】：勾股定理起源证明应用 【正文】: 作为世界上应用最广泛的定理之一，勾股定理有着它光辉的历史。欧几里得几何、代数几何、微积分、黎曼几何、爱因斯坦相对论，一个个我们熟悉的数学发现的背后无不渗透着勾股定理的影响，古典数学和现代数学的历史轨迹竟然一脉相承，从未走远。历史的变迁、科学史上的重要发现的背后都有勾股定理的身影——若隐若现。 勾股定理的别名 中国是发现和研究勾股定理最古老的国家之一。中国古代数学家称直角三角形为勾股形，较短的直角边称为勾，另一直角边称为股，斜边称为弦，所以勾股定理也称为勾股弦定理。在公元前1000多年，据记载，商高（约公元前1120年）答周公曰“故折矩，以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。”因此，勾股定理在中国又称“商高定理”。在公元前7至6世纪一中国学者陈子，曾经给出过任意直角三角形的三边关系即“以日下为勾，日高为股，勾、股各乘并开方除之得邪至日”。 在法国和比利时，勾股定理又叫“驴桥定理”。还有的国家称勾股定理为“平方定理”。甚至叫做“欧几里得I 47”（它是欧几里得《几何原本》卷I中的第47个命题。） 勾股定理的起源和发展 现在人们一般认为是毕达哥达斯首次证明了勾股定理。当然他不是第一个发现这一定理的人，因为据可靠的资料，在他之前至少一千年，古巴比伦人就已经知道了这个定理，那时，中国人可能也已经知道。从毕达哥拉斯首次证明它并由此确立其不朽的地位开始，探索这一定理已经经历了大约2500年的演变过程。 今天，我们认为毕达哥拉斯定理是一个代数关系，a^2+b^2=c^2，当已知直角三角形两个边的长度时，根据这个关系式可以求得这个直角三角形的第三条边的长度。但是，当年毕达哥拉斯却不这样看它，对他来说，这是一个关于面积的几何陈述。大约在公元1600年，随着现代代数学的出现，这个定理才拥有了我们现在所熟悉的代数形式。无数的先贤们证明过它：“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”。
北师版八年级数学上册 1.1.2勾股定理的简单应用 同步训练卷 一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．直角三角形的周长为12，斜边长为5，则面积为() A．12 B．10 C．8 D．6 2．如图，三个正方形围成一个直角三角形，64，100分别为所在正方形的面积，则图中字母M所代表的正方形的边长是() A．6 B．8 C．36 D．164 3．《九章算术》中的“折竹抵地”问题(如图)：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈(一丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为x尺，则可列方程为() A．x2－6＝(10－x)2B．x2－62＝(10－x)2 C．x2＋6＝(10－x)2D．x2＋62＝(10－x)2 4．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是() A．48 B．60 C．76 D．80 5．如图，在长方形ABCD中，AB＝4，BC＝6，将△ABC沿AC折叠，使点B落在点E处，CE交AD于点F，则DF的长等于()
A.35 B.53 C.73 D.54 6. 如图所示是一段楼梯，高BC 是3 m ，斜边AB 是5 m ，如果在楼梯上铺地毯，那么地毯的长至少需要( ) A ．5 m B ．6 m C ．7 m D ．8 m 7． 如图，直线l 上有三个正方形a ，b ，c ，若a ，c 的面积分别为5和11，则b 的面积为( ) A ．4 B ．6 C ．16 D ．55 8．有长度为9 cm ，12 cm ，15 cm ，36 cm ，39 cm 的五根木棒，用其中的三根首尾连接可搭成直角三角形的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．如图，长方形ABCD 的对角线AC ＝10，BC ＝8，则图中五个小长方形的周长之和为( ) A ．14 B ．16 C ．20 D ．28 10．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的较长直角边长为a ，较短直角边长为b.若ab ＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为( ) A ．9 B ．6 C ．4 D ．3 二．填空题（共8小题，3*8=24）
勾股定理 百科名片 勾股定理 在我国，把直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方这一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又称毕达哥拉斯定理或毕氏定理（Pythagoras Theorem）。数学公式中常写作a²+b²=c² 目录 概述 内容 勾股数组 推广 勾股定理 定理 勾股定理的来源 毕达哥拉斯树 常见的勾股数 勾、股、弦的比例 最早的勾股定理应用 《周髀算经》中勾股定理的公式与证明 伽菲尔德证明勾股定理的故事 勾股定理的多种证明方法 证法1 证法2 证法3 证法4 证法5(欧几里得的证法) 证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法） 证法七（赵爽弦图） 证法8（达芬奇的证法） 习题及答案 概述 内容 勾股数组 推广 勾股定理 定理
勾股定理的来源 毕达哥拉斯树 常见的勾股数 勾、股、弦的比例 最早的勾股定理应用 《周髀算经》中勾股定理的公式与证明 伽菲尔德证明勾股定理的故事 勾股定理的多种证明方法 证法1 证法2 证法3 证法4 证法5(欧几里得的证法) 证法6（欧几里德(Euclid)射影定理证法） 证法七（赵爽弦图） 证法8（达芬奇的证法） 习题及答案 展开 编辑本段概述 内容 勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方。这个定理在中国又称为“商高定理”，在外国称为“毕达哥拉斯定理”。目前初二学生学，教材的证明方法采用赵爽弦图。 勾股定理（又称商高定理，毕达哥拉斯定理）是一个基本的几何定理，早在中国商代就由商高发现。据说毕达哥拉斯发现了这个定理后，即斩了百头牛作庆祝，因此又称“百牛定理”。 勾股定理指出： 直角三角形两直角边（即“勾”“股”短的为勾，长的为股）边长平方和等于斜边（即“弦”）边长的平方。 也就是说， 设直角三角形两直角边为a和b，斜边为c，那么 a的平方+b的平方=c的平方a^2＋b^2＝c^2 勾股定理现发现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一。 勾股定理其实是余弦定理的一种特殊形式。 我国古代著名数学家商高说：“若勾三，股四，则弦五。”它被记录在了《九章算术》中。勾股数组 满足勾股定理方程a^2＋b^2＝c^2;的正整
9.已知Rt △ABC 的周长为，其中斜边，求这个三角形的面积。 10. 如果把勾股定理的边的平方理解为正方形的面积，那么从面积的角度来说，勾股定理可以推广. (1)如图，以Rt △ABC 的三边长为边作三个等边三角形，则这三个等边三角形的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？并说明理由。 （2）如图，以Rt △ABC 的三边长为直径作三个半圆，则这三个半圆的面积1S 、2S 、3S 之间有何关系？ （3）如果将上图中的斜边上的半圆沿斜边翻折180°，请探讨两个阴影部分的面积之和与直角三角形的面积之间的关系，并说明理由。（此阴影部分在数学史上称为“希波克拉底月牙”） 题型二：利用勾股定理测量长度 例1. 如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？ 跟踪练习： 1.如图（8），水池中离岸边D 点1.5米的C 处，直立长着一根芦苇，出水部分BC 的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B 恰好落到D 点，并求水池的深度AC. 2.一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（ ） A 、12米 B 、13米 C 、14米 D 、15米 3.如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米．一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行（ ）
A 、8米 B 、10米 C 、12米 D 、14米 题型三：勾股定理和逆定理并用—— 例3. 如图3，正方形ABCD 中，E 是BC 边上的中点，F 是AB 上一点，且AB FB 4 1 那么△DEF 是直角三角形吗？为什么？ 注：本题利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必练习题。 跟踪练习： 1. 如图，正方形ABCD 中，E 为BC 边的中点，F 点CD 边上一点，且DF=3CF ，求证：∠AEF=90° 题型四：利用勾股定理求线段长度—— 例1. 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长. 跟踪练习： 1.如图，将一个有45度角的三角板顶点C 放在一张宽为3cm 的纸带边沿上，另一个顶点B 在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，求三角板的最大边AB 的长. 2.如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，D 为AC 的中点，DE ⊥DF ，交AB 于E ，交BC 于F ，（1）求证：BE=CF;（2）若AE=3，CF=1，求EF 的长.
勾股定理的简单应用 一、细心选一选． 1．满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是 ( ) A．a=1，b=2，c=3 B．a：b：c=3：4：5 C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5 2．如图，点D在△A BC的边AC上，将△ABC沿BD 翻折后，点A恰好与点C重合．若BC=5，CD=3，则BD的长为 ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3．如图，有两棵树，一颗高10米，另一棵高4米，两 树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 ( ) A．8米 B．10米 C．12米 D．14米 4．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB，垂足为点D，如果∠A=30°，AE=6 cm，那么CE等于 ( ) A．17 2 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm 5．如图，在水塔O的东北方向32 m处有一抽水站A，在水塔的东南方向24 m处有一建筑物工地B，在AB间建一条直水管，则水管的长为 ( ) A．45 m B．40 m C．50 m D．56 m 6．如图，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，若在圆柱的侧面上，过点A和点C 嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为 ( ) A．42dm B．22dm C．dm D．dm 二、认真填一填．(每空2分，共12分) 7．甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往北偏东60°的方向走了5．2 km，乙往南偏东30°的方向走了3．9 km，这时甲，乙两人相距 km． 8．如图，一个正方体盒子的棱长AB=1，A处的一只蚂蚁要绕盒子的表面爬到C'处吃糖，则需要爬行的最短距离是．
勾股定理（基础） 撰稿：吴婷婷 责编：常春芳 【学习目标】 1．掌握勾股定理的内容，了解勾股定理的多种证明方法，体验数形结合的思想； 2．能够运用勾股定理求解三角形中相关的边长（只限于常用的数）； 3．通过对勾股定理的探索解决简单的实际问题，进一步运用方程思想解决问题． 【要点梳理】 【高清课堂 勾股定理 知识要点】 要点一、勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么2 2 2 a b c +=． 要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系． （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长 可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的． （3）理解勾股定理的一些变式： 222a c b =-，222b c a =-， ()2 22c a b ab =+-． 要点二、勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 图（1）中 ，所以 ． 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 图（2）中 ，所以 ． 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．
，所以． 要点三、勾股定理的作用 1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2. 用于解决带有平方关系的证明问题； 3． 与勾股定理有关的面积计算； 4．勾股定理在实际生活中的应用． 【典型例题】 类型一、勾股定理的直接应用 1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）若a ＝5，b ＝12，求c ； （2）若c ＝26，b ＝24，求a ． 【思路点拨】利用勾股定理2 2 2 a b c +=来求未知边长． 【答案与解析】 解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，2 2 2 a b c +=，a ＝5，b ＝12， 所以2 2 2 2 2 51225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13． （2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，2 2 2 a b c +=，c ＝26，b ＝24， 所以2 2 2 2 2 2624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10． 【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式． 举一反三： 【变式】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ． （1）已知b ＝6，c ＝10，求a ； （2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ． 【答案】 解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝6，c ＝10， ∴ 2 2 2 2 2 10664a c b =-=-=， ∴ a ＝8． （2）设3a k =，5c k =， ∵ ∠C ＝90°，b ＝32， ∴ 2 2 2 a b c +=． 即2 2 2 (3)32(5)k k +=． 解得k ＝8． ∴ 33824a k ==?=，55840c k ==?=． 类型二、与勾股定理有关的证明
A O B X (10－X ) 3 教学目标：1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题； 2．构造直角三角形及正确解出此类方程； 3．运用勾股定理解释生活中的实际问题． 教学重点：能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题． 教学难点：在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能 力，体会数学的应用价值．要善于运用直角三角形三边关系，关键是根据实际情 形准确构造出直角三角形． 教学过程： 一．创设情境 提出问题 同学们，前一阶段我们学习了勾股定理，勾股定理在数学研究中具有极其重要的地位，数学大师华罗庚曾经说过：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！咱们今天就来继续体验勾股定理在数学中的应用． 投影：把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流！——华罗庚 二．新课 1.复习勾股定理和勾股定理逆定理 2．例题精讲 例1今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？ 意思是：有一根竹子原高1丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？ 解：如图，我们用线段OA 和线段AB 来表示竹子，其中线段AB 表示竹子折断部分，用线段OB 来表示竹梢触地处离竹根的距离． 设OA ＝x ，则AB ＝10－x ， ∵∠AOB ＝90°， ∴OA 2＋OB 2＝AB 2， ∴x 2＋32＝（10－x ）2， ∴OA ＝x ＝9120 （尺），
答：竹子折断处离地面有 91 20 尺． 例2“引葭赴岸”是《九章算术》中另一道题“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”题意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边．请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ 解：如图BC为芦苇长，AB为水深，AC为池中心点距岸边的距离．设AB＝x尺，则BC＝（x＋1）尺， 根据勾股定理得：x2＋52＝（x＋1）2， 解得：x＝12，所以芦苇长为12＋1＝13（尺）， 答：水深为12尺，芦苇长为13尺． 例3如图，等边三角形ABC的边长是6，求△ABC的面积． 解：作AD⊥BC， ∵△ABC是等边三角形， ∴BD＝ 1 2 BC＝ 1 2 ×6＝3， 在Rt△ABC中， A C B D