用一元二次方程解决问题（2）
学习目标：
1、能够掌握巧设未知数，解题过程化繁为简。；
2、能够理解与增长或减低的百分率有关问题的数量关系，并列出方程解；
3、经历和体验用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步体会一元二次方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，增强数学应用意识。
4、进一步提高逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力。
学习重点：列方程解应用的关键——找出等量关系。
学习难点：检验所得结果是否符合实际意义。
学习过程：
一、情境和探究：
情境1、某药品经过两次降价，每瓶零售价由56元降为31.5元．已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．
分析：若一次降价百分率为x，则一次降价后零售价为原来的(1－x)倍，即56(1－x)元；第二次降价百分率仍为x，则第二次降价后的零售价为56(1－x)的(1－x)倍．
解设平均降价百分率为x，根据题意，得
56(1－x)2＝31.5．
解这个方程，得
x1=0.25，x2=1.75．
因为降价的百分率不可能大于1，所以x2=1.75不符合题意，符合本题要求的是x=0.25=25%．
答：每次降价百分率为25%．
情境2、甲型H1N1流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型H1N1流感没有及时隔离治疗，经过两天
．．传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这．．传染后共有9人患了甲型H1N1流感，每天
个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型H1N1流感？
二、实践和探讨：
1．某工厂1月份的产值是50000元，3月份的产值达到60000元，这两个月的产值平均月增长的百分率是多少？
2．据某中学对毕业班同学三年来参加市级以上各项活动获奖情况的统计，初一阶段有48人次获奖，之后逐年增加，到初三毕业时共有183人次获奖．求这两年中获奖人次的平均年增长率．
3、某商店2月份营业额为50万元，春节过后3月份下降了30%，4月份比3月份有所增长，5月份的增长率又比4月份的增长率增加了5个百分点（即5月份的增长率要比4月份的增长率多5%），营业额达到48.3万元．问
4、5两月营业额增长的百分率各是多少？
三、拓展和提高：
某商场于第一年初投入50万元进行商品经营，?以后每年年终将当年获得的利润与当年年初投入的资金相加所得的总资金，作为下一年年初投入的资金继续进行经营．
（1）如果第一年的年获利率为p，那么第一年年终的总资金是多少万元?（?用代数式来表示）（注：
年获利率=利润
年初投入资金
×100%）
（2）如果第二年的年获利率多10个百分点（即第二年的年获利率是第一年的年获利率与10%的和），第二年年终的总资金为66万元，求第一年的年获利率．
解:（1）∵年获利率=利润
年初投入资金
×100%,
∴第一年年终的总资金是(50+50p)万元，即50 (1+p)万元.
（2）则依题意得：50 (1+p) (1+p+10%)=66
把(1+p)看成一个整体，整理得：(1+p)2+0.1(1+p)-1.32=0，解得：1+p=1.2或1+p=-1.1，
∴p1=0.2，p1=-2.1 (不合题意舍去).
∴p=0.2=20%.
∴第一年的年获利率是20%.
四、归纳和小结：
1、这堂课你学到了什么？
2、通过这堂课你有什么体会？
五、布置作业：
课后作业：课课练P75-77；
家庭作业：半张讲义。
六、教后反思：
用一元二次方程解决几何图形问题 基础题 知识点1一般图形的问题 1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm． 4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m. 5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有 x(28－x)＝180. 解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
则28－x＝28－18＝10. 答：长为18厘米，宽为10厘米． (2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有 y(28－y)＝200. 化简，得y2－28y＋200＝0. ∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根． 故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形． 知识点2边框与甬道问题 6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等
一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才
是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二
增长率问题：1、恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了20%，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 2、某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 3、王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（假设不计利息税） 4、周嘉忠同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”，到期后将本金和利息取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的60%，这样到期后，可得本金和利息共530元，求第一次存款时的年利率.（利息税为20%，只需要列式子） 5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，则这种药品平均每次降价的百分率为 商品定价：1、益群精品店以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价a 元，则可卖出（350－10a ）件，但物价局限定每件商品的利润不得超过20%，商店计划要盈利400元，需要进货多少件？每件商品应定价多少？ 2、利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）。当每吨售价为260元时，月销售量为45吨。该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销。经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨。综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元。（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）在遵循“薄利多销”的原则下，问每吨材料售价为多少时，该经销店的月利润为9000元。（3）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大。”你认为对吗？请说明理由。 3、国家为了加强对香烟产销的宏观管理,对销售香烟实行征收附加税政策. 现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元,不加收附加税时, 每年产销100万条,若国家征收附加税,每销售100元征税x 元(叫做税率x%), 则每年的产销量将减少10x 万条.要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元,并使香烟的产销量得到宏观控制,年产销量不超过50万条,问税率应确定为多少? 4、春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾 风景区旅游，推出了如图1对话中收 费标准.某单位组织员工去天水湾风景区 旅游，共支付给春秋旅行社旅游费 用27000元. 水湾风景区旅游？ 图 1
1.4 用一元二次方程解决问题(一) 1. 用一元二次方程解决实际问题要经历审题、找出 、设 、列 、解方 程、 、写出 答案的过程. 2. 用一元二次方程解决问题的关键是 . 3. 从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条，剩下的面积是482m ，则原来这块木 板的面积是（ ） A. 1002m B. 642m C. 1212m D. 1442m 4. 如图，在长为100m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道 路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644 2m ，则道路的宽应为多少米? 设道的宽为x 米，则可列方程为 （ ） A. 10080100807644x x ?--= B. (100)(80)27644x x x --+= C. (100)(80)7644x x --= D. 10080356x x += 5. 如图，对一块长60 m 、宽30 m 的长方形荒地进行改造，要在其四周留一条宽度 相等的人行道，中间部分建成一块面积为1 000 m “的长方形绿地，求人行道的宽度. 6. 如图，某养殖场要用防护网围成长方形养鸡场地，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2m 宽的门.现有防护网的长度为91 m ，场地的面积需要1080 2m ，若墙长50 2m ，求场地的长和宽. （1） 一变:若墙长46 m ，求场地的长和宽； （2） 二变:若墙长40 m ，求场地的长和宽； （3） 通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？ 7. 从正方形的铁片上截去8 cm 宽的一条长方形，余下部分的面积是48 2cm 时，则原来 的正方形铁片的面积为（ ） A. 8 2cm B. 16 2cm C. 64 2cm D. 144 2cm
第十六期：一元二次方程 一元二次方程是在一元一次方程及分式方程的基础上学习的，一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程的应用是中考的重点。题型多样，一般分值在6－9分左右。 知识点1：一元二次方程及其解法 例1：方程0232 =+-x x 的解是（ ） A ．11=x ，22=x B ．11-=x ，22-=x C ．11=x ，22-=x D ．11-=x ，22=x 思路点拨：考查一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有：一是因式分解法；二是配方法；三是求根公式法．此题可以用此三种方法求解，此题以因式分解法较简单，此式可以分解为（x －1）(x －2)=0,所以x －1=0或x －２=0，解得x １=１，x ２=２．故此题选Ａ． 例2：若2 20x x --= ） A B C D 思路点拨：本题考查整体思想，即由题意知x 2－x=2, 所以原式=3 3 23 123222= +-+，选A. 练习： 1.关于x 的一元二次方程2x 2－3x －a 2 +1=0的一个根为2，则a 的值是（ ） A ．1 B C ． D ．2.如果1-是一元二次方程2 30x bx +-=的一个根，求它的另一根． 3.用配方法解一元二次方程：x 2－2x －2=0． 答案：1.D. 2.解： 1-是230x bx +-=的一个根， 2(1)(1)30b ∴-+--=．解方程得2b =-．
∴原方程为2230x x --= 分解因式，得(1)(3)0x x +-= 11x ∴=-，23x =. 3.移项，得x 2－2x=2． 配方x 2－2x+12=2+12， （x －1）2=3. 由此可得x －1=±3， x 1=1+3，x 2=1－3. 最新考题 1.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 2.（2009年山西省）请你写出一个有一根为1的一元二次方程： ． 3.（2009山西省太原市）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()216x -= C ．()2 29x += D ．()2 29x -= 答案：1.1； 2.答案不唯一，如2 1x = 3. B 知识点2：一元二次方程的根与系数的关系 例1：如果21,x x 是方程0122 =--x x 的两个根，那么21x x +的值为： （A ）－1 （B ）2 （C ）21- （D ）21+ 思路点拨：本题考查一元二次方程02 =++c bx ax 的根与系数关系即韦达定理，两根之和是a b - ， 两根之积是a c ，易求出两根之和是2。答案：B 例2：设一元二次方程2 730x x -+=的两个实数根分别为1x 和2x ， 则12x x += ，x 1、·x 2 ．
一元二次方程的应用 1．某地区2014年投入教育经费2500万元，2016年投入教育经费3025万元． （1）求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2017年该地区将投入教育经费多少万元． 2．白溪镇2012年有绿地面积57.5公顷，该镇近几年不断增加绿地面积，2014年达到82.8公顷． （1）求该镇2012至2014年绿地面积的年平均增长率； （2）若年增长率保持不变，2015年该镇绿地面积能否达到100公顷？ 3．某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6080元的利润，应将销售单价定位多少元？ 4．水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？
5．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件； （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 6．某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具． （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元（x＞40），请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润w元，并把化简后的结果填写在表格中： 销售单价（元）x 销售量y（件） 销售玩具获得利润w（元） （2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元． 7．利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200 m2的矩形场地，求矩形的长和宽．
第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 教案说明 课题：22.2 降次----解一元二次方程（第2课时） 单位：河南省安阳市梅园中学 姓名：张立界 日期：2012年9月16日
22.2 降次----解一元二次方程（第2课时） 教案说明 河南省安阳市梅园中学张立界 一、教材分析 本节课选自人教版数学教材九年级上册第22章第2节降次----解一元二次方程（第2课时）. 一元二次方程的基本解法包括配方法、公式法和因式分解法等.解一元二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，就是降次.配方法是解一元二次方程的重要方法，是在学生已掌握直接开平方法解方程的基础上，讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法.有了配方法的基础，可以得到解一元二次方程的另一重要方法—公式法，进而引出判别式及根与系数的关系，为以后学习二次函数打下良好基础. 二、目标分析 1.知识与技能 理解配方法的算理，会用配方法解一元二次方程. 2.过程与方法 通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理，让学生体会转化的数学思想方法，锻炼学生的抽象概括能力. 3.情感态度价值观 通过使用导学案，培养学生的探究精神和自学能力，形成良好的学习习惯.通过“每天四道题，天天爱学习”的训练，化整为零，化难为易，增加数学的趣味性，让学生在解题中感受到成功的喜悦. 三、教法分析 本课采用“自主、探索、导引”教学思路，学生先学后教，先练后讲，把学习的主动权还给学生，突出学生的主体地位.“导学案”的设计，由易到难，由简到繁，层层推进，让学生逐步学会学习.根据时间安排，导学案可让学生提前预习时完成，节约课堂时间，让学生在课堂上讲思路、讲解法，可进一步提升学生学习能力. 四、教学问题诊断 学生的知识储备：学生已了解平方根和算术平方根概念，已掌握完全平方公 式，会解一元一次方程.前两节已理解一元二次方程的概念，上一节已学过直接开平方法解一元二次方程.具备了学习本课时的基础知识. 学生的能力水平：学生在学习一元一次方程和分式方程中已了解“化归”数学思想，具备了学习本课时的能力.
一元二次方程应用题经典题型汇总 （一）传播问题 1. 市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续 两次降价后，由每盒200 元下调至128 元，则这种药品平均每次降价的百分率为 2. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121 人患了流感，每轮传染中平均一个 人传染了个人。 3. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主 干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出小分支。 4. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45 场比赛，共有 个队参加比赛。 5. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共 互赠了182 件，这个小组共有多少名同学？ 6. 一个小组有若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72 张，这个小组共有多 少人？ 7. 某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81 台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台 电脑？若病毒得不到有效控制， 3 轮感染后，被感染的电脑会不会超过700 台？
（二）平均增长率问题 变化前数量×（1x）n＝变化后数量 1. 青山村种的水稻2001 年平均每公顷产7200 公斤，2003 年平均每公顷产8450 公斤，水稻每公顷产量的年平均增长率为。 2. 某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90 元降到了40 元，求平均每 次降价率是。 3. 某种商品，原价50 元，受金融危机影响， 1 月份降价10％，从2 月份开始涨价， 3 月份的售价为64.8 元，求2、3 月份价格的平均增长率。 4. 某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求 每次降价的百分率？ 5. 为了绿化校园，某中学在2007 年植树400 棵，计划到2009 年底使这三年的植 树总数达到1324 棵，求该校植树平均每年增长的百分数。
4.3用一元二次方程解决问题（1） 目标导航： 知识要点： 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 学习要点： 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 基础巩固题 1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________． 2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______． 3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）． A．37B．5 C．38D．7 4、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）． A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m; B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m; C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m; D．以上都不对 5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）． A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm2 6、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2?的长方形花台，要使花坛四周的宽地 宽度一样，则这个宽度为多少? 7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，?上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，?
22．2降次--解一元二次方程（第一课时） 22.2.1 配方法(1) ◆随堂检测 1、方程32x +9=0的根为（ ） A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、无实数根 2、下列方程中，一定有实数解的是（ ） A 、210x += B 、2(21)0x += C 、2(21)30x ++= D 、21()2x a a -=3、若22 4()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 4、若28160x -=，则x 的值是_________． 5、解一元二次方程是22(3)72x -=． 6、解关于x 的方程（x+m ）2=n ．◆典例分析 已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求22 2x y x y -+的值．分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x 、y 的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0， ∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0， ∴x=-2，且y=3， ∴原式=2681313 --=-．◆课下作业 ●拓展提高 1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c ________． 2、方程b a x =-2 )(（b ＞0）的根是（ ） A 、b a ± B 、)(b a +± C 、b a +± D 、b a -±
3、填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2 4、若2 2(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________． 5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0． 6、如果x 2-4x+y 2，求()z xy 的值．●体验中考 1、（2008年，丽水）一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=， 则另一个一次方程是_____________. 2、（2009年，太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．2(1)6x += B ．2(1)6x -= C ．2(2)9x += D ．2(2)9x -=
用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B) A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81 C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A．1＋x＋x(1＋x)＝100 B．x(1＋x)＝100 C．1＋x＋x2＝100 D．x2＝100 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得 1＋x＋x2＝111. 解得x1＝10，x2＝－11(舍去)． 答：每个支干长出10个小分支．
知识点2 握手问题 4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 5．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x(x －1)． 根据题意，可列出方程12x(x －1)＝28． 整理，得x 2－x －56＝0． 解得x 1＝8，x 2＝－7． 合乎实际意义的解为x ＝8． 答：应邀请8支球队参赛． 6．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值． 解：由题意，得12n(n －1)＝45. 解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)． 答：n 等于10.
1：某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 解：设没件降价为x，则可多售出5x件，每件服装盈利44-x元， 依题意x≤10 ∴(44-x)(20+5x)=1600 展开后化简得：x2-44x+144=0 即(x-36)(x-4)=0 ∴x=4或x=36(舍) 即每件降价4元 要找准关系式 2.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，使得队伍增加的行·列数相同，增加了多少行多少列？ 解：设增加x (8+x)(12+x)=96+69 x=3 增加了3行3列 3.某化工材料经售公司购进了一种化工原料,进货价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现：单价每千克70元时日均销售60kg；单价每千克降低一元,日均多售2kg。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时,按一天计算）.如果日均获利1950元,求销售单价 解: (1)若销售单价为x元,则每千克降低了(70-x)元,日均多售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元. 依题意得: y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x^2+260x-6500 (30<=x<=70) (2)当日均获利最多时：单价为65元，日均销售量为60+2（70-65）＝70kg，那么获总利为1950*7000/70＝195000元,当销售单价最高时：单价为70元，日均销售60kg，将这批化工原料全部售完需7000/60约等于117天,那么获总利为（70-30）*7000-117*500＝221500 元,而221500>195000时且221500-195000=26500元. ∴销售单价最高时获总利最多,且多获利26500元.
用一元二次方程解决问题 课前参与 预习内容：课本P27-28； 知识目标：能用一元二次方程解决“行程问题及几何图形问题”。 引例1.如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/时 的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向， 以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提 下，问需要几小时才能追上（点B 为追上时的位置）？ 【思考】如何设未知数？可以利用哪些图形性质找出相等关系？ 引例2.如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动。 问：（1）△PDQ 的面积能为8 cm 2吗?为什么? （2）几秒钟后△DPQ 的面积等于28cm 2？ （3）几秒后PQ ⊥DQ? 【思考】把在图中的各线段长用x 的代数式表示出来。 课中参与 例：如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，?在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头：?小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一膄补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛D 和小岛F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，?那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里） 课中检测： P Q C B A D
一元二次方程及其应用 ◆课前热身文档设计者： 设计时间 ： 文档类型： 文库精品文档，欢迎下载使用。Word 精品文档，可以编辑修改，放心下载 1．如果2是一元二次方程x 2 ＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为 ． 2.方程042=-x x 的解______________． 3．方程240x -=的根是（ ） A ．2x = B ．2x =- C ．1222x x ==-， D ．4x = 4.由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为 ． 【参考答案】1.－3 2.x 1=0, x 2=4 3. C 4.2 16(1)9x -= ◆考点聚焦 知识点: 一元二次方程、解一元二次方程及其应用 大纲要求: 1.了解一元二次方程的概念，会把一元二次方程化成为一般形式。 2.会用配方法、公式法、分解因式法解一元二次方程、 3.能利用一元二次方程的数学模型解决实际问题。 考查重点与常见题型: 考查一元二次方程、有关习题常出现在填空题和解答题。 ◆备考兵法 （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断， 注意一元二次方程一般形式中0≠a . （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. ◆考点链接
1．一元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法： （1）直接开平方法：形如)0(2 ≥=a a x 或)0()(2 ≥=-a a b x 的一元二次方程，就可用 直接开平方的方法. （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是：①化二 次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为2 ()x m n +=的形式，⑤如果是非负数，即0n ≥，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解. （3）公式法：一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是 221,2 4(40)2b b ac x b ac a -±-=-≥. （4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为 ；②将方程 的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. ◆典例精析 例1（湖南长沙）已知关于x 的方程260x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ） A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 【答案】A 【解析】本题考查了一元二次方程的根。因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程， 原方程成立，即06332 =--k 成立，解得k=1。故选A 。 例2（湖北仙桃）解方程：2 420x x ++= 【分析】根据方程的特点, 灵活选用方法解方程.观察本题特点，可用配方法求解. 【答案】2 42x x +=-
一元二次方程的起源与应用一年七班唐梦雷一、定义：（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。二、起源在公元前两千年左右，一元二次方程及其解法已出现于古巴比伦人的泥板文书中：求出一个数使它与它的倒数之和等于一个已给数.可见巴比伦人已知道一元二次方程并知道了求根公式。但他们当时并不接受负数，所以负根是略而不提的。埃及的纸草文书中也涉及到最简单的二次方程，在公元前4、5世纪时，古中国也已掌握了一元二次方程的求根公式。希腊的丢番图（246-330）却只取二次方程的一个正根，即使遇到两个都是正根的情况，他亦只取其中之一。公元628年，从印度的婆罗摩笈多写成的《婆罗摩修正体系》中，得到二次方程二次项系数为一的一个求根公式。在阿拉伯阿尔．花拉子米的《代数学》中讨论到方程的解法，解出了一次、二次方程，其中涉及到六种不同的形式，令a、b、c为正数。把二次方程分成不同形式作讨论，是依照丢番图的做法。阿尔．花拉子米除了给出二次方程的几种特殊解法外，还第一次给出二次方程的一般解法，承认方程有两个根，并有无理根存在，但却未有虚根的认识。十六世纪意大利的数
学家们为了解三次方程而开始应用复数根。韦达（1540-1603）除已知一元方程在复数范围内恒有解 外，还给出根与系数的关系。我国《九章算术．勾 股》章中的第二十题是通过求相当于的正根而解决的。 我国数学家还在方程的研究中应用了内插法。三、 一元二次方程的广泛应用x例1：下列关于的方程， 哪些是一元二次方程？；（1）（2）； （3）；（4）；22222（5）； （6）；（7）（8）； x注意点：① 二次项系数不为“0”；②未知数指数为“2”；③是整 式方程；④只含有一个未知数．22例1:当k 时，关于x的方程是一元二次方程。 m例2：方程是关于x的一元二次方程，则m的 值为。2例3：若方程是关 于x的一元二次方程，则m的取值范围 是。mn2例4：若方程nx+x-2x=0是一元二次方程， 则下列不可能的是（） A.m=n=2 B.m=2,n=1 C.n=2,m=1 D.m=n=1 2（一）、一元二次方程的一般 形式：，它的特征是：等式左2边是一 个关于未知数的二次多项式，等式右边是零，其中 叫做二次项，叫ax xa做二次项系数；叫做一次项，叫
一元二次方程应用题总结分类及经典例题 1、列一元二次方程解应用题的特点 列一元二次方程解应用题是列一元一次方程解应用题的继续和发展，从列方程解应用题的方法来讲，列出一元二次方程解应用题与列出一元一次方程解应用题是非常相似的，由于一元一次方程未知数是一次，因此这类问题大部分都可通过算术方法来解决．如果未知数出现二次，用算术方法就很困难了，正由于未知数是二次的，所以可以用一元二次方程解决有关面积问题，经过两次增长的平均增长率问题，数学问题中涉及积的一些问题，经营决策问题等等． 2、列一元二次方程解应用题的一般步骤 和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是： “审、设、列、解、答”． (1)“审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系．这一步是解 决问题的基础； (2)“设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设 元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重要．恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易； (3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个 相等关系列出含有未知数的等式，即方程．找出相等关系列方程是解决问题的关键； (4)“解”就是求出所列方程的解； (5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度 不能为负数，降低率不能大于100%等等．因此，解出方程的根后，一定要进行检验．3、数与数字的关系 两位数=(十位数字)×10＋个位数字 三位数=(百位数字)×100＋(十位数字)×10＋个位数字 4、翻一番 翻一番即表示为原量的2倍，翻两番即表示为原量的4倍． 5、增长率问题 (1)增长率问题的有关公式：
- 1 - 1.4用一元二次方程解决问题（2） 教学目标： 1. 通过图示法与表格法直观感受二次增长率的变化过程，学生能根据题意正确列出方程，求出实际问题的解，进一步理解方程是刻画客观世界的有效模型； 2.能根据具体问题的实际意义，说明结果的合理性. 教学重点：正确理解“增长率”，会用列一元二次方程模型解决增长率问题； 教学难点：正确理解“增长率”，正确求出所列方程的解. 课前准备： 1．填空： （1）某蔬菜市场2 月份的交易量为5000t，3月份达到5500t ，则3月份比2月份 增长t，增长率为，若保持增长率不变，则4月份的交易量达到 t 归纳：4月份的交易量=2月份的交易量× . （2）某种服装原价为每件80元，现连续两次降价20℅，则第一次降价后为每件 元，第二次降价后每件元. 归纳：降价两次后=原价× . 教学过程： 一、预习质疑：（阅读教材P24问题2，尝试回答以下问题） 1．某商店今年6月份的利润为2500万元，要使8月份的利润达到3600万元， 求两个月平均每月的增长的百分率是多少？ 2．一种药品经过两次降价，药价从每盒60元调至48.6元，那么平均每次降价的
- 1 - 二、展示探究： 12．变式探究： 探究1 某种服装原价为每件100元，现连续两次降价后为每件72元，其中第一次降价的百分率是第二次的两倍，求两次降价的百分率？（要求：用图示法或列表法分析） 探究2 某种服装售价为每件 100元，进价为每件80元，每天可销售40件，销售一周后该服装开始保本降价，降价后每天的销售量增加的百分率是降价百分率的两倍，且每天销售利润达480 三、体会交流： 1.用怎样的方法分析“增长率”的实际问题?变化前后的等量关系是什么？ 2.在问题解决的过程中应注意的要点是什么？ 四、检测反馈： 1．某种服装原价为每件80元经两次降价，现售价为每件51.2元，求平均每次降价的百分率。 2．某车间一月份生产零件1000台， 要使 3．电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分率相同，则这两年平均每年下降的百分率 。 五、拓展延伸： 某农场去年种植了10亩地的南瓜，亩产量为2000kg ，根据市场需要，今年该农场扩大了种植面积，并且全部种植了高产的新品种南瓜，已知南瓜种植面积的增长率是亩产量的增长率的2倍，今年南瓜的总产量为60000kg ，求南瓜亩产量的增长率。 六、课后作业：A 班 课课练 B 班 补充习题
22．2降次---解一元二次方程（第五课时） 22.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 ◆随堂检测 1、已知一元二次方程01322 =--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ______． 2、关于x 的一元二次方程2 0x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b =______， c =______． 3、一元二次方程2 10x ax -+=的两实数根相等，则a 的值为（ ） A ．0a = B ．2a =或2a =- C ．2a = D ．2a =或0a = 4、已知方程2 310x x ++=的两个根为1x 、2x ，求12(1)(1)x x ++的值. ◆典例分析 已知关于x 的一元二次方程22 (21)0x m x m +-+=有两个实数根1x 和2x ． （1）求实数m 的取值范围； （2）当22 120x x -=时，求m 的值． （提示：如果1x 、2x 是一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠的两根，那么有12b x x a +=- ，12c x x a = ） 分析:本题综合考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,特别是第（2）问中,所求 m 的值一定须在一元二次方程有根的大前提下才有意义.这一点是同学们常常容易忽略出 错的地方. 解:（1）∵一元二次方程2 2 (21)0x m x m +-+=有两个实数根, ∴△＝2 2 (21)41410m m m --??=-+≥,∴1 4 m ≤ . （2）当22 120x x -=时，即1212()()0x x x x +-=,∴120x x +=或120x x -=. 当120x x +=时，依据一元二次方程根与系数的关系可得12(21)x x m +=--, ∴(21)0m --=,∴12 m = . 又∵由（1）一元二次方程2 2 (21)0x m x m +-+=有两个实数根时m 的取值范围是 14m ≤ ,∴1 2 m =不成立,故m 无解；
用一元二次方程解决问题 一、选择 1、某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,则这个百分数为 （ ） A 、10% B 、20% C 、120% D 、180% 2、某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为 ( ) A 、200(1+x)2=1000 B 、200+200×2x=1000 C 、200+200×3x=1000 D、200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 3、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的2 1．则新品种花生亩产量的增长率为 （ ） A 、20％ B 、30% C 、50% D 、120% 4、若两个连续整数的积是56,则它们的和是 ( ) A 、±15 B、15 C 、-15 D 、11 二、填空 5、市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降价后，由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率是 。 6、一种药品经过两次降价后,每盒的价格由原来的60元降至48.6元,那么平均每次降价的百分率是 。 7、高温煅烧石灰石(CaCO 3)可以制取生石灰(CaO) 和二氧化碳(CO 2).如果不考虑杂质及损耗,生产石灰14吨就需要煅烧石灰石25吨,那么生产石灰224万吨,需要石灰石 万吨。 8、解方程22(1)1 x x +++26(1)1x x ++=7时，利用换元法将原方程化为6y 2—7y+2=0，则应设y=_____。 9、某地区开展“科技下乡”活动三年来，接受科技培训的人员累计达95万人次，其中第一 年培训了20万人次。设每年接受科技培训的人次的平均增长率都为x ，根据题意列出的方程是___________。 10、一条长64cm 的铁丝被剪成两段，每段均折成正方形。若两个正方形的面积和等于160cm 2，则这两个正方形的边长分别为 。 三、解答 11、某工程队再我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程。原计划每天拆迁1250m 2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20％。从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m 2。 求：(1)该工程队第一天拆迁的面积； (2)若该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。