1.4用一元二次方程解决问题（存在性问题）
学习目标：
１、掌握列出一元二次方程解应用题；并能根据具体问题的实际意义，检验结果的合理性； ２、理解将一些实际问题抽象为方程模型的过程，形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的知识解决问题。
学习重点：学会用列方程的方法解决实际问题。
学习难点：找等量关系，并检验结果的合理性。
学习过程：
情境问题
问题1.一根长22cm 的铁丝。
（1）能否围成面积是30cm 2的矩形？
（2）能否围成面积是32 cm 2的矩形？并说明理由。
分析：如果设这根铁丝围成的矩形的长是xcm ，那么矩形的宽是__________。
根据相等关系： 可以列出方程求解。
解：
问题2.如图，在矩形ABCD 中，AB =6 cm ，BC =12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm /s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm /s 的速度移动，问几秒后△PBQ
的面积等于8 cm 2？
拓展：在上题条件不变的前提下，问几秒后△DPQ 的面积为28平方厘米？
P Q C B A D
课堂练习
1.用长为100 cm 的金属丝制作一个矩形框子。框子各边多长时，框子的面积是600 cm 2？
能制成面积是800 cm 2的矩形框子吗？
2.把一根长为80cm 的绳子剪成两段，并把每段绳子围成一个正方形。
（1）要使这两个正方形的面积之和等于200cm 2,该怎么剪？
（2）这两个正方形面积之和可能等于488cm 2吗？
3.如图，在矩形ABCD 中，AB =6cm ，BC =3cm 。点P 沿边AB 从点A 开始向点B 以2cm /s 的速度移动，点Q 沿边DA 从点D 开始向点A 以1cm /s 的速度移动。如果P 、Q 同时出发，
用t （s ）表示移动的时间（0≤t ≤3）。那么，当t 为何值时，△QAP 的面积等于2cm 2?
P Q B C A D
课后作业： 姓名
1.如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB =16cm ，BC =6cm ，动点P 、Q 分别从点A 、C 出发，点P 以3cm /s 的速度向点B 移动，一直到达B 为止；点Q 以2cm /s 的速度向点D 移动。经过多长时间P 、Q 两点之间的距离是10cm ？
2.在△ABC 中，∠B =90°,AB =4cm ,BC =10cm ,点P 从点B 出发，沿BC 以1cm /s 的速度向点C 移动，问：经过多少秒后，点P 到点A 的距离的平方比点P 到点B 的距离的8倍大1？
3.如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问需要几小时才能追上（点B 为追上时的位置）？
4.如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为a 为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，AB 的长是多少米？
（2）能围成面积比45平方米更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由。
Q P C B A
D
5. 在Rt △POQ 中，OP=OQ =4，M 是PQ 中点，把一三角尺的直角顶点放在点M 处，以M 为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与△POQ 的两直角边分别交于点A 、B.
（1）求证：MA=MB;
（2）连接AB ，探究：在旋转三角尺的过程中，△AOB 的周长是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.
6.如图，在ABC ?中，90B ∠=，12mm AB =，24mm BC =，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2mm /s 的速度移动（不与点B 重合），动点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4mm /s 的速度移动（不与点C 重合）．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，那么经过多少秒，四边形APQC 的面积最小．
7.如图，P 1是反比例函数)0(＞k x k y =
在第一象限图像上的一点，点A 1 的坐标为(2，0)． （1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积 将如何变化？
（2）若△P 1O A 1与△P 2 A 1 A 2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．
用一元二次方程解决几何图形问题 基础题 知识点1一般图形的问题 1．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为(B) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900 C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝900 2．(山西农业大学附中月考)从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是(B) A．100 m2B．64 m2 C．121 m2 D．144 m2 3．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为2__cm，7__cm． 4．(宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是12m. 5．(深圳中考)一个矩形周长为56厘米． (1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？ (2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由． 解：(1)设矩形的长为x厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有 x(28－x)＝180. 解得x1＝10(舍去)，x2＝18.
则28－x＝28－18＝10. 答：长为18厘米，宽为10厘米． (2)设矩形的长为y厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有 y(28－y)＝200. 化简，得y2－28y＋200＝0. ∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0. ∴原方程无实数根． 故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形． 知识点2边框与甬道问题 6．(兰州中考)公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(C) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 7．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等
导数中的恒成立和存在性问题
技巧传播 1．恒成立问题的转化：()a f x >恒成立max ()a f x ?>；()a f x ≤恒成立min ()a f x ?≤； 2．能成立问题的转化：()a f x >能成立min ()a f x ?>；()a f x ≤能成立max ()a f x ?≤； 3．恰成立问题的转化：()a f x >在M 上恰成立()a f x ?>的解集为R ()()a f x M M a f x C M >???≤?在上恒成立在上恒成立 ； 另一转化方法：若x D ∈，()f x A ≥在D 上恰成立，等价于()f x 在D 上的最小值min ()f x A =， 若x D ∈，()f x B ≤在D 上恰成立，则等价于()f x 在D 上的最大值max ()f x B =； 4．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则min min ()()f x g x ≥； 5．设函数()f x 、()g x ，对任意的1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则max max ()()f x g x ≤； 6．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≥，则max min ()()f x g x ≥； 7．设函数()f x 、()g x ，存在1[,]x a b ∈，存在2[,]x c d ∈，使得12()()f x g x ≤，则min max ()()f x g x ≤； 8．若不等式()()f x g x >在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像上方； 9．若不等式()()f x g x <在区间D 上恒成立，则等价于在区间D 上函数()y f x =和图像在函数()y g x =图像下方；
初一人教版《解二元一次方程组》教学反思4月10日我向班级讲授解二元一次方程组这节课，同时也是通过这次讲授，来回报我班学生的学习情况。 自我接任七年二班以后，在校长的大力支持下，和学校的教学方针指导下，我校自创了“课前演讲―精讲精练―总结反思”教学模式，自使用以来我始终坚持学校教学模式，虽然使用一年，但还不太熟练，但却感到受益菲浅。 我校新型教学模式的确定，实际上是针对学习对象需求而确定的。是以学生个别化自主学习为主，教师讲授为辅。在此模式下，只有积极发挥教师主导作用，才能确立学生学习主体作用，所以教师理论扎实、必须科学设计、精心实施，使其成为最优化的教学体系。在教学行动中加大引导，相互探究；使学生在自觉和不自觉的学习活动中，达到对已有知识结构的丰富和优化。教师应当按照课程标准对学生进行课程辅导，精讲重难点问题，并答疑解惑，消除学生在自学过程中建构知识时存在的盲点和误区。只有夯实理论基础，学生才能进一步将这些知识与社会中发生的典型案例相结合，达到理论联系实际，提高分析能力的目的。 本课的设计是从代入消元法解二元一次方程组求解问题人手，激发学生的学习兴趣与民族自豪感，让学生经历从不同角度寻求不同的解决方法的过程，体现出解决问题策略的多样性，激发了学生的学习兴趣．以消元为思想，观看相同未知数的系数相等或相反，利用等式的性
质消元，重点探究怎么消元，为什么这样消元，使学生感到利用加减消元有时能解二元一次方程组更为简单，这样学生接受新知就顺理成章。．本课内容是在学生已经掌握了等式性质和消元思想基础上，初步提取重要数学信息、解决问题的能力后展开的．根据建构主义理念，学生完全有能力利用自己原有的知识去同化新知识，主动地将其纳人自己的知识体系中．所以本课的通篇整体设计，突出了一元一次方程的样板作用，让学生在类比中，主动迁移知识，建立起新的概念．使得基础知识和基本技能在学生头脑中留下较深刻的印象是很有必要的。 但遗憾的是，自己对课程标准还不熟练，处于皮毛阶段，有很多地方没有掌握和处理好。特别是精讲的环节。作为教师的我还是没能从旧的模式中走出来，没能很好放手给学生，讲的太多；平日对学生训练不够，学生回答问题不够严紧；最后小结上处理过于繁琐等等。 总之，本节课有成功之处，也有不尽人意的地方，在课模的研究与探索上，我还要下功夫，力求达到更完美。
2020-2021学年 专训1 一元二次方程的解法归类 名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法等．在具体的解题过程中，结合方程的特点选择合适的方法，往往会达到事半功倍的效果． 限定方法解一元二次方程 形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解 1．方程4x2－25＝0的解为( ) A．x＝B．x＝ C．x＝±D．x＝± 2．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( ) A．x2－5＝5 B．－3x2＝0 C．x2＋4＝0 D．(x＋1)2＝0 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解 3．用配方法解方程x2＋3＝4x，配方后的方程变为( ) A．(x－2)2＝7 B．(x＋2)2＝1 C．(x－2)2＝1 D．(x＋2)2＝2 4．解方程：x2＋4x－2＝0. 5．已知x2－10x＋y2－16y＋89＝0，求的值． 能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解
6．(中考·宁夏)一元二次方程x(x－2)＝2－x的根是( ) A．－1 B．0 C．1和2 D．－1和2 7．解下列一元二次方程： (1)x2－2x＝0； (2)16x2－9＝0； (3)4x2＝4x－1. 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－＝2x，方程的解应是( ) A．x＝B．x＝ C．x＝D．x＝ 9．用公式法解下列方程． (1)3(x2＋1)－7x＝0； (2)4x2－3x－5＝x－2. 选择合适的方法解一元二次方程 10．方程4x2－49＝0的解为( ) A．x＝B．x＝
一元二次方程的解法详细解析 【一元二次方程要点综述】：【要点综述】：一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：。一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为的形式，那么这个方程就是一元二次方程。下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它化为两个一元一次方程。一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表：方法适合方程类型注意事项直接开平方法≥0时有解，＜0时无解。配方法二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。公式法≥0时，方程有解；＜0时，方程无解。先化为一般形式再用公式。因式分解法方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。【举例解析】例1：已知，解关于的方程。分析：注意满足的的值将使原方程成为哪一类方程。解：由得：或，当时，原方程为，即，解得.当时，原方程为，即，解得，.说明：由本题可见，只有项系数不为0，且为最高次项时，方程才
是一元二次方程，才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高次项系数不为0。通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程叫作关于的一元二次方程。若本题不给出条件，就必须在整理后对项的字母系数分情况进行讨论。例2：用开平方法解下面的一元二次方程。（1）；（2）（3）；（4）分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。解：（1）∴（注意不要丢解）由得，由得，∴原方程的解为：，（2）由得，由得∴原方程的解为：，（3）∴∴∴，∴原方程的解为：，（4）∴，即∴，∴，∴原方程的解为：，说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式，像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。例3：用配方法解下列一元二次方程。（1）；（2）分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，即：，接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。解：（1）二
1.4 用一元二次方程解决问题(一) 1. 用一元二次方程解决实际问题要经历审题、找出 、设 、列 、解方 程、 、写出 答案的过程. 2. 用一元二次方程解决问题的关键是 . 3. 从一块正方形的木板上锯掉2m 宽的长方形木条，剩下的面积是482m ，则原来这块木 板的面积是（ ） A. 1002m B. 642m C. 1212m D. 1442m 4. 如图，在长为100m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道 路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644 2m ，则道路的宽应为多少米? 设道的宽为x 米，则可列方程为 （ ） A. 10080100807644x x ?--= B. (100)(80)27644x x x --+= C. (100)(80)7644x x --= D. 10080356x x += 5. 如图，对一块长60 m 、宽30 m 的长方形荒地进行改造，要在其四周留一条宽度 相等的人行道，中间部分建成一块面积为1 000 m “的长方形绿地，求人行道的宽度. 6. 如图，某养殖场要用防护网围成长方形养鸡场地，其中一面利用现有的一段墙，且在与墙平行的一边开一个2m 宽的门.现有防护网的长度为91 m ，场地的面积需要1080 2m ，若墙长50 2m ，求场地的长和宽. （1） 一变:若墙长46 m ，求场地的长和宽； （2） 二变:若墙长40 m ，求场地的长和宽； （3） 通过对上面三题的讨论，你觉得墙长对题目有何影响？ 7. 从正方形的铁片上截去8 cm 宽的一条长方形，余下部分的面积是48 2cm 时，则原来 的正方形铁片的面积为（ ） A. 8 2cm B. 16 2cm C. 64 2cm D. 144 2cm
利用导数研究恒成立、存在性与任意性问题一、利用导数研究不等式恒成立问题 [典例］设ｆ(x)=e x－a(x＋１). (１)若?x∈Ｒ,ｆ(x)≥0恒成立,求正实数a得取值范围; (2)设g(ｘ)=f(x)+a eｘ ,且A(x1,y1),Ｂ(x2,y2)(x１≠x２)就是曲线ｙ＝g(x)上任意两点, 若对任意得ａ≤－1,直线AＢ得斜率恒大于常数m,求m得取值范围、［解］(1)因为f(x)＝e x－a(ｘ＋1), 所以f′(x)=e x—ａ、 由题意,知a＞0, 故由f′(x)=e x－ａ=0, 解得x＝lｎa。 故当ｘ∈(－∞,ln a)时, f′(x)＜０,函数f(ｘ)单调递减; 当ｘ∈(ln a,+∞)时, f′(x)>0,函数ｆ(x)单调递增、 所以函数f(x)得最小值为f(lnａ)=e ln a—a(ln a＋1)=-a ln a。 由题意,若?x∈R,f(x)≥0恒成立, 即f(x)=e x—a(x+1)≥0恒成立, 故有—ａlｎa≥0, 又a＞０,所以ln a≤0,解得0＜ａ≤1、 所以正实数a得取值范围为(0,１]. (2)设x１,x2就是任意得两个实数,且x1＜x２。 则直线AB得斜率为k=g x2－g x1 x2-ｘ1 , 由已知k>m, 即g x2—g x１ x2－x1 ＞m. 因为ｘ2—x１＞0, 所以ｇ(ｘ2)－g(x１)>m(x２—x１),
即g(ｘ2)—mx2〉g(ｘ1)-mx1. 因为x1
一元二次方程解法教学反思 绥滨二中蒋海峰 配方法解方程教学反思 本节共分3课时，第一课时引导学生通过转化得到解一元二次方程的配方法，第二课时利用配方法解数字系数的一般一元二次方程，第3课时通过实际问题的解决，培养学生数学应用的意识和能力，同时又进一步训练用配方法解题的技能。 在教学中最关键的是让学生掌握配方，配方的对象是含有未知数的二次三项式，其理论依据是完全平方式，配方的方法是通过添项：加上一次项系数一半的平方构成完全平方式，对学生来说，要理解和掌握它，确实感到困难，，因此在教学过程中及课后批改中发现学生出现以下几个问题： 在利用添项来使等式左边配成一个完全平方公式时，等式的右边忘了加。 在开平方这一步骤中，学生要么只有正、没有负的，要么右边忘了开方。 当一元二次方程有二次项的系数不为1时，在添项这一步骤时，没有将系数化为1，就直接加上一次项系数一半的平方。 因此，要纠正以上错误，必须让学生多做练习、上台表演、当场讲评，才能熟练掌握。 用公式法解一元二次方程教学反思 通过本节课的教学，使我真正认识到了自己课堂教学的成功与失败。对我今后课堂教学有了一定引领方向有了很大的帮助。下面我就谈谈自己对这节课的反思。 本节课的重点主要有以下3点： 1. 找出a,b,c的相应的数值 2. 验判别式是否大于等于0 3. 当判别式的数值符合条件,可以利用公式求根. 在讲解过程中,我没让学生进行(1)(2)步就直接用公式求根,第 一次接触求根公式,学生可以说非常陌生,由于过高估计学生的能力,结果出现错误较多. 1. a,b,c的符号问题出错,在方程中学生往往在找某个项的系数时总是丢掉前面的符号 2. 求根公式本身就很难,形式复杂,代入数值后出错很多.
一、 恒成立与存在性 函不等式恒成立问题的转化技巧 (1)()a f x ≥(或()a f x ≤)恒成立?()max a f x ≥(或()min a f x ≤)； (2)()a f x ≥(或()a f x ≤)有解?()min a f x ≥(或()max a f x ≤)； (3) ()()f x g x ≥恒成立?()min 0F x ≥((其中()()()F x f x g x =-()，也可证其加强命题 ()()min max f x g x ≥ (4)()()f x g x ≥有解?()max 0F x ≥(其中()()()F x f x g x =-)． (5) ()()f m g n ≥恒成立?()()min max f x g x ≥ (6)()a f x =有解，则a 的范围是()f x 的值域 1. 恒成立常见处理方法 (1) 参变分离 若对任意的0x >，恒有()ln 10x px p ≤->，则p 的取值范围是((((() A ． (]0,1((((B ．()1,+∞((((C ．()0,1(((D ．[)1, +∞ 【答案】D 【解析】 法一：最值理论 ()ln 10h x x px =-+≤恒成立 令()()1'00px h x x x -=>=，则1 0x p =>， 故()h x 在110, ,,p p ???? ↑+∞↓ ? ?? ??? ， 故只需1ln 0h p p ?? =-≤ ??? ，故1p ≥ 法二：分离参数
()ln 1x p g x x +≥ =，令()2ln '0x g x x -==，则1x =，()()0,1,1,↑+∞↓ 故 ()11p g ≥= 法三：二级结论 ln 1x x ≤-恒成立，则当1p ≥时，ln 11x x px ≤-≤- 法四：特殊值探路 ()ln 10x px p ≤->对于0x ?>恒成立 当1x =时，1p ≥ 又11ln px x x -≥-≥成立 【考点】恒成立(最值理论，分类参数均可) 已知函数()(x e f x mx e x =-为自然对数的底数)，若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是((((() A ．(,2)-∞(((( B ．2 (,)4e -∞((((C ．(,)e -∞((((D ．2,4e ??+∞ ??? 【解答】解：若()0f x >在(0,)+∞上恒成立， 则2x e m x <在(0,)+∞恒成立， 令2()x e h x x =，(0)x >， 3 (2)()x e x h x x -'=， 令()0h x '>，解得：2x >， 令()0h x '<，解得：02x <<， 故()h x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增， 故()min h x h =(2)2 4 e =， 故2 4e m <， 故选：B ． 【考点】分离参数
《一元二次方程》教学反思 洛阳伊滨区诸葛镇第二初级中学姚治明 对于一元二次方程，学生在前面已经学习过一元一次方程、二元一次方程和分式方程的知识，也是以后学习二次函数的基础。是初中教材中一个重要的内容，通过这节课的教学我有如下几点体会： 一、教学之前的思考 基于教材的特点，我把重心放在关注学生的学法上。通过分析本章的难点和所教班的实际情况，我认为教学的难点在于如何理顺配方法、公式法、分解因式法之间的关系以及如何利用一元二次方程解应用题。 二、实施教学所遇到的难点 在把握了本章的重难点之后，我把教学中心放在解一元二次方程的三种方法之间的联系上。在实际的教学过程中，学生虽然已经清楚三种方法之间的内在联系，但同时也存在以下两方面的问题：第一、基本运算不过关。绝大多数同学都知道解方程的方法，但却不能保证计算的准确性。这里也透露出新教材的一个特点：很重视学生思维上的培养，却忽视了基本计算能力的训练,似乎认为每个学生都能达到一学就会的理想境界。第二，解方程的方法不灵活。学习了三种方法之后，知道了公式法是最通用的方
法，所以也就认为公式法绝对比配方法好用多了。但实际并非完全如此，通用并不意味着简单。 三、教学后的及时改进 为了解决"配方法、公式法"谁更好用？很多学生都明白公式法是在配方法上基础上的推导出来，并且有一个通用公式可算，所以学生潜意识已经认为公式法更简单 通过现场测试，很多同学又一次回到首先移项，接着只能用公式法的做法上。其实，在这里学生让没有抓住配方法的精髓。这两题依然是可以用配方法，而且很快就可以解出来。 四、反思 1、备课应该更加务实。 在以后教学中，我要吸取这一章教学的有益经验。一元二次方程教学反思5篇。不仅要抓整体，更要注意一些重要细节，及时发现教学工作中可能存在的隐性问题。例如：按照惯例，对于应用题学生的难点都在于如何找等量关系和列方程，故最容易忽视的是解方程的细节。例如上文中的例4，很多学生在学习公式法之后，都会很自然将方程的左边展开，继而使用公式法，从而解方程会变得十分复杂。 2、在教学中如何能够使学生学得简单，让学生的学习热情高涨。
第八届全国初中青年数学教师优秀课观摩与评比活动 教案说明 课题：22.2 降次----解一元二次方程（第2课时） 单位：河南省安阳市梅园中学 姓名：张立界 日期：2012年9月16日
22.2 降次----解一元二次方程（第2课时） 教案说明 河南省安阳市梅园中学张立界 一、教材分析 本节课选自人教版数学教材九年级上册第22章第2节降次----解一元二次方程（第2课时）. 一元二次方程的基本解法包括配方法、公式法和因式分解法等.解一元二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，就是降次.配方法是解一元二次方程的重要方法，是在学生已掌握直接开平方法解方程的基础上，讨论比较复杂的一元二次方程，通过对比一边为完全平方形式的方程，使学生认识配方法的基本原理并掌握其具体方法.有了配方法的基础，可以得到解一元二次方程的另一重要方法—公式法，进而引出判别式及根与系数的关系，为以后学习二次函数打下良好基础. 二、目标分析 1.知识与技能 理解配方法的算理，会用配方法解一元二次方程. 2.过程与方法 通过对一元二次方程二次项系数是否为1的分类处理，让学生体会转化的数学思想方法，锻炼学生的抽象概括能力. 3.情感态度价值观 通过使用导学案，培养学生的探究精神和自学能力，形成良好的学习习惯.通过“每天四道题，天天爱学习”的训练，化整为零，化难为易，增加数学的趣味性，让学生在解题中感受到成功的喜悦. 三、教法分析 本课采用“自主、探索、导引”教学思路，学生先学后教，先练后讲，把学习的主动权还给学生，突出学生的主体地位.“导学案”的设计，由易到难，由简到繁，层层推进，让学生逐步学会学习.根据时间安排，导学案可让学生提前预习时完成，节约课堂时间，让学生在课堂上讲思路、讲解法，可进一步提升学生学习能力. 四、教学问题诊断 学生的知识储备：学生已了解平方根和算术平方根概念，已掌握完全平方公 式，会解一元一次方程.前两节已理解一元二次方程的概念，上一节已学过直接开平方法解一元二次方程.具备了学习本课时的基础知识. 学生的能力水平：学生在学习一元一次方程和分式方程中已了解“化归”数学思想，具备了学习本课时的能力.
《一元二次方程（第一课时）》教学反思 杨乔 一元二次方程是学生对于一元二次方程、二元一次方程组、分式方程及不等式知识的延续和深化，也是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、二次函数等知识的基础。通过这节课的教学我有如下几点体会： 一、教学之前的思考 基于教材特点，在总体设计思路上，本章遵循了“问题情境—建立模型—拓展、应用”的模式，于是我的具体操作为：通过丰富实例（如“地毯四周有多宽”“梯子的底端华东多少米”等具体问题情境）的分析建立一元二次方程，让学生通过观察、归纳出一元二次方程的有关概念，并从中体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型的思想。 二、实施教学所遇到的重难点 本节课的重点在于对一元二次方程及相关概念的深刻认识及准确判断，难点在于把问题情境向数学模型的转化，所以基于对重难点的把握，我先在课前对已学的相关知识进行复习，如整式、整式方程、一元一次方程及其一般形式等；然后用两个贴近生活的实例进行着重分析并配有动态图以便学生更直观的理解，引导学生自主列出方程并化为一元二次方程的一般形式，通过进一步对学生的引导，使其观察归纳出一元二次方程的概念，并自然过渡至讲授一元二次方程的相关概念及判断上；最后回归“应用、拓展”，沿袭课堂最初的探索模式进行深入探究。
三、教学后的反思 1.虽然本节课的内容由实例引入，最后也将利用新知建立实际问要有自己的课堂文化 课堂文化是课堂教学的“土壤”，是课堂教学存在、运行和发展的“元气”，是课堂教学的活力之根和动力之源。题的模型，但由于引入题目稍多及后续应用问题选取难度较大导致时间没有把握准确，针对此问题有两方面改进措施：（1）备课应更充分地考虑到学生的接受能力及本节的主要内容，适当更换由浅入深的应用题目；（2）可以将后两题移至以后的一元二次方程的应用的课程中再去讲授。 2.关于一元二次方程的一般形式（）中的二次项系数的要求“”这个条件应着重强调“当且仅当”的充要性。 3.个人基本技能需持续提高，如板书字体应书写工整、避免口头语（“然后”等）、教学用语不能过于随意、语速要适中、要有抑扬顿挫等。 总之，概念课的教学应结合学生的实际情况，把握课堂的中心与各环节的时间分配，切忌增加过多内容而导致冲淡主题。 感谢学校组织的听评课活动，给我一个展示锻炼的机会！感谢领导及前辈对我的关心与细心指导！感谢我班全体同学们与我教学相长！我将继续努力，完善自我，争取新的进步！ 2016.03 02=++c bx ax 0,,≠a c b a 为常数，0≠a
4.3用一元二次方程解决问题（1） 目标导航： 知识要点： 根据面积与面积之间的关系建立一元二次方程的数学模型并解决这类问题． 学习要点： 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型并运用它解决实际问题． 基础巩固题 1、长方形的长比宽多4cm，面积为60cm2，则它的周长为________． 2、如图，是长方形鸡场平面示意图，一边靠墙，另外三面用竹篱笆围成，若竹篱笆总长为35m，所围的面积为150m2，则此长方形鸡场的长、宽分别为_______． 3、直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，则斜边为（）． A．37B．5 C．38D．7 4、有两块木板，第一块长是宽的2倍，第二块的长比第一块的长少2m，宽是第一块宽的3倍，已知第二块木板的面积比第一块大108m2，这两块木板的长和宽分别是（）． A．第一块木板长18m，宽9m，第二块木板长16m，宽27m; B．第一块木板长12m，宽6m，第二块木板长10m，宽18m; C．第一块木板长9m，宽4.5m，第二块木板长7m，宽13.5m; D．以上都不对 5、从正方形铁片，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是（）． A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm2 6、在一块长12m，宽8m的长方形平地中央，划出地方砌一个面积为8m2?的长方形花台，要使花坛四周的宽地 宽度一样，则这个宽度为多少? 7、某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，?上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 8、如图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，?正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，?
用导数研究函数的恒成立与存在问题 1．已知函数23()2ln x f x x x a = -+，其中a 为常数． （1）若1a =，求函数()f x 的单调区间； （2）若函数()f x 在区间[1,2]上为单调函数，求a 的取值范围． 2．已知函数3 2 ()4()f x x ax a R =-+-∈，'()f x 是()f x 的导函数。 （1）当2a =时，对于任意的[1,1]m ∈-，[1,1]n ∈-，求()()f m f n '+的最小值； （2）若存在0(0,)x ∈+∞，使0()f x ＞0，求a 的取值范围。
3．已知函数x ax x f ln )(+= )(R a ∈. （1）若2=a ，求曲线)(x f y =在点1x =处的切线方程； （2）求)(x f 的单调区间； （3）设22)(2 +-=x x x g ，若对任意1(0,)x ∈+∞，均存在[]1,02∈x ，使得)()(21x g x f <， 求实数a 的取值范围.
4．（2016届惠州二模）已知函数()22ln f x x x =-+． （Ⅰ）求函数()f x 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 与()a g x x x =+ 有相同极值点． ①求实数a 的值； ②对121,,3x x e ???∈???? (e 为自然对数的底数)，不等式 ()() 1211 f x g x k -≤-恒成立，求实数k 的取值范围．
5．已知函数2 12 ()()ln ()f x a x x a R =-+∈． （1）当1a =时，01[,]x e ?∈使不等式0()f x m ≤，求实数m 的取值范围； （2）若在区间1(,)+∞，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =的下方，求实数a 的取值范围．
二次函数与一元二次方程教学反思 教学目标的设定： 一、教学知识点： (1). 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系. (2). 理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. (3). 理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标. 二、能力训练要求： （1）.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。 （2）.通过观察二次函数与x 轴交点的个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想. （3）.通过学生共同观察和讨论，培养合作交流意识. 三、情感与价值观要求 （1）. 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性.（2）、具有初步的创新精神和实践能力. 四、教学重点：（1）.体会方程与函数之间的联系.（2）.理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根. （3）.理解一元二次方程的根就是二次函数与y =h 交点的横坐标. 教学难点：（1）.探索方程与函数之间的联系的过程.
（2）.理解二次函数与x 轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系. 解决重难点的方法1、设问题情境，引入新课 我们已学过一元一次方程kx+b=0 (k≠0)和一次函数y =kx+b (k≠0)的关系，你还记得吗？ 它们之间的关系是：当一次函数中的函数值y =0时，一次函数y =kx+b就转化成了一元一次方程kx+b=0，且一次函数的图像与x 轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b=0的解. 现在我们学习了一元二次方程和二次函数，它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索这个问题. 五、教学反思 本节课是九年级学生进入高中阶段学习的基础，利用函数图像求解相应一元二次方程的根学生并不是很熟悉，刚开始还是习惯利用求根公式求解一元二次方程，在我的引导下学生能理解相应二次函数图像与x轴的交点即一元二次方程的解，但是学生认为没有求根公式解一元二次方程简单。在实际教学中，数形结合的思想，融入数学练习中。
22．2降次--解一元二次方程（第一课时） 22.2.1 配方法(1) ◆随堂检测 1、方程32x +9=0的根为（ ） A 、3 B 、-3 C 、±3 D 、无实数根 2、下列方程中，一定有实数解的是（ ） A 、210x += B 、2(21)0x += C 、2(21)30x ++= D 、21()2x a a -=3、若22 4()x x p x q -+=+，那么p 、q 的值分别是（ ） A 、p=4，q=2 B 、p=4，q=-2 C 、p=-4，q=2 D 、p=-4，q=-2 4、若28160x -=，则x 的值是_________． 5、解一元二次方程是22(3)72x -=． 6、解关于x 的方程（x+m ）2=n ．◆典例分析 已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求22 2x y x y -+的值．分析：本题中一个方程、两个未知数，一般情况下无法确定x 、y 的值．但观察到方程可配方成两个完全平方式的和等于零，可以挖掘出隐含条件x=-2和y=3，从而使问题顺利解决．解：原方程可化为（x+2）2+（y-3）2=0， ∴（x+2）2=0，且（y-3）2=0， ∴x=-2，且y=3， ∴原式=2681313 --=-．◆课下作业 ●拓展提高 1、已知一元二次方程032=+c x ，若方程有解，则c ________． 2、方程b a x =-2 )(（b ＞0）的根是（ ） A 、b a ± B 、)(b a +± C 、b a +± D 、b a -±
3、填空（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2 4、若2 2(3)49x m x +-+是完全平方式，则m 的值等于________． 5、解下列方程：（1）(1+x)2-2=0；(2)9(x-1)2-4=0． 6、如果x 2-4x+y 2，求()z xy 的值．●体验中考 1、（2008年，丽水）一元二次方程2(6)5x +=可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是6x +=， 则另一个一次方程是_____________. 2、（2009年，太原）用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．2(1)6x += B ．2(1)6x -= C ．2(2)9x += D ．2(2)9x -=
用一元二次方程解决传播问题 基础题 知识点1传播问题 1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是(B) A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81 C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝81 2．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A) A．1＋x＋x(1＋x)＝100 B．x(1＋x)＝100 C．1＋x＋x2＝100 D．x2＝100 3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？ 解：设每个支干长出x个小分支，根据题意，得 1＋x＋x2＝111. 解得x1＝10，x2＝－11(舍去)． 答：每个支干长出10个小分支．
知识点2 握手问题 4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为(C) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 5．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空． 解：设应邀请x 支球队参赛，则每队共打(x －1)场比赛，比赛总场数用代数式表示为12x(x －1)． 根据题意，可列出方程12x(x －1)＝28． 整理，得x 2－x －56＝0． 解得x 1＝8，x 2＝－7． 合乎实际意义的解为x ＝8． 答：应邀请8支球队参赛． 6．一条直线上有n 个点，共形成了45条线段，求n 的值． 解：由题意，得12n(n －1)＝45. 解得n 1＝10，n 2＝－9(舍去)． 答：n 等于10.
用一元二次方程解决问题 课前参与 预习内容：课本P27-28； 知识目标：能用一元二次方程解决“行程问题及几何图形问题”。 引例1.如图所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处的位置O 点的正北方向10海里外的A 点有一涉嫌走私船只正以24海里/时 的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向， 以26海里/时的速度追赶。在涉嫌船只不改变航向和航速的前提 下，问需要几小时才能追上（点B 为追上时的位置）？ 【思考】如何设未知数？可以利用哪些图形性质找出相等关系？ 引例2.如图，在矩形ABCD 中，AB=6 cm ，BC=12 cm ，点P 从点A 沿边AB 向点B 以1cm/s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2cm/s 的速度移动。 问：（1）△PDQ 的面积能为8 cm 2吗?为什么? （2）几秒钟后△DPQ 的面积等于28cm 2？ （3）几秒后PQ ⊥DQ? 【思考】把在图中的各线段长用x 的代数式表示出来。 课中参与 例：如图，某海军基地位于A 处，在其正南方向200海里处有一重要目标B ，?在B 的正东方向200海里处有一重要目标C ，小岛D 位于AC 的中点，岛上有一补给码头：?小岛F 位于BC 上且恰好处于小岛D 的正南方向，一艘军舰从A 出发，经B 到C 匀速巡航，一膄补给船同时从D 出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰． （1）小岛D 和小岛F 相距多少海里? （2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B 到C 的途中与补给船相遇于E 处，?那么相遇时补给船航行了多少海里?（结果精确到0.1海里） 课中检测： P Q C B A D
第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理 【知识要点】 在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题 “存在．．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立”．称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．．小.，即max min )()(x g x f <.（见下图1） “存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即在区间),(b a 内至少有．．．一个值．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．．大，即min max )()(x g x f >.（见下图2） 2、双任意性问题 “任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 任意一个值．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．． 一个函数值都要小，即max min ()()f x g x <. “任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内任意一．．．
公式法解一元二次方程教学反思 公式法解一元二次方程是学生在学习配方法后，进一步探究学习的一种适用性强，应用较为广泛的解一元二次方程的方法，是每位学生通过学习完全可以掌握的一种方法，因此在教材处理上，教学方法的选择上都有一定难度，同时也是这节是否可以成功的先决条件，针对班级的实际情况和教材内容的特点，我在本课教学实施的过程中采用小组合作探究，先学后教的方式，整体感觉学生参与度较广，本节课目标基本完成，学生能够熟练掌握。 一、教学设计方面： 先复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入利用配方法解一般形式的一元二次方程推导公式，在此步学习过程中，利用小组成员参差不齐的性质，要求1、2号独立推理，3号结合课本进行推理，4、5号完全看课本进行推理，让每位学生在此环节都有不同的参与，避免了5好同学游离于课堂之外的现象，在获取公式之后，采用了传统的记忆方法，边读边写记忆公式5遍，然后让学生自学课本例6,自我总结运用公式法解一元二次方程的步骤和注意事项，同时教师有目的的设计了四个小题，第一个符合一般形式，第二个须转化为一般形式，第三个有两个相等实数根，第四个无实数根，运用这四类型帮助学生归纳总结不同类型的方程处理方式，同时又设计了一个各项系数存在分数的方程，要求一名学生直接计算，另一名学生先将系数转化为整数在进行计算，目的让学生体会系数转化为整数可降低计算难度的问题，同时设计了一个又一个思考，同时这些思考就是一个又一个小课题，引导学生学会思考，学会探究。 二、教学实施方面： 1、学生利用配方法推导公式的过程难度很大，出现的问题很多，在今后的教学中如何处理，值得深思； 2、过于相信学生的自学能力和小组长的组织学习能力，缺少了教师的示范作用，导致解题过程不够规范，漏洞很多； 3、本节课的内容相对比较枯燥，在教学环节的设置上缺乏一些创新，学习的积极性调动不起来，对学生地鼓励性的语言过少。 4、练习量不够大，学生的解题熟练度还不够强。 虽然存在一些问题，但整节课的实施过程较顺利，学生对本课的知识掌握程度还不错，基本上达到本课的教学目的。 整体回想本课的教学，我对每一位学生的关注度好不够，但是在课堂内容的呈现过程和内容探索过程中没有注重学生间的交流，探究的问题还不够全面，例如在判别式相关内容的归纳时，应该给学生发现、观察、归纳的机会，不能只把关注点放在个别数学成绩好的学生身上，不要急于讲解，要相信学生的潜力是无穷的，给学生一个机会，学生会还我们一个奇迹。