一元函数求极限的若干方法
（陕西师范大学 数学系，陕西 ）
摘 要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词：极限；方法
大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法.
1 利用极限的定义求极限
极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限.
1.1 数列极限的定义
设{}n x 是一个数列,a 是定数,如果对任意给定的0>ε,总存在正整数N ，使得当N n >时有
ε<-a x n ,
我们就称定数a 是数列}{n x 的极限.记为
a x n n =∞
→lim 或 ()∞→→n a a n .
例1 按定义证明01
lim
=∞→a
n n ，这里a 是常数. 证 由于
a
a n n 1
01=
-， 故对任给的0>ε,只要取11
1+???
?????=a εN ，则当N n >时，便有
εN n a a <<11 即εn a
<-01. 这就证明了 01
lim
=∞→a
n n . 例2证明2
23lim
33
n n n →∞=- 分析 由于()222399
3333n n n n n
-=≤≥-- （1）
因此，对任给的0ε>，只要
9
n
ε<，便有 2
2
33,3
n n ε-<- （2） 即当9
n ε
>
时，（2）式成立．又由于（1）式是在3n ≥的条件下成立的，故应取
9max 3,.N ε??
=???? （3）
证 任给0ε>，取9max 3,.N ε??
=????据分析，当n>N 时有（2）式成立．于
是本题得证．
注 本例在求N 的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N 就比较方便．但应注意这种放大必须“适当” ，以根据给定的ε能确定出N ．又（3）式给出的N 不一定是正整数．一般地，在定义1中N 不一定限于正整数，而只要它是正数即可．
1.2 函数极限的定义
函数极限的定义包括两个，一个是x 趋于∞时函数的极限，另一个是x 趋于
0x 时函数的极限.
1.2.1 x 趋于∞时函数的极限
设f 为定义在[)+∞,a 上的函数,A 为定数.若对任给的0>ε，存在正数
()a M ≥，使得当M x >时有
()ε<-A x f ，
则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记为
()A x f x =+∞
→lim 或 ()()+∞→→x A x f .
1.2.2 x 趋于0x 时函数的极限
设函数f 在点0x 的某个空心邻域()
'。δx U ;0内有定义，A 为定数.若对任给的
0>ε，存在正数()'δδ<，使得当δx x <-<00时有
()ε<-A x f ，
则称函数f 当x 趋于0x 时以A 为极限，记为
()A x f x x =→0
lim 或 ()()0x x A x f →→.
例3 证明 01
lim
=∞→x
x . 证 任给0>ε,取ε
M 1
=,则当M x >时有
εM
x x =<=-1101, 所以01
lim
=∞→x
x . 例4 设()2
4
2--=x x x f ,证明()4lim 2=→x f x .
证 由于当2≠x 时,
()24242
4
42-=-+=---=-x x x x x f ,
故对给定的0>ε,只要取εδ=,根据题意当δx <-<20时有()εx f <-4.这就证明了()4lim 2
=→x f x .
注 用极限的定义时，只需证明存在 σ,故求解的关键在于不等式的建立，在建立过程中往往采用放大或缩小等技巧．但是不能把含有δ的因子移到不等式的另一边再放大，而是直接应该对要证其极限的式子一步步放大，有时还需要加入一些限制条件．限制条件必须和所求的δ一致，最后结合在一起考虑．
2 利用极限的四则运算法则求极限
对和、差、积、商形式的函数求极限，自然会想到极限的四则运算法则.法则本身很简单，但为了能够使用法则，往往需要先对函数做一些必要的恒等变形或化简，那么采用怎样的变形和化简要根据具体的算式决定，常用的方法有：分式的约分或通分，分式的分解，分子或分母的有理化，三角函数的恒等变形，某些求和或求积公式的恰当变量替换等等. 2.1 直接运用函数极限的四则运算法则求极限
直接运用函数极限的四则运算法则求极限时，前提必须是式子中的每个函数都有极限且分母的极限不等于0.
定理 若极限()()0
lim
lim x x x x
f x
g x →→与都存在，则函数
()()()()()()()()()()()()
000
0,.1lim lim lim ;
2)lim lim .lim ;
lim 3)lim .limg x x x x x x x x x x x x x x x x x x f g f g x x f x g x f x g x f x g x f x g x f x f x x g x →→→→→→→→→±→±=±????=????=当时极限也存在，且）
例5 求极限：143lim 23
+-→x x x .
解 1614lim 3lim 143lim 3
23
23
=+-=+-→→→x x x x x x x .
例6 0sin lim 1
lim sin lim
=?=∞→∞→∞→x x x
x x x x (这种解法是错误的，因为x x sin lim ∞→不存
在，因此x x x sin lim ∞→不能写成x x x x sin lim 1
lim ∞→∞→?.)
2.2 间接运用函数极限的四则运算法则求极限.
间接利用该法则求极限，即分母的极限等于零或分子、分母的极限为∞时则不能运用该法则.此时可采用下列方法求解.
2.2.1 消零因子法
对于有理分式可将分子、分母分解因式，消去公因式后再求解.
例7 求极限 6
33lim 2233-+--+-→x x x x x x .
解 ()
()()()5
8
21lim 3231lim 633lim 23232233-=--=+-+-=-+--+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x .
2.2.2 无穷大分除法
当∞→x 时，分子分母的极限为无穷大，可用分母的最高次幂去除分子分母 再取极限.
例8 .2253
2lim
22----+∞→x x x x x
解 根据题意
22532lim 22
----+∞→x x x x x .522
15312lim 22
= =+ x
x x x x 此类型的题可总结为
=++++++++----+∞→m m m m n n n n x b x b x b x b a x a x a x a 2211022110lim ?????
?
?∞0
00
b a
n m n m n m >=< 以后直接利用该公式即可.
3 利用柯西准则求极限
定理 设函数f 在)',(00δx U 内有定义. )(lim 0
x f x x →存在的充要条件是对于任意
的0>ε，存在正数)'(δδ<，使得对于任何)',(',00δx U x x ∈有
ε
<-|)''()'(|x f x f
下面证明 x
x 1
sin
lim 0
→不存在。 证明 取1=ε，对任何0>δ，设正整数δ
1
>
n ，令π
n x 1
'=
，2
1''π
π+
=n x ，
则)',(',00δx U x x ∈，从而
ε==-1|'
1
sin '1sin
|x x . 由柯西准则可知x
x 1
sin
lim 0
→不存在。
4 利用两个重要极限求极限
1sin lim 0=→x x x e x x
x =??
? ??+∞→11lim . 只要符合上述两个重要极限的形式的函数极限都可以尝试使用此方法. 例9
.21sin 21lim 2sin lim
00
== x x x x x x
例10 求极限x
x x x ??
?
??-++∞→11lim . 【说明】 第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑出x
1
+，最后凑指数部分.
解 22
2121
1212111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =??
????
?????????
?? ??-+?????? ??-+=??? ??-+=??? ??-+-+∞→+∞→+∞→. 5 利用无穷小的性质求极限
注 1 两个（相同类型的）无穷小量之和﹑差﹑积仍为无穷小量． 2无穷小量与有界量的乘积为无穷小量． 例11 ①01
sin
lim 0
=?→x
x x ②0sin lim =∞→x x x (这两个极限一定要区分开).
6 利用等价无穷小量代换求极限
若()
()0lim 1x x f x g x →=，()()()00.f g x x f x g x x x →→则称与是当时的等价无穷小量.记作 例12 求 3
0tan sin lim sinx x x x
→-极限 解 由于
()()
()()2
3323300sin tan sin 1cos ,sin 0cos 1cos 0,sin 0,2
.
tan sin 112lim lim .sin cos 2
x x x
x x x x x x x
x x
x x x x x x x x x x x →→-=-→-→→-==而故有
注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意：只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代。
一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε -定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II) []B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,
例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x =) 65() 103(lim 222++---→x x x x x =)3)(2()2)(5(lim 2+++--→x x x x x =2 lim -→x 73 5 -=+-x x 4、通分法（适用于∞-∞型） 例: 求 )21 44( lim 2 2 x x x ---→ 解: 原式=) 2()2() 2(4lim 2x x x x -?++-→ =) 2)(2() 2(lim 2x x x x -+-→ =4 1 21lim 2=+→x x 5、利用无穷小量性质法（特别是利用无穷小量与有界量之乘积仍为无穷小量的性质） 设函数f(x)、g(x) 满足：
求函数极限的方法和技巧 在数学分析和微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义： 例: 用极限定义证明：12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由24 4122322-+-=--+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε，取εδ=，则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 。 2、利用极限的四则运算性质： 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0x g x f x x )(lim 0x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则：B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 5 3lim 22+++→x x x x 解: 453lim 22+++→x x x x = 2 5 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() ( ) ) 12102(65) 2062(103lim 2232232+++++--+---→x x x x x x x x x x x
高数中求极限的16种方法——好东西 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在） e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！） 必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方 1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式 (含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！） E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！
极限的常用求法及技巧 引言 极限是描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。极限的方法是微积分中的基本方法,它是人们从有限认识无限，从近似认识精确,从量变认识质变的一种数学方法，极限理论的出现是微积分史上的里程碑,它使微积分理论更加蓬勃地发展起来。 极限如此重要，但是运算题目多，而且技巧性强,灵活多变。极限被称为微积分学习的第一个难关，为此，本文对极限的求法做了一些归纳总结, 我们学过的极限有许多种类型：数列极限、函数极限、积分和的极限(定积分），其中函数极限又分为自变量趋近于有限值的和自变量趋近于无穷的两大类，如果再详细分下去，还有自变量从定点的某一侧趋于这一点的所谓单边极限和双边极限,x 趋于正无穷，x 趋于负无穷。函数的极限等等。本文只对有关数列的极限以及函数的极限进行了比较全面和深入的介绍．我们在解决极限及相关问题时,可以根据题目的不同选择一种或多种方法综合求解,尤其是要发现数列极限与函数极限在求解方法上的区别与联系，以做到能够举一反三,触类旁通 。 1数列极限的常用求法及技巧 数列极限理论是微积分的基础,它贯穿于微积分学的始终,是微积分学的重要研究方法。数列极限是极限理论的重要组成部分,而数列极限的求法可以通过定义法,两边夹方法,单调有界法,施笃兹公式法,等方法进行求解．本章节就着重介绍数列极限的一些求法。 1.1利用定义求数列极限 利用定义法即利用数列极限的定义 设{}n a 为数列。若对任给的正数N,使得n 大于N 时有 ε<-a a n 则称数列{}n a 收敛于a ,定数a 称为数列{}n a 的极限,并记作,lim n a n a =∞ →或 )(,∞→∞→n a n
函数极限的十种求法 信科2班江星雨20140202250 函数极限可以分成而运用ε-δ定义更多的见诸于已知极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以的极限为例，f(x) 在点以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的f(x)函数值都满足不等式：，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 1.利用极限的四则运算法则： 极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验证它是否满足极限四则运算法则条件，满足条件者。方能利用极限四则运算法则进行求之。不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。但是，井非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。而对函数进行恒等变形时，通常运用一些技巧如拆项、分子分母同时约去零因子、分子分母有理化、通分、变量替换等等。例 1 求lim( x 2 ? 3x + 5). x→ 2 解：lim( x 2 ? 3x + 5) = lim x 2 ? lim 3x + lim 5 = (lim x) 2 ? 3 lim x + lim 5 = 2 2 ? 3 ? 2 + 5 = 3. x→2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 x →2 2.利用洛必达法则 洛必达(L 'Hopital)法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.简单讲就是，在求一个含分式的函数的极限时，分别对分子和分母求导，在求极限，和原函数的极限是一样的。一般用在求导后为零比零或无穷比无穷的类型。 利用洛必达求极限应注意以下几点： 设函数f(x)和F(x)满足下列条件： （1）x→a时,lim f(x)=0,lim F(x)=0; （2）在点a的某去心邻域内f(x)与F(x)都可导,且F(x)的导数不等于0; （3）x→a时,lim(f'(x)/F'(x))存在或为无穷大 则x→a时,lim(f(x)/F(x))=lim(f'(x)/F'(x)) 例1： 1-cosx = 1-{1-2[sin(x/2)]^2} = 2[sin(x/2)]^2 xsinx = 2xsin(x/2)cos(x/2) 原式= lim 2[sin(x/2)]^2 / [2xsin(x/2)cos(x/2)] = tgx / x 对分子分母同时求导（洛必达法则） (tgx)' = 1 / (cosx)^2 (x)' = 1 原式= lim 1/(cosx)^2 当x --> 0 时,cosx ---> 1 原式= 1 3.利用两个重要极限： 应用第一重要极限时，必须同时满足两个条件： ①分子、分母为无穷小，即极限为0 ； ②分子上取正弦的角必须与分母一样。 应用第二重要极限时，必须同时满足四个条件：
求极限的常用方法（精髓版） 初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。极限方法就是研究变量的一种基本方法。极限分为数列的极限和函数的极限，下文研究的是函数的极限，这些方法对于数列的极限同样适用。 1．直接代入数值求极限 例1 求极限1lim(21)x x →- 解 1lim(21)2111 x x →-=?-= 2．约去不能代入的零因子求极限 例2 求极限11lim 41--→x x x 解 4221111(1)(1)(1) lim lim lim(1)(1)4 11x x x x x x x x x x x →→→--++==++=-- 3．分子分母同除最高次幂求极限 例3 求极限13lim 3 2 3+-∞→x x x x 解 3131lim 13lim 11323=+-=+-∞→∞→x x x x x x x 注：一般地，分子分母同除x 的最高次幂有如下规律 ??????? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 4．分子(母)有理化求极限 例4 求极限) 13(lim 22+-++∞ →x x x 解 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2222222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 1 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例5 求极限 x →解 01)2x x x →→→=== 5．应用两个重要极限的公式求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和1lim(1)x x e x →∞+=，下面只介绍第二个公式的例子。 例6 求极限 x x x x ??? ??-++∞→11lim
11 1.二元函数极限概念分析 定义1 设函数f 在2D R ?上有定义，0P 是D 的聚点，A 是一个确定的实数.如果对于任意给定的正数ε，总存在某正数δ,使得00(;)P U P D δ∈时，都有 ()f P A ε-<, 则称f 在D 上当0P P →时，以A 为极限，记0 lim ()P P P D f P A →∈=. 上述极限又称为二重极限. 2．二元函数极限的求法 利用二元函数的连续性 命题 若函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续，则 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=. 例1 求2 (,)2f x y x xy =+ 在点(1,2)的极限. 解： 因为2 (,)2f x y x xy =+在点(1,2)处连续，所以 12 212 2lim (,) lim(2) 12125.x y x y f x y x xy →→→→=+=+??= 例2 求极限()()2 21,1,21 lim y x y x +→． 解： 因函数在()1,1点的邻域内连续，故可直接代入求极限，即 ()()221,1,21lim y x y x +→=31 ．
22 利用恒等变形法 将二元函数进行恒等变形，例如分母或分子有理化等. 例3 求 00 x y →→ 解： 00 x y →→ 00 x y →→= 00 x y →→= 00 1. 4 x y →→==-例4 ()() 2 2220,0,321 )31)(21(lim y x y x y x +-++→． 解： 原式()() ( )) () () ,0,02 211lim 231x y x y →+= + ()( 22 ,0,0lim x y →= + 11022 = +=．
学科分类号0703 本科毕业论文 题目（中文）：极限求解的若干方法 （英文）：Some methods of limit solving 院（系）数学与计算机科学学院 专业、年级 2008级数学与应用数学
湖南师范大学本科毕业论文诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。 本科毕业论文作者签名： 二○一二年五月四日
湖南师范大学本科毕业论文开题报告书 论文题目极限求解的若干方法 作者姓名陈明波所属院、专业、年级数计院数学与应用数学专业2008年级 指导教师姓名、职称李小燕教授预计字数7000开题日期2012年2月18日选题的根据：1）说明本选题的理论、实际意义 2）综述国内外有关本选题的研究动态和自己的见解 高等数学是以函数为研究对象，以微分和积分及其应用为内容，以极限为手段的一门科学，换句话说，高等数学是用极限来研究函数的微分和积分的理论，由于极限贯穿整个高等数学，故极限的计算就显得尤为重要。极限的计算不仅是高等数学的基本计算之一，同时又是解决许多实际问题不可缺少的工具，它在物理学、工程学等相关学科上有广泛的应用。因此，求极限是学生必须练好的一门基本功。然而，极限的题目错综复杂，针对不同的问题我们的解决方法不尽相同。定义固然要掌握牢固，但“具体问题具体分析”，面对这五花八门的极限问题有些方法是可以让我们在解决具体问题的时候走捷径的。 主要内容： 极限是高等数学基础，在高等数学中占有十分重要的位置。极限可分为函数极限和数列极限，本 -定义求极限；2、利用极限的课题主要讨论极限的求法，预计总结极限的十六种求法，1、利用εδ 四则运算性质求极限；3、利用两个准则求极限；4、利用两个重要极限公式求极限；5、换元法求极限； 6、利用单侧极限求极限； 7、利用导数的定义求极限； 8、利用函数的连续性求极限； 9、利用级数收敛的必要条件求极限；10、利用无穷小量的性质求极限；11、利用中值定理求极限；12、洛必达法则求极限；13、利用定积分求和式的极限；14、利用泰勒展开式求极限；15、利用海涅定理（归结原理）求极限；16、利用Stoltz公式法求极限。 研究方法： 研究步骤：到图书馆电子阅览室查找相关的期刊文献，并利用中国期刊网、中国知识网和中国数字化期刊群查找论文相关的资料. 从图书馆借阅相关书籍，仔细阅读，细心分析，通过自己的耐心总结、研究，老师的指导、改正，争取做好毕业论文工作. 研究方法：本课题研究方法主要是理论研究法，文献研究法、经验总结法． 措施：查阅资料，理解函数极限的定义，对函数极限的求法加以归纳.
高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项 之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )() () (=，这
一元函数求极限的若干方法 （陕西师范大学 数学系，陕西 ） 摘 要：极限是数学分析中最基本的，也是最重要的概念之一，是研究微积分学的重要工具.因此掌握好极限的思想与方法是学好微积分的前提条件，针对这种情况，本文探讨了一些常用的求极限的方法 关键词：极限；方法 大家知道，极限是数学分析中最基本、也是最重要的概念之一，数学分析中许多深层次的理论及应用都是极限的拓展和延伸，如：连续、导数、微积分等都是由极限定义的，而离开了极限思想的数学分析就失去了其基础与价值，因此极限运算在数学分析中占有举足轻重的地位.由于极限定义的高度抽象使我们很难用极限本身的定义去求极限，而对极限的求法可谓是多种多样，针对这种情况，通过归纳和总结，罗列出一些常用的求法. 1 利用极限的定义求极限 极限是指无穷的趋于一个固定的数值，数学分析中的极限包括：数列极限和函数极限. 1.1 数列极限的定义 设{}n x 是一个数列,a 是定数,如果对任意给定的0>ε,总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a x n , 我们就称定数a 是数列}{n x 的极限.记为 a x n n =∞ →lim 或 ()∞→→n a a n . 例1 按定义证明01 lim =∞→a n n ，这里a 是常数. 证 由于 a a n n 1 01=-， 故对任给的0>ε,只要取11 1+??? ?????=a εN ，则当N n >时，便有 εN n a a <<11 即εn a <-01.
这就证明了 01 lim =∞→a n n . 例2证明2 23lim 33 n n n →∞=- 分析 由于()222399 3333n n n n n -=≤≥-- （1） 因此，对任给的0ε>，只要 9 n ε<，便有 2 233,3 n n ε-<- （2） 即当9 n ε > 时，（2）式成立．又由于（1）式是在3n ≥的条件下成立的，故应取 9max 3,.N ε?? =???? （3） 证 任给0ε>，取9max 3,.N ε?? =????据分析，当n>N 时有（2）式成立．于 是本题得证． 注 本例在求N 的过程中，（1）式中运用了适当放大的方法，这样求N 就比较方便．但应注意这种放大必须“适当” ，以根据给定的ε能确定出N ．又（3）式给出的N 不一定是正整数．一般地，在定义1中N 不一定限于正整数，而只要它是正数即可． 1.2 函数极限的定义 函数极限的定义包括两个，一个是x 趋于∞时函数的极限，另一个是x 趋于 0x 时函数的极限. 1.2.1 x 趋于∞时函数的极限 设f 为定义在[)+∞,a 上的函数,A 为定数.若对任给的0>ε，存在正数 ()a M ≥，使得当M x >时有 ()ε<-A x f ， 则称函数f 当x 趋于∞+时以A 为极限，记为 ()A x f x =+∞ →lim 或 ()()+∞→→x A x f .
1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；5 )13(lim 2 =-→x x （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知)(lim x f ，)(lim x g 都存在，极限值分别为A ，B ，则下面极限都存在，且有（1）B A x g x f ±=±)]()(lim[ （2）B A x g x f ?=?)()(lim （3） )0(,)()(lim 成立此时需≠=B B A x g x f 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。
. 利用极限的四则运算法求极限 这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 例1 1213lim 1 --+→x x x 解：原式=4 3)213)(1(33lim )213)(1(2)13(lim 1221=++--=++--+→→x x x x x x x x 。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 ) 12(lim --+∞ →n n n n 解：原式= 2 3 11213lim 1 2)]1()2[(lim = -++ = -++--+∞ →∞ →n n n n n n n n n n 分子分母同除以 。 例3 n n n n n 323)1(lim ++-∞→
求极限方法总结 为什么第一章如此重要? 各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下： 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种 2解决极限的方法如下：我能列出来的全部列出来了你还能有补充么? 1 等价无穷小的转化，只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在 e的X次方-1 或者 1+x的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 x趋近无穷的时候还原成无穷小 2落笔他法则大题目有时候会有暗示要你使用这个方法 首先他的使用有严格的使用前提 必须是 X趋近而不是N趋近所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷 必须是函数的.导数要存在假如告诉你gx, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死 必须是 0比0 无穷大比无穷大 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷应为无穷大于无穷小成倒数的关系所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 30的0次方 1的无穷次方无穷的0次方
对于指数幂数方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，这就是为什么只有3种形式的原因， LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0 3泰勒公式含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母看上去复杂处理很简单 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了 6夹逼定理主要对付的是数列极限 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用对付数列极限 q绝对值符号要小于1 8各项的拆分相加来消掉中间的大多数对付的还是数列极限 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式对付数列极限例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x 比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的x的x次方快于 x 快于指数函数快于幂数函数快于对数函数画图也能看出速率的快慢当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的
求一元函数极限（含数列）的若干种方法 内容摘要：极限是数学分析中一个非常重要的概念，它是研究分析方法的重要理 论基础。我们知道，许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和以及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法就显得非常重要。 其中二元函数的极限是在一元函数的基础上发展起来的,二者既有联系也有区别。本文通过部分例题的解析,以详细介绍一元函数极限的求法为主。归纳了常用的十种求极限方法, 即: 运用极限的定义证明；利用等价无穷小量代换和初等变形来求极限；用两个重要的极限来求函数的极限；利用变量替换求极限；利用迫敛性定理来求极限；利用洛比达法则求函数的极限；利用泰勒公式求极限；利用微分中值定理和积分中值定理求极限；利用积分定义求极限；求极限其他常用方法。并列举了大量的实例加以说明。 关键词：迫敛性定理中值定理洛必达法则 A number of ways to seek a function limit (including the number of columns) Abstract：The limit is a very important concept in mathematical analysis, it is an important theoretical basis for research and analytical methods. We know that many important concepts such as continuity, derivative, definite integral, infinite series and generalized integral to define the limit. Therefore it is very important to master well limit. The limits of the function of two variables is on the basis of the function of one variables, the two have connection and have distinction. This article through the part of example analysis, to introduce the limit of the function of one variables. Summarizes the ten ways: Using the definition of the limits of proof; equivalent Infinitesimal Substitution and the primary deformation; two important limits to seek the limits of functions; variable substitution; the squeeze theorem; L'Hospital Rule; the Taylor formula; the mean value theorem and the integral mean value theorem to the limit; using the integral definition; other commonly used methods.And cited a number of examples to illustrate. Key words：The squeeze theorem Mean Value Theorem L'Hospital Rule
函数极限的十种求法
设 f （x ）=xsin 1/x + a,x<0，b+1,x=0，x^2-1,x<0，试求： 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处的极限存在？ 当a ，b 为何值时，f （x ）在x=0处连续？ 注：f （x ）=xsin 1/x +a, x< 0 b+1, x=0 X^2-1, x>0 解：f(0)＝b+1 左极限：lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0-) (xsin(1/x)＋a)＝0+a ＝a 左极限：lim(x→0+) f(x)＝lim(x→0+) (x^2-1)＝0-1＝-1 f(x)在x ＝0处连续，则lim(x→0-) f(x)＝lim(x→0+) f(x)＝f(0)， 所以a ＝-1＝b+1， 所以a ＝-1，b ＝-2 7.利用等价无穷小量代换求极限 例 8 求极限30tan sin lim sin x x x x →-． 解 由于()s i n t a n s i n 1c o s c o s x x x x x -=-，而 ()sin ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→，()33sin ~0x x x → 故有 2 3300tan sin 112lim lim sin cos 2 x x x x x x x x x →→?-=?=． 注 在利用等价无穷小量代换求极限时，应注意只有对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量替代，而对极限式中的相加或相减部分则不能随意替代，如在例题中，若因有()t a n ~0x x x → ，()s i n ~0x x x →，而推出 3300tan sin lim lim 0sin sin x x x x x x x x →→--==， 则得到的式错误的结果． 附 常见等价无穷小量 ()sin ~0x x x →，()tan ~0x x x →，()2 1cos ~02 x x x -→， ()arcsin ~0x x x →，()arctan ~0x x x →，()1~0x e x x -→， ()()ln 1~0x x x +→，()()11~0x x x α α+-?→． 8 利用洛比达法则求极限 洛比达法则一般被用来求00型不定式极限及∞∞ 型不定式极限．用此种方法求极限要求在
求函数极限的方法和技巧 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 2 3lim 22=-+-→x x x x 证: 由 2 4 4122322-+-= --+-x x x x x x
()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ <-< 20x 时,就有 ε<--+-12 2 32x x x 由函数极限δε-定义有: 12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,,
求函数极限方法的若干方法 摘要： 关键词： 1引言：极限的重要性 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y=f(x)在x=x0处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二 重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是 研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下 两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑 如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极 限进行综述。 2极限的概念及性质 2.1极限的概念 2.1.1lim n→∞x n=A,任意的正整数N，使得当n>N时就有x n?A<ε。 2.1.2lim x→∞f x=A??ε>0，任意整数X，使得当x>X时就有f x?A<ε。类似可 以定义单侧极限lim x→+∞f x=A与lim x→?∞f(x)。 2.2.3，整数，使得当时有。类似可定义当时右极限与左极限：， 。在此处键入公式。 2.2极限的性质 2.2.1极限的不等式性质：设，。 若，则，当时有； 若，使得当时有，则。 2.2.1（推论）极限的保号性：设。 若,则，当时有； 若，使得当时有，则。 2.2.2存在极限的函数局部有界性：设存在极限，则在的某空心邻 域内有界，即与，使得当时有3求极限的方法
1、定义法 2、利用极限的四则运算性质求极限, 3、利用夹逼性定理求极限 4、利用两个重要极限求极限， 5、利用迫敛性求极限, 6、利用洛必达法则求极限, 7、利用定积分求极限, 8、利用无穷小量的性质和无穷小量和无穷大量之间的关系求极限 9、利用变量替换求极限, 10、利用递推公式求极限, 11、利用等价无穷小量代换求极限,12、利用函数的连续性求极限, 13、利用泰勒展开式求极限, 14、利用两个准则求极限15、利用级数收敛的必要条件求极限16、利用单侧极限求极限17、利用中值定理求极限 3.1定义法 利用数列极限的定义求出数列的极限.设是一个数列,是实数,如果对任意给定的,总存在一个正整数，当时,都有,我们就称是数列 的极限.记为. 例1 证明 证任给，取，则当时有 ，所以。 3.2利用极限的四则运算性质求极限 设，，则， ，。 例1求 解这是求型极限，用相消法，分子、分母同除以得 ，其中。 3.3利用夹逼性定理求极限 当极限不易直接求出时, 可考虑将求极限的变量作适当的放大和缩小, 使放大与缩小所得的新变量易于求极限, 且二者的极限值相同, 则原极限存在,且等
求函数极限的方法和技巧 作者: 黄文羊 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 22=-+-→x x x x 证: 由2 44122322-+-= --+-x x x x x x ()2 2 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 232x x x 由函数极限δε-定义有:
12 23lim 22=-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x ==→→→)(lim ) (lim )()(lim 0 00 （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立-∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 4 53lim 22+++→x x x x 解: 4 53lim 22+++→x x x x = 25 4252322=++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 16720 16lim 23232+++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65) 2062(103lim 2 23223 2 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2() 103)(2(lim 222+++--+-→x x x x x x x
求函 作者: 黄文羊 摘要: 本文就关于求函数极限的方法和技巧作了一个比较全面的概括、综合。 关键词：函数极限 引言 在数学分析与微积分学中,极限的概念占有主要的地位并以各种形式出现而贯穿全部内容,因此掌握好极限的求解方法是学习数学分析和微积分的关键一环。本文就关于求函数极限的方法和技巧作一个比较全面的概括、综合,力图在方法的正确灵活运用方面,对读者有所助益。 主要内容 一、求函数极限的方法 1、运用极限的定义 例: 用极限定义证明: 12 23lim 2 2 =-+-→x x x x 证: 由 2 4412 232 2 -+-= --+-x x x x x x ()22 22 -=--= x x x 0>?ε 取εδ= 则当δ<-<20x 时,就有 ε<--+-12 232 x x x 由函数极限δε-定义有:
12 23lim 2 2 =-+-→x x x x 2、利用极限的四则运算性质 若 A x f x x =→)(lim 0 B x g x x =→)(lim 0 (I)[]=±→)()(lim 0 x g x f x x )(lim 0 x f x x →±B A x g x x ±=→)(lim 0 (II)[]B A x g x f x g x f x x x x x x ?=?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0 (III)若 B ≠0 则： B A x g x f x g x f x x x x x x = = →→→) (lim )(lim ) ()(lim （IV ）cA x f c x f c x x x x =?=?→→)(lim )(lim 0 （c 为常数） 上述性质对于时也同样成立 -∞→+∞→∞→x x x ,, 例：求 453lim 2 2 +++→x x x x 解: 4 53lim 22 +++→x x x x = 2 54 25 2322 = ++?+ 3、约去零因式（此法适用于型时0 ,0x x →） 例: 求12 1672016lim 2 3 2 32 +++----→x x x x x x x 解:原式=() () ) 12102(65)2062(103lim 2 2 3 2 2 32 +++++--+---→x x x x x x x x x x x =) 65)(2()103)(2(lim 2 22 +++--+-→x x x x x x x