第五章 相似矩阵及二次型
1
试用施密特法把下列向量组正交化
(1)??
??
??=931421111) , ,(321a a a
解 根据施密特正交化方法
???
? ??==11111a b
??
?
? ??
-=-=101]
,[],[1112122b b b a b a b
?
?
?
? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
(2)???
?
? ??---=011101110111) , ,(321a a a
解 根据施密特正交化方法
???
?
?
??-==110111a b
?
?
??
? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b
?
?
??
? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b
2 下列矩阵是不是正交阵:
(1)??????
? ??--
-1
21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵
(2)????
??
? ??----
--979494949198949891
解 该方阵每一个行向量均是单位向量 且两两正交 故为正交阵
3 设x 为n 维列向量 x T
x
1 令H E 2xx
T
证明H 是对称的正交阵
证明 因为 H
T
(E 2xx T )
T
E 2(xx T )T E 2(xx T )T E 2(x T )T x T
E 2xx T
所以H 是对称矩阵 因为 H T
H
HH (E 2xx T )(E 2xx T )
E 2xx T 2xx
T (2xx T )(2xx T
)
E 4xx T 4x (x T
x )x T
E 4xx T
4xx T
E
所以H 是正交矩阵
4 设A 与B 都是n 阶正交阵 证明AB 也是正交阵 证明 因为A B 是n 阶正交阵 故A
1
A T B
1
B T
(AB )T
(AB )B T A T
AB
B 1A 1AB E
故AB 也是正交阵
5 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1)???
? ??----201335212;
解 3
)1(2013352
12||+-=-------=-λλ
λλλE A
故A 的特征值为1(三重) 对于特征值
1 由
??
?
? ?????? ??----=+000110101101325213~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 1 1)
T
向量p 1就是对应于特征值
1
的特征值向量.
(2)???
?
??633312321;
解 )
9)(1(6333123
21||-+-=---=-λλλλ
λλλE A
故A 的特征值为10
2
1
3
9
对于特征值
1
0 由
???
?
?????? ??=000110321633312321~A
得方程A x 0的基础解系p 1(1 1 1)
T
向量p 1是对应于特征值
1
0的特征
值向量. 对于特征值
2
1, 由
??
?
? ?????? ??=+000100322733322322~E A
得方程(A E )x
0的基础解系p 2(
1 1 0)
T
向量p 2就是对应于特征值
2
1
的特征值向量
对于特征值
3
9 由
??
??
? ??--???? ??---=-00021101113333823289~E A
得方程(A 9E )x 0的基础解系p 3(1/2 1/2 1)
T
向量p 3就是对应于特征值
3
9
的特征值向量
(3)????
?
?
?00
01001001001000
.（和书后答案不同，以书后为主，但解题步骤可以参考） 解 22)1()1(0010100101
00||+-=----=
-λλλ
λλλλE A
故A 的特征值为121
34
1
对于特征值
1
2
1
由
????
? ???????
?
?=+00
0000
0110100110
01011001101001~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 1(1 0 0 1)
T
p 2(0 1 1 0)
T
向
量p 1和p 2是对应于特征值
1
2
1的线性无关特征值向量
对于特征值
3
4
1 由
????
? ?
?--?????
?
?----=-00
000000
0110100110
01011001101001
~E A
得方程(A E )x 0的基础解系p 3(1 0 0 1)T
p 4(0 1 1 0)
T
向量p 3
和p 4是对应于特征值
3
4
1的线性无关特征值向量
6 设A 为n 阶矩阵 证明A T
与A 的特征值相同
证明 因为
|A
T
E ||(A E )T ||A E |T |A E |
所以A T与A的特征多项式相同从而A T与A的特征值相同
7设n阶矩阵A、B满足R(A)R(B)n证明A与B有公共的特征值有公共的特征向量
证明设R(A)r R(B)t则r t n
若a1a2a n r是齐次方程组A x0的基础解系显然它们是A的对应于特征值0的线性无关的特征向量
类似地设b1b2b n t是齐次方程组B x0的基础解系则它们是B 的对应于特征值0的线性无关的特征向量
由于(n r)(n t)n(n r t)n故a1a2a n r b1b2
b n t必线性相关于是有不全为0的数k1k2k n r l1l2
l n t使
k1a1k2a2k n r a n r l1b1l2b2l n r b n r0
记k1a1k2a2k n r a n r(l1b1l2b2l n r b n r)
则k1k2k n r不全为0否则l1l2l n t不全为0而
l1b1l2b2l n r b n r0
与b1b2b n t线性无关相矛盾
因此0是A的也是B的关于0的特征向量所以A与B有公共的特征值有公共的特征向量
8设A23A2E O证明A的特征值只能取1或2
证明设是A的任意一个特征值x是A的对应于的特征向量则
(A23A2E)x2x3x2x(232)x0
因为x0所以2320即是方程2320的根也就是说1或2
9设A为正交阵且|A|1证明1是A的特征值
证明因为A为正交矩阵所以A的特征值为1或1（需要说明）
因为|A|等于所有特征值之积又|A|1所以必有奇数个特征值为1即1是A的特征值
10设0是m阶矩阵A m n B n m的特征值证明也是n阶矩阵BA的特征值证明设x是AB的对应于0的特征向量则有
(AB)x x
于是B(AB)x B(x)
或BA(B x)(B x)
从而是BA 的特征值 且B x 是BA 的对应于的特征向量
11 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A 3
5A
2
7A |
解 令()3
5
2
7 则(1)3 (2)2
(3)3是(A )的特征值 故 |A 3
5A
2
7A ||(A )|(1)
(2)(3)32
318
12 已知3阶矩阵A 的特征值为1 2 3 求|A *3A 2E | 解 因为|A |12(
3)
60 所以A 可逆 故
A *|A |A 1
6A 1 A *3A 2E 6A
1
3A 2E 令
()
61
32 则
(1)1 (2)5 (3)5是(A )
的特征值 故 |A *3A 2E ||6A
1
3A 2E ||(A )|
(1)
(2)
(3)
15
(5)25
13 设A 、B 都是n 阶矩阵 且A 可逆 证明AB 与BA 相 似
证明 取P A 则
P 1ABP A 1ABA BA
即AB 与BA 相似 14
设矩阵???
?
??=50413102x A 可相似对角化
求x
解 由
)
6()1(504131
02||2---=---=-λλλ
λλλx E A
得A 的特征值为
1
6
23
1
因为A 可相似对角化 所以对于2
3
1 齐次线性方程组(A E )x 0有两个
线性无关的解 因此R (A E )1
由
???
? ??-???? ??=-00030010140403101)(~x x E A r
知当x 3时R (A E )1 即x 3为所求
15 已知p (1 1
1)T
是矩阵???
?
??---=2135212b a A 的一个特征向量
(1)求参数a
b 及特征向量p 所对应的特征值
解 设是特征向量p 所对应的特征值 则 (A E )p 0
即???
? ??=???? ??-???? ??------000111213521
2λλλb a
解之得1 a
3 b 0
(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由
解 由
3
)1(2013352
12||--=-------=-λλ
λλλE A
得A 的特征值为1
2
3
1
由
???
? ??-???? ??----=-00011010111325211~r b E A
知R (A E )2 所以齐次线性方程组(A E )x 0的基础解系只有一个解向量 因此A
不能相似对角化
16 试求一个正交的相似变换矩阵, 将下列对称阵化为对角阵:
(1)???
?
??----020212022;
解 将所给矩阵记为A
由
λ
λλλ-------=-202
120
22E A (1)(
4)(
2)
得矩阵A 的特征值为1
2
2
1
3
4
对于
1
2 解方程(A 2E )x 0 即
0220232024321=???
? ?????? ??----x x x
得特征向量(1 2 2)T
单位化得T
)
3
2 ,32 ,31(1=p
对于
2
1, 解方程(A E )x 0
即
0120202021321=???
?
?????? ??-----x x x 得特征向量(2 1 2)
T
单位化得T
)
3
2 ,31 ,32(2-=p
对于
3
4, 解方程(A 4E )x 0
即
0420232022321=???
?
?????? ??-------x x x 得特征向量(2 2 1)
T
单位化得T
)
3
1 ,3
2 ,32(3-=p
于是有正交阵P (p 1 p 2 p 3)
使P 1
AP diag(2 1 4)
(2)??
?
? ??----542452222 （和书后答案不同，以书后答案为准，解题步骤可以参考） 解 将所给矩阵记为A
由
λ
λλλ-------=-5424
522
22E A (
1)2
(
10)
得矩阵A 的特征值为1
2
1
3
10 对于
1
2
1 解方程(A E )x 0
即
???
? ??=???? ?????? ??----000442442221321x x x
得线性无关特征向量(
2 1 0)T
和(2 0 1)
T
将它们正交化、单位化得
T 0) 1, ,2(5
11-=p
T
5) ,4 ,2(5
312=p
对于
3
10, 解方程(A 10E )x 0
即
???
? ??=???? ?????? ??-------000542452228321x x x 得特征向量(1 2
2)T
单位化得T
)
2 ,2 ,1(3
13--=p
于是有正交阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1
AP diag(1 1 10)
17
设矩阵????
??------=12422421x A 与???
? ??-=Λy 45相似
求x y 并求一个
正交阵P 使P 1
AP
解 已知相似矩阵有相同的特征值 显然5
4
y 是的特征值
故它们也是A 的特征值 因为
4是A 的特征值
所以
)4(95
242424
25|4|=-=---+---=+x x E A 解之得x 4
已知相似矩阵的行列式相同 因为
100
1
242424
21||-=-------=A y
y
204
5
||-=-=
Λ
所以20y 100 y 5 对于5 解方程(A
5E )x 0 得两个线性无关的特征向量(1 0 1)
T
(1
2 0)
T
将它们正交化、单位化得
T
)1 ,0 ,1(2
11-=p
T
)1 ,4 ,1(2
312-=p
对于
4
解方程(A 4E )x 0 得特征向量(2 1 2)
T
单位化得
T
)2 ,1 ,2(3
13=p
于是有正交矩阵?
?
?????
?
??--=2313221234310
231322
1P 使P 1
AP
18 设3阶方阵A 的特征值为1
2
2
2
3
1 对应的特征向量依次为
p 1(0 1 1)T p 2(1 1 1)T p 3(1 1 0)T 求A .
解 令P (p 1 p 2 p 3) 则P 1
AP diag(2 2 1)
A P P
1
因为
??
?
? ??---=???? ??=--1101110110111111101
1P
所以 ???? ??---???? ?
?-???? ??=Λ=-11011101110002
000
20111111101P P A ????
?
??------=244
354332
19 设3阶对称阵A 的特征值为1
1
2
1
3
0 对应1
、
2
的特征
向量依次为p 1
(1
2
2)
T
p 2(2 1 2)T
求A 解 设???
?
??=6535
42321x x x x x x x x x A 则A p 1
2p 1
A p
2
2p 2 即
?????=++=++=++222222122653542321x x x x x x x x x ①
?????=-+-=-+-=-+2
22122222653542321x x x x x x x x x ②
再由特征值的性质 有
x 1x 4x 6
123
0 ③
由①②③解得 6
12131x
x --
= 6
221x x =
6
34132x x -=
6
42131x x -=
6
54132x x += 令x 6
0 得311-=x x 20
3
23=x 3
14=
x 3
25=
x
因此 ???
? ?
?-=022********A
20 设3阶对称矩阵A 的特征值16
23
33 与特征值
1
6对应的
特征向量为p 1
(1
1
1)
T
求A .
解 设???
? ??=653542321x x x x x x x x x A
因为
1
6对应的特征向量为p 1(1 1 1)T
所以有
???
? ??=???? ??1116111A 即?????=++=++=++6
666535423
21x x x x x x x x x
①
2
3
3是A 的二重特征值, 根据实对称矩阵的性质定理知R (A 3E )1 利用
①可推出
????
??--???? ??---=-331113333653
542653542321~x x x x x x x x x x x x x x x E A
因为R (A 3E )1 所以x 2
x 43x 5且x 3x 5x 63 解之得 x 2x 3x 51 x 1x 4x 64
因此 ??
?
?
??=411141114A
21 设a (a 1 a 2 a n )
T
a 10 A aa
T
(1)证明0是A 的n
1重特征值
证明 设是A 的任意一个特征值 x 是A 的对应于的特征向量 则有
A x x
2x A 2x aa T aa T x a T a A x
a T ax 于是可得
2
a T a 从而
0或
a T a
设1
2
n
是A 的所有特征值 因为A aa T
的主对角线性上的元素为a 1
2
a 2
2
a n
2
所以
a 12a 22 a n 2a T a
1
2
n
这说明在
1
2
n
中有且只有一个等于a T
a
而其余n 1个全为0
即
0是A 的n 1重特征值
(2)求A 的非零特征值及n 个线性无关的特征向量
解 设1
a T a
2
n
因为A a aa T
a
(a T
a )a 1
a 所以p 1a 是对应于
1
a T a 的特征向量
对于
2
n
0 解方程A x
0 即aa T
x 0
因为a 0 所以
a T x 0 即a 1x 1a 2x 2 a n x n 0 其线性无关解为
p 2(a 2 a 1 0 0)T p 3(a 3 0 a 1
0)
T
p n (a n 0 0
a 1)
T
因此n 个线性无关特征向量构成的矩阵为
????
? ???
?????????????????-???-=???112
2
12100), , ,(a a a a
a a a n
n n p p p
22
设???
?
??-=340430241A 求A 100
解 由
)
5)(5)(1(3404302
41||+---=----=-λλλλ
λλλE A
得A 的特征值为1
1
2
5 3
5 对于11 解方程(A E )x 0 得特征向量p 1(1 0 0)T
对于15 解方程(A
5E )x
得特征向量p 2
(2
1
2)
T
对于
1
5 解方程(A 5E )x 0 得特征向量p 3(1 2
1)
T
令P (p 1
p 2 p 3) 则
P 1
AP diag(1 5 5)
A P P 1
A
100
P 100
P
1
因为
100
diag(1 5
100
5100
)
???
? ??--=???? ??-=--120210505511202101211
1P
所以
???
? ??--???? ?????? ??
-=
12021050555112021012151100100
100A ???
?
??-=1001001005000501501
23 在某国 每年有比例为p 的农村居民移居城镇 有比例为q 的城镇居民移居农村 假设该国总人口数不变 且上述人口迁移的规律也不变 把n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为x n 和y n (x n y n 1)
(1)求关系式??
? ??=??? ??++n n n n y x A y x 11中的矩阵A
解 由题意知 x n 1x n qy n px n (1p )x n qy n y n
1
y n px n qy n px n (1q )y n
可用矩阵表示为
?
?
?
?????
??--=??? ??++n n n n y x q p q p y x 1111
因此 ?
?
?
??--=q p q p A 11
(2)设目前农村人口与城镇人口相等 即??
? ??=??? ??5.05.000y x 求??
? ??n n y x
解 由??? ??=??? ??++n n n n y x A y x 11可知??
? ??=??? ??00y x A y x n n n 由 )
1)(1(11||q p q p q
p E A ++--=----=
-λλλ
λλ
得A 的特征值为1
1
2
r 其中r 1p q
对于11 解方程(A
E )x 0 得特征向量p 1(q p )T
对于
1
r 解方程(A rE )x 0 得特征向量p 2(1 1)T
令??
?
??-==11) ,(21p q P p p 则
P 1
AP diag(1 r )
A P P 1
A
n
P
n
P 1
于是 1
1100111-??
? ??-??? ????? ??-=p q r p q A n
n
??
?
??-??? ????? ??-+=q p r p q q p n 11001111
??
? ??+--++=n n n n qr p pr p qr q pr q q p 1
??
? ????? ??+--++=??? ??5.05.01n n n n n n qr p pr p qr q pr q q p y x ??
? ??-+-++=n n r p q p r q p q q p )(2)(2)(21
24 (1)设??
? ??--=3223A 求(A )A 10
5A 9
解 由
)
5)(1(3223||--=----=-λλλ
λλE A
得A 的特征值为1
1
2
5
对于
1
1 解方程(A E )x 0 得单位特征向量
T )1 ,1(2
1 对于
1
5 解方程(A
5E )x
得单位特征向量
T
)1 ,1(2
1-
于是有正交矩阵??
? ??-=
111121P 使得P 1
AP diag(1 5)
从而A P P
1
A
k
P
k
P
1
因此
(A )P ()P 1
P (
10
5
9
)P 1
P [diag(1 510
)5diag(1 59
)]P 1
P diag(4 0)P 1
??
? ??-??? ??-??? ??-=1111210004111121
?
?? ??-=??? ??----=111122222 (2)设???
?
??=122221212A , 求(A )A 10
6A 9
5A
8
解 求得正交矩阵为
????
? ?
?---=20
223123
161P
使得P 1
AP diag(1 1 5) A P P
1 于是
(A )P ()P
1
P (
10
6
958
)P
1
P [
8
(E )(5E )]P 1
P diag(1 1
58
)diag(2 0 4)diag(6 4 0)P 1
P diag(12 0 0)P 1
???? ??---???? ?
?????? ??---=222033*********
2231231
61 ???
?
?
?----=422211
211
2
25 用矩阵记号表示下列二次型:
(1) f x
2
4xy 4y
2
2xz z
2
4yz
解 ??
?
?
?????? ??=z y x z y x f 121242121) , ,(
(2) f x
2
y 27z 22xy 4xz 4yz
解 ??
?
?
?????? ??-------=z y x z y x f 722211211) , ,(
(3) f x 1
2
x 22x 32x 422x 1x 24x 1x 32x 1x 46x 2x 34x 2x 4
解
????
? ???????
?
?------=4321432110
2101322311
1211
) , , ,(x x x x x x x x f
26 写出下列二次型的矩阵 (1)
x x x ??
? ??=13
12)(T f
解 二次型的矩阵为?
??
?
??=1222A
(2)x
x x ???
?
??=987654321)(T f
解 二次型的矩阵为??
?
?
?
??=975753531A
27 求一个正交变换将下列二次型化成标准形:
(1) f 2x 1
2
3x 2
2
3x 3
3
4x 2x 3
解 二次型的矩阵为????
??=320230002A 由
)
1)(5)(2(3202300
02λλλλ
λλλ---=---=-E A
得A 的特征值为1
2
2
5 3
1 当
1
2时, 解方程(A
2E )x 0
由
??
?
? ?????? ??=-0001002101202100002~E A
得特征向量(1 0 0)T
取p 1(1 0 0)
T
当
2
5时 解方程(A
5E )x
0 由
??
?
?
??-???? ??---=-0001100012202200035~E A
得特征向量(0 1 1)T
取T )2
1 ,21
,0(2=p
当
3
1时 解方程(A E )x 0 由
??
?
? ?????? ??=-000110001220220001~E A
得特征向量(0 1
1)T
取T )2
1 ,21 ,0(3-
=p
于是有正交矩阵T (p 1 p 2 p 3)和正交变换x T y 使
f 2y 125y 22y 32
(2) f x 1
2
x 22x 32x 422x 1x 22x 1x 42x 2x 32x 3x 4
解 二次型矩阵为???
?? ??----=1101111001111011A 由
2
)1)(3)(1(1101111001111
011--+=--------=-λλλλ
λλλλE A
得A 的特征值为1
1
2
3
34
1
当
1
1时 可得单位特征向量T
)21 ,21 ,21 ,21(1--=p 当2
3时
可得单位特征向量T
)
2
1 ,21 ,21 ,21(2--=p
当
3
4
1时 可得线性无关的单位特征向量
T
)0 ,21 ,0 ,21(3=p
T
)2
1 ,0 ,21 ,0(4=p
于是有正交矩阵T ( p 1 p 2 p 3 p 4)和正交变换x
T y 使
f y 123y 22y 32y 42
28 求一个正交变换把二次曲面的方程
3x
2
5y
2
5z
2
4xy 4xz 10yz 1
化成标准方程
解 二次型的矩阵为???
?
??----=552552223A
由)
11)(2(5525522
23||---=-------=-λλλλ
λλλE A 得A 的特征值为
1
2
211
3
对于1
2
解方程(A 2E )x 0 得特征向量(4 1 1)
T
单位化得
)
2
31 ,231 ,234(1-=p 对于
2
11 解方程(A 11E )x
得特征向量(1
2
2)
T
单位化得
)
3
2 ,32 ,31(2-=p
对于
3
0 解方程A x
0 得特征向量(0 1 1)
T
单位化得
)
2
1 ,21 ,0(3=p
于是有正交矩阵P (p 1 p 2 p 3) 使P 1
AP diag(2 11 0) 从而有正交变
换
?
?
?? ?????????
?
??--=???? ??w v u z y x 21322
312132231
03
1234
使原二次方程变为标准方程2u 2
11v
2
1
29 明 二次型f x T
A x 在||x ||1时的最大值为矩阵A 的最大特征值. 证明 A 为实对称矩阵
则有一正交矩阵T 使得
TAT
1
diag(1
2
n
)
成立 其中
1
2
n
为A 的特征值 不妨设
1
最大
作正交变换y T x 即x
T T y 注意到T
1
T T 有
f x T A x y T TAT T y y T y 1y
1
22y 2
2 n y n
2
因为y T x 正交变换 所以当||x ||1时 有
||y ||||x ||1 即y 1
2
y 22 y n 21
因此
f
1y 1
2
2y 2
2
n y n 2
1
又当y 11 y 2y 3 y n 0时f 1
所以f max 1
30 用配方法化下列二次形成规范形 并写出所用变换的矩阵 (1) f (x 1 x 2 x 3)x 123x 225x 322x 1x 24x 1x 3 解 f (x 1 x 2 x 3)x 12
3x 2
2
5x 3
2
2x 1x 2
4x 1x 3
(x 1x 22x 3)24x 2x 32x 22
x 32
(x 1x 22x 3)
2
2x 2
2
(2x 2x 3)
2
令 ???
??+==-+=3
232
23211222x x y x y x x x y 即??
?
????+-==+-=3232
23
211221225y y x y x y
y y x
二次型化为规范形
f y 12y 22y 32
所用的变换矩阵为
???
???
?
??--=12002102251C
(2) f (x 1 x 2 x 3)x 122x 322x 1x 32x 2x 3 解 f (x 1 x 2 x 3)x 12
2x 3
2
2x 1x 32x 2x 3
(x 1x 3)2x 322x 2x 3 (x 1x 3)
2
x 22(x 2x 3)2
令 ?????+==+=3
232
23
11x x y x y x x y 即?????+-==-+=3
232
23
211y y x y x y y y x
二次型化为规范形
f y 12y 22y 32
所用的变换矩阵为
???
? ??--=110010111C
(3) f (x 1 x 2 x 3)2x 12x 224x 322x 1x 22x 2x 3 解 f (x 1 x 2 x 3)2x 12
x 224x 322x 1x 22x 2x 3
322
3222212421)21(2x x x x x x -+++=
2
32322212)2(2
1)21(2x x x x x +-++=
令 ???????=-=+=333222
112)2(21)
21(2x y x x y x x y 即???
????=+=--=333
2
2321121222212121y x y y x y
y y x
二次型化为规范形
f y 12y 22y 32
所用的变换矩阵为
???
? ??--=10022011121C
31 设
f x 12x 225x 322ax 1x 22x 1x 34x 2x 3
为正定二次型 求a
解 二次型的矩阵为??
?
?
??--=5212111a a A 其主子式为
第五章 相似矩阵及二次型 一、 是非题（正确打√，错误打×） 1．若线性无关向量组r αα,,1 用施密特法正交化为r ββ,,1 则对任何),1(r k k ≤≤向量组k αα,,1 与向量组r ββ,,1 等价. ( √ ) 2. 若向量组r αα,,1 两两正交,则r αα,,1 线性无关. ( √ ) 3.n 阶正交阵A 的n 个行(列)向量构成向量空间n R 的一个规范正交基. ( √ ) 4.若A 和B 都是正交阵,则AB 也是正交阵. ( √ ) 5.若A 是正交阵, Ax y =,则x y =. ( √ ) 6．若112???=n n n n x x A ，则2是n n A ?的一个特征值. ( × ) 7.方阵A 的特征向量只能对应唯一的特征值,反之亦成立. ( × ) 8.n 阶矩阵A 在复数范围内有n 个不同的特征值. ( × ) 9. 矩阵A 有零特征值的充要条件是0=A . ( √ ) 10.若λ是A 的特征值,则)(λf 是)(A f 的特征值(其中)(λf 是λ的多项式). ( √ ) 11.设1λ和)(212λλλ≠是A 的特征值, 1x 和2x 为对应特征向量,则21x x +也是A 的特征向量. ( × ) 12. T A 与A 的特征值相同. ( √ ) 13.n 阶矩阵A 有n 个不同特征值是A 与对角矩阵相似的充分必要条件. ( × )
14.若有可逆矩阵P ,使n 阶矩阵A ,B 满足: B PAP =-1,则A 与B 有相同的特征值. ( √ ) 15.两个对角矩阵的对角元素相同,仅排列位置不同,则这两个对角矩阵相似. ( √ ) 16.设n 阶矩阵A ,B 均与对角阵相似且有相同的特征值,则A 与B 相似. ( √ ) 17．实对称矩阵A 的非零特征值的个数等于它的秩. ( √ ) 18. 若k ααα,,,21 线性无关且都是A 的特征向量，则将它们先正交化，再单位化后仍为A 的特征向量. ( √ ) 19.实对称阵A 与对角阵Λ相似Λ=-AP P 1，这里P 必须是正交阵 。 ( × ) 20．已知A 为n 阶矩阵，x 为n 维列向量，如果A 不对称，则Ax x T 不是二次型. ( √ ) 21.任一实对称矩阵合同于一对角矩阵。 ( √ ) 22．二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 在正交变换Py x =下一定化为 标准型. ( × ) 23.任给二次型 Ax x x x x f T n =),,,(21 ，总有正交变换Py x =，使f 化 为规范型。 ( × )
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 213321232113235322y y y x y y y x y y y x 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??221321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=321332123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=321161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 21332123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374??? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
第五章课后习题及解答 1. 求下列矩阵的特征值和特征向量： (1) ;1332??? ? ??-- 解：,0731332 2=--=--=-λλλλλA I 2 373,237321-=+=λλ ,00133637123712137 1??? ? ??→→???? ??=-++- A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T - 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()371,6(11≠-k k T ,001336371237123712??? ? ??→→???? ??-=---+ A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)371,6(T +
因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()371,6(22≠+k k T (2) ;211102113???? ? ??-- 解：2)2)(1(2 111211 3--==------=-λλλλ λλ A I 所以，特征值为：11=λ(单根)，22=λ(二重根) ???? ? ??-→→????? ??------=-0001100011111121121 A I λ 所以，0)(1=-x A I λ的基础解系为：.)1,1,0(T 因此，A 的属于1λ的所有特征向量为：).0()1,1,0(11≠k k T ???? ? ??-→→????? ??-----=-0001000110111221112 A I λ 所以，0)(2=-x A I λ的基础解系为：.)0,1,1(T 因此，A 的属于2λ的所有特征向量为：).0()0,1,1(22≠k k T
第二章矩阵 一、知识点复习 1、矩阵的定义 由m n个数排列成的一个m行n列的表格，两边界以圆括号或方括号，就成为一个m n型矩阵。例如 2 -1 0 1 1 1 1 1 0 2 2 5 4 -2 9 3 3 3 -1 8 是一个45矩阵. 一个矩阵中的数称为它的元素,位于第i行第j列的数称为(i,j)位元素。 元素全为0的矩阵称为零矩阵,通常就记作0。 两个矩阵A和B相等(记作A=B)，是指它的行数相等，列数也相等(即它们的类型相同)，并且对应的元素都相等。 2、 n阶矩阵与几个特殊矩阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵，行列数都为n的矩阵也常常叫做n阶矩阵。 n阶矩阵的从左上角到右下角的对角线称为主对角线。 下面列出几类常用的n阶矩阵,它们都是考试大纲中要求掌握的. 对角矩阵: 对角线外的的元素都为0的n阶矩阵. 单位矩阵: 对角线上的的元素都为1的对角矩阵,记作E(或I). 数量矩阵: 对角线上的的元素都等于一个常数c的对角矩阵,它就是c E. 上三角矩阵: 对角线下的的元素都为0的n阶矩阵. 下三角矩阵: 对角线上的的元素都为0的n阶矩阵. 对称矩阵: 满足A T=A矩阵，也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j,i)位的元素总是相等的n阶矩阵. 反对称矩阵:满足A T=-A矩阵.也就是对任何i,j,(i,j)位的元素和(j ,i)位的元素之和总等于0的n阶矩阵.反对称矩阵对角线上的元素一定都是0.) 正交矩阵：若AA T=A T A=E，则称矩阵A是正交矩阵。 （1）A是正交矩阵?A T=A-1 （2）A是正交矩阵?2 A=1 阶梯形矩阵:一个矩阵称为阶梯形矩阵，如果满足: ①如果它有零行，则都出现在下面。 ②如果它有非零行，则每个非零行的第一个非0元素所在的列号自上而下严 格单调递增。 把阶梯形矩阵的每个非零行的第一个非0元素所在的位置称为台角。 每个矩阵都可以用初等行变换化为阶梯形矩阵，这种运算是在线性代数的各类 计算题中频繁运用的基本运算，必须十分熟练。 请注意：一个矩阵用初等行变换化得的阶梯形矩阵并不是唯一的，但是其非零 行数和台角位置是确定的。 3、矩阵的线形运算 （1）加(减)法:两个m n的矩阵A和B可以相加(减),得到的和(差)仍是m n 矩阵,记作A+B (A-B),运算法则为对应元素相加(减). （2）数乘: 一个m n的矩阵A与一个数c可以相乘,乘积仍为m n的矩阵, 记作c A,运算法则为A的每个元素乘c. 这两种运算统称为线性运算,它们满足以下规律: ①加法交换律:A+B=B+A. 2加法结合律:(A+B)+C=A+(B+C). ③加乘分配律:c(A+B)=c A+c B.(c+d)A=c A+d A. ④数乘结合律: c(d)A=(cd)A. ⑤ c A=0 c=0 或A=0. 4、矩阵乘法的定义和性质 （1）当矩阵A的列数和B的行数相等时,则A和B可以相乘,乘积记作AB. AB的行数和A相等,列数和B相等. AB的(i,j)位元素等于A的第i个行向量 和B的第j个列向量(维数相同)对应分量乘积之和.
第五章 相似矩阵与二次型 §5-1 方阵的特征值与特征向量 一、填空题 1.已知四阶方阵A 的特征值为0，1，1，2，则||A E λ-＝ 2(1)(2)λλλ-- 2.设0是矩阵??? ? ? ??=a 01020101A 的特征值，则=a 1 3.已知三阶方阵A 的特征值为1，-1，2，则2 32B A A =-的特征值为 1,5,8 ；||A ＝ -2 ；A 的对角元之和为 2 . 4.若0是方阵A 的特征值，则A 不可逆。 5. A 是n 阶方阵，||A d =，则*AA 的特征值是,,,d d d ???（共n 个） 二、选择题 1.设1λ，2λ为n 阶矩阵A 的特征值，1ξ，2ξ分别是A 的属于特征值1λ，2λ的特征向量，则（ D ） （A ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （B ）当1λ=2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 （C ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必成比例 （D ）当1λ≠2λ时，1ξ，2ξ必不成比例 2.设a=2是可逆矩阵A 的一个特征值，则1 A -有一个特征值等于 （ C ） A 、2； B 、-2; C 、 12; D 、-1 2 ; 3.零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ） A 、充分条件； B 、充要条件; C 、必要条件; D 、无关条件;
三、求下列矩阵的特征值和特征向量 1.1221A ?? = ??? 解：A 的特征多项式为12(3)(1)2 1A E λλλλλ --==-+- 故A 的特征值为123,1λλ==-. 当13λ=时，解方程()30A E x -=. 由221132200r A E --???? -= ? ?-???? : 得基础解系111p ?? = ??? ，故1(0)kp k ≠是13λ=的全部特征向量. 当21λ=-时，解方程()0A E x +=.由22112200r A E ???? += ? ????? : 得基础解系211p -?? = ??? ，故2(0)kP k ≠是21λ=-的全部特征向量. 2.100020012B ?? ?= ? ??? 解：B 的特征多项式为 2100020(1)(2)0 1 2B E λ λλλλλ --= -=--- 故B 的特征值为1231,2λλλ===. 当11λ=时，解方程()0B E x -=. 由000010010001011000r B E ???? ? ? -= ? ? ? ????? :
第一章 行列式 习题1.1 1. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。 因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。 任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有 3 )()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。 因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以 ) 3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。 如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。 又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以 )3(33) (3)3() 3)(3()3)(3(3 32 2 22212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--= -+-+= ++。 综上所述，我们有)3(Q 是数域。 （2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。 （3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。 （反证法）如果)()(q Q p Q ?，则q b a p Q b a +=? ∈?,，从而有 q ab qb a p p 2)()(222++==。 由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。 所以有0=a 或0=b 。 如果0=a ，则2 qb p =，这与q p ,是互异素数矛盾。 如果0=b ，则有 a p =，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。 所以假设不成立，从而有)()(q Q p Q ?。
第一章行列式 1利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 解 2(4)30(1)(1)118 0132(1)81(4)(1) 2481644 (2) 解 acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a3b3c3 (3) 解 bc2ca2ab2ac2ba2cb2
(a b)(b c)(c a) (4) 解 x(x y)y yx(x y)(x y)yx y3(x y)3x3 3xy(x y)y33x2y x3y3x3 2(x3y3) 2按自然数从小到大为标准次序求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解逆序数为0 (2)4 1 3 2 解逆序数为441 43 42 32 (3)3 4 2 1 解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个)
7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) 4 2(1个) 6 2 6 4(2个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1个) 3写出四阶行列式中含有因子a11a23的项 解含因子a11a23的项的一般形式为 (1)t a11a23a3r a4s 其中rs是2和4构成的排列这种排列共有两个即24和42所以含因子a11a23的项分别是 (1)t a11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44 (1)t a11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a42 4计算下列各行列式
第五章 相似矩阵及二次型 1. 试用施密特法把下列向量组正交化: (1)??? ? ??=931421111) , ,(321a a a ; 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ??==11111a b , ??? ? ?? -=-=101] ,[],[1112122b b b a b a b , ? ?? ? ??-=--=12131],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b . (2)??? ? ? ??---=011101110111) , ,(321a a a . 解 根据施密特正交化方法, ??? ? ? ??-==110111a b , ? ???? ??-=-=123131],[],[1112122b b b a b a b , ? ??? ? ??-=--=433151],[],[],[],[222321113133b b b a b b b b a b a b .
2. 下列矩阵是不是正交阵: (1)?????? ? ??-- -1 21312112131211; 解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵. (2)???? ?? ? ??---- --979494949198949891. 解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵. 3. 设x 为n 维列向量, x T x =1, 令H =E -2xx T , 证明H 是对称的正交阵. 证明 因为 H T =(E -2xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(xx T )T =E -2(x T )T x T =E -2xx T , 所以H 是对称矩阵. 因为 H T H =HH =(E -2xx T )(E -2xx T ) =E -2xx T -2xx T +(2xx T )(2xx T ) =E -4xx T +4x (x T x )x T =E -4xx T +4xx T =E , 所以H 是正交矩阵. 4. 设A 与B 都是n 阶正交阵, 证明AB 也是正交阵. 证明 因为A , B 是n 阶正交阵, 故A -1=A T , B -1=B T , (AB )T (AB )=B T A T AB =B -1A -1AB =E ,
第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2 221 11c b a c b a
解 2 221 11c b a c b a bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1
解逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1 (4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6
第四章 向量组的线性相关性 1. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3. 解 v 1-v 2=(1, 1, 0)T -(0, 1, 1)T =(1-0, 1-1, 0-1)T =(1, 0, -1)T . 3v 1+2v 2-v 3=3(1, 1, 0)T +2(0, 1, 1)T -(3, 4, 0)T =(3?1+2?0-3, 3?1+2?1-4, 3?0+2?1-0)T =(0, 1, 2)T . 2. 设3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ), 求a , 其中a 1=(2, 5, 1, 3)T , a 2=(10, 1, 5, 10)T , a 3=(4, 1, -1, 1)T . 解 由3(a 1-a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得 )523(6 1 321a a a a -+= ])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(3[61 T T T --+= =(1, 2, 3, 4)T . 3. 已知向量组 A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T , 证明B 组能由A 组线性表示, 但A 组不能由B 组线性表示. 证明 由 ????? ??-=3121 23111012421301 402230) ,(B A ??? ? ? ??-------971820751610402230 421301 ~r ???? ? ? ?------531400251552000751610 421301 ~r ??? ? ? ? ?-----000000531400751610 421301 ~r 知R (A )=R (A , B )=3, 所以B 组能由A 组线性表示.
第五章作业参考答案 5-2试证：()()()1231,1,0,2,1,3,3,1,2T T T ααα=-== 是3R 的一组基，并求向量()()125,0,7,9,8,13T T v v ==--- 在这组基之下的坐标。 证明：要证123,,ααα 线性无关，即证满足方程1122330k k k ααα++= 的123,,k k k 只能均是0.联立方程得 1231232 32300320k k k k k k k k ++=?? -++=??+=? 计算此方程系数的行列式123 1116003 2 -=-≠ 故该方程只有零解，即1230k k k ===，因此，123,,ααα 是3R 的一组基 设1v 在这组基下的坐标为()123,,x x x ，2v 在这组基下的坐标为()123,,y y y ，由已知得 ()()1111232 212323 3,,,,,x y v x v y x y αααααα???? ? ? == ? ? ? ? ???? 代入易解得112233233,312x y x y x y ???????? ? ? ? ?==- ? ? ? ? ? ? ? ?--????????即为1v ，2v 在这组基下的坐标。 5-5设()()()1,2,1,1,2,3,1,1,1,1,2,2T T T αβγ=-=-=--- ，求： （1 ）,,,αβαγ 及,,αβγ 的范数；（2）与,,αβγ 都正交的所有向量。 解（1 ）,1223111(1)6αβ=?+?-?+?-= ()()(),112112 121 αγ=?-+?--?-+?= α= = β== γ= = （2）设与,,αβγ 都正交的向量为()1234,,,T x x x x x =，则 123412341234,20 ,230,220x x x x x x x x x x x x x x x αβγ?=+-+=??=++-=??=---+=?? 解得1 43243334 4 5533x x x x x x x x x x =-?? =-+?? =??=? 令340,1x x ==得()()1234,,,5,3,0,1x x x x =- 令341,0x x ==得()()1234,,,5,3,1,0x x x x =-
1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1)3811 411 02--- 解 3 811411 02--- 2(4)30(1)(1)118 0 132(1)8 1( 4) (1) 248164 4 (2)b a c a c b c b a 解 b a c a c b c b a acb bac cba bbb aaa ccc 3abc a 3b 3c 3 (3)2221 11c b a c b a 解 2 221 11c b a c b a
bc 2ca 2ab 2ac 2ba 2cb 2 (a b )(b c )(c a ) (4)y x y x x y x y y x y x +++ 解 y x y x x y x y y x y x +++ x (x y )y yx (x y )(x y )yx y 3(x y )3x 3 3xy (x y )y 33x 2 y x 3y 3x 3 2(x 3 y 3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆 序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为0 (2)4 1 3 2 解 逆序数为4 41 43 42 32 (3)3 4 2 1 解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1
(4)2 4 1 3 解逆序数为3 2 1 4 1 4 3 (5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解逆序数为 2)1 ( n n 3 2 (1个) 5 2 5 4(2个) 7 2 7 4 7 6(3个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个) (6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解逆序数为n(n1) 3 2(1个) 5 2 5 4 (2个) (2n1)2(2n1)4(2n1)6 (2n1)(2n2) (n1个)
第二章 矩阵及其运算 1 已知线性变换 ?????++=++=++=3 21332123 2113235322y y y x y y y x y y y x , 求从变量x 1 x 2 x 3到变量y 1 y 2 y 3的线性变换 解 由已知 ? ??? ?????? ? ?=???? ??22 1321323513122y y y x x x 故 ???? ?????? ? ?=???? ??-3211 221323513122x x x y y y ? ??? ?????? ??----=321423736 947y y y ?????-+=-+=+--=3 21332123 211423736947x x x y x x x y x x x y 2 已知两个线性变换 ?????++=++-=+=3 2133 2123 11542322y y y x y y y x y y x ?????+-=+=+-=3 233122 11323z z y z z y z z y 求从z 1 z 2 z 3到x 1 x 2 x 3的线性变换 解 由已知 ???? ?????? ? ?-=???? ??221321514232102y y y x x x ??? ? ?????? ??--???? ??-=32131 010 2013514232102z z z ??? ? ?????? ??----=32 1161109412316z z z
所以有?????+--=+-=++-=3 2133 2123 2111610941236z z z x z z z x z z z x 3 设???? ??--=111111111A ??? ? ??--=150421321B 求3AB 2A 及A T B 解 ??? ? ??---???? ??--???? ??--=-1111111112150421321111111111323A AB ???? ??----=???? ??---???? ??-=2294201722213211111111120926508503 ??? ? ??-=???? ??--???? ??--=092650850150421321111111111B A T 4 计算下列乘积 (1)??? ? ?????? ??-127075321134 解 ???? ?????? ??-127075321134???? ???+?+??+?-+??+?+?=102775132)2(71112374?? ? ? ??=49635 (2)???? ??123)321( 解 ??? ? ??123)321((132231)(10)
习 题 2-1 1．由6名选手参加乒乓球比赛，成绩如下：选手1胜选手2、4、5、6而负于选手3；选手2胜选手4、5、6而负于选手1、3；选手3胜选手1、2、4而负于选手5、6；选手4胜选手5、6而负于选手1、2、3；选手5胜选手3、6而负于选手1、2、4；选手6胜选手2而负于选手1、3、4、5．若胜一场得1分，负一场得0分，使用矩阵表示输赢状况，并排序． 解： ????? ?? ? ? ? ??000010 100100110000001011 1110001110106543216 54321，选手按胜多负少排序为：6,5,4,3,2,1． 2．设矩阵???? ??-=???? ?? +-=2521 ,03231 z x y x B A ，已知B A =，求z y x ,,． 解：由于B A =得?????=-=+=-0253223z x y x ，解得：?? ? ??===211 z y x 。 习 题 2-2 1．设???? ??=0112A ，??? ? ??-=4021B ，求 （1）B A 52-； （2）BA AB -； （3）2 2B A -． 解：（1）??? ? ??--=???? ??--???? ??=???? ??--???? ??=-202892001050224402150112252B A ； （2）???? ??--=???? ??--???? ??--=???? ?????? ??--???? ??-???? ??=-2592041021820112402140210112BA AB ； （3）??? ? ??--=???? ??-???? ??=???? ??-???? ??--???? ?????? ??=-152441606112254021402101120112B A 22． 2．已知????? ??--=230412301321A ，??? ? ? ??---=052110 35123 4B ，求B A 23-． 解：??? ? ? ??----????? ??--=052110351234223041230 13 21 323B -A ??? ? ? ??----=????? ??----????? ??--=61941016151055011010422061024686901236903963 3．设??? ? ? ??----=????? ??=101012121234,432112 122121B A ，求
1 习题4.1（线性方程组解的结构） 一、下列齐次线性方程组是否有非零解？ 分析：n 阶方阵A ，AX=0有非零解0()A R A n ?=?<；仅有零解0()A R A n ?≠?= （1）1234123412341 23442020372031260 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-=?? --+=??++-=??--+=? ； 解：1142111231 7 21 312 6 A ----= ---21 3241 31142005404540 2 16 8 r r r r r r ---=-------21 054054544544004016 8 2 16 8 2 16 8 r r -= ---=-=-≠-------- 仅有零解。 （2）12451234123453020426340 x x x x x x x x x x x x x +--=?? -+-=?? -++-=? . 分析：n 元齐次线性方程组有非零解()R A n ?≤；仅有零解()R A n ?= 解：()35R A n ≤<=，有非零解（即有无穷多解）。 二、求齐次线性方程组12341234123420 363051050 x x x x x x x x x x x x ++-=?? +--=?? ++-=?的一个基础解系。 解：32 21 12 31 412351 21101 2110120103 61300 04000 0100 510 1 5000 4 000 00r r r r r r r r r A --------=--→-→--?? ???? ?? ???? ????????????? ?? ??? 所以原方程组等价于1243 20 0x x x x +-=??=?（24,x x 可取任意实数） 原方程组的通解为1 122 1342 20x k k x k x x k =-+??=??=??=?（12,k k R ∈）
一、选择题（每小题5分，共25分。） 1．已知四阶行列式4D 第一行的元素依次为1，2，－1，－1，它们的余子式为2， -2，1，0，则4 D 的值为【 】A ．3-； B.；5- C.3； D.5. 2．已知n 阶矩阵????? ?? ? ? ?=1. .00... 1. 1. . 101..11A ,则A 的所有元素的代数余子式之和等于 【】A ．0； B ．1；C ．-1； D ．2. 3．设A 是n m ?矩阵，C 是n 阶可逆矩阵，矩阵A 的秩为r ，矩阵AC B =的秩 1r ，则【 】A ．1r r >； B ．1r r <； C ．1r r =； D ．r 与1r 的关系依C 而定. 4．设A 为n m ?矩阵，齐次线性方程组0=Ax 仅有零解的充分必要条件是【】A ．A 的列向量组线 性无关； B ．A 的列向量组线性相关； C ．A 的行向量组线性无关； D 。A 的行向量组线性相关. 5．设λ是n 阶可逆矩阵A 的特征值，ξ是A 的对应于λ的特征向量，P 是n 阶可逆矩阵， 则P A P * 1 -的对应于特征值 λ A 的特征向量是【 】A ．ξ1-P ； B ．ξP ； C ．ξT P ； D ．ξ1)(-T P . 二、填空题（将答案写在该题横线上。每小题5分，共25分。） 1．设B A ,都是n 阶正交矩阵，若0=+B A ，则___________=+B A .2．已知A B AB =-， 其中??? ?? ??-=20001 2021B ，则___________=A .3．已知向量组.,,,4321a a a a 线性无关，若向量组14433221,,,a a a a a a ka a ++++线性相关，则____________ =k . 4． 若线性方程组??? ??=---=+++=+-+b x x x x x ax x x x x x x 2617230324321 43214321无解，则常数b a ,应满足的条件是_____________. 5．若4阶矩阵A 与B 相似，且A 的特征值为1，2，3，4，则矩阵E B -* 的全部特征值为 ___________________. 三 、 计 算 证 明 题 （ 50 分 ） 1 (12 分 ) 求 向 量 组 )1,6,3,1(),3,2,1,1(),4,1,2,1(),5,0,3,1(4321--====a a a a 的一个极大线性无关组和秩. 2．(15分)设A 为三阶实对称矩阵，且满足条件022 =+A A ，已知A 的秩2)(=A r (1)求A 的全部特征值； (2)当k 为何值时，矩阵kE A +为正定矩阵，其中E 为三阶单位矩阵. 3．(15分)已知二次型)0(233232232 22 1>+++=a x ax x x x f 通过正交变换可化为标准形 2 3222152y y y f ++=，求参数a 及所用的正交变换. 4．(8分)设A 是n 阶矩阵，且满足E A =2 ，证明:n E A r E A r =++-)()(.
线性代数重点 第一章 行列式 8. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式): (1)a a D n 1 1???=, 其中对角线上元素都是a , 未写出的元素 都是0; 解 a a a a a D n 0 1 0 000 00 00 0 00 10 00? ????????????????????????????????=(按第n 行展开) ) 1()1(1 0 000 0 0 00 0 001 0 000)1(-?-+??????????????????????????????-=n n n a a a )1()1(2 )1(-?-????-+n n n a a a n n n n n a a a +? ??-?-=--+) 2)(2(1 )1()1(=a n -a n -2=a n -2(a 2-1). (2)x a a a x a a a x D n ????????????? ????????= ; 解 将第一行乘(-1)分别加到其余各行, 得
a x x a a x x a a x x a a a a x D n --??????????????????--???--???=000 0 00 0 , 再将各列都加到第一列上, 得 a x a x a x a a a a n x D n -??????????????????-???-???-+=0000 0 000 0 )1(=[x +(n -1)a ](x -a )n -1. (3)1 1 1 1 )( )1()( )1(1 1 11???-? ????????-? ?????-???--???-=---+n a a a n a a a n a a a D n n n n n n n ; 解 根据第6题结果, 有 n n n n n n n n n n a a a n a a a n a a a D )( )1()( )1( 11 11)1(1112)1(1-???--?????????-? ?????-???-???-=---++ 此行列式为范德蒙德行列式. ∏≥>≥++++--+--=1 12 )1(1)]1()1[()1(j i n n n n j a i a D ∏≥>≥++---=112 )1()]([)1(j i n n n j i ∏≥>≥++???+-++-? -?-=1 12 1 )1(2 )1()()1()1(j i n n n n n j i ∏≥>≥+-= 1 1)(j i n j i .
线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第一节 矩阵及其运算 一．选择题 1．有矩阵23?A ，32?B ，33?C ，下列运算正确的是 [ B ] （A ）AC （B ）ABC （C ）AB －BC （D ）AC +BC 2．设)2 1 ,0,0,21( =C ，C C E A T -=，C C E B T 2+=，则=AB [ B ] （A ）C C E T + （B ）E （C ）E - （D ）0 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列为反对称矩阵的是 [ B ] （A ）T A A + （B ）T A A - （C ）T AA （D ）A A T 二、填空题： 1．? ?? ? ??---=???? ??--+???? ??-1212561432102824461 2．设????? ??=432112122121A ，????? ??----=101012121234B ，则=+B A 32??? ?? ??--56125252781314 3．=????? ??????? ??-127075321134???? ? ??49635 4．=????? ? ? ??---???? ??-20413121013 143110412???? ? ?---6520876 三、计算题： 设???? ? ? ?--=11 1111 111 A ，4
??? ? ? ??--=150421321B ，求A AB 23-及B A T ;2294201722213 2222222222092650850311111111 1215042 132111111111 1323???? ? ??----=???? ? ? ?---????? ??-=?? ??? ??---????? ? ?--????? ??--=-A AB .09265085015042132111111111 1???? ? ??-=????? ??--????? ??--===AB B A A A A T T ，则对称，由 线性代数练习题 第二章 矩 阵 系 专业 班 姓名 学号 第二节 逆 矩 阵 一．选择题 1．设* A 是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则 [ B ] （A ）1 -* =A A A （B ）1 -* =n A A （C ）* * =A A n λλ)( （D ）0)(=* *A 2．设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则 [ C ] （A ）A +B 是n 阶可逆矩阵 （B ）A +B 是n 阶不可逆矩阵 （C ）AB 是n 阶可逆矩阵 （D ）|A +B | = |A |+|B | 3．设A 是n 阶方阵，λ为实数，下列各式成立的是 [ C ] （A ） A A λλ= （ B ）A A λλ= （ C ）A A n λλ= （ D ）A A n λλ= 4．设A ，B ，C 是n 阶矩阵，且ABC = E ，则必有 [ B ] （A ）CBA = E （B ）BCA = E （C ）BAC = E （D ）ACB = E 5．设n 阶矩阵A ，B ，C ，满足ABAC = E ，则 [ A ]