2015年高考不等式选讲专题复习
【知识要点】
一、绝对值不等式：
定理1 如果a, b 是实数，则|a+b|≤|a|+|b| ， 当且仅当ab ≥0时，等号成立。
（绝对值三角不等式）如果a, b 是实数，那么 |a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|
定理2 如果a, b, c 是实数，那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|，当且仅当(a-b)(b-c)≥0时，等
号成立。
二、几个著名不等式：
①平均不等式：11
22a b a b --+≤≤+,a b R +
∈（，当且仅当a b =时取""=号）.（即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均）.
变形公式： 222;22a b a b ab ++??≤≤ ???
2
22
().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式： 222212121
...(...).n n a a a a a a n
+++≥+++ ③二维形式的三角不等式：
≥1122(,,,).x y x y R ∈
④二维形式的柯西不等式： 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当
ad bc =时，等号成立.
⑤三维形式的柯西不等式： 2222222123123112233()()().a a a b b b a b a b a b ++++≥++ ⑥一般形式的柯西不等式： 2222221212(...)(...)n n a a a b b b ++++++21122(...).n n a b a b a b ≥+++ ⑦向量形式的柯西不等式：设,αβ是两个向量，则,αβαβ?≤当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使k αβ=时，等号成立.
⑧排序不等式（排序原理）：设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤为两组实数.12,,...,n c c c 是
12,,...,n b b b 的任一排列，则12111122......n n n n n a b a b a b a c a c a c -+++≤+++1122....n n a b a b a b ≤+++
（反序和≤乱序和≤顺序和），当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时，反序和等于顺序和.
⑨琴生不等式:（特例:凸函数、凹函数）若定义在某区间上的函数()f x ,对于定义域中任意两点1212,(),x x x x ≠有12121212()()()()()(
).2
2
22
x x f x f x x x f x f x f f ++++≤≥或
则称f(x)为凸（或
凹）函数.
【经典例题】
例1、解绝对值不等式：
(1)解不等式：122x x -+-≤ (2)解关于x 的不等式：()()2
log log 2,01a a x ax a <-<<
例2、已知m n n m n m n m b a b a b a n m b a +≥+>>>>++求证：,0,0,0,0(比较法)
例3、已知,+
∈R c b a 、、求证：.21<+++++ c c c b b b a a （综合法） 例4、已知.2b a c R b a +>∈+ ， 、求证：ab c c a ab c c -+<<--22（分析法） 例5、若 ，则 、 、 中至少有一个不等于0．（反证法） 例6、已知a ，b ，c ，d>0，求证2c a d d b d c c a c b b d b a a 1<+++++++++++< ．（放 缩法） 例7、证明:222111112(,2).23≥n N n n n +++?+<-∈ （数学归纳法） 例8、设，利用排序不等式证明： 例9、，利用柯西不等式证明：。 【经典习题】 一、选择题： 1、已知R b a ∈,，且0 A. b a b a ->+ B. b a b a -<+ C. b a b a -<- D. b a b a +<- 2、 ，不等式取等号的条件是（ ） A B C D 3、设 ，下列最小的是（ ） A B C D 4、若四个实数 满足 ，则 的最大值为（ ） A 1 B C D 5、是非零实数，，，则M 与N 的大小关系为 （ ） A B C D 6、若实数 满足 ，则的最小值是（ ） A 2 B 1 C D 7、 ，且 ，的最小值是（ ） A 20 B 25 C 36 D 47 8、已知，且满足 ，那么 的最大值是 （ ） A 25 B 50 C D 625 9、已知 ，且 ，则 的取值范围是（ ） A B C D 10、已知f(n)=(2n+7)·3n +9,存在自然数m,使得对任意n∈N,都能使m 整除f(n)，则最大 的m 的值为( ) A.30 B.26 C.36 D.6 11、设实数,,,a b x y 满足2 2 2 2 1,3a b x y +=+=，则ax by +的最大值是（ ）. (A)2 12、设,,a b c R + ∈，则bc ca ab P Q a b c a b c = ++=++与的大小关系是（ ）. (A)P Q < (B)P Q ≤ ( C)P Q > (D)P Q ≥ 二、填空题： 1、设函数)2(,3|12|)(-++-=f x x x f 则= ；若5)(≤x f ，则x 的取值范围是 。 2、若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，则实数a 的取值范围为______。 3、 ，则 的最大值是 4、设，那么的最小值是 5、设 ，那么 的最小值是 ． 6、设 ，则的最小值是 ，此时x= ，y= z= . 7、.观察下列式子：2 22 2213 1151117 1,1,122 233 2344 + <+ +<+ ++< …则可归纳出____ _____. 8、已知112a = , 133 n n n a a a +=+, 则2345,,,a a a a 的值分别为_____ ____，由此猜想 n a =_________. 三、解答题： 1、已知a,b,c 均为正数，求证：a c c b b a c b a +++++≥++111212121 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证：31222≥ ++c b a 3、已知a、b、c为正数，求证： ) 3 (3 ) 2 (23abc c b a ab b a - + + ≤ - + 4 6、求证： 1115 (2,) 1236 n n N n n n * +++>≥∈ ++ 7、已知a, b, c∈R+, 求证： 121212 101010 a b c a b c bc ca ab ++≥++. 8、已知，利用柯西不等式证明：。 9、（2010年高考福建卷理科）已知函数。 （Ⅰ）若不等式的解集为，求实数的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。 10、（2014届安徽省屯溪一中高三第一次月考数学试卷）定义域为的函数满足 ,当∈时， (1）当∈时，求的解析式； (2）当x ∈时，≥恒成立，求实数的取值范围． 11、（2014届江西省百强中学高三上学期第二次月考数学试卷） ()()0ln >--=a x a x x f . （1）若,1=a 求()x f 的单调区间及()x f 的最小值; （2）试比较2 22222ln 33ln 22ln n n +++ 与()()()12121++-n n n 的大小.()2≥∈* n N n 且,并证明你的结论. R ()f x )(3)2(x f x f =+x []2,0x x x f 2)(2-=x []2,4--()f x []2,4--()f x )3 (181t t -t 12（2014届湖北省荆州中学高三年级第一次质量检测数学试卷）设函数 ()． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）试通过研究函数（）的单调性证明：当时， （Ⅲ）证明：当,且均为正实数, 时． (1)(1)m n n m +<+1122 22 312 2013 123 1()()11112014 n n n x x x x x x x x +++ +>++++()(1)ln(1)f x x x x =-++1x >-()f x ln(1) ()x g x x += 0x >0n m >>2013n >123,,, ,n x x x x 1231n x x x x ++++= 2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲 一、填空题 1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））若关于实数x 的不等式 53x x a -++<无解,则实数a 的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞ 2 ．（2013年高考陕西卷（理））(不等式选做题) 已知a , b , m , n 均为正数, 且a +b =1, mn =2, 则 (am +bn )(bm +an )的最小值为_______. 【答案】2 3 ．（2013年高考江西卷（理））(不等式选做题)在实数范围内,不等式211x --≤的解集为_________ 【答案】[]0,4 4 ．（2013年高考湖北卷（理））设 ,,x y z R ∈,且满足:2221x y z ++=,23x y z ++=,则x y z ++=_______. 【答案】 二、解答题 5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））选修4—5;不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 【答案】 6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））选修4-5:不等式选讲 已知函数()f x x a =-,其中1a >. (I)当=2a 时,求不等式()44f x x ≥=-的解集; (II)已知关于x 的不等式()(){} 222f x a f x +-≤的解集为{}|12x x ≤≤,求a 的值. 【答案】 7 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））不等式选讲:设不等式 *2()x a a N -<∈的解集为A ,且32A ∈,12 A ?. (1)求a 的值; (2)求函数()2f x x a x =++-的最小值. 【答案】解:(Ⅰ)因为32A ∈,且12A ?,所以322a -<,且122 a -≥ 解得1322 a <≤,又因为*a N ∈,所以1a = [来源:12999数学网] (Ⅱ)因为|1||2||(1)(2)|3x x x x ++-≥+--= 当且仅当(1)(2)0x x +-≤,即12x -≤≤时取得等号,所以()f x 的最小值为3 8 ．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））D.[选修4-5: 不定式选讲]本小题满分10分. 已知b a ≥>0,求证:b a ab b a 223322-≥- [必做题]第22、23题,每题10分,共20分.请在相应的答题区域内作答,若多做,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【答案】D 证明:∵=---b a ab b a 223322()=---)(223223b b a ab a () )(22222b a b b a a --- 16 不等式选讲 选考内容 （二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）. （2）. （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式： （2）. （3）. （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立. 7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等. 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解 样题1 （2018新课标全国Ⅱ理科）设函数 ． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围． 样题2 （2018新课标全国Ⅲ理科）设函数 ． （1）画出()y f x =的图象； （2）当[)0x +∞∈，，，求a b +的最小值． 【解析】（1）()y f x =的图象如图所示． 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 选修4-5不等式选讲高考题汇编 1. (2008广东理) 已知R a ∈，若关于x 的方程04 12=+-++a a x x 有实根， 则a 的取值范围是_______. 2、(2008海南、宁夏理)已知函数|4||8|)(---=x x x f 。（1）作出函数)(x f y =的 图像；（2）解不等式2|4||8|>---x x 。 3、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：3 3 3 11123a b c + + +abc ≥． 4、（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知c b a ,,均为正数，证明：3 6)111( 2 2 2 2≥+ + +++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何 值时，等号成立。 5、（10年福建）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。 （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围。 选修4-5不等式选讲高考题汇编 1、(2008广东理) 已知R a ∈，若关于x 的方程04 12=+-++a a x x 有实根， 则a 的取值范围是_______. 2、(2008海南、宁夏理)已知函数|4||8|)(---=x x x f 。（1）作出函数)(x f y =的 图像；（2）解不等式2|4||8|>---x x 。 3、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：3 3 3 11123a b c + + +abc ≥． 4、（2010辽宁理数）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知c b a ,,均为正数，证明：3 6)111( 2 2 2 2≥+ + +++c b a c b a ，并确定c b a ,,为何 值时，等号成立。 5、（10年福建）选修4-5：不等式选讲已知函数()||f x x a =-。 （Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值 范围。 高考数学《不等式选讲》专项复习 一、考纲解读 1.了解绝对值的几何意义，会利用绝对值的定义解不等式，利用绝对值不等式证明不等式和求最值. 2.了解柯西不等式及其几何意义，会用它来证明不等式和求最位. 3.了解基本不等式，会用它来证明不等式和求最值. 4.会用综合法、分析法、反证法及数学归纳法证明不等式. 二、命题趋势探究 本节内容为新课标新增内容，是高考选考内容.题型以含绝对值的不等式的解法和证明为重要考点，不等式的应用为次重要考点，不等式证明放在一般位置，难度为中档. 三、知识点精讲 (一).不等式的性质 1.同向合成 （1）, >>?>； a b b c a c （2）,c >>?+>+； a b d a c b d （3）0,c0 >>>>?>. a b d ac bd （合成后为必要条件） 2.同解变形 >?+>+； （1）a b a c b c （2）0,0, >?>>?<<； a b c ac bc c ac bc （3）11 000a b b a >>? >>?>>. （变形后为充要条件） 3.作差比较法 0,0a b a b a b a b >?>->-<<；0,||,a x a x a x a >>?>><-或 （2）22||||a b a b >?> （3）||||x a x b c +++<零点分段讨论 (三).基本不等式 （1）222a b ab +>（当且仅当等号成立条件为a b =） （2）0,0, 2 a b a b +>>≥a b =） ； 0,0,0, 3 a b c a b c ++>>>≥a b c ==时等号成立） （3）柯西不等式 22222()()()a b c d ac bd ++≥+（当且仅当ad bc =时取等号） ①几何意义：||ad bc ??+≤a b a b ||||||≤②推广：22222 2 212 121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++ +≥++ +.当且仅当向量 12(,,,)n a a a a =与向量12(,,,)n b b b b =共线时等号成立. 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 分类汇编：不等式选讲 2014年真题： 1．[2014·卷] 不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5的解集为________． 1．(－∞，－3]∪[2，＋∞) 2．[2014·卷] 若关于x 的不等式|ax －2|＜3的解集为? ????? x －53＜x ＜13，则a ＝________． 2．－3 3．[2014·卷] A ．(不等式选做题)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2 的最小值为________． 3．A. 5 4．[2014·卷] 若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2 ＋12 a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值围是________． 4.? ?????－1，12 5．[2014·卷] (1)(不等式选做题)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．(1)C 6．[2014·卷] (Ⅲ)选修4-5：不等式选讲 已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a . (1)求a 的值； (2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2 ≥3. 6. (Ⅲ)解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立， 所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3. (2)由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又p ，q ，r 是正实数， 所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2 ＝9， 即p 2＋q 2＋r 2 ≥3. 7．[2014·卷] 选修4-5：不等式选讲 设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2 －8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ； (2)当x ∈M ∩N 时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2 ≤14 . 7．解：(1)f (x )＝? ????3x －3，x ∈[1，＋∞）， 1－x ，x ∈（－∞，1）. 当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤4 3 ； 当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集M ＝? ????? x 0≤x ≤43. (2)由g (x )＝16x 2 －8x ＋1≤4得16? ?? ??x －142≤4，解得－14≤x ≤34， 因此N ＝? ????? x －14≤x ≤34， 2020年高三二轮复习讲练测之讲案【新课标版理科数学】 专题四数列与不等式 考向一等差数列与等比数列的计算问题 【高考改编☆回顾基础】 1．【等差数列的通项公式、求和公式】【2018年新课标I卷改编】设为等差数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【解析】 设该等差数列的公差为， 根据题中的条件可得， 整理解得，所以. 2. 【等比数列的通项公式】【2017课标3，理14】设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1– a3 = –3，则a4 = ___________. 【答案】8- 3. 【等差的通项公式及求和公式、等比中项】【2017课标3改编】等差数列{}n a的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则{}n a前6项的和为 . - 【答案】24 【解析】 【命题预测☆看准方向】 等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查; 对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中 项、等比中项、通项公式和前n 项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n 项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合. 预测2019年数列问题将保持一大一小的命题形式，且小题也可能将等差数列与等比数列综合考查. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2018年全国卷II 理】记为等差数列的前项和，已知 ， ． （1）求 的通项公式； （2）求，并求的最小值． 【答案】（1）a n =2n –9，（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【趁热打铁】【2017·全国卷Ⅱ改编】已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2， a 3＋ b 3＝5，则{b n }的通项公式为 ________．【答案】b n ＝2n －1 【解析】设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ， 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3，① 由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.② 联立①②，解得?????d ＝3，q ＝0 (舍去)或? ????d ＝1，q ＝2. 因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1. 【例2】【2017·江苏卷】等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝63 4，则a 8＝________. 【答案】32 【趁热打铁】【2018届湖北省潜江市城南中学高三期中】若正项等比数列{}n a 满足243a a +=， 351a a =，则公比q =_________， n a =_________． 【答案】 2 2 222n - 专题十五不等式选讲大题 （一）命题特点和预测： 分析近8年全国新课标1不等式选讲大题，发现8年8考，主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题.2019年不等式选讲大题仍将主要考查绝对值不等式的解法（出现频率太高了，应当高度重视）、不等式恒成立或有解求参数的范围，考查利用不等式的性质、基本不等式、绝对值不等式性质求最值或证明不等式，难度为基础题. （二）历年试题比较： ． 时，求不等式 时不等式成立，求的取值范围． 已知函数， 的解集； 的解集包含 已知函数 ？并说明文由 ( )≤ 【解析与点睛】 （2018年）【解析】（1）当时，，即 故不等式的解集为． （2）当时成立等价于当时成立．若，则当时； 若，的解集为，所以，故． 综上，的取值范围为． （2017年）【解析】 x>时，①式化为，从而. 当1 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法，也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. （2016年）【解析】（I） y=的图像如图所示. f ) (x （II ）由)(x f 的表达式及图像，当1)(=x f 时，可得1=x 或3=x ； 当1)(-=x f 时，可得3 1 = x 或5=x ， 故1)(>x f 的解集为{} 31< 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 不等式选讲知识点归纳及近年高考真题 考点一：含绝对值不等式的解法 例1．(2011年高考辽宁卷理科24)已知函数f （x ）=|x-2|-|x-5|. （I ）证明：-3≤f （x ）≤3；（II ）求不等式f （x ）≥x 2-8x+15的解集. 解：（I ）3, 2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -≤?? =---=-<+-=a x a x x f （1）当1=a 时，求不等式23)(+≥x x f 的解集；(2)如果不等式0)(≤x f 的解集为{} 1-≤x x ，求a 的值。 高考不等式问题专题复习 一、不等式基础题 1、不等式x 2+1＞2x 的解集是 ( ) A.{x|x ≠1,x ∈R} B.{x|x ＞1,x ∈R} C.{x|x ≠-1 ,x ∈R } D. {x|x ≠0,x ∈R} (00年成人) 2、不等式|x+3|＞5的解集为 ( ) A.{x|x ＞2|} B.｛x|x ＜-8或x ＞2｝ C.{x|x ＞0} D.{x|x ＞3} (01年成人) 3、二次不等式x 2 -3x+2<0的解集为 ( ) A.{x ︱x ≠0} B.{x ︱1 专题16 不等式选讲 选考内容 （二）不等式选讲 1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1） a b a b . （2）a b a c c b . （3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： ; ;ax b c ax b c x a x b c . 2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明 . （1）柯西不等式的向量形式： ||||||.（2） 22222()(+)()a b c d ac bd . （3）222222121223231313()()()()()()x x y y x x y y x x y y . （此不等式通常称为平面三角不等式.） 3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 4．会用向量递归方法讨论排序不等式. 5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明 一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式： 了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立 . 7．会用上述不等式证明一些简单问题 .能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法. 1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等. 2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等 . 3．从考查热点来看，重点在于考查学生解不等式及利用不等式求解最值问题等，绝对值不等式与函数问题的综合是高考的趋势，值得关注. 考向一 绝对值不等式的求解样题1 （2017新课标全国Ⅰ理科）已知函数 2–4()x ax f x ，11()x x g x ||||. （1）当a =1时，求不等式 ()()f x g x 的解集；（2）若不等式()()f x g x 的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 所以a 的取值范围为[1,1]. 【名师点睛】零点分段法是解答绝对值不等式问题常用的方法， 也可以将绝对值函数转化为分段函数，借助图象解题. 其他不等式综合问题 例1：（第26届美国数学奥题之一）设a、b、c∈R+，求证： （1） 分析；最初，某刊物给出了一种通分去分母的较为复杂的证法，这里试从分析不等式的结构出发，导出该不等式的编拟过程，同时，揭示证明此类问题的真谛，并探索其推广命题成功的可能性。 思考方向：（1）的左边较为复杂，而右边较为简单，所以，证明的思想应该从左至右进行, 思考方法：（1）从左至右是一个由简单到复杂的逐步放大过程，所以，一个简单的想法就是将各分母设法缩小，但考虑到各分母结构的相似性，故只要对其中之一做恰倒好处的变形，并构造出右边之需要即便大功告成. 实施步骤；联想到高中课本上熟知的不等式： x3+y3≥x2y+xy2=xy(x+y) (x、y∈R+)（*） 知（1）的左端 这一证明是极其简单的，它仅依赖高中数学课本上的基础知识，由此可见，中学课本上的知识也能用来攻克高层次的数学竞赛题，看来，我们要好好守住课本这快阵地。 （1）刻画了3个变量的情形，左端的三个分式分母具有如下特征：三个字母中取两个的三次方与这三个变量的乘积之和，那么，对于更多个变量会有怎样的结论？ 以下为行文方便，记（1）的左端为 ，表示对a、b、c轮换求和，以下其它的类似处理，不再赘述, 为了搞清多个变量时（1）的演变，首先从4个变量时的情形入手, 推广1：设a、b、c、d∈R+，求证： 。（2） 分析：注意到上面的（*），要证（2），需要证 x4+y4+z4≥xyz(x+y+z)（**） （**）是（*）的发展，它的由来得益于证明（1）时用到的（*），这是一条有用的思维发展轨道。 事实上，由高中数学课本上熟知的不等 式x2+y2+z2≥xy+yz+zx易知 x4+y4+z4≥x2y2+y2z2+z2x2≥xy·yz+yz·zx+zx·xy=xyz(x+y+z),这样 （**）得证, 从而（2）便可仿（1）不难证明，略, 推广2：设ai∈R+(i=1、2、3，…，n),求证： 。（3） 有了前面的推广1的证明，这里的推广2的证明容易多了，联想（**），只要能证明 近四年全国卷高考试题不等式选讲汇编2016全国一卷理科 (24)(本小题满分10分)，选修4 —5 :不等式选讲 已知函数f(x)= I x+1 I - I 2x-3 I . (I)在答题卡第(24)题图中画出y= f(x)的图像; (II)求不等式I f(x) I> 1的解集 2016全国二卷理科 (24)(本小题满分10分)，选修4 —5 :不等式选讲 1 1 已知函数f(x)= I x- I + I x+ I, M为不等式f(x) v 2的解集2 2 (I)求M ; (II)证明：当a,b€ M 时，I a+b I vI 1+ab I。 2016全国三卷理科 24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f(x) |2x a | a (I)当a=2时，求不等式f(x) 6的解集； (II)设函数g(x) 12x 1|,当x R时，f(x)+g( x)》3求a的取值范围 2015全国一卷理科 (24)(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 已知函数=|x+1|-2|x-a|, a>0. (I)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集； (U)若f(x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围2015全国二卷理科24.(本小题满分10分) 选修4 - 5 :不等式选讲 设a, b, c, d均为正数，且 a + b = c + d，证明： (1 )若ab > cd;则Ja . b 、.c Jd ; (2) . a ,;b . c . d 是| a b | | c d | 的充要条件。 2014全国一卷理科 24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲 考点48 基本不等式(练习) 【题组一 直接型】 1．若，都是正数，且，则 的最大值为 。 a b 2a b +=()()11a b ++ 2．已知数列是等差数列，且，若，则的最大值_____. {}n a 0n a >12100500a a a ++?+=5051a a ? 3．若，则的最大值是 。 102a << ()12a a - 【题组二 换1型】 1．正实数 满足：，则的最小值为_____. ,x y 21x y +=21x y + 2．已知，，则的最小值为_______________； 0,0a b >>122a b +=a b + 3.若a ，b ，c 都是正数，且a ＋b ＋c ＝2，则 ＋的最小值是________． 4a ＋11b ＋c 4．已知，则的最小值为 。 1,0,2a b a b >>+=1112a b +- 【题组三 配凑型】 1．已知，求函数的最小值是 。 1x >-11y x x =+ + 2．若，则的最小值是 。 1a >11a a + - 3．已知实数，， ，则的最小值是 。 0a >0b >11111a b +=++2+a b 【题组四 消元型】 1．若正实数，满足，则的最小值为______. x y 2210y xy +-=2x y + 2．已知，则的最小值是_______． 22451(,)x y y x y R +=∈22x y + 3．已知实数满足，则的最小值为 。 ,x y 22455--=x xy y 222x y + 4．已知、为正实数，满足，则的最小值为______. x y 427x y xy ++=2x y + 【题组五 求参数】 1.设正实数满足，不等式恒成立，则的最大值为______。 , x y 1,12x y >>224121 x y m y x +≥--m 2．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的范围是 。 0x >0y >280x y xy +-=a x y ≤+a 3.已知，，当时，不等式恒成立，则的取值范围是 。 0m >0xy >2x y +=24m x y +≥m 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1； 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空： a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a － b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a . 2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A 、ab ＞0 B 、a b > C 、a －b ＞0 D 、a ＋b ＞ 0 1.与2x <6不同解的不等式是（ ） A.2x +1<7 B.4x <12 C.－4x >－12 D.－2x <－6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1 x x +?-???--???-≥?? : 此类试题易错知识辨析 （1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 5 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______． 6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠2 7.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜ 3-a b ，那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6 D.无数个 2.不等式4x － 41141+ 高三数学复习 不等式选讲 题型剖析·真题训练 题型1:含绝对值的不等式的解法 【典型例题】 【例1】?(1)解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3. ?(2)(2013江西)不等式||x －2|－1|≤1的解集为 ． ?(3)(2013重庆)若关于实数x 的不等式|x －5|＋|x ＋3|-1,且当1[,)22 a x ∈-时,f (x )≤g (x ),求a 的取值范围. 【例3】(1)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－m. (I)当m＝5时,求f(x)>0的解集； (II)若关于x的不等式f(x)≥2的解集是R,求m的取值范围． ?(2)已知函数f(x)＝|x－a|. (I)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5},求实数a的值； (II)在(I)的条件下,若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围． 【变式训练】 1.(2012山东)若不等式|kx-4|≤2解集为{x|1≤x≤3},则k=___. 2.不等式|x＋1| |x＋2| ≥1的实数解为__________． 3.(2015山东理)不等式|1||5|2 x x ---<的解集是 (A)(,4) -∞(B) (,1) -∞(C) (1,4)(D) (1,5) 4.(2013辽宁)已知函数f(x)＝|x－a|,其中a＞1. (1)当a＝2时,求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集； (2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2},求a的值． 5.[2011课标]设函数f(x)＝|x－a|+3x,其中a>0. (I)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集； (II)若不等式f(x)≤0的解集为{|1} x x≤-,求a的值.2013年全国高考理科数学试题分类汇编16：不等式选讲
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