双重最值问题的解决策略 高三数学选择填空难题突破
形如求()()()
{}{}1122max min ,,,n n f x f x f x ???等的问题称为“双重最值问题”
．按其变元的个数可分为一元双重最值问题和多元双重最值问题．在本文中，提供一个常用的结论，取不同的值可得到很多命题．一个结论：设x ，0y >，p ，q ，α为正常数，则
（1）()1111min max ,,px qy p q x y ααα+????+=+????????；
（2）()1111max min ,,px qy p q x y ααα+????+=+???????
?． 证明：设11max ,
,t px qy x y αα??=+????
，则1t x ≥，1t y ≥1x t ?≥，1
y t ≥，
所以()1
1
1p q p q t px qy t p q t p q t t t
α
α
ααααα+++≥+=+=?≥+?≥+，
当且仅当11
1x y p q α+??
== ?
+??
时取等，即()1111min max ,,px qy p q x y ααα+????+=+???????
?．
【题型综述】
一、一元双重最值问题
1．分段函数法：分类讨论，将函数写成分段函数形式，求函数值域即可． 例1：若R x ∈，求(){}F min 21,2,6x x x x =++-+的最大值．
解：由2121x x x +≤+?≤，由262x x x +≤-+?≤，由5
2163
x x x +≤-+?≤
，故可得 ()()()()
211F 21262x x x x x x x +≤??
=+<≤??
-+>?，对每一段求值域可知当2x =时，()F x 取得最大值4．
2．数形结合法：分别画出几个函数图象，结合图象直接看出最值点，联立方程组求出最值． 例2：（2007年浙江数学竞赛）设(){}
2
min 24,1,53f x x x x =++-，求()max f x ．
解：分别画出24y x =+，2
1y x =+，53y x =-的图象， 得到()f x 的图象如粗体部分所示．
联立24y x =+，2
1y x =+解得()1,2A -，
联立2
1y x =+，53y x =-解得()1,2B ，
故由图可知当1x =±时，()f x 的最大值为2．
二、多元一次函数的双重最值问题
1．利用不等式的性质
例3：设0i x ≥（1i =，2，3，4，5），5
1
1i
i x
==∑，{}12233445max ,,,x x x x x x x x M =++++，求M 的
最小值．
解：由12
3445x x x x x x
M ≥+??
M ≥+??M ≥+?
123454132113x x x x x x ?M ≥++++=+≥?M ≥，
当40x =，3513x x ==
，1213x x +=时，M 取得最小值1
3
． 2．利用绝对值不等式
例4：求函数()2f x x a =-在区间[]1,1-上的最大值()a M 的最小值．
解：注意到()()11f f -=，且()()()()201111a f f a a a a M ≥+=+-≥+-=， 所以()12a M ≥
，当且仅当1a a =-，即12a =时，()a M 取得最小值12
． 3．利用均值不等式
例5：（2002年北京高中数学竞赛）若a ，0b >，求2211
min max ,,a b a b ????+????????
．
解：设22
11max ,,t a b a b
??=+????
，则1t a ≥
，1t b
≥，22
t a b ≥+，
所以()223
22
1122a b ab t a b t a b ab ab
+≥??+=
≥=?≥
当且仅当
a b ==
，t ，即2211min max ,,a b a b ????+=???????
?． 4．利用柯西不等式
例6：若a ，b ，0c >且a b c ++=22min max ,,232323a b c a b c b c a c a b ??????
????++++++??????
．
解：设222
max ,,232323a b c t a b c b c a c a b ??=??++++++??
，
则223a t a b c ≥++，223b t b c a ≥++，2
23c t c a b
≥++，由柯西不等式得
()
()2
222
323232366a b c a b c a b c t t a b c b c a c a b a b c ++++≥++≥
==?≥++++++++
当且仅当a b c ===取等，即222min max ,,232323a b c a b c b c a c a b ??????
=????
++++++?????
?． 5．分类讨论
例7：若a ，0b >，求14min max ,,
a b a b ??
??+????????
的值． 解：设14max ,,t a b a b ??=+????，则t a ≥，t b ≥，14t a b
≥+，
①当a b ≥时，14145t a b a a a ≥
+≥+=，5
2t a a ≥+≥a b ==
②当b a ≥时，14145t a b b b b ≥+≥+=，5
2t b b
≥+=a b ==
综上，t ≥，当且仅当a b ==14min max ,,
a b a b ??
?
?+=????????
6．待定系数法
例8：若a ，0b >，求14min max ,,
a b a b ??
??+????????
的值．
解：设14max ,,
t a b a b ??=+????，则t a ≥，t b t a λλ≥?≥，t b μμ≥，且14t a b ≥+， ()(
)14444a b
t t t a b a b b a λμλμλμλμλμ??+?≥++=+++≥++
???
2t ?≥
，当且仅当a b t ==且4a b b a λμ=
时取等， 即4μλ=
，a b ==
2
5t t ≥?≥
14min max ,,
a b a b ??
?
?+=????????
7．构造函数
例9：设a ，b ，R c ∈，()32
f x x ax bx c =+++（11x -≤≤），求(){}
min max f x ．
解：注意到()f x 为3次函数且[]1,1x ∈-，联想到三倍角公式3
cos34cos 3cos θθθ=-，
因此先构造特殊函数()3
3
4
f x x x =-
，[]1,1x ∈-，若设cos x θ=，[],θππ∈-， 则()()3
114cos 3cos cos344f x θθθ=-=，从而(){}
1max 4
f x =，
当且仅当30θ=，π±，2π±，3π±，即1x =±或12x =±时取等，故猜测(){}
1
min max 4
f x =．
设()max t f x =，注意到()()113
1122222f f f f ??
??---+-=
? ?????
（可用待定系数法求得）， 故()()()()1111361122112222222
t f f f f f f f f ????????≥+-++-≥---+-= ? ? ? ?????
??
??
， 即14t ≥
，考虑到()3
34f x x x =-，[]1,1x ∈-时，14t =，故(){}
1min max 4
f x =． 8．利用韦达定理
例10：若a ，b ，0c >且12a b c ++=，45ab bc ca ++=，求{}{}
min max ,,a b c ．
解：注意到a ，b ，c 的对称性，故可设{}max ,,a a b c =，又12b c a +=-，()4512bc a a =--， 所以方程()()2
1245120x a x a a +-+--=有两个不大于a 的实根，故
()01220f a a
a ≥??
-?≤??
?≥??
56a ?≤≤，当5a b ==，2c =时，{}{}min max ,,5a b c =． 9．数形结合
例11：（2014浙江竞赛）若0a >，R b ∈且{
}{}2
max min 24,,532x ax b x
++-=，求a b +．
解：我们在同一坐标系中画出()124f x x =+，()22f x ax b =+，()353f x x =-的图象， 则由图可知当且仅当()2f x 过()1,2A -，()1,2B 时， 才有{
}{}2
max min 24,,532x ax b x ++-=，
所以2a b +=．
【同步训练】
1、（2013浙江预赛）设a ，0b >，求2
211min max ,,
a b a b ???
?+????????
． 【详细解析】
2、（2006浙江预赛）若a ，b ，0c >，求2323
111max min ,
,,a b c a b c ????++????????
． 【详细解析】 设2323111min ,
,,t a b c a b c ??=++????
，则1t a ≤，21t b ≤，3
1t c ≤， 1
a t ?≤，21
b t ≤，31
c t ≤，故233
t a b c t t
≤++≤?≤，
当且仅当2
3
a b c ===
t =2323111max min ,,,a b c a b c ????++=???????
?．
专题一 选填重难点题型突破 题型一 巧解选择、填空题 一、排除法 1．(2017·玉林)一天时间为86400秒，用科学记数法表示这一数字是( C ) A ．864×102 B ．86.4×103 C ．8.64×104 D ．0.864×105 2．(2017·永州)在同一平面直角坐标系中，函数y ＝x ＋k 与y ＝k x (k 为常数，k ≠0)的 图象大致是( B ) 3．如图所示的三视图所对应的几何体是( B ) (导学号 58824218) 4．(2017·绥化)把一张正方形纸片如图①、图②对折两次后，再按如图③挖去一个三角形小孔，则展开后图形是( C ) 二、验证法 1．(2017·无锡)某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是( C ) A ．20% B ．25% C ．50% D ．62.5% 2．(2017·临沂)在△ABC 中，点D 是边BC 上的点(与B ，C 两点不重合)，过点D 作DE∥AC，DF ∥AB ，分别交AB ，AC 于 E ， F 两点，下列说法正确的是( D ) A ．若AD⊥BC，则四边形AEDF 是矩形 B ．若AD 垂直平分B C ，则四边形AEDF 是矩形 C ．若B D ＝CD ，则四边形AEDF 是菱形
D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是菱形 ,第2题图) ,第3题图) 3．(2017·河北)图①和图②中所有的小正方形都全等，将图①的正方形放在图②中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是( C ) A ．① B ．② C ．③ D ．④ 三、特殊值法 1．当0
中考选填空题 难题汇总 1.如图,矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C 1处,BC 1交AD 于点E,AD=10,AB=5，则DE 的长为 ． 2.如右图,正方形纸片ABCD 的边长为3,点E,F 分别在边BC,CD 上,将AB,AD 分别沿AE,AF 折叠,点B,D 恰好都落在点G 处.已知BE=1,则EF 的长为 . 3.如图,AB=4,射线BM 和AB 互相垂直,点D 是线段AB 上的一个动点,点E 在射线BM 上,DB BE 2 1=,作EF ⊥DE 并截取EF=DE,连结AF 并延长交射线BM 于点C.设x BE =,y BC =,则y 关于x 的函数解析式是 4.如图,现有两个边长为1:2的正方形ABCD 和A /B /C /D /，已知点B 、C 、B /、C /在同一条直线上，通过截割、 平移、旋转的方法，拼出两个相似比为1:3的三角形. (1)求=''''D C B A ABCD S S 正方形正方形 ； (2)借助原图拼图，并简要说明过程: 5.有5个相同的小正方形组成的十字形纸片,现需要将该纸片剪拼成一个与它面积相等的大正方形的纸片,如果限定裁剪线为两条,能否做到 （填能或不能）若能:请确定裁剪线的位置;若不能:请简要说明 理由.
6.如图,△ABC 绕点A 顺时针旋转450得到△C B A ''若∠BAC=900,AB=AC=2,则图中阴影部分的面积等于 . 7.如图,若双曲线x k y = 与边长为5的等边△AOB 的边OA 、AB 分别相交于C 、D 两点,且OC=3BD,则实数k 的值为______ 8.如图,在扇形OAB 中,∠AOB=1100,半径OA=18,将扇形OAB 沿着过点B 的直线折叠,点O 恰好落在?AB 上的 点D 处,折痕交OA 于点C,则?AD 的长等于 9.如图,Rt △ABC 中,∠C=900,∠ABC=300 ，AB=6.点D 在AB 边上, (1)若D 为AB 三等分点，则CD= ； (2)点E 是BC 边上一点（不与点B 、C 重合），若DA=DE,则AD 的取值范围是___________________． 10.小敏在数学课外小组活动中遇到这样一个问题： 如果α，β都为锐角，且1tan 2α=，1tan 3 β=，求αβ+的度数． 小敏是这样解决问题的： 如图1,把α,β放在正方形网格中,使得ABD α∠=,CBE β∠=,且BA ，BC 在直线BD 的两侧,连接AC,可证得△ABC 是等腰直角三角形,因此可求得αβ+=∠ABC = °. 请参考小敏思考问题的方法解决问题： 如果α，β都为锐角,当tan 4α=，3tan 5 β= 时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α,画出∠MON=αβ-，由此可得αβ-=______°.
中考数学重难点突破专题二：作图问题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
专题二作图问题 类型1尺规作图 1．(2017·兰州)在数学课本上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程： 已知：直线l和l外一点P. 求作：直线l的垂线，使它经过点P. 作法：如图：(1)在直线l上任取两点A、B； (2)分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q； (3)作直线PQ. 参考以上材料作图的方法，解决以下问题： (1)以上材料作图的依据是：______________________________________________ (2)已知：直线l和l外一点P. 求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑) 解：(1)到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上
(2)如图⊙P 即为所求． 2．(2017·六盘水)如图，MN 是⊙O 的直径，MN ＝4，点A 在⊙O 上，∠AMN ＝30°，B 为AN ︵的中点，P 是直径MN 上一动点． (1)利用尺规作图，确定当PA ＋PB 最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹)． (2)求PA ＋PB 的最小值． 解：(1)如图1所示，点P 即为所求； (2)由(1)可知，PA ＋PB 的最小值即为A′B 的长，连接OA′、OB 、OA ，∵A′点为点A 关直 线MN 的对称点，∠AMN ＝30°，∴∠AON ＝∠A′ON ＝2∠AMN ＝2×30°＝60°，又∵B 为AN ︵的中点，∴AB ︵＝BN ︵，∴∠BON ＝∠AOB ＝12∠AON ＝30°，∴∠A′OB ＝60°＋30°＝90°，又 ∵MN ＝4，∴OA′＝OB ＝12MN ＝12×4＝2.∴在Rt △A′OB 中，A′B ＝22，∴PA ＋PB 的最小值 为2 2. 3．(2017·舟山)如图，已知△ABC ，∠B ＝40°. (1)在图中，用尺规作出△ABC 的内切圆O ，并标出⊙O 与边AB ，BC ，AC 的切点D ，E ，F(保留痕迹，不必写作法)； (2)连接EF ，DF ，求∠EFD 的度数． 解：(1)如图1，⊙O 即为所求．
高考数学选择题满分答题技巧 前面讲到，高考选择题占高考分数比重十分可观，750分中约有320分为选择题，占总分的45%左右。其中数学选择题的分数为60分，而且单项分数很高，两道选择题的分数等于一道大题的分数。学生的在选择题这类题型上，又普遍失分严重，据不完全统计，400分左右的学生，选择题丢分高达150~240分。500分左右的学生选择题丢分80~150分。所以，一直以来，选择题是拉开同学们分数距离的一条屏障，老师总是利用选择题的特点，让高考的选拔形成梯度。如果选择题不丢分，同学们的总分就可以大幅度的提升，快速跨越当前的局限。 解答高考选择题既要求准确破解，又要快速选择，正如《考试说明》中明确指出的，应“多一点想的，少一点算的”。我们都会有算错的时候，怎样才不会算错呢？“不算就不会算错” 因此，在解答时应该突出一个＂选＂字，尽量减少书写解题过程，在对照选择支的同时，多方考虑间接解法，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取。我们不要给任何“方法”做出限定，重要的是这种解答的思想方式。下面略举数例加以说明： 快速解题思维一、利用题目中的已知条件和选项的特殊性。对于具有一般性的数学问题，我们在解题过程中，可以将问题特殊化，利用问题在某一特殊情况下不真，则它在一般情况下不真这一原理，达到去伪存真的目的。 大家看题目，就可以看到所有选项都是数值。并且这个数值正是我们所求的k1k2的值。这么说来，无论任何情况下，都能满足这个条件。于是我们可以令A、B分别为椭圆的长轴上的两个顶点，C为短轴上的一个顶点，那么就极大地简化了计算过程，省去了“标准答案”中提供的设置未知数，产生庞大的计算量。通过特殊图形的构建，就能简化整个计算过程，最终得出选项为B（请大家自行计算）。 例2 △ABC中，a、b、c分别是角A、B、C所对的边，B是A和C的等差中项，则a+c与2b的大小关系是 （） A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c≤2b 大家看这道题，本题中没有给定三角形的具体形状，故说明任何三角形都可以得出一个唯一选项。所以我们不妨令A=B=C=600，则可排除A、B，再取角A，B，C分别为300，600，900，可排除C，故答案为D。
2019-2020年中考数学函数重点难点突破解题技巧传播十五 1、如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经 过点A、C、B的抛物线的一部分C 1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C 2 组合 成一条封闭曲线，我们把这条封 闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C 2 ：（＜0）的顶点． （1）求A、B两点的坐标； （2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM为直角三角形时，求的值． 【答案】解：（1）令y=0，则， ∵m＜0，∴，解得：，。 ∴A（，0）、B（3，0）。 （2）存在。理由如下： ∵设抛物线C1的表达式为（）， 把C（0，）代入可得，。 ∴Ｃ1的表达式为：，即。 设P（p，）， ∴ S△PBC = S△POC + S△BOP–S△BOC =。 ∵<0，∴当时,S△PBC最大值为。 （3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，）， ∴BD2=，BM2=，DM2=。 ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况： 当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=， 解得：, (舍去)。
当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2 ，即＋=， 解得：， (舍去) 。 综上所述， 或时，△BDM 为直角三角形。 【解析】（1）在中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标。 （2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值。 （3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即 可求得m 的值。 2、一次函数、二次函数和反比例函数在同一直角坐标系中图象如图，A 点为（－2，0）。则下列结论中，正确的是【 】 A ． B ． C ． D ． 【答案】D 。 【解析】将A （－2，0）代入，得。 ∴二次函数()2 22y ax bx ax 2ax a x 1a =+=+=+-。∴二次函数的顶点坐标为（－1，－a ）。 当x=－1时，反比例函数。 由图象可知，当x=－1时，反比例函数图象在二次函数图象的上方，且都在x 下方， ∴，即。故选D 。 （实际上应用排它法，由，也可得ABC 三选项错误） 3．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b ＜0；②4a+2b+c ＜0；③a ﹣b+c ＞0；④（a+c ）2＜b 2．其中正确的结论是 A ．①② B ．①③ C ．①③④ D ．①②③④ 【答案】C 【解析】 试题分析：①图象开口向上，对称轴在y 轴右侧，能得到：a ＞0，＞0，则b ＜0。正确。 ②∵对称轴为直线x=1，∴x=2与x=0时的函数值相等，∴当x=2时，y=4a+2b+c ＞0。错误。 ③当x=﹣1时，y=a ﹣b+c ＞0。正确。
高三理科数学限时训练 一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个 结论是正确的.) 1. 复数z 满足(2)z z i =+，则z =（ ） A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i -- 2. 已知实数a ≠0，函数2,1()2,1x a x f x x a x +
1、下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（）根火柴．A．156 B.157 C.158 D.159 2、把一个正三角形分成四个全等的三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，对剩下的 三个小正三角形再重复以上做法…一直到第n次挖去后剩下的三角形有______个． A.3n-1 B.3n C.3n+1 D.3n+2 次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（） A.502 B.503 C.504 D.505 4、图中的三角形是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层（n为正整数）三角形的个数，则下列函数关系式中正确的是（） A．y=4n-4 B.y=4n C. y=4n+4 D.y=n2
5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( ) A．2 B.4 C. 8 D16 A． 6、.如图6，直线与双曲线交于点A，将直线向上平移4个单 位长度后，与y轴交于点C，与双曲线交于点B，若OA=3BC，则k的值为（） A． 3 B.6 C. D. 7、如图，是反比例函数y=k1/x和y=k2/x（k1＜k2）在第一象限的图象，直线AB∥x轴，并分别交两条曲线于A、B两点，若S△AOB=2，则k2-k1的值为（） A． 1 B.2 C.4 D.8
8、如图，一条抛物线与x轴相交于A、B两点，其顶点P在折线C-D-E上移动，若点C、D、E的坐标分别为（-1，4）、（3，4）、（3，1），点B的横坐标的最小值为1，则点A的横坐标的最大值为（） A． 1 B.2 C.3 D.4
2013高三立体几何选择填空问题集(有难度有答案) 班级______姓名________ 一． 选择题 1．定点P 不在△ABC 所在平面内，过P 作平面α，使△ABC 的三个顶点到α的距离相等，这样的平面共有（ ） （Ａ）１个 （Ｂ）２个 （Ｃ）３个 （Ｄ）４个 2．P 为矩形ABCD 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABCD ，P 到B ，C ，D 三点的距离分别是5，17，13，则P 到A 点的距离是（ ） （Ａ）１ （Ｂ）２ （Ｃ）3 （Ｄ）４ 3．直角三角形ABC 的斜边AB 在平面α内，直角顶点C 在平面α外， C 在平面α内的射影为C 1，且C 1?AB ，则△C 1AB 为 （ ） （Ａ）锐角三角形 （Ｂ）直角三角形 （Ｃ）钝角三角形 （Ｄ）以上都不对 4．已知四点，无三点共线，则可以确定( ) A.1个平面 B.4个平面 C.1个或4个平面 D.无法确定 5． 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( ) A.4 B.3 C.2 D.5 6．球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的6 1 ，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( ) A.43 B.23 C.2 D. 3 7．棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1被以A 为球心，AB 为半径的球相截，则被截形体的表面积为（ ） A ． 45π B ．87π C ．π D ．4 7π 8．某刺猬有2013根刺，当它蜷缩成球时滚到平面上，任意相邻的三根刺都可支撑住身体，且任意四 根刺的刺尖不共面，问该刺猬蜷缩成球时，共有（ ）种不同的支撑身体的方式。 A ．2013 B ．4022 C ．4024 D ．4026 命题①空间直线a ，b ，c ，若a∥b，b∥c 则a∥c ②非零向量、 ，若∥，∥则∥ ③平面α、β、γ若α⊥β，β⊥γ，则α∥γ ④空间直线a 、b 、c 若有a⊥b，b⊥c，则a∥c ⑤直线a 、b 与平面β，若a⊥β，c⊥β，则a∥c 其中所有真命题的序号是（ ） A ．①②③ B．①③⑤ C．①②⑤ D．②③⑤ 9．在正三棱锥中，相邻两侧面所成二面角的取值范围是（ ） A 、3 π π（，） B 、23ππ（ ，） C 、（0，2 π） D 、23ππ （，） 3 10．以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机地取出两个三角形，则这两个三角形不共面 的概率为 （ ） A ． 367385 B ． 376385 C ．192385 D ．18 385 二．填空题 11．在三棱锥P —ABC 中，底面是边长为2 cm 的正三角形，PA ＝PB ＝3 cm ，转动点P 时，三棱锥的最大体积为 ． 12．P 为ABC ?所在平面外一点，PA 、 PB 、PC 与平面ABC 所的角均相等，又PA 与 BC 垂直，那么ABC ?的形状可以是 。①正三角形②等腰三角形③非等腰三角形④等腰直角三角形 13．将边长为3的正四面体以各顶点为顶点各截去(使截面平行于底 面)边长为1的小正四面体，所得几何体的表面积为_____________ . 14．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为 1，点M 在A 上，且AM=31 AB ，点P 在平面ABCD 上，且动点P 到直线A 1D 1的距离的平方与P 到点M 的距离的平方差为1，在平面直角坐标系xAy 中，动 点P 的轨迹方程是 . 15．三条直线两两垂直，现有一条直线与其中两条直线都成60°角，则此直线与另外一条直线所成的角 。 16．在水平横梁上A 、B 两点处各挂长为50cm 的细绳， AM 、BN 、AB 的长度为60cm ，在MN 处挂长为60cm 的木条，MN 平行于横梁，木条的中点为O ，若木条 绕过O 的铅垂线旋转60°，则木条比原来升高了 _________. 17．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的.如图正方体的一个顶点A 在α平面内.其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别是1、2和4. P 是正方体其余四个顶点中的一个，则P 到平面α的距离可能是： ①3；②4；③5；④6；⑤7. 以上结论正确的为 .（写出所有正确结论的编号．．） 18.如图，棱长为1m 的正方体密封容器的三个面上有三个锈蚀的小孔（不计小孔直径）O 1、O 2、O 3它们分别是所在面的中心.如果恰当放置容器，容器存水的最大容积是_______m 3. A B C D A 1 B 1 D 1 C 1 x y M P 图－1 S C
10．已知：如图，在正方形ABCD 外取一点E ，连接AE ，BE ，DE ．过点A 作AE 的垂线交ED 于点P ． 若1AE AP ==， 5PB =．下列结论：①△APD ≌△AEB ；②点B 到直线AE 2； ③EB ED ⊥；④16APD APB S S ??+=+46ABCD S =+正方形 ） A ．①③④ B ．①②⑤ C ．③④⑤ D ．①③⑤ 10．如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90o）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上， 开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与 正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ） 16．已知：在面积为7的梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝３，BC ＝4，P 为边AD 上不与A 、D 重合的一动点，Q 是边BC 上的任意一点，连结AQ 、DQ ，过P 作PE ∥DQ 交AQ 于E ， 作PF ∥AQ 交DQ 于F ．则△PEF 面积的最大值是_______________． 8. 如图，边长为(m +3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是 A ．2m +3 B ．2m +6 C ．m +3 D ．m +6 10. 如图，四边形ABCD 中，∠BAD =∠ACB =90°，AB =AD ，AC =4B 设 CD 的长为x ，四边形ABCD 的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系式是 A ．2225y x = B ．2425y x = C ．225y x = D ．24 5y x = 10．如图，将三角形纸片ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，下 列结论中，一定正确．． 的个数是（）①BDF ?是等腰三角形 ②BC DE 2 1 = ③四边形ADFE 是菱形 ④2BDF FEC A ∠+∠=∠ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 16．（1）将抛物线y 1＝2x 2向右平移2个单位，得到抛物线y 2的图象，则y 2= ； （2）如图，P 是抛物线y 2对称轴上的一个动点，直线x ＝t 平行于y 轴， 分别与直线y ＝x 、抛物线y 2交于点A 、B ．若△ABP 是以点A 或点B 为直角 顶点的等腰直角三角形，求满足条件的t 的值，则t ＝ ． 16．勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．l955勾股图是指以直角三角形的三边为边向外作正方形构成，它可以验证勾股定理．在右图的勾股图中，已知∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB= 4．作△PQR 使得∠R=90°，点H 在边QR 上， 点D ，E 在边PR 上，点G ，F 在边_PQ 上，那么APQR 的周长等于 ． 10 A P E D C B (第8题) m +3 m 3 (第10 A B C D A B C D E F P y x y x 2y O ·
高三数学选择填空难题突破—立体几何的动态问题 一．方法综述 立体几何的动态问题是高考的热点，问题中的“不确定性”与“动感性”元素往往成为学生思考与求解问题的思维障碍，使考题的破解更具策略性、挑战性与创新性。一般立体动态问题形成的原因有动点变化、平面图形的翻折、几何体的平移和旋转以及投影与截面问题，由此引发的常见题型为动点轨迹、角度与距离的计算、面积与体积的计算、探索性问题以及有关几何量的最值求解等。此类题的求解并没有一定的模式与固定的套路可以沿用，很多学生一筹莫展，无法形成清晰的分析思路，导致该题成为学生的易失分点。究其原因，是因为学生缺乏相关学科素养和解决问题的策略造成的。 动态立体几何题在变化过程中总蕴含着某些不变的因素，因此要认真分析其变化特点，寻找不变的静态因素，从静态因素中，找到解决问题的突破口。求解动态范围的选择、填空题，有时应把这类动态的变化过程充分地展现出来，通过动态思维，观察它的变化规律，找到两个极端位置，即用特殊法求解范围。对于探究存在问题或动态范围（最值）问题，用定性分析比较难或繁时，可以引进参数，把动态问题划归为静态问题。具体地，可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算，以算促证。 二．解题策略 类型一立体几何中动态问题中的角度问题 例1.【2015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点 θθ cos M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为，则的最大值为.
【答案】 ，当时取等号.所以 ，当时，取得最大值. 【指点迷津】空间的角的问题，一种方法，代数法，只要便于建立空间直角坐标系均可建立空间直角坐标系，然后利用公式求解；另一种方法，几何法，几何问题要结合图形分析何时取得最大（小）值。当点M 在P 处时，EM 与AF 所成角为直角，此时余弦值为0（最小），当M 点向左移动时，EM 与AF 所成角逐渐变小时，点M 到达点Q 时，角最小，余弦值最大。 【举一反三】 1、【2014四川，理8】如图，在正方体中，点为线段的中点.设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是（） 2 5 281161 81455 2y y t t +=≥++-1t =2 211222 cos 511555451144 y y y θ-+==≤=?++?++0y =C 1111ABCD A B C D -O BD P 1CC OP 1A BD αsin α
题型一 选择题压轴题 类型一 选择几何压轴题 1．如图，四边形ABCD 是平行四边形，∠BCD ＝120°，AB ＝2，BC ＝4，点E 是直线BC 上的点，点F 是直线CD 上的点，连接AF ，AE ，EF ，点M ，N 分别是AF ，EF 的中点，连接MN ，则MN 的最小值为（ ） B.√?1 C.√32 －√ （第1题） （第2题） 2.如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 交于点O ，AB ＝4，AC ＝2√11，若直线l 满足：①点A 到直线l 的距离为2；②直线l 与一条对角线平行；③直线l 与菱形ABCD 的边有交点，则符合题意的直线l 的条数为（ ） 3.如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝2，BC ＝6，BD ＝5.若点P 在四边形ABCD 的边上，则使得△PBD 的面积为3的点P 的个数为（ ） （第3题） （第4题） 4.如图，点M 是矩形ABCD 的边BC ，CD 上的动点，过点B 作BN ⊥AM 于点P ，交矩形ABCD 的边于点N ，连接DP.若AB ＝4，AD ＝3，则DP 的长的最小值为（ ） A. √13?2 B.√13?42 C.32 5.如图，等腰直角三角形ABC 的一个锐角顶点A 是⊙O 上的一个动点，∠ACB ＝90°，腰AC 、斜边AB 分别交⊙O 于点E ，D ，分别过点D ，E 作⊙O 的切线，两线交于点F ，且点F 恰好是腰BC 上的点，连接OC ，OD ，OE.若⊙O 的半径为2，则
OC的长的最大值为（） √2＋1 C.√5＋1 （第5题）（第6题） 6.如图，在矩形ABCD中，点E是AB的中点，点F在AD边上，点M，N分别是CD，BC边上的动点.若AB＝AF=2，AD=3，则四边形EFMN周长的最小值是（） +√13√2+2√5 +√5 7.如图，⊙P的半径为1，且点P的坐标为（3，2），点C是⊙P上的一个动点，点A，B是x轴上的两点，且OA=OB，AC⊥BC，则AB的最小值为（） √11√13 （第7题）（第8题） 8.如图，在四边形ABCD中，∠C=50°，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC，CD上的点，当△AEF的周长最小时，∠EAF的度数为（） °°°° 9.如图，菱形ABCD的边AB=8，∠B=60°，点P是AB边上一点，BP=3，点Q是CD边上的一动点.将四边形APQD沿直线PQ折叠，点A的对应点为点A′.当C A′的长度最小时，CQ的长为（） D.13 2
高三数学选择填空训练题六 姓名：座号：成绩： 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的 四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1．若集合A={x|?1＜x＜3}，B={?1, 0, 1, 2}，则A∩B=() A. {?1, 0, 1, 2} B. {x|?1＜x＜3} C. {0,1, 2} D. {?1, 0, 1} 2．已知复数z满足z i=2+i，i是虚数单位，则|z|=() A. B. C. 2 D. 3．在1, 2, 3, 6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是() A. 1 4 B. C. 1 2 D. 4．已知变量,x y满足约束条件 2, 4, 1, y x y x y ≤ ? ? +≥ ? ?-≤ ? 则3 z x y =+的最小值为() A. 11 B. 12 C. 8 D. 3 5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a2+a8=10，则S9= () A. 20 B.35 C. 45 D. 90 6．已知抛物线28 y x =的准线与x轴交于点D,与双曲线221 x y -=交于A,B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是() A. B. C. D. 7．已知函数f(x)=sin(ωx+?) (ω＞0, 0＜?＜ 2 π)，f(x 1 )=1，f(x2)=0，若|x1–x2|min=1 2 ， 且f(1 2 ) =1 2 ，则f(x)的单调递增区间为() A. 5 1 [+2,+2], 66 k k k Z -∈ B. 51 [+2,+2],. 66 k k k Z -∈ C. 51 [+2,+2], 66 k k k Z ππ -∈ D. 7 1[+2,+2], 66 k k k Z ∈ 8．函数|| e () x f x=的部分图象大致为() 9． 《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋
专题06 四边形的综合问题 例1．如图，△APB中，错误！未定义书签。，∠APB＝90°，在AB的同侧作正△ABD、正△APE和△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是__________． 同类题型1.1 如图，△APB中，AP＝4，BP＝3，在AB的同侧作正△ABD、正△APE 和正△BPC，则四边形PCDE面积的最大值是___________． 同类题型1.2 如图，在□ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连接CE、CF，EF，则以下四个结论一定正确的是（） ①△CDF≌△EBC；②∠CDF＝∠EAF；③△ECF是等边三角形；④CG⊥AE．A．只有①②B．只有①②③C．只有③④D．①②③④ 同类题型1.3 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E是边CD上的一点，且BC＝EC，CF⊥BE交AB于点F，P是EB延长线上一点，下列结论：①BE平分∠CBF；②CF平分∠DCB；③BC＝FB；④PF＝P C．其中正确的有______________．（填序号）
同类题型1.4 如图，在□ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH 交于点O，连接BE，下列结论错误的是（） A．BO＝OH B．DF＝CE C．DH＝CG D．AB＝AE 例2．图甲是小明设计的带菱形图案的花边作品．该作品由形如图乙的矩形图案 拼接而成（不重叠、无缝隙）．图乙中AB BC＝ 6 7，EF＝4cm，上下两个阴影三角 形的面积之和为54cm2，其内部菱形由两组距离相等的平行线交叉得到，则该菱形的周长为____________． 同类题型2.1 如图，在菱形ABCD中，AB＝4cm，∠ADC＝120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E 的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为____________．
专题训练（一） （每个专题时间：35分钟，满分：60分） 1 ．函数y = 的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2 3(,)+∞ C ．2 3[,1] D ．23(,1] 2．函数221 ()1x f x x -=+, 则(2)1()2 f f = （ ） A ．1 B ．－1 C ．35 D ．3 5- 3．圆222430x y x y +-++=的圆心到直线1x y -=的距离为（ ） A ．2 B C ．1 D 4．不等式2 21 x x + >+的解集是 （ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U C ．(1,0)(0,1)-U D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 5．sin163 sin 223sin 253sin313+=o o o o （ ） A ．12- B ．12 C ． D 6．若向量r r a 与b 的夹角为60o ，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-r r r r r ,则向量a r 的模为（ ） A ．2 B ．4 C ．6 D ．12 7．已知p 是r 的充分不必要条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件。那么p 是q 成立的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．不同直线,m n 和不同平面,αβ，给出下列命题 （ ） ① ////m m αββα? ???? ② //////m n n m ββ? ??? ③ ,m m n n αβ?? ???? 异面 ④ //m m αββα⊥? ?⊥?? 其中假命题有：（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9． 若{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S > 成立的最大自然数n 是 （ ） A ．4005 B ．4006 C ．4007 D ．4008 10．已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b -=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此 双曲线的离心率e 的最大值为 （ ） A ．43 B ．53 C ．2 D ．73 11．已知盒中装有3只螺口与7只卡口灯炮，这些灯炮的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯炮 使用，电工师傅每次从中任取一只并不放回，则他直到第3次才取得卡口灯炮的概率为 （ ） A ．2140 B ．1740 C ．310 D ．7120 12． 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形 孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是
10分钟秒杀高考数学选择题——老师不会教你的技巧 特值法： 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断.特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等 例1 (2017·山东卷)若a ＞b ＞0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A.a ＋1b ＜b 2a ＜log 2(a ＋b ) B.b 2a ＜log 2(a ＋b )＜a ＋1 b C.a ＋1b ＜log 2(a ＋b )＜b 2 a D.log 2(a ＋b )＜a ＋1b ＜b 2 a 例2．设4 7 10 310()22222()n f n n N +=++++ +∈，则()f n =（ ） A 、 2(81)7n - B 、12(81)7n +- C 、32(81)7n +- D 、42 (1)7 n n +- 【解析】思路一（特值法）：令0n =，则34 4710421(2)2 (0)2222(81)12 7 f ??-?? =+++= =--，对照选项，只有D 成立。 思路二：f （n ）是以2为首项，8为公比的等比数列的前4n +项的和，所以 44 2(18)2()(1)187 n n f n n ++-==--，选D 。这属于直接法。 例3.若函数(1)y f x =+是偶函数，则(2)y f x =的对称轴是（ ） A 、0x = B 、1x = C 、1 2 x = D 、2x = 【解析】：因为若函数(1)y f x =+是偶函数，作一个特殊函数2 (1)y x =-，则( 2)y f x =变为2 (21)y x =-，即知(2)y f x =的对称轴是1 2 x = ，选C 例4．△ABC 的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，=m(++)OH OA OB OC ，则实数m= 【答案】1 【解析】取特殊的直角三角形△ABC ，点O 为斜边的中点，点H 与三角形直角顶点C 重合，
中考数学选择题填空题荟萃及答案 1．如图a 是长方形纸带，∠DEF = 20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成 图c ，则图c 中 的∠CFE 的度数是 120° 2. 已知关于x 的一次函数11()y k x k k =-+，其中实数k 满足0＜k ＜1，当自变量x 在1≤x ≤2的范围内变化时，此函数的最大值为（ C ） A .1 B .2 C .k D .2k -1k 3．福娃们在一起探讨研究下面的题目： 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（ ） 贝贝：我注意到当x =0时，y=m ＞0． 晶晶：我发现图象的对称轴为x =2 1． 欢欢：我判断出x 1＜a ＜x 2． 迎迎：我认为关键要判断a -1的符号． 妮妮：m 可以取一个特殊的值． 4. 如图，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两点，且∠DAE =45°，将△ADC 绕点A 顺时针旋转90?后，得到△AFB ，连接EF ，下列结论： ①△AED ≌△AEF ； ②△ABE ∽△ACD ； ③BE DC DE +=； ④222BE DC DE += 其中一定正确的是 （ D ） 图a 图b A DA C BA EA C A A 图c (第8题图） A B C D E F
E A C B P D A ．②④ B ．①③ C ．②③ D ．①④ 5．如图，在ABC △中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C 且与 边AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 长度的最小值是 5 36 6. 如图，已知八边形ABCDEFGH , 对角线AE 、BF 、CG 、DH 交于点O , △OAB 、△OCD 、△OEF 和△OGH 是四个全等的 等边三角形，用这四个三角形围成一个四棱锥的侧面，用其 余的四个三角形拼割出这个四棱锥的底面，则下面图形（实 线为拼割后的图形）中恰为此四棱锥底面的是 （ B ） A B C D 7．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点P 在BC 边上 运动，联结DP ，过点A 作AE ⊥DP ，垂足为 E ，设DP ＝x ， AE ＝y ，则能反映y 与x 之间函数关系的大致图象是（ C ） 8. 如图，在图1所示的正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图2所示的一个圆锥模型．设圆的半径为r ，扇形的半径为R ，则圆的半径与扇形的半径之间的关系为（ D ） A ．r R 2= B ．r R 4 9 = H G F E D C B A O 图2
中考数学选择填空易错题易错1.数与式 1.﹣12; 38的算术平方根是. 2 ()()= - - ÷- - -3 1 1 2 23 2 4xy yz x z xy 化简： . 易错2.方程与不等式 3.某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（） A．2×1000（26﹣x）=800x B．1000（13﹣x）=800x C．1000（26﹣x）=2×800x D．1000（26﹣x）=800x 4.不等式3（x﹣1）≤5﹣x的非负整数解有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 5.有一人患了流感,经过两轮传染后共64人患了流感.则每轮传染中平均一个人传染了个人，如果不及时控制,第三轮将又有人被传染. 6.三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣1235=0的根，则该三角形的周长为（） A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对 7.已知二次函数3x2与正比例函数4x的图象只有一个交点，则c的值为. 易错3.函数的定义 8.下列各曲线中表示y是x的函数的是（） 易错4.特殊三角形的计算第9题图 9.如图，在△中，分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接、交于点O，则∠的度数为. 第10题图第12题图 10.如图，平分∠，∠15°，∥，⊥于点D，4，则. 11.如图，分别是△的高，M为的中点，4，10，则△的周长是. 12.如图,,,分别以、为直径作半圆,面积分别记为,,则. 易错5.四边形的性质
13.已知：在平行四边形中，点E 在直线上， 3 1 ，连接交于点F ，则：的值是． 14.如图，延长矩形的边至点E ，使，连结，如果∠30°，则∠度． 易错6.参数的取值范围 15.关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x22﹣4=0有一个根为0，则m 的值应为（ ） A ． 2 B ． ﹣2 C ． 2或﹣2 D ． 1 16.若 041=-+-a b ,且一元二次方程02 =++b ax kx 有两个实数根，则k 的取值范围是. 17.已知关于x 的二次函数 12)3(2++-=x x k y 的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A. 4
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