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高考数学-圆的方程

圆的方程

一. 教学目标

1.了解确定圆的几何要素(圆心、半径、不在同一直线上的三个点等)；掌握圆的标准方程与一般方程．

2.能根据问题的条件选择恰当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系并会进行互化．

二. 知识梳理

1. 圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径．

2. 圆的标准方程

(1) 以(a ，b)为圆心，r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x －a)2＋(y －b)2＝r 2．

求标准方程的方法——关键是求出圆心

(),a b 和半径r ①待定系数：往往已知圆上三点坐标

②利用平面几何性质

往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交

相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线

相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理

(2) 特殊的，x 2＋y 2＝r 2(r>0)的圆心为(0，0)，半径为r ．

3. 圆的一般方程

方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0变形为? ????x ＋D 22＋? ??

??y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4. (1) 当D 2＋E 2－4F>0时，方程表示以? ????－D 2

，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2为半径的圆； (2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点? ????－D 2

，－E 2；

(3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形．

重点解析

1.22

0Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程则

2222000

04040A B A B C C D E AF D E F A A A ??=≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ??????

? 当0422>-+F E D

时，方程表示圆，此时圆心为??? ??--2,2E D ，半径为F E D r 42122-+= 当0422=-+F E D

时，表示一个点；

当0422<-+F E D

时，方程不表示任何图形。

2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法，先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；

另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围

4. 点与圆的位置关系

点M(x 0，y 0)与圆(x －a)2＋(y －b)2＝r 2的位置关系：

(1) 若M(x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2>r 2．

(2) 若M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2＝r 2．

(3) 若M(x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2

5. 涉及最值：

（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论

PB 的最值 min PB BN BC r ==-

max PB BM BC r ==+

（2）圆内一点

A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值

min PA AN r AC ==-

max PA AM r AC ==+

思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）

三. 典型例题

题型1 圆的方程

例已知方程x2＋y2－2(m＋3)x＋2(1－4m2)y＋16m4＋9＝0表示一个圆．

(1) 求实数m的取值范围；

(2) 求该圆半径r的取值范围；

(3) 求圆心的轨迹方程．

变式训练

已知t∈R，圆C：x2＋y2－2tx－2t2y＋4t－4＝0.

(1) 若圆C的圆心在直线x－y＋2＝0上，求圆C的方程；

(2) 圆C是否过定点？如果过定点，求出定点的坐标；如果不过定点，说明理由．

题型2 求圆的方程

例1圆心在y轴上且过点(3，1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是________．

例2 在平面直角坐标系xOy中，二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)与两坐标轴有三个交点．记过三个交点的圆为圆C.

(1) 求实数b的取值范围；

(2) 求圆C的方程；

(3) 圆C是否经过定点(与b的取值无关)？证明你的结论．

变式

已知直线l1、l2分别与抛物线x2＝4y相切于点A、B，且A、B两点的横坐标分别为a、b(a、b∈R)．

(1) 求直线l1、l2的方程；

(2) 若l1、l2与x轴分别交于P、Q，且l1、l2交于点R，经过P、Q、R三点作圆C.

①当a＝4，b＝－2时，求圆C的方程；

②当a，b变化时，圆C是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请说明理由．

题型3 与圆有关的轨迹问题

例设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM、ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．

变式

点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________．

题型4 与圆有关的最值问题

例已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．

(1) 求|MQ|的最大值和最小值；

(2) 若M(m，n)，求n－3

m＋2

的最大值和最小值．

变式训练

已知实数x、y满足(x－2)2＋(y＋1)2＝1，则2x－y的最大值为________，最小值为________．

教师归纳

1. 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：

(1) 几何法：通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，直接写出圆的方程．常用到的圆的如下三个性质：

①圆心在过切点且垂直于切线的直线上；

②圆心在任一弦的中垂线上；

③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．

几何法体现了数形结合思想的运用．

(2) 代数法：即设出圆的方程，用待定系数法求解．大致步骤为：

①根据题意，选择标准方程或一般方程；

②根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；

③解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．

2. 解决与圆有关的最值问题的常用方法

(1) 形如u＝y－b

x－a

型的最值问题，可转化为定点(a，b)与圆上的动点(x，y)的斜率的最值问题．

(2) 形如t＝ax＋by型的最值问题，可转化为动直线的截距的最值问题．

(3) 形如(x－a)2＋(y－b)2型的最值问题，可转化为动点到定点的距离的最值问题．

四. 归纳总结

五. 每节一测

1.在平面直角坐标系xOy中，若圆x2＋(y－1)2＝4上存在A、B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB 的方程为________．

2. 已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上各点到l的距离的最小值为________．

3. 方程|x|－1＝1－（y－1）2所表示的曲线是________.

4. 已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M、N分别是圆C1、C2上的动点，P为x 轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为________．

5. 如图，已知点A(－1，0)与点B(1，0)，C是圆x2＋y2＝1上的动点，连结BC并延长至D，使得CD＝BC，求AC与OD的交点P的轨迹方程．

6. 已知圆C经过点A(－2，0)，B(0，2)，且圆心C在直线y＝x上，又直线l：y＝kx＋1与圆C相交于P、Q 两点．求圆C的方程；

7. 已知点(1，1)在圆x2＋y2＋x－3y＋3k＝0外，则实数k的取值范围是________．

8. 光线从A(1，1)出发，经y轴反射到圆C：x2＋y2－10x－14y＋70＝0的最短路程为________．

9. 在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为________．

10. 已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－

2y＝0的距离为

，求该圆的方程．

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为（ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的（ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--．选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则（ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的比λ的值为（ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范畴为（ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．．公共点的充要条件是（ C ）

人教版数学-高中数学竞赛标准教材10第十章直线与圆的方程讲义.

第十章直线与圆的方程一、基础知识 1．解析几何的研究对象是曲线与方程。解析法的实质是用代数的方法研究几何.首先是通过映射建立曲线与方程的关系，即如果一条曲线上的点构成的集合与一个方程的解集之间存在一一映射，则方程叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。如x 2+y 2=1是以原点为圆心的单位圆的方程。 2．求曲线方程的一般步骤：(1)建立适当的直角坐标系；(2)写出满足条件的点的集合；(3)用坐标表示条件，列出方程；(4)化简方程并确定未知数的取值范围；（5）证明适合方程的解的对应点都在曲线上，且曲线上对应点都满足方程（实际应用常省略这一步）。 3．直线的倾斜角和斜率：直线向上的方向与x 轴正方向所成的小于1800的正角，叫做它的倾斜角。规定平行于x 轴的直线的倾斜角为00，倾斜角的正切值（如果存在的话）叫做该直线的斜率。根据直线上一点及斜率可求直线方程。 4．直线方程的几种形式：（1）一般式：Ax+By+C=0；（2）点斜式：y-y 0=k(x-x 0)；（3）斜截式：y=kx+b ；（4）截距式： 1=+b y a x ；（5）两点式：1 21121y y y y x x x x --= --；（6）法线式方程：xcos θ+ysin θ=p （其中θ为法线倾斜角，|p|为原点到直线的距离）；（7）参数式：?????+=+=θ θ sin cos 00t y y t x x （其中θ为该直线倾斜角），t 的几何意义是定点P 0（x 0, y 0）到动点P （x, y ）的有向线段的数量（线段的长度前添加正负号，若P 0P 方向向上则取正，否则取负）。 5．到角与夹角：若直线l 1, l 2的斜率分别为k 1, k 2，将l 1绕它们的交点逆时针旋转到与l 2重合所转过的最小正角叫l 1到l 2的角；l 1与l 2所成的角中不超过900的正角叫两者的夹角。若记到角为θ，夹角为α，则tan θ= 2 11 21k k k k +-,tan α= 2 1121k k k k +-. 6．平行与垂直：若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1, k 2。且两者不重合，则l 1//l 2的充要条件是k 1=k 2；l 1⊥l 2的充要条件是k 1k 2=-1。 7．两点P 1(x 1, y 1)与P 2(x 2, y 2)间的距离公式：|P 1P 2|= 2 21221)()(y y x x -+-。 8．点P(x 0, y 0)到直线l: Ax+By+C=0的距离公式：2 2 00| |B A C By Ax d +++= 。 9．直线系的方程：若已知两直线的方程是l 1：A 1x+B 1y+C 1=0与l 2：A 2x+B 2y+C 2=0，则过l 1, l 2交点的直线方程为A 1x+B 1y+C 1+λ(A 2x+B 2y+C 2=0；由l 1与l 2组成的二次曲线方程为（A 1x+B 1y+C 1）（A 2x+B 2y+C 2）=0；与l 2平行的直线方程为A 1x+B 1y+C=0(1 C C ≠). 10．二元一次不等式表示的平面区域，若直线l 方程为Ax+By+C=0. 若B>0，则Ax+By+C>0表示的区域为l 上方的部分，Ax+By+C<0表示的区域为l 下方的部分。 11．解决简单的线性规划问题的一般步骤：（1）确定各变量，并以x 和y 表示；（2）写出线性约束条件和线性目标函数；（3）画出满足约束条件的可行域；（4）求出最优解。 12．圆的标准方程：圆心是点(a, b)，半径为r 的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r 2，其参数方程为 ?? ?+=+=θ θsin cos r b y r a x （θ为参数）。

人教版必修二数学圆与方程知专题讲义

人教版必修二圆与方程专题讲义一、标准方程 ()()2 2 2x a y b r -+-= 1.求标准方程的方法——关键是求出圆心(),a b 和半径r 2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）二、一般方程 ( )222 2040x y D x E y F D E F ++++=+- > 1.220Ax By Cxy Dx Ey F +++++=表示圆方程，则 2222 0004040A B A B C C D E AF D E F A A A ? ? =≠=≠????=?=????+->??????+-?> ? ?????? ? 2.求圆的一般方程方法 ①待定系数：往往已知圆上三点坐标 ②利用平面几何性质

涉及点与圆的位置关系：圆上两点的中垂线一定过圆心涉及直线与圆的位置关系：相切时，利用到圆心与切点的连线垂直直线；相交时，利用到点到直线的距离公式及垂径定理 3.2240D E F +->常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系 1.判断方法：点到圆心的距离d 与半径r 的大小关系 d r ?点在圆外 2.涉及最值：（1）圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ （2）圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3.以1122(,),(,)A x y B x y 两点为直径的圆方程为 1212()()()()0x x x x y y y y --+--= 四、直线与圆的位置关系 1.判断方法（d 为圆心到直线的距离）（1）相离?没有公共点?0d r ? （2）相切?只有一个公共点?0d r ?=?= （3）相交?有两个公共点?0d r ?>?< 2.直线与圆相切（1）知识要点 ①基本图形

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题类型一：圆的方程例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内．解法一：（待定系数法）设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．解法二：（直接求出圆心坐标和半径）因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ．又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ．故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外．说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

高三总复习直线与圆的方程知识点总结

直线与圆的方程一、直线的方程 1、倾斜角：，围0≤α＜π， x l //轴或与x 轴重合时，α=00 。 2、斜率： k=tan α α与κ的关系：α=0?κ=0 已知L 上两点P 1（x 1,y 1） 0＜α＜ 02 >?k π P 2（x 2,y 2） α= κπ ?2 不存在 ?k= 1 212x x y y -- 022

二、两直线的位置关系（说明：当直线平行于坐标轴时，要单独考虑） 2、L 1 到L 2的角为0，则1 21 21tan k k k k ?+-= θ（121-≠k k ） 3、夹角：1 21 21tan k k k k +-= θ 4、点到直线距离：2 2 00B A c By Ax d +++= （已知点（p 0(x 0,y 0)，L ：AX+BY+C=0） ①两行平线间距离：L 1=AX+BY+C 1=0 L 2：AX+BY+C 2=0?2 221B A c c d +-= ②与AX+BY+C=0平行且距离为d 的直线方程为Ax+By+C ±022 =+B A d ③与AX+BY+C 1=0和AX+BY+C 2=0平行且距离相等的直线方程是 02 2 1=++ +C C BY AX 5、对称：（1）点关于点对称：p(x 1,y 1)关于M （x 0,y 0）的对称)2,2(1010Y Y X X P --'

高中数学-必修二-圆与方程-经典例题

习题精选精讲圆标准方程已知圆心),(b a C 和半径r ,即得圆的标准方程222 )() (r b y a x =-+-；已知圆的标准方程222)()(r b y a x =-+-，即得圆心 ),(b a C 和半径r ，进而可解得与圆有关的任何问题．一、求圆的方程例1 (06重庆卷文) 以点)1,2(-为圆心且与直线0543=+-y x 相切的圆的方程为（ ) （A)3)1()2(22=++-y x (B)3)1()2(2 2=-++y x （C)9)1() 2(22 =++-y x （D)9)1()2(22=-++y x 解已知圆心为)1,2(-,且由题意知线心距等于圆半径，即2 243546+++= d r ==3，∴所求的圆方程为9)1()2(22=++-y x ，故选(C). 点评：一般先求得圆心和半径,再代入圆的标准方程222 )()(r b y a x =-+-即得圆的方程. 二、位置关系问题例2 (06安徽卷文) 直线1=+y x 与圆0222=-+ay y x )0(>a 没有公共点,则a 的取值范围是( ) (A))12,0(- (B ）)12,12( +- （C))12,12(+-- (D))12, 0(+ 解化为标准方程222 )(a a y x =-+，即得圆心),0(a C 和半径a r =. ∵直线 1=+y x 与已知圆没有公共点，∴线心距a r a d =>-= 2 1，平方去分母得 2 2212a a a >+-，解得 1212-<<--a ,注意到0>a ，∴120-<r d 线圆相离；?=r d 线圆相切;?