第一课时：认识二次函数
问题1：问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使距形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？
问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
问题3：一玩具厂，有装配工15人，规定每人每天应装配玩具190人，但如果每增加一人，那么每人每天可少装配10个，问增加多少人可使每天装配总数最多，最多时是多少？
课堂练习：
1、 下列函数中，哪些是二次函数？
(1)2
x y = (2) 21
x
y -
= (3) 122
--=x x y （4）)1(x x y -=
（5）)1)(1()1(2
-+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）12
+=x y （2）12732
-+=x x y （3）)1(2x x y -= 3、若函数m
m x
m y --=2)1(2
为二次函数，
则m 的值为 。
4、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）。设AE=BF=CG=DH=x(cm) ,四边形EFGH 的面积为y(cm 2),求：
（1） y 关于x 的函数解析式和自变量x
的取值范围。
（2） 当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，
对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示。
听课笔记：
A
B
E
F
C
G
D
H
1、下列关系式中，x 为自变量，哪些是二次函数？
222322
231,52,21,
114,,2,y x y x x y x x y x y y x y x
x x
=-=-=-+-=-==+= 2、正方形的边长为5，如果边长增加x ，那么面积增加y.求y 关于x 的函数关系式。
3、长方体的长与宽均为x ，高为8.求长方体表面积S 关于x 的函数关系式。
4、从已知半径为R 的圆板上挖掉一个半径为(r R)r <的同心圆板。求所剩圆环面积S 关于 r 的函数关系式。
5、在一块长为35m 、宽为20m 的矩形空地上建立花坛，如果在四周留出宽度为xm 的小路，中间花坛面积为2ym ，求y 关于x 的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围。
6、某商场今年一月份销售额为50万元，二、三月份平均每月销售增长率为x 。求三月份销售额y 万元关于x 的函数关系式。
7、已知函数2
4(m 3)x (m 3)x 3m m y +-=++++是关于x 的二次函数，则m 的值为（ ）
.3.2.32.3-2A B C D --，，或，或
1、下列函数中，是二次函数的为（ ） A.()()()
2
2
21y x x x =+--- B.21y x =- C.2
1
y x x
=+
D.20y x -= 2、函数2321y x x =-+图像上的一个点是（ ）
.(32)A ， .(00)B ， .(12)C ， .(21)D ，
3、二次函数253y x x =-+的函数值为9，那么对应的x 的值为（ ） A.6 B.-1 C.6或-1 D.-6或1
4、若对于任意实数x ，二次函数()
21y a x =+的值总是非负数，则a 的取值范围（ ） A.1a ? B.1a ? C.1a - D.1a -
5、出售成本为10元的某种文具盒，若每个获利x 元（x 为正整数），一天可售出（6-x ）个，那么一天出售该种文具盒的总利润y 与x 的函数关系式为____________.
6、当k=_______时，函数()
1
11k y k x
+=-+为二次函数
7、某市去年的国民生产总值是2000亿元，预计该市今明两年的国民生产总值年平均增长率是x ，设该市明年的国民生产总值为y 亿元，则y 与x 之间的函数关系式__________
8、用长度为20cm 的铁丝围成一个矩形，求所围成矩形的面积S(cm 2)与长x （cm ）的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围。
9、某件商品每件成本40元，以单价55元试销，每天可售出100件。根据市场预测，定价每减少1元，销售量课增加10件。每天销售该商品获利金额y(元)与定价x （元）之间的函数关系式。
10、一块长100m 、宽80m 的矩形草地，欲在中间修筑两条互相垂直的宽为x （m ）的小路，这时草坪面积为y （m 2）。求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围。
11、已知函数()
22
21y m m x mx m =++++，当m 为何值时：
（1）这个函数是一次函数 （2）这个函数是二次函数？
第二课时：二次函数2
y ax =的图像和性质
知识点回顾：一次函数图像是什么形状？有什么性质？
例1、画出二次函数2y x =和2
2y x =的图像。
解：列表： x
… -2 2
1
1--1 2
1-
0 2
1
1 2
11 2 … 2x y =
…
(2)
2x y =
…
…
描点：根据表中数据在平面中标出下列各点。
连线：用平滑曲线顺次连接各点，得二次函数的图像。
课堂练习：画出二次函数2-y x =和2
-2y x =的图像
思考：观察二次函数的图像，思考下列问题.
（1）图像是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
（2）图像有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？
（3）当0x <时，随着x 值的增大，y 值如何变化？当
0x >时呢？
（4）论x 取何值，对于
2x y =来说，y 的值有什么
特征？ （5）当x 取 1,2
1
±±
等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？
由上面函数图像概括出：
（1） 二次函数的2
x y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线，
（2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。
（3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。顶点坐
标（0,0）
（4） 从图像上看，抛物线2
x y =的顶点也是图像的最低点，也就是说，当0x 1
时，对
应的函数值均大于0；当x=0时，对应的函数值y=0是所有函数值中最小的值（这时可记作=0y 最小值）
（5） 当0x <时，随着x 值的增大，y 值减小（即抛物线是下降的）；当0x >时，随着x
值的增大，y 值也增大（即抛物线是上升）。
（6） a 决定开口的大小，a 越大开口越大，a 越小开口越小； （7）
0a ，开口向上，0a ，开口向下
课堂练习：填空
抛物线 2x y =
2-x y =
顶点坐标 对称轴
位 置（经过的象限）
开口方向
二次函数2y ax = （a 0）
图像的特点
2y ax = （a 0）
函数的性质2
y ax = （a 0）
2y ax = （a 0）
图像
1
2
3
4
二次函数2y ax = （a 0）
图像的特点
2y ax = （a 0）
函数的性质2
y ax = （a 0）
2y ax = （a 0）
图像
1
2
3
4
随堂练习：
1、（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数222211
-3-333
y x y x y x y x =
===、、、的图像；（2）观察图像，说出图像的顶点坐标、开口方向、对称轴；（3）说出各函数的最值；
（4）说明各函数图像在对称轴两侧部分，函数值y 随x 值增大而变化的情况。 2、下列抛物线开口最大、最小的各是哪一个？ 2222115
+2323
y x y x y x y x =-
=-==、、、（2）
3、在同一直角坐标系里，下列各组中两个函数的图像有怎样的关系？ （1）2
2
22y x y x =-=与 （2）2
2
33y x y x =-=与
（3）2
2
y ax y ax =-=与
一、基础巩固
1.函数y=-x 2的图像是一条______线,开口向_______,对称轴是______, 顶点是________,顶点是图像最_____点,表示函数在这点取得最_____值,它与函数y=x 2 的图像的开口方向________,对称轴________,顶点_______.
2.二次函数y=-x 2的图像,在y 轴的右边,y 随x 的增大而________.
3.已知抛物线y=ax 2和直线y=kx 的交点是P(-1,2),则a=______,k=______.
4.抛物线y=ax 2与y=x 2的开口大小、形状一样、开口方向相反,则a=____.
5.已知y=m 2
1
m
x +的图像是不在第一、二象限的抛物线,则m=_______.
6.若点A(2,m)在抛物线y=x 2上,则点A 关于y 轴对称点的坐标是_____.
7.二次函数y=m 2
1
m
x -有最低点,则m=________.
8.若二次函数y=-ax 2,当x=2时,y=1
2
;则当x=-2时,y 的值是_________. 9.函数y =6
22--a a ax
是二次函数，当a =_____时，其图象开口向上；当a =_____时，其图象开
口向下.
10.若函数y =(k 2－4)x 2+(k +2)x +3是二次函数，则k ______. 11.函数y =k
k kx
-2，当k =______时，它的图象是开口向下的抛物线；此时当x ______时，y
随x 的增大而减小. 12.二次函数y =－
4
1x 2
，当x 1 ①m 14.写出一个开口向上，顶点是坐标原点的二次函数的表达式：______. 15.函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是( ) A.a ≠0，b ≠0，c ≠0; B.a <0，b ≠0，c ≠0; C.a >0，b ≠0，c ≠0; D.a ≠0 16.在图中，函数y =－ax 2与y =ax +b 的图象可能是( ) B x y x y x y x y A C D O O O O 17、已知1a - ，点()()() 1231,,,,1,a y a y a y -+都在函数2 y x =的图像上，试比较 123,,y y y 的大小。 25.直线y=2x+3与抛物线y=ax 2交于A 、B 两点,已知点A 的横坐标是3,求A 、B 两点坐标及 抛物线的函数关系式. 26.抛物线y=ax 2经过点A(-1,2),不求a 的大小,判断抛物线是否经过M(1,2)和N(-2,-3)两点? 27.已知点A(1,a)在抛物线y=x 2上. (1)求A 点的坐标. (2)在x 轴上是否存在点P,使得△OAP 是等腰三角形?若存在,求出点P 的坐标; 若不存在, 说明理由. 28.已知一次函数y =ax +b 的图象上有两点A 、B ，它们的横坐标分别是3，－1，若二次函数y = 3 1x 2 的图象经过A 、B 两点. (1)请求出一次函数的表达式; (2)设二次函数的顶点为C ，求△ABC 的面积. 15、如图，等腰直角三角形ABC 以2/cm s 的速度沿直线l 向正方形CDEF 移动，直到AB 与DC 重合.设移 动()x s 时，三角形与正方形重叠部分的面积为()2y cm 。 （1）写出y 与x 的关系式；（2）当x=2,3.5时，y 分别是多少？（3）当重叠部分面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？ 第三课时：二次函数2 y ax k =+的图像和性质 问题1，你能在同一直角坐标系中，画出函数22y x =、221y x =+、22-1y x =的图象吗? 填表： 再描点、连线，即得各函数的图像 观察图像： 1、填写下表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 22y x = 221y x =+ 22-1y x = 2、对于同一个x 值，二次函数22y x =、221y x =+、22-1y x =的值之间有什么关系？这三个 函数图像在位置上有什么关系？ x … 0 … 22y x = … … 221y x =+… … 22-1y x = 3、当x 取何值时，二次函数 22y x =、221y x =+、22-1y x =取得最小值？最小值分别是多少？ 4、你能由函数y ＝2x 2的性质，得到函数y ＝2x 2＋1的一些性质吗? 当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增大 结论： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最大（小）值 y=ax 2+k a >0时，开口向上 y 轴或x=0 （0，k ） 顶点在y 轴上 当a >0时，在对称轴的左侧，x <0函数值y 随x 值的增大而减小，x >0函数值y 随x 值的增大而增大。 当x=0时，y 最小=k a <0时，开口向下 当a <0时，在对称轴的左侧，x <0函数值y 随x 值的增大而增大；x >0函数值y 随x 值的增大而减小。 当x=0时，y 最大=k 随堂练习： 1．分别在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y＝－2x2与y＝－2x2－2； (2)y＝3x2＋1与y＝3x2－1。 2.在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象， y＝1 2x 2，y＝ 1 2x 2＋2，y＝ 1 2x 2－2 观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置。 你能说出抛物线y＝1 2x 2＋k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗? 3．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝1 2x 2得到 抛物线y＝1 2x 2＋2和y＝ 1 2x 2－2? 4．试说出函数y＝1 2x 2，y＝ 1 2x 2＋2，y＝ 1 2x 2－2的图象所具有的共同性质。 5、抛物线y=4x2-1的开口向————对称轴是——————，顶点坐标是—————。与y轴的交点坐标是——————，与x轴交点坐标是——————，当x=_____,y最_____=_____,当x___0,y随x的增大而减小；当x___0,y随x的增大而增大。它是由抛物线y=4x2向_____平移___个单位得到y=4x2-1 一、基础巩固 1.抛物线y=-3x 2+5的开口向________,对称轴是_______,顶点坐标是________,顶点是最_____ 点,所以函数有最________值是_____. 2.抛物线y=4x 2-1与y 轴的交点坐标是_________,与x 轴的交点坐标是_____. 3.把抛物线y=x 2向上平移3个单位后,得到的抛物线的函数关系式为_______. 4.抛物线y=4x 2-3是将抛物线y=4x 2,向_____平移______个单位得到的. 5.抛物线y=ax 2-1的图像经过(4,-5),则a=_________. 6.抛物线y=－3(2x 2－1)的开口方向是_____，对称轴是_____. 7、已知点A ()()1 2 ,2012,,2012x B x 是抛物线2 5y x =-上相异两点，当12x x x =+时，二次函数 25y x =-的值为________ 8.在同一坐标系中，二次函数y=－ 2 1x 2 ，y=x 2，y=－3x 2的开口由大到小的顺序是______. 9.抛物线y=－41x 2+1，y=－41(x+1)2与抛物线y=－4 1 (x 2+1)的_____相同，_____不同. 10、已知正比例函数(a 0),y ax =?y 随x 的增大而减小，则函数2 y ax a =+的图像经过象 限是_______________ 4、已知函数 2)(22+-+=x m m mx y 的图象关于y 轴对称，则m ＝________； 二、能力提升 11、求符合下列条件的抛物线y=ax 2-1的函数关系式: (1)通过点(-3,2);(2)与y= 12 x 2 的开口大小相同,方向相反; (3)当x 的值由0增加到2时,函数值减少4. 12、一台机器原价60万元,如果每年的折旧率是x,两年后这台机器的价位约为y 万元,求y 与x 的函数关系式. 13、将抛物线2 1y x =+以x 轴为对称轴进行翻折，求翻折后得到的抛物线的解析式。 14、已知抛物线y=mx 2+n 向下平移2个单位后得到的函数图像是y=3x 2-1,求m,n 的值. 15、试分别说明将抛物线：(1)y=(x+1)2；(2)y=(x －1)2；(3)y=x 2+1；(4)y=x 2－1的图象通过怎样的平移得到y=x 2的图象. 17、二次函数2 -1y x =+的图像与x 轴交于A,B 两点，与y 轴交于C ，求： （1）点C 的坐标（2）线段AB 的长（3）△ABC 是怎样的三角形 第四课时：二次函数() 2 y a x h =+的图像和性质 问题1，你能在同一直角坐标系中，画出函数2y x =、()21y x =-、() 2 +1y x =的图象 吗? 填表： 再描点、连线，即得各函数的图像 观察图像： 1、填写下表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2y x = ()21y x =- x … 0 … 2y x = … … ()21y x =-… … ()2+1y x = ()2+1y x = 4、对于同一个x 值，二次函数2y x =、()21y x =-、()2+1y x =的值之间有什么关系？这三 个函数图像在位置上有什么关系？ 5、当x 取何值时，二次函数 2y x =、()21y x =-、()2+1y x =取得最小值？最小值分别是多少？ 4、你能由函数2 y x =的性质，得到函数 ()21y x =-的一些性质吗? 当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增大 结论： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最大（小）值 y=a(x+h)2 a >0时，开口向上 x=-h （-h ，0） 当a >0时，在对称轴的左侧，x <-h 函数值y 随x 值的增大而减小，x >-h 函数值y 随x 值的增大而增大。 当x=-h 时，y 最小=0 a <0时，开口向下 当a <0时，在对称轴的左侧，x <-h 函数值y 随x 值的增大而增大；x >-h 函数值y 随x 值的增大而减小。 当x=-h 时，y 最大=0 1．在同一直角坐标系中，画出下列各组两个二次函数的图象。 (1)y ＝4x 2与y ＝4(x －3)2 (2)y ＝12(x ＋1)2与y ＝1 2(x －1)2 2．已知函数y ＝－14x 2，y ＝－14(x ＋2)2和y ＝－1 4(x －2)2。 (1)在同一直角坐标中画出它们的函数图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由函数y ＝－1/4x2的图象得到函数y ＝－1 4(x ＋ 2)2和函数y ＝－1 4 (x －2)2的图象? (4)分别说出各个函数的性质。 3．已知函数y ＝4x 2，y ＝4(x ＋1)2和y ＝4(x －1)2。 (1)在同一直角坐标系中画出它们的图象； (2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标； (3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y ＝4x 2的图象得到函数y ＝4(x ＋1)2和函数y ＝4(x －1)2的图象， (4)分别说出各个函数的性质． 4．二次函数y ＝a(x －h)2的最大值或最小值与二次函数图象的顶点有什么关系? 5、抛物线y=-2(x-1)2开口向______，对称轴______,顶点坐标______,当x=____时y 最 _____=_____,当x____时,y 随x 的增大而增大， 当x____时,y 随x 的增大而减小，它是由y=-2x 2向___平移____单位而得到的，它与x 轴的交点坐标是______,与y 轴的交点坐标是_______。 6、抛物线() () 2 2 -3,06y a x b y x =+=的顶点为，形状与相同，但开口方向相反。 （1）求抛物线的函数关系式 （2）求抛物线与y 轴交点坐标 基础巩固 1.抛物线y ＝4 (x －2)2与y 轴的交点坐标是________，与x 轴的交点坐标为___． 2.把抛物线y ＝3x 2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______ ；向上平移4个单位得到的抛物线的表达式为 3.将抛物线y ＝－1 3 (x －1)2向右平移2个单位后，得到的抛物线解析式 4.二次函数y=x 2-mx+1的图象的顶点在x 轴上，则m 的值是 . 5.抛物线y ＝2 (x ＋3)2的开口__ ____；顶点坐标为___；对称轴是_________；当x ＞－3时，y 随x 的增大而 ；当x ＝－3时，y 有最_____值是_________． 6．抛物线y ＝m (x ＋n)2向左平移2个单位后，得到的函数关系式是y ＝－4 (x －4)2，则m ＝_______，n ＝______． 7、二次函数2)2(31 +=x y ，若y 恒大于0，则自变量x 的取值范围是（ ） 8、把抛物线22y x =向左平移使顶点坐标是（-1，0），则所得抛物线的函数表达式为 。 9、一条抛物线的对称轴是1x =，且与x 轴有唯一的公共点，并且开口方向向下，则这条抛物线的解析式是 。（任写一个。） 10．函数2)1(3+-=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小．当x 时，函数取得最 值，最 值y = 。 11．已知二次函数7)1(82-+--=k x k x y ，当k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系式。 12、二次函数()2 h x a y -=的图象如图：已知2 1 = a ，OA OC =，试求该抛物线的解析式。 能力提升： 13、将抛物线2 y=向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为2-，且新抛物线ax 1,3，求a的值。 经过点() 14、如图所示，抛物线2 =--的顶点为A，直线L：y x m () y x m =-与y轴的交点为B，其中m>0。 （1）写出抛物线的对称轴和顶点坐标；（用含m的式子表示）； （2）若点A在直线L上，求∠ABO的大小。 15、如图，河上有一座抛物线桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3m时，水面宽AB 为6m，当水位上升0.5m时： （1）求抛物线的解析式。（2）求水面的宽度为多少米？ （3）有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行。若游船宽（指船的最大宽度）为2m，从水面到棚顶的高度为1.8m，问这艘游船能否从桥洞下通过？ 第五课时：二次函数() 2 +y a x h k =+的图像和性质 问题1，你能在同一直角坐标系中，画出函数212y x =、()2122y x =-、()21 -2+12 y x =的图象吗? 函数解析式 图像的对称轴 图像的顶点坐标 22 1x y = ()21 22y x = - ()21 -2+12y x = 1、对于同一个x 值，二次函数 2 21x y = 、()2122y x =-、()21-2+12 y x =的值之间有什么关系？这三个函数图像在位置上有什么关系？ 2、当x 取何值时，二次函数2 21x y = 、()2122y x =-、()21-2+12 y x =取得最小值？最小值分别是多少？ 3、你能由函数2y x =的性质，得到函数()21 -2+12 y x = 的一些性质吗? 当x______时，函数值y 随x 的增大而减小；当x______时，函数值y 随x 的增大而增 大 结论： 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最大（小）值 y=a(x+h)2+k a >0时，开口向上 x=-h （-h ，k ） 当a >0时，在对称轴的左侧，x <-h 函数值y 随x 值的增大而减小，x >-h 函数值y 随x 值的增大而增大。 当x=-h 时，y 最小=k a <0时，开口向下 当a <0时，在对称轴的左侧，x <-h 函数值y 随x 值的增大而增大；x >-h 函数值y 随x 值的增大而减小。 当x=-h 时，y 最大=k 1、不画图像，确定下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标，并指出x 为何值时，y 有最大（小）值，并求出这个值，以及求出x 为何值时，图像的增减情况。 22 (1)(2)2; 1(2)(1)3 3 y x y x =--+=+- 2、抛物线 5)4(22-+-=x y 的顶点坐标是 ，对称轴是 ，在 侧， 即x_____0时， y 随着x 的增大而增大； 在 侧，即x_____0时, y 随着x 的增大而减小；当x= 时，函数y 最 值是____。 第六课时：2 y ax bx c =++图像和性质 函数 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最大（小）值 2y ax bx c =++ a >0时，开口向上 2b x a =- 24-24b ac b a a -（,） 当a >0时，在对称轴的左侧，2b x a <- 函数值y 随x 值的增大而减小，2b x a >- 函数值y 随x 值的增大而增大。 当 2b x a =- 时，y 最 小 = 244ac b a - 二次函数与相似三角形综合测试提高题 （本卷满分150分， 考试时间120分钟） 一选择题： （每题4分，共40分） 1、下列函数是二次函数的是：（ ） A 、2(2)(2)(1)y x x x =+--- B 、y = C 、21y x x =+D 、20y x -= 2、已知2=a ，4=b ，c 5=，则a 、b 、c 的第四比例项为（ ） A 、 10 B 、 5.2 C 、 8 D 、 22 3、把二次函数221y x x =--配方成顶点式为（ ） A 、2(1)y x =- B 、2(1)2y x =-- C 、2(1)1y x =++ D 、2(1)2y x =+- 4．下列每一组中两个图形相似的是 （ ） A 、两个等腰三角形，每个三角形都有一个内角为?30 B 、邻边的比都等于2的两个平行四边形 C 、 底角为?45的两个等腰梯形 D 、有一个角是?120的两个等腰三角形 5、二次函数的图象上有两点(1，－3)和(4，－3)，则此拋物线的对称轴是（ ） A 、x ＝1 B 、x ＝2 C 、x ＝3 D 、x ＝2.5 6、函数263y kx x =-+的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A 、3k < B 、30k k <≠且 C 、3k ≤ D 、30k k ≤≠且 7、直角坐标平面上将二次函数2y 2(x 1)2-＝－－的图象向左平移１个单位， 再向上平移１个单位，则其顶点为（ ） A 、(0，0) B 、(1，－2) C 、(0，－1) D 、(－2，1) 8、二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则abc ， 24b ac -，2a b +，a b c ++这四个式子中，值为正数的有（ ） A 、4个 B 、3个 C 、2个 D 、1个 沪科版数学九年级数学上册第21章 《二次函数与反比例函数》测试题 测试范围：第21章时间：120分钟满分：150分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．若A（2，4）与B（﹣2，a）都是反比例函数y＝（k≠0）图象上的点，则a的值是（） A．4B．﹣4C．2D．﹣2 2．把函数y＝（x﹣1）2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）A．y＝x2+2B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2D．y＝（x﹣1）2+3 3．已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（）A．图象的开口向上B．图象的顶点坐标是（1，3） C．当x＜1时，y随x的增大而增大D．图象与x轴有唯一交点 4．反比例函数y＝与一次函数y＝的图象有一个交点B（，m），则k的值为（） A．1B．2C．D． 5．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则反比例函数y＝与一次函数y＝﹣cx+b在同一平面直角坐标系内的图象可能是（） A．B．C．D． 第5题图第6题图 6．如图，点P（m，1），点Q（﹣2，n）都在反比例函数y＝的图象上．过点P分别向x 轴、y轴作垂线，垂足分别为点M，N．连接OP，OQ，PQ．若四边形OMPN的面积记作S1，△POQ的面积记作S2，则（） A．S1：S2＝2：3B．S1：S2＝1：1 C．S1：S2＝4：3D．S1：S2＝5：3 7．若点A（a﹣1，y1），B（a+1，y2）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，且y1＞y2， 则a的取值范围是（） A．a＜﹣1B．﹣1＜a＜1C．a＞1D．a＜﹣1或a＞1 8．对于一个函数，自变量x取c时，函数值y等于0，则称c为这个函数的零点．若关于x 的二次函数y＝﹣x2﹣10x+m（m≠0）有两个不相等的零点x1，x2（x1＜x2），关于x的方程x2+10x﹣m﹣2＝0有两个不相等的非零实数根x3，x4（x3＜x4），则下列关系式一定正确的是（） A．0＜＜1B．＞1C．0＜＜1D．＞1 9．点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，则m﹣n的最大值等于（） A．B．4C．﹣D．﹣ 10．如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（） A．B．C．D． 第10题图第12题图 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11．二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为． 12．如图，一次函数y＝x+k（k＞0）的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B．与反比例函数y＝的图象在第一象限内交于点C，CD⊥x轴，CE⊥y轴．垂足分别为点D，E．当矩 形ODCE与△OAB的面积相等时，k的值为． 13．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为______min． 14．我们用符号[x]表示不大于x的最大整数．例如：[1.5]＝1，[﹣1.5]＝﹣2．那么：（1）当﹣1＜[x]≤2时，x的取值范围是； （2）当﹣1≤x＜2时，函数y＝x2﹣2a[x]+3的图象始终在函数y＝[x]+3的图象上方或图象 二次函数测试题（） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1、下列函数是二次函数的是（ ） A ．c bx ax y ++=2 B.3)1(2+-=x y C.2x y = D.131 2-+= x x y 2、二次函数)3(2-=x x y 的二次项系数与一次项系数的和为（ ） A ．－4 3、抛物线3)1(2 --=x y 的对称轴是（ ） A ．直线3=x B.直线3-=x C.直线x=1 D.直线1-=x 4、若二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向下、顶点为（2－3），则此函数有( ) A ．最小值－3 B.最大值－3 C.最小值2 D.最大值2 5、将抛物线562+-=x x y 向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度时，得到的抛物线解析式是（ ） A ．6)4(2--=x y B.2)4(2--=x y C.2)2(2--=x y D.3)1(2--=x y 6、当0=+c b 时，二次函数c bx x y ++=2的图象一定经过点（ ） A.（－1，－1） B.（1，－1） C.（1,1） D.（－1,1） 7、在同一平面直角坐标系中，函数bx ax y +=2与a bx y +=的图象可能是（ ） A ． B. C. D. 8、若点（－1，1y ），（－5，2y ），（2，3y ）在函数322-+-=x x y 的图象上，则（ ） A ．312y y y << B. 231y y y << C. 123y y y << D. 321y y y << 9、如图是二次函数c bx ax y ++=2 ①0<++c b a ；②1>+-c b a ；③0>abc ；④024<+-c b a A ．①② B.①③④ C.①②③⑤ D.①②③④⑤ 10、抛物线c bx ax y ++=2上部分点的横坐标x ，纵坐标y 九年级数学二次函数单元测试题及答案 一、选择题(每题3分，共30分) 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限() A. 一 B. 二 C. 三 D. 四 7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象 交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是() A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m 8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只 可能是() 9. 已知抛物线和直线在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线 x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线上的点， 且-1 《二次函数》教案 教学目标 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系. 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式. 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围. 4、会用待定系数法求二次函数的解析式. 教学重点 二次函数的概念和解析式． 教学难点 利用条件构造二次函数． 教学设计 一、创设情境，导入新课. 问题1、现有一根12m长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才能使矩形的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习二次函数来解决，今天我们学习“二次函数”(板书课题) 二、合作学习，探索新知. 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y与x之间的关系： (1)面积y(cm2)与圆的半径x(cm). (2)王先生存人银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x两年后王先生共得本息y元； (3)拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为12cm，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x(cm)种植面积为y(cm2). x 教师组织合作学习活动： 先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式. 上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨. (1)y =πx 2 (2)y =2000(1+x )2=20000x 2+40000x +20000 (3)y =(60-x -4)(x -2)=-x 2+58x -112 上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法. 教师归纳总结：上述三个函数解析式经化简后都具y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的形式. 板书：我们把形如y =ax 2+bx +c (其中a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数． 称a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为常数项. 请讲出上述三个函数解析式中的二次项系数、一次项系数和常数项． 做一做 1、下列函数中，哪些是二次函数？ (1)2x y =(2)21x y -=(3)122--=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y 2、分别说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项： (1)12+=x y (2)12732-+=x x y (3))1(2x x y -= 3、若函数m m x m y --=2)1(2为二次函数，则m 的值为______________. 三、例题示范，了解规律. 例、已知二次函数q px x y ++=2 当x =1时，函数值是4；当x =2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式. 此题难度较小，但却反映了求二次函数解析式的一般方法，可让学生一边说，教师一边板书示范，强调书写格式和思考方法. 练习：已知二次函数c bx ax y ++=2，当x =2时，函数值是3；当x =-2时，函数值是2.求这个二次函数的解析式. 例、如图，一张正方形纸板的边长为2cm ，将它剪去4个全等的直角三角形(图中阴影部分).设AE =BF =CG =DH =x (cm )，四边形EFGH 的面积为y (cm 2)，求： (1)y 关于x 的函数解析式和自变量x 的取值范围. (2)当x 分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH 的面积，并列表表示. 孙疃中心学校集体备课专用纸 年级 九 学科 数学 时间2010、9、20 主备教师 王 杰 审核人______ 年级组长签名__________班级_____________ 学生姓名___________ 《第23章 二次函数（23.1—23.5）》测试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题３分，共30分） 1．下列函数不属于二次函数的是（ ） A.y=(x －1)(x+2) B.y= 2 1(x+1)2 C. y=1－3x 2 D. y=2(x+3)2－2x 2 2. 函数y=-x 2 -4x+3图象顶点坐标是（ ） A.（2，-1） B.（-2，1） C.（-2，-1） D.（2， 1） 3. 抛物线()122 1 2++=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，-1） D ．（-2，-1） 4. y=(x －1)2 ＋2的对称轴是直线（ ） A ．x=－1 B ．x=1 C ．y=－1 D ．y=1 5．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 6. 二次函数y ＝x 2 的图象向右平移3个单位，得到新的图象的函数表达式是（ ） A. y ＝x 2＋3 B. y ＝x 2－3 C. y ＝(x ＋3)2 D. y ＝(x －3)2 7．函数y=2x 2 -3x+4经过的象限是（ ） A.一、二、三象限 B.一、二象限 C.三、四象限 D.一、二、四象限 8．下列说法错误的是（ ） A ．二次函数y=3x 2 中，当x>0时，y 随x 的增大而增大 B ．二次函数y=－6x 2 中，当x=0时，y 有最大值0 C ．a 越大图象开口越小，a 越小图象开口越大 D ．不论a 是正数还是负数，抛物线y=ax 2 (a ≠0)的顶点一定是坐标原点 9．如图，小芳在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15 x 2 ＋3.5的一部分，若命中篮圈中心，则 他与篮底的距离l 是（ ） A ．3.5m B ．4m C ．4.5m D ．4.6m 10．二次函数y=ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，下列结论错误的是（ ） A ．a ＞0． B ．b ＞0． C ．c ＜0． D ．abc ＞0． (第9题) (第10 题) 二、填空题（本大题共4小题，每小题３分，共12分） 11．一个正方形的面积为16cm 2 ，当把边长增加x cm 时，正方形面积为y cm 2 ， 则y 关于x 的函数为 。 12．若抛物线y ＝x 2 －bx ＋9的顶点在x 轴上，则b 的值为 。 13．抛物线y=x 2 -2x-3关于x 轴对称的抛物线的解析式为 。 14．如图所示,在同一坐标系中,作出①2 3x y =②2 2 1x y = ③2x y =的图象,则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是(填序号) 。 三、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 15．一个二次函数,它的对称轴是y 轴,顶点是原点,且经过点(1,-3)。 (1)写出这个二次函数的解析式； (2)图象在对称轴右侧部分,y 随x 的增大怎样变化? (3)指出这个函数有最大值还是最小值,并求出这个值。 16．拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为23 1x y - =，当水面离桥顶的高度为325 m 时，水面的宽度 为多少米？ 四、（本题共2小题，每小题5分，满分10分） 17．已知二次函数的顶点坐标为(4，－2)，且其图象经过点(5，1)，求此二次函数的解析式。 x y o 2.5 3.05m l x y O x y o 二次函数专项练习 姓名: 得分: 一、选择题(40’) 1．将二次函数2y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是( )． A ．2(1)2y x =-+ B ．2(1)2y x =++ C ．2(1)2y x =-- D ．2(1)2y x =+- 2．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x ++= 在同一坐标系内的图象大致为（ ）． 3．抛物线2y x bx c =++图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得图象的解析式为 223y x x =--，则b 、c 的值为( )． A ．b ＝2，c ＝2 B ．b ＝2，c ＝0 C ．b ＝-2，c ＝-1 D ．b ＝-3，c ＝2 4. 抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（ ） A ．22y x x =-- B ．211122y x x =-++ C ．211 122y x x =--+ D ．22y x x =-++ 5．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->；②abc ＞0； ③8a+c ＞0；④9a+3b+c ＜0．其中，正确结论的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 第4题 第5题 6．已知点(1x ，1y )，(2x ，2y )(两点不重合)均在抛物线21y x =-上，则下列说法正确的是( )． A ．若12y y =，则12x x = B ．若12x x =-，则12y y =- C ．若120x x <<，则12y y > D ．若120x x <<，则12y y > 7．在反比例函数a y x = 中，当0x >时，y 随x 的增大而减小，则二次函数2y ax ax =-的图象大致是图中的( )． 8．已知二次函数2y ax bx c =++(其中0a >，0b >，0c <)，关于这个二次函数的图象有如下说法：①图象的开口一定向上；②图象的顶点一定在第四象限；③图象与x 轴的交点至少有一个在y 轴的右侧． 以上说法正确的有( )． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9．已知二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值为 （ ） A ． 0或2 B ． 0 C ． 2 D ．无法确定 10．如图，△OAP、△ABQ 均是等腰直角三角形，点P 、Q 在函数4 (0)y x x = > 的图像上，直角顶点A 、B 均在x 轴 上，则点B 的坐标为（ ） A ．(12+，0) B ．(15+，0) C ．(3，0) D ．(15-，O) 二、填空题(32’) 9．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>的对称轴为直线1x =，且经过点1(1,)y -，2(2,)y ，试比较1y 和2y 的大小：1y ________2y （填“＞”，“＜”或“＝”）． 10．抛物线2y x bx c =-++的图象如图所示，则此抛物线的解析式为___ _____． 11．抛物线22(2)6y x =--的顶点为C ，已知y ＝-kx+3的图象经过点C ，则这个一次函数图象与两坐 标轴所围成的三角形面积为________． 12．已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的 解为___ _____． 第10题 第12题 第13题 13．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是________． 14．烟花厂为扬州“4·18”烟花三月经贸旅游节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 初三数学二次函数综合练习 卷 二次函数单元检测 (A) 姓名___ ____ 一、填空题： 1、函数2 1 (1)21m y m x mx +=--+是抛物线，则m ＝ . 2、抛物线2 23y x x =--+与x 轴交点为 ，与y 轴交点为 . 3、二次函数2 y ax =的图象过点（－1，2），则它的解析式是 ， 当x 时，y 随x 的增大而增大. 4．抛物线2)1(62 -+=x y 可由抛物线262 -=x y 向 平移 个单位得到． 5．抛物线342 ++=x x y 在x 轴上截得的线段长度是 ． 6．抛物线() 422 2-++=m x x y 的图象经过原点，则=m ． 7．抛物线m x x y +-=2 ，若其顶点在x 轴上，则=m ． 8. 如果抛物线c bx ax y ++=2 的对称轴是x ＝－2，且开口方向与形状与抛物线 相同，又过原点，那么a ＝ ，b ＝ ，c ＝ . 9、二次函数2 y x bx c =++的图象如下左图所示，则对称轴是 ，当函数值0y <时， 对应x 的取值范围是 . 10、已知二次函数2 1(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点 A （－2，4）和 B （8，2），如上右图所示，则能使1y 2y >成立的x 的取值范围 . 二、选择题： 2 2 3x y -= 11.下列各式中,y 是x 的二次函数的是 ( ) A ．2 1xy x += B ． 2 20x y +-= C ． 2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 12．在同一坐标系中，作2 2y x =、2 2y x =-、2 12 y x = 的图象，它们共同特点是 ( ) A ． 都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B ．都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 B ． 都是关于原点对称，顶点都是原点 D ．都是关于y 轴对称，顶点都是原点 13．抛物线12 2+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．±1 14．把二次函数122 --=x x y 配方成为（ ） A ．2 )1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2 ++=x y D ．2)1(2 -+=x y 15．已知原点是抛物线2 (1)y m x =+的最高点，则m 的范围是( ) A ． 1- 二次函数综合能力测试 （说明：本试题共100分，90分钟完成） 一、填空题：(每空2分,共24分) 1．当m 时，函数m x m x m m y +-+--=)2()32(2 2 是二次函数； 2．正方形边长是3，若边长增加x ，则面积增加y ，则y 与x 之间的函数关系式为 3．函数)0(2 ≠+=a c ax y 的对称轴是 ；顶点是 ； 4．要函数2 mx y -=开口向上，则 m ； 5．抛物线y=-x 2上有两点(x 1,y 1), (x 2,y 2)若x 1 二次函数测试卷一（21.1-21.2） 一、选择题（每题3分） 1.下列函数是二次函数的是（） A. y=3x+1 B. y=ax2+bx+c C. y=x2+3 D. y=（x-1）2-x2 2.二次函数y= -（x+2）2-1的顶点坐标为（） A. （2，-1） B. （2，1） C. （-2，1） D. （-2，-1） 3.已知y=（m+2）x|m|+2是关于x的二次函数，那么m的值为（） A. -2 B. 2 C. ±2 D. 0 4.抛物线y=x2+bx+c，经过配方可化为y=（x-1）2+2，则b，c的值分别为（） A. 5，-1 B. 2，3 C. -2，3 D. -2，-3 5.二次函数y=x2-2x+4化为顶点式，正确的是（） A. y=（x-1）2+2 B. y=（x-1）2+3 C. y=（x-2）2+2 D. y=（x-2）2+4 6. 二次函数的图象如图所示，根据图象可得（）A. a＞0，b＜0，c＜0 B. a＞0，b＞0，c＞0 C. a＜0，b＜0，c＜0 D. a＜0，b＞0，c＜0 7.若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式 为（） A. y=5（x-2）2+1 B. y=5（x+2）2+1 C. y=5（x-2）2-1 D. y=5（x+2）2-1 8.已知二次函数y=a（x+h）2+k，其中，a＞0，h＜0，k＜0，则函数图象大致是（） A. B. C. D. 9.在同一平面直角坐标中，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+b的图象可能是（） A. B. C. D. 10.函数y=x2-2x-3中，当-2≤x≤3时，函数值y的取值范围是（） A. -4≤y≤5 B. 0≤y≤5 C. -4≤y≤0 D. -2≤y≤3 二、填空题（每题4分） 11.抛物线y=x2-2x-5化为顶点式的形式为． 12.抛物线y=-x2+2x+2的顶点坐标是． 13.某抛物线和y=-3x2形状相同，方向相反，且顶点为（-1，3），则它的表达式 为. 14.把抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得抛物线的解析式是__ ____ ． 三、解答题 15.（8分）已知抛物线y=ax2-4x+c经过点A（0，-6）和B（3，-9）． （1）求出抛物线的解析式； （2）写出抛物线的对称轴、顶点坐标及变化趋势． 九年级数学试卷 一、选择题（本题共10 小题，每小题4 分，满分40分） 1.下面的函数是二次函数的是 A ． 13+=x y B ．x x y 22 += C ． 2x y = D ．x y 2= 2.抛物线2 3x y =，23x y -=，13 12 += x y 共有的性质是 A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴 C ．顶点坐标都是（0，0） D ．在对称轴的右边y 随x 的增大而增大 3.把抛物线2 y x =-向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为 A ．2 (1)3y x =--- B ．2 (1)3y x =-+- C ．2 (1)3y x =--+ D ．2 (1)3y x =-++ 4. 抛物线44 12 -+- =x x y 的对称轴是 A.x=-2 B.x=2 C ．x=-4 D.x=-4 5.下列抛物线与x 轴只有一个公共点的是 A ．2)2(21-= x y B ．132+=x y C.1242++=x x y D.3)3(2 1 2+--=x y 6.二次函数c bx ax y ++=2 的图象如图，则点),(a c b 在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7.对于任意实数t ，抛物线t x t x y +-+=)2(2 总经过一个固定的点，这个点是 A.（1，0） B （-1，0） C.-1，3） D.（1，3） 8.在反比例函数4 y x =的图象中，阴影部分的面积不等于4的是 A ． B ． C ． D ． 8．在同一直角坐标系中，函数b ax y +=2 与)0(≠+=ab b ax y 的图象大致如图 （ ） 9．二次函数2 y ax bx c =++的图象如图，则下列关于a ，b ，c 间的函数关系判断正确的是 21.4 二次函数的应用第1课时 主备人黄光怀 教学目标： 1、经历数学建模的基本过程。 2、会运用二次函数求实际生活中的最值问题。 3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。教学重点 二次函数最值问题中的应用 教学难点 从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解 教具准备 多媒体课件 教学过程 一、创设问题情境，引入新课 由23.1节的问题1引入 在问题1中，要使围成的水面面积最大，那么它的长应是多少？它的最大面积是多少？ 问题分析：这是一个求最值的问题。要想解决这个问题，就要首先将实际问题转化成数学问题。 二、讲授新课 在前面的学习中我们已经知道，这个问题中的水面长x与面积S之间的满足函数关系式S=-x2+20x。通过配方，得到S=-(x-10)2+100。由此可以看出，这个 函数的图像是一条开口向下的抛物线，其定点坐标是(10，100)。所以，当x=10m 时，函数取得最大值，为S最大值=100（m2）。 所以，当围成的矩形水面长为10m，宽为10m时，它的面积最大，最大面积是100 m2。 总结： 得出解这类题的一般步骤： （1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值。 三、例题讲解 P38例3： 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式：h＝v0t－1 2 gt2，其中h 是物体上升的高度，v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t是舞台抛出后经过的时间。在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始速度为10m/s。 （1）问排球上升的最大高度是多少？ （2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。 分析：学生容易把这个问题中排球的运动路线想象成抛物线，这一点需要首先说明，球是竖直上抛，在球上升或下降的过程中运动员完成击球。第一个问题,配方得到h=-5(t-1)2+5,抛物线开口向下，顶点坐标（1，5），所以最大高度为5 沪科版九年级数学上册《第21章二次函数与反比例函数单元试卷 一、选择题（本大题共10小题，共50分） 1.二次函数y=x2+4x?5的图象的对称轴为() A. x=4 B. x=?4 C. x=2 D. x=?2 2.将抛物线y=x2?2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析 式为() A. y=(x?1)2+4 B. y=(x?4)2+4 C. y=(x+2)2+6 D. y=(x?4)2+6 3.在同一坐标系中，一次函数y=ax+2与二次函数y=x2+a的图象可能是() A. B. C. D. 4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，点C在y轴的正半轴上，且OA=OC， 则() A. ac+1=b B. ab+1=c C. bc+1=a D. 以上都不是 5.下列关于二次函数y=ax2?2ax+1(a>1)的图象与x轴交点的判断，正确的是() A. 没有交点 B. 只有一个交点，且它位于y轴右侧 C. 有两个交点，且它们均位于y轴左侧 D. 有两个交点，且它们均位于y轴右侧 6.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为x=?1 2 .下列结论中，正确的是() A. abc>0 B. a +b =0 C. 2b+c>0 D. 4a+c<2b 7.如图，A、B两点在双曲线y=4 x 上，分别经过A、B两点向轴作垂线段，已 知S阴影=1，则S1+S2=() A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8.函数y=kx+1与函数y=k x 在同一坐标系中的大致图象是() A. B. C. D. 9.如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为(?3,4)，顶点C在x 轴的负半轴上，函数y=k x (x<0)的图象经过顶点B，则k的值为() A. ?12 B. ?27 C. ?32 D. ?36 10.图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴， 建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=?1 400 (x?80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C 恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为() A. 169 40 米 B. 17 4 米 C. 167 40 米 D. 15 4 米 二、填空题（本大题共4小题，共20分） 11.设抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)过A(0,2)，B(4,3)，C三点，其中点C在直线x=2上，且点C到抛 物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为． 12.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为(?2,0)，抛物线的对称轴 为直线x=2，则线段AB的长为______． 13.如图，函数y=1 x (x>0)和y=3 x (x>0)的图象分别是l1和l2.设点P在l2上，PA//y 轴，交l1于点A，PB//x轴，交l1于点B，则△PAB的面积为______ ． 14.如图，点A(m,2)，B(5,n)在函数y=k x (k>0,x>0)的图象上，将该 函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点 分别为A′、B′.图中阴影部分的面积为8，则k的值为______． 九年级数学沪科版（上）第22章《二次函数》测试卷 姓名__________成绩_________家长签字_________ (满分150分，考试时间90分钟) 一．选择题（4*10=40分） 1、下列各式中，y 是x 的二次函数的是 ……………………………………………………………………( ) A.2 1xy x += B.2 20x y +-= C ．2 2y ax -=- D ．2 2 10x y -+= 2．在同一坐标系中，作2 2y x =+2、2 2y x =--1、2 12 y x = 的图象，则它们………………………… ( ) A ．都是关于y 轴对称 B ．顶点都在原点 C ．都是抛物线开口向上 D ．以上都不对 3．若二次函数)2(2 -++=m m x mx y 的图象经过原点，则m 的值必为……………………………… ( ) A ． 0或2 B. 0 C ． 2 D ． 无法确定 4．把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是………………（ ） =3（x+3）2 -2 =3（x+2）2+2 C.y=3（x-3）2 -2 =3（x-3）2+2 5、二次函数y=x 2＋4x ＋a 的最小值是2，则a 的值是………………………………………………………（ ） .5 C 6．抛物线122 +-=x x y 则图象与x 轴交点为………………………………………………………………（ ） A ．二个交点 B ．一个交点 C ．无交点 D ．不能确定 7．)0(≠+=ab b ax y 不经过第三象限，那么bx ax y +=2 的图象大致为……………………………… （ ） y y y y O x O x O x O x A B C D 8．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是…………………………………………………( ) A ．h ＝m B ．k ＞n C ．k ＝n D ．h ＞0，k ＞0 9．已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，给出以下结论： ① 0a b c ++<；② 0a b c -+<；③20b a +<；④0abc >.其中所有正确结论的序号是………（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①② 第21章二次函数专题（一） 二次函数及图像性质(基础知识测试题）选择题（每题5分，共100分） 1、下列函数不属于二次函数的是（） A.y＝(x－1)(x＋2) B.y＝1 2 (x＋1)2 C. x2+y-3=0 D. y＝2(x＋1)2－2x2 2．下列函数中，是二次函数的是( ) A. y＝3 x2 B. y=3x-2 C. y=2x2 D. y=3x2＋2 3.在函数y = x＋x＋2 x2－9 中，自变量x的取值范围是( ) A. x≥-2且x≠±3 B. x≥-2且x≠3 C. x>-2且x≠-3 D. x>-2且x≠3 4.下列抛物线中,过原点的抛物线是( ) A. y=2x2－3 B. y=2x2＋x C. y=2(x+1)2 D.y=2x2＋1 5．抛物线y=(x-2)2的顶点坐标是（） A. （2，－1） B.（2，1） C.（－2，0） D.（2，0） 6、函数y＝－x2＋4x－3图象顶点坐标是（） A.（2，－1） B.（2，1） C.（－2，－1） D.（－2， 1） 7. 下列四个函数中，y的值随着x值的增大而减小的是（） A．y=2x B．y =1 x (x>0) C．y=x+2 D．y=2x2 (x>0) 8．若（-1，5）、（5，5）是抛物线上y=ax2+bx+c的两个点，则它的对称轴是（） A. x=5 B. x=1 C. x=2 D. x=3 9．抛物线y＝x2的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得抛物线的解析式为（） A. y＝x2＋4x＋5 B. y＝x2＋4x＋3 C. y＝x2－4x＋3 D.y=x2－4x－5 10、把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移个单位，再向下平移2个单位，所得图 象的解析式是y=x2－2x+5，则有（） A．b=3，c=7 B．b=－9，c=－15 C．b=3，c=3 D．b=4，c=10 一、选择题 1. 函数y (m n) x2 mx n 是二次函数的条件是（）． Ａ． m ， n 是常数，且m 0 Ｂ． m ， n 是常数，且m n Ｃ． m ， n 是常数，且n 0 Ｄ． m ， n 可以是任意常数 2. 下列函数中，y 是x的二次函数的为（）． Ａ． y 1 x2 Ｂ． y ax2 bx c （ a ，b， c 为常数） 2 Ｃ． y 1 Ｄ． y ( x 3)2 x2 x2 3. 下列函数不是二次函数的为（）． Ａ． yx2 1 Ｂ． y x2 Ｃ． S πr2 Ｄ． y 2x2 6x 1 4. 若函数y ( k 2) x k kx 1 是二次函数，则k的值是（）． Ａ． 2 Ｂ． 2 Ｃ． 2 Ｄ．以上均不对 5.下列函数关系中，可以看作二次函数y ax2bx c(a 0) 模型的是（）Ａ．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 Ｂ．我国人口自然增长率为1% ，这样我国人口总数随年份的变化关系 Ｃ．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）Ｄ．圆的周长与圆的半径之间的关系 6. 下面四个函数中属于二次函数的是（） A．y13x 2 1 2 x2 3 B．y 2 C．y 3 x D．y 3)2 1 x (x 7. 如果y (m 2) x m2m是关于 x的二次函数，则 m=（）A．1 B．2 C．1或2 D．m不存在 8.若y（a2a）x a22a 1是二次函数，则（） A ． a =-1 或 a =3 B ． a ≠ -1 ， a ≠ 0 C ． a =-1 D ． a =3 9. 下列各关系式中，属于二次函数的是 ( x 为自变量 ) （ ） = 1 x 2 = x 2 1 = 1 = a 2x 8 x 2 10. 函数 y =ax 2( a ≠ 0) 的图象经过点 ( a ， 8) ，则 a 的值为（ ） A. ±2 B. － 2 11. 下列结论正确的是（ 2 =ax 是二次函数 ） B. 二次函数自变量的取值范围是所有实数 C. 二次方程是二次函数的特例 D. 二次函数的取值范围是非零实数 12. 如果函数 y =( m -3) x m2-3 m+2 是二次函数，那么 m 的值一定是（ ） A ． 0 B ． 3 C ．0，3 D ．1，2 13. 下列函数中， y 是 x 二次函数的是（ ） 2 1 2 2 （ A ） y ＝ x － 1 （ B ） y ＝ x ＋ x － 10 （ C ） y ＝ x ＋ 2x （ D ） y ＝ x － 1 14. 下列函数中，是二次函数的是 （ ） A 、 y=8x 2+1； B 、 y=8x+1 ； C 、 y 8 ； D 、 y 8 1。 x x 2 二、填空题 15. 二次函数 y 4(1 2x)( x 3) 的一般形式是 ． 16. 关于 x 的二次函数 y ( m 1)x 2 ( m 1)x m ，当 m 0 时，它是 函数；当 m 1时， 它 是 函数． 17. 若函数 y (m 2 4) x m 2 m 4 (m 1)x 2m 5 是关于 x 的二次函数，则 m 的值为 ，其 函数式为 ．沪科版二次函数与相似三角形综合测试题
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