§4 功和能的关系 能量守恒定律
一、功和能的关系
功是能量转化的量度，做功的多少一定与能的转化的量相对应．常用的几种功能关系：
①物体的合外力做功量度其动能的改变，即：K 1K 2K E E E W -=?=合．
②物体的重力做功量度其重力势能的改变．重力做正功，重力势能减少；重力做负功，重力 势能增加：即21P P P G E E E W -=?-=．弹力做功与弹性势能的变化关系类似．
③物体的重力和弹力之外的力做功F W ，量度其机械能的改变，即12E E W F -=．
二、摩擦力做功的特点
１．静摩擦力做功的特点
①静摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功．
②在静摩擦力做功的过程中，只有机械能的相互转移(静摩擦力起着传递机械能的作用)，而 没有机械能转化为其他形式的能．
③相互摩擦的系统内，一对静摩擦力所做功的和总是等于零．
２．滑动摩擦力做功的特点
如图所示，表面粗糙的小车，放在光滑的水平地面上，具有一定速度的小木块由小车左端滑
上小车，当木块与小车相对静止时木块相对小车的位移为d ，小车相对于地面的位移为s ，则
滑动摩擦力对木块的功为)(s d f W +-=木
由动能定理得木块的动能增量为)(s d f E K +-=?木
动摩擦力对小车做的功为fs W =木
同理，小车动能增量为fs E K =?车
fd E E K K -=?+?车木表明木块和小车的系统机械能减少量等于滑动摩擦力与木块相对于小车的位移的乘积，这部分能量转化为内能，即fd Q =．
综上所述，滑动摩擦力做功有以下特点：
①滑动摩擦力可能对物体做正功，也可以对物体做负功，还可以不做功，
②一对滑动摩擦力做功的过程中，能量的转化有两种情况：一是相互摩擦的物体之间机械能 的转移，二是机械能转化为内能，转化为内能的量值等于滑动摩擦力与相对位移的乘积．
③相互摩擦的系统内，一对滑动摩擦力所做的功总是负值，其绝对值恰等于滑动摩擦力与相 对位移的乘积，即恰等于系统损失的机械能．
三、能量守恒定律
能量既不能凭空产生，也不能凭空消失，它只能从一种形式的能转化为另一种形式的能，或
者从一物体转移到另一物体，这就是能量守恒定律．
能量守恒定律应从下面两方面去理解：①某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量和增加量一定相等；②某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等．这也是列能量守恒定律方程式的两条基本思路．
四、用能量守恒定律解题的步骤：
①分清有多少种形式的能(如动能、势能、电能等)在变化；②分别列出减少的能量减E ?和
增加的能量增E ?的表示式；③列出恒等式增减E E ?-=?．
例１：一小滑块放在如右图所示的凹形斜面上，用力F 沿斜面向下拉小滑块，小滑块沿斜面运动了一段距离．若已知在这过程中，拉力F 所做的功的大小(绝对值)为A ，斜
面对滑块的作用力所做的功的大小为B ，重力做功的大小为C ，空气阻力做功
的大小为D ．当用这些量表达时，小滑块的动能的改变(指末态动能减去初态
动能)等于 ；滑块的重力势能的改变等于 ；滑块机
械能(指动能与重力势能之和)的改变等于 ．
例２：一质量均匀不可伸长的绳索，重为G ，A 、B 两端固定在天花板上，如
右图所示．现在最低点C 施加一竖直向下的力将绳拉至D 点，在此过程中，
绳AB 的重心位置 ( )
A ．逐渐升高
B ．逐渐降低
C ．先降低后升高
D ．始终不变
例３：质量为m 的木块放在光滑水平面上，用一轻弹簧连着木块，如图所示，人用恒力F 水平推弹簧，使木块向前移动获得速度v ，则此过程中力F 所做的功W ( )
A ．W ＝
2
21mv B ．W >22
1mv C ．W <22
1mv D ．无法判断 例５：质量为m 的物体，在距离地面h 高处以g 31的加速度由静止竖直下落到地面，下列说法中正确的是 ( )
A ．物体的重力势能减少mgh 31
B ．物体的机械能减少
mgh 32 C ．物体的动能增加mgh 3
1 D ．重力做功mgh
例６：一块质量为m 的木块放在地面上，用一根弹簧连着木块，如右图所示，用恒
力F 拉弹簧，使木块离开地面，如果力F 的作用点向上移动的距离为h ，则 ( )
A ．木块的重力势能增加了mgh
B ．木块的机械能增加了Fh
C ．拉力所做的功为Fh
D ．木块的动能增加了Fh
例７：如图所示，A 物体放在B 物体的左侧，用水平恒力F 将A 拉至B 的右端，第一次B 固定在地面上，F 做功为W 1，产生热量Q 1，第二次让B 在光滑地面上自由滑动，F 做功为W 2，产生
热量为Q 2，则应有 ( )
A ．W 1< W 2，Q 1＝Q 2
B ．W 1＝W 2，Q 1＝Q 2
C ．W 1< W 2，Q 1< Q 2
D ．W 1＝W 2，Q 1< Q 2
例４：一物块由静止开始从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点，在此过程中重力对物块做的功等于 ( )
A ．物块动能的增加量
B ．物块重力势能的减少量与物块克服摩擦力做的功之和
C ．物块重力势能的减少量和物块动能的增加量以及物块克服摩擦力做的功之和
D ．物块动能的增加量与物块克服摩擦力做的功之和
例８：如图所示，质量为M 的木块放在光滑的水平面上，质量为m 的子弹以速度v 0沿水平方向射中木块，并最终留在木块中与木块一起以速度v 运动．已知当子弹相对木块静止时，木块前进
距离L ，子弹进入木块的深度为s ，若木块对子弹的阻力F 视为恒定，则下列关系式中正确的是
( )
A ．221Mv FL =
B ．22
1mv FL = C ．220)(2121v m M mv FL +-= D ．2202121)(mv mv s L F -=+ 例９：滑块以速率v 1靠惯性沿固定斜面由底端向上运动，当它回到出发点时速度变为v 2，且v 2 A ．上升时机械能减小，下降时机械能增大 B ．上升时机械能减小，下降时机械能也减小 C ．上升过程中动能和势能相等的位置在A 点上方 D ．上升过程中动能和势能相等的位置在A 点下方 例10：一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后又返回到斜面底端．已知小物块的初动能为E ，它返回到斜面底端的速度为v ，克服摩擦力做功为 2 E ，若小物块以2E 的初动能冲上斜面，则有 ( ) A ．返回斜面底端时的动能为 2 3E B ．返回斜面底端时的动能为E C ．返回斜面底端时的速度大小为v 2 D ．小物块两次往返克服摩擦力做功相同 例11：如图所示，一根粗细均匀链条长为L ，放在光滑的水平桌面上，一端下垂，其长度为a ，今将链条由静止释放，当链条刚好全部滑离桌面时，链条下端未落地，则此时链条速度为 ． 例12：如图所示，物体以100J 的初动能从斜面的底端向上运动，当它通过斜面上的M 点时，其动能减小80J ，机械能减少32J ，如果物体能从斜面上返回底端，则物体到达底端时的动能为 ． 例13：面积很大的水池，水深为H ，水面上浮着一正方体木块．木块边长为a ，密度为水的21，质量为m ．开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示．现用力F 将木块缓慢地压到池底，不计摩擦，求： (1)从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量． (2)从开始到木块刚好完全没入水的过程中，力F 所做的功． 例14：如图所示，一根轻弹簧竖直放置在地面上，上端为O 点．某人将质量为m 的物块放在弹簧上端O 处，使它缓缓下落到A 处，放手后物块处于平衡，在此过程中物块克服人的作用力做功为W ，如果将物块从距轻弹簧上端O 点H 高处由静止释放，物块自由落下，落到弹簧上端O 点后，继续下落将弹簧压缩，那么物块将弹簧压缩到A 处时，物块速度的大小是多少?(不计碰撞过程中能量损失) 例15：如图所示，光滑水平面右端B 处连接一个竖直的半径为R 的光滑半圆轨道．在距离B 为x 的A 点，用水平推力将质量为m 的质点从静止开始推到B 处后撒去水平推力，质点沿半圆轨道运动到C 处后又正好落回A 点．重力加速度为g ，求： (1)推力对小球所做的功．(用m 、g 、R 、x 表示) (2)x 取何值时，完成上述运动推力所做的功最小?最小功为多少? 例16：如图所示，AB是倾角为θ的粗糙直轨道，BCD是光滑的圆弧轨道，AB恰好在B点与圆弧相切，圆弧的半径为R．一个质量为m的物体(可以看作质点)从直轨道上的P点由静止释放，结果它能在两轨道间做往返运动．已知P点与圆弧的圆心O等高，物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ．求： (1)物体做往返运动的整个过程中，在AB轨道上通过的总路程； (2)最终当物体通过圆弧轨道最低点E时，对圆弧轨道的压力． 例17：一个劲度系数为k＝800N／m的轻弹簧两端分别连接着质量均为m＝12kg的物体A和B，将它们竖直静止地放在水平地面上，如图所示．现施加一竖直向上的变力F在物体A上，使A 由静止开始向上做匀加速运动．当t＝0.4s时物体B开始离开地面．设整个匀加速过程弹簧都处于弹性限度内，取g＝10m／s2．求： (1)此过程中物体A的加速度的大小； (2)此过程中所加外力F所做的功． 例18：如图所示，水平长传送带始终以速度v＝3 m／s匀速运动．现将一质量为m＝l kg的物块放于左端(无初速度)．最终物体与传送带一起以3 m／s的速度运动，在物块由速度为零增加至v ＝3 m／s的过程中，求： (1)由于摩擦而产生的热量． (2)由于放了物块，带动传送带的电动机消耗多少电能? 例19：如图所示，电动机带着绷紧的传送皮带始终以v 0＝2m ／s 的速度运动，传送带与水平面的夹角为30°，现把一质量为M ＝10kg 的工件轻轻地放在皮带的底端，经过一段时间后，工件被送到高h ＝2 m 的平台上，已知工件与皮带间的动摩擦因数μ＝2 3．除此之外，不计其他损耗，求电动机由于传送工件多消耗的电能． 例20：如图所示的传送带以速率v ＝2m ／s 匀速运行，AB 部分水平，BC 部分与水平面之间的夹角为30°，AB 间与BC 间距离都等于12m ，工件与传送带间的动摩擦因数为6 3= μ，现将质量为5kg 的工件轻轻放在传送带的A 端，假设工件始终没有离开传送带，g 取10m ／s 2，求： (1)工件滑至C 点时的速度大小， (2)工件A 到C 的过程中，传送带对工件所做的功， (3)A 到C 的过程中产生的热量．
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