专题5.4 功能关系能量守恒定律
【高频考点解读】
1.掌握功和能的对应关系，特别是合力功、重力功、弹力功分别对应的能量转化关系
2.理解能量守恒定律，并能分析解决有关问题．
【热点题型】
题型一功能关系的理解与应用
例1、自然现象中蕴藏着许多物理知识，如图5-4-1所示为一个盛水袋，某人从侧面缓慢推袋壁使它变形，则水的势能(
)
图5-4-1
A．增大B．变小
C．不变D．不能确定
解析：选A 人缓慢推水袋，对水袋做正功，由功能关系可知，水的重力势能一定增加，A正确。
【提分秘籍】
1．对功能关系的理解
(1)做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现在不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系，二是做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
2．几种常见的功能关系及其表达式
各种力做功对应能
的变化
定量的关系
合力的功动能变化合力对物体做功等于物体动能的增量W合＝E k2－E k1
重力的功重力势
能变化
重力做正功，重力势能减少，重力做负功，重力势
能增加，且W G＝－ΔE p＝E p1－E p2
弹簧弹力的功弹性势
能变化
弹力做正功，弹性势能减少，弹力做负功，弹性势
能增加，且W弹＝－ΔE p＝E p1－E p2
只有重力、弹簧弹力的功不引起机
械能变化
机械能守恒ΔE＝0
非重力和弹力的功机械能
变化
除重力和弹力之外的其他力做正功，物体的机械能
增加，做负功，机械能减少，且W其他＝ΔE
电场力的功电势能
变化
电场力做正功，电势能减少，电场力做负功，电势
能增加，且W电＝－ΔE p
【举一反三】
轻质弹簧右端固定在墙上，左端与一质量m＝0.5 kg的物块相连，如图5-4-2甲所示。弹簧处于原长状态，物块静止且与水平面间的动摩擦因数μ＝0.2。以物块所在处为原点，水平向右为正方向建立x轴。现对物块施加水平向右的外力F，F随x轴坐标变化的情况如图乙所示。物块运动至x＝0.4 m处时速度为零。则此时弹簧的弹性势能为(g取10 m/s2)( )
图5-4-2
A．3.1 J B．3.5 J
C．1.8 J D．2.0 J
题型二摩擦力做功与能量的关系
例2、如图5-4-4所示，有一个可视为质点的质量为m＝1 kg的小物块。从光滑平台上的A点以v0＝2 m/s 的初速度水平抛出，到达C点时，恰好沿C点的切线方向进入固定在水平地面上的光滑圆弧轨道，最后小物块滑上紧靠轨道末端D点的质量为M＝3 kg的长木板。已知木板上表面与圆弧轨道末端切线相平，木板下表面与水平地面之间光滑，小物块与长木板间的动摩擦因数μ＝0.3，圆弧轨道的半径为R＝0.4 m，C点和圆弧的圆心连线与竖直方向的夹角θ＝60°，不计空气阻力，g取10 m/s2。求：
(1)小物块刚要到达圆弧轨道末端D点时对轨道的压力；
(2)要使小物块不滑出长木板，木板的长度L至少多大？
图5-4-4
【解析】(1)小物块在C点时的速度大小为
v C＝v0
cos 60°
①
小物块由C到D的过程中，由机械能守恒定律得：
mgR (1－cos 60°)＝12
mv D 2－12
mv C 2②
代入数据解得v D ＝2 5 m/s 小球在D 点时由牛顿第二定律得：
F N －mg ＝m v D 2
R
③
代入数据解得F N ＝60 N④
由牛顿第三定律得F N ′＝F N ＝60 N ，方向竖直向下。
【答案】(1)60 N 方向竖直向下 (2)2.5 m 【方法规律】
(1)小物块刚要到达D 点时具有竖直向上的加速度，支持力大于重力，区别于小物块刚过C 点的情况。 (2)木板的最小长度对应小物块与长木板相对滑动的最大位移。 【提分秘籍】
1．两种摩擦力做功的比较
静摩擦力
滑动摩擦力
不 同 点 能量的转化方面 只有能量的转移，没有能量的转化
既有能量的转移，又有能量的转化
一对摩擦力的总功
方面
一对静摩擦力所做功的代数和等于零
一对滑动摩擦力所做功的代数和为负值，总功W ＝－F f ·s 相对，即摩擦时产生的热量
相同点 正功、负功、不做功方面 两种摩擦力对物体可以做正功、负功，还可以不
做功；
静摩擦力做正功时，它的反作用力一定做负功；
滑动摩擦力做负功时，它的反作用力可能做正
功，可能做负功，还可能不做功；但滑动摩擦力
做正功或不做功时，它的反作用力一定做负功
2
(1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析。
(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系。
(3)公式Q＝F f·s相对中s相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则s相对为总的相对路程。
【举一反三】
某电视娱乐节目装置可简化为如图5-4-6所示模型。倾角θ＝37°的斜面底端与水平传送带平滑接触，传送带BC长L＝6 m，始终以v0＝6 m/s的速度顺时针运动。将一个质量m＝1 kg的物块由距斜面底端高度h1＝5.4 m的A点静止滑下，物块通过B点时速度的大小不变。物块与斜面、物块与传送带间动摩擦因数分别为μ1＝0.5、μ2＝0.2，传送带上表面距地面的高度H＝5 m，g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
图5-4-6
(1)求物块由A点运动到C点的时间；
(2)若把物块从距斜面底端高度h2＝2.4 m处静止释放，求物块落地点到C点的水平距离；
(3)求物块距斜面底端高度满足什么条件时，将物块静止释放均落到地面上的同一点D。
v 02－v 2＝2a 2x ，x ＝5m ＜6m
所以物体先做匀加速直线运动后和皮带一起匀速运动，离开C 点做平抛运动
s ＝v 0t 0，H ＝12
gt 02，解得s ＝6 m
(3)因物块每次均抛到同一点D ，由平抛知识知：物块到达C 点时速度必须有v C ＝v 0 ① 当离传送带高度为h 3时物块进入传送带后一直匀加速运动，则：
mgh 3－μ1mg cos θ
h 3
sin θ＋μ2mgL ＝12
mv 02
，h 3＝1.8 m 。 ②当离传送带高度为h 4时物块进入传送带后一直匀减速运动，则：
mgh 4－μ1mg cos θ
h 4
sin θ－μ2mgL ＝12
mv 02
，h 4＝9.0 m 所以当离传送带高度在1.8 m ～9.0 m 的范围内均能满足要求 即1.8 m≤h ≤9.0 m。
答案：(1)4 s (2)6 m (3)1.8 m≤h ≤9.0 m 题型三 能量转化与守恒的应用
例3、)如图5-4-7所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A 与斜面之间的动摩擦因数μ＝
3
2
，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C 点。用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A 和B ，滑轮右侧绳子与斜面平行，A 的质量为2m ，B 的质量为m ，初始时物体A 到C 点的距离为L 。现给A 、B 一初速度v 0＞gL ，使A 开始沿斜面向下运动，B 向上运动，物体A 将弹簧压缩到最短后又恰好能
弹到C 点。已知重力加速度为g ，不计空气阻力，整个过程中，轻绳始终处于伸直状态，求：
图5-4-7
(1)物体A 向下运动刚到C 点时的速度； (2)弹簧的最大压缩量； (3)弹簧的最大弹性势能。
(3)弹簧从压缩到最短到恰好能弹到C 点的过程中，对系统根据功能关系有E p ＋mgx ＝2mgx sin θ＋F f x 所以E p ＝F f x ＝3mv 02
4－3mgL
4
。
【答案】(1)v 02
－gL (2)v 022g －L
2
(3)3mv 02
4－3mgL 4
【方法规律】涉及弹簧的能量问题的解题方法
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点： (1)能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒。
(2)如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同。 (3)当弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度。 【提分秘籍】
1．对能量守恒定律的两点理解
(1)某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等； (2)某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2．能量转化问题的解题思路
(1)当涉及摩擦力做功，机械能不守恒时，一般应用能的转化和守恒定律。
(2)解题时，首先确定初末状态，然后分析状态变化过程中哪种形式的能量减少，哪种形式的能量增加，求出减少的能量总和ΔE 减与增加的能量总和ΔE 增，最后由ΔE 减＝ΔE 增列式求解。
【举一反三】
如图5-4-10所示，光滑水平面AB 与竖直面内的半圆形导轨在B 点相切，半圆形导轨的半径为R 。一个质量为m 的物体将弹簧压缩至A 点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B 点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的8倍，之后向上运动恰能到达最高点C 。(不计空气阻力)试求：
图5-4-10
(1)物体在A 点时弹簧的弹性势能；
(2)物体从B 点运动至C 点的过程中产生的内能。
解析：(1)设物体在B 点的速度为v B ，所受弹力为F N B ，则有
F N B －mg ＝m v B 2
R
又F N B ＝8 mg
由能量守恒定律可知弹性势能
E p ＝12mv B 2＝72
mgR 。
答案：(1)7
2mgR (2)mgR
【高考风向标】
1.【2015·全国新课标Ⅰ·17】如图所示，一半径为R ，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置,直径POQ 水平。一质量为m 的质点自P 点上方高度R 处由静止开始下落，恰好从P 点进入轨道。质点滑到轨道最低点N 时，对轨道的压力为4mg ，g 为重力加速度的大小。用W 表示质点从P 点运动到N 点的过程中客服摩擦力所做的功。则
A ．mgR W 21
=，质点恰好可以到达Q 点 B ．mgR W 21
>，质点不能到达Q 点
C ．mgR W 21
=，质点到达Q 后，继续上升一段距离
D ．mgR W 2
1
<，质点到达Q 后，继续上升一段距离
【答案】C
【解析】根据动能定理可得P 点动能Kp E mgR =，经过N 点时，半径方向的合力提供向心力，可得
24v mg mg m R -=，所以N 点动能为32KN mgR
E =，从P 点到N 点根据动能定理可得
32
mgR mgR w mgR +=
-，即摩擦力做功2mgR
w =-。质点运动过程，半径方向的合力提供向心力即2
sin N v F mg ma m R
θ-==，根据左右对称，在同一高度，由于摩擦力做功导致右半幅的速度小，轨道弹
力变小，滑动摩擦力N f F μ=变小，所以摩擦力做功变小，那么从N 到Q ，根据动能定理，Q 点动能
3'2
KQ mgR
E mgR w =
--，由于mgR '2w <，所以Q 点速度仍然没有减小到0，仍会继续向上运动一段距离，对照选项C 对。
2.【2015·北京·18】“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下，将蹦极过程简化为人沿竖直方向的运动。从绳恰好伸直，到人第一次下降至最低点的过程中，下列分析正确的是（）
A ．绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小
B ．绳对人的拉力始终做负功，人的动能一直减小
C ．绳恰好伸直时，绳的弹性势能为零，人的动能最大
D ．人在最低点时，绳对人的拉力等于人所受的重力 【答案】A
3.【2015·江苏·9】10．如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与质量为m 、套在粗糙竖直固定杆A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从A 处由静止开始下滑，经过B 处的速度最大，到达C 处的速度为零，AC=h 。圆环在C 处获得一竖直向上的速度v ，恰好能回到A ；弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g ，则圆环（ ）
A ．下滑过程中，加速度一直减小
B ．下滑过程中，克服摩擦力做功为2
4
1mv C ．在C 处，弹簧的弹性势能为
mgh mv 24
1
D ．上滑经过B 的速度大于下滑经过B 的速度 【答案】BD
1.(2014·山东高考)2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程。某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图5-4-9，将携带“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h 高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球。设“玉兔”质量为m ，月球半径为R ，月面的重力加速度为g 月。以月面为零势能面，“玉兔”在h 高度的引力势能可表示为E p ＝
GMmh
R (R ＋h )
，其中G 为引力常量，M 为月球质量。若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成
需要对“玉兔”做的功为( )
图5-4-9 A ．mg 月R
R ＋h
(h ＋2R ) B ．mg 月R
R ＋h (h ＋2R ) C ．
mg 月R R ＋h ? ??
??
h ＋22R D ．
mg 月R R ＋h ? ??
??
h ＋12R 解析：选D 根据题意可知，要使“玉兔”和飞船在距离月球表面高为h 的轨道上对接，若不考虑月球的自转影响，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做的功应为克服月球的万有引力做的功与在该轨道做圆周
运动的动能之和，所以W ＝E p ＋E k ，E p ＝GMmh R (R ＋h )，再根据：GMm (R ＋h )2＝
mv 2
R ＋h
，据此可求得需要的动能为：E k ＝GMm
2(R ＋h)，再联系：GM ＝g 月R 2
，由以上三式可求得，从开始发射到完成对接需要对“玉兔”做
的功应为：W ＝
mg 月R R ＋h ? ??
??
h ＋12R ，所以该题正确选项为D 。 2．(2014·重庆卷)题7图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球表面高度为h 1处悬停(速度为0，h 1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h 2处的速度为v ；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落到月面，已知探测器总质量为m (不包括燃料)，地球和月球的半径比为k 1，质量比为k 2，地球表面附近的重力加速度为g ，求：
题7图
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小； (2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化．
【答案】(1)k 21
k 2g
v 2
＋2k 21gh 2k 2 (2)12mv 2－k 2
1
k 2
mg (h 1－h 2)
本题利用探测器的落地过程将万有引力定律，重力加速度概念，匀变速直线运动，机械能等的概念融合在一起考查．设计概念比较多，需要认真审题．
有ΔE ＝12m (v 2＋2k 21gh 2k 2)－m k 2
1
k 2gh 1
得ΔE ＝12mv 2－k 2
1
k 2
mg (h 1－h 2)
3．（2014·新课标Ⅱ卷） 一物体静止在粗糙水平地面上，现用一大小为F 1的水平拉力拉动物体，经过一段时间后其速度变为v .若将水平拉力的大小改为F 2，物体从静止开始经过同样的时间后速度变为2v .对于上述两个过程，用W F 1、W F 2分别表示拉力F 1、F 2所做的功，W f 1、W f 2分别表示前后两次克服摩擦力所做的功，则( )
A ．W F 2＞4W F 1，W f 2＞2W f 1
B ．W F 2＞4W F 1，W f 2＝2W f 1
C ．W F 2＜4W F 1，W f 2＝2W f 1
D．W F2＜4W F1，W f2＜2W f1
4．（2014·广东卷）图9是安装在列车车厢之间的摩擦缓冲器结构图，图中①和②为楔块，③和④为垫板，楔块与弹簧盒、垫板间均有摩擦，在车厢相互撞击使弹簧压缩的过程中( )
A．缓冲器的机械能守恒
B．摩擦力做功消耗机械能
C．垫板的动能全部转化为内能
D．弹簧的弹性势能全部转化为动能
【答案】B 【解析】由于楔块与弹簧盒、垫块间均有摩擦，摩擦力做负功，则缓冲器的机械能部分转化为内能，故选项A错误，选项B正确；车厢撞击过程中，弹簧被压缩，摩擦力和弹簧弹力都做功，所以垫块的动能转化为内能和弹性势能，选项C、D错误．
5．（2014·福建卷Ⅰ）如图所示，两根相同的轻质弹簧，沿足够长的光滑斜面放置，下端固定在斜面底部挡板上，斜面固定不动．质量不同、形状相同的两物块分别置于两弹簧上端．现用外力作用在两物块上，使两弹簧具有相同的压缩量，若撤去外力后，两物块由静止沿斜面向上弹出并离开弹簧，则从撤去外力到物块速度第一次减为零的过程，两物块( )
A．最大速度相同
B．最大加速度相同
C．上升的最大高度不同
D．重力势能的变化量不同
【高考押题】
1.俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落事件。根据俄紧急情况部的说法，坠落的是一颗陨石。这颗陨石重量接近1万吨，进入地球大气层的速度约为4万英里每小时，随后与空气摩擦而发生剧烈燃烧，并在距离地面上空12至15英里处发生爆炸，产生大量碎片，假定某一碎片自爆炸后落至地面并陷入地下一定深度过程中，其质量不变，则( )
图1
A．该碎片在空中下落过程中重力做的功等于动能的增加量
B．该碎片在空中下落过程中重力做的功小于动能的增加量
C．该碎片在陷入地下的过程中重力做的功等于动能的改变量
D．该碎片在整个过程中克服阻力做的功等于机械能的减少量
解析：选D 由能量转化和守恒定律可知，该碎片在空气中下落过程中，重力和空气阻力做功之和等于动能的增加量，因空气阻力做负功，故重力做的功大于动能的增加量，A、B均错误；该碎片陷入地下的过程中，因有阻力做负功，且克服阻力做的功等于其机械能的减少量，故D正确，C错误。
2．用恒力F竖直向上拉一物体，使其由地面处开始加速上升到某一高度。若该过程空气阻力不能忽略，则下列说法中正确的是( )
A．力F做的功和阻力做的功之和等于物体动能的增量
B．重力所做的功等于物体重力势能的增量
C．力F做的功和阻力做的功之和等于物体机械能的增量
D．力F、重力、阻力三者的合力所做的功等于物体机械能的增量
3．如图2所示，A、B、C三个一样的滑块从粗糙斜面上的同一高度同时开始运动，A由静止释放，B的初速度方向沿斜面向下，大小为v0，C的初速度方向沿斜面水平，大小也为v0。下列说法中正确的是( )
图2
A．A和C将同时滑到斜面底端
B．滑到斜面底端时，B的机械能减少最多
C．滑到斜面底端时，B的动能最大
D．滑到斜面底端时，C的重力势能减少最多
解析：选C 将滑块C的运动沿水平方向和沿斜面向下方向正交分解，A、C两个滑块所受的滑动摩擦力大小相等，A所受滑动摩擦力沿斜面向上，C沿斜面向上的力是滑动摩擦力的分力，根据牛顿第二定律知，沿斜面方向C的加速度大于A的加速度，又沿斜面向下A、C都做初速度为零的加速运动，由运动规律知C先到达斜面底端，故A错误；三个滑块所受的滑动摩擦力大小相等，滑动摩擦力做功与路程有关，C运动的路程最大，C克服摩擦力做功最大，机械能减小量等于克服阻力做的功，故滑块C机械能减小的最多，故B错误；重力做功相同，摩擦力对A、B做功相同，C克服摩擦力做功最多，而B有初速度，根据动能定理可知，滑到斜面底端时，B滑块的动能最大，故C正确；三个滑块下降的高度相同，重力势能减小相同，故D错误。
4.(多选)如图3，一固定斜面倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度，沿斜面向上做匀减速运动，加速度的大小等于重力加速度的大小g。若物块上升的最大高度为H，则此过程中，物块的( )
图3
A ．动能损失了2mgH
B ．动能损失了mgH
C ．机械能损失了mgH
D ．机械能损失了1
2
mgH
5．(多选)如图4，质量为M 、长度为L 的小车静止在光滑水平面上，质量为m 的小物块(可视为质点)放在小车的最左端。现用一水平恒力F 作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为F f ，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x 。此过程中，以下结论正确的是( )
图4
A ．小物块到达小车最右端时具有的动能为(F －F f )(L ＋x )
B ．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为F f x
C ．小物块克服摩擦力所做的功为F f (L ＋x )
D ．小物块和小车增加的机械能为Fx
解析：选ABC 由动能定理可得小物块到达小车最右端时的动能E k 物＝W 合＝(F －F f )(L ＋x )，A 正确；小车的动能E k 车＝F f x ，B 正确；小物块克服摩擦力所做的功W f ＝F f ·(L ＋x )，C 正确；小物块和小车增加的机械能为F (L ＋x )－F f ·L ，D 错误。
6.(多选)如图5所示，质量为M 、长为L 的木板置于光滑的水平面上，一质量为m 的滑块放置在木板左端，滑块与木板间滑动摩擦力大小为f ，用水平的恒定拉力F 作用于滑块。当滑块运动到木板右端时，木板在地面上移动的距离为s ，滑块速度为v 1，木板速度为v 2，下列结论中正确的是( )
图5
A ．上述过程中，F 做功大小为12mv 12＋12Mv 22
B ．其他条件不变的情况下，M 越大，s 越小
C ．其他条件不变的情况下，F 越大，滑块到达右端所用时间越长
D ．其他条件不变的情况下，f 越大，滑块与木板间产生的热量越多
7．(多选)如图6所示，足够长传送带与水平面的夹角为θ，物块a 通过平行于传送带的轻绳跨过光滑轻滑轮与物块b 相连。开始时，a 、b 及传送带均静止且m b ＞m a sin θ。现使传送带顺时针匀速转动，则物块在运动(物块未与滑轮相碰)过程中( )
图6
A ．一段时间后可能匀速运动
B ．一段时间后，摩擦力对物块a 可能做负功
C ．开始的一段时间内，重力对a 做功的功率大于重力对b 做功的功率
D ．摩擦力对a 、b 组成的系统做的功等于a 、b 机械能的增量
解析：选ABD 当传送带向上匀速的开始阶段，因传送带对a 的摩擦力沿带向上，且F f ＋m b g ＞m a g sin θ，故物块a 向上加速，当物块a 、b 的速度大小与带速相等时，开始做匀速运动，此时因m b g ＞m a g sin θ，物块a 受的摩擦力对a 做负功，A 、B 均正确；设a 、b 的速度大小均为v ，则P a ＝m a gv sin θ，P b ＝m b g ·v ，故
P a ＜P b ，C 错误；由功能关系可知，摩擦力对a 、b 系统所做的功等于a 、b 系统机械能的增量，D 正确。
8.(多选)如图7所示，水平桌面上的轻质弹簧一端固定，另一端与小物块相连，弹簧处于自然长度时物块位于O 点(图中未标出)。物块的质量为m ，AB ＝a ，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，现用水平向右的力将物块从O 点拉至A 点，拉力做的功为W 。撤去拉力后物块由静止向左运动，经O 点到达B 点时速度为零，重力加速度为g 。则上述过程中( )
图7
A ．物块在A 点时弹簧的弹性势能一定大于在
B 点时弹性势能 B ．物块在O 点时动能最大
C ．物块在B 点时，弹簧的弹性势能大于W －3
2μmga
D ．经O 点时，物块的动能小于W －μmga
9．某汽车研发机构在汽车的车轮上安装了小型发电机，将减速时的部分动能转化并储存在蓄电池中，以达到节能的目的。某次测试中，汽车以额定功率行驶700 m 后关闭发动机，测出了汽车动能E k 与位移x 的关系图像如图8所示，其中①是关闭储能装置时的关系图线，②是开启储能装置时的关系图线。已知汽车的质量为1 000 kg ，设汽车运动过程中所受地面阻力恒定，空气阻力不计，求
图8
(1)汽车的额定功率P ；
(2)汽车加速运动500 m 所用的时间t ； (3)汽车开启储能装置后向蓄电池提供的电能E?
解析：(1)关闭发动机且关闭储能装置后，汽车在地面阻力f 的作用下减速至静止，由动能定理 －fx ＝0－E k 解得f ＝2×103
N
汽车匀速运动的动能E k ＝12
mv 2＝8×105
J
答案：(1)8×104
W (2)16.25 s (3)5×105
J
10．如图9所示，一质量为m 的物块以一定的初速度v 0从斜面底端沿斜面向上运动，恰能滑行到斜面顶端。设物块和斜面的动摩擦因数一定，斜面的高度h 和底边长度x 可独立调节(斜边长随之改变)，下列说法错误的是( )
图9
A ．若增大m ，物块仍能滑到斜面顶端
B ．若增大h ，物块不能滑到斜面顶端，但上滑最大高度一定增大
C ．若增大x ，物块不能滑到斜面顶端，但滑行水平距离一定增大
D ．若再施加一个水平向右的恒力，物块一定从斜面顶端滑出
解析：选D 对物块，初始时受重力mg 、斜面的支持力和滑动摩擦力作用，根据功能关系有：12
mv 02
＝mgh ＋
μmgx ，显然方程左右两端的质量m 可以消去，即改变物块的质量m 不影响物块在斜面上滑动的结果，故选
项A 说法正确；若增大h ，物块滑行的水平位移将小于x ，即不能滑到斜面顶端，假设物块仍然滑行上升原有高度，根据图中几何关系可知，滑行的水平位移变小，物块损失的动能将小于12mv 02
，因此还能继续上滑，
故选项B 说法正确；同理若增大x ，物块滑行上升的高度将小于h ，即物块不能滑到斜面顶端，假设物块仍然滑行原来的水平位移x ，根据图中几何关系可知，物块滑行上升的高度将变小，物块损失的动能将小于
1
2
mv 02，物块继续上滑，故选项C 说法正确；若再施加一个水平向右的恒力F ，由于不清楚斜面的倾角θ和动
摩擦因数μ的具体关系，若μtan θ＝1，则物块仍然恰好能滑至斜面顶端，若μtan θ＞1，则物块不
能滑至斜面顶端，若μtan θ＜1，则物块将从斜面顶端滑出，故选项D 说法错误。
11．(多选)在离水平地面h 高处将一质量为m 的小球水平抛出，在空中运动的过程中所受空气阻力大小恒为f ，落地时小球距抛出点的水平距离为x ，速率为v ，那么，在小球运动的过程中( ) A ．重力做功为mgh
B ．克服空气阻力做的功为f ·h 2
＋x 2
C ．落地时，重力的瞬时功率为mgv
D ．重力势能和机械能都逐渐减少
12．如图10所示，斜面体斜面AC 长为L ，倾角为30°，B 是斜面的中点，BC 段放一长为L
2的轻弹簧，下端
固定在斜面底端C ，弹簧的劲度系数为k ，质量为m 的物块固定在斜面顶端A ，物块与斜面体在AB 段的动摩擦因数从A 点到B 点随长度的变化规律满足μ＝k 0x ，在BC 段动摩擦因数恒定不变，已知12k 0L ＜3
3，现让
物块从A 点由静止释放。
图10
(1)判断物块能否运动到B 点，若能，求物块在B 点的加速度大小；若不能，请说明理由。 (2)求弹簧被压缩的最大长度。
解析：(1)由题意可知，物块与斜面体AB 段的动摩擦因数在B 点最大，为12k 0L ，由于12k 0L ＜33，即1
2k 0L ＜tan
30°，mg sin 30°－1
2k 0Lmg cos 30°＞0，因此物块能运动到B 点。
在B 点，据牛顿第二定律得mg sin 30°－1
2k 0Lmg cos 30°＝ma
解得：a ＝12g －3
4
k 0gL
(2)由于物块在AB 间运动时摩擦力随距离成线性关系，因此摩擦力做功
W f ＝－12·12k 0Lmg cos 30°·12L ＝－
3
16
k 0mgL 2 设弹簧的最大压缩量为d ，由于弹簧的弹力与压缩量成正比，因此弹簧的弹力做功
答案：(1)能1
2
g－
3
4
k0gL
(2)1－
3
2
k0L mg＋1－
3
2
k0L2m2g2＋2kmgL1－
3
4
k0L
2k