一次函数的教学启示与思考
【摘要】本文从一次函数的教学出发，谈加强对核心概念的理解，引导学生正确地理解表达方式，借助于信息技术优化教学，并重视应用、关注差异，思考让学生成为学习的主人，学会理性思维
和反思学习。
【关键词】变量表达应用差异思维反思
由于函数概念的引入，标志着“常量数学”向“变量数学”的迈进，从此数学发生了质的飞跃。虽然初中函数的内容仅涉及函数最初步、最简单的基本知识，但其中蕴含的数学观点、思想及思维方法，对培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力大有裨益。借此笔者通过一次函数的教学谈一些启示与思考。
1. 一次函数的教学启示
1. 1 教学前加强对变量的理解
:映射、非空数集、变量(包括自变量、因变量)、定义域、值域、象、原象、对应、对应法则等。其中“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属性。有的教师将“变量”解释为“变化的量”，显然这是同义反复，对学生理解“变量”的意义并没有帮助。
空相关，但数学中对时、空是没有定义的。另外，数学中的“变量”与日常生活经验有差异，从日常经验看，“变量”不可能与“确定”联系在一起，而且变量的形式表示之间没有可替代性，但数学中的
2019版八年级数学上册 第四章 一次函数回顾思考学案 （新版）北师大版 三、点与函数图象的关系 3．如果点P(-1，3)在过原点的一条直线上，那么这条直线是____________. 4．点A （5-，1y ）和B （2-，2y ）都在直线112y x =-+上，则1y ______2y (添“＜”或“＞”) 5. 若点（3，a ）在一次函数13+=x y 的图像上，则=a . 四、一次函数和正比例函数的定义 一般地，如果b kx y += (k ，b 是常数，k≠0)，那么y 叫做x 的一次函数． 特别地，当b=___时，一次函数b kx y +=就成为kx y = (k 是常数，k≠0)，这时y 叫做x 的正比例函数． 6．下列函数中，是一次函数的是（ ） A ．y=3x B ．y=x 2+3 C ．y=3x-1 D ．y=11 x - 7．下列函数中，不是正比例函数的是( ) A ．(0)x y k k => B ．kx y =（k<0） C ．kx y =（k>0） D ．23(3)y x x x =-+ 8．如果()21k x k y +=是正比例函数，则k=_____． 9．已知一次函数2 3(1)m y m x m -=-+的图象经过第二、三、四象限，则m 的值是_____． 五、正比例函数的图象与性质 (1) 正比例函数图象是一条_________，它一定经过_________. (2) 因为经过两点有且只有一条直线，我们在画正比例函数图象时，只需确定两点，即______和______. (3) 当k>0 时，直线经过_________象限，y 随x 的增大而_________； (4) 当k<0 时，直线经过_________象限，y 随x 的增大而_________.课题 §第四章 回顾思考 主备 审阅 八年级数学组 时间 课型 复 习 授课教师
一次函数教学反思 本节课的教学方法主要有讲练结合，自主探究，小组讨论等，教学中让学生积极主动参与知识的形成过程，体验到新知识往往建立在旧知识的基础上，并且与一些旧知识还存在着紧密的联系，放手让学生运用转化的思想方法进行操作，使学生有效地理解和掌握一次函数的概念和应用，同时让他们获得了数学思想方法，并培养了学生探索问题的能力．教学设计主要渗透转化的数学思想方法、数形结合的思想方法以及函数与不等式思想方法，让学生体验利用一次函数及其图象解决不等式的过程，发展学生的数学应用能力；体验函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系；能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，在合作与交流活动中发展学生的合作意识和能力． 在处理典型例题练习中，发现绝大多数学生对于简单题型能自己解答，而一部分学生对稍作变式的题目易错，透露出了思维不灵活，应变能力弱等不足。所以要让不同水平的学生在同一节课中得到应有的发展，课前必须对每一个环节，每一个题型，每一个学生作充分地细致地研究。 1、备课中体会教材的编写意图，把握课标的基本要求，大胆对一次函数解析式和图象的实际应用内容进行整合，并结合学生生活实际编写问题，即点燃了学生学习的激情，又体现了数学的应用价值，再加上由浅入深的问题设置和自然过渡，为提高课堂学习效率奠定了基础。 2、教学中坚持学生的主体地位，积极引导学生独立思考、交流互动，给学生提供足够的时间和空间动手操作，展示成果，讲解思路，提出疑问，交流看法，完善答案。充分信任学生，尽力做到了学生能讲的教师不讲，学生讲对的不再重复。使学生切身体验知识的形成、巩固和应用过程，实现教学目标。 3、回顾教学过程，学生回答问题都是积极主动的，学生的思维经历了一次函数应用中的探究，最后自我反馈，使学生主动的、活泼的、有个性的动手动脑，进而发展思维、学会学习。 本节课安排了两个内容：一是探索一次函数与不等式的关系，这是本节的重点；二是综合运用函数与方程、不等式的关系解不等式，这是本节的难点。 教学中先让学生把一个具体的不等式转化成一次函数，再通过画图来揭示不等式与一次函数之间的关系，然后在同一坐标系中画出直线，观察、思考得到不等式与一次函数之间的关系，进而得到不等式的解集与两条直线交点坐标之间的关系，这些都为从函数的观点认识解不等式。学生经历了前面的探究学习后，很自然从"形"的角度来认识解方程组。为了帮助学生从"数"的角度来认识解方程组，教师设计一个练习，先让学生体验再引导学生归纳结论，使学生的思维活跃起来。这种呈现知识的形式符合学生的认知规律。 在例题的教学中，引导学生分析题意，建立函数模型，然后让学生讨论交流比较大小的方法.对于利用图象比较大小的两种方法，第一种是让学生独立画图，分析比较，然后强调自变量的取值范围；对于第二种方法，着重引导学生作差得到一个新函数，并把要解决的问题设计成填空的形式，让学生结合画图分析完成。 本节课主要在把握教材的编写意图下功夫，并结合实际，不误时机地对学生进行"数形结合"思想方法的教学，让学生在动口、动手、动脑的过程中体会四个"一次"之间的关系。同时注重知识形成过程的教学，突出学生活动这条主线，辅以多媒体教学，师生互动、生生互动，来体现了"以人为本"的教学理念。 授课过程中的几点不足：1、在教学时间安排上欠缺。有前松后紧的情况出现，特别是最后一道练习题引导学生进行探究思考的时间不够，而且没有利用多媒体给出标准的答案。
从关注学生发展谈《一次函数》教学建议 发表时间：2010-12-21T13:55:36.167Z 来源：《中国校园导刊》2010年第11期供稿作者：张韬[导读] 本人认为，教材的安排，远远不能满足“关注学生发展”的需要。【摘要】：本人认为，教材的安排，远远不能满足“关注学生发展”的需要。在教学实践中，建议教师应该灵活处理教材，挖掘教材知识，精心设计函数作图题，引导学生探究规律（并非偶然），从而得出结论。既夯实了学生的基础，体验了探究过程，也锻炼了探究能力，拓 展了学生思维，关注了学生今后的发展。【关键词】：关注发展、挖掘、探究、夯实、拓展。 湘教板教材中“一次函数”安排在八年级上册的第二章，开篇从实际生活入手从而展开全章教学。本章内容有：函数和它的表示法，一次函数和它的图象，建立一次函数模型。 本章的重难点是一次函数的图象及其性质和建立一次函数模型。它是继第一章学习“平面直角坐标系”后对匀速变化的数量关系的研究，也是九年级学习二次函数的基础，更是今后继续研究数形结合的重要起点。而教材在研究一次函数和它的图象时，似乎过于简单：对正比例函数y=kx(k≠0)的图象及其性质没有给出任何结论，只是在讲解例1“画出正比例函数y=-2x的图象”后提出了这样的问题“想一想，任何一个正比例函数y=kx(k≠0)的图象都是经过原点的一条直线吗？你能说出理由吗？”而对一次函数y=kx+b(k≠0)的图象及其性质也只是简单地总结为“一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，当k＞0时，函数值随自变量的增加而增大；当k＜0时，函数值随自变量的增加而减小。”本人认为，教材的安排，远远不能满足“关注学生发展”的需要。在教学实践中，教师应该灵活处理教材，深层次地挖掘知识规律，充分关注学生今后的发展。本文就一次函数的图象及其性质的教学，谈谈本人的经验所得，讫求同行磋商。 在教学中，建议教师深层次地挖掘教材知识，精心设计函数作图题，引导学生探究规律（并非偶然），从而得出下列结论： 一、正比例函数y=kx(k≠0)的图象及其性质： 1、图象是经过（0，0）的一条直线。 2、当k＞0时，图像经过第一、三象限，呈左低右高趋势，y随x的增大而增大（是增函数）。 当k＜0时，图像经过第二、四象限，呈左高右低趋势，y随x的增大而减小（是减函数）。 二、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象及其性质： 1、图象是经过（0，b）的一条直线。 2、当k＞0时，b＞0图像经过第一、二、三象限，b＜0图像经过第一、四、三象限，且图象都呈左低右高趋势，y随x的增大而增大（是增函数）。 当k＜0时，b＞0图像经过第二、一、四象限，b＜0图像经过第二、三、四象限，且图象都呈左高右低趋势，y随x的增大而减小（是减函数）。 三、一次函数y=kx+b(k≠0)的图象平移规律： 1、图象向上平移m个单位，得到直线y=kx+(b+m)。 2、图象向下平移m个单位，得到直线y=kx+(b-m)。 3、图象向左平移m个单位，得到直线y=k（x+ m）+b。 4、图象向右平移m个单位，得到直线y=k（x- m）+b。 四、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2关于x轴对称则k1+ k2=0且b1+b2=0，关于y轴对称则k1+ k2=0且b1=b2。。 五、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2互相平行则k1= k2，互相垂直则k1 k2= -1。 六、直线y=kx+b(k≠0)与两坐标轴围成的三角形面积= 七、直线y=k1x+b1与直线y=k2x+b2相交 1、若两直线都与x轴相交，则三交点组成的三角形面积= 2、若两直线都与y轴相交，则三交点组成的三角形面积= 如此教学，既夯实了学生的基础，体验了探究过程，也锻炼了探究能力，更重要的是培养了学生大胆探究和勇于创新的精神，拓展了学生思维，关注了学生今后的发展。 (贵州省铜仁地区印江县刀坝中学贵州铜仁)
第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：
2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
第十九章《一次函数》内容分析与教学建议 广州市真光中学苏国东 一、教材分析 （一）本章地位和作用 函数知识在中学数学教学中占有极为重要的地位，既是教学的重点，也是教学的难点之一。本章学生第一次接触函数，是初中函数部分的起始章，是后续学习二次函数和反比例函数的基础。 对函数概念和函数图像的理解贯穿于整个函数的教学中，随着具体函数的学习而不断加深认识，同时对函数概念中体现的变化与对应思想的理解又决定了具体的一次函数、反比例函数、二次函数的学习能否顺利地进行。 一次函数是学生接触的第一类具体函数形式，由具体实例抽象出统一的函数形式、利用函数图像归纳函数性质、利用函数图像和性质解决实际问题，这种由特殊到一般再到特殊的研究方法是研究函数的基本方法。 变化对应、数形结合等思想方法贯穿函数学习的始终，要尽可能地使学生加深认识。 （二）新版教材的变动 《一次函数》在旧版教材中是在初二上学期学习的内容，《反比例函数》是在初二下学期学习的内容。而在新版教材中《一次函数》移至初二下学期，《反比例函数》移至初三下学期，使学生学习函数的难点后移。 新旧教材本章内容与课时安排有所调整，“用函数观点看方程（组）与不等式”并入“一次函数”一节，题目作了修改。19.1节是基础部分，19.2节是重点内容，19.3节是拓展提高部分。具体如下： k 的性质显得更为妥当。 二、本章知识结构框图 三、内容分析 （一）函数的相关概念 1．理解函数的概念及对应关系：①两个变量相互联系，一个变量发生变化时另一个变量也随之变化；②函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的。
2．能根据实际问题列出解析式，写出自变量的取值范围（使解析式有意义、实际问题有意义），给出自变量的一个值，会求出相应的函数值（学生对函数与函数值可能混淆）。 3．能较准确地画出简单函数的图象，学会利用图象分析变量之间的数量关系。函数图象直观反映变量间的单值对应关系，提供了数形结合地研究问题的方法。对一些无法用解析式表达的函数，图象充当重要角色。 （二）一次函数 1．理解正比例函数的概念和特征，能正确地画出正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象和性质，注意。 解析式 y kx =（k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围 全体实数 图 象 形状 过原点和（1，k ）点的一条直线 k 的取值 0k > 0k < 位置 经过一、三象限 经过二、四象限 趋势（从左向右） 上升 下降 函数变化规律 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 （1）对正比例系数k 的理解：x k = ，与小学学过的正比例关系一致，只是小学的比值不涉及负数。 （2）对增减性的研究除了通过观察图象，对有条件的学生可给出证明方法：对任意21x x <，)(212121x x k kx kx y y -=-=-，根据k 的正负得出21y y 和的大小。 从数形两方面加深对这个性质的理解。 （3）有条件的学校可补充k 对直线倾斜程度的影响。k 越大， 图像越靠近y 轴，函数变化速率越大。对k 的研究可采用右图方式。 2．理解一次函数的概念和特征，能正确画出图象，注意一次函 数y kx b =+的解析式、图象、性质等方面与正比例函数y kx =的异 同，从特殊到一般地认识问题。理解k 、b 对一次函数y kx b =+的 影响。解析式 y kx b =+（k 为常数，且0k ≠） 自变量取值范围 全体实数 图 象 形状 过（0，b ）和（b k - ，0）点的一条直线 k 、b 的取值 0k > 0k < 0b > 0b < 0b > 0b < 位置 经过第一、二、三象限 经过第一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势（从左向右） 上升 下降 函数变化规律 y 随x 的增大而增大 y 随x 的增大而减小 （1）k 决定直线的趋势（倾斜程度），b 决定它与y 轴交点位置，k 、b 共同决定直线经过哪几个象限。注意看图识性，体现数与形的互化。 （2）对于y kx b =+和y kx =，从数来看，常数项有区别，其余部分相同，因此对x 的任一值，两函数值的差恒为一常数；从形来看，两图象上横坐标相同的点纵坐标总相差同一值，一图象总比另一图象高出同一高度。这就把以前学习的图象平移与函数图象联系起来。 （3）建议补充：两条直线1l ：11y k x b =+和2l ：22y k x b =+的位置关系与系数的关系：
第四章一次函数 回顾与思考 一、学生起点分析 学生在七年级下册已经学过了第四章《变量之间的关系》，对用表格、关系式及图象表示变量间关系有所了解并初步掌握。通过本章的学习，学生已经经历了从生活中去抽象出函数、一次函数、正比例函数等概念，从数与形两个角度去理解一次函数的三种表示方式及图像的性质．感受到了表格—关系式—图象的转化过程并掌握了确定一次函数表达式的方法，能灵活使用一次函数及其图象解决实际问题． 二、教学任务分析 教科书上通过六个问题的形式要求教师引导学生回顾本章内容，梳理知识结构。本节课的教学重点一次函数图象的特征及一次函数图象的应用，教学中，教师应通过学生举例建立函数模型，注重学生对一次函数的性质与图像的理解水平与应用一次函数解决实际问题的主动意识和水平． 为此，本节课的教学目标是： 1.熟练掌握本章的知识网络结构 2.经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维水平．
3.经历一次函数的图象及其性质的归纳总结过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和水平． 4.经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用水平，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维水平． 5、能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题． 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节： 第一环节：课前准备——本章重点内容的归纳与知识结构图的建立第二环节：合作交流 第三环节：典型例题讲解 第四环节：练习巩固 第五环节：课堂小结 第六环节：布置作业 第一环节课前准备 活动内容：本章重点内容的归纳与知识结构图的建立（提前一天布置） 以6人合作小组为单位，展开自我归纳与总结活动： （1）各尽所能从课本、笔记本、教辅资料实行本章重点内容的归纳与知识结构图的建立； （2）根据课本97页回顾与思考提出的五个问题，每一小组准备一个同学就一个问题实行成果汇报．（在必要的情况下，教师能够对学生选择的问题方面给予一定的规定与指导，使合作交流更有实效性）． 活动目的：通过第1个活动，希望学生能自主复习，学会归纳重点内容，通过知识结构图的建立理清本章内容的逻辑关系。培养学生善于总结、乐于探索研究的学习品质及与他人合作交流的意识；而在第2个活动中，学生通过对他们感兴趣的问题展开深入研究，并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神．在
《一次函数》小结与思考 教学目标： 知识目标：了解一次函数的概念；能正确画出一次函数的图象,掌握一次函数的图象和性质；能根据具体条件列出一次函数的关系式。 能力目标：理解数形结合的数学思想,强化数学的建模意识,提高利用演绎和归纳进行复习的能力。 情感目标：通过对零散知识点的系统整理,让学生认识到事物是有规律可循的,同时帮助他们提高复习的效果,增进数学学习的兴趣。 教学重难点： 利用一次函数图象解决实际问题；根据不同条件求一次函数的表达式。 教学过程： 一、 课前热身 1．已知点A （1,2）在函数y ＝kx －1的图像上． （1）该函数的关系式是 ； （2）这个函数的图像与x 轴的交点坐标为 ，与y 轴的交点坐标 为 ； （3）这个函数的图像经过第 象限， y 随x 的增大而 ． 2．一次函数的图像经过A （1,2）、B （0,3），求这个一次函数的关系式． 3．在同一平面直角坐标系中画出上述两个函数的图像，观察图像，回答下列问题． （1）二元一次方程组? ????y ＝3x －1，y ＝－x ＋3的解是 ； （2）不等式3x －1＞－x ＋3的解集是 ．
二、问题探究 1．如图，一次函数的y＝－4 3 x＋4图像过C(1,m)、D(n,2)， 分别与x轴、y轴交于A、B两点． （1）m＝，n＝； （2）若点M(x,y)为直线AB上一点，当－1≤x≤2时，求y 的最大值； （3）求△OCD的面积． 2．如图，一次函数y＝－4 3 x＋4的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点，点P 在x轴上． （1）若△ABP为等腰三角形，求点P坐标； （2）将直线AB沿直线BP翻折恰好与y轴重合，求直线BP的函数关系式； （3）将直线AB绕点B逆时针旋转90°，与x轴交于点Q，求直线BQ对应的函数关系式. （4）将直线AB绕点B逆时针旋转45°，与x轴交于点Q，求直线BQ对应的函数关系式. 三、课堂小结 通过本课的学习，你有那些收获？还存在什么困惑？ 四、课后作业 y x D C A B O y x A B O
20.4二次函数的性质 教学目标： 1.从具体函数的图象中认识二次函数的基本性质. 2.了解二次函数与二次方程的相互关系. 3.探索二次函数的变化规律,掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性 教学重点：二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法. 教学难点：二次函数的性质的应用. 教学过程： 一、复习引入 二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢? 补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立. 二、新课教学: 1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时，函数y最大值是____. 当x____0时,y<0. 2. 探索填空:：据上边已画好的函数图象填空：抛物线y= 2x2的顶点坐标 是, 对称轴是，在侧，即x_____0时, y随着x的增大而减少；在侧，即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时，函数y最小值是____. 当x____0时,y>0
3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质 (1).顶点坐标与对称轴 (2).位置与开口方向 (3).增减性与最值 当a ﹥0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随着x的增大而增大；当时，函数y有最小值。当a ﹤0时，在对称轴的左侧，y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随着x的增大而减小。当时，函数y有最大值 4.探索二次函数与一元二次方程 二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示. (1).每个图象与x轴有几个交点？ (2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗? (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系? 归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况: ①有两个交点, ②有一个交点, ③没有交点. 当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
一次函数的图像、性质总结（阅读+理解） 一、一次函数的图像 Name 1.正比例函数y=kx (k ≠0,k 是常数)的图像是经过O （0，0）和M （1，k ）两点的一条直线（如图13-17）.（1）当k ＞0时，图像经过原点和第一、三像限；（2）k ＜0时，图像经过原点和第二、四像限. 2.一次函数y=kx+b (k 是常数，k ≠0)的图像是经过A （0,b ）和B （- k b ，0）两点的一条直线，当kb ≠0时，图像（即直线）的位置分4种不同情况： （1）k ＞0,b ＞0时，直线经过第一、二、三像限，如图13-18A （2）k ＞0,b ＜0时，直线经过第一、三、四像限，如图13-18B （3）k ＜0,b ＞0时，直线经过第一、二、四像限，如图13-18C （4）k ＜0,b ＜0时，直线经过第二、三、四像限，如图13-18D 3.一次函数的图像的两个特征 （1）对于直线y=kx+b(k ≠0),当x=0时,y=b 即直线与y 轴的交点为A （0,b ）,因此b 叫直线在y 轴上的截距. （2）直线y=kx+b(k ≠0)与两直角标系中两坐标轴的交点分别为A （0，b ）和B （-k b ，0）. 4.一次函数的图像与直线方程 （1）一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像是一条直线，因此y=kx+b(k ≠0)也叫直线方程.但直线方程不一定都是一次函数. （2）与坐标轴平行的直线的方程. ①与x 轴平行的直线方程形如：y=a （a 是常数）.a ＞0时，直线在x 轴上方；a=0时，
直线与x轴重合；a＜0时，直线在x轴下方.（如图13-19） ②与y轴平行的直线方程形如x=b（b是常数），b＞0时，直线在y轴右方，b=0时，直线与y轴重合；b＜0时，直线在y轴左方，(如图13-20). 二、两条直线的关系 1.与坐标轴不平行的两条直线l1:y1=k1x+b1,l2:y2=k2x+b, 若l1与l2相交，则k1≠k2，其交点是联立这两条直线的方程，求得的公共解; 若l1与l2平行，则k1= k 2. 三、一次函数的增减性 1.增减性如果函数当自变量在某一取范围内具有函数值随自变量的增加（或减少）而增加（或减少）的性质，称为该函数当自变量在这一取值范围内具有增减性，或称具有单调性. 2.一次函数的增减性 一次函数y=kx+b在x取全体实数时都具有如下性质： （1）k＞0时，y随x的增加而增加； （2）k＜0时，y随x的增加而减小. 3.用待定系数法求一次函数的解析式： 若已知一次函数的图像（即直线）经过两个已在点A（x1，y1）和B(x2，y2)求这个一次函数的解析式，其方法和步骤是： （1）设一次函数的解析式：y=kx+b(k≠0) （2）将A、B两点的坐标代入所设函数的解析式，得两个方程：y1=kx1+b① y2=kx2+b②（3）联立①②解方程组，从而求出k、b值. 这一先设系数k、b，从而通过解方程求系数的方法以称为待定系数法.
§4.5回顾与思考 一、教学目标 1、本章知识的网络结构 2、重点内容的归纳 （1）函数的概念。 （2）一次函数的概念 一次函数与正比例函数的关系。 （3）一次函数的不同表示方式。 （4）一次函数，正比例函数的图象各有什么特征。 （5）确定一次函数表达式。 （6）一次函数图象的应用。 二、能力目标 1、熟练掌握本章的知识网络结构 2、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力。 3、经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作与交流中发展学生的合作意识和能力。 4、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力，经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力。 5、能根据所给信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。 三、教学重点 一次函数图象的特征 一次函数图象的应用
四、教学过程 （一）讲授新课 1、本章知识网络结构图： 2、知识点回顾 （1）函数的概念及举例。 （2）一次函数，正比例函数的概念及联系。 （3）函数图象的概念，一次函数图象的特征，怎样作一次函数的图象。 A、一次函数图象的特征（y=kx+b,b≠0） ①一次函数的图象不过原点，和两坐标轴相交，它是一条直线。 ②一次函数图象中 当k>0时，y的值随x的增大而增大。 当k<0时，y的值随x的增大而减小。 ③作一次函数y=kx+b的图象时，一般找（0,b）和（-b/k，0）两点，作正比例函数y=kx的图象时，一般找（0，0）和（1，k）两点。 （二）例题讲解 1、下面有三个关系式和三个图象，哪一个关系式与哪一个图象能够表示同一个一次函数？ （1）y=1-x2；（2）a+b=3，（3）s=2t
孟建霞《一次函数复习教学反思》 本节课我将一次函数的知识分为概念、图象及其性质和应用三绝大部分，授课过程中体现在板书设计、知识回顾、例题讲解及练习巩固等环节，让学生对一次函数有一个系统、直观的复习思路。 在复习知识点时，让学生自己联想回顾，变被动为主动学习。例如，在“图象及其性质”环节中，老师不急于提问，而是让学生自己说出一次函数图象的形状、位置及增减性，不完整的可让其他学生补充。这样，使无味的复习课变得活跃一些，增强了学习气氛。 本节课的教学方法主要有讲练结合，自主探究，小组讨论等，教学中让学生积极主动参与知识的形成过程，体验到新知识往往建立在旧知识的基础上，并且与一些旧知识还存有着紧密的联系，放手让学生使用转化的思想方法实行操作，使学生有效地理解和掌握一次函数的概念和应用，同时让他们获得了数学思想方法，并培养了学生探索问题的水平． 本节课的教学设计主要渗透转化的数学思想方法、数形结合的思想方法以及函数与方程（组）思想方法，让学生体验利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用水平；体验函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维水平；理解一次函数及其图象的相关性质；初步体会方程与函数的关系，建立良好的知识联系；能根据所给信息确定一次函数表达式；会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题，在合作与交流活动中发展学生的合作意识和水平．
在处理典型例题、练习中，发现绝绝大部分学生对于简单题型能自己解答，而一部分学生对综合性、开放性题目有些无从下手，透露出了思维不灵活，应变水平弱等不足。所以要想达到高效高质，必须要分层次教学，让不同水平的学生在同一节课中得到应有的发展，课前必须对每一个环节，每一个题型，每一个学生作充分地细致地研究。 在教学过程中，我发现理论与实践在学生身上很难统一。学生习惯于做纯理论性的问题，而对于实践中蕴含的数学问题即便昌很简单，也发现、挖掘不出。这与枯求的“人人学有价值的数学”相差甚远，而且需要很长的时间来解决。
1.3 二次函数的性质 一、基础训练 1．若抛物线y=x2－2x+m与x轴只有一个公共点，则m=______． 2．如图所示的抛物线是二次函数y=ax2－3x+a－1的图象，那么a的值是_____． 3．若抛物线y=x2+（m－2）x－m与x轴的两个交点关于y轴对称，则m=______．4．二次函数y=－x2+4x+m的值恒小于0，则m的取值范围是______．5．不论k取任何实数，抛物线y=a（x+k）2+k（a≠0）的顶点都在（）A．直线y=x上B．直线y=－x上C．x轴上D．y轴上 6．已知抛物线y=ax2+bx+c上的两点（2，0），（4，0），那么它的对称轴是直线（） A．x=－3 B．x=1 C．x=2 D．x=3 7．已知直角三角形的两直角边之和为4，求斜边长的最小值及当斜边长达到最小值时的两条直角边长． 1
8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30）．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第几分钟，学生的接受能力最强？ 二、提高训练 9．已知二次函数y=x2－4x－a，下列说法正确的是（） A．当x<0时，y随x的增大而减小 B．若图象与x轴有交点，则a≤4 2
C．当a=3时，不等式x2－4x+a>0的解集是1 《一次函数的应用》教学反思 本节课讨论了一次函数的某些应用，在这些实际应用中，备课时注意到与学生的实际生活相联系，切实发生在学生的身边的某些实际情境，并且注意用函数观点来处理问题或对问题的解决用函数做出某种解释，用以加深对函数的认识，并突出知识之间的内在联系。本节的主要内容是让学生逐步形成用函数的观点处理问题意识，体验数形结合的思想方法。 教学时，能够达到三维目标的要求，突出重点把握难点。能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例。用函数的观点处理实际问题的关键在于分析实际情境，建立函数模型，并进一步提出明确的数学问题，注意分析的过程，即将实际问题置于已有的知识背景之中，用数学知识重新理解（这是什么？可以看成什么？），让学生逐步学会用数学的眼光考察实际问题。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。 如：有学生列举以下一次函数图象的例子：一辆从惠农区总站出发到银川的快客，座位有19个，票价为24元，乘客为x人，票价收入为y元，则y=24x(0≤x≤19)，图象为19个点。另一位同学发言：“汽车离总站4千米，现以60千米/小时的平均速度继续前进t 小时，则汽车离总站的距离s(千米)与t(小时)之间的函数图象是一条射线。 具体分析本节课，首先简单的用几分钟时间回顾一下一次函数的基本理论，“学习理论是为了服务于实践”的一句话，打开了本节课的课题，过渡自然。本节课用函数的观点处理实际问题，主要围绕着路程、价格这样的实际问题，通过在速度一定的条件下路程与时间的关系，总价在单价一定的情形下，总价与数量的关系这几个例题，认识到一次函数与实际问题的关系，在讲解这几个例子的时候，创设了学生熟悉的情境，如在建立一次函数模型进行预测的问题时，问学生：“你知道今年奥运会的撑杆跳高的记录是多少？你能对它进行预测吗？”，简单的一句话引出问题，这样更能引起学生的兴趣，使学生更积极地参与到教学中来，因为情境熟悉，也能快速地与学生产生共鸣。创设了轻松和谐的教学环境与氛围，师生互动较好，这样能使学生主动开动思维，利用已有的知识顺利的解决这几个问题。在讲解例题的同时，试着让学生利用图象解决问题，培养学生数形结合的思想，并提示学生注意自变量在实际情境中的取值范围问题。而后，给学生几分钟的思考时间，让他们通过平时对生活的细心观察，生活中有关一次函数的有价值的问题，说出来与全班共同分享。这一环节的设置，不仅体现新教改的合作交流的思想，更主要的培养他们与人协作的能力。更好的发展了学生的主体性，让他们也做了一回小老师，展示他们的个性，这样有益于他们健康的人格的成长。最后在总结中让学生体会到利用一次函数解决实际问题，关键在于建立数学函数模型，并布置了作业。从总体看整个教学环节也比较完整。 《第十九章一次函数》小结（2） 一．内容和内容解析 1.内容 第十九章一次函数小结（2） 2.内容解析 本节课是人教版《义务教育教科书·数学》八年级下册第十九章一次函数的小结，共分两个课时，这是第二课时. 一次函数作为学生接触的第一种函数模型，是数学中最简单、最基本的函数，是反映现实世界中数量关系和变化规律的常见数学模型之一，也是学生今后学习二次函数、反比例函数的基础，是进一步研究数学应用的工具性内容.所以本节课不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用. 在第一课时中，重点梳理了函数及其定义、一次函数的图象与性质，并且绘制出了本章的知识结构图；本节课是第二课时，学习的主要任务是进一步理解一次函数与方程（组）、不等式（组）之间的关系，牢固掌握用函数图象解方程(组)或解不等式的方法，深入体会用函数思想解决实际问题，进一步感受数学建模思想.这不仅是对一次函数知识的再次梳理，和用一次函数模型解决实际问题的方法与步骤的再次强化，更是为后续学习利用二次函数以及反比例函数相关知识解决实际问题奠定基础．因此本节课学生的学习重点是：如何从实际问题抽象出数学（一次函数）模型，运用一次函数相关知识解决实际问题. 二．目标和目标解析 １.目标 （1）进一步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的关系； （2）深入体会用函数思想解决实际问题，进一步培养学生数学建模思想. 2.目标解析 （1）虽然学生在19.2.3一次函数与方程、不等式这节中已经学习过一次函数与方程（组）、不等式（组）之间的关系，并相应的针对它们之间的关系进行了一定的训练，但是学生在实际问题中使用一次函数与方程、不等式之间的关系解题的意识还不够强，所以通过实际问题的解决让学生进一步理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组之间的关系是本节课的目标. （2）通过将所学知识应用于实际并解决实际问题，学生能体会到数学学习的价值，进而有更高的学习兴趣和成就感.通过分析问题中的数量关系，设出一次函数解析式，利用待定系数法求出函数解析式，并代入求值或者根据图象得到问题的答案，这一典型的数学建模过程，需要学生在学习中逐渐体会，因此让学生经历利用一次函数解决实际问题的过程，学会用数学建模的思想方法解决日常生活中所遇到的问题也是本节课的目标． 三、教学问题诊断分析 1.学生已有基础：八年级的学生活泼好动并且已初步具有自主探 对学习一次函数的几点建议 函数是初中数学教学和中考的重要内容，也是代数部分中学生感到比较难学的一个知识点。一次函数是初中所涉及到的函数中较为简单的一种，学好它可以帮助同学们克服对函数的畏惧心理，树立自信心，为以后学习其他各类函数打下坚实的基础。那么，如何学习一次函数呢？初中主要学习一次函数的定义、图象与性质以及建立一次函数模型等方面的知识。我们应该具有整体的观念，纵观大局，全方位去把握它。因此我在这里谈几点个人看法，供同学们参考。 一、讲清一次函数的内涵，正确理解一次函数的定义。 在教材中对一次函数是这样定义的：整理化简后，如果函数的解析式是自变量的一次式，那么这样的函数称为一次函数。其一般形式为y＝kx＋b（k≠0，k、b为常数）。对该定义简单一点理解，就是化简整理之后形如y＝kx＋b（k≠0）的函数叫做一次函数。具体理解起来，则应从以下几个方面着手： 1.判断函数是否为一次函数，应先对函数解析式整理化简，不能只看表面现象，而不看实质情况； 2.函数解析式中自变量x的系数k不能为0，即k可以大于0或小于0； 3.自变量x的次数必为1； 4.含自变量x的式子必须是整式。 对于一次函数来说，后三条是缺一不可的。判 断一个函数是否为一次函数，就看这三条是否同时具备。 常见的题型有以下几种情形： ①指出下列函数中是一次函数的是（） A.y＝－ B. y＝－＋2 C. y＝＋1 D. y＝3x2＋1 ②若x，y为变量，且y＝（k＋1）x?Ok?O是正比例函数，求k值。 只要牢牢地把握一次函数（包括正比例函数）应满足的条件，上述问题也就不难解决了。 二、在解决一次函数的相关问题时，别忽视自变量的取值范围。 在研究函数时，首先要考虑其自变量的取值范围，超出自变量的取值范围研究函数是没有意义的，很多同学容易忽视这一点。一次函数的自变量取值范围一般为全体实数，但若是在实际问题中建立的一次函数模型，就必须根据具体情况来确定自变量的取值范围了，并且作其图象时也只能在自变量的取值范围内来完成。如下述问题： 一支蜡烛长16厘米，点燃后每小时燃烧4厘米。求点燃后蜡烛的长度y（厘米）与点燃时间t（小时）之间的函数关系式，并作出其图象。 在该问题中，y与t的函数关系式为：y＝16－4t，其中0≤t≤4，且其函数的图象是一条线段，而不是一条直线。在这里，许多同学就是因为忽略了自变量t 的实际意义而出现错误。 三、深刻认识函数图象的实质，弄清图象上的点得坐标与函数中两个变量的关系。 二次函数y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础） 撰稿：张晓新 审稿：杜少波 【学习目标】 1. 会用描点法画二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象；会用配方法将二次函数2 y ax bx c =++的解析式写成2 ()y a x h k =-+的形式； 2.通过图象能熟练地掌握二次函数2 y ax bx c =++的性质； 3.经历探索2 y ax bx c =++与2()y a x h k =-+的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想． 【要点梳理】 要点一、二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠与=-+≠2 ()(0)y a x h k a 之间的相互关系 1.顶点式化成一般式 从函数解析式2 ()y a x h k =-+我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称 2()y a x h k =-+为顶点式，将顶点式2()y a x h k =-+去括号，合并同类项就可化成一般式2y ax bx c =++． 2.一般式化成顶点式 22 2 2222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ?? ??????=++=++=++-+?? ? ? ?????????? ? 2 2424b ac b a x a a -? ?=++ ?? ?． 对照2 ()y a x h k =-+，可知2b h a =-，244ac b k a -=． ∴ 抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ??? ． 要点诠释： 1．抛物线2 y ax bx c =++的对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是24,24b ac b a a ??-- ???，可以当作公 式加以记忆和运用． 2．求抛物线2 y ax bx c =++的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 个性化教学辅导教案 学科: 数学任课教师：张老师授课时间：年11 月16 日 图像性质 1．作法与图形：通过如下3个步骤： （1）列表. （2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。] 一般的y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点画直线即可。 正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0,0）和（1，k）两点。（3）连线，可以作出一次函数的图象——一条直线。 因此，作一次函数的图象只需知道2点，并连成直线即可。 （通常找函数图象与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）. 2．性质： （1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。 （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 () () ()3 2 1 . k ? ? ? ? ? < = > < b b b 3. 在一次函数y=kx+b中: 当0 k>时，y随x的增大而增大， 当0 b>时，直线交y轴于正半轴，必过一、二、三象限； 当0 b<时，直线交y轴于负半轴，必过一、三、四象限． 当0 三、例题讲析 一次函数的图像及性质 1、一次函数的图象过点（0，2），且函数y的值随自变量x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数解析式： 2、已知关于x、y的一次函数()12 y m x =--的图象经过平面直角坐标系中的第一、三、四象限，那么m的取值范围是 3、函数(0) y kx k k =+≠在直角坐标系中的图象可能是（） 4.一次函数21 y x =-的图象大致是（） 5.在平面直角坐标系中，直线1 y x =+经过（） A．第一、二、三象限B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限D．第二、三、四象限 6、如图，直线l上有一动点P（x, y），则y随x的增大而_____________。 7、已知f (x)为一次函数。若f (－3)>0且f (－1)=0，判断下列四个式子， 哪一个是正确的？( ) A (A) f (0)<0 (B) f (2)>0 (C) f (－2)<0 (D) f (3)>f (－2) 8、已知一次函数的图象过点(03) ，与(21)，，则这个一次函数y随x的增大而． O x y O x y O x y y x O Ａ．B．C．Ｄ．一次函数的应用的反思
一次函数小结--教学设计
对学习一次函数的几点建议
二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
最全-初中数学-一次函数教案
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