蒙特卡罗算法综述
摘要：本文介绍了蒙特卡罗算法的起源，原理，描述及应用，列举了一个蒙特卡罗全局光照算法得实例及研究过程。
关键词：蒙特卡罗；全局光照；统计；自适应
Monte Carlo Algorithms
Liu Bingkun
Abstract: This article describes a Monte Carlo algorithm for the origin of principle, description and application cited the instance of a MonteCarlo global illumination algorithms and the research process.
Keywords: Monte Carlo; global illumination; statistics; adaptive
1引言
蒙特·卡罗算法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。起源于早期的用几率近似概率的数学思想 ,它利用随机数进行统计试验 ,以求得的统计特征值 (如均值、概率等) 作为待解问题的数值解. 随着现代计算机技术的飞速发展，蒙特卡罗算法也在不断的改进。
全局光照是三维软件中的特有名词，光具有反射和折射的性质。在真实的大自然中，光从太阳照射到地面是经过无数次的反射和折射的，所以我们看到地面的任何地方都是清晰的（白天），在三维软件中，里面的光虽然也具有现实当中光的所有性质，但是光的热能传递却不是很明显。
全局光照，表现了直接照明和间接照明的综合效果。光线碰到拍摄对象，反射正反射光或漫反射光，这就控制了色彩、物体间相互作用的反射、折射、焦散等光效，最后演绎了现实的自然光。所以在渲染的时候，为了实现真实的场景效果，就要在渲染器中指定全局光照，全局光照有多种实现方法，例如辐射度、光线追踪、环境光遮蔽（ambient occlusion）、光子贴图、Light Probe等[1]。
当光从光源被发射出来后，碰到障碍物就反射和折射，经过无数次的反射和折射，物体表面和角落都会有光感，像真实的自然光。全局光照占内存是很厉害的。它属于间接照明，缩写为GI，全名为Global Illumination（全局光照）[1] 1986 年，Ｋajiya 首次将蒙特卡罗方法应用到全局光照领域，提出以建立从视点到光源的随机游动链为基础的蒙特卡罗光径跟踪算法来逐像素地生成图像。须注意的是，蒙特卡罗光径跟踪属于蒙特卡罗全局光照方法，如目前应用广泛的Phtoton Mapping 算法，生成图像的基本框架。蒙特卡罗光径跟踪的核心环节在于抽样穿过像素的光径样本，像素值即为所有光径样本光照值的均值。光径的建立过程是：在像素区域内随机地抽样一个以视点出发产生一条射线穿过射进场景，计算该光线与第一个物体的交点1y ，以1y 为起点、根据1y 所在物体表面的散射特性随机产生一个方向而形成一条射线，再求出另一个交点2y ，上述过程反复进行，在任一交点处，光径均可以一定的概率而终止。整个光径的光照值按照蒙特卡罗积分可以得到。
2007年中国天津大学徐庆老师提出了一种基于基于信息熵的蒙特卡罗全局光照的自适应抽样算法，在真实感图形生成领域里，[2]蒙特卡罗方法是计算整体光照问题的极佳选择。但是，在用基于蒙特卡罗的全局光照算法生成的图像中，当没有足够多的采样量的时候，存在大量的噪声。自适应抽样方法是减少这种噪声的一种很好的方法。该文提出了一种新的基于信息熵的自适应抽样算法。实验结果表明，该方法的效果优于香农信息熵等经典方法。
2来源
1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和 Nick Metropolis共同发明，被称为蒙特卡洛方法。它的具体定义是：在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状，现在要计算这个不规则图形的面积，怎么计算呢?蒙特卡洛(Monte Carlo)方法告诉我们，均匀的向该正方形内撒N（N 是一个很大的自然数）个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部，比如说有M个，那么，这个奇怪形状的面积与正方形的面积之比便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。蒙特卡洛方法可用
于近似计算圆周率：让计算机每次随机生成两个0到1之间的数，看这两个实数是否在单位圆内。生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，（圆面积和正方形面积之比为PI:1，PI为圆周率），当随机点取得越多（但即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4位与圆周率吻合）时，其结果越接近于圆周率。就数学特性而言 ,蒙特卡罗方法的发展可以追溯到 18 世纪著名的蒲丰问题. 1777年 ,法国科学家蒲丰(Buffon)提出用投针试验计算圆周率π值的问题. 这里我们用蒲丰问题来初步说明蒙特卡罗方法的基本原理和解决问题的基本手续.蒲丰问题是这样一个古典概率问题:在平面上有彼此相距为 2 a 的平行线 ,向此平面任意投一长度为 2 l 的针 ,假定 l < a ,显然 ,所投的针至多可与一条直线相交 ,那么 ,此针与任意条平行线相交的概率可以求出 ,由下面的分析可知 ,此概率与所取针长 2 l、平行线间距 2 a 有关 ,并且包含有π值. 在这里 ,任投一针的概率含义有以下三点 :(1) 针的中点 Ml在平行线之间等概率落入 ,即 Ml距平行线的距离 x 均匀分布在区间[0 , a ]之内; (2) 针与线的夹角θ均匀分布在区间-π2,π2之内;(3) x 与θ互相独立.在某一条平行线上的 x 轴 ,不失一般性 ,假定针的中心处于图示中的 x 轴上. 由于对称性 ,我们只需分析针中心处在 x ∈(0 , a) 范围的情况即可. 令探针中心的坐标值为x ,显然 ,只有 x ≤l 时才可能发生相交的事件. 我们来分析在条件 x ≤l 满足时 ,针与线相交的概率 :只有当θ≤θ0 = arccosxl时才能相交 ,且相交的概率为P1 =2πarccosxl(1)下面再来分析针中心位置在轴上的分布 ,显然 ,这是一个均匀分布 ,即针中心处于区间( x , x + d x)内的概率为d P2 =d xa (2)这样 ,一次投掷 ,针中心落入( x , x + d x) 且与线相交的概率为d P = P1d P2 =2πaarccosxld x(3)则一次投掷 ,针与线相交的总概率为P =∫d P =∫l0πaarccosxld x =2 lπa(4)即 :π =2 lPa从(5) 式可见 ,可利用投针试验计算π值 :设投针 N 次 ,其中 n 次针与线相交 ,则可用频率值 n/ N 作为概率P 的估计值 ,从而求得π的估计值为π≈2 laNn(6)这就是早期的用频率值作为概率近似值的方法的应用实例 ,表 1 是在历史上一些有名的用投针试验计算π值的结果[2],其中针长以 a为单位。需要指出的是 ,上述由投针试验求得π
的近似值的方法 ,是进行真正的试验 ,并统计试验结果 ,要使获得的频率值与概率值偏差小 ,就要进行大量的试验[3],这在实际中 ,往往难以做到. 可以设
想 ,对蒲丰问题这样一个简单的概率问题 ,若要进行 10 万次投针试验 ,以每次投针、作出是否相交判断并累加相交次数用时 5 秒钟计算 ,则需用时 50 万秒 ,即大约 139 个小时. 那么 ,可以设想 ,对于象上述确定条件下的核裂变、直流气体放电中粒子的输运过程及粒子输运的总效应 ,若要用多次掷骰子的方法近似求出就是不可能的了.所以 ,在现代计算机技术出现之前 ,用频率近似概率的方法———抑或称为雏形时代的蒙卡罗方法———并没有得到实质上的应用.
若用数值模拟方法代替上述的真正的投针试验 ,是利用均匀分布于(0 ,1)之间的随机数序列 ,并构造出随机投针的数学模型 ,然后进行大量的随机统计并求得π的近似值.
3原理
蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。蒙特卡罗解题三个主要步骤：构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。实现从已知概率分布抽样：构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因[4]。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体
的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。建立各种估计量：一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。例如：检验产品的正品率问题，我们可以用1表示正品，0表示次品，于是对每个产品检验可以定义如下的随机变数Ti，作为正品率的估计量：于是，在N次实验后，正品个数为：显然，正品率p为：不难看出，Ti为无偏估计。当然，还可以引入其它类型的估计，如最大似然估计，渐进有偏估计等。但是，在蒙特卡罗计算中，使用最多的是无偏估计。用比较抽象的概率语言描述蒙特卡罗方法解题的手续如下：构造一个概率空间(W ,A,P)，其中，W 是一个事件集合，A是集合W 的子集的s 体，P是在A上建立的某个概率测度；在这个概率空间中，选取一个随机变量q (w ),w ? W ,使得这个随机变量的期望值正好是所要求的解Q ，然后用q (w )的简单子样的算术平均值作为Q 的近似值。蒙特卡罗方法与一般计算方法有很大区别，一般计算方法对于解决多维或因素复杂的问题非常困难，而蒙特卡罗方法对于解决这方面的问题却比较简单。其特点如下：· 直接追踪粒子，物理思路清晰，易于理解。· 采用随机抽样的方法，较真切的模拟粒子输运的过程，反映了统计涨落的规律。· 不受系统多维、多因素等复杂性的限制，是解决复杂系统粒子输运问题的好方法。· MC程序结构清晰简单。· 研究人员采用MC方法编写程序来解决粒子输运问题，比较容易得到自己想得到的任意中间结果，应用灵活性强。· MC方法主要弱点是收敛速度较慢和误差的概率性质，其概率误差正比于，如果单纯以增大抽样粒子个数N 来减小误差，就要增加很大的计算量。近十年来，蒙特卡罗方法发展很快，从
1983年到1988年期刊论文数量增长了五倍[5]，有几本好书是关于电子? 光子蒙特卡罗问题的[注1]，蒙特卡罗方法的代码被认为是黑匣子，它已成为计算数学中不可缺少的组成部分，这主要是因为以下原因[6]：
· 传统的分析方法受到了问题复杂性的限制。
· MC方法直观，对实验者很有吸引力。
· 计算机变得更快更便宜。
· 量子理论的发展为我们提供了辐射与物质相互作用的截面数据。
4算法描述
它是一种以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。比如，给定x=a，和x=b[7]，你要求某一曲线f和这两竖线，及x轴围成的面积，你可以起定y轴一横线 y=c 其中c>=f(x)max，很简单的，你可以求出 y=c，x=a，x=b及 x轴围成的矩形面积，然后利用随机产生大量在这个矩形范围之内的点，统计出现在曲线上部点数和出现在曲线下部点的数目，记为：dotUpCount，dotDownCount，然后所要求的面积可以近似为 dotDownCount所占比例*矩形面积。
5问题描述
在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi。单位圆的1/4面积是一个扇形[8]，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S中占的比例K=S1/S就立即能得到S1，从而得到Pi的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内[9]。将落在扇形内的点数m与所投点的总数n的比m/n作为k的近似值。P落在扇形内的充要条件是x^2+y^2<=1。
6程序描述
/**//*
利用蒙特卡洛算法近似求圆周率PI[9]
VC++6.0
ZZH
*/
#include
#include
#include
#define COUNT 500000 //循环取样次数
using namespace std;
bool InCircle(double x,double y)//是否在1/4圆范围之内
...{
if((x*x+y*y)<=1)return true;
return false;
}
void main()
...{
double x,y;
int num=0;
int i;
srand((unsigned)time(NULL));
for(i=0;i ...{ x=rand()*1.0/RAND_MAX; y=rand()*1.0/RAND_MAX; if(InCircle(x,y)) num++; } cout<<"PI:"<<(num*4.0)/COUNT< } 结果：测试5次的结果显示：3.13958，3.14041，3.13729，3.13859，3.14186[1] matlab 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率PIfunction y = metekaro(nums) % 蒙特卡罗算法的简单模拟，输入nums对绝对值x,y都小于1的数(x,y)，通过落在圆内的点数来求pi% 产生nums对坐标数据 (x,y)D=unifrnd(-1,1,nums,2);% 落在圆中的点数inCircle = 0;% 获取行数,也即nums的值rows = size(D,1);% 对每一对数据进行检测 for i = 1:rows% 如果落在圆内，圆内的点数+1，落在正方形内的点数就为nums的数值if (D(i,1)^2 + D(i,2)^2) < 1inCircle = inCircle + 1; end end % 圆的面积/正方形的面积 = 圆内的点数/正方形内的点数 y = 4*inCircle/rows; % 输出pi值 disp(['pi的近似值为：' num2str(y)]) 计算结果： >> metekaro(1000); pi的近似值为：3.088 >> metekaro(100000); pi的近似值为：3.1409 >> metekaro(10000000); pi的近似值为：3.1413 python 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率PI[11] import random import time random.seed() nums=100000 i=range(1,nums) s=0 print nums print time.strftime('Str:%Y-%m-%d %H:%M:%S',time.localtime(time.time()) ) for x in i: a1=random.random() a2=random.random() if (a1*a1+a2*a2)<1: s=s+1 print 1.0*s/nums*4 print time.strftime('End:%Y-%m-%d %H:%M:%S',time.localtime(time.time())) 运行结果：3.14248 7蒙特卡罗方法的解题步骤和特点 在用蒙特卡罗方法解算问题时[12] ,一般需要这样几个过程:构造或描述概率过程 ,对于本身就具有随机性质的问题 ,如粒子输运问题 ,主要是正确地描述和模拟这个概率过程.对于本来不是随机性质的确定性问题 ,比如计算定积分、解线性方程组、偏微分方程边值问题等 ,要用求蒙特卡罗方法求解 ,就必须事先构造一个人为的概率过程 ,它的某些参量正好是所要求问题的解. 即要将不具有随机 性质的问题 ,转化为随机性质的问题. 这构成了蒙特卡罗方法研究与应用上的重要问题之一.然后建立各种估计量 ,使其期望值是所要求解问题的解. 最后根据所构造的概率模型编制计算程序并进行计算 ,获得计算结果.与其他的数值计算方法相比 ,蒙特卡罗方法有这样几个优点: (1) 收敛速度与问题维数无关 ,换句话说 ,要达到同一精度 ,用蒙特卡罗方法选取的点数与维数无关;计算时间仅与维数成比例. 但一般数值方法 ,比如在计算多重积分时 ,达到同样的误差 ,点数与维数的幂次成比例 ,即计算量要随维数的幂次方而增加. 这一特性 ,决定了对多维问题的适用性. (2) 受问题的条件限制的影响小. (3)程序结构简单 ,在电子计算机上实现蒙特卡罗计算时 ,程序结构清晰简单 ,便于编制和调试. (4) 对于模拟象粒子输运等物理问题具有其他数值计算方法不能替代的作用. 蒙特卡罗方法的弱点是收敛速度慢 ,误差大的概率性质. 这一情况在解粒子输运问题中仍然存在. 除此之外 ,经验证明 ,只有当系统的大小与粒子的平均自由程可以相比较时 ,一般在10 个平均自由程左右 ,这方法算出的结果较为满意. 而对于大系统深穿透问题 ,算出的结果往往偏低. 对于大系统 ,其他数值方法往往很适应 ,能算出较好的结果.因此 ,已有人将数值方法与蒙特卡罗方法联合起来使用 ,克服这种局限性[13] ,取得了一定的效果.随着计算机技术的飞速发展 ,蒙特卡罗方法以其独特的优点广泛应用于计算及关照研究领域 ,对蒙特卡罗方法的推广必将使其对物理学及光学学科的发展发挥更大的作用. 8发展及我的想法 基于徐老师提出的一种新的基于信息熵的自适应抽样方法。实验结果表明，用本文方法生成的图像在 RMS 的减小上有很大的提高，生成的图像的效果好于香农信息熵的和其他一些经典方法的效果。本文方法实现简单，对复杂场景的适用性同样很强。下一步将进一步研究更加高效的自适应抽样方法，现在蒙特卡罗算法用于光照方面的研究依然很少，我觉得在处理图像方面，尤其光照方面，我们应该继续研究，在此基础上加入具有限制条件的抽样方法。通过此次课程学习及文献查找，我对计算机图形学有了更进一步的学习，可是自己掌握的远远不够，我应该继续深入学习，争取在这个领域有所发展。 参考文献 1 Pohlmann K G. 数字音频原理与应用[M]. 北京: 电子工业出版社, 2002. 2 Wolf W, Ozer B, Lv T. Smart Cameras as Embedded Systems[J]. Computer, 2002, 35(9). 3 Bram M, Dob A, Maier A, et al. Distributed Embedded Smart Cameras for Surveillance Application[J]. Computer, 2006, 39(2). 4 TMS320C6711 Datasheet[Z]. (2002-08). https://www.doczj.com/doc/d93738916.html,. 5 ISO/IEC IS11172–3-1992 Coding of Moving Pictures and Associated Audio for Digital Storage Media at Up to About 1.5 Mbit/s ——Part 3 Audio[S]. 1992. 6 李力利. 基于定点 DSP 的 MP3 间频编码算法研究及实现[J]. 电子 技术应用, 2005, 31(4). 7 赵知劲. 一种计算 MDCT 的快速算法[J]. 现代雷达, 1997, 19(5). 8 窦维蓓, 刘若珩, 王建昕. 基于 DSP 的 IMDCT 快速算法[J]. 清华 大学学报, 2000, 40(3). 9 斯纳德. 高级 TCP/IP 编程[M]. 北京: 中国电力出版社, 2001. 10 裴鹿成 ,张孝泽. 蒙特卡罗方法及其在粒子输运问题 中的应用. 北京:科学出版社 ,1980. 11 方再根. 计算机模拟和蒙特卡罗方法论. 北京:北京工 业学院出版社 ,1988. 12 陈俊英. H2/ CH4系统 EACVD 动力学过程研究. 河北 大学硕士学位论文 ,2000. 13 张玉红. H2/ C2H2系统电子助进热丝化学气相沉积动 力学过程研究. 河北大学硕士学位论文 ,2001. 一、蒙特卡洛算法 1、含义的理解 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。也称统计模拟方法，是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法，它是将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。 2、算法实例 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi 。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S 中占的比例K=S1/S 就立即能得到S1，从而得到Pi 的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K 呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m 与所投点的总数n 的比m/n 作为k 的近似值。P 落在扇形内的充要条件是 221x y +≤ 。 已知：K= 1s s ，K ≈m n ，s=1，s1=4P i ，求Pi 。 由1 s m s n ≈，知s1≈*m s n =m n ， 而s1=4P i ，则Pi=*4m n 程序： /* 利用蒙特卡洛算法近似求圆周率Pi*/ /*程序使用：VC++6.0 */ #include x=rand()*1.0/RAND_MAX;/*RAND_MAX=32767，包含在 浅析蒙特卡洛方法原理及应用 于希明 （英才学院1236103班测控技术与仪器专业6120110304） 摘要：本文概述了蒙特卡洛方法产生的历史及基本原理，介绍了蒙特卡洛方法的最初应用——蒲丰投针问题求圆周率，并介绍了蒙特卡洛方法在数学及生活中的一些简单应用，最后总结了蒙特卡洛方法的特点。 关键词：蒙特卡洛方法蒲丰投针生活应用 蒙特卡洛方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。它是以概率统计理论为基础, 依据大数定律( 样本均值代替总体均值) , 利用电子计算机数字模拟技术, 解决一些很难直接用数学运算求解或用其他方法不能解决的复杂问题的一种近似计算法。蒙特卡洛方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学（如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算）等领域应用广泛。 一、蒙特卡洛方法的产生及原理 蒙特卡洛方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡洛方法就已经存在。1777年，法国数学家蒲丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。这被认为是蒙特卡洛方法的起源。 其基本原理如下：由概率定义知，某事件的概率可以用大量试验中该事件发生的频率来估算，当样本容量足够大时，可以认为该事件的发生频率即为其概率。因此，可以先对影响其可靠度的随机变量进行大量的随机抽样，然后把这些抽样值一组一组地代入功能函数式，确定结构是否失效，最后从中求得结构的失效概率。蒙特卡洛法正是基于此思路进行分析的。 设有统计独立的随机变量Xi(i=1，2，3，…，k)，其对应的概率密度函数分别为fx1，fx2，…，fxk，功能函数式为Z=g(x1，x2，…，xk)。首先根据各随机变量的相应分布，产生N组随机数x1，x2，…，xk值，计算功能函数值Zi=g(x1，x2，…，xk)(i=1，2，…，N)，若其中有L组随机数对应的功能函数值Zi≤0，则当N→∞时，根据伯努利大数定理及正态随机变量的特性有：结构失效概率，可靠指标。 二、蒲丰投针问题 作为蒙特卡洛方法的最初应用, 是解决蒲丰投针问题。1777 年, 法国数学家蒲丰提出利用投针实验求解圆周率的问题。设平面上等距离( 如为2a) 画有一些平行线, 将一根长度为2l( l< a) 的针任意投掷到平面上, 针与任一平行线相交的频率为p 。针的位置可以用针的中心坐标x 和针与平行线的夹角θ来决定。任意方向投针, 便意味着x与θ可以任意取一值, 只是0≤x ≤a, 0≤θ≤π。那么, 投针与任意平行线相交的条件为x ≤ l sinθ。相交频率p 便可用下式求 2.3.2 蒙特卡洛法的基本原理 蒙特卡洛模型的基本原理是模拟单个光子的传输过程，本质上是一系列随机作用和随机过程的计算机模拟，如光子吸收、散射、传输路径、步长等。光子从发射到进入组织再到从组织中逸出要历经许多过程，以单个光子为例，首先是光子发射，即单个光子垂直入射到组织表面，光子质量W 被初始化为1，当组织与周围介质折射率不同时，在入射界面处要考虑镜面反射（界面不光滑时考虑漫折射），其反射比设为RSP ，因此进入介质的能量为1-RSP ，这部分能量就是接下来要进行蒙特卡洛模拟的部分。进入组织后光子继续运动，首先要确定其运动步长s ，根据光子的运动步长和运动方向，可以得到光子与组织发生相互作用的坐标位置，并以此坐标为起点开始下一运动步长的模拟。光子在与组织发生相互作用时有（μ a/μt）W 的能量被吸收，剩余部分能量的光子被散射，并继续重复上述过程，直到光子运动到边界处，此时，它有可能被返回到组织内部或者透过组织进入到周围介质。如果光子被反射，那么它将继续传播，即重复上述运动；如果光子穿透组织，根据其穿透的是前表面还是后表面，则相应被记入透射量和反射量。 由于蒙特卡洛模型的精确性是建立在大量模拟的基础上，因此这一方法耗时长，这与光谱技术的实时特性相矛盾。“查表法”的提出为这一问题提供了一种很好的解决途径，查表法的基本思想在于事先将一系列组织光学特性所对应的模拟结果存储到一个表格中，这样在对每一个光子进行模拟时，能够从这一表格中直接提取最终的模拟结果，从而节省了大量的模拟时间。 对于组织光子传输蒙特卡洛模型的研究已经开展了很多年，目前学术界广为接受和采用的是美国圣路易斯华盛顿大学华人教授Lihong Wang所提出的模型[1]，此模型是前向模型，即在已知组织吸收和散射特性的前提下对光子在组织中的传输分布进行模拟；美国杜克大学助理教授Gregory Palmer等在前向模型的基础上开发出了所谓的后向模型[2]，这一模型是在已知光谱反射特性的基础上，通过多次随机假定光学特性并调用前向模型进行光谱拟合，从而筛选出与实际测量结果最为匹配的一组假定数据作为组织的光学特性参数。后向模型的提出使得蒙特卡洛模型能够从真正意义上对组织的光学参数进行检测，并定量得出组织的各组分参数。目前蒙特卡洛模型已被广泛用于多种肿瘤的离体及临床在体研究，并取得了令人满意的结果，最终应用于临床检测的相关仪器也已得到开发，并预计将在未来的十几年甚至是十年之内推向临床应用。 当然目前关于这一模型仍有一定的发展提升空间，难点主要集中于如何进一步提高其精确性，这主要体现在两个方面：（1）如何进一步优化模型来提高精确性，目前这一模型对于仿体吸收散射特性的提取检测已经能够达到10%以内的误差精度，但最近的研究发现，将这一模型应用于仿体荧光检测时，其精确性仍有较大提升空间[3]。仿体荧光检测主要是为了研究模型提取固有荧光的能力，由于吸收和散射的存在，我们所检测的荧光并不是荧光物质本身的固有荧光，其光谱形状和强度均受到一定程度的改变，模型通过反射信号首先提取仿体的吸收和散射特性，进而用于对荧光信号进行矫正从而得到固有荧光光谱。研究发现，蒙特卡洛模型能够对荧光光谱形状进行良好恢复，但对于荧光光强的恢复其精确度仍有待提高。（2）如何提高用于人体组织检测的精确性，人体组织的情况往往是极为复杂的，这就需要开发精确的光子蒙特卡洛多层介质传输模型。目前关于这方面的研究已经取得一定的成果[1]，但仍需要开展更多的工作。 参考文献： [1] Wang L，Jacques SL，Zheng L. MCMLMonte Carlo Modeling of Light Transport in Multi-layered Tissues[J]. Comput Methods Programs Biomed，1995，47（2）：131-146. [2] Palmer GM，Ramanujam N. Monte Carlobased Inverse Model for Calculating Tissue Optical 1、蒙特卡罗定位 足球机器人中自定位方法是由Fox提出的蒙特卡罗定位。这是一种概率方法，把足球机器人当前位置看成许多粒子的密度模型。每个粒子可以看成机器人在此位置定位的假设。在多数应用中，蒙特卡罗定位用在带有距离传感器的机器人设备上，如激光扫描声纳传感器。只有一些方法，视觉用于自定位。在足球机器人自定位有些不同，因为机器人占的面积相对比较小，但是机器人所在位置的面积必须相当准确的确定，以便允许同组不同机器人交流有关场地物体信息和遵守比赛规则。这种定位方法分为如下步骤，首先所有粒子按照一起那机器人的活动的运动模型移动。概率pi取决于在感知模型的基础上所有粒子在当前传感器上的读数。基于这些概率，就提出了所谓的重采样，将更多粒子移向很高概率的采样位置。概率平均分布的确定用来表示当前机器人的位置的最优估计。最后返回开始。 2、蒙塔卡罗 基本思想 当所求解问题是某种随机事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，通过某种“实验”的方法，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。 工作过程 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 蒙特卡洛方法 1、蒙特卡洛方法的由来 蒙特卡罗分析法（Monte Carlo method），又称为统计模拟法，是一种采用随机抽样（Random Sampling）统计来估算结果的计算方法。由于计算结果的精确度很大程度上取决于抽取样本的数量，一般需要大量的样本数据，因此在没有计算机的时代并没有受到重视。 第二次世界大战时期，美国曼哈顿原子弹计划的主要科学家之一，匈牙利美藉数学家约翰·冯·诺伊曼（现代电子计算机创始人之一）在研究物质裂变时中子扩散的实验中采用了随机抽样统计的手法，因为当时随机数的想法来自掷色子及轮盘等赌博用具，因此他采用摩洛哥著名赌城蒙特卡罗来命名这种计算方法，为这种算法增加了一层神秘色彩。 蒙特卡罗方法提出的初衷是用于物理数值模拟问题, 后来随着计算机的快速发展, 这一方法很快在函数值极小化、计算几何、组合计数等方面得到应用, 于是它作为一种独立的方法被提出来, 并发展成为一门新兴的计算科学, 属于计算数学的一个分支。如今MC方法已是求解科学、工程和科学技术领域大量应用问题的常用数值方法。 2、蒙特卡洛方法的核心—随机数 蒙特卡洛方法的基本理论就是通过对大量的随机数样本进行统计分析，从而得到我们所需要的变量。因此蒙特卡洛方法的核心就是随机数，只有样本中的随机数具有随机性，所得到的变量值才具有可信性和科学性。 在连续型随机变量的分布中, 最基本的分布是[0, 1]区间上的均匀分布, 也称单位均匀分布。由该分布抽取的简单子样ξ1，ξ2ξ3……称为随机数序列, 其中每一个体称为随机数, 有时称为标准随机数或真随机数, 独立性和均匀性是其必备的两个特点。真随机数是数学上的抽象, 真随机数序列是不可预计的, 因而也不可能重复产生两个相同的真随机数序列。真随机数只能用某些随机物理过程来产生, 如放射性衰变、电子设备的热噪音、宇宙射线的触发时间等。 实际使用的随机数通常都是采用某些数学公式产生的，称为伪随机数。真随机数只是一种数学的理想化概念，实际中我们所接触到的和使用的都是伪随机数。要把伪随机数当成真随机数来使用, 必须要通过随机数的一系列的统计检验。 无论伪随机数用什么方法产生,它的局限性都在于这些随机数总是一个有限长的循环集合, 而且序列偏差的上确界达到最大值。所以若能产生低偏差的确定性序列是很有用的,产生的序列应该具有这样的性质, 即任意长的子序列都能均匀地填充函数空间。 人们已经产生了若干种满足这个要求的序列,如Halton序列、Faure序列、Sobol序列和Niederreiter序列等。称这些序列为拟随机数序列。伪随机序列是为了模拟随机性, 而拟随机序列更致力于均匀性。 3、蒙特卡洛方法的原理 当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，应当首先建立一个恰当的概率模型，即确定某个随机事件A或随机变量X，使得待求的解等 clear; clc; %初始化工作 Ns = 20; Nn = 200; Vmax = 20; Xrange = 200; Yrange = 200; tr = 50; step = 20; N = 20; Nf = 3; %采样盒子确定时，估计位置要扩大圆面积 ns_range = 200; %每个采样盒子的最大采样次数 for i = 1:Ns Xseed(1,i)=rand(1,1)*Xrange; Yseed(1,i)=rand(1,1)*Yrange; end for i = 1:Nn Xnode(1,i)=rand(1,1)*Xrange; Ynode(1,i)=rand(1,1)*Yrange; Xnode_g(1,i)=Xnode(1,i); %MCL估计位置,初始值设置为真实位置 Ynode_g(1,i)=Ynode(1,i); end %初始时刻的粒子群，for every node for i = 1:Nn for j = 1:N lx(i,j,1) = Xnode_g(1,i); ly(i,j,1) = Ynode_g(1,i); end end %figure(1); %plot(Xseed,Yseed,'bo',Xnode,Ynode,'k*'); %节点们开始运动，每次定位完成才开始下一次运动，这里假设这个定位过程耗时非常短%仿真步数 for k=2:step %新的时刻，节点们先运动一下,RWP模型 for i = 1:Ns r = rand(1,1)*Vmax; thita = rand(1,1)*2*pi; Xseed(k,i) = Xseed(k-1,i) + r*cos(thita); 图1-1 蒙特卡罗方法学习总结 核工程与核技术2014级3班张振华20144530317 一、蒙特卡罗方法概述 1.1蒙特卡罗方法的基本思想 1.1.1基本思想 蒙特卡罗方的基本思想就是，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。 1.1.2计算机模拟打靶游戏 为了能更为深刻地理解蒙特卡罗方法的基本思想，我们学习了蒲丰氏问题和打靶游戏两大经典例子。下面主要对打靶游戏进行剖析、计算机模拟（MATLAB 程序）。 设某射击运动员的弹着点分布如表1-1 所示， 首先用一维数轴刻画出已知该运动员的弹 着点的分布如图1-1所示。研究打靶游戏，我 们不用考察子弹的运动轨迹，只需研究每次“扣动扳机”后的子弹弹着点。每一环数对应唯一确定的概率，且注意到概率分布函数有单调不减和归一化的性质。首先我们产生一个在(0,1)上均匀分布的随机数（模拟扣动扳机），然后将该随机数代表的点投到P 轴上（模拟子弹射向靶上的一个确定点），得到对应的环数（即子弹的弹着点），模拟打靶完成。反复进行N 次试验，统计出试验结果的样本均值。样本均值应当等于数学期望值，但允许存在一定的偏差，即理论计算值应该约等于模拟试验结果。 clear all;clc; N=100000;s=0; for n=1:N %step 4.重复N 次打靶游戏试验 x=rand(); %step 1.产生在(0,1)上均匀分布的随机数if(x<=0.1) %step 2.若随机数落在(0.0,0.1)上，则代表弹着点在7环g=7; s=s+g; %step 3.统计总环数elseif(x<=0.2) %step 2.若随机数落在(0.1,0.2)上，则代表弹着点在8环g=8;s=s+g; elseif(x<=0.5) %step 2.若随机数落在(0.2,0.5)上，则代表弹着点在9环g=9;s=s+g; else %step 2.若随机数落在(0.5,1.0)上，则代表弹着点在10环 g=10;s=s+g; end end gn_th=7*0.1+8*0.1+9*0.3+10*0.5; %step 5.计算、输出理论值fprintf('理论值：%f\n',gn_th); gn=s/N; %step 6.计算、输出试验结果 fprintf('试验结果：%f\n',gn);1.2蒙特卡罗方法的收敛性与误差 1.2.1收敛性 由大数定律可知，应用蒙特卡罗方法求近似解，当随机变量Z 的简单子样数N 趋向于无穷大（N 充分大）时，其均值依概率收敛于它的数学期望。 1.2.2误差 由中心极限定理可知，近似值与真值的误差为N Z E Z N αλ<-)(?。式中的αλ的值可以根据给出的置信水平，查阅标准正态分布表来确定。 1.2.3收敛性与误差的关系 在一般情况下，求具有有限r 阶原点矩()∞ 题目：蒙特卡洛算法的设计和实现 班别：12accp2班 组员姓名：蔡添来杨善挺 时间：2013.6.28 应用数学二期末考核 项目设计说明书 项目名称：蒙特卡洛算法的设计和实现 人员情况 （注：写上组员的姓名、学号） 蔡添来-010******* 杨善挺-010******* 人员分工情况 （注：写上每个组员完成那个部分的详细情况） N-S图和代码蔡添来负责编写，杨善挺参与讨论，杨善挺负责写摘要问题分析、问题总结以及饼状图的代码编写及处理等等，主要结果及其分析讨论部分由蔡添来写，该部分一些问题杨善挺参与讨论。 蒙特卡洛算法的设计和实现 摘要 （注：请写上你对本项目题目的基本认识和介绍，解决该问题用的的方法和算法的基本思想和原理，以及本问题的主要结论及对结论的简单总结和分析） 本文根据蒙特卡洛算法以实验为基础阐述其算法的设计思路和实现过程，可以通过反复多次的实验，利用数学的的N-S算法，以及MATLAB编程等，并联系实际生活情况，分析蒙特卡洛算法给现实世界带来的各种好处，并提出合理的的建议。 针对本项目问题，首先从抽奖的本质出发，分析该问题到底能让哪方获益，估算抽奖者得到各种结果的概率，以及设奖者受益情况。首先从硬币的分值来分析，列出抽取10枚硬币的总和，再计算每种情况出现的概率，再给予一定的奖罚，这样才能即吸引抽奖者，又可以让设奖者盈利，让抽奖者的损失尽可能少。既可以达到娱乐的效果，又可以得到大家都认可。 最后总结蒙特卡洛算法在数学方面的运用以及对现代社会的经济等方面的推动作用，并给出一些建议。 关键词：模拟概率大量统计 蒙特?卡罗的背景介绍和发展 （注：请介绍你对本项目的背景和发展历史等相关内容） 蒙特?卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。 蒙特卡洛算法对于本身就具有随机性质的问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 蒙特卡罗方法的验证需要次数较多的实验和多次的验证。实验越接近理想状态，所得到的实验结果才越精确。所谓理想的实验次数，就是实验次数尽可能的多和用同样的验证方法验证多次，并取他们的平均值，以便减少误差。而且蒙特卡罗方法每次得到的结果具有随机性，因此，现实生活中该算法又可以为人们的生活娱乐带来乐趣，又可以为商家带来赚钱对的好机会。 当实验对象是某种随机事件出现的概率时，或者是某个随机变量的期望值时，可以进行反复“实验”，以这种事件出现的频率估计这一随机事件的概率，并计算全部概率的均值，或者得到这个随机变量的某些数字特征，并将其作为问题的解。以便减少实验误差。 对于本项目的实验对象，利用蒙特卡罗方法以同样的方法反复实验，方便快捷可以得到我们想要的结果，，这是典型的蒙特卡罗方法的运用，而近代也有不少科学家解决同样的问题。例如:1777年，法国数学家布丰（Georges Louis Leclere de Buffon，1707—1788）提出用投针实验的方法求圆周率π。而这被认为是蒙特卡罗方法的起源。 利用蒙特.卡罗方法对该抽签将活动模拟问题分析和数学模型 （注：请介绍你对本项目的解决方法的思路和方法，要求：必须具有对问题解决方法的数学模型(数学模型：数学表达式或算法)的介绍和为什么使用该模型？若问题能求出理论解，在此地方必须给出理论解） 利用N-S图分析思路，再利用MATLAB程序代码运行得到具体结果，结合高中数学的组合运算，因涉及概率等等问题，以及局限于我们的知识，我们只有利用高中的组合运算和大学一年级的N-S图来分析问题，并且利用这几个经典的数学方法，我们可以轻松的解决这个抽奖问题。 MC方法计算阴影部分面积 计算阴影部分面积。 一个古人要求一个图形的面积，他把图形画在一块方形布上，然后找来一袋豆子，然后将所有豆子洒在布上，落在图形内豆子的重量比上那块布上所有豆子的重量再乘以布的面积就是他所要求的图形的面积。 两种编程思路来计算这个面积： 方法一：将整个坐标轴看成一个边长为12的正方形，然后均匀的这个正方形分成N（N的大小取决于划分的步长）个点，然后找出N个点中有多少个点是属于阴影部分中，假设这个值为k，则阴影部分的面积为：k/N*12^2 方法二：将整个坐标轴看成一个边长为12的正方形，然后在（-6，6）中随机出N（N越大越好，至少超过1000）个点，然后找出这N个点中有多少个点在阴 影区域内，假设这个值为k，则阴影部分的面积为：k/N*12^2。然后重复这个过程100次，求出100次面积计算结果的均值，这个均值为阴影部分面积。 对比分析：以上两个方法都是利用蒙特卡罗方法计算阴影部分面积，只是在处理的细节有一点区别。前者是把豆子均匀分布在布上；后者则是随机把豆子仍在布上。就计算结果的精度而言，前者取决点的分割是否够密，即N是否够大；后者不仅仅通过N来控制精度，因为随机的因素会造成单次计算结果偏高和偏小，所以进行反复多次计算最后以均值来衡量阴影部分面积。 附上MATLAB程序： 方法一： clear x=-6:0.01:6; y=x; s=size(x); zs=s(1,2)^2; k=0; for i=1:s(1,2) for j=1:s(1,2) a1=(x(i)^2)/9+(y(j)^2)/36; a2=(x(i)^2)/36+y(j)^2; a3=(x(i)-2)^2+(y(j)+1)^2; 第三章蒙特卡罗方法简介 3.1 Monte Carlo方法简介 Monte Carlo方法是诺斯阿拉莫斯实验室在总结其二战期间工作（曼哈顿计划）的基础上提出来的。Monte Carlo的发明，主要归功于Enrico Fermi、Von Neumann和Stanislaw Ulam等。自二战以来，Monte Carlo方法由于其在解决粒子输运问题上特有的优势而得到了迅速发展，并在核物理、辐射物理、数学、电子学等方面得到了广泛的应用。Monte Carlo的基本思想就是基于随机数选择的统计抽样，这和赌博中掷色子很类似，故取名Monte Carlo。 Monte Carlo方法非常适于解决复杂的三维问题，对于不能用确定性方法解决的问题尤其有用，可以用来模拟核子与物质的相互作用。在粒子输运中，Monte Carlo技术就是跟踪来自源的每个粒子，从粒子产生开始，直到其消亡（吸收或逃逸等）。在跟踪过程中，利用有关传输数据经随机抽样来决定粒子每一步的结果[6]。 3.2 Monte Carlo发展历程 MCNP程序全名为Monte Carlo Neutron and Photon Transport Code (蒙特卡罗中子-光子输运程序)。Monte Carlo模拟程序是在1940年美国实施“发展核武器计划”时，由洛斯阿拉莫斯实验室（LANL）提出的，为其所投入的研究、发展、程序编写及参数制作超过了500人年。1950年Monte Carlo方法的机器语言出现, 1963年通用性的Monte Carlo方法语言推出，在此基础上，20世纪70年代中期由中子程序和光子程序合并,形成了最初的MCNP程序。自那时起，每2—3年MCNP更新一次, 版本不断发展，功能不断增加，适应面也越来越广。已知的MCNP程序研制版本的更新时间表如下：MCNP-3：1983年写成，为标准的FORTRAN-77版本，截面采用ENDF /B2III。 MCNP-3A：1986年写成，加进了多种标准源，截面采用ENDF /B2I V[20]。 第二章蒙特卡罗方法（又统称：统计试验方法） 在第一章我们看到了关于解决反问题在概率分布模型空间最普遍的方案，当它的概率分布唯一时，在模型空间是非常简单的，（例如，它仅有一个最大值），可以用分析技术来表示。 对于一般的概率分布，需要在模型空间上广泛的探索，除去维数较小的，因为这样不能系统概括，（根据位数空间大量的点群）设计好随机（或非随机）可以探索解决了许多复杂的问题，这些随机方法被洛斯阿拉莫斯团队开玩笑的叫 做“蒙特卡洛方法”，Metropplis抽样算法，现在已经建立被叫做“蒙特卡罗”。 2.1 介绍 几个世纪前蒙特卡罗（即随机的）方法就被用于计算，例如，可以用蒙特卡罗方法来估算π：对于一个普通的楼层,等同宽度W的钢带，抛出长为W/2的针， 这个针相交的凹槽，在地板上的概率等于1（勒克莱尔，乔治.路易伯爵布冯 [1907至88年]）。以50为一系列做观察，做100次试验，在1850年由沃尔夫在苏黎世导致对3.1596±0.0524π的值。在数值方法中，针的行进被替换一个随机生成的数字，由计算机的代码一个域， 其中蒙特卡罗计算是平时对于数值计算大维空间积分：函数在一个普通的系统评价网格是不可能的（太多了点就被要求），并在蒙特卡罗采样功能可以提供的结果的估计值，连同误差的估计值（见附录6.9或了解更多详情，卡洛什和惠特洛克，1986）。对于反问题的解决方案采用蒙特卡罗方法是由开始Borok andYanovsk（1967）和出版社（1968，1971）。最近的Keilis-ava int是安德森和Seneta（1971，1972），罗斯曼（1985年，1985年b，rks erestingwo 1986）和J e n s e n 1的等（1998）。这本书，过参数，其中概率分布的透视空 D a h- 间是核心，我们面临着如何使用它们的问题。对“中心估计”的定义（如均值或中位数）的“分散的估计”（如协方差和矩阵）缺乏通用性，因为它是很容易找到的例子（如多模态分布在高维空间），其中这些估计不能有任何有趣的含义。当一个概率分布已被定义在低维空间（比方说，从一维到四维），我们可以直接表示关联概率密度。这是微不足道的一维或两维。它很容易在三维空间中，并且一些花样可以允许我们表示了四维概率分布。此外，事件A的概率可直接通过一个整体的，使用标准来评价（非随机的）数值方法。图2.1。的采样 ,概率密度使我们在计算中引入了概率理论（计算一个事件的概率使用估计某些时刻，等）简单的统计。 蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。 蒙特卡罗方法解题过程的三个主要步骤： （1）构造或描述概率过程 对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。 （2）实现从已知概率分布抽样 构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。最简单、最基本、最重要的一个概率分布是（0，1）上的均匀分布（或称矩形分布）。随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。产生随机数的问题，就是从这个分布的抽样问题。在计算机上，可以用物理方法产生随机数，但价格昂贵，不能重复，使用不便。另一种方法是用数学递推公式产生。这样产生的序列，与真正的随机数序列不同，所以称为伪随机数，或伪随机数序列。不过，经过多种统计检验表明，它与真正的随机数，或随机数序列具有相近的性质，因此可把它作为真正的随机数来使用。由已知分布随机抽样有各种方法，与从(0,1)上均匀分布抽样不同，这些方法都是借助于随机序列来实现的，也就是说，都是以产生随机数为前提的。由此可见，随机数是我们实现蒙特卡罗模拟的基本工具。 （3）建立各种估计量 一般说来，构造了概率模型并能从中抽样后，即实现模拟实验后，我们就要确定一个随机变量，作为所要求的问题的解，我们称它为无偏估计。建立各种估计量，相当于对模拟实验的结果进行考察和登记，从中得到问题的解。 蒙特卡洛法模拟蒲丰（Buffon）投针实验-使用Matlab 2010年03月31日星期三8:47 蒲丰投针实验是一个著名的概率实验，其原理请参见此页： https://www.doczj.com/doc/d93738916.html,/reese/buffon/buffon.html 现在我们利用Matlab来做模拟，顺便说一下，这种随机模拟方法便是传说中的“蒙特- 蒙特卡洛模型方法 蒙特卡罗方法（Monte Carlo method） 蒙特卡罗方法概述 蒙特卡罗方法又称统计模拟法、随机抽样技术，是一种随机模拟方法，以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法，是使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用电子计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。为象征性地表明这一方法的概率统计特征，故借用赌城蒙特卡罗命名。 蒙特卡罗方法的提出 蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S．M．乌拉姆和J．冯·诺伊曼首先提出。数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo—来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。1777年，法国Buffon提出用投针实验的方 样调查来确定可能的优胜者。其基本思想是一样的。 科技计算中的问题比这要复杂得多。比如金融衍生产品（期权、期货、掉期等）的定价及交易风险估算，问题的维数（即变量的个数）可能高达数百甚至数千。对这类问题，难度随维数的增加呈指数增长，这就是所谓的“维数的灾难”（Curse of Dimensionality），传统的数值方法难以对付（即使使用速度最快的计算机）。Monte Carlo 方法能很好地用来对付维数的灾难，因为该方法的计算复杂性不再依赖于维数。以前那些本来是无法计算的问题现在也能够计算量。为提高方法的效率，科学家们提出了许多所谓的“方差缩减”技巧。 另一类形式与Monte Carlo方法相似，但理论基础不同的方法—“拟蒙特卡罗方法”（Quasi －Monte Carlo方法）—近年来也获得迅速发展。我国数学家华罗庚、王元提出的“华—王”方法即是其中的一例。这种方法的基本思想是“用确 Monte Carlo 法 §8.1 概述 Monte Carlo 法不同于前面几章所介绍的确定性数值方法，它是用来解决数学和物理问题的非确定性的（概率统计的或随机的）数值方法。Monte Carlo 方法（MCM ），也称为统计试验方法，是理论物理学两大主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（用于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。它是用一系列随机数来近似解决问题的一种方法，是通过寻找一个概率统计的相似体并用实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的一种手段。运用该近似方法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，而不是经典数值计算结果。 普遍认为我们当前所应用的MC 技术，其发展约可追溯至1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。MCM 的发展归功于核武器早期工作期间Los Alamos （美国国家实验室中子散射研究中心）的一批科学家。Los Alamos 小组的基础工作刺激了一次巨大的学科文化的迸发，并鼓励了MCM 在各种问题中的应用[2]-[4]。“Monte Carlo ”的名称取自于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐而闻名的一座城市。 Monte Carlo 方法的应用有两种途径：仿真和取样。仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的方法。一个典型的例子就是对中子进入反应堆屏障的运动进行仿真，用随机游动来模仿中子的锯齿形路径。取样是指通过研究少量的随机的子集来演绎大量元素的特性的方法。例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进行估计。这就是数值积分的Monte Carlo 方法。MCM 已被成功地用于求解微分方程和积分方程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其用于计算多重积分。 任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要一种产生或获得随机数的方法。这种仿真的例子在中子随机碰撞，数值统计，队列模型，战略游戏，以及其它竞赛活动中都会出现。Monte Carlo 计算方法需要有可得的、服从特定概率分布的、随机选取的数值序列。 §8.2 随机数和随机变量的产生 [5]－[10]全面的论述了产生随机数的各类方法。其中较为普遍应用的产生随机数的方法是选取一个函数)(x g ，使其将整数变换为随机数。以某种方法选取 0x ，并按照)(1k k x g x =+产生下一个随机数。最一般的方程)(x g 具有如下形式： m c ax x g mod )()(+= （8.1） 其中 =0x 初始值或种子（00>x ） =a 乘法器（0≥a ） =c 增值（0≥c ） =m 模数 例在我方某前沿防守地域，敌人以一个炮排（含两门火炮）为单位对我方进行干扰和破坏．为躲避我方打击，敌方对其阵地进行了伪装并经常变换射击地点． 经过长期观察发现，我方指挥所对敌方目标的指示有50％是准确的，而我方火力单位，在指示正确时，有1/3的射击效果能毁伤敌人一门火炮，有1/6的射击效果能全部毁伤敌人火炮． 现在希望能用某种方式把我方将要对敌人实施的20次打击结果显现出来，确定有效射击的比率及毁伤敌方火炮的平均值。 使用蒙特卡洛方法模拟50次打击结果： function [out1 out2 out3 out4]=Msc(N) % N开炮次数 % out1射中概率 % out2平均每次击中次数 % out3击中敌人一门火炮的射击总数 % out4击中敌人2门火炮的射击总数 k1=0; k2=0; k3=0; for i=1:N x0=randperm(2)-1; y0=x0(1); if y0==1 fprintf('第%d次：指示正确||',i); x1=randperm(6); y1=x1(1); if y1==1|y1==2|y1==3 fprintf('第%d次：击中0炮||',i); k1=k1+1; elseif y1==4|y1==5 fprintf('第%d次：击中1炮||',i); k2=k2+1; else fprintf('第%d次：击中2炮||',i); k3=k3+1; end else fprintf('第%d次：指示错误，击中0炮||',i); k1+1; end fprintf('\n'); end out1=(k2+k3)/N; out2=(0*k1+k2+2*k3)/20; out3=k2/N; out4=k3/N; 运行： 1.[out1 out2 out3 out4]=Msc(50) 结果： 1.第1次：指示正确||第1次：击中2炮|| 2.第2次：指示错误，击中0炮|| 3.第3次：指示错误，击中0炮|| 4.第4次：指示正确||第4次：击中0炮|| 5.第5次：指示错误，击中0炮|| 6.第6次：指示正确||第6次：击中1炮|| 7.第7次：指示正确||第7次：击中0炮|| 8.第8次：指示错误，击中0炮|| 9.第9次：指示正确||第9次：击中2炮|| 10.第10次：指示正确||第10次：击中1炮|| 11.第11次：指示正确||第11次：击中1炮|| 12.第12次：指示正确||第12次：击中2炮|| 13.第13次：指示错误，击中0炮|| 14.第14次：指示正确||第14次：击中1炮|| 15.第15次：指示错误，击中0炮|| 16.第16次：指示错误，击中0炮|| 17.第17次：指示正确||第17次：击中0炮|| 18.第18次：指示错误，击中0炮|| MCC 方法 蒙特卡罗方法的诞生 蒙特卡罗方法的产生可追溯到Buffon 投针实验。法国数学家Buffon 用此实验来估算π值，它的原理是这样子的：在桌面上划一组间距为d 的平行线，然后向桌面上随意抛掷长度为L 的细针，从针与平行线相交的概率就可以得到π值。 其中 [0,)A d ∈ [0,) x π∈ 由积分性质可得投针置于平行线上的概率为sin 1 2l d l p dAdx d π θ π π == ? ? 假如在N 次投针实验中，有M 次与平行线相交，则有2l M P d N π= = 图3.2 Buffon 的投针实验 图3.3 投针位置分析 1930年，费米利用蒙特卡罗方法研究了中子的扩散，并设计了一个蒙特卡罗机械装置，用于计算核反应堆的临界状态。 冯.诺依曼是蒙特卡罗方法的正式奠基者,他与Stanislaw Ulam 合作建立了概率密度函数、反累积分布函数的数学基础，以及伪随机数产生器，从而使得蒙特卡罗方法得以推广，成为科学领域一种常用的模拟方法。 蒙特卡罗方法的基本思想 对某一个待解决的物理问题（当这个物理问题可以抽象为数学问题时）建立一个概率模型，即确定某个随机事件X ，使得待求问题的解等于随机事件X 出现的概率或随机变量的数学期望值。然后进行模拟实验，重复多次地模拟随机事件X 。最后对随机实验结果进行统计平均，求出X 出现的频数作为问题的近似解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。 具体来说： 假设所要求的量x 是随机变量的数学期望 ，那么近似确定x 的方法是 对进行N 次重复抽样，产生相互独立的值的序列、、……、，并计算其算术平均值： 1 1 N N n n N ξξ ==∑ 根据大数定理有 P (l i m ) N N x ξ→∞ == 因此，当N 充分大时，下式 ()N E x ξξ≈= 成立的概率为1,亦即可以用 作为所求量x 的估计值。 用蒙特卡罗方法求解时，最简单的情况是模拟一个发生概率为P 的随机事件A 。考虑一个随机变量，若在一次试验中事件A 出现，则取值为1；若事件A 不出现， 则 取值为0。令q=1-p ，那么随机变 量 的数学期 望 ，此即一次试验中事件Ａ出现的概率 。的方差 算法简介 蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。与它对应的是确定性算法。蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。 编辑本段背景知识 [1946: John von Neumann, Stan Ulam, and Nick Metropolis, all at the Los Alamos Scientific Laboratory, cook up the Metropolis algorithm, also known as the Monte Carlo method.] 1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和Nick Metropolis共同发明，被称为蒙特卡洛方法。它的具体定义是：在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状，现在要计算这个不规则图形的面积，怎么计算列?蒙特卡洛(Monte Carlo)方法告诉我们，均匀的向该正方形内撒N（N 是一个很大的自然数）个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部，比如说有M个，那么，这个奇怪形状的面积便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。蒙特卡洛方法可用于近似计算圆周率：让计算机每次随机生成两个0到1之间的数，看这两个实数是否在单位圆内。生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，（圆面积和正方形面积之比为PI:1，PI为圆周率），当随机点取得越多（但即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4位与圆周率吻合）时，其结果越接近于圆周率。摘自《细数二十世纪最伟大的十种算法》CSDN JUL Y译 编辑本段算法描述 以概率和统计理论方法为基础的一种计算方法。将所求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟或抽样，以获得问题的近似解。比如，给定x=a，和x=b，你要求某一曲线f和这两竖线，及x轴围成的面积，你可以起定y轴一横线y=c 其中c>=f(x)max，很简单的，你可以求出y=c，x=a，x=b及x轴围成的矩形面积，然后利用随机产生大量在这个矩形范围之内的点，统计出现在曲线上部点数和出现在曲线下部点的数目，记为：doteUpCount，nodeDownCount，然后所要求的面积可以近似为doteDownCounts所占比例*矩形面积。 编辑本段问题描述 在数值积分法中，利用求单位圆的1/4的面积来求得Pi/4从而得到Pi。单位圆的1/4面积是一个扇形，它是边长为1单位正方形的一部分。只要能求出扇形面积S1在正方形面积S中占的比例K=S1/S就立即能得到S1，从而得到Pi的值。怎样求出扇形面积在正方形面积中占的比例K呢？一个办法是在正方形中随机投入很多点，使所投的点落在正方形中每一个位置的机会相等看其中有多少个点落在扇形内。将落在扇形内的点数m与所投点的总数n的比m/n作为k的近似值。P落在扇形内的充要条件是x^2+y^2<=1。蒙特卡罗算法的简单应用
浅析蒙特卡洛方法原理及应用
蒙特卡洛法的基本原理
蒙特卡罗 算法
蒙特卡洛方法
WSN定位蒙特卡洛方法MCL的MATLAB
蒙特卡罗方法学习总结
题目蒙特卡洛算法的设计和实现
1蒙特卡罗算法举例
蒙特卡罗方法简介
第二章 蒙特卡罗方法
蒙特卡罗方法的解题过程可以归结为三个主要步骤
蒙特卡洛模型方法
蒙特卡洛算法详讲
蒙特卡洛方法模拟小例子
蒙特卡洛方法 (MC) 方法
蒙特卡洛算法简介
相关主题
文本预览