高三物理专题训练--------弹簧模型（动力学问题）
弹簧是高中物理中的一种常见的物理模型，几乎每年高考对这种模型有所涉及和作为压轴题加以考查。它涉及的物理问题较广，有：平衡类问题、运动的合成与分解、圆周运动、简谐运动、做功、冲量、动量和能量、带电粒子在复合场中的运动以及临界和突变等问题。为了将本问题有进一步了解和深入，现归纳整理如下 弹簧类题的受力分析和运动分析 （一）弹力的特点
1．弹力的瞬时性：弹簧可伸长可压缩，两端同时受力，大小相等，方向相反，弹力随形变量变化而变化。
2．弹力的连续性：约束弹簧的弹力不能突变（自由弹簧可突变）
3．弹力的对称性：弹簧的弹力以原长位置为对称，即相等的弹力对应两个状态。 （二）在弹力作用下物体的受力分析和运动分析
①考虑压缩和伸长两种可能性 1．在弹力作用下物体处于平衡态—— ②作示意图
③受力平衡列方程
2．在弹力作用下物体处于变速运动状态 形变 F m
F
a i ∑=，a 变化 v 变化 位置变化
（a = 0时v max ） （v=0时形变量最大）
（1）变量分析：（a ）过程——抓住振动的对称性 （b ）瞬时 （2）运动计算： (a)匀变速运动 (b)一般运动
①通过分析弹簧的形变而确定弹力大小、方向的改变，从而研究联系物的运动 ②弹簧处于原长状态不一定是平衡态
③当作匀变速直线运动时，必有变化的外力作用，变化的外力常存在极值问题 ④充分利用振动特征（振幅、平衡位置、对称性、周期性、F 回与弹力的区别） ⑤临界态——脱离与不脱离：必共速、共加速且N=0 ⑥善用系统牛顿第二定律
针对性练习：
1、如图所示，竖直放置在水平面上的轻质弹簧上端叠放着两个
物块A 、B ，它们的质量均为2.0kg ，并处于静止状态。某时刻 突然将一个大小为10N 的竖直向上的拉力加在A 上，则此时刻 A 对B 的压力大小为（g 取10m/s 2）（ ）
A ．25N B. 20N C. 15N D. 10N
2.如图所示，质量为m 的物体A 放置在质量为M 的物体B 上，B 与弹簧相连，它们一起在光滑水平面上作简谐振动，振动过程中A 、B 之间无相对运动，设：弹簧的劲度系数为k ．当物体离开平衡位置的位移为x 时，A 、B 间摩擦力的大小等于：( )
A.0
B.kx
C.
kx M m D.kx m
M m 3．质量分别为m A =2kg 和m B =3kg 的A 、B 两物块，用劲度系数为k 的轻弹簧相连后竖直放在水平面上。今用大小为F =45N 的力把物块A 向下压而使之处于静止，突然撤去压力，则（ ）
A ．物块
B 有可能离开水平面 B ．物块B 不可能离开水平面
C ．只要k 足够小，物块B 就可能离开水平面
D ．只要k 足够大，物块B 就可能离开水平面
4．如图中所示，x 、y 、z 为三个物块，k 为轻质弹簧，L 为轻线。系统处于平衡状态。现若将L 突然剪断，用a x 、a y 分别表示刚剪断时x 、y 的加速度，则有（ ） A ．a x =0、a y =0 B ．a x =0、a y ≠0
C ．a x ≠0、a y ≠0
D ．a x ≠0、a y =0
5．如图所示，A 、B 质量均为m ，叠放在轻质弹簧上，当对A 施加一竖直向下的
力，大小为F ，将弹簧压缩一段，而且突然撤去力F 的瞬间，关于A 的加速度及A 、B 间的相互作用力的下述说法正确的是（ ）
A 、加速度为0，作用力为mg 。
B 、加速度为F/2m ，作用力为mg+F/2
C 、速度为F/m ，作用力为mg+F
D 、加速度为F/2m ，作用力为（mg+F ）/2 6.如图所示，一根轻弹簧上端固定，下端挂一质量为m 1的箱子，箱中有一质量为m 2的物体．当箱静止时，弹簧伸长L 1，向下拉箱使弹簧再伸长L 2时放手，设弹簧处在弹性限度内，则放手瞬间箱对物体的支持力为：
(
)
A.g m L L 212)1(+
B.g m m L L
))(1(211
2++ C.
g m L L 212 D.g m m L L
)(211
2+ 7．如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M 、N 固定于杆上，小球处于静止状态，设拔去销钉M 瞬间，小球加速度的大小为12m/s 2，若不拔去销钉丁M 而拔去销钉N 瞬间，小球的加速度可能是(取g =10m/s 2) ( )
A ．22m/s 2，方向竖直向上
B ．22m/s 2，方向竖直向下
C ．2m/s 2，方向竖直向上
D ．2m/s 2，方向竖直向下
8如图15所示，质量为m 的物体被劲度系数为k 2的弹簧2悬挂天花板上，
下面还拴着劲度系数为k 1的轻弹簧1，托住下面弹簧的端点A 用力向上压，当弹簧2的弹力大小为mg/2时，弹簧1的下端点A 上移的高度是多少
?
9如图所示，在倾角为θ的光滑斜面上有两个用轻质弹簧相连接的物块A 、B ．它们的质量分别为m A 、m B ，弹簧的劲度系数为k , C 为一固定挡板。系统处于静止状态。现开始用一恒力F 沿斜面方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 时物块A 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位移d 。重力加速度为g 。
10．如图14所示，A 、B 两滑环分别套在间距为1m 的光滑细杆上，A 和B 的质量之比为1∶3，用一自然长度为1m 的轻弹簧将两环相连，在 A 环上作用一沿杆方向的、大小为20N 的
拉力F ，当两环都沿杆以相同的加速度a 运动时，弹簧与杆夹角为53°。（cos53°=0.6） 求：（1）弹簧的劲度系数为多少？
（2）若突然撤去拉力F ，在撤去拉力F 的瞬间，A 的加速度为a /，a /与a 之间比为多少？
1C 2.D 3B 4B 5B 6A 7 BC
8、解：A 点上升的高度等于弹簧2和弹簧1缩短的长度之和．A 点上升，使弹簧2仍处于伸长状态时，弹力减小了mg/2，弹簧2比原来缩短△x 2=mg/(2k 2)，弹簧1的弹力为mg/2，压缩量为△x 1=mg/(2k 1)，
所以△x=△x 1＋△x 2=mg(1/k 1＋1/k 2)/2．
A 点上升，使弹簧2处于压缩状态时，向下的弹力mg/2，压缩量△x 2=mg/(2k 2)，所以弹簧2总的压缩量△x ′2=mg/k 2＋mg/(2k 2)=3mg/(2k 2)．弹簧l 上的弹力为mg ＋mg/2，△x ′1=3mg/(2k 1)
△x=△x ′1＋△x ′2=3mg(1/k 1＋1/k 2)/2． 所以弹簧1的下端点A 上移的高度是
△x=mg(1/k 1＋1/k 2)/2，或3mg(1/k 1l ＋1/k 2)/2．
9令x 1表示未加F 时弹簧的压缩量，由胡克定律和牛顿定律可知 m A gsin θ=kx 1 ①
令x 2表示B 刚要离开C 时弹簧的伸长量，a 表示此时A 的加速度，由胡克定律和牛顿定律可知
kx 2=m B gsin θ ② F －m A gsin θ－kx 2=m A a ③ 由② ⑧ 式可得a=F －(m A +m B )gsin θ
m A ④
由题意 d=x 1+x 2 ⑤
由①②⑤式可得d=(m A +m B )gsin θ
k
⑥
10．解：（1）先取A +B 和弹簧整体为研究对象，弹簧弹力为内力，杆对A 、B 支持力与加速
度方向垂直，在沿F 方向应用牛顿第二定律F =(m A +m B )a ①
图
再取B为研究对象F弹cos53°=m B a②
①②联立求解得，F弹=25N
由几何关系得，弹簧的伸长量⊿x=l(1/sin53°－1)=0.25m
所以弹簧的劲度系数k=100N/m
（2）撤去F力瞬间，弹簧弹力不变，A的加速度a/= F弹cos53°/m A 所以a/：a=3∶1。
A [常用牌号]：常用合金弹簧钢的牌号、化学成分、热处理、力学性能及用途。常用的合金弹簧钢有60Si2Mn、50CrVA、30W4Cr2VA等。 60Si2Mn钢是应用最广泛的合金弹簧钢，其生产量约为合金弹簧钢产量的80％。它的强度、淬透性、耐回火性都比碳素弹簧钢高，工作温度达250℃，缺点是脱碳倾向较大，适于制造厚度小于10mm 的板簧和截面尺寸小于25mm的螺旋弹簧，在重型机械、铁道车辆、汽车、拖拉机上都有广泛的应用。 30W4Cr2VA是高强度的耐热弹簧，用于500℃以下工作的 [弹簧成型方法]：对直径或板簧厚度大于10 mm的大弹簧，可在比正常淬火温度高出50～80℃的温度热成形，对直径或板簧厚度小于8～10mm的小弹簧，常用冷拔弹簧钢丝冷卷成形。 [为保证弹簧具有高的强度和足够的韧性，通50CrVA钢的力学性能与60Si2Mn钢相近，但淬透性更高，钢中Cr和V能提高弹性极限、强度、韧性和耐回火性，常用于制作承受重载荷、工作温度较高及截面尺寸较大的弹簧。锅炉主安全阀弹簧、汽轮机汽封弹簧等。 常采用淬火+中温回火。对热成形弹簧，可采用热成形余热淬火，对热冷成形的弹簧，有时可省去淬火、中温回火工艺，成形后只需进行200～300℃进行去应力退火即可。弹簧钢热处理后通常进行喷丸处理，其目的是在弹簧表面产生残余压应力，以提高弹簧的疲劳强度。 [性能]：硬度为40～48HRC，有较高的弹性极限和疲劳强度，以及一定的塑性和韧性 弹簧是起缓冲、减振和储能等作用。弹簧一般是在交变应力下工作，常见的破坏形式是疲劳破坏，因此，必须具有高的屈服点和屈强比（σs/ σb）、弹性极限、抗疲劳性能，以保证弹簧有足够的弹性变形能力并能承受较大的载荷。同时，弹簧钢还要求具有一定的塑性与韧性，一定的淬透性，不易脱碳及不易过热。一些特殊弹簧还要求有耐热性、耐蚀性或在长时间内有稳定的弹性。 中碳钢和高碳钢都可作弹簧使用，但因其淬透性和强度较低，只能用来制造截面较小、受力较小的弹簧。合金弹簧钢则可制造截面较大、屈服极限较高的重要弹簧。 [化学成分]：合金弹簧钢为中、高碳成分，一般wC=％～％，以满足高弹性、高强度的性能要求。加入的合金元素主要是Si、 Mn、Cr，作用是强化铁素体、提高淬透性和耐回火性。但加入过多的Si会造成钢在加热时表面容易脱碳，加入过多的Mn容易使晶粒长大。加入少量的V和Mo可细化晶粒，从而进一步提高强度并改善韧性。此外，它们还有进一步提高淬透性和耐回火性的作用。
弹簧中的动力学问题
弹簧中的动力学问题 知识分析 两个物体之间用轻质弹簧连在一起，连接的弹簧或为原长，或已压缩而被锁定。这样包括弹簧的系统与第三个物体相互作用（碰撞、子弹射入等）。这是这类问题的典型物理情境。首先应注意上述两种情况的区别：已完全压缩的弹簧没有缓冲作用，应将系统当作一个整体来处理；没压缩的弹簧有缓冲作用，只有碰撞的两个物体组成系统，与弹簧相连的另一端的物体没有参与。 此类问题还应注意：把相互作用的总过程划分为多个依次进行的子过程，分析确定哪些子过程机械能是守恒的，哪些子过程机械能不守恒。还有一个常见的物理条件：当弹簧最长或最短（或弹簧中弹性势能最大）时，弹簧两端的物体速度相等。 典型例题 【例1】一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上，如右 图所示。在A点，物体开始与弹簧接触到B点时，物体速度为 零，然后被弹回。下列说法中正确的是（） A．物体从A下降到B的过程中，动能不断变小 B．物体从B上升到A的过程中，动能不断变大 C．物体从A下降到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是 先增大，后减小 D．物体在B点时，所受合力为零 【例2】如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M 处的墙上，另一端与质量为m2档板B相连，弹簧处于原长时，B恰位于滑道的末端O点。 A与B碰撞时间极短，碰后结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求： （1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小； （2）弹簧最大压缩量为d时的弹性势能Ep（设弹簧处于原长时弹性势能为零）。
动力学临界问题得类型与处理方法 〇、问题得缘起 高中物理中得动力学临界问题就是一类较难得题目,本文尝试从牛顿第二定律得等号得含义得挖掘出发，提出这类问题得产生原因、基本类型与基本解决方法。 一、动力学临界问题得本质——供需匹配问题 牛顿第二定律，等式得左边就是其她物体提供给物体得力（供），右边就是物体以加速度a运动时所需要得力（需），因此实际上就是供需匹配得方程。 当某些外界条件变化时,a可能变化，因此物体所需要得力可能发生变化,这就存在供需匹配问题。动力学临界问题，本质上讲，就就是供需匹配问题： ①供需相匹配(等号成立)，则可维持两物体间得某种关联(如相对静止、距离不变等）; ②若供需不匹配（等号不成立）,则两物体间得该种关联被破坏(如两物体相对滑动、距离增大或者减小等）。 二、动力学临界问题得类型 依据其她物体提供给物体得力得特点,可将动力学临界问题分为两大类型:供可变型与供不可变型。 1、供可变型 其她物体提供得力可以在一定范围内变化;若所需要得力在该范围内，则能够维持物体间得某种关联，若所需要得力超出该范围，则物体间得该种关联被破坏。 具有这种特点得力，主要就是两大类：静摩擦力与弹力。具体分析如下： （１）静摩擦力：-F f m≤F f≤F fｍ, 若：所需Fｆ≤F fｍ，则两物体相对静止， 若：所需F f＞F f m,则两物体相对滑动. （2)弹力:F N≥0, 0≤F T≤ＦT m ①支持力／压力F N:所需FＮ≥0，则两物体相互接触， 所需F N＜0，则两物体相互分离。 ②绳中张力ＦT：所需F T满足0≤F T≤ＦT m,则绳子绷直,两物体维持某间距， 所需F T〈0，则绳子松弛,两物体间距减小,靠近， 所需ＦT＞FＴm，则绳子绷断，两物体间距增大,分开。 2、供不可变型 特定位置处,其她物体提供得力就是一个确定得值；若需要得力等于该值，则能够维持物体间得相对位置,若需要得力不等于该值，则两物体接近或者远离。 具有这种特点得力有万有引力、库仑力、弹簧弹力等。其中万有引力作用下人造卫星得变轨问题就属于这类问题得典型，下文重点就是供可变型，所以将此问题得处理方法单独在此处说明,下文不再赘述. 如右图所示，人造卫星在离地心ｒ处得Ａ点以某速度vＡ发射，若发射速度合适（为v），卫星在该处所受万有引力恰好等于其在该圆周轨道上做圆周运动所需要得向心力，则卫星就能在该轨道上做圆周运动,有 解得。 即有: 若：,所需要得向心力，供求平衡,卫星将做圆周运动, 若:，所需要得向心力,供不应求，卫星将做离心运动， 若：,所需要得向心力,供过于求,卫星将做近心运动。 三、动力学临界问题处理得基本方法 动力学临界问题得处理方法有两种： 1、物理分析法
弹簧模型的动力学分析方法 【例二】如图所示，劲度系数为21,k k 的轻质弹簧竖直悬挂，两弹簧之间有一质量为1m 的重物，最下端挂一质量为2m 的重物，用一力竖直向上缓慢托起2m ，当力为多少时，两弹簧的总长等于弹簧原长之和 解析： 两弹簧的总长等于弹簧原长之和，必定是弹簧1k 伸长，弹簧2k 压缩，且形变量21x x =1m 对1m 物体有g m x k x k 12211=+2k 对2m 物体有222x k g m F +=2m 【变式3静止时物块对箱顶P 的压力为2 G 箱顶P 【变式4】如图所示，在倾角为θ弹簧相连的物块B A ,，它们的质量分别为B A m m ,劲度系数为k ，C 为一固定挡板，现开始用一恒力F 方向拉物块A 使之向上运动，求物块B 刚要离开C 的加速度a 和从开始到此时物块A 的位置d （变式3图） （变式4图） 【变式5】如图所示，水平面上质量均为m 的两木块A ,弹簧连接，整个系统处于平衡状态，A 向上做加速度为a 的匀加速直线运动，取木块A 中实线部分表示从力F 作用在木块A 到木块B 块A 的位移x 之间的关系，则（） 甲乙 【2】如图所示，B A ,两个物快的重力分别是N G A ,3=计，系统沿着竖直方向处于静止状态，此时弹簧的弹力的拉力和地板受到的有压力有可能是（） 【5定在小车上，右端与一小球相连，
处于压缩状态，若忽略小球与小车间的摩擦力，则在此段时间内小车可能是（） A.向右做加速运动 B.向右做减速运动 C.向左做加速运动 D.向左做减速运动 左右 【6】如图所示，质量均为m 的物体B A ,通过一劲度系数为k 的轻质弹簧相连，开始时B 放在地面上，B A ,都处于静止状态，现通过细绳缓慢地将A 向上提升距离1L 时，B 刚要离开地面，若将A 加速向上拉起，B 刚要离开地面时，A 上升的距离为2L A.k mg L L ==21 B.k mg L L 221==A 121,L L k mg L >=.121,2L L k mg L >=B 【10】一个弹簧秤放在水平地面上，Q 为与轻质弹簧上端连在一起的弹簧秤，P 为一重物，已知P 的质量kg M 5.10=，Q 的质量kg m 5.1=，弹簧的质量不计，劲度系数m N k /800=，系统处于静止状态，如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使其从静止开始向上做匀加速运动，已知在前内F 为变力，后F 变为恒力，求力F 的最大值与最小值（g 取10m/2s ） 【8】一根劲度系数为k 、质量不计的轻质弹簧上端固定，下端系一质量为m 的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度，如图所示，现让木板由静止开始以加速度)(g a a <匀加速向下运动，求经过多长时间木板开始与物体分 离
弹簧力学性能
弹簧钢丝和弹性合金丝(上) 东北特殊钢集团大连钢丝制品公司徐效谦 弹性材料是机械和仪表制造业广泛采用的制作各种零件和元件的基础材料，它在各类机械和仪表中的主要作用有：通过变形来吸收振动和冲击能量，缓和机械或零部件的震动和冲击；利用自身形变时所储存的能量来控制机械或零部件的运动；实现介质隔离、密封、软轴连接等功能。还可以利用弹性材料的弹性、耐蚀性、导磁、导电性等物理特性，制成仪器、仪表元件，将压力、张力、温度等物理量转换成位移量，以便对这些物理量进行测量或控制。 1 弹性材料的分类 1.1 按化学成分分类 弹性材料可分为：碳素弹簧钢、合金弹簧钢、不锈弹簧钢、铁基弹性合金、镍基弹性合金、钴基弹性合金等。 1.2 按使用特性分类 根据弹性材料使用特性，可作如下分类： 1.2.1 通用弹簧钢 (1)形变强化弹簧钢：碳素弹簧钢丝。 (2)马氏体强化弹簧钢：油淬火回火钢丝。 (3)综合强化弹簧钢：沉淀硬化不锈钢丝 1.2.2 弹性合金
(1)耐蚀高弹性合金 (2)高温高弹性合金 (3)恒弹性合金 (4)具有特殊机械性能、物理性能的弹性合金 2 弹簧钢和弹性合金的主要性能指标 2.1 弹性模量 钢丝在拉力作用下产生变形，当拉力不超过一定值时，变形大小与外力成正比，通常称为虎克定律。公式如下： ε=σ/E 式中ε—应变（变形大小） σ—应力（外力大小） E —拉伸弹性模量 拉伸弹性模量(又称为杨氏弹性模量或弹性模量)是衡量金属材料产生弹性变形难易程度的指标，不同牌号弹性模量各不相同，同一牌号的弹性模量基本是一个常数。 工程上除表示金属抵抗拉力变形能力的弹性模量外（E），还经常用到表示金属抵抗切应力变形能力的切变弹性模量（G）。 拉伸弹性模量与切变弹性模量之间有一固定关系：G = E，μ称为泊桑比，同一牌号的泊桑比是一 + ) 1(2μ
标准号标准名称牌号直径规格(mm)剪切模量 G （MPa ） 推荐硬度HRC 推荐使用温度 ℃ 性 能 25～80 B 级：0.08～13.040Mn ～ 70Mn C 级：0.08～13.0 D 级：0.08～6.0 60～80 G1组：0.08～6.0T8MnA ～T9A G2组：0.08～6.060Mn ～70Mn F 组：2.0～5.0 65Mn 70A 类、B 类 2.0～12.0 A 类、 B 类、 C 类 2.0～14.0 60Si2MnA 65Si2MnWA 70SI2MnA GB/T2271GB/T5218GB/T5219GB/T5220GB/T5221GB/T4357 GB/T4358 GB/T4359GB/T4360GB/T4361GB/T4362弹簧常用材料力学性能、标准及特点 （摘自GB/T1239.6-92） 45～5079000-40～250 高温时强度性能稳定，用于较高温度下的高应力弹簧。 铬硅弹簧钢 丝 55CrSiA 0.8～6.0 高温时强度性能稳定，用于较高温度下的弹簧，如内燃机阀门弹簧等。 阀门用铬钒 弹簧钢丝 50CrVA 0.5～12.07900045～50-40～210 高温时强度性能稳定，用于较高温度下的弹簧，如内燃机阀门弹簧等。 铬钒弹簧钢 丝 50CrVA 0.8～12.0 7900045～50-40～210 有较强的疲劳强度，用于较高工作温度的高应力内燃机阀门弹簧或其他类似弹簧。 硅锰弹簧钢 丝 1.0～1 2.0 7900045～50-40～200 强度高，较好的弹性、易脱碳。用于普通机械的较大弹簧。 阀门用油淬 火回火铬钒弹簧钢丝 50CrVA 1.0～10.0油淬火回火 硅锰弹簧钢丝 60Si2MnA 79000-40～200 79000---40～210 2.0～6.0 79000 强度高，弹性好。易脱碳，用于叫高负荷的弹簧。A 类和B 类用于一般用途的弹簧，B 类和C 类用于汽车悬挂弹簧。 阀门用油淬 火回火铬硅弹簧钢丝55CrSi 1.6～8.079000--40～250 有较强的疲劳强度，用于较高工作温度的高应力内燃机阀门弹簧或其他类似弹簧。 --40～130 强度高，性能好。用于内燃机阀门弹簧或类似用途弹簧。 油淬火回火碳素弹簧钢丝55、60、 60Mn 、65、65Mn 、70、 70Mn 、75、8079000--40～150 强度高，性能好。适用于普通机械用弹簧。B 类比A 类强度高。 阀门用油淬火回火碳素弹簧钢丝 --40～150 强度高，性能好。B 级、C 级和D 级分别用于低、中和高应力弹簧。 琴钢丝 79000 --40～130 强度高，韧性好。用于重要的小弹簧，G2组较G1 组强度高，F 组主要用于阀弹簧。 碳素弹簧钢丝79000
动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m 时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？ （2）相遇前这鸟飞行了多少路程？ 【致远提示】甲、乙火车和小鸟运动具有等时性，要分析相遇的临界条件。 【思维总结】本题难度不大，建立物理情景，分清运动过程，找到相遇的临界条件、三个运动物体运动具有等时性和小鸟速率不变是解题的切入点。
涉及弹簧的力学问题 1．弹簧的作用力分析 弹簧在弹性限度内，产生的弹力遵从胡克定律f=kx ，式中x 指相对原长的形变量。当形变量变化Δx 时，弹力也发生相应的变化Δf ，且Δf=k Δx 。 例1 如图1，轻弹簧上端固定，下端挂一质量为m o 的平盘，盘内放一质量为m 的物体。当盘静止时，弹簧的长度比其自然长度伸长了L 。今向下拉盘，使弹簧再伸长ΔL 后停止，然后松手放开。设弹簧总处在弹性限度内，则刚松开手时，盘对物体的支持力等于 (A)(1十ΔL ／L)mg (B)(1十ΔL ／L)(m 十m 。)g (C) ΔL(m 十m 。)g/L (D) ΔL ·mg ／L 解析：对系统，静止时 kL ＝(m 十m o )g ① 再下拉ΔL 后松手瞬间，有 k(L+ΔL)—(m+m 。)g ＝(m+m 。)a ② 由①②得k ΔL ＝(m 十m 。)a ③ 图1 此时系统所受的合外力为k ΔL ，也可直接用Δf=k Δx 得出。 对物体m ：N 一mg ＝ma ④ 联立③④得N ＝(1十ΔL/L)·mg 本题也可用特殊值验证：令ΔL ＝0，N ＝mg 只有选项(A)正确。 2．弹簧振子的运动分析 例2 一弹簧振子作简谐振动，周期为T 。 (A)若t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动的位移大小相等、方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍。 (B)若t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动速度大小相等、方向相反，则一Δt 定等于T ／2的整数倍 (C)若Δt ＝T ，则t 时刻和(t 十Δt)时刻振子运动的加速度一定相等 (D)若Δt ＝T ／2，则T 时刻和(t 十Δt)时刻弹簧的长度一定相等 解析 (1)弹簧振子作简谐振动，其位移x 一时间t 关系图线 应是正弦或余弦曲线。设为正弦曲线，如图2，并在图上找出t 和 (t 十Δt)两个时刻及其对应的a 、b 两点。 (2)从x 一t 图上可看出，虽然t 和(t 十Δt)两时刻振子位移x 大小相等、方向相同，但时间Δt 可不等于T 的整数倍，故选项(A)错。 (3)已知过x 一t 图线上某点的切线斜率表示速度。由图可看出，过a 、b 两点所作切线的斜率大小相等、符号相反(表示速度方向相反)，但Δt 不等于T ／2的整数倍，故选项(B)错。 (4)若Δt ＝T ，由简谐振动的周期性可知，和(t 十Δt)两时刻振子的位移一定等大同向，故两时刻的受力完全相同，振子的加速度一定相等，故选项(C)正确。 (5)若Δt ＝T ／2，则可从x 一t 图明确看出，若t 时刻弹簧被拉伸，则(t 十Δt)时刻弹簧被压缩，二者的长度不等，故选项(D)错。 3．弹簧储能变化分析 例3 质量为m 的钢板与直立轻弹簧上端连结，弹簧下端固定在地上。平衡时，弹簧的压缩量为x 0，如图3。一物体从钢板正上方距离为3x 0的A 处自由落下，打在钢板上并立刻与钢板一起向下运动，但不粘连。它们到达最低点后又向上运动。已知物体质量也为m 时，它们恰能回到O 点。若物块质量为2m ，仍从A 处自由落下，则物块和钢板回到O 点时，还具有向上的速度，求物块向上运动到达的最高点与O 点的距离。 解析 物块与钢板相碰前的速度 ① 006gx V
[常用牌号]： 常用合金弹簧钢的牌号、化学成分、热处理、力学性能及用途。 常用的合金弹簧钢有60Si2Mn、50CrVA、30W4Cr2VA等。 60Si2Mn钢是应用最广泛的合金弹簧钢，其生产量约为合金弹簧钢产量的80％。它的强度、淬透性、耐回火性都比碳素弹簧钢高，工作温度达250℃，缺点是脱碳倾向较大，适于制造厚度小于10mm的板簧和截面尺寸小于25mm的螺旋弹簧，在重型机械、铁道车辆、汽车、拖拉机上都有广泛的应用。 30W4Cr2VA是高强度的耐热弹簧，用于500℃以下工作的 [弹簧成型方法]： 对直径或板簧厚度大于10 mm的大弹簧，可在比正常淬火温度高出50～80℃的温度热成形，对直径或板簧厚度小于8～10mm的小弹簧，常用冷拔弹簧钢丝冷卷成形。 为保证弹簧具有高的强度和足够的韧性，通常50CrVA钢的力学性能与60Si2Mn钢相近，但淬透性更高，钢中Cr和V能提高弹性极限、强度、韧性和耐回火性，常用于制作承受重载荷、工作温度较高及截面尺寸较大的弹簧。锅炉主安全阀弹簧、汽轮机汽封弹簧等。 常采用淬火+中温回火。对热成形弹簧，可采用热成形余热淬火，对热冷成形的弹簧，有时可省去淬火、中温回火工艺，成形后只需进行200～300℃进行去应力退火即可。弹簧钢热处理后通常进行喷丸处理，其目的是在弹簧表面产生残余压应力，以提高弹簧的疲劳强度。 [性能]： 硬度为40～48HRC，有较高的弹性极限和疲劳强度，以及一定的塑性和韧性弹簧是起缓冲、减振和储能等作用。弹簧一般是在交变应力下工作，常见的破坏形式是疲劳破坏，因此，必须具有高的屈服点和屈强比（σs/ σb）、弹性极限、抗疲劳性能，以保证弹簧有足够的弹性变形能力并能承受较大的载荷。同时，弹簧钢还要求具有一定的塑性与韧性，一定的淬透性，不易脱碳及不易过热。一些特殊弹簧还要求有耐热性、耐蚀性或在长时间内有稳定的弹性。 中碳钢和高碳钢都可作弹簧使用，但因其淬透性和强度较低，只能用来制造截面较小、受力较小的弹簧。合金弹簧钢则可制造截面较大、屈服极限较高的重要弹簧。[化学成分]： 合金弹簧钢为中、高碳成分，一般wC=0.5％～0.7％，以满足高弹性、高强度的性能要求。加入的合金元素主要是Si、Mn、Cr，作用是强化铁素体、提高淬透性和耐回火性。但加入过多的Si会造成钢在加热时表面容易脱碳，加入过多的Mn容易使晶粒长大。加入少量的V和Mo可细化晶粒，从而进一步提高强度并改善韧性。此外，它们还有进一步提高淬透性和耐回火性的作用。 55Si2Mn特性：强度大、弹性极限好，屈服比值高，热处理后韧性较好，焊接性差，冷变形塑性低，切削性尚好，淬透性较65、65Mn钢高，临界淬透直径：油中约为25~57mm；水中约为44~88mm；此钢宜油淬、水淬时有形成裂纹倾向，无回火脆性倾向，且具有抗回火稳定和抗松弛稳定性；钢中夹杂物较高，轧制较困难，表面易出疵病，脱碳倾向大；适宜在淬火并中温回火状态下使用。用途：适用于制造铁道车辆、汽车、拖拉机等承受中等载荷的扁形弹簧、直径<25mm的螺旋形弹簧、缓冲弹簧以及汽缸安全阀门等高应力下工作的重要弹簧。 55Si2MnB特性：性能与55Si2Mn钢相近，但淬透性更高，在油中临界淬透直径约为90~180mm，疲劳强度也显著提高。用途：适用于制造中、小型截面的钢板弹簧，如汽车上的前后副钢板弹簧。
考点二 动力学中的临界与极值问题 动力学中的临界问题一般有三种解法： 1.极限法 在题目中如出现“最大”“最小”“刚好”等词语时，一般隐含着临界问题，处理这类问题时，应把物理问题(或过程)推向极端，从而使临界现象(或状态)暴露出来，达到尽快求解的目的． 2．假设法 有些物理过程中没有明显出现临界问题的线索，但在变化过程中可能出现临界问题，也可能不出现临界问题，解答这类题，一般用假设法． 3．数学法 将物理过程转化为数学公式，根据数学表达式求解得出临界条件． 命题点1 接触与脱离的临界条件 3．一个弹簧测力计放在水平地面上，Q 为与轻弹簧上端连在一起的秤盘，P 为一重物，已知P 的质量M ＝10.5 kg ，Q 的质量m ＝1.5 kg ，弹簧的质量不计，劲度系数k ＝800 N/m ，系统处于静止．如图所示，现给P 施加一个方向竖直向上的力F ，使它从静止开始向上做匀加速运动，已知在前0.2 s 内，F 为变力，0.2 s 以后，F 为恒力．求力F 的最大值与最小值．(取g ＝10 m/s 2) 【解析】 设开始时弹簧压缩量为x 1，t ＝0.2 s 时弹簧的压缩量为x 2，物体P 的加速度为a ，则有 kx 1＝(M ＋m )g ① kx 2－mg ＝ma ② x 1－x 2＝12 at 2③ 由①式得x 1＝(M ＋m )g k ＝0.15 m ， 由②③式得a ＝6 m/s 2. F min ＝(M ＋m )a ＝72 N ，
F max ＝M (g ＋a )＝168 N. 【答案】 F max ＝168 N F min ＝72 N 命题点2 相对滑动的临界条件 4.如图所示，12个相同的木块放在水平地面上排成一条直线，相邻两木块接触但不粘连，每个木块的质量m ＝1.2 kg ，长度l ＝0.5 m ．木块原来都静止，它们与地面间的动摩擦因数均为μ1＝0.1，在左边第一个木块的左端放一质量M ＝1 kg 的小铅块(可视为质点)，它与各木块间的动摩擦因数均为μ2＝0.5，现突然给小铅块一个向右的初速度v 0＝9 m/s ，使其在木块上滑行．设木块与地面间及小铅块与木块间的最大静摩擦力均等于滑动摩擦力，重力加速度g ＝10 m/s 2.求： (1)小铅块相对木块滑动时小铅块的加速度大小； (2)小铅块下的木块刚发生运动时小铅块的瞬时速度大小． 【解析】 (1)设小铅块相对木块滑动时加速度大小为a ，由牛顿第二定律可知μ2Mg ＝Ma 解得a ＝5 m/s 2. (2)设小铅块最多能带动n 个木块运动，对n 个木块整体进行受力分析，当小铅块下的n 个木块发生运动时，则有μ2Mg ≥μ1(mgn ＋Mg ) 解得n ≤3.33 即小铅块最多只能带动3个木块运动 设当小铅块通过前面的9个木块时的瞬时速度大小为v ，由动能定理可知－μ2Mg ×9l ＝12 M (v 2－v 20) 解得v ＝6 m/s. 【答案】 (1)5 m/s 2 (2)6 m/s 命题点3 数学方法求解极值问题 5．如图所示，一质量m ＝0.4 kg 的小物块，以v 0＝2 m/s 的初速度，在与斜面成某一夹角的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t ＝2 s 的时间物块由A 点运动到B 点，A 、B 之间的距离L ＝10 m ．已知斜面倾角θ＝30°，物块与斜面之间的动摩擦因数μ＝33 .重力加速度g 取10 m/s 2.求：
动力学中的临界极值问题的处理
动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题 注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题 常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语 其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界 术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀 减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问 题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情 景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分 析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？
弹簧钢丝和弹性合金丝(上) 东北特殊钢集团大连钢丝制品公司徐效谦 弹性材料是机械和仪表制造业广泛采用的制作各种零件和元件的基础材料，它在各类机械和仪表中的主要作用有：通过变形来吸收振动和冲击能量，缓和机械或零部件的震动和冲击；利用自身形变时所储存的能量来控制机械或零部件的运动；实现介质隔离、密封、软轴连接等功能。还可以利用弹性材料的弹性、耐蚀性、导磁、导电性等物理特性，制成仪器、仪表元件，将压力、张力、温度等物理量转换成位移量，以便对这些物理量进行测量或控制。 1 弹性材料的分类 1.1 按化学成分分类 弹性材料可分为：碳素弹簧钢、合金弹簧钢、不锈弹簧钢、铁基弹性合金、镍基弹性合金、钴基弹性合金等。 1.2 按使用特性分类 根据弹性材料使用特性，可作如下分类： 1.2.1 通用弹簧钢 (1)形变强化弹簧钢：碳素弹簧钢丝。 (2)马氏体强化弹簧钢：油淬火回火钢丝。 (3)综合强化弹簧钢：沉淀硬化不锈钢丝 1.2.2 弹性合金 (1)耐蚀高弹性合金 (2)高温高弹性合金 (3)恒弹性合金 (4)具有特殊机械性能、物理性能的弹性合金 2 弹簧钢和弹性合金的主要性能指标 2.1 弹性模量 钢丝在拉力作用下产生变形，当拉力不超过一定值时，变形大小与外力成正比，通常称为虎克定律。公式如下： ε=σ/E 式中ε—应变（变形大小） σ—应力（外力大小） E —拉伸弹性模量 拉伸弹性模量(又称为杨氏弹性模量或弹性模量)是衡量金属材料产生弹性变形难易程度的指标，不同牌号弹性模量各不相同，同一牌号的弹性模量基本是一个常数。 工程上除表示金属抵抗拉力变形能力的弹性模量外（E），还经常用到表示金属抵抗切应力变形能力的切变弹性模量（G）。 E，μ称为泊桑比，同一牌号的泊桑拉伸弹性模量与切变弹性模量之间有一固定关系：G = ) + 1(2μ
高三物理专题训练--------弹簧模型（动力学问题） 弹簧是高中物理中的一种常见的物理模型，几乎每年高考对这种模型有所涉及和作为压轴题加以考查。它涉及的物理问题较广，有：平衡类问题、运动的合成与分解、圆周运动、简谐运动、做功、冲量、动量和能量、带电粒子在复合场中的运动以及临界和突变等问题。为了将本问题有进一步了解和深入，现归纳整理如下 弹簧类题的受力分析和运动分析 （一）弹力的特点 1．弹力的瞬时性：弹簧可伸长可压缩，两端同时受力，大小相等，方向相反，弹力随形变量变化而变化。 2．弹力的连续性：约束弹簧的弹力不能突变（自由弹簧可突变） 3．弹力的对称性：弹簧的弹力以原长位置为对称，即相等的弹力对应两个状态。 （二）在弹力作用下物体的受力分析和运动分析 ①考虑压缩和伸长两种可能性 1．在弹力作用下物体处于平衡态—— ②作示意图 ③受力平衡列方程 2．在弹力作用下物体处于变速运动状态 形变 F m F a i ∑=，a 变化 v 变化 位置变化 （a = 0时v max ） （v=0时形变量最大） （1）变量分析：（a ）过程——抓住振动的对称性 （b ）瞬时 （2）运动计算： (a)匀变速运动 (b)一般运动 ①通过分析弹簧的形变而确定弹力大小、方向的改变，从而研究联系物的运动 ②弹簧处于原长状态不一定是平衡态 ③当作匀变速直线运动时，必有变化的外力作用，变化的外力常存在极值问题 ④充分利用振动特征（振幅、平衡位置、对称性、周期性、F 回与弹力的区别） ⑤临界态——脱离与不脱离：必共速、共加速且N=0 ⑥善用系统牛顿第二定律 针对性练习： 1、如图所示，竖直放置在水平面上的轻质弹簧上端叠放着两个
力学中临界问题分析 一、在共点力动态平衡中与临界极值相关问题 物体在多个共点力作用下的动态平衡问题中，常涉及到什么时候受力“最大”或“最 小”，那个绳先断等问题。 1、三段不可伸长的细绳OA 、OB 、OC 能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一 重物，如图所示，其中OB 是水平的，A 端、B 端固定。若逐渐增加C 端所挂物体的 质量，则最先断的绳（ ） A 、必定是OA B 、必定是OB C 、必定是OC D 、可能是OB ，也可能是OC 解析：三根绳所能承受的最大拉力相同，在增大C 端重物质量过程中，判断哪根绳上的拉力先达到临界值是关键。OC 下悬挂重物，它的拉力应等于重物的重力G.就是OC 绳的拉 力产生两个效果，使OB 在O 点受到向左的作用力F 1，使OA 在O 点受到斜向下沿 绳长方向的作用力F 2，F 1、F 2是G 的两个分力.由平行四边形可作出力的分解图如 下图所示，当逐渐增大所挂物体的质量,哪根绳子承受的拉力最大则最先断.从图 中可知：表示F 2的有向线段最长,F 2分力最大，故OA 绳子最先断. 2、 如图所示，物体的质量为2kg ，两根轻绳AB 和AC 的一端连接于竖直墙 上，另一端系于物体上，在物体上另施加一个方向与水平线成θ=600的拉 力F ，若要使两绳都能伸直，求拉力F 的大小范围。 【解析】作出A 受力图如图所示，由平衡条件有： F.cos θ-F 2-F 1cos θ=0, Fsin θ+F 1sin θ-mg=0 要使两绳都能绷直，则有：F 10,02≥≥F 由以上各式可解得F 的取值范围为：N F N 340320≤≤ 。 3、如图所示，质量为m 的物体，置于水平长木板上，物体 与木板间的动摩擦因数为μ。现将长木板的一端缓慢抬起，要使 物体始终保持静止，木板与水平地面间的夹角θ不能超过多少？ 设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。 【灵犀一点】这是一个斜面问题。当θ增大时，重力沿斜面 的分力增大。当此分力增大到等于最大静摩擦力时，物体处于动 与不动的临界状态。此时是θ最大。 【解析】依题意可知，当 mgsinθ=μmgcosθ 物体处于临界状态，即 tan θ=μ 则 θ≤arc o tμ 讨论：tan θ=μ是一重要临界条件。其意义是：tan θ<μ时，重力沿斜面向下的 分力小于滑动摩擦力，物体相对于长木板静止；tan θ=μ时，重力沿斜面向下的分力等于滑动摩擦力，当物体没有获得初速度时，物体相对于长木板静止；tan θ>μ时，重力沿斜面向下的分力大于滑动摩擦力，物体将向下做加速运动。 【思维总结】对于此题的动态是否处于动态平衡问题讨论如下：①、将物体静止置 于斜面上，如tan θ≤μ，则物体保持静止；如tan θ>μ，则物体不能保持静止，而加速下滑。②、将物体以一初速度置于斜面上，如tan <μ，则物体减速，最后静止；如tan θ=μ，则物体保持匀速运动；如tan θ>μ，则物体做加速运动。因此，tan θ=μ这一临界条件是判断物体在斜面上会如何运动的一个条件。 C G F 2 F 1 F x y θ θ
弹簧的设计 1.圆柱螺旋弹簧按所受载荷的情况分为三类: Ⅰ类——受循环载荷作用次数在1×106次以上的弹簧； Ⅱ类——受循环载荷作用次数在1×103－106的弹簧； Ⅲ类——受静载荷及受循环载荷作用次数在1×103次一下的弹簧。 按照给定的条件选用Ⅰ类弹簧，有根据弹簧所要满足的循环次数1-107，需要较高的疲劳度，适用于交通工具等弹簧，所以选用60Si2Mn。 60Si2Mn弹簧钢力学性能： 抗拉强度：σb (MPa)：≥1274 屈服强度：σs (MPa)：≥1176 许用切应力：τ (MPa)：≥445（7.1-8） 伸长率δ10 (％)：≥5 断面收缩率ψ (％)：≥25 切变模量G/GPa：78（7.1-4） 弹性模量E/GPa：197（7.1-4） 旋绕比：6.5（C=D/d） 硬度：热轧,≤321HB;冷拉+热处理,≤321HB 2.圆柱螺旋压缩和拉伸弹簧设计计算的基本公式有： τ=8KDF/πd3 =8KCF/πd2≤τp ?=8nD3F/Gd4=8nC3f/Gd к=F/ ?=Gd4/8nD3=GD/8nC4 U= F ?/2=к?2/2 τ―切应力（MPa）；τp―许用切应力（MPa）； F―弹簧的工作载荷（N）；?―工作载荷下的工作量（mm）； к―弹簧刚度（N/mm）； U―弹簧变形能（N?mm）； d―材料直径（mm）； D―弹簧中径（mm）； C―旋绕比，C=D/d；（7.1-3） K―曲度系数,由下式计算 K=4C-1/(4C-4)+0.615/C=1.18 n―弹簧的有效圈数； G―切变模量（MPa）； 由上式公式导出计算材料直径的公式 d=1.6×（KCF/τp）1/2 计算弹簧有效圈数的公式
突变问题 常见的突变模型 轻绳：只产生拉力，方向沿绳子。绳子的弹力可以突变——瞬时产生，瞬时改变，瞬时消失。 轻弹簧：可产生拉力、支持力，方向弹簧。弹簧的弹力不能突变，在极短的时间内可认为弹力不变。 轻杆：可产生拉力、支持力，方向不一定沿杆。杆的弹力可以突变。 ※典型例题※ 例题1、原来做匀速运动的升降机内有一被伸长的轻质弹簧拉住、具有一定质量的物体A静止放在地板上，如图所示，现发现A突然被弹簧拉向右方，由此可判断，此时升降机的运动可能是 A．加速上升 B．减速上升 C．加速下降 D．减速下降 例题2、如图所示，两小球悬挂在天花板上，a、b两小球用细线连接，上面是一轻质弹簧，a、b两球的质量分别为m，2m，在细线烧断瞬间，两 球的加速度分别是 A．0；g B．-g；g C．-2g；g D．2g；0
例题3、 如图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根弹簧，两弹簧 的一端各与小球相连，另一端分别用销钉M 、固定于杆上，小球处于静止状态。设拔去销钉M 瞬间。小球加速度的大小为12m/s 2，若不拔去销钉M 而拔去销钉N 瞬间，小球的加速度可能是(取g=10m/s 2) A ．22m/s 2，竖直向上 B ．22m/s 2，竖直向下 C ．2m/s 2，竖直向上 D ．2m/s 2，竖直向下 例题4、 如图所示，质量为m 的小球用水平弹簧系住，并用倾角为 30°的光滑木板AB 托住，小球恰好处于静止状态。当木板AB 突然向下撤离的瞬间，小球的加速度为 A ．0 B ．大小为g ，方向竖直向下 C ．大小为 3，方向垂直于木板向下 D ．大小为g 3 ，方向水平向右 例题5、 如图所示，质量为m 的物体A 系于两根轻弹簧L 1、L 2上， L 1的一端悬挂在天花板上C 点，与竖直方向的夹角为θ，L 2处于水平位置，左端固定于墙上B 点，物体处于静止状态，下列说法正确的是 A ．若将L 2剪断，则剪断瞬间物体加 速度a=gtan θ，方向沿 B 到A B ．若将L 2剪断，则剪断瞬间物体加 速度a=gsec θ，方向沿A 到C C ．若将L 1剪断，则剪断瞬间物体加速度a=gsec θ，方向沿C 到A D ．若将L 1剪断，则剪断瞬间物体加速度a=g ，方向竖直向下
动力学临界问题的类型与处理方法 湖北省恩施高中 陈恩谱 〇、问题的缘起 高中物理中的动力学临界问题是一类较难的题目，本文尝试从牛顿第二定律的等号的含义的挖掘出发，提出这类问题的产生原因、基本类型和基本解决方法。 一、动力学临界问题的本质——供需匹配问题 牛顿第二定律ma F =∑，等式的左边是其他物体提供给物体的力（供），右边是物体以加速度a 运动时所需要的力（需），因此ma F =∑实际上是供需匹配的方程。 当某些外界条件变化时，a 可能变化，因此物体所需要的力可能发生变化，这就存在供需匹配问题。动力学临界问题，本质上讲，就是供需匹配问题： ①供需相匹配（等号成立），则可维持两物体间的某种关联（如相对静止、距离不变等）； ②若供需不匹配（等号不成立），则两物体间的该种关联被破坏（如两物体相对滑动、距离增大或者减小等）。 二、动力学临界问题的类型 依据其他物体提供给物体的力的特点，可将动力学临界问题分为两大类型：供可变型和供不可变型。 1、供可变型 其他物体提供的力可以在一定范围内变化；若所需要的力在该范围内，则能够维持物体间的某种关联，若所需要的力超出该范围，则物体间的该种关联被破坏。 具有这种特点的力，主要是两大类：静摩擦力和弹力。具体分析如下： （1）静摩擦力：-F f m ≤F f ≤F f m ，N f F F 0m μ= 若：所需F f ≤F f m ，则两物体相对静止， 若：所需F f ＞F f m ，则两物体相对滑动。 （2）弹力：F N ≥0， 0≤F T ≤F T m ①支持力/压力F N ：所需F N ≥0，则两物体相互接触， 所需F N ＜0，则两物体相互分离。 ②绳中张力F T ：所需F T 满足0≤F T ≤F T m ，则绳子绷直，两物体维持某间距， 所需F T ＜0，则绳子松弛，两物体间距减小，靠近， 所需F T ＞F T m ，则绳子绷断，两物体间距增大，分开。 2、供不可变型 特定位置处，其他物体提供的力是一个确定的值；若需要的力等于该值，则能够维持物体间的相对位置，若需要的力不等于该值，则两物体接近或者远离。 具有这种特点的力有万有引力、库仑力、弹簧弹力等。其中万有引力作用下人造卫星的变轨问题就属于这类问题的典型，下文重点是供可变型，所以将此问题的处理方法单独在此处说明，下文不再赘述。 如右图所示，人造卫星在离地心r 处的A 点以某速度v A 发射，若发射速度合适（为v ），卫星在该处所受万有引力恰好等于其在该圆周轨道上做圆周运动所需要的向心力，则卫星就能在该轨道上做圆周运动，有 r v m r Mm G 22= 解得r GM v =。 即有：