一线三等角模型
一.一线三等角概念
“一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，“K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。
二.一线三等角的分类
全等篇
同侧锐角直角钝角
P
异侧相似篇
A
同侧锐角直角钝角
P
异侧
三、“一线三等角”的性质
1.一般情况下，如图 3-1，由∠1=∠2=∠3，易得△AEC∽△BDE.
2.当等角所对的边相等时，则两个三角形全等.如图 3-1，若 CE=ED，则△AEC≌△BDE.
3.中点型“一线三等角”
如图 3-2，当∠1=∠2=∠3，且 D 是 BC 中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.
4.“中点型一线三等角“的变式(了解) 如图 3-3，当∠1=∠2 且1
902
BOC BAC ∠=?+∠时，点 O 是△ABC 的内心.可以考虑构造“一线三等角”.
如图 3-4“中点型一线三等角”通常与三角形的内心或旁心相关，
1
902
BOC BAC ∠=?+∠这是内心的性质，反之未必是内心.
在图 3-4（右图）中，如果延长 BE 与 CF ，交于点 P ，则点 D 是△PEF 的旁心.
5.“一线三等角”的各种变式（图 3-5，以等腰三角形为例进行说明 ）
图 3-5
其实这个第 4 图，延长 DC 反而好理解.相当于两侧型的，不延长理解，以为是一种新型的，同侧穿越型？不管怎么变，都是由三等角确定相似三角形来进行解题
四、“一线三等角”的应用
1.“一线三等角”应用的三种情况.
a.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；
b.图形中存在“一线二等角”，不上“一等角”构造模型解题；
c.图形中只有直线上一个角，不上“二等角”构造模型解题.
体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是压轴题中，经常会有一个特殊角或指导该角的三角函数值时，我经常构造“一线三等角”来解题.
2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段.
3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似
坐标系中，要讲究“线”的特殊性
如图 3-6，线上有一特殊角，就考虑构造同侧型一线三等角
当然只加这两条线通常是不够的，为了利用这个特殊角导线段的关系，过 C、D 两点作直线 l 的垂线是必不可少的。两条垂线通常情况下是为了“量化”的需要。
上面就是作辅助线的一般程序，看起来线条比较多，很多老师都认为一下子不容易掌握.
解题示范
例 1 如图所示，一次函数4y x =-+与坐标轴分别交于 A 、B 两点，点 P 是线段 AB 上一个动点（不包括 A 、B 两端点），C 是线段 OB 上一点，∠OPC=45°，若△OPC 是等腰三角形,求点 P 的坐标.
例 2 如图所示，四边形 ABCD 中，∠C=90°,∠ABD=∠DBC=22.5°，AE ⊥BC 于 E ，∠ADE=67.5°，AB=6,则 CE= .
例 3 如图，四边形ABCD 中,∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3，AD=5.求BC 的长.
例 4 如图，△ABC 中,∠BAC=45°，AD⊥BC，BD=2，CD=3,求AD 的长.
一线三等角，补形最重要，内构勤思考，外构更精妙.找出相似形，
比例不能少.巧设未知数，妙解方程好
还是可以纵横斜三个方向构造，坐标系中一般考虑纵横两个方向构造
例5 如图，在△ABC 中，∠BAC=135°，AC= 2AB, AD⊥AC 交BC 于点D，若AD = 2，求△ABC的面积
当然有45°或135°等特殊角，据此也可以构造不同的一线三等角
一线三等角所有的构造都是把分居定角两侧的数据集中在一起，是相似集中条件的一种.
大练身手：
例7：在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（0，3），C（－3，0），D是线段AB上一点，CD交y轴于E，且S△BCE＝2S△AOB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）求点D的坐标，猜想线段CE与线段AB的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）若F为射线CD上一点，且∠DBF＝45°，求点F的坐标．
例8：如图，直线y＝x＋2与y轴交于点C，与抛物线y＝ax2交于A、B两点（A在B的左侧），BC＝2AC，点P是抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在直线AB的下方，求点P到直线AB的距离的最大值；
（3）若点P在直线AB的上方，且∠BPC＝45°，求所有满足条件的点P的坐标．
练1：.如图，抛物线的顶点为C（－1，－1），且经过点A、点B和坐标原点O，点B的横坐标为－3．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D为抛物线上的一点，且△BOD的面积等于△BOC的面积，请直接写出点D的坐标；
（3）若点E的坐标为（0，2），点P是线段BC上的一个动点，是否存在点P，使得∠OPE ＝45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
课后作业：
如图，点A(0,-1),B(3,0),P为直线y= -x+5上一点，若∠APB=45°，求点P的坐标
在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，∠ACD=45°，AB=3,AD=4,求AC的长.
如图，正方形ABCD中，点E,F,G分别在AB,BC,CD上，△EFG为等边三角形，求证：BE+GC=3BC
如图，△ABC:△DBA,且AC=2BC,求证:CD=2AB.
如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝5
5，求BD的长
如图，点A 是反比例（X＞0）图形上一点，点B是X轴正半轴上一点，点C的坐标为（0，2），点△ABC是等边三角形时，求点A的坐标.
如图，抛物线y＝ax2＋bx＋4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，
直线l：y＝－1
2x＋m经过点A，与抛物线交于另一点D（5，－
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2），点P是直线l上方的抛
物线上的动点，连接PC、PD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCD为直角三角形时，求点P的坐标；
（3）设△PCD的面积为S，请你探究：使S的值为整数的点P共有几个，说明理由．
y
x
O
A B
C
D
l
1.如图1,已知直线y =kx 与抛物线 交于点A （3，6）.
（1）求直线y =kx 的解析式和线段OA 的长度；
（2）点P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线PM , 交x 轴于点M （点M 、O 不
重合）,交直线OA 于点Q ,再过点Q 作直线PM 的垂线,交y 轴于点N .试探究：线段QM 与线段QN 的长度之比是否为定值？如果是,求出这个定值,如果不是,说明理由；
（3）如图2,若点B 为抛物线上对称轴右侧的点,点E 在线段OA 上（与点O 、A 不重
合）,点D （m ，0）是x 轴正半轴上的动点,且满足∠BAE =∠BED =∠AOD .继续探 究：m 在什么范围时,符合条件的E 点的个数分别是1个、2个？
3222742+-=x y
如图，直线AC：y＝－2x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）过A、C两点，与x轴交于另一点B（B在A的右侧），且△OBC∽△OCA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为抛物线上一点，∠DCA＝45°，求点D的坐标；
备用图