超越函数积分的五种解法
On the five solutions to integral
transcendental function
袁玉军，陈婷婷，韩仁江
指导老师：李声锋 蚌埠学院 数学与物理系
摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法. 关键词：超越函数；积分；大学数学 Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral
1.引言
牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函
数的原函数不能用初等函数表示，如x
x sin ，x ln 1，2
x e ±等函数. 在阻尼振动、热传导与正态
分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在
大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法.
2.五种解法
(1)基于幂级数展开法求积分
引理1[1]
若函数项级数
()n
u x ∑在区间[],a b 上一致收敛，且每一项都连续，则
()().b
b
n n
a
a
u x dx u x dx =∑∑?
?
例1 求定积分
1
0ln .1x
dx x -? 分析 注意到ln 1x x -在()0,1内连续，且01ln ln lim ,lim 1.11x x x x
x x
+-
→→=-∞=-- 若定义函数
(),
0,ln ,01,11,
1,x x
f x x x x -∞=???=<
=??
显然，()f x 在点0,1x x ==为可去间断点，故()f x 在[]0,1上可积. 因此这是一道普通的定积分问题，然而被积函数的原函数不易找到，下面用幂级数展开求解.
解 因为
()
()1
1ln ,
11,n
n x x x n
∞
=-=--<∑
所以
()1
10011ln 111n n x x
dx dx x x n ∞=??-=- ? ?--??∑??()11011n n x dx n -∞=-=-∑?. 又因为级数
()
1
1
1n n x n
-∞
=-∑
在区间[]0,1上一致收敛，且通项
()1
1n x n
--连续，所以得到
()1
2
1
1200111ln 1.16n n n x x dx dx x n n
π-∞∞==-=-=-=--∑∑??■
（2）基于柯西积分公式求积分
引理2（柯西积分公式）
[2]
设区域D 的边界是周线（或复周线）C ，函数()f z 在D 内解
析，在D C +上连续，则有
()()
()2,.c f f z i d z D z
ξπξξ=∈-?
例2 求定积分
()cos 0
cos sin .e d π
θθθ?
分析 若此题利用牛顿——莱布尼茨公式，则寻找被积函数的原函数比较困难. 考虑到构造复变函数，利用该复变函数的积分来间接求出原积分.
解 考察复变积分(),||1z C e dz C z =?，其中()z
e f z z
=，利用柯西积分公式得 022I ie i ππ==. (1)
令cos sin z i θθ=+，代入z
e z
得
()cos sin 20cos sin cos sin z i C e e dz d i z i θθ
πθθθθ+=++??
()()2cos sin 0
cos sin cos sin i i e
d i π
θθ
θθθθ+=
-+?
()()()2cos sin 02cos 0
cos sin sin sin i e
e id e
i id π
θ
θπ
θ
θ
θθθ
=?=+?????
?
()()2cos cos 0
sin sin cos sin ,e ie d π
θθ
θθθ??=
-+???
(2)
又因为()cos cos sin e θθ在[]0,π上为偶函数, 所以由(1)和(2)可得
()cos 0
cos sin e d π
θθθπ=?
.■
注：这题虽然不难，但给了我们启示——任意给定函数，构造复变函数且该函数在某区
域上的积分容易求出，使给定函数等于复变函数的实部或虚部，这样就可以求出实变函数的积分.
(3)基于留数理论求积分
引理3（柯西留数定理）[2]
若()f z 在周线或复周线C 所围的区域D 内除12,,....,n
ααα外解析，在闭域D C +上除12,,....,n ααα外连续，则
()()1
2Re .k
n
C
z k f z dz i s f z α
π=
==∑? 引理4（若当尔引理）[2]
设函数()g z 沿半圆周:Re (0,i R C z θθπ=≤≤R 充分大)上
连续，且()lim 0R g z →+∞
=在R C 上一致成立，则
()()lim
00.R
imz C R g z e dz m →+∞=>?
引理5
[2]
设()f z 沿圆弧()12:,i r S z a re r θ
θθθ-=≤≤充分小上连续，且在r
S
上一
致成立极限
()()0
lim r z a f z λ→-=，
则有极限
()()210
lim .r
S r f z dz i θθλ→=-?
例3 计算积分
+0sin .x dx x ∞
? 解 因为积分+0sin x
dx x
∞?存在，且
+0sin x d x x ∞?=1
sin ...2x P V dx x
+∞-∞? 考虑函数()iz
e f z z
=沿图1所示闭曲线路径C 的积分
图1 闭曲线路径C
根据柯西积分定理得
()0,c
f z dz =?
或改写成
0,R r ix iz ix iz
R
r r
C R C e e e e dx dz dx dz x
z x z --++-=?
??? (3)
其中,R r C C 分别表示半圆周()Re 0,i i z z re r R θθ
θπ==≤≤<及.
由引理4知
lim 0.R iz
C R e z
→+∞=? 由引理5知
0lim r iz
C r e dz i z
π→=?. 在式(3)中，令0,r R →→+∞，得ix
e dx x
+∞
-∞
?
的主值为 ..ix
e P V dx i x
π+∞
-∞
=?
. 所以
+sin x dx x ∞
-∞
?
=1
sin ..2x P V dx x
+∞-∞?=2π.■
(4)基于拉普拉斯变换法求积分
从例3的解题过程看出，利用留数方法计算积分比较繁琐，以下利用拉普拉斯变换求解
上题，相对比较简单.
引理6[3]
由积分()()0
st F s e f t dt +∞
-=
?
所定义的确定于复平面()Re s σ>上的复变数
s 的函数()F s ，称为函数()f t 的拉普拉斯变换，其中()f t 于0t ≥有定义，且满足不等式 ()t f t Me σ<，这里,M σ为某两个正数，称()f t 为原函数，而()F s 称为像函数.
解 令()()
sin kx f k dx x
+∞
=
?
， 对()f k 进行拉普拉斯变换，有
()()
00
sin st
kx L f k e dxdt x
+∞
+∞
-=??????， 交换积分顺序得
()()00
1
sin st
L f k e
kx dt dx x
+∞
+∞
-=??????
， 则
()0
sin st e kx dt +∞
-?
为()sin kx 的拉普拉斯变换.
由欧拉公式得
()sin 2ikx ikx
e e kx i
--=，
1
ikx
L e s ix ??=
??-， 1ikx
L e s ix -??=??+，
其中把k 看为变量.
从而
()2211sin 2x
s ix s ix L kx i s x ??+ ?+-==?? ???+ ?
??
. 所以
()()001sin st
L f k e kx dt dx x +∞+∞-=??????=22
012dx s x s
π+∞=+?， 即()()0
sin kx f k dx x +∞
=?
的像函数为
2s
π
， 所以
()()0
sin kx f k dx x +∞
=?
=2
π
.■ (5)含参变量积分法
引理7[1]
设(),f x y 在[][],,a b c ?+∞连续，若()()0
,I x f x y dy +∞
=?在[],a b 上一致
收敛，则()I x 在
[],a b 上可积，且
()(),,b b
a
c
c
a
dx f x y dy dy f x y dx +∞
+∞
=?
?
?
?.
引理8[1]
设
(),x y f 与(),x x y f 在区域[][],,a b c ?+∞上连续，
若()(),c I x f x y dy
+∞
=?在
[],a b 上收敛，(),x c
f x y dy +∞
?
在[],a b 上一致收敛，则()I x 在[],a b 上可微，且
()(),.x c
x f x y dy I +∞
='?
通常，含参变量积分法主要有两种方法.
方法一：把超越函数的积分化为二元函数的积分问题，再利用引理7的积分交换顺序，从而求出超越函数的积分.
例4 计算()0
sin sin ,0,.px
bx ax
e dx p b a x
I +∞
-->>=?
解 因为
sin sin cos b a bx ax
xydy x
-=?，
所以
sin sin px bx ax
e dx x
I +∞
--=?
()0
cos b px
a
e xydy dx +∞
-=?
?
cos ,b
px a
dx e xydy +∞
-=?
?
由于cos px
px
e
xy e
--≤及反常积分
px e d x -+∞
?
收敛，根据威尔斯特拉斯判别式(M 判别式)，
含参变量反常积分
cos px e xydx +∞
-?
在[],a b 上一致收敛，由于cos px e xy -在[][]
0,,a b +∞?
上连续，根据引理7，于是
22
cos b
b
px
a
a
p
I dy e
xydx dy p y
+∞
-=
=+?
?
?
.arctan
arctan b a
p p
-= ■ 方法二：把超越函数积分看成某个变量的函数，利用引理8，先微分，后积分，求出超越
函数的积分.
例5 [6]
Define
()()2
2
cos()(1)
sin()(2),
x x f t e tx dx
and
g t xe xt dx +∞
--∞
+∞
--∞
==-?
?
for t -∞<<+∞.Both integrals exist (they converge absolutely) since the absolutely values of the integrands are at most 2
x e
- and 2
x x e
- , respectively
Note that g is obtained from f by differentiating the integrand with respect to t . We claim that f is differentiabale and that '
()()
()f t g t t =-∞<<+∞ (3)
To prove this ,let us first examine the difference quotients of the cosine:if
0β>,then
()cos()cos 1
sin sin sin t dt αβ
ααβα
ααββ
++-+=
-? (4)
Since sin sin t t αα-≤-,the right side of (4) is at most 2
β
in absolute value ;the case 0β< Is handled similarly. Thus
cos()cos sin αβα
αββ
+-+≤ (5)
for all (if the left side is interpreted to be 0 when 0β=)
Now fix t,and fix 0h ≠.Apply(5)with ,;xt xh αβ==it follows from(1)and (2)that
2
2()()
().
x f t h f t g t h
x e dx h
+∞
--∞
+--≤?
When 0h → ,we thus obtain (3).
Let us go a step further:An integration by parts, applied to (1),shows that
2
sin()
()2x
xt f t xe dx t
+∞
--∞
=?
(6) Thus ()2(),tf t g t =-and (3) implies now that f satisfies the differential equation
()'2()0f t tf t += (7)
If we solve this diffrential equation and use the fact that ()0f =
find that
2
4
().t f t -
= (8)
The integral (1) is thus explicitly determined.■
3.小结
本文通过大量的数值实例，给出了关于超越函数积分问题的五种方法——幂级数展开法求积分、基于柯西积分公式求积分、基于留数理论求积分、基于拉普拉斯变换法求积分以及
含参变量积分法，只是起到抛砖引玉的作用.还有其它的求解方法，如傅氏积分法【4】
、最陡下
降法等【5】
，还需广大读者共同讨论。
【参考文献】
[1] 华东师范大学数学系.数学分析（第三版，下册）[M].高等教育出版社，2008:40,184,187 [2] 钟玉泉.复变函数论（第三版）[M].高等教育出版社，2003:120,226,243,246 [3] 王高雄，王寿松，周之铭.常微分方程（第三版）[M].高等教育出版社，2006:150
[4] 刘锋，孙福树，杨巧林.复变函数与积分变换（第一版）[M].机械工业出版社，2002：166。 [5] 郭敦仁，王竹溪.特殊函数概论[M].北京大学出版社，2000：371
[6] [美]Walter Rudin 数学分析原理（英文版，第三版）[M].机械工业出版社，2004：237，
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）