Γ分布函数算法新解及其应用
李世才吴戈堂林莺
(广西南宁水利电力设计院)
摘要从Γ函数与不完全Γ函数的恒等关系出发，导出了Γ(α)与lnΓ(α)的精确解析式，并在文[1]的基础上导出Γ分布函数新算法的精确解析式。把迄今Γ(α)、lnΓ(α)和Γ分布函数的计算只能应用各种逼近的近似公式现状，提高到精确解析式的计算水平，并归纳为收敛的级数展式和连分式展式的数值计算，使其算法统一成为现实。用新算法的通用数学模型设计的电算程序，对实际工程的计算和文[2～4]中的全部算例及文[5，6]中的有关数表进行了验证比较，结果表明新算法更为优越。
关键词Γ函数Γ分布函数算法新解精确解析式数学模型数值计算。
本文于1996年6月15日收到，广西自然科学基金资助项目，桂科［自］9912010.
统计学、分子结构论、特殊函数、工程水文分析与计算、水文学的汇流计算等应用和研究领域，经常会遇到Γ函数、Γ分布函数和其逆函数的数值计算问题。文[1]对几种常见的数值积分法进行了分析比较，并给出Γ分布函数通用算法的综合解析表达式
(1)
式中α为参变量(α>0)，x为自变量(x≥0)，T的表达式为
(2)
电算实践表明：一些特殊问题的计算中，需要程序参与计算的各个变量(含常数)都按双精度(16位有效数字)或高精度(任意指定精度)运行，而计算Γ(α)和lnΓ(α)的各种逼近算法公式[1～5]最多只能求得10至12位有效数字，这样即使应用双精度计算P(α,x)，最多也只能达到与Γ(α)或lnΓ(α)同样的精度，并且有时会加速计算过程的误差传播和积累，从而导致死循环、迭代过程不收敛、计算结果失真等不良的现象。要解决这些问题，可以将Γ(α)和lnΓ(α)
算法公式中的系数扩充[4，7]，但文[4]中的系数较为冗长。由于应用式(1)解决实际问题的计算时，通常只能应用各种逼近算法的近似公式[1～14]计算其中的lnΓ(α)，所以上述式(1)还不是精确的解析表达式，不能使求解的精度和算法程序实现达到统一。
通过对文[1]中有关公式进行恒等变换，找到了满足上述要求的精确解析式，把它归纳为收敛的幂级数展式和连分式展式的数值计算，并设计成一标准的子程序，已大量地应用于实际工程的数值计算中，取得了满意的效果。
综上可知，提高式(1)的计算精度，简化编程手续，出路在于建立具有统一算法基础的Γ(α)和lnΓ(α)精确解析式，寻求Γ分布函数算法新解，以取代现行Γ(α)、lnΓ(α)和Γ分布函数算法公式的精度和算法程序的不统一性，这无疑会有理论价值和实用意义。
1 数学原理
1.1 特殊函数定义
根据文[1，8，9]，下列含参变量α的定积分式
分别称为Γ函数、不完全Γ函数、普利姆函数、Γ分布函数、余Γ分布函数，它们是数学里的特殊函数，都为高等超越函数。前两个是最基本的特殊函数，第一个也被称为完全Γ函数，第三个是另一不完全Γ函数，并有如下恒等式
Γ(α)=γ(α,x)+Γ(α,x) (3)
P(α,x)+Q(α,x)=1 (4)
1.2 不完全Γ函数的级数展式和连分式展式
根据文[1]中的式(14)与式(22)，可得
γ(α,x)=xαe-x S(α,x) (5)
Γ(α,x)=xαe-x U(α,x) (6)
式中S(α,x)和U(α,x)分别为一无限幂级数展式和连分式展式，且有
(7)
(8)
式(8)中右边式子的分母是一无限连分式的一种简记法[1，8]。
2 Γ(α)和lnΓ(α)的算法新解
2.1 lnΓ(α)的双精度算法
计算lnΓ(α)的斯特林公式的渐近表达式为[1，8，
10]
(9)
为了使lnΓ(α)的计算得到双精度的数值结果，将式(9)和号部分取其前10项，并加整理得
(10)
式(9)和式(10)中的A为[1]
当α≥7时
当0<α<7时，取m=α+[7-α]，求出A后将m+1赋值于上述两式右边
表达式中的变量α，而左边lnΓ(α)中的α保持不变(仍为原值)，
这里的[]为取整符号。
B
2n
为第2n个伯努力数，C
n
与斯特林级数的项数和伯努力数B
2(n+1)
有关，
系数C
n
的取值见文[7]中的表1.应用恒等式Γ(α)=e lnΓ(α)，又可得到计算Γ(α)的双精度算法公式。
文[4]中计算Γ(α)和lnΓ(α)的双精度算法，其算法过程和有关系数的取值都显冗长。
2.2 Γ(α)和lnΓ(α)新算法的精确解析式
式(9)是一渐近级数，而不是收敛级数，式(10)也只能得到双精度数值结果的近似式，它们都不是精确解析式。要得到Γ(α)和lnΓ(α)新算法的精确解析式，可从恒等式(3)入手。
因为式(3)为一恒等式，所以对任意的x≥0都成立。通过大量的数值实验分析发现，当式(3)中的x取值α+1时，并用式(7)和式(8)计算其中的级数展式和连分式展式，则具有很好的收敛性和数值稳定性，还能保证计算结果的可靠性。将x=α+1代入式(3)，并由式(5)和式(6)，可得
Γ(α)=γ(α,α+1)+Γ(α,α+1)
(11)
=(α+1)αe-(α+1)[S(α,α+1)+U(α,α+1)]
=eαln(α+1)-(α+1)[S(α,α+1)+U(α,α+1)]
对式(11)两边取自然对数，可得
lnΓ(α)=αln(α+1)-(α+1)+ln[S(α,α+1)+U(α,α+1)] (12)
上述式(11)和(12)就是分别求解Γ(α)与lnΓ(α)的一种新算法的精
确解析式，其中S(α,α+1)和U(α，α+1)的值是分别将x=α+1代入式(7)和式(8)中的x计算而得，具体的计算表达式这里从略。
3 Γ分布函数算法新解
以上已导出求解Γ(α)和lnΓ(α)新算法的精确解析式，可通过式(11)和式(12)以及式(7)和式(8)的计算而得，将所求的lnΓ(α)代入引言部分中的式(2)，再代入式(1)后，就可得到计算Γ分布函数P(α,x)的一种新算法的精确解析式。
当α较大时，则Γ分布P(α,x)渐近于标准化正态分布N(0，1)=Φ(u)；当α→+∞时，则Γ分布P(α,x)就转化为标准化正态分布φ(u).标准化正态分布函数的表达式为
(13)
令x=u2/2，通过变量代换并加整理得
(14)
从式(14)可看出：标准化正态分布函数Φ(u)也可用Γ分布函数的表达式表示，其式中P(0.5，0.5u2)就是取α=0.5，x=0.5u2，代入Γ分布函数P(α,x)的表达式而得，sgn(u)为u的符号函数。
因此，当α较大时，Γ分布函数也可用式(14)作近似计算；对于α→+∞时的P(α,x)和标准化正态分布函数Φ(u)完全可以用式(14)作精确的计算；当α为正整数时，P(α,x)具有初等函数解析表达式[1]。有关Γ分布函数截断误差的估计和收敛速度的论述可见文[1]中的4.5与4.6.
当α很大时，则计算P(α,x)的级数和连分式展式的收敛速度都变慢，且α越大，收敛速度就越慢，特别是在x →α+1时，收敛速度也就更慢，为了加快计算速度，可根据P(α,x)≈Φ(u)的关系，用式(14)计算P(α,x)的近似值，其中u 用以下两式计算
[15]
(15)
或
(16)
式(15)和式(16)根据文[11～13]中的χ2分布与N(0，1)分布的近似关系，
再转化成Γ分布与N(0，1)的近似关系[7，12]，然后反推而得。在多数情况下，应
用式(16)比用式(15)代入式(14)求P(α,x)近似值的效果更佳，且α越大，P(α,x)就越接近于Φ(u)，在此种情况下求解P(α,x)的计算表达式，也见文
[15]。
综上可知，本文所介绍的5个特殊函数都可用新算法的解析式来表示，而计算P(α,x)的关键是需要计算出当α固定时，不同x 的式(7)和式(8)的级数展式和连分式展式的数值。因此，可以根据所用程序设计语言的特点，将式(7)和式(8)的算法设计成标准子程序(或过程)，供解题时方便地调用。对于式(7)和式(8)两式的详细推导过程和算法设计可分别参考文[1，2～5，8，13，14]。 4 数值实验分析与算法应用
4.1 数值实验
应用所介绍的新算法对Γ(α)、ln Γ(α)、P(α,x)等特殊函数进行数值计算，计算程序全按双精度运行，并将计算结果与文[2～6]中的全部算例和有关数表进行比较，部分结果见表1和表2.
表1 Γ(α)与ln Γ(α)数值计算比较
计算方
法 α=0.5 α=1.5 Γ(α) ln Γ(α) Γ(α) ln Γ(α)
真值 1.772453850905516 0.5723649429247001 0.8862269254527580 -0.1207822376352452 文[4]双
精度
1.772453850905516 0.5723649429247001 0.8862269254527580 -0.1207822376352453 本文双
精度 1.772453850905517 0.5723649429247004 0.8862269254527582 -0.1207822376352450
新算法1.7724538509055160.57236494292470010.8862269254527580-0.1207822376352452
注：Γ(0.5)和Γ(1.5)
的精确解析表达式是
和，用新算法计算时，程序中的控制
精度取绝对误差限ε<10-18。
表2 Γ分布函数P(α,x)数值计算比较
计
算
方
法
α=0.1，x=0.031623α=1,x=5α=11,x=16.58312α=41,x=44.82187
文
献
[2]
0.7420260.9932620.9404270.735970
双
精
度
算
法
0.74202683854592240.99326205300091460.94042661904770250.735970933014524
新
算
法
0.74202683854592230.99326205300091460.94042661904770250.735970933014524
注：文献[2]的控制精度取ε<3×10-7，新算法的控制精度取ε<10-17。
lnΓ(α)双精度算法公式为有限项的近似解析式，lnΓ(α)新算法公式为无限项的精确解析式。因此，可以肯定在计算精度相同的条件下，一般后者比前者的计算速度稍慢一些，Γ分布函数P(α,x)的计算也是如此。以下表3仅列
出应用两种算法计算文[6]中P—Ⅲ型分布曲线Φ
p (或K
p
)值表计算时间的比较结
果。
表3 Φ
p (或K
p
)值表两种算法的计算时间比较
计算项目
控制精度：ε<10-9,ε′<10-6控制精度：ε<10-16,ε′<10-13
双精度算法新算法双精度算法新算法Φp值表00∶00∶1900∶00∶2000∶00∶3800∶00∶39 K p值表00∶00∶3700∶00∶3800∶01∶1300∶01∶14注：ε为P(α,t p)的控制精度，ε′为t p迭代计算的控制精度，关于Φp值的计算方法和本表的一些计算条件，可参考文[5，7]，本表的计算时间是用奔腾Ⅱ
(300MHz)计算机重新计算时而统计的。
4.2 数值结果分析
从以上的数值实验结果比较看出：新算法计算的数值结果每位数字可靠，
比其它算法结果的精度都高；在计算条件相同的情况下，Φ
p (或K
p
)值表[6，7]需分
别计算不同的lnΓ(α)值110(或390)个，新算法比双精度算法只多用了1s，计算速度稍慢，但两种算法的计算结果完全相同。
综上所述，用新算法的数学模型所设计的算法非常有效，计算结果可靠，是一种比较理想的数值计算方法。
在式(2)的计算过程中，有时会出现下列现象：当x≠0，其指数部分小于0，而绝对值又较大时，则有T→0，一般所用的语言系统就会出现数值下溢出而使T=0，但实际上这时T并不等于0，这样就会造成计算结果失真或出现错误而停机。虽然此种情况在实际工程的计算中不会出现，但是在一些理论分析的计算中有时就会出现，并使计算过程无法继续进行，这就影响了算法的通用性，是一个需要进一步解决的问题。
4.3 部分特殊函数与Γ分布函数的算法关系
有些特殊(或分布)函数可通过适当的数学变换[1～3，9，11～14，16]转化为Γ分布函数的表达式，其转化关系见表4，指数Γ分布[17]也可转化成标准化Γ分布的形式P[α,β(x-δ)1/b]，因此，这类分布函数也可应用Γ分布函数的数值计算方法进行计算。
表4 Γ分布函数与部分特殊(或分布)函数的转化关系
被转化的特殊(或分布)函数
已知函数与Γ分布函数的关
系函数名
称
密度函数f(x)分布函数F(x)
正态分
布
N(a,σ
2)
[1+sgn(u)P(1/2,u2/2)]/2标准正
态分布
N(0，1)
[1+sgn(x)P(1/2,x2/2)]/2
正态概
率积分
sgn(x)P(1/2,x2/2)/2
半正态分布
P(1/2,x2/2)
误差函
数erf(x)
sgn(x)P(1/2,x2)[2,3]
χ2分布函数
P(n/2,χ2/2)[2,3]
大参数Γ分布
[1+sgn(u)P(1/2,u2/2)]/2
近似于N(0，1)
这里的u按式(15)或式(16)
计算
泊松分
布P x(ξ=m)=(x m/m!)e-x m=0,1,2,…;
纳须瞬
时单位
线[1/KΓ(n)](t/K)n-1e-(t/K)
迟滞瞬时单位
线
[1/KΓ
(n)](t-t0/K)n-1e-(t-t0/K)
注：1.对于表4中各函数的余函数(上侧概率)
，根据恒等式
,也可导出与Γ分布函数的关系式，第一个函数中的u=(x-a)/σ；
2.
半正态分布函数 .
5 结果的讨论
应用式(3)和式(5)至式(8)，导出了Γ(α)和lnΓ(α)的精确解析式，然后再利用式(2)和式(1)最终导出了Γ分布函数P(α,x)的精确解析式，它是首次得到的精确解析式，而文[1～15]中的Γ分布函数表达式的Γ(α)或lnΓ(α)只能用各种逼近的近似表达式计算，所以不能称为精确解析式。因此，本文导出的精确解析式可作为新算法的通用数学模型。
对文[2～4]中的全部算例和文[5，6]中的有关数表进行计算与比较：新算法与双精度算法的数值结果完全一致，只是个别数值在第16位数字上有差别，这是计算过程中的舍入误差所造成；新算法与文[2，3]中的数值结果比较，其前
6位数字完全相同。双精度算法可使计算结果的精度达到10-16，而文[1～3]中的算法即使按双精度运行程序，最多也只能达到10-10至10-12的精度。新算法的最高控制精度可根据软件系统的功能而定：在一般语言系统下运行程序，单(或双)精度运行时最高控制精度可达10-8(或10-17)；在Mathematica数学软件系统[9]或高精度运算——MP系统[18]下运行程序，具体的控制精度可由使用者根据需要而任意指定，其主要特点在于精度控制的灵活性以及算法和程序实现的统一性。
新算法除了收敛速度稍慢以外，其它各项特性都比双精度算法更为优越，它不但统一了计算过程，而且使P(α,x)的算法模型更为简单明了，计算的结果更为可靠。通过大量的数值实验分析还可看出：其它数值积分法在α、x较大(或较小)时，计算过程中很容易出现数值上溢出错误而停机或继续运行使计算结果失真，而新算法对上述情况都适应，可以满足一些特殊问题计算的需要。当α很大时，还可应用式(14)至式(16)快速地计算P(α,x)的近似值，也可以应用式(14)计算标准化正态分布函数Φ(u)的精确值。
对于恒等式(3)，x取何值时，能使Γ(α)和lnΓ(α)的计算达到最佳的效果，这是一个值得探讨的问题，新算法取x=α+1，这只是从大量的数值实验结果分析认为此值是较佳的x取值，是否为最佳的x取值，这还没有从理论上给予证明。而在计算P(α,x)的值时，首先需要判断x与α+1的关系，据此确定是用幂级展式或连分式展式计算，其临界值为α+1，以及幂级数展式(7)和连分式展式(8)收敛速度的快慢都与x同α+1的距离大小有关。可以猜测，这个最佳的x取值在α+1附近。
从式(14)和表4可看出：通过一定的数学变换，可将某些分布函数转化为Γ分布函数的表达式。因此，这类分布函数的数值计算可以统一用Γ分布函数的数值计算方法进行计算。Γ分布函数是标准化Γ分布函数(单参数)的简称，其函数表达形式比较简单，也便于对其数学特性、数值计算方法、算法设计等进行深入的研究，具有一定的理论价值和实际意义。
在x≠0，而出现T=0(实际上是T→0时，对于这种现象如何处理，是一个值得研究和解决的问题。
6 结论
Γ分布函数新算法的数学模型和数值实验分析的结果表明：
(1)Γ分布函数新算法的数学模型是真正的精确解析表达式，可归纳为收敛的幂级数展式和连分式展式的数值计算，将新算法设计成标准子程序，统一了Γ(α)、lnΓ(α)、P(α,x)等特殊函数的计算模式和解决了这些函数的数值计算问题，并大量地应用于实际工程的数值计算中，取得了非常满意的效果。
(2)对文[1～5，8，10～15]中的算法作了较大的改进，特别是截断误差的估计和计算精度的控制，其理论根据更充分，检验了文[2～4]中的全部算例和文[5，6]中的有关数表，新算法非常有效，数值结果完全可靠。在计算条件相同的情况下，新算法与双精度算法相比，除计算速度稍慢外，新算法具有实现算法
程序更简便、求解更灵活、计算精度更高、占用存储空间更少、通用性更强、数值稳定性更好、数值结果更加可靠等突出优点，是比较理想的数值计算方法。
(3)统计学、特殊函数、水文学等学科中，有一部分特殊函数和分布函数，可通过某些变换转化为Γ函数和Γ分布函数的表达式，用新算法的数学模型完全可以取代它们的原有计算公式，其数值计算也完全可用新算法的数值计算方法进行计算，这将有利于此类函数计算方法的统一及算法程序的标准化。
(4)恒等式(3)中，x最佳取值的确定，以及在式(2)的计算过程中，出现当x≠0，而T=0(实际上是T→0，由计算机系统下溢出造成)时的算法处理，都是值得进一步需要研究和解决的问题。
(5)Γ分布函数的高精度通用近似计算公式和常见的分布函数数值算法的统一[9，13～16]，也是值得研究与探讨的问题。
本文导出了Γ函数和Γ分布函数新算法数学模型的精确解析式，并归纳为收敛的幂级数展式和连分式展式的数值计算，对某些分布函数的形式作了归类和算法的统一，其它的分布函数是否也有这种类似的情况[2，3，9，11～17，19]，还有待今后进一步研究。
一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k
怎样理解分布函数 概率论中一个非常重要的函数就是分布函数,知道了随机变量的 分布函数,就知道了它的概率分布,也就可以计算概率了。 一、理解好分布函数的定义: F(x)=P(X≤x), 所以分布函数在任意一点x的值,表示随机变量落在x点左边(X≤x)的概率。它的定义域是(-∞,+∞),值域是[0,1]. 二、掌握好分布函数的性质: (1)0≤F(x)≤1; (2)F(+∞)=1,F(-∞)=0; 可以利用这条性质确定分布函数中的参数,例如: 设随机变量X的分布函数为:F(x)=A+Barctanx,求常数A与B. 就应利用本性质计算出A=1/2,B=1/π. (3)单调不减; (4)右连续性。 三、会利用分布函数求概率 在利用分布函数求概率时,以下公式经常利用。
(1)P(a 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 §1、4 常用得分布及其分位数 1、 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都就是由正态分布所导出得分布,它们与正态分布一起,就是试验统计中常用得分布。 当X 1、X 2、… 、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时,Z=∑i i X 2 得分布称为自由度等于n 得2χ分布,记作Z ～2χ(n),它得分布 密度 p(z )=??? ????>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中得??? ??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012,称为Gamma 函数,且()1Γ=1, ?? ? ??Γ21=π。2χ分布就是非对称分布,具有可加性,即当Y 与Z 相互独立,且Y ～2χ(n ),Z ～2χ(m ),则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、 X n+m 相互独立且都服从N(0,1),再根据2χ分布得定义以及上述随机变量得相互独立性,令 Y=X 21+X 22+…+X 2n ,Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +, Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +, 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。 2、 t 分布 若X 与Y 相互独立,且 X ～N(0,1),Y ～2χ(n ),则Z =n Y X 得分布称为自由度等于n 得t 分布,记作Z ～ t (n ),它得分布密度 P(z)=)()(221n n n ΓΓ+2121+-???? ??+n n z 。 请注意:t 分布得分布密度也就是偶函数,且当n>30时,t 2015版导数题型归类 第二讲 交点与根的分布 一、学习目标 1.交点问题转化为函数的最值问题 2.根的分布利用数形结合转化为基本的不等式问题 二、重难点 重点：交点问题 难点：交点问题 三、引入 我们知道导数可以用于研究切线、单调性、极值、最值问题，那么： 已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的一个极值点，若直线y b =与函数()y f x =的图象有3个交点，则b 的取值范围为 ． 它是哪一类啦？ 四、过程 【知识点一】交点（零点或其变形） 两个函数的图像有交点也就是方程组有解，但是对于超越函数我们往往解不出，那么转化为一个函数，再利用图像研究其极值和最值问题成为了一种思路。 例题1.已知函数33y x x c =-+的图象与x 轴恰有两个公共点，则c = ． A ．-2或2 B ．-9或3 C ．-1或1 D ．-3或1 例题2.（交点个数与根的分布）已知x=3是函数f(x)=aln(x+1)+2 x -10x 的一个极值点。 1）求a; 2）求函数的单调区间; 3）若直线y=b 与函数y=f(x)的图像有三个交点，求b 的取值范围. 【巩固练习】 1.若函数x e y x a 4)1(+=-有大于零的极值点，则a 的范围为_______. 2.（2011年福建）已知a,b 为常数，且0≠a ，函数x ax b ax x f ln )(++-=，2)(=e f 1）求实数b; 2）求函数的单调区间 3）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m 概率论中几种常用的重要的分布 摘要：本文主要探讨了概率论中的几种常用分布，的来源和他们中间的关系。其在实际中的应用。 关键词 1 一维随机变量分布 随机变量的分布是概率论的主要内容之一，一维随机变量部分要介绍六中常 用分布，即( 0 －1) 分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布． 下面我们将对这六种分布逐一地进行讨论． 随机事件是按试验结果而定出现与否的事件。它是一种“定性”类型的概念。为了进一步研究有关随机试验的问题，还需引进一种“定量”类型的概念，即，根据试验结果而定取什么值（实值或向量值）的变数。称这种变数为随机变数。本章内将讨论取实值的这种变数—— 一维随机变数。 定义1.1 设X 为一个随机变数，令 ()([(,)])([]),()F x P X x P X x x =∈-∞=-∞ +∞. 这样规定的函数()F x 的定义域是整个实轴、函数值在区间[0,1]上。它是一个普通的函数。成这个函数为随机函数X 的分布函数。 有的随机函数X 可能取的值只有有限多个或可数多个。更确切地说：存在着有限多个值或可数多个值12,,...,a a 使得 12([{,,...}])1P X a a ∈= 称这样的随机变数为离散型随机变数。称它的分布为离散型分布。 【例1】下列诸随机变数都是离散型随机变数。 （1）X 可能取的值只有一个，确切地说，存在着一个常数a ,使([])1P X a ==。称这种随机变数的分布为退化分布。一个退化分布可以用一个常数a 来确定。 （2）X 可能取的值只有两个。确切地说，存在着两个常数a ，b ，使 ([{,}])1P X a b ∈=.称这种随机变数的分布为两点分布。如果([])P X b p ==，那 么，([])1P X a p ===-。因此，一个两点分布可以用两个不同的常数,a b 及一个在区间（0,1）内的值p 来确定。 特殊地，当,a b 依次为0,1时，称这两点分布为零-壹分布。从而，一个零-壹分布可以用一个在区间（0，1）内的值p 来确定。 （3）X 可能取的值只有n 个：12,...,a a （这些值互不相同），且，取每个i a 值 利用Excel的NORMSDIST函数建立正态 分布表 董大钧，乔莉 理工大学应用技术学院、信息与控制分院，113122 摘要：利用Excel办公软件特有的NORMSDIST函数可以很准确方便的建立正态分布表、查找某分位数点的正态分布概率值,极大的提高了数理统计的效率。该函数可返回指定平均值和标准偏差的正态分布函数，将其引入到统计及数据分析处理过程中，代替原有的手工查找正态分布表，除具有直观、形象、易用等特点外,更增加了动态功能,极大提高了工作效率及准确性。 关键词：Excel；正态分布；函数；统计 引言 正态分布是应用最广泛的连续概率分布，生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例如，在生产条件不变的情况下，某种产品的力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就可以认为这个量具有正态分布。从理论上看，正态分布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。在科学研究及数理统计计算过程中，人们往往要通过某本概率统计教材附录中的正态分布表去查找，非常麻烦。若手头有计算机，并安装有Excel软件，就可以利用Excel的NORMSDIST( x )函数进行计算某分位数点的正态分布概率值，或建立一个正态分布表，准确又方便。 1 正态分布及其应用 正态分布（normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为N(μ，σ2 )。则其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。因其曲线呈钟 目录 1. 均匀分布 (1) 2. 正态分布（高斯分布） (2) 3. 指数分布 (2) 4. Beta分布（：分布） (2) 5. Gamm 分布 (3) 6. 倒Gamm分布 (4) 7. 威布尔分布（Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布） (5) 8. Pareto 分布 (6) 9. Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) 2 10. 分布（卡方分布） (7) 8 11. t分布................................................ 9 12. F分布 ............................................... 10 13. 二项分布............................................ 10 14. 泊松分布（Poisson 分布）............................. 11 15. 对数正态分布........................................ 1. 均匀分布 均匀分布X ~U（a,b）是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量 很可能服从正态分布，记作 X~N （」f 2）。正态分布为方差已知的正态分布 N （*2）的参数」的共轭先验分布。 1 空 f （x ）： —— e 2- J2 兀 o' E(X)， Var(X) _ c 2 3. 指数分布 指数分布X ~Exp （ ）是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其 中，.0为尺度参数。指数分布的无记忆性： Plx s t|X = P{X t}。 f （X ）二 y o i E(X) 一 4. Beta 分布（一：分布） f （X ）二 E(X) Var(X)= (b-a)2 12 Var(X)二 1 ~2 分布函数 分布函数（Cumulative Distribution Function, CDF）是概率统计中重要的函数，正是通过它，可用数学分析的方法来研究随机变量。 1.伯努利分布 伯努利分布(Bernoulli distribution)又叫做两点分布或者0-1分布，是一个离散型概率分布，若伯努利实验成功，则伯努利随机变量取值为1，如果失败，则伯努利随机变量取值为0。并记成功的概率为p，那么失败的概率就是1p -，则数学期望为p，方差为(1) p p -，概率密度函数为 2.二项分布 二项分布即重复n次独立的伯努利试验。在每次试验中只有两种可能的结果，而且两种结果发生与否互相对立，并且相互独立，与其它各次试验结果无关，事件发生与否的概率在每一次独立试验中都保持不变，则这一系列试验总称为n重伯努利实验，当试验次数为1时，二项分布服从0-1分布。假设每次试验的成功概率为p，则二项分布的密度函数为： 二项分布函数的数学期望为np，方差为(1) np p -，记为~(,) X B n p。概率密度分布图如下所示。 3.正态分布 正态分布（Normal distribution）又名高斯分布（Gaussian distribution），若随机变量X服从一个数学期望为μ、标准方差为σ2的高斯分布，记为：X~N(μ,σ2),则其概率密度函数为 正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。通常所说的标准正态分布是μ = 0,σ = 1的正态分布。 分布曲线特征： 图形特征 集中性：正态曲线的高峰位于正中央，即均数所在的位置。 对称性：正态曲线以均数为中心，左右对称，曲线两端永远不与横轴相交。 均匀变动性：正态曲线由均数所在处开始，分别向左右两侧逐渐均匀下降。 曲线与横轴间的面积总等于1，相当于概率密度函数的函数从正无穷到负无穷积分的概率为1。即频率的总和为100%。 §1.4 常用的分布及其分位数 1. 卡平方分布 卡平方分布、t 分布及F 分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。 当X 1、X 2、…、Xn 相互独立且都服从N(0,1)时，Z=∑i i X 2 的 分布称为自由度等于n 的2χ分布，记作Z ～2χ(n)，它的分 布密度 p(z )=???????>??? ??Γ--,,00,2212122其他z e x n z n n 式中的??? ??Γ2n =u d e u u n ?∞+--012，称为Gamma 函数，且()1Γ=1， ?? ? ??Γ21=π。2χ分布是非对称分布，具有可加性，即当Y 与Z 相互独立，且Y ～2χ(n )，Z ～2χ(m )，则Y+Z ～2χ(n+m )。 证明: 先令X 1、X 2、…、X n 、X n+1、X n+2、…、 X n+m 相互独立且都服从N(0,1)，再根据2χ分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令 Y=X 21+X 22+…+X 2n ，Z=X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， Y+Z= X 21+X 22+…+X 2n + X 21+n +X 22+n +…+X 2m n +， 即可得到Y+Z ～2χ(n +m )。 2. t 分布 若X 与Y 相互独立，且 X ～N(0,1)，Y ～2χ(n )，则Z =n Y X 的分布称为自由度等于n 的t 分布，记作Z ～ t (n )，它的分布密度 P(z)=)()(221n n n ΓΓ+2121+-???? ??+n n z 。 请注意：t 分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t 一元二次方程根的分布 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ?? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？ 二、一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的两不等实根为1x ，2x ， k 为常数。则一元二次方k 1x 2x k k k k 2k 1k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 函数: 函数的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。 标准正态分布： 标准正态分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。 定义： 标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。 标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布（见下图中绿色曲线）。 特点： 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median） 同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差： 深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的范围。称为“68-95-99.7法则”或“经验法则”。 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） k k k 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220 mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2 13m <<得 2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3 2m =，当 1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m = 时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得出15 314 m -<<-或1m =- 函数: 函数（function）的定义通常分为传统定义和近代定义，函数的两个定义本质是相同的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。函数的近代定义是给定一个数集A，假设其中的元素为x，对A中的元素x施加对应法则f，记作f（x），得到另一数集B，假设B中的元素为y，则y与x之间的等量关系可以用y=f（x）表示，函数概念含有三个要素：定义域A、值域B和对应法则f。其中核心是对应法则f，它是函数关系的本质特征。 标准正态分布： 标准正态分布，是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。期望值μ=0，即曲线图象对称轴为Y轴，标准差σ=1条件下的正态分布，记为N(0，1)。 定义： 标准正态分布又称为u分布，是以0为均数、以1为标准差的正态分布，记为N（0，1）。 标准正态分布曲线下面积分布规律是：在-1.96～+1.96范围内曲线下的面积等于0.9500，在-2.58～+2.58范围内曲线下面积为0.9900。统计学家还制定了一张统计用表（自由度为∞时），借助该表就可以估计出某些特殊u1和u2值范围内的曲线下面积。 正态分布的概率密度函数曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟 形曲线。我们通常所说的标准正态分布是位置参数均数为0, 尺度参数：标准差为1的正态分布（见下图中绿色曲线）。 特点： 密度函数关于平均值对称 平均值与它的众数（statistical mode）以及中位数（median）同一数值。 函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。 95.449974%的面积在平均数左右两个标准差的范围内。 99.730020%的面积在平均数左右三个标准差的范围内。 99.993666%的面积在平均数左右四个标准差的范围内。 函数曲线的反曲点（inflection point）为离平均数一个标准差距离的位置。 标准偏差： 深蓝色区域是距平均值小于一个标准差之内的数值范围。在正态分布中，此范围所占比率为全部数值之68%，根据正态分布，两个标准差之内的比率合起来为95%；三个标准差之内的比率合起来为99%。 在实际应用上，常考虑一组数据具有近似于正态分布的概率分布。若其假设正确，则约68.3%数值分布在距离平均值有1个标准差之内的范围，约95.4%数值分布在距离平均值有2个标准差之内的范围，以及约99.7%数值分布在距离平均值有3个标准差之内的 标准正态分布函数数值表 ( )()22 d 0x u u e x u Φ? ?∞ = ∫ r u 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192 0.9332 0.9452 0.9554 0.9641 0.9713 0.9772 0.9821 0.9861 0.9893 0.9918 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207 0.9345 0.9463 0.9564 0.9648 0.9719 0.9778 0.9826 0.9864 0.9896 0.9920 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222 0.9357 0.9474 0.9573 0.9656 0.9726 0.9783 0.9830 0.9868 0.9898 0.9922 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236 0.9370 0.9484 0.9582 0.9664 0.9732 0.9788 0.9834 0.9871 0.9901 0.9925 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7703 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251 0.9382 0.9495 0.9591 0.9671 0.9738 0.9793 0.9838 0.9874 0.9904 0.9927 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265 0.9394 0.9505 0.9599 0.9678 0.9744 0.9798 0.9842 0.9878 0.9906 0.9929 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9278 0.9406 0.9515 0.9608 0.9686 0.9750 0.9803 0.9846 0.9881 0.9909 0.9931 0.9948 0.9961 0.9971 0.9979 0.9985 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292 0.9418 0.9525 0.9616 0.9693 0.9756 0.9808 0.9850 0.9884 0.9911 0.9932 0.9949 0.9962 0.9972 0.9979 0.9985 0.5379 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306 0.9430 0.9535 0.9625 0.9700 0.9762 0.9812 0.9854 0.9887 0.9913 0.9934 0.9951 0.9963 0.9973 0.9980 0.9986 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319 0.9441 0.9545 0.9633 0.9706 0.9767 0.9817 0.9857 0.9890 0.9916 0.9936 0.9952 0.9964 0.9974 0.9981 0.9986 3.0 0.9987 0.9990 0.9993 0.9995 0.9997 0.9998 0.9998 0.9999 0.9999 1.0000 注：本表最后一行自左至右依次是Φ(3.0)、…、Φ(3.9)的值 上机实习常用分布概率计算的Excel应用利用Excel中的统计函数工具，可以计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用概率分布的概率值、累积（分布）概率等。这里我们主要介绍如何用Excel来计算二项分布的概率值与累积概率，其他常用分布的概率计算等处理与此类似。 §3.1 二项分布的概率计算 一、二项分布的（累积）概率值计算 用Excel来计算二项分布的概率值P n(k)、累积概率F n(k)，需要用BINOMDIST函数，其格式为： BINOMDIST (number_s，trials, probability_s, cumulative) 其中 number_s：试验成功的次数k； trials：独立试验的总次数n； probability_s：一次试验中成功的概率p； cumulative：为一逻辑值，若取0或FALSE时，计算概率值P n(k)；若取1 或TRUE时，则计算累积概率F n(k)，。 即对二项分布B(n,p)的概率值P n(k)和累积概率F n(k)，有 P n(k)=BINOMDIST(k,n,p,0)；F n(k)= BINOMDIST(k,n,p,1) 现结合下列机床维修问题的概率计算来稀疏现象（小概率事件）发生次数说明计算二项分布概率的具体步骤。 例3.1某车间有各自独立运行的机床若干台，设每台机床发生故障的概率为0.01，每台机床的故障需要一名维修工来排除，试求在下列两种情形下机床发生故障而得不到及时维修的概率： （1）一人负责15台机床的维修； （2）3人共同负责80台机床的维修。 原解：（1）依题意，维修人员是否能及时维修机床，取决于同一时刻发生故障的机床数。 设X表示15台机床中同一时刻发生故障的台数，则X服从n=15,p=0.01的二项分布： X～B(15,0.01)， 而 P(X= k)= C15k(0.01)k(0.99)15-k，k = 0, 1, …, 15 故所求概率为 P(X≥2)=1-P(X≤1)=1-P(X=0)-P(X=1) =1-(0.99)15-15×0.01×(0.99)14 =1-0.8600-0.1303=0.0097 （2）当3人共同负责80台机床的维修时，设Y表示80台机床中同一时刻发生故障的台数，则Y服从n=80、p=0.01的二项分布，即 Y～B(80,0.01) 此时因为 n=80≥30, p=0.01≤0.2 所以可以利用泊松近似公式：当n很大，p较小时（一般只要n≥30,p≤0.2时），对任一确定的k,有（其中 =np） Diagram of distribution relationships Probability distributions have a surprising number inter-connections. A dashed line in the chart below indicates an approximate (limit) relationship between two distribution families. A solid line indicates an exact relationship: special case, sum, or transformation. Click on a distribution for the parameterization of that distribution. Click on an arrow for details on the relationship represented by the arrow. Other diagrams on this site: The chart above is adapted from the chart originally published by Lawrence Leemis in 1986 (Relationships Among Common Univariate Distributions, American Statistician 40:143-146.) Leemis published a larger chart in 2008 which is available online. 二次函数 教学目标： 1．掌握二次函数的图像及性质 2．能够求出二次函数在某个区间上的最值 3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布 教学重难点： 重点：一元二次函数、二次方程及二次不等式之间的灵活转化 难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用 知识要点： 二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况． 设2()(0)f x ax bx c a =++≠，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值． 分析：将f x ()配方，得对称轴方程x b a =-2, 当a >0时，抛物线开口向上 若- ∈b a m n 2[]，必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值； 若-?b a m n 2[]， 当a >0时，抛物线开口向上，此时函数在[]m n ，上具有单调性，故在离对称轴x b a =- 2较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a <0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下： 当a >0时 ??? ???? +<-+≥-=) )((212)())((212)()(21max 如图如图，，n m a b n f n m a b m f x f ?? ? ? ? ? ??? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(543min 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f 当a <0时 ??? ? ????? <-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+?? ??? ??，，如图如图212212910 典型例题 一、求二次函数在闭区间上的值域 （一）正向型 已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决 这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动． 1．轴定区间定 例1． 已知函数2 ()2tan 1,[1f x x x x θ=+-∈-，当6 πθ=-时，求函数f(x)的最大值与最小值． 目录 1.均匀分布 (1) 2.正态分布（高斯分布） (2) 3.指数分布 (2) 4.Beta分布（β分布） (2) 5.Gamma分布 (3) 6.倒Gamma分布 (4) 7.威布尔分布(Weibull分布、韦伯分布、韦布尔分布) (5) 8.Pareto分布 (6) 9.Cauchy分布（柯西分布、柯西-洛伦兹分布） (7) χ分布（卡方分布） (7) 10.2 11.t分布 (8) 12.F分布 (9) 13.二项分布 (10) 14.泊松分布（Poisson分布） (10) 15.对数正态分布 (11) 1.均匀分布 均匀分布~(,) X U a b是无信息的，可作为无信息变量的先验分布。 1()f x b a = - ()2 a b E X += 2 ()()12 b a Var X -= 2. 正态分布（高斯分布） 当影响一个变量的因素众多，且影响微弱、都不占据主导地位时，这个变量很可能服从正态分布，记作2~(,)X N μσ。正态分布为方差已知的正态分布 2(,)N μσ的参数μ的共轭先验分布。 22 ()2()x f x μσ-- = ()E X μ= 2()Var X σ= 3. 指数分布 指数分布~()X Exp λ是指要等到一个随机事件发生，需要经历多久时间。其中0λ>为尺度参数。指数分布的无记忆性：{}|{}P X s t X s P X t >+>=>。 (),0 x f x e x λλ-=> 1 ()E X λ = 2 1 ()Var X λ = 4. Beta 分布（β分布） Beta 分布记为~(,)X Be a b ，其中Beta(1,1)等于均匀分布，其概率密度函数可凸也可凹。如果二项分布(,)B n p 中的参数p 的先验分布取(,)Beta a b ，实验数据（事件A 发生y 次，非事件A 发生n-y 次），则p 的后验分布(,)Beta a y b n y ++-，即Beta 分布为二项分布(,)B n p 的参数p 的共轭先验分布。 10 ()x t x t e dt ∞--Γ=? 1 1()()(1)()() a b a b f x x x a b --Γ+= -ΓΓ ()a E X a b = + 2 ()()(1) ab Var X a b a b = +++ 5. Gamma 分布 Gamma 分布即为多个独立且相同分布的指数分布变量的和的分布，解决的二次函数根的分布
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