空间几何体的表面积与体积
一、基础知识
1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
S＝2πrl S＝πrl S＝π(r＋r′)l
①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
②圆台、圆柱、圆锥的转化
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：
2．空间几何体的表面积与体积公式
二、常用结论
几个与球有关的切、接常用结论
(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
③若球与正方体的各棱相切，则2R ＝2a .
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，外接球的半径为R ，则2R ＝a 2＋b 2＋c 2.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 考点一 空间几何体的表面积
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O 1，O 2，过直线O 1O 2
的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A ．122π
B ．12π
C ．82π
D ．10π
(2)(2019·沈阳质检)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是( )
A ．4＋4 2
B ．42＋2
C ．8＋4 2
D.8
3
[解析] (1)设圆柱的轴截面的边长为x ， 则x 2＝8，得x ＝22，
∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×(2)2＋2π×2×2 2 ＝12π.故选B.
(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P -ABCD ，如图所示，其中P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且P A ＝2，AB ＝2，PB ＝22，所以该四棱锥的侧面积S 是四个直角三角形的面积和，即S ＝2×???
?12×2×2＋1
2×2×22＝4＋42，故选A. [答案] (1)B (2)A [题组训练]
1．(2019·武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为( )
A ．28
B ．24＋2 5
C ．20＋4 5
D ．20＋2 5
解析：选B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为2,2,3的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE -DCMH ，则该几何体的表面积S ＝(2×2)×5＋????1
2×1×2×2＋2×1＋2×5＝24＋2 5.故选B.
2．(2018·郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是( )
A ．20＋2π
B ．24＋(2－1)π
C ．24＋(2－2)π
D ．20＋(2＋1)π
解析：选B 由三视图知，该几何体是由一个棱长为2的正方体挖去一个底面半径为1、高为1的圆锥后所剩余的部分，所以该几何体的表面积S ＝6×22－π×12＋π×1×2＝24＋(2－1)π，故选B. 考点二 空间几何体的体积
[典例] (1)(2019·开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为( )
A ．4π
B ．2π C.4π3
D ．π
(2)(2018·天津高考)如图，已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 的体积为________．
[解析] (1)直接法
由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形
的圆心角为α，由tan α＝
31＝3，得α＝π3，故底面面积为12×π3×22＝2π
3
，则该几何体的体积为2π
3
×3＝2π.
(2)法一：直接法
连接A 1C 1交B 1D 1于点E ，则A 1E ⊥B 1D 1，A 1E ⊥BB 1，则A 1E ⊥平
面BB 1D 1D ，
所以A 1E 为四棱锥A 1-BB 1D 1D 的高，且A 1E ＝22
， 矩形BB 1D 1D 的长和宽分别为2，1， 故V A 1-BB 1D 1D ＝13×(1×2)×22＝1
3. 法二：割补法
连接BD
1，则四棱锥A 1-BB 1D 1D 分成两个三棱锥B -A 1DD 1与B -A 1B 1D 1，所以V A 1-BB 1D 1D ＝V B -A 1DD 1＋V B -A 1B 1D 1
＝13×12×1×1×1＋13×12×1×1×1＝1
3
. [答案] (1)B (2)1
3
[题组训练]
1.(等体积法)如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且
AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1-ABC 1的体积为( )
A.312
B.34
C.612
D.64
解析：选A 三棱锥B 1-ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为
32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312
. 2.(割补法)某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )
A ．13
B ．14
C ．15
D ．16
解析：选C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD -A ′B ′C ′D ′所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底面是两直角边长分别为3和1.5的直角三角形，故该几何体的体积V ＝4×2×3－2×12×3×3
2
×2＝15，故选C.
3.(直接法)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.13＋2
3π B.13＋23π C.13＋26
π D ．1＋
26
π 解析：选C 由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为1的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为
22，从而该几何体的体积为13×12×1＋12×4π3×????2
23＝13＋26
π. 考点三 与球有关的切、接问题
考法(一) 球与柱体的切、接问题
[典例] (2017·江苏高考)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1
V 2的值是
________．
[解析] 设球O 的半径为R ，因为球O 与圆柱O 1O 2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R 、高为2R ，所以V 1V 2＝πR 2·2R 43
πR 3＝3
2
.
[答案] 3
2
考法(二) 球与锥体的切、接问题
[典例] (2018·全国卷Ⅲ)设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( )
A ．123
B ．18 3
C ．24 3
D ．54 3
[解析] 由等边△ABC 的面积为93，可得34
AB 2
＝93，所以AB ＝6，所以等边△ABC 的外接圆的半径为r ＝
3
3
AB ＝2 3.设球的半径为R ，球心到等边△ABC 的外接圆圆心的距离为d ，则d ＝R 2－r 2＝16－12＝2.所以三棱锥D -ABC 高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D -ABC 体积的最大值为1
3
×93×6＝18 3.
[答案] B
[题组训练]
1．(2018·福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于( )
A ．4π B.163π
C.323π D ．16π
解析：选D 如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心， 于是，球的半径r ＝OB ＝OA 2＋AB 2＝ 12＋(3)2＝2. 故这个球的表面积S ＝4πr 2＝16π.故选D.
2．三棱锥P -ABC 中，AB ＝BC ＝15，AC ＝6，PC ⊥平面ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．
解析：由题可知，△ABC 中AC 边上的高为15－32＝6，球心O 在底面ABC 的投影即为△ABC 的外心D ，设DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝
56
4
，所以R 2＝x 2＋????PC 22＝758＋1＝83
8(其中R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S ＝4πR 2
＝83
2
π. 答案：832π
[课时跟踪检测]
1．(2019·深圳摸底)过半径为2的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的体积的比值为( )
A.9
32 B.916 C.38
D.316
解析：选A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r ，则22＝12＋r 2，所以r 2＝3，所以所得截面的面积与球的体积的比值为π×343
π×23＝9
32，故选A.
2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
A ．4
B ．8
C ．16
D ．20
解析：选B 由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为2的三角形，三棱锥的高为4，所以体积为V ＝13×1
2
×6×2×4＝8.故选B.
3.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
解析：选B 设米堆的底面半径为r 尺，则π2r ＝8，所以r ＝16
π，所以米堆的体积为V ＝
14×13π×r 2×5＝π12×????16π2×5≈3209(立方尺)．故堆放的米约有320
9
÷1.62≈22(斛)． 4．(2018·贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．35 cm 3
B ．40 cm 3
C ．70 cm 3
D ．75 cm 3
解析：选A 结合题中三视图可得，该几何体是个组合体，该组合体从下到上依次为长、宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长为1 cm 的正方体，故该组合体的体积V ＝5×5×1＋3×3×1＋1×1×1＝35(cm 3)．故选A.
5．(2019·安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．1 B.12 C.13
D.14
解析：选C 法一：该几何体的直观图为四棱锥S -ABCD ，如图，SD ⊥平面ABCD ，且SD ＝1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB ＝DC ＝1，连接BD ，由题意
知BD ⊥DC ，BD ⊥AB ，且BD ＝1，所以S 四边形ABCD ＝1，所以V S -ABCD ＝1
3
S 四边形ABCD
·SD ＝1
3
，故选C.
法二：由三视图易知该几何体为锥体，所以V ＝1
3Sh ，其中S 指的是锥体的底面积，即
俯视图中四边形的面积，易知S ＝1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h ＝1，所以V ＝13Sh ＝1
3
，故选C.
6．(2019·重庆调研)某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为( )
A.83π3＋833
B.43π3＋83
3
C.43π3＋433
D.83π3＋433
解析：选B 由三视图知，该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆锥的底面半径为2、高为42－22＝23，三棱锥的底面是斜边为4、高为2的等腰直角三角形，三棱锥的高为23，所以该组合体的体积V ＝12×13π×22×23＋13×1
2
×4×2×23＝
43π3＋83
3
，故选B. 7．(2019·湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同，则该几何体的表面积为( )
A ．16＋12π
B ．32＋12π
C ．24＋12π
D ．32＋20π
解析：选A 由三视图知，该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高为2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该几何体的表面积S ＝1
2
×4π×22＋π×22＋22×2×4＝12π＋16，故选A.
8．(2019·福州质检)已知正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面积为33
4，一个侧面的周长为63，
则正三棱柱ABC -A 1B 1C 1外接球的表面积为( )
A ．4π
B ．8π
C ．16π
D ．32π
解析：选C 如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为
34a 2＝334
，
所以a ＝ 3.又一个侧面的周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×
32×2
3
＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋(3)2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C.
9．(2017·天津高考)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．
解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为 3. 设该正方体外接球的半径为R ，则2R ＝3，R ＝32，
所以这个球的体积为43πR 3＝4π3×278＝9π
2
.
答案：9π2
10．某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________．
解析：由题意知该四棱柱为直四棱柱，其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高为1的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V ＝(1＋2)×12×1＝3
2
.
答案：3
2
11．一个圆锥的表面积为π，它的侧面展开图是圆心角为2π
3
的扇形，则该圆锥的高为________．
解析：设圆锥底面半径是r ，母线长为l ，所以πr 2＋πrl ＝π，即r 2＋rl ＝1，根据圆心角公式2π3＝2πr l ，即l ＝3r ，所以解得r ＝12，l ＝3
2
，那么高h ＝l 2－r 2＝ 2.
答案： 2
12．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S -ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．
解析：如图，连接AO ，OB ，
∵SC 为球O 的直径， ∴点O 为SC 的中点， ∵SA ＝AC ，SB ＝BC ， ∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，
∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ， ∴AO ⊥平面SCB ， 设球O 的半径为R ， 则OA ＝OB ＝R ，SC ＝2R . ∴V S -ABC ＝V A -SBC
＝13×S △SBC ×AO ＝13×????1
2
×SC ×OB ×AO ，
即9＝13×????1
2×2R ×R ×R ，解得 R ＝3， ∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×32＝36π. 答案：36π
13.如图是一个以A 1B 1C 1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何
体，截面为ABC ，已知A 1B 1＝B 1C 1＝2，∠A 1B 1C 1＝90°，AA 1＝4，BB 1＝3，CC 1＝2，求：
(1)该几何体的体积； (2)截面ABC 的面积．
解：(1)过C 作平行于A 1B 1C 1的截面A 2B 2C ，交AA 1，BB 1分别于点A 2，B 2.
由直三棱柱性质及∠A 1B 1C 1＝90°可知B 2C ⊥平面ABB 2A 2，则该几何体的体积V ＝VA 1B 1C 1-A 2B 2C ＋VC -ABB 2A 2
＝1
2×2×2×2＋13×1
2×(1＋2)×2×2＝6. (2)在△ABC 中，AB ＝22＋(4－3)2＝5， BC ＝22＋(3－2)2＝5， AC ＝(22)2＋(4－2)2＝2 3.
则S △ABC ＝1
2×23×(5)2－(3)2＝ 6.
14.如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥
平面ABCD .
(1)证明：平面AEC ⊥平面BED ；
(2)若∠ABC ＝120°，AE ⊥EC ，三棱锥E -ACD 的体积6
3
，求该三棱锥E -ACD 的侧面积．
解：(1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD . 因为BE ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ， 所以BE ⊥AC .
因为BD ∩BE ＝B ，BD ?平面BED ，BE ?平面BED ， 所以AC ⊥平面BED . 又AC ?平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面BED .
(2)设AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝
3
2x，GB＝GD＝
x
2.
因为AE⊥EC，
所以在Rt△AEC中，可得EG＝
3 2x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG为直角三角形，
可得BE＝
2 2x.
由已知得，三棱锥E-ACD的体积
V三棱锥E-ACD＝1
3·
1
2AC·GD·BE＝
6
24x
3＝6
3，
故x＝2.
从而可得AE＝EC＝ED＝ 6.
所以△EAC的面积为3，△EAD的面积与△ECD的面积均为 5. 故三棱锥E-ACD的侧面积为3＋2 5.