第四章附加题 1. 由三阶巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数推到其系统函数，设 1/c rad s Ω=。 2. 设计一个满足下列指标的模拟Butterworth 低通滤波器，要求通带的截止频率 6,p f kHz =，通带最大衰减3,p A dB =，阻带截止频率12,s f kHz =，阻带的最 小衰减25s A dB =，求出滤波器的系统函数。 3. 设计一个模拟切比雪夫低通滤波器，要求通带的截止频率 f p =3kHz ，通带衰 减要不大于0.2dB ，阻带截止频率 f s = 12kHz ，阻带衰减不小于 50dB 。 4. 数字滤波器经常以下图描述的方式来处理限带模拟信号。 (1) 如果系统()h n 的截止频率是8rad s π，110T kHz =，等效模拟滤波器的截止频率是多少？ (2) 设120kHz =，重复(1)。 () () () () () () () T T a x t x n y n y t a h n ???→ ???→ ???→ ???→模-数变换器 数-模变换器 采样周期采样周期 5. 一个线性时不变因果系统由下列差分方程描述 ()()()()10.51y n x n x n y n =---- (1) 系统函数()H Z ，判断系统属于FIR 和IIR 中的哪一类以及它的滤波特性（低通、高通等）。 (2) 若输入()()2cos 0.55x n n π=+ ()0n ≥，求系统输出信号达到稳态后的最大幅度値。 6. 设()a h t 表示一模拟滤波器的单位冲激响应， ()0.9,0 0,0 t a e t h t t -?≥=?
第四章线性时不变离散时间系统的频域分析 一、传输函数和频率响应 例4.1传输函数分析 Ｑ4.1 ｃｌear; M = input('Enter the filteｒ lｅｎgtｈＭ: ')； w ＝ 0:2*pi/１０23:2*ｐi； nuｍ = (１/M)*ｏｎｅs(1，Ｍ)； dｅn ＝ [1]; h = freｑz(nuｍ，den, w）; ｓｕｂplot（２,１,１) plot(w／pi,aｂs（ｈ));grid tiｔｌｅ（'Mａgｎiｔude Sｐectrum ｜Ｈ（e^{j\ｏmeｇa})｜') xlａbel('\omeｇa ／\pｉ＇); yｌabel('Amｐlitude'); sｕbplｏt(２,１,２) plｏt(w/pi,aｎgｌe(h))；ｇriｄ title('Pｈaｓe Speｃｔrum arg［H(e^{j\omega})]') xｌａbｅl('\omeｇａ／\pi'); ylabel('Phase in rａdianｓ＇）; Ｍ=２M=1０M=15
幅度谱为偶对称，相位谱为奇对称,这是一个低通滤波器。M越大,通带越窄且过渡带越陡峭。 Q4．2使用修改后的程序Ｐ3.1,计算并画出当w=［0,pｉ]时传输函数 的因果线性时不变离散时间系统的频率响应。它表示哪种类型的滤波器？ w = 0:pi／５1１:pi; nuｍ =[0.１５ 0 －0.１5]; deｎ = ［１ -0.５０．７]； 如下图１这是一个带通滤波器。 图1图2 Q4.3对下面的传输函数重做习题Q4.２：，式(4.36）和式(４.37)给出的两个滤波器之间的区别是什么？你将选择哪一个滤波器来滤波,为什么？ w = 0：pi／5１1:pi； nuｍ = ［０.15 0 -０.15]; den = [０.7 －0.５ 1]； 如上图2也是一个带通滤波器,这两个滤波器的幅度谱是一样的，相位谱不太一样,我会选择第一个带通滤波器,因为它的相位谱更加平滑，相位失真小。 Q４.4 使用MAＴLＡB计算并画出当ｗ=［0,pi]时因果线性时不变离散时间系统的群延迟。 系统的传输函数为。 ｃlf; w ＝０：ｐi/511:ｐｉ; num = ［1 -1.２1］; den = [1 －1.3 1.04 -0.２2２]； h= ｇrpｄelay(nｕm，den,w); plｏt(w/ｐｉ,ｈ); xｌabｅl('ｗ／ｐｉ＇）; ylａｂel('群延迟'）；
第四章习题 4.1 (a) By expanding the equation ()()[]()??????==?--∞→∞ →2 200021T T Ft j T xx T xx dt e t x T E lim F P E lim F 00πΓ taking the expected value, and finally taking the limit as ∞→0T , show that the right-hand side converges to )(f xx Γ. (b) Prove that 2102211)(1)(∑∑-=---+-==N n fn j fm j N N m xx e n x N e m r ππ. 4.2 For zero-mean, jointly Gaussian random variables, X 1, X 2, X 3, X 4, it is well known that )()()()()()()(3241423143214321X X E X X E X X E X X E X X E X X E X X X X E ++=. Use this result to derive the mean-square value of ()m r xx and the variance, given by ()[][]()()()[]∑∞-∞=+-+-≈n xx xx xx xx m n m n n m N N m r γγγ*22 var which is defined as [][][]2 2(()(var m r E m r E m r xx xx xx -=. 4.3 By use of the expression for the fourth joint moment for Gaussian random variables, show that (a)()()[]?? ??????????????--+??????+++=2212122121421)(sin )(sin )(sin )(sin 1f f N N f f f f N N f f f P f P E x xx xx ππππσ (b)[]?? ??????????????--+??????++=2212122121421)(sin )(sin )(sin )(sin )()(cov f f N N f f f f N N f f f P f P x xx xx ππππσ
第四章习题参考解答 4-1对于系统函数，试用一阶系统的级联形式，画出该系统可能实现的流图。 解： 4-2一线性时不变因果系统，其系统函数为 对应每种形式画出系统实现的信号流图。 （1）直接Ⅰ型。 （2）直接Ⅱ型。 （3）用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。 （4）用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。 解：
直接Ⅰ型 直接Ⅱ型 用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型 用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型
4-3已知模拟滤波器的传输函数，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。（设采样周期T＝0.5） 解： 4-4若模拟滤波器的传输函数为，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。（设采样周期T＝1） 解：
4-5用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率，截至频率。 解： , 4-6用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率，截至频率。 解： ，，归一化， 4-7用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率，上下边带截至频率分别为，。 解： ，
，， 4-8设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截至频率为，将双线性变换应用于模拟巴特沃滋滤波器。 解： 一阶巴特沃滋， 4-9试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且无起伏；频率在处的衰减为－3.01dB；在处的幅度衰减至少为15dB。 解： 设,则：， 通带：,即
阻带：，即 阶数： ， 查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为 双线性变换实现数字低通滤波器 4-10一个数字系统的采样频率，已知该系统收到频率为100Hz的噪 声干扰，试设计一个陷波滤波器去除该噪声，要求3dB的边带频率为95Hz和105Hz,阻带衰减不小于14dB。 解： ， 令
第四章 快速傅立叶变换 运算需要多少时间。 计算需要多少时间，用，问直拉点的，用它来计算每次复加速度为平均每次复乘需如果一台通用计算机的FFT DFT[x (n)]512s 5 s 50.1μμ 解: 解: ⑴ 直接计算: 复乘所需时间: 复加所需时间: ⑵用FFT 计算: 复乘所需时间: 复加所需时间: 运算一次完成。 点试用一个为了提高运算效率值求今需要从值的点实序列是两个已知IFFT N n y n x k Y k X DFT n y n x N k Y k X ,,)(),()(),(,)(),()(),(.2s N T N 01152.0 512log 105 log 105 2251262261=???=??=--s T T T s N N T 013824.0 002304.0 512log 512105.0 log 105.0 2126262=+=∴=???=???=--s T T T s N N T 441536.1 130816.0 )1512(512105.0 )1(105.0 21662=+=∴=-???=-???=--s N T 31072.1 512105 105 262 61=??=??=--
值的过程。 ）（），（完成计算点）可用一次（）（）（综上所述，构造序列 ）（）（）（）（可得：）（）（）（再根据都是实序列， ）（），（由原题可知：） （）（）（）（（）（）（性质： 又根据可得序列点作对取序列依据题意解 ]Im[ ]Re[ ][][ ][ ).()( )()()( )()();()( : :n y n x IFFT N k jY k X k Z n z n y n z n x n jy n x n z n y n x n jy n x k Y jIDFT k X IDFT k jY k X IDFT DFT n z IFFT N k Z k jY k X k Z k Y n y k X n x +===+=+=+=++=?? 。 输出倒位序顺序频率抽取采用输入自然输出自然数顺序序时间抽取采用输入倒位流图抽取法的按时间抽取法及按频率画出基时), ,,( 2,16.3FFT N -=
第四章 4-1对于系统函数，试用一阶系统的级联形式，画出该系统可能实现的流图。 解： 4-2一线性时不变因果系统，其系统函数为 对应每种形式画出系统实现的信号流图。 （1）直接Ⅰ型。 （2）直接Ⅱ型。 （3）用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型。 （4）用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型。 解：
直接Ⅰ型 直接Ⅱ型 用一阶和二阶直接Ⅱ型的级联型 用一阶和二阶直接Ⅱ型的并联型
4-3已知模拟滤波器的传输函数，试用脉冲响应不变法将 转换成数字传输函数。（设采样周期T＝0.5） 解： 4-4若模拟滤波器的传输函数为，试用脉冲响应不变法将转换成数字传输函数。（设采样周期T＝1） 解：
4-5用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字低通滤波器，采样频率 ，截至频率。 解： , 4-6用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字高通滤波器，采样频率，截至频率。 解： ，，归一化， 4-7用双线性变换法设计一个三阶的巴特沃滋数字带通滤波器，采样频率 ，上下边带截至频率分别为，。 解： ，
，， 4-8设计一个一阶数字低通滤波器，3dB截至频率为，将双线性变换应用于模拟巴特沃滋滤波器。 解： 一阶巴特沃滋， 4-9试用双线性变换法设计一低通数字滤波器，并满足：通带和阻带都是频率的单调下降函数，而且无起伏；频率在处的衰减为－3.01dB；在处的幅度衰减至少为15dB。 解： 设,则：， 通带：,即
阻带：，即 阶数： ， 查表得二阶巴特沃滋滤波器得系统函数为 双线性变换实现数字低通滤波器 4-10一个数字系统的采样频率，已知该系统收到频率为100Hz的噪 声干扰，试设计一个陷波滤波器去除该噪声，要求3dB的边带频率为95Hz和105Hz,阻带衰减不小于14dB。 解： ， 令
4.1(a) 解： []s w T nT nT x n x s s 440 12) 880cos(10)(00==+==π?π 125/11088.010*******==?=-s T 所以ππ2880≤s nT 11/250088.02=≤n 周期为250抽样率为23 （b ）[]n s s s l nT nT w nT w n y ππ?2880)cos(1000+=+= s T l w ππ28800+ = ππ200002=s T π208800=w （c ）ππ2)20880(≤s nT 088 .22≤n 所以每周期抽样小于1 4.4解：（a ） ))10(2cos())2000(2cos())10(2cos(10)(44t t t t x πππ+= t j t j t j t j t j t j e e e e e e )8000 (2)8000(2)12000(2)12000(2)10(2)10(225.025.025.025.05544ππππππ---+++++= （b ）.原波形是周期波周期为 s 20001 （c ）由题Hz f f m s 24000)12000(22=?=>
解：(a) }33{81)2()(120040040012003400400t j t j t j t j t j t j e e e e j j e e t x ππππππ----+--=-= （b ）Hz f f m s 12002=> 4.13解： （a ） Hz f f m s 3002== （b ）()()s s nT nT n x πππ300cos 2100cos 2+?? ? ??+= )5 6cos()252cos(2πππn n ++= e e e e e e e e j j j j ππππ ππ 8.008.04.024.022 121---+++= （c ） 0.8π- 0.4π- 0 0.4π 0.8π 2j e π - 12 12 2 j e π
四、该应用的软件设计 1、系统初始化程序设计 DSP系统的硬件设计之后，软件设计就成为系统设计的关键，一个DSP系统在很大程度上取决于软件设计是否合理与可靠。在DSP进行数字滤波运算前必须进行一些初始化程序。在本系统中初始化程序主要包括:DSP芯片的初始化、矢量表初始和两个串行端口的初始化。 DSP芯片的初始化是设定DSP芯片工作状态的重要步骤，只有正确进行DSP芯片的初始化，才能保证芯片的正确运行。 中断矢量表是每个DSP系统必须用到的，对中断矢量表进行初始化是DSP初始化的一个重要的组成部分，正确设置中断矢量包括: 1)根据DSP芯片对各中断矢量的设置位置编写一个子程序。 2)设置PMST控制寄存器。该寄存器的高9位是IPTR，用于设置矢量表的起始地址。 3)连接时将矢量表重定位到IPTR指定的地址。 2、数字滤波程序设计流程 DSP实现数字滤波器流程图 本设计的程序工程中包含4个文件:filter，init.asm，vectors.asm，filter.cmd。四个文件实现不同的功能。filter.c文件为C语言编写的源文件，在本设计中主要功能是将各个子程序结合起来，便于阅读。init.asm文件为汇编语言编写的源文件，是本设计中的主要文件，
包含了各个初始化程序的具体操作和实现数字滤波的具体代码。vectors.asm文件为中断矢量表初始化子程序文件，中断矢量表是每个DSP系统必须用到的，对中断矢量表进行初始化是DSP初始化的一个重要的部分。filter.cmd为链接器命令文件。 3、软硬件联调与结论 进行软硬件联调是系统设计的最后一步，是检测系统的稳定性及可行性的重要方法。本系统的联调过程和实际结果如下:①在电脑中设置本系统软件开发环境的相关配置，连接DSP 仿真器与目标测试系统的JTAG接口，给系统上电。运行DSP开发平台，如果不能正常连接则需要检查JTAG电路的连接、整个硬件系统的工作状态、软件平台的配置。②编译修改程序代码，直到编译完全通过，本系统前期所设计的程序全部通过编译。③下载程序到目标系统，通过设置断点和单步运行，检查DSP相关寄存器的值是否配置为所需要的值。④运行完整的程序，给系统送入输入信号，用示波器观察输出信号的参数和特性是接近理想值。通过实际不断调试与改进，本系统能达到预期的数字滤波效果。
1.解:当N =1024=210时，直接计算DFT 的复数乘法运算次数为 N 2=1024×1024=1 048 576次 复数加法运算次数为 N （N －1）=1024×1023=1 047 552次 直接计算所用计算时间TD 为 T D =4×10－6×10242+1 047 552×10－6=5.241 856 s 用FFT 计算1024点DFT 所需计算时间T F 为 快速卷积时， 需要计算一次N 点FFT （考虑到H (k )= DFT ［h (n )］已计算好存入内存）、 N 次频域复数乘法和一次N 点IFFT 。 所以， 计算1024点快速卷积的计算时间T c 约为 所以， 每秒钟处理的采样点数（即采样速率） 由采样定理知， 可实时处理的信号最高频率为 应当说明， 实际实现时， f max 还要小一些。 这是由于实际中要求采样频率高于奈奎斯特速率， 而且在采用重叠相加法时， 重叠部分要计算两次。 重叠部分长度与h (n )长度有关， 而且还有存取数据和指令周期等消耗的时间。 2.解:直接计算1024点DFT 所需计算时间TD 为T D =10×10 －9×10242+10×10－9×1 047 552=20.961 28 ms 用FFT 计算1024点DFT 所需计算时间T F 为 快速卷积计算时间T c 约为 可实时处理的信号最高频率f max 为 由此可见， 用DSP 专用单片机可大大提高信号处理速度。 所以， DSP 在数字信号处理领域得到广泛应用。 机器周期小于1 ns 的DSP 产品已上市，其处理速度更高。 3. 解: 因为x (n )和y (n )均为实序列， 所以， X (k )和Y (n )为共轭对称序列， j Y (k )为共轭反对称序列。 可令X (k )和j Y (k )分别作为复序列F (k )的共轭对称分量和共轭反对称分量， 即F (k )=X (k )+j Y (k )=F ep (k )+F op (k ) 计算一次N 点IFFT 得到 f (n )=IFFT ［F (k )］=Re ［f (n )］+j Im ［f (n )］ 由DFT 的共轭对称性可知 Re ［f (n )］=IDFT ［F ep (k )］=IDFT ［X (k )］=x (n ) j Im ［f (n )］=IDFT ［F op (k )］=IDFT ［j Y (k )］=j y (n ) 66 F 66 510lb lb 10210245101010241010230.72 ms N T N N N ----=?? +?=???+??=c F 2102471680 μs 41024 μs 65536 μs T T =+=+?=次复数乘计算时间s 6102415 625 /6553610F -<=?次秒s max 156257.8125 kHz 22 F f <==99F 881010l b 1010l b 2102410101010241020.1536 ms N T N N N ----=??+??=??+??=c F 3921024 20.15361010101024 0.317 44 ms T T --=+=??+??=次复数乘计算时间max s c 1110241 = 3.1158 MHz=1.6129 MHz 222f F T =