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全等三角形证明一对一辅导讲义

教学目标 1、掌握全等三角形的性质及判定；

2、全等三角形证明方法及过程

重点、难点全等三角形证明过程

考点及考试要求全等三角形的证明

教学内容

第一课时全等三角形证明知识梳理

课前检测

1、如图,已知MB＝ND,∠MBA＝∠NDC,下列不能判定△ABM≌△CDN的条件是（）

A．∠M＝∠N B．AB＝CD C．AM＝CN D．AM∥CN

2、某同学把一块三角形的玻璃打碎也成了三块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最

省事的办法是（）

A．带①去B．带②去C．带③去D．带①和②去

第1题第2题

3、下列条件不可以判定两个直角三角形全等的是（）

A．两条直角边对应相等B．两个锐角对应相等

C．一条直角边和它所对的锐角对应相等

D．一个锐角和锐角所对的直角边对应相等

4、AD是△ABC中BC边上的中线，若AB＝4，AC＝6，则AD的取值范围是（）

A.AD＞1

B.AD＜5

C.1＜AD＜5

D.2＜AD＜10

5、如图所示，△ABE≌△ACD，∠B＝70°，∠AEB＝75°，则∠CAE＝__________°.

B C

D E

第11题

知识梳理

一、找全等三角形的方法：

（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；

（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；

（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。

三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。

（1）缺个角的条件：

1、公共角

2、对顶角

3、两全等三角形的对应角相等

4、等腰三角形

5、同角或等角的补角（余角）

6、等角加（减）等角

7、平行线8、等于同一角的两个角相等

（2）缺条边的条件：

1、公共边

2、中点

3、等量和

第二课时全等三角形证明典型例题

一、截取构全等

如下左图所示，OC 是∠AOB 的角平分线，D 为OC 上一点，F 为OB 上一点，若在OA 上取一点E ，使得OE=OF ，并连接DE ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。

10、等于同一线段的两线段相等 9、两全等三角形的对应边相等 8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等

7、等面积法 6、等腰三角形 5、角平分线性质

4、等量差典型例题

例：如上右图所示，AB//CD，BE平分∠BCD，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。

提示：在BC上取一点F使得BF=BA，连结EF。

二、角分线上点向角两边作垂线构全等

利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。如下左图所示，过∠AOB的平分线OC 上一点D向角两边OA、OB作垂线，垂足为E、F，连接DE、DF。

则有：DE=DF，△OED≌△OFD。

例：如上右图所示，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC。求证：∠ADC+∠B=180

三、作角平分线的垂线构造等腰三角形。

如下左图所示，从角的一边OB上的一点E作角平分线OC的垂线EF，使之与角的另一边OA相交，则截得一个等腰三角形（△OEF），垂足为底边上的中点D，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。

如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交，从而得到一个等腰三角形，可总结为：“延分垂，等腰归”。

例1：如上右图所示，已知∠BAD=∠DAC，AB>AC,CD⊥AD于D，H是BC中点。

求证：DH=（AB-AC）

提示：延长CD交AB于点E，则可得全等三角形。问题可证。

例2：已知，如图，在Rt△ABC中，AB = AC，∠BAC = 90o，∠1 = ∠2 ，CE⊥BD的延长线于E,求

证：BD = 2CE

提示：延长CE交BA的延长线于点F。

四、作平行线构造等腰三角形

作平行线构造等腰三角形分为以下两种情况：

①如下左图所示，过角平分线OC上的一点E作角的一边OA的平行线DE，从而构造等腰三角形ODE。

②如下右图所示，通过角一边OB上的点D作角平分线OC的平行线DH与另外一边AO的反向延长线相交于点H，从而构造等腰三角形ODH。

五、由线段和差想到的辅助线

（1）遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：

①截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

②补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段。

截长补短法作辅助线。

在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ACB＝2∠B，求证：AB＝AC＋CD。

（2）对于证明有关线段和差的不等式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第三边、之差小于第

三边，故可想办法放在一个三角形中证明。

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明。

例1：已知如图1-1：D、E为△ABC内两点,求证:AB ＋AC＞BD＋DE＋CE.

（法1）证明：将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，

在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

（法2）如图1-2，延长BD交 AC于F，延长CE交BF于G，

在△ABF和△GFC和△GDE中有：

AB＋AF＞ BD＋DG＋GF （三角形两边之和大于第三边）（1）

GF＋FC＞GE＋CE（同上） (2)

DG＋GE＞DE（同上） (3)

由（1）＋（2）＋（3）得：

AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE

∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC。

六、由中点想到的辅助线

在三角形中，如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么首先应该联想到三角形的中线加倍延长中线及其相关性质（等腰三角形底边中线性质），然后通过探索，找到解决问题的方法。

（1）中线把原三角形分成两个面积相等的小三角形

即如图1，AD是ΔABC的中线，则S

ΔABD=SΔACD=SΔABC（因为ΔABD与ΔACD是等底同高的）。

例1、如图2，ΔABC中，AD是中线，延长AD到E，使DE=AD，DF是ΔDCE的中线。已知ΔABC的面积为2，求：ΔCDF的面积。

（2）倍长中线

已知中点、中线问题应想到倍长中线，由中线的性质可知，一条中线将中点所在的线段平分，可得到一组等边，通过倍长中线又可得到一组等边及对顶角，因而可以得到一组全等三角形。如图，延长AD到E，使得AD=AE，连结BE。

例2、如图5，已知ΔABC中，AD是∠BAC的平分线，AD又是BC边上的中线。求证：ΔABC是等腰三角形。

七、验证中点、中线问题，应构造平行线

如图，过B作BE平行AC交AD延长线于E。

例3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．

初二期末复习计划(精选5篇)

初二期末复习计划一：初二期末复习计划一、梳理课本，使本学期所学习的语文知识系统化。二、分项复习 1、基础知识积累及运用 a、阅读本册所有的生字，记住它们的音、形、义。 b、古诗文默写：应该认真地背诵，正确规范地书写。 c、综合性学习活动：把本学期的综合性学习内容整理一下，梳理出老师平时强调的知识点。 d、文学常识：找出本册书的重要作者，掌握他们的名、时、地、评、作等内容。 e、名著阅读：在阅读了原著的基础上梳理出知识短文中的知识点，并牢记。 2、现代文阅读：主要是课内，选取课文的重点段，温习学习时的课文批注。 3、文言文阅读：注意文言词、句的解释及重点语段的理解并能概括出全文和每段的大意。三、复习时应该注意的问题。 (一)、从思想上重视不少同学认为复习不过是平时已学过知识的重复，所以在复习阶段听课不够投入，最后导致很多知识都还是半生不熟。而期末考试是对学生一个学期学习情况的检查与总结，考试时往往侧重于对一个学期知识的总结、综合。仅靠平时的一些印象往往会顾此失彼，造成大面积的丢分。从思想上重视，不麻痹大意，强调的不单纯是时间的投入，更是头脑的投入，只

有在复习课上真正用脑听课、思考、总结，才会使自己平时零散的所得到的知识系统的整理并进而成为一种能力。 (二)、复习讲究方法俗话说：工欲善其事，必先利其器。意思是说无论做什么事，都要事先做好准备。期末考试也是一样。要想取得好成绩，除了平时努力学习，打好基础，提高能力外，期末复习方法也很关键。复习方法多种多样，应该根据自己的实际情况，选取科学、高效的复习方法。这里向大家重点推荐的是最常规但很有效的复习方法，大家可以根据自己的实际情况选择使用。 1、明确考试范围，弄清本次期末检测的重点内容和重点题型。复习时做到有的放矢。 2、根据考试的检查范围与要求对照检查自己的情况，并拟定适合自己的复习计划。使复习有针对性。 3、提高自己的复习听课的效率，向效率要成绩。薄弱之处加以强化，做到查漏补缺。 4、根据不同内容和自己的不同情况，采取适合自己的复习方法。同学们想一想，在我们的学习生活中，学习成绩好的同学，是不是能够按照老师的要求认认真真学习的同学，而与老师的要求背道而驰的同学却恰恰相反，所以这里我要强调的是，在期末复习阶段，同学们更应该按照老师的要求，认认真真的做好复习，在复习阶段，老师们都会按照考试的重点要求组织大家进行复习和过关考试。无论是哪个环节的复习都很重要，所以哪个环节都不能放松。同学们一定要按照老师的要求对所学的知识进行全面的复习并找出自己的存在的问题加以解决。四、复习时应注意克服考试中容易出现的问题经过了紧张的复习，是不是就能取得比较理想的成绩呢?这还取决于考试时是否有科学的正确的应试方法。

全等三角形证明判定方法分类总结

全等三角形（一）SSS 【知识要点】 1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等（2）全等图形的面积相等 3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于”如DEF ABC? ?与全等，记作ABC ?≌DEF ? （2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS”．如图，在ABC ?和DEF ?中 ? ? ? ? ? = = = DF AC EF BC DE AB ABC ? ∴≌DEF ? 【典型例题】例1．如图，ABC ?≌ADC ?，点B与点D是对应点， ? = ∠26 BAC，且? = ∠20 B，1 = ?ABC S，求 A C D D C A D∠ ∠ ∠, ,的度数及ACD ?的面积．例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A5 , 9 , 50= = ? = ∠，求EDF ∠的度数及CF的长． A D

例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠ 例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：（1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF

全等三角形培优讲义

全等三角形常见辅助线作法 1 ------------------- 精准诊查高与三角形有关的线段中线角平分线性质直角三角形判定多边形及其内角和【导学】全等三角形第一部分：知识点回顾常见辅助线的作法有以下几种： 1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的 2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” ? 3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻【知识导图】概念 ( <~ 1 三边之和大于等于第三边稳定性三角形与三角形有关的角三角形内角和定理三角形的外角 “对折”.

转折叠” 5）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目. 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 第二部分：例题剖析一、倍长中线（线段）造全等例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5 AC=3贝忡线AD的取值范围是___________________ A 例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB AC上，DEL DF, D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ ABC中，BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.

八年级全等三角形题型总结(有难度)

腾大教育教师辅导教案授课时间：2014年2月10日学员姓名年级八年级辅导课目数学学科教师班主任课时数 3 教学课题解全等三角形问题的题型总结教学目标1.总结、讲解全等三角形题型 2.练习教学重难点 1.掌握解全等三角形的各类问题教学内容课堂收获一、三角形全等的性质和判定方法二、全等三角形的题型（一）注意三角形全等的判定方法。特别留意的是有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，当相等的角为相等的两边中的一边的对角时，这两个三角形不一定相等。例1.下面有四个命题： ①两个三角形有两边及一角对应相等，则这两个三角形全等； ②两个三角形有两角及一边对应相等，则这两个三角形全等； ③两个三角形的三条边分别相等，则这两个三角形全等； ④两个三角形的三个角分别对应相等，则这两个三角形全等。其中真命题是：（） A. ②③ B.①③ C.③④ D.②④ 练习： 1.下列说法：①全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等； ②两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等； ③两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等； ④两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确的有（） A. 4个 B.3个 C.2个 D.1个（二）注意角度在三角形全等中的应用。特别是在特殊三角形，如等腰三角形、直角三角形中角度数的作用。例2.两个全等的含? 30、? 60角的三角板ADE和三角板ABC，如图放置，E、A、C 三点在一条直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC。试判断△EMC的形状，并说明理由。

27.1圆的确定(很全,很好,很详细)

27.1 圆的确定【学习目标】【1】了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．【2】探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．【主要概念】【圆】在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，?另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O” 注意：①图上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； ②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． ③圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，对称轴是任何一条过圆心的直线【圆的新定义】圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形． ①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB； ②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB； ③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A、C为端点的弧记作 AC”，读作“圆弧 AC”或“弧AC”．大于半圆的弧（如图所示 ABC叫做优弧，?小于半圆的弧（如图所示） AC或 BC叫做劣弧． ④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．【垂径定理】平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，?并且平分弦所对的两条弧【圆与点的关系】设一个圆的半径长为R，点P与圆心O的距离为d，则（1）点P在圆外?d>R （2）点P在圆上?d=R Array（3）点P在圆内?d

【经典例题】【例1】举出生活中的圆三、四个；并说明形成圆的方法有多少种？【解】如车轮、杯口、时针等；圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．【例2】如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径CD ，使CD ⊥AB ，垂足为M ．（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．【解】（1）是轴对称图形，其对称轴是CD ．（2）AM=BM ， AC BC =， AD BD =，即直径CD 平分弦AB ，并且平分 AB 及 ADB ．【例3】证明垂径定理已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ， AC BC =， AD BD =. 分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、?OB 或AC 、BC 即可．证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB 在Rt △OAM 和Rt △OBM 中 OA OB OM OM =?? =? ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM ∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称 ∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合， AC 与 BC 重合， AD 与 BD

全等三角形题型归类及解析

全等三角形难题题型归类及解析一、角平分线型角平分线是轴对称图形，所以我们要充分的利用它的轴对称性，常作的辅助线是：一利用截取一条线段构造全等三角形，二是经过平分线上一点作两边的垂线。另外掌握两个常用的结论：角平分线与平行线构成等腰三角形，角平分线与垂线构成等腰三角形。 1. 如图，在ΔABC 中，D 是边BC 上一点，AD 平分∠BAC ，在AB 上截取AE=AC ，连结DE ，已知DE=2cm ，BD=3cm ，求线段BC 的长。 2. 已知：如图所示，BD 为∠ABC 的平分线，AB=BC ，点P 在BD 上，PM ⊥AD 于M ， ?PN ⊥CD 于N ，判断PM 与PN 的关系． 3. 已知：如图E 在△ABC 的边AC 上，且∠AEB=∠ABC 。 (1) 求证：∠ABE=∠C ； (2) 若∠BAE 的平分线AF 交BE 于F ，FD ∥BC 交AC 于D ，设AB=5，AC=8，求DC 的长。． A B C D E P D A C B M N

5、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ） 2 1P F M D B A C E 6、如图，已知在△ABC 中，∠BAC 为直角，AB=AC ，D 为AC 上一点，CE ⊥BD 于E ．（1）若BD 平分∠ABC ，求证CE=1 2 BD ；（2）若D 为AC 上一动点，∠AED 如何变化，若变化，求它的变化范围；若不变，求出它的度数，并说明理由。 8、如图，在△ABC 中，∠ABC=60°，AD 、CE 分别平分∠BAC 、∠ACB ，求证：AC=AE+CD ．二、中点型由中点应产生以下联想： E D C B A

全等三角形的性质及判定(讲义)

全等三角形的性质及判定（讲义） ? 课前预习 1. “完全重合”的意思是“形状相同、大小相等”，下列图形能够完全重合吗，为什么？ ①把长方形纸片对折再沿折痕剪开，重叠放置后，任意剪下一个三角形，从而得到的两个三角形； ②三棱柱上下底面的两个三角形； ③学生用的含有30°角的三角板（带孔）中内外两个三角形； ④张贴在家中的世界地图和手机上的世界地图． ? 知识点睛 1. 由____________________的三条线段_________________所组成的图形叫做三角形．三角形可用符号“________”表示． 2. _____________________的两个三角形叫做全等三角形，全等用符号 “_________”表示．全等三角形的__________相等，____________相等． 3. 全等三角形的判定定理：______________________________． ? 精讲精练 1. 如图，△ABC ≌△DEF ，对应边AB =DE ，______________，_________，对应角∠B =∠DEF ，_________，__________． F E D C B A A C B 1 2 O 第1题图第2题图 2. 如图，△ACO ≌△BCO ，对应边AC =BC ，______________，__________，对应角∠1=∠2，____________，____________． 3. 如图，△ABC ≌△DEC ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________． 4. 如图，△ABC ≌△CDA ，对应边___________，__________，___________，对应角_______________，_______________， ______________． E D C B A

八年级上册数学《全等三角形》《轴对称》期末复习题及答案解析

八年级数学期末《全等三角形》《轴对称》复习题一．选择题（共4小题） 1．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC的角平分线BE和∠BAC的外角平分线AD相交于点P，分别交AC 和BC的延长线于E，D．过P作PF⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（） 2．如图，将30°的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③EB平分∠AED；④ED=2AB．其中正确的是（） 3．如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB=135°；②PF=PA；③AH+BD=AB；④S四边形ABDE=S△ABP，其中正确的是（） 4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，∠DAB与∠ADC的平分线相交于BC边上的M点，则下列结论：①∠AMD=90°；②M为BC的中点；③AB+CD=AD；④；⑤M到AD的距离等于BC的一半；其中正确的有（）

二．解答题（共8小题） 5．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠ABC=30°AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF=_________；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形． 6．两个等腰直角△ABC和等腰直角△DCE如图1摆放，其中D点在AB上，连接BE．（1）则=_________，∠CBE=_________度；（2）当把△DEF绕点C旋转到如图2所示的位置时（D点在BC上），连接AD并延长交BE于点F，连接FC，则 =_________，∠CFE=_________度；（3）把△DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，请求出∠CFE的度数 _________． 7．已知△ABC为边长为10的等边三角形，D是BC边上一动点：

全等三角形相似三角形证明(中难度题型)

全等三角形证明经典50题.doc 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD 1. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 2. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 B C D F A D B C B C

已知：∠1=∠2，CD=DE，EF 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。 8.已知：AB知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C A D B C B A C D F 2 1 E C D B D C B A F E A B C D A

10. P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

15．（5分）如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交 AP 于D ．求证：AD +BC =AB ． 16．（6分）如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B 17．（6分）如图①，E 、F 分别为线段AC 上的两个动点，且DE ⊥AC 于E ，BF ⊥AC 于F ，若 AB =CD ，AF =CE ，BD 交AC 于点M ．（1）求证：MB =MD ，ME =MF （2）当E 、F 两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立若成立请给予证明；若不成立请说明理由． P E D C B A D C B A

初三复习-全等三角形+相似三角形

一对一辅导教案学生姓名性别年级初三学科数学授课教师上课时间第（）次课课时：3课时教学课题中考专题全等三角形、三角形相似教学目标知识目标：理解全等与相似判定与区别能力目标：提高学生证明的思考能力情感态度价值观：通过这节课的学习，提高学生的信心教学重点与难点重点：三角形全等、三角形相似难点：三角形全等、相似的运用教学过程全等三角形全等三角形的概念和性质： 1、的两个三角形叫做全等三角形 2、性质：全等三角形的、分别相等，全等三角形的对应线段（角平分线、中线、高线）周长、面积分别对应注意：全等三角形的性质是证明线段、角等之间数量关系的最主要依据。一、全等三角形的判定： 1、一般三角形的全等判定方法：①边角边，简记为②角边角：简记为③角角边：简记为④边边边：简记为 2、直角三角形的全等判定除可用一般三角形全等判定的所有方法以外，还可以用来判定注意：1、判定全等三角形的条件中，必须至少有一组对应相等，用SAS判定全等，切记角为两边的 2、判定全等三角形的有关条件要特别注意对应两个字。【精选例题】考点一：三角形内角、外角的应用例1 如图，△ABC中，∠C=70°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（） A．360°B．250°C．180°D．140° ．

考点三：三角形全等的判定例3 .如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论： ①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形； ③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化； ④点C到线段EF的最大距离为2．其中正确结论的个数是（） A．1个B．2个C．3个D．4个例4.如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′（此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上），A′B′交AD于点E，连接AA′、CE．求证：（1）△ADA′≌△CDE；（2）直线CE是线段AA′的垂直平分线．变式练习： 1．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、 AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）= 2 2 BC；②S△AEF≤ 1 4 S△ABC；③S四边形AEDF=AD?EF； ④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个 2．如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于O，AC=BD．

全等三角形的性质及判定(经典讲义)

全等三角形的性质及判定 1、全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形． 2、全等三角形性质：（1）两全等三角形的对应边相等，对应角相等．（2）全等三角形的对应边上的高相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等．（3）全等三角形的周长、面积相等． 3、全等三角形判定方法：（1）全等判定一：三条边对应相等的两个三角形全等（SSS ）（2）全等判定二：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA ）（3）全等判定三：两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS) （4）全等判定四：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（SAS ）专题一、全等图形的性质——全等图形的对应边（对应中线、角平分线、高线）、对应角、对应周长、对应面积相等例题1：下列说法，正确的是（） A.全等图形的面积相等 B.面积相等的两个图形是全等形 C.形状相同的两个图形是全等形 D.周长相等的两个图形是全等形例题2：如图1，折叠长方形ABCD ，使顶点D 与BC 边上的N 点重合，如果AD=7cm ，DM=5cm ，∠DAM=39°，则AN =____cm ，NM =____cm ，NAB ∠=. 【仿练1】如图2，已知ABC ADE ???，AB AD =，BC DE =，那么与BAE ∠相等的角是. 【仿练2】如图 3，ABC ADE ???，则AB= ，∠E= _．若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC= . 、图4 E D C B A 图2 图3 M D N B C 图1

三角形全等的判定一（SSS ）相关几何语言考点 ∵AE=CF ∵CM 是△的中线 ∴_____________( ) ∴____________________ ∴__________（）或 ∵AC=EF ∴____________________ ∴__________（） AB=AB （）在△ABC 和△DEF 中 ∵?? ? ??___________________________ ∴△ABC ≌△DEF （）例1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？例２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ． B F E C A F E D C B A C M B A B A

八年级数学全等三角形一对一辅导讲义

八数第二周辅导资料（TH）2016.09.10 辅导容：全等三角形（1）知识梳理：一、全等图形（概念及其性质）二、全等三角形（概念及其性质）三、全等三角形的判定（1）、判定全等三角形的方法：（2）、找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形全等的证明中包含两个要素：边和角。（1）缺个角的条件： 1、公共角 2、对顶角 3、两全等三角形的对应角相等 4、等腰三角形 5、同角或等角的补角（余角） 6、等角加（减）等角

7、平行线8、等于同一角的两个角相等（2）缺条边的条件： 9、两全等三角形的对应边相等 8、线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等 7、等面积法 6、等腰三角形 5、角平分线性质 4、等量差 3、等量和 2、中点 1、公共边

10、等于同一线段的两线段相等基础测试： 1．如图（1），△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，则__________≌__________． 2．斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等的根据是__________，底边和腰相等的两个等腰三角形全等的根据是__________． 3．已知△ABC≌△DEF，△DEF的周长为32 cm，DE=9 cm，EF=12 cm则AB=____________，BC=____________，AC=____________．图（1）图（2）图（3）如图（2），AC=BD，要使△ABC≌△DCB还需知道的一个条件是__________ 如图（3），若∠1=∠2，∠C=∠D，则△ADB≌__________，理由______________________．不能确定两个三角形全等的条件是（） A．三边对应相等B．两边及其夹角相等 C．两角和任一边对应相等D．三个角对应相等

全等三角形经典证明方法归类

【第1部分全等基础知识归纳、?小结】 1、全等三?角形的定义：能够完全重合的两个三?角形叫全等三?角形。两个全等三?角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的 ?角叫对应?角。概念深?入理理解：（1）形状?一样，?大?小也?一样的两个三?角形称为全等三?角形。（外观?长的像）（2）经过平移、旋转、翻折之后能够完全重合的两个三?角形称为全等三?角形。（位置变化） 2、全等三?角形的表示?方法：若△ABC 和△A ′B ′C ′是全等的，记作“△ABC ≌△A ′B ′C ′”其中，“≌”读作“全等于”。记两个三?角形全等时，通常把表示对应顶点的字?母写在对应的位置上。 3、全等三?角形的性质：全等是?工具、?手段，最终是为了了得到边等或?角等，从?而解决某些问题。（1）全等三?角形的对应?角相等、对应边相等。（2）全等三?角形的对应边上的?高，中线，?角平分线对应相等。（3）全等三?角形周?长，?面积相等。 4、寻找对应元素的?方法（1）根据对应顶点找如果两个三?角形全等，那么，以对应顶点为顶点的?角是对应?角；以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三?角形全等时，对应顶点的字?母都写在对应的位置上，因此，由全等三?角形的记法便便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三?角形对应?角所对的边是对应边，两个对应?角所夹的边是对应边；图3 图1图2

（3）通过观察，想象图形的运动变化状况，确定对应关系。通过对两个全等三?角形各种不不同位置关系的观察和分析，可以看出其中?一个是由另?一个经过下列列各种运动?而形成的；运动?一般有3种：平移、对称、旋转； 5、全等三?角形的判定：（深?入理理解） ①边边边（SSS）②边?角边（SAS）③?角边?角（ASA）④?角?角边（AAS） ⑤斜边，直?角边（HL）注意：（容易易出错）（1）在判定两个三?角形全等时，?至少有?一边对应相等（边定全等）；（2）不不能证明两个三?角形全等的是，㈠三个?角对应相等，即AAA；㈡有两边和其中?一?角对应相等，即SSA。全等三?角形是研究两个封闭图形之间的基本?工具，同时也是移动图形位置的?工具。在平?面?几何知识应?用中，若证明线段相等或?角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三?角形的知识。 6、常?见辅助线写法：（照着辅助线说明要能做出图、养成严谨、严密的习惯）如：⑴过点A作BC的平?行行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂?足为D ⑶延?长AB?至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点同?一条辅助线，可以说法不不?一样，那么得到的条件、证明的?方法也不不同。

全等三角形讲义知识点+典型例题(完美打印版)

B P A a 专题三角形的尺规作图知识点解析作三角形的三种类型： ① 已知两边及夹角作三角形：作图依据------SAS ② 已知两角及夹边作三角形：作图依据------ASA % ③ 已知三边作三角形：作图依据------SSS 典型例题【例1】作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a . 求作：线段AB ，使AB = a . ，【例2】作一个角等于已知角。已知：如图，∠AOB 。求作：∠A’O’B’，使A’O’B’=∠AOB 【例3】已知三边作三角形已知：如图，线段a ，b ，c. ' 求作：△ABC ，使AB = c ，AC = b ，BC = a. 作法：【例4】已知两边及夹角作三角形已知：如图，线段m ，n, ∠ .

求作：△ABC，使∠A=∠α，AB=m，AC=n. … 【例5】已知两角及夹边作三角形已知：如图，∠α，∠β，线段c . 求作：△ABC，使∠A=∠α，∠B=∠β,AB=c. @ 随堂练习 1．根据已知条件作符合条件的三角形，在作图过程中主要依据是（） A．用尺规作一条线段等于已知线段；B．用尺规作一个角等于已知角 C．用尺规作一条线段等于已知线段和作一个角等于已知角；D．不能确定 2． 3．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形时，第一步骤应为（） A．作一条线段等于已知线段B．作一个角等于已知角 # C．作两条线段等于已知三角形的边，并使其夹角等于已知角 D．先作一条线段等于已知线段或先作一个角等于已知角 3．用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段时，实际上就是已知的条件是（）A．三角形的两条边和它们的夹角B．三角形的三条边 C．三角形的两个角和它们的夹边；D．三角形的三个角 4.已知三边作三角形时，用到所学知识是（） A．作一个角等于已知角B．作一个角使它等于已知角的一半 % C．在射线上取一线段等于已知线段D．作一条直线的平行线或垂线专题利用三角形全等测距离知识点解析

八级数学竞赛讲座第十讲全等三角形

第十讲全等三角形全等三角形是平面几何内容的基础，这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具，是解决与线段、角相关问题的一个出发点，运用全等三角形，可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线位置关系等常见的几何问题．利用全等三角形证明问题，关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形，这对基础的三角形从实质上来说，是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来，也可能是由几对三角形组成，其间的关系互相传递，应熟悉涉及有公共边、公共角的以下两类基本图形：例题求解≌△ACN；②BE=CF；③△AC，＝AF，给出下列结论：①∠1=∠2E= 【例1】如图，∠∠F=90°，∠B=∠C) ． (广州市中考题 (ABM；④CD=DN，其中正确的结论是把你认为所有正确结论的序号填上)对一个复杂的图形，先找出比较明显的一对全等三角形，并发现有用的条件，进而判断推出思路点拨其他三角形全等．两个三角形的全等是指两个图形之间的一种‘对应”关系，“对应'两字，有“相当”、“相应”注的含意，对应关系是按一定标准的一对一的关系，“互相重合”是判断其对应部分的标准．实际遇到的图形，两个全等三角形并不重合在一起，但其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻拆、旋转等方法得到，这种改变位置，不改变形状大小的图形变动叫三角形的全等变换．( ) 的取值范围是＝4，则边ABAD在△2】 ABC中，AC＝5，中线【例9

C．5

八年级数学上册全等三角形讲义 (新版)苏科版

全等三角形重难点易错点解析题一题面：下列说法中： ①能够完全重合的两个三角形是全等三角形； ②通过旋转得到的两个图形全等，全等的两个图形旋转后一定能重合； ③大小相同的两个图形是全等图形； ④一个图形经过平移、翻折、旋转后.得到的图形一定与原图形全等. 其中正确的个数有（）. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个全等的定义与形成两个能够完全重合的图形叫做全等形我们可以通过平移、翻折、旋转得到全等图形题二（1）已知△ABC≌△ABD，AB=6，AC=7，BC=8，则AD=（） A．5 B．6 C．7 D．8 （2）已知△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=23°，那么∠D=（）A．87°B．97° C．83° D．37° 全等的性质全等图形对应边相等，对应角相等金题精讲题一题面：（1）如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠ACD等于（）A．80°B．60°C．40°D．20°

E D B A C （2）如图所示，△ACE ≌△DBF ，AD =9cm ，BC =5cm ，则AB 的长是（）cm A ．5 B ．4 C ．2 D ．1 B F C A D E 全等图形边和角的性质题二题面：如果△ABC 的三边长分别为5，12，13，△DEF 的三边长分别为5，52x ，x 24，若这两个三角形全等，则x 为 . 全等三角形对应边相等题三题面：（1）在平面直角坐标系中有不同的三点A 、B 、C ，其中A （4，0）、B （0，2），当△COB ≌△AOB 时，点C 的坐标为 . （2）在平面直角坐标系中有不同的三点A 、B 、C ，其中A （4，0）、B （0，2），当点B 、O 、C 组成的三角形与△AOB 全等时，点C 的坐标为 . 全等三角形的性质

1全等三角形及图形轴对称(一对一

师：老师这里有两个三角形，我们从直观上来看这两个三角形，觉得是怎么样的？生：回答师：那两个三角形相等，都要具备哪些条件呢？生：回答师：我们刚刚已经猜测了好几种条件，那么我们一起来看一看有哪些比较合适。一、认识三角形 1、定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。“三角形”可以用符号“Δ”表示。 2 、三角形内角和定理：三角形的三个内角和等于180度。 3、三角形外角的定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。三角形的外角性质：（1）三角形的外角和为360°。（2）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。（3）三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角。 4、三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边。 5、等腰三角形：有两边相等的三角形叫做等腰三角形、等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形。等腰直角三角形：两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。 6、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。三角形的三条中线交于一点。这个点是三角形的重心。全等三角形及图形轴对称

7、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线。三角形的三条角平分线交于一点。 8、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段，叫做三角形的高线，简称三角形的高。三角形三条高所在直线交于一点。 9、锐角三角形的三条高都在三角形的内部，并且交于同一点。直角三角形有一条高在三角形内部，其余两条高是它的两条直角边，三条高交于直角顶点。钝角三角形的三条高不相交，有一条高在三角形内部，其余两条高在三角形外部，三条高所在直线交于一点。 10、三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S △ =1/2×底×高。 11、三角形具有稳定性二、图形的全等 1、全等图形：能够完全重合的两个图形称为全等图形。全等图形的形状和大都相同。 2、全等三角形：能够完全重合的两个三角形称为全等三角形。记作：△ABC≌△A 1B 1 C 1 要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 3、全能三角形的对应顶点、对应边、对应角对应顶点：互相重合的顶点叫对应顶点。点A和点A1，点B和点B1，点C和点C1，对应边：互相重合的边叫对应边。AB和A 1B 1 ，AC和A 1 C 1 ，BC和B 1 C 1 对应角：互相重合的角叫对应角。∠A和∠A 1，∠B和∠B 1 ，∠C和∠C 1 全等三角形的对应边相等，对应角相等。三、探索三角形全等的条件（1）三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS” （2）两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”（3）两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS”

八年级数学上册一对一个性化辅导计划表

八年级上册数学个性化辅导方案日期：年月日学员编号：年级：八年级总课时数：待定授课教师：学员姓名：辅导科目：数学辅导时间：基本情况优点不足 1.计算功底强； 2.积极动脑思考，听讲认真； 3.时间观念强。 1. 少言寡语； 2．缺乏自信心，综合突破能力有待提高； 3．课后巩固作业有待认真完成知识掌握情况调查序号知识考点学生掌握情况备注 1 代数计算 2 因式分解 3 分式计算 4 文字理解 5 全等三角形 6 几何辅助线 7 综合运用个性化辅导计划序号辅导内容预计课时教学时间备注 1 二次根式的乘除 2 2 二次根式加减 2 3 二次根式重难点小结 2 4 勾股定理 2 5 勾股定理逆定理 2 6 平行四边形 2 7 特殊平行四边形-矩形，菱形，正方形 2 8 特殊平行四边形能力提高与梯形 2 9 几何常作辅助线（一） 2 10 几何常作辅助线（二） 2 11 期中复习 2

12 函数定义与图像 2 13 正比例函数图像与性质 2 14 一次函数图像与性质 2 15 一次函数与方程和不等式的关系 2 16 一次函数应用 2 17 一次函数重难点小结 2 18 代数专题复习 2 19 几何专题复习 2 20 期末总复习 2 预期目标学习能力方面： 1.了解二次根式的概念，会确定二次根式有意义的条件，理解二次根式的加减乘除运算法则。 2. 勾股定理：会用勾股定理和逆定理解决实际问题。 3. 四边形的重点是平行四边形的定义、性质和判定，难点是平行四边形与各种特殊平行四边形之间的联系和区别以及中心对称。 4.体会一次函数的意义，会画一次函数的图像，理解一次函数的性质，能运用一次函数解决有关的实例问题，进一步发展数学应用意识。学习态度方面： 1.提高学习兴趣，增强学习自信心。 2.敢于挑战自我，突破难关 3.端正学习态度，主动完成教学任务。学生/家长意见 1、明确会考目标和要求，辅导更有针对性。 2、夯实基础，典型例题要认真做、反复做，增强实力。 3、把阶段测试落实下去，每4节课测试一次，及时评价和整改。 4、假期以专题为主，开学以同步为主。让学生既弥补了知识上的不足，又增强了信心。

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