2012届高考黄冈中学物理冲刺讲解、练习题、预测题06：第4专题带电粒子在电场和磁场中的运动（1）
知识网络
考点预测
带电粒子在电场、磁场(或电场、磁场和重力场的复合场)中的运动是高中物理中的重点内容，这类问题对学生的空间想象能力、分析综合能力、应用数学知识处理物理问题的能力有较高的要求，是考查考生多项能力的极好载体，因此成为高考的热点，在实行了多年的理科综合能力测试中也是每年都考，且分值较高．从试题的难度上看，多属于中等难度和较难的题，特别是只要出现计算题就一定是难度较大的综合题．考题有可能以科学技术的具体问题为背景，从实际问题中获取并处理信息，把实际问题转化成物理问题，提高分析解决实际问题的能力是教学中的重点．计算题还常常成为试卷的压轴题，如2009年全国理综卷Ⅰ第26题、全国理综卷Ⅱ第25题、重庆理综卷第25题、四川理综卷第25题；2008年全国理综卷Ⅰ第25题、江苏物理卷第14题、四川理综卷第27题、重庆理综卷第25题、山东理综卷第25题等．预计在2010年高考中仍然会出现带电粒子在复合的或组合的电场和磁场中运动的问题．
要点归纳
一、不计重力的带电粒子在电场中的运动
1．带电粒子在电场中加速
当电荷量为q 、质量为m 、初速度为v 0的带电粒子经电压U 加速后，速度变为v t ，由
动能定理得：qU ＝12m v t 2－12m v 02．若v 0＝0，则有v t ＝2qU m
，这个关系式对任意静电场都是适用的．
对于带电粒子在电场中的加速问题，应突出动能定理的应用．
2．带电粒子在匀强电场中的偏转
电荷量为q 、质量为m 的带电粒子由静止开始经电压U 1加速后，以速度v 1垂直进入由两带电平行金属板产生的匀强电场中，则带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，其轨迹是一条抛物线(如图4－1所示)．
图4－1 qU 1＝12
m v 12 设两平行金属板间的电压为U 2，板间距离为d ，板长为L ．
(1)带电粒子进入两板间后
粒子在垂直于电场的方向上做匀速直线运动，有：
v x ＝v 1，L ＝v 1t
粒子在平行于电场的方向上做初速度为零的匀加速直线运动，有：
v y ＝at ，y ＝12at 2，a ＝qE m ＝qU 2md
． (2)带电粒子离开极板时 侧移距离y ＝12at 2＝qU 2L 22md v 12＝U 2L 24dU 1
轨迹方程为：y ＝U 2x 2
4dU 1
(与m 、q 无关) 偏转角度φ的正切值tan φ＝at v 1＝qU 2L md v 12＝U 2L 2dU 1 若在偏转极板右侧D 距离处有一竖立的屏，在求电子射到屏上的侧移距离时有一个很有用的推论，即：所有离开偏转电场的运动电荷好像都是从极板的中心沿中心与射出点的连
线射出的．这样很容易得到电荷在屏上的侧移距离y ′＝(D ＋L 2
)tan φ． 以上公式要求在能够证明的前提下熟记，并能通过以上式子分析、讨论侧移距离和偏转角度与带电粒子的速度、动能、比荷等物理量的关系．
二、不计重力的带电粒子在磁场中的运动
1．匀速直线运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向平行，则粒子做匀速直线运动．
2．匀速圆周运动：若带电粒子的速度方向与匀强磁场的方向垂直，则粒子做匀速圆周运动．
质量为m 、电荷量为q 的带电粒子以初速度v 垂直进入匀强磁场B 中做匀速圆周运动，其角速度为ω，轨道半径为R ，运动的周期为T ，则有：
q v B ＝m v 2R ＝mRω2＝m v ω＝mR (2πT )2＝mR (2πf )2 R ＝m v qB T ＝2πm qB (与v 、R 无关)，f ＝1T ＝qB 2πm
． 3．对于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的问题，应注意把握以下几点．
(1)粒子圆轨迹的圆心的确定
①若已知粒子在圆周运动中的两个具体位置及通过某一位置时的速度方向，可在已知的速度方向的位置作速度的垂线，同时作两位置连线的中垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－2 所示．
②若已知做圆周运动的粒子通过某两个具体位置的速度方向，可在两位置上分别作两速度的垂线，两垂线的交点为圆轨迹的圆心，如图4－3所示．
③若已知做圆周运动的粒子通过某一具体位置的速度方向及圆轨迹的半径R ，可在该位置上作速度的垂线，垂线上距该位置R 处的点为圆轨迹的圆心(利用左手定则判断圆心在已知位置的哪一侧)，如图4－4所示．
图4－2 图4－3 图4－4
(2)粒子圆轨迹的半径的确定
①可直接运用公式R ＝m v qB
来确定． ②画出几何图形，利用半径R 与题中已知长度的几何关系来确定．在利用几何关系时，要注意一个重要的几何特点，即：粒子速度的偏向角φ等于对应轨迹圆弧的圆心角α，并等于弦切角θ的2倍，如图4－5所示．
图4－5
(3)粒子做圆周运动的周期的确定
①可直接运用公式T ＝2πm qB
来确定． ②利用周期T 与题中已知时间t 的关系来确定．若粒子在时间t 内通过的圆弧所对应的
圆心角为α，则有：t ＝α360°·T (或t ＝α2π
·T )． (4)圆周运动中有关对称的规律
①从磁场的直边界射入的粒子，若再从此边界射出，则速度方向与边界的夹角相等，如图4－6所示．
②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子必沿径向射出，如图4－7所示．
图4－6 图4－7
(5)带电粒子在有界磁场中运动的极值问题
刚好穿出磁场边界的条件通常是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切．
三、带电粒子在复合场中的运动
1．高中阶段所涉及的复合场有四种组合形式，即：①电场与磁场的复合场；②磁场与重力场的复合场；③电场与重力场的复合场；④电场、磁场与重力场的复合场．
2．带电粒子在复合场中的运动性质取决于带电粒子所受的合外力及初速度，因此应把带电粒子的运动情况和受力情况结合起来进行分析．当带电粒子在复合场中所受的合外力为零时，带电粒子做匀速直线运动(如速度选择器)；当带电粒子所受的重力与电场力等值、反向，由洛伦兹力提供向心力时，带电粒子在垂直磁场的平面内做匀速圆周运动；当带电粒子所受的合外力是变力，且与初速度的方向不在一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，运动轨迹也随之不规范地变化．因此，要确定粒子的运动情况，必须明确有几种场，粒子受几种力，重力是否可以忽略．
3．带电粒子所受三种场力的特征
(1)洛伦兹力的大小跟速度方向与磁场方向的夹角有关．当带电粒子的速度方向与磁场方向平行时，f 洛＝0；当带电粒子的速度方向与磁场方向垂直时，f 洛＝q v B ．当洛伦兹力的
方向垂直于速度v 和磁感应强度B 所决定的平面时，无论带电粒子做什么运动，洛伦兹力都不做功．
(2)电场力的大小为qE ，方向与电场强度E 的方向及带电粒子所带电荷的性质有关．电场力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的电荷量有关外，还与其始末位置的电势差有关．
(3)重力的大小为mg ，方向竖直向下．重力做功与路径无关，其数值除与带电粒子的质量有关外，还与其始末位置的高度差有关．
注意：①微观粒子(如电子、质子、离子)一般都不计重力；②对带电小球、液滴、金属块等实际的物体没有特殊交代时，应当考虑其重力；③对未知名的、题中又未明确交代的带电粒子，是否考虑其重力，则应根据题给的物理过程及隐含条件具体分析后作出符合实际的决定．
4．带电粒子在复合场中的运动的分析方法
(1)当带电粒子在复合场中做匀速运动时，应根据平衡条件列方程求解．
(2)当带电粒子在复合场中做匀速圆周运动时，往往应用牛顿第二定律和平衡条件列方程联立求解．
(3)当带电粒子在复合场中做非匀速曲线运动时，应选用动能定理或动量守恒定律列方程求解．
注意：如果涉及两个带电粒子的碰撞问题，要根据动量守恒定律列方程，再与其他方程联立求解．
由于带电粒子在复合场中的受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“恰好”、“最大”、“最高”、“至少”等词语为突破口，挖掘隐含条件，并根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解． 热点、重点、难点
一、根据带电粒子的运动轨迹进行分析推理
图4－8
●例1 如图4－8所示，MN 是一正点电荷产生的电场中的一条电场线．一个带负电的粒子(不计重力)从a 到b 穿越这条电场线的轨迹如图中虚线所示．下列结论正确的是( )
A ．带电粒子从a 到b 的过程中动能逐渐减小
B ．正点电荷一定位于M 点的左侧
C ．带电粒子在a 点时具有的电势能大于在b 点时具有的电势能
D ．带电粒子在a 点的加速度大于在b 点的加速度
【解析】由做曲线运动的物体的受力特点知带负电的粒子受到的电场力指向曲线的内侧，故电场线MN 的方向为N →M ，正点电荷位于N 的右侧，选项B 错误；由a 、b 两点的位置关系知b 点更靠近场源电荷，故带电粒子在a 点受到的库仑力小于在b 点受到的库仑力，粒子在b 点的加速度大，选项D 错误；由上述电场力的方向知带电粒子由a 运动到b 的过程中电场力做正功，动能增大，电势能减小，故选项A 错误、C 正确．
[答案] C
【点评】本专题内容除了在高考中以常见的计算题形式出现外，有时候也以选择题形式出现，通过带电粒子在非匀强电场中(只受电场力)的运动轨迹来分析电场力和能的特性是一种重要题型，解析这类问题时要注意以下三点：
①电场力一定沿电场线曲线的切线方向且一定指向轨迹曲线的内侧；
②W 电＝qU a b ＝E k b －E k a ；
③当电场线为曲线时，电荷的运动轨迹不会与之重合． 二、带电粒子在电场中的加速与偏转
图4－9
●例2 喷墨打印机的结构简图如图4－9所示，其中墨盒可以发出墨汁微滴，其半径约为1×10－5 m ，此微滴经过带电室时被带上负电，带电荷量的多少由计算机按字体笔画的高低位置输入信号加以控制．带电后的微滴以一定的初速度进入偏转电场，带电微滴经过偏转电场发生偏转后打到纸上，显示出字体．无信号输入时，墨汁微滴不带电，径直通过偏转板而注入回流槽流回墨盒．偏转板长1.6 cm ，两板间的距离为0.50 cm ，偏转板的右端距纸3.2 cm ．若墨汁微滴的质量为1.6×10－10 kg ，以20 m/s 的初速度垂直于电场方向进入偏转电场，两偏转板间的电压是8.0×103 V ，其打到纸上的点距原射入方向的距离是2.0 mm ．求这个墨汁微滴通过带电室所带的电荷量的多少．(不计空气阻力和重力，可以认为偏转电场只局限于平行板电容器的内部，忽略边缘电场的不均匀性)为了使纸上的字放大10%，请你分析并提出一个可行的方法．
【解析】设墨汁微滴所带的电荷量为q ，它进入偏转电场后做类平抛运动，离开电场后
做直线运动打到纸上，则距原入射方向的距离为：y ＝122＋L tan φ 又a ＝qU md ，t ＝l v 0，tan φ＝at v 0 解得：y ＝qUl md v 02(l 2
＋L ) 代入数据得：q ＝1.25×10－13 C
要将字体放大10%，只要使y 增大为原来的1.1倍，可采用的措施为将两偏转板间的电压增大到8.8×103 V ，或将偏转板右端与纸的间距增大到3.6 cm ．
[答案] 1.25×10－13 C 将两偏转板间的电压增大到8.8×103 V ，或将偏转板右端与纸
的间距增大到3.6 cm
【点评】①本题也可直接根据推论公式y ＝(l 2＋L )tan φ＝(l 2＋L )qUl md v 02
进行计算． ②和平抛运动问题一样，这类题型中偏转角度的正切表达式在解题中往往较为关键，且有tan θ＝2tan α(α为射出点的位移方向与入射方向的夹角)的特点．
★同类拓展1 如图4－10甲所示，在真空中，有一半径为R 的圆形区域内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向外．在磁场右侧有一对平行金属板M 和N ，两板间距为R ，板长为2R ，板间的中心线O 1O 2与磁场的圆心O 在同一直线上．有一电荷量为q 、质量为m 的带正电的粒子以速度v 0从圆周上的a 点沿垂直于半径OO 1并指向圆心O 的方向进入磁场，当从圆周上的O 1点水平飞出磁场时，给M 、N 两板加上如图4－10乙所示的电压，最后粒子刚好以平行于N 板的速度从N 板的边缘飞出．(不计粒子所受到的重力、两板正对面之间为匀强电场，边缘电场不计)
图4－10 (1)求磁场的磁感应强度B ．
(2)求交变电压的周期T 和电压U 0的值．
(3)当t ＝T 2
时，该粒子从M 、N 板右侧沿板的中心线仍以速度v 0射入M 、N 之间，求粒子从磁场中射出的点到a 点的距离．
【解析】(1)粒子自a 点进入磁场，从O 1点水平飞出磁场，则其运动的轨道半径为R ． 由q v 0B ＝m v 02R ，解得：B ＝m v 0qR
． (2)粒子自O 1点进入电场后恰好从N 板的边缘平行极板飞出，设运动时间为t ，根据类平抛运动规律有：
2R ＝v 0t
R 2＝2n ·qU 02mR (T 2
)2 又t ＝nT (n ＝1,2,3…)
解得：T ＝2R n v 0 (n ＝1,2,3…) U 0＝nm v 022q
(n ＝1,2,3…)．
图4－10丙 (3)当t ＝T 2
时，粒子以速度v 0沿O 2O 1射入电场，该粒子恰好从M 板边缘以平行于极板的速度射入磁场，进入磁场的速度仍为v 0，运动的轨迹半径为R ．设进入磁场时的点为b ，离开磁场时的点为c ，圆心为O 3，如图4－10丙所示，四边形ObO 3c 是菱形，所以Oc ∥O 3b ，故c 、O 、a 三点共线，ca 即为圆的直径，则c 、a 间的距离d ＝2R ．
[答案] (1)m v 0qR
(2)2R n v 0
(n ＝1,2,3…) nm v 02
2q (n ＝1,2,3…) (3)2R 【点评】带电粒子在匀强电场中偏转的运动是类平抛运动，解此类题目的关键是将运动分解成两个简单的直线运动，题中沿电场方向的分运动就是“受力周期性变化的加速运动”．
三、带电粒子在有界磁场中(只受洛伦兹力)的运动
1．带电粒子在磁场中的运动大体包含五种常见情境，即：无边界磁场、单边界磁场、双边界磁场、矩形边界磁场、圆形边界磁场．带电粒子在磁场中的运动问题综合性较强，解这类问题往往要用到圆周运动的知识、洛伦兹力，还要牵涉到数学中的平面几何、解析几何等知识．因此，解此类试题，除了运用常规的解题思路(画草图、找“圆心”、定“半径”等)之外，更应侧重于运用数学知识进行分析．
2．带电粒子在有界匀强磁场中运动时，其轨迹为不完整的圆周，解决这类问题的关键有以下三点．
①确定圆周的圆心．若已知入射点、出射点及入射方向、出射方向，可通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两直线的交点即为圆周的圆心；若已知入射点、出射点及入射方向，可通过入射点作入射线的垂线，连接入射点和出射点，作此连线的垂直平分线，两垂线的交点即为圆周的圆心．
②确定圆的半径．一般在圆上作图，由几何关系求出圆的半径．
③求运动时间．找到运动的圆弧所对应的圆心角θ，由公式t ＝θ2π
T 求出运动时间． 3．解析带电粒子穿过圆形区域磁场问题常可用到以下推论：
①沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出．
②同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，若射出方向与
射入方向在同一直径上，则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值且为α＝2arcsin R r ＝2arcsin RBq m v
． ③在圆形区域边缘的某点向各方向以相同速率射出的某种带电粒子，如果粒子的轨迹半径与区域圆的半径相同，则穿过磁场后粒子的射出方向均平行(反之，平行入射的粒子也将汇聚于边缘一点)．
●例3 如图4－11甲所示，空间存在匀强电场和匀强磁场，电场方向为y 轴正方向，磁场方向垂直于xy 平面(纸面)向外，电场和磁场都可以随意加上或撤除，重新加上的电场或磁场与撤除前的一样．一带正电荷的粒子从P (0，h )点以一定的速度平行于x 轴正向入射．这时若只有磁场，粒子将做半径为R 0的圆周运动；若同时存在电场和磁场，粒子恰好做直线运动．现在只加电场，当粒子从P 点运动到x ＝R 0平面(图中虚线所示)时，立即撤除电场同时加上磁场，粒子继续运动，其轨迹与x 轴交于M 点，不计重力，求：
图4－11甲
(1)粒子到达x ＝R 0平面时的速度方向与x 轴的夹角以及粒子到x 轴的距离．
(2)M 点的横坐标x M ．
【解析】(1)粒子做直线运动时，有：qE ＝qB v 0 做圆周运动时，有：qB v 0＝m v 02R 0
只有电场时，粒子做类平抛运动，则有：
qE ＝ma
R 0＝v 0t
v y ＝at
解得：v y ＝v 0
粒子的速度大小为：v ＝v 02＋v y 2＝2v 0
速度方向与x 轴的夹角为：θ＝π4 粒子与x 轴的距离为：H ＝h ＋12at 2＝h ＋R 02． (2)撤去电场加上磁场后，有：qB v ＝m v 2R 解得：R ＝2R 0
此时粒子的运动轨迹如图4－11乙所示．圆心C 位于与速度v 方向垂直的直线上，该
直线与x 轴和y 轴的夹角均为π4
．由几何关系可得C 点的坐标为：
图4－11乙
x C ＝2R 0
y C ＝H －R 0＝h －R 02 过C 点作x 轴的垂线，在△CDM 中，有：l CM ＝R ＝2R 0，l CD ＝y C ＝h －R 02
解得：l DM ＝l CM 2－l CD 2＝74
R 02＋R 0h －h 2 M 点的横坐标为：x M ＝2R 0＋74
R 02＋R 0h －h 2． [答案] (1)π2 h ＋R 02 (2)2R 0＋74
R 02＋R 0h －h 2 【点评】无论带电粒子在匀强电场中的偏转还是在匀强磁场中的偏转，偏转角往往是个较关键的量．
●例4 如图4－12甲所示，质量为m 、电荷量为e 的电子从坐标原点O 处沿xOy 平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v 0．现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy 平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y 轴平行的荧光屏MN 上，求：
图4－12甲
(1)荧光屏上光斑的长度．
(2)所加磁场范围的最小面积．
【解析】(1)如图4－12乙所示，要求光斑的长度，只要找到两个边界点即可．初速度沿x 轴正方向的电子沿弧OA 运动到荧光屏MN 上的P 点；初速度沿y 轴正方向的电子沿弧OC 运动到荧光屏MN 上的Q 点．
图4－12乙
设粒子在磁场中运动的半径为R ，由牛顿第二定律得：
e v 0B ＝m v 02R ，即R ＝m v 0Be
由几何知识可得：PQ ＝R ＝m v 0Be
． (2)取与x 轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E (x ，y )，因其射出后能垂直打到屏MN 上，故有：
x ＝－R sin θ
y ＝R ＋R cos θ
即x 2＋(y －R )2＝R 2
又因为电子沿x 轴正方向射入时，射出的边界点为A 点；沿y 轴正方向射入时，射出的边界点为C 点，故所加最小面积的磁场的边界是以(0，R )为圆心、R 为半径的圆的一部分，如图乙中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为：
S ＝34πR 2＋R 2－14πR 2＝(π2＋1)(m v 0Be
)2． [答案] (1)m v 0Be (2)(π2＋1)(m v 0Be
)2 【点评】带电粒子在匀强磁场中偏转的试题基本上是年年考，大概为了求新求变，在2009年高考中海南物理卷(第16题)、浙江理综卷(第25题)中都出现了应用这一推论的题型．
★同类拓展2 如图4－13甲所示，ABCD 是边长为a 的正方形．质量为m 、电荷量为e 的电子以大小为v 0的初速度沿纸面垂直于BC 边射入正方形区域．在正方形内适当区域中有匀强磁场．电子从BC 边上的任意点入射，都只能从A 点射出磁场．不计重力，求：
图4－13甲
(1)此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小．
(2)此匀强磁场区域的最小面积．
[2009年高考·海南物理卷]
【解析】(1)若要使由C 点入射的电子从A 点射出，则在C 处必须有磁场，设匀强磁场
的磁感应强度的大小为B ，令圆弧
AEC 是自C 点垂直于BC 入射的电子在磁场中的运行轨道，电子所受到的磁场的作用力f ＝e v 0B ，方向应指向圆弧的圆心，因而磁场的方向应垂直
于纸面向外．圆弧
AEC 的圆心在CB 边或其延长线上．依题意，圆心在A 、C 连线的中垂线上，故B 点即为圆心，圆半径为a ．按照牛顿定律有： f ＝m v 02a 联立解得：B ＝m v 0ea
．
(2)由(1)中决定的磁感应强度的方向和大小，可知自C 点垂直于BC 入射的电子在A 点沿DA 方向射出，且自BC 边上其他点垂直于入射的电子的运动轨道只能在BAEC 区域中，因而，圆弧 AEC 是所求的最小磁场区域的一个边界．
为了决定该磁场区域的另一边界，我们来考察射中A 点的电子的速度方向与BA 的延长
线交角为θ(不妨设0≤θ＜π2
)的情形．该电子的运动轨迹QP A 如图4－13乙所示．图中，圆弧 AP 的圆心为O ，PQ 垂直于BC 边，由上式知，圆弧 AP 的半径仍为a ．过P 点作DC 的垂线交DC 于G ，由几何关系可知∠DPG ＝θ，在以D 为原点、DC 为x 轴、DA 为y 轴的坐标系中，P 点的坐标(x ，y )为：
x ＝a sin θ，y ＝a cos θ
图4－13乙 这意味着，在范围0≤θ≤π2
内，P 点形成以D 为圆心、a 为半径的四分之一圆周 AFC ，它是电子做直线运动和圆周运动的分界线，构成所求磁场区域的另一边界．因此，所求的最小匀强磁场区域是分别以B 和D 为圆心、a 为半径的两个四分之一圆周 AEC 和 AFC 所围成的，其面积为：
S ＝2(14πa 2－12a 2)＝π－22
a 2． [答案] (1)m v 0ea 方向垂直于纸面向外 (2)π－22
a 2 四、带电粒子在复合场、组合场中的运动问题
●例5 在地面附近的真空中，存在着竖直向上的匀强电场和垂直电场方向水平向里的匀强磁场，如图4－14甲所示．磁场的磁感应强度B 随时间t 的变化情况如图4－14乙所示．该区域中有一条水平直线MN ，D 是MN 上的一点．在t ＝0时刻，有一个质量为m 、电荷量为＋q 的小球(可看做质点)，从M 点开始沿着水平直线以速度v 0做匀速直线运动，t 0时刻恰好到达N 点．经观测发现，小球在t ＝2t 0至t ＝3t 0时间内的某一时刻，又竖直向下经过直线MN 上的D 点，并且以后小球多次水平向右或竖直向下经过D 点．求：
图4－14
(1)电场强度E 的大小．
(2)小球从M 点开始运动到第二次经过D 点所用的时间．
(3)小球运动的周期，并画出运动轨迹(只画一个周期)．
【解析】(1)小球从M 点运动到N 点时，有：qE ＝mg
解得：E ＝mg q
． (2)小球从M 点到达N 点所用时间t 1＝t 0
小球从N 点经过34
个圆周，到达P 点，所以t 2＝t 0 小球从P 点运动到D 点的位移x ＝R ＝m v 0B 0q 小球从P 点运动到D 点的时间t 3＝R v 0＝m B 0q
所以时间t ＝t 1＋t 2＋t 3＝2t 0＋m B 0q
[或t ＝m qB 0(3π＋1)，t ＝2t 0(13π
＋1)]． (3)小球运动一个周期的轨迹如图4－14丙所示．
图4－14丙
小球的运动周期为：T ＝8t 0(或T ＝12πm qB 0)． [答案] (1)mg q (2)2t 0＋m B 0q
(3)T ＝8t 0 运动轨迹如图4－14丙所示
【点评】带电粒子在复合场或组合场中运动的轨迹形成一闭合的对称图形的试题在高考中屡有出现．
五、常见的、在科学技术中的应用
带电粒子在电场、磁场中的运动规律在科学技术中有广泛的应用，高中物理中常碰到的有：示波器(显像管)、速度选择器、质谱仪、回旋加速器、霍耳效应传感器、电磁流量计等．
●例6 一导体材料的样品的体积为a ×b ×c ，A ′、C 、A 、C ′为其四个侧面，如图4－15所示．已知导体样品中载流子是自由电子，且单位体积中的自由电子数为n ，电阻率为ρ，电子的电荷量为e ，沿x 方向通有电流I ．
图4－15
(1)导体样品A ′、A 两个侧面之间的电压是________，导体样品中自由电子定向移动的速率是________．
(2)将该导体样品放在匀强磁场中，磁场方向沿z 轴正方向，则导体侧面C 的电势________(填“高于”、“低于”或“等于”)侧面C ′的电势．
(3)在(2)中，达到稳定状态时，沿x 方向的电流仍为I ，若测得C 、C ′两侧面的电势差为U ，试计算匀强磁场的磁感应强度B 的大小．
【解析】(1)由题意知，样品的电阻R ＝ρ·c ab
根据欧姆定律：U 0＝I ·R ＝ρcI ab
分析t 时间定向移动通过端面的自由电子，由电流的定义式
I ＝
n ·ab ·v ·t ·e t 可得v ＝I nabe
． (2)由左手定则知，定向移动的自由电子向C ′侧面偏转，故C 侧的电势高于C ′侧面．
(3)达到稳定状态时，自由电子受到电场力与洛伦兹力的作用而平衡，则有：q U b
＝q v B 解得：B ＝neaU I ． [答案] (1)ρcI ab I nabe (2)高于 (3)neaU I
【点评】本例实际上为利用霍耳效应测磁感应强度的方法，而电磁流量计、磁流体发电机的原理及相关问题的解析都与此例相似．
★同类拓展3 如图4－16甲所示，离子源A 产生的初速度为零、带电荷量均为e 、质量不同的正离子被电压为U 0的加速电场加速后匀速通过准直管，垂直射入匀强偏转电场，偏转后通过极板HM 上的小孔S 离开电场，经过一段匀速直线运动，垂直于边界MN 进入磁感应强度为B 的匀强磁场．已知HO ＝d ，HS ＝2d ，∠MNQ ＝90°．(忽略离子所受重力)
图4－16甲
(1)求偏转电场场强E 0的大小以及HM 与MN 的夹角φ．
(2)求质量为m 的离子在磁场中做圆周运动的半径．
(3)若质量为4m 的离子垂直打在NQ 的中点S 1处，质量为16m 的离子打在S 2处．求S 1和S 2之间的距离以及能打在NQ 上的正离子的质量范围．
[2009年高考·重庆理综卷]
【解析】(1)设正离子经电压为U 0的电场加速后速度为v 1，应用动能定理有：
图4－16乙
eU 0＝12
m v 12－0 正离子垂直射入匀强偏转电场，受到的电场力F ＝eE 0
产生的加速度a ＝F m ，即a ＝eE 0m
垂直电场方向做匀速运动，有：2d ＝v 1t
沿电场方向，有：d ＝12
at 2 联立解得：E 0＝U 0d
又tan φ＝v 1at
解得：φ＝45°．
(2)正离子进入磁场时的速度大小为：
v ＝v 12＋v ⊥2＝v 12＋(at )2 正离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有：e v B ＝m v 2
R
联立解得：正离子在磁场中做圆周运动的半径R ＝2mU 0eB 2
． (3)将4m 和16m 代入R ，得R 1＝24mU 0eB 2、R 2＝216mU 0eB 2
图4－16丙
由几何关系可知S 1和S 2之间的距离Δs ＝R 22－(R 2－R 1)2－R 1
联立解得：Δs ＝4(3－1)mU 0eB
2 由R ′2＝(2R 1)2＋(R ′－R 1)2
得：R ′＝52R 1
由1
2
R1 5 2 R1 得：m 正 <25m． [答案] (1)45°(2)2mU0 eB2 (3)m 正 <25m
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