第二章 导数与微分
一、导数的概念 1、导数定义 x
x f x x f x
y x f x x ?-?+=??='→?→?)
()(lim
lim
)(000
00或者0
00)
()(lim
)(0
x x x f x f x f x x --='→
可以进一步理解为)
()
()]([lim
)(00
)(0x x f x x f x f x ???-+='→
)(x ?是Δx 或Δx 的函数，当Δx →0时，)(x ?→0，只要符合以上式子，它的极限值就是函数f(x)在点x0的导数. 如)(2)
()2(lim
0000x f h
x f h x f h '=-+→； )()
()(lim
0000
x f x
x f x x f x '=?--?-→?
2、导数的几何意义
导数就是“斜率”. 顾名思义，“斜率”就是“倾斜的程度”.
函数y=f(x)在x0处的导数f ′(x0)，就是曲线y=f(x)在（x0，y0）处的切线斜率.
3、函数y=f(x)在x0处可导，则它在x0处一定连续，即可导必连续；反之则不成立，即连续不一定可导.
二、求导法则和公式
没什么可说的，就像你记住“行人要走斑马线”、“不要随地吐痰”一样，要把这些公式法则记得滚瓜烂熟、倒背如流. 1、导数的基本公式和法则 幂函数的导数
这个幂函数的导数公式英文名字叫：power rule ，很有气势吧.
式子里的n 可以是任何数字，既可以是正数，也可以是负数，还可以是分数，甚至可以是π跟2之类的无理数. 例如：
2
3
3)(x x dx d =； 1)(1
=x dx d （这是一个特例）；
3
22)(---=x
x
dx
d ；
22111)()1(x x x dx d x dx d
-=-==--； 2
121
2
1)()(-==
x x dx
d x dx
d ； 1
)(-=ππ
πx
x d x
d
乘积的导数
两个函数的乘积的导数，等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第二个函数的导数乘上第一个函数.
假设f(x)=g(x)=x x x x x x x x x x dx
d 2))(()()())((=+='+'=
符合前面幂函数的导数公式. 商的导数 我们还想求
g
f 这样的分式的导数，其中f 和
g 是两个函数.
这个公式不大容易记住，不过是减号，牢
记在上面的函数优先求导，分子由一个函数增加到4个，变沉了，那么分母需要增加一个
g ，才能抗得住，因此是g 的平方. 三角函数的导数
这两个公式必须牢记，都可以从这两个基本公式推导出来.
对于这两个公式，你可能不容易记住哪一个的前面有负号.我的建议是，你只要记住“正弦函数求导后还是正
的”，那么意味着余弦函数求导后就要变号了.
我们在用导数定义来证明上面这两个导数公式时，需要用到下面的重要极限公式：
例如
x
x x
x
x x
x
x x x x x x x x x
x dx d x dx
d
2
2
2
2
2
2
2
sec
cos
1cos sin
cos
cos
sin sin cos cos )(cos )(cos sin cos )(sin )cos sin ()(tan ==
+=+=
'
-'
==
因为这个正切函数的导数经常出现，所以值得把它背下来：
正如余弦函数的导数出现了负号，其他两个以“余”开头的三角函数，也就是余割及余切，求导后也要加负号.
2、复合函数的链式求导法
链式法则的目的是让我们可以对那些由几个函数复合而成的函数进行求导.要掌握这个规则，你首先需要知道两点：一个是如何求导，另一个则是得知道如何把函数合成在一起.
链式法则：
我们来举个例子：
4)(,sin )(2
+==x x g x
x f
于是，)4sin()]([2+=x x g f 现在我们要求这个函数的导数： x
x g x x g x g f x
x f 2)()4cos()](cos[)]([cos )(2
='+=='='
所以
)]([x g f dx
d 就等于上面最后两项的乘积：
x x x g f dx
d 2)]4[cos()]([2
?+=
后面的尾巴“2x ”是初学者经常忘了写的. 再看一个例子：
25
3
)
1(++x x dx
d .
这里，1)()(3
25++==x x x g x x f ；
于是
1
3)()1(25)]([25)(2
24
324
+='++='='x x g x x x g f x
x f
所以，
)13()
1(25)]([2
24
3+++=x x x x g f dx
d
复合函数的导数，归根结底，它的真正难处是“分解”——找出函数的组成分子. 例题：3
)][cos(
)(x x x k -=，求)(x k '.
题目所给函数是由几个小零件凑起来的：先是x x -取余弦，然后整团东西再取三次
方，所以我们可以令：3
)(,cos )(,)(x x h x
x g x
x x f ==-=
所以))](([)(x f g h x k =
那么，)())(())](([)))(())]((([}))](([{)(x f x f g x f g h x f g x f g h x f g h x k '''=''='=' 怎么才能知道没有拉下尾巴呢？答案很简单，如果你看到还有“′”这个微分符号紧跟
在括号后面，就表示还有待努力；一旦“′”全都紧跟在英文字母后头，也就是函数符号后头，就像)(x f '这样，就表示你已完成工作.
我们把上面的题目各项分别计算出来：
2
2
)]
[cos(
3))](([)
cos(
))(()sin())((3)(sin )(1
21)(x x x f g h x x x f g x x x f g x
x h x x g x
x f -='-=--='='-='-=
'
最后，)121)](
sin(
[)][cos(3)(2
----='x
x x x x x k
三、高阶导数
只要求二阶导数，对一阶导函数再进行一次求导数，理解即可. 四、微分
函数y=f(x)在x 可微与可导是等价的，可导即可微，可微即可导，且dy= f ′(x)dx ，给出一个函数，会给出微分表达式.
求微分时，可以先求导数，即f ′(x)=dy/dx ，再乘以dx 即可得到微分表达式dy= f ′(x)dx. 微分形式不变性：无论u 是自变量还是中间变量，总有dy= f ′(u)du. 五、导数的应用 函数单调性
如果已知某函数的导数在某处是个正数（用数学行话来说，即指在某个定值x ，f ′ (x)>0），就表示通过该点的切线斜率为正，或函数图像在该点的斜率为正，也就是该函数正在递增. 反过来说，如果导数在某处为负值，则表示该函数在递减.
从几何意义上讲，导数是函数图形上的切线的斜率，即为函数改变量y 与自变量改变量x 之比的极限（当x →0时）
，当导数为正时，说明y 与x 的符号相同，即如果x 增加，函数y 也增加，如果x 减少，函数y 也减少，所以曲线是上升的.
同理，当导数为负时，说明曲线是下降的. 极值
要是函数在某个x 值的导数既非正也非负，而是等于0呢？这表示该函数既不递增，也不递减，犹如停停留在一个平台上. 如果看看x 的两侧之后，你会发现小可能是位于高点（如下图的x1），也可能位于低点（如下图x3），或者位于一个休息站或转折点（如下图的x2）.
无论如何，经过该点的切线一定是水平的. 我们把导数等于0的那个点的x坐标，叫做“驻点”.
我们把高点叫做函数的极大值，称低点为该函数的极小值.
如上图中，函数f(x)在点x1和x4有极大值f(x1)和f(x4)，在点x3和x5有极小值f(x3)和f(x5).
第一步：确定函数的定义域；
第二步：求出函数y=f(x)的一阶导数；
第三步：求出f(x)的所有驻点和一阶导数不存在的点x1，x2…，x k；
第四步：用这k个点将f(x)的定义域分成k+1个部分区间，考察各点的左边区间和右边区间内的导数符号：
如果的符号由正变到负，则该点为极大值点（如下图）；
如果的符号由负变到正，则该点为极小值点（如下图）；
如果的符号由正变到正，或由负变到负，则该点不是极值点（如下面两图）；
第五步：求出极值.
用二阶导数检测极值
前面我们用的是一阶导数来找出函数的极值，还有一个更快捷的办法，可以很快得知某个点是极大还是极小.
如果函数在x=a有f ′ (a)=0，且函数在该点有二阶导数，则
1、若f″(a)>0，则函数在x=a取极小值；
2、若f″(a)<0，则函数在x=a取极大值.
关键是怎么才能不搞混？很简单，只要记住上面的两个面具就行了！左边的哭脸眼睛是两个减号，代表f″(x)<0，二阶导数为负，减当然要哭了，下弯的嘴就表示是极大值了，同理，右边的眼睛是两个加号，代表二阶导数为正，上弯的嘴形就代表极小值.
还有一种情况，就是f″(a)=0，二阶导数判别法就无能为力了，这时我们就必须回到以前的
老方法去了，用一阶导数判别法判别了.
凹凸性
我们平时赞美一个女性身材好，常见的形容词就是“凹凸有致”了，可是函数的图像同样也有凹凸性，这你知道吗？
那么我们怎么判断呢？这就是二阶导数f″(x)的工作和用途了. 二阶导数f″(x)是曲线切线斜率的变化率. 如果f″(x)是个正值，切线的斜率递增，也就表示函数图形的开口向上.
当f″(x)是负值，表示斜率正在递减，那么函数图形的开口向下.
我们同样可以利用上面的两个面具来记忆.
拐点
曲线从开口向上变成开口向下，或从开口向下变成开口向上的点，我们叫做拐点.
第二章 导数与微分 【内容提要】 1．导数的概念 设函数y ＝f (x )在x 0的某邻域（x 0－δ，x 0 + δ）（δ＞0）内有定义，当自变量x 在点x 0处有改变量Δx 时，相应地，函数有改变量00()()y f x x f x ?=+?-．若0→?x 时，极限x y x ??→?0lim 存在，则称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，称此极限值为f(x)在点x 0 处的导数， 记为 )(0x f '或)(0x y '或0|x x y ='或 0|d d x x x y =或0|d d x x x f = +→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??+ →?0 lim 称f(x)在x 0处的右导数，记为)(0x f +'。 -→?0x 时，改变量比值的极限x y x ??- →?0 lim 称f(x)在x 0处的左导数，记为)(0x f -'。 2．导数的意义 导数的几何意义：)(0x f '是曲线y ＝f (x )在点(x 0，y 0)处切线的斜率，导数的几何意义给我们提供了直观的几何背景，是微分学的几何应用的基础。 导数的物理意义：路程对时间的导数)(0t s '是瞬时速度v (t 0) 。以此类推，速度对时间的导数)(0t v '是瞬时加速度a (t 0)。 3．可导与连续的关系 定理 若函数)(x f y =在点x 0处可导，则函数在点x 0处一定连续。 此定理的逆命题不成立，即连续未必可导。 4．导数的运算 定理1（代数和求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u '±'='±)( 定理2（积的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，则 v u v u uv '+'=')( 定理3（商的求导法则）若u (x )和v (x )都在点x 处可导，且v (x )≠0，则 2v v u v u v u ' -'= ' ?? ? ??
第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =
第二章 导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 §2. 1 导数概念 一、引例 1．直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动, 时刻t 质点的坐标为s , s 是t 的函数: s =f (t ), 求动点在时刻t 0的速度. 考虑比值 000) ()(t t t f t f t t s s --=--, 这个比值可认为是动点在时间间隔t -t 0内的平均速度. 如果时间间隔选较短, 这个比值在实践 中也可用来说明动点在时刻t 0的速度. 但这样做是不精确的, 更确地应当这样: 令t -t 0→0, 取
比值 0) ()(t t t f t f --的极限, 如果这个极限存在, 设为v , 即 0) ()(lim t t t f t f v t t --=→, 这时就把这个极限值v 称为动点在时刻t 0的速度. 2．切线问题 设有曲线C 及C 上的一点M , 在点M 外另取C 上一点N , 作割线MN . 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, 如果割线ＭＮ绕点Ｍ旋转而趋于极限位置MT , 直线ＭＴ就称为曲线Ｃ有点Ｍ处的切线. 设曲线C 就是函数y =f (x )的图形. 现在要确定曲线在点M (x 0, y 0)(y 0=f (x 0))处的切线, 只要定出切线的斜率就行了. 为此, 在点M 外另取C 上一点N (x , y ), 于是割线MN 的斜率为 0 000) ()(tan x x x f x f x x y y --= --= ?, 其中?为割线MN 的倾角. 当点N 沿曲线C 趋于点M 时, x →x 0. 如果当x → 0时, 上式的极限存 在, 设为k , 即 00) ()(lim 0x x x f x f k x x --=→ 存在, 则此极限k 是割线斜率的极限, 也就是切线的斜率. 这里k =tan α, 其中α是切线MT 的 倾角. 于是, 通过点M (x 0, f (x 0))且以k 为斜率的直线MT 便是曲线C 在点M 处的切线. 二、导数的定义 1. 函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出, 非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如下的极限: 00) ()(lim 0x x x f x f x x --→. 令?x =x -x 0, 则?y =f (x 0+?x )-f (x 0)= f (x )-f (x 0), x →x 0相当于?x →0, 于是0 0) ()(lim 0 x x x f x f x x --→ 成为 x y x ??→?0lim 或x x f x x f x ?-?+→?)()(lim 000. 定义 设函数y =f (x )在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量?x (点x 0+?x 仍在该邻域内)时, 相应地函数y 取得增量?y =f (x 0+?x )-f (x 0); 如果?y 与?x 之比当?x →0时的极限存在, 则称函数y =f (x )在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y =f (x )在点x 0处的导数, 记为0|x x y =', 即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000,
高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0 '00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠
（5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11）2 1(arcsin )'1x x = - （12）2 1(arccos )'1x x =- - （13）21(arctan )'1x x = + （14）2 1 (arccot )'1x x =-+ （15222 2 1[ln()]'x x a x a + += + 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 '' ()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数2 1 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11 '()'()'(()) g y f x f g y = =. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法' ''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数 4．高阶导数
第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .
高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)
x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义
10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导
第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；
arccos求导 1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是： 2、导数的多种变式定义： 要注意细心观察发现，是描述趋近任意x时的斜率。而可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率----导数。 4、可导与连续的关系： 导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意中的到底是神马。比如求上图中,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！ 由此也可以知道，这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。
5、反函数的导数与原函数的关系： 有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。 注意，求反函数时候不要换元。因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。结果显然是错误的。举例子： 求的导数。显然反函数（不要换元）是。反函数的导数是。反函数导数的倒数是，因此， 再如，求的导数。 解：令函数为，则其反函数为，导数的倒数为。但是必须消去。因此变形得 (注意到在定义域内cosy恒为正，因此舍掉负解) 6、复合函数求导法则： 只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。 7、高阶导数： 如果f(x)在点x处具有n阶导数，那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数。 ; ;其余的也记不住，自己慢慢推导。 ; 二项式定理中有：；类似的，乘法的n阶导数也有： 。这个是要熟练记忆的。 8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率 建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用形式求解。只有这样才能准确，安全，方便。 举例：求（隐函数f(x,y)=0）中y对x的导数 解：两边求导，，解完以后发现效果还不错。如果直接用什么y’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx方法求解。
1基础总结 1、极限的实质是：动而不达 导数的实质是：一个有规律商的极限。规律就是：0lim x y x ?→?? 2、导数的多种变式定义： 00000()()()() lim =lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ?→?→→-?+?-=??- 要注意细心观察发现，0 ()() lim x f x x f x x ?→+?-?是描述趋近任意x 时的斜率。而 00 ()() lim x x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。 3、 若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。 4、可导与连续的关系：
导数的实质是定义在某点的左右极限。既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。因此，可导一定是连续的。反之，如果连续，不一定可导。不多说。同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。 同理要注意左右导数的问题。如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。如： (),0f x x x =< 这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。为什么嫩？看定义： 0()()()(0) lim lim x x f x x f x f x x f x x ?→?→+?-+?-=??。定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！ 由此引发了一些容易误判的血案： 例如： 定义解决时候一定要注意0 00 ()() lim x x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。比如求上图 中01 ()() lim x f x f x x x + →-- ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！
学科：数学 教学内容：导数与微分单元达纲检测 【知识结构】 【内容提要】 1．本章主要内容是导数与微分的概念，求导数与求微分的方法，以及导数的应用． 2．导数的概念． 函数y=f(x)的导数f ′(x)，就是当△x →0时，函数的增量△y 与自变量△x 的比x y ??的极限，即 x x f x x f x y x f x x ?-?+=??=→?→?) ()(lim lim )('00 函数y=f(x)在点0x 处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点))(,(00x f x P 处的切线的斜率． 3．函数的微分
函数y=f(x)的微分，即dy=f ′(x)dx ． 微分和导数的关系：微分是由导数来定义的，导数也可用函数的微分与自变量的微分的商来表示，即dx dy x f = )('． 函数值的增量△y 也可以用y 的微分近似表示，即△y ≈dy 或△y ≈f ′(x)dx 。 4．求导数的方法 (1)常用的导数公式 c ′=0(c 为常数)； )()'(1 Q m mx x m m ∈=-； (sinx)′=cosx ； (cosx)′=－sinx ； x x e e =)'(， a a a x x ln )'(=； x x 1)'(ln = ， e x a x a log 1)'(log =。 (2)两个函数四则运算的导数： (u ±v)′=u ′±v ′； (uv)′=u ′v+uv ′ )0(' ''2 ≠-= ?? ? ??v v uv v u v u 。 (3)复合函数的导数 设y=f(u)，)(x u ?=， 则)(')(''''x u f u y y x u x ??=?=． 5．导数的应用
第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。
8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '
4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''
第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=
法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;
第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y
第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度
★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不
高数第二章导数与微分知识点总结 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x - --?→→+?--==?-. 0'00000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x + ++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001 ()()'() y f x x x f x -=- -. 2．基本公式 （1）'0C = （2）' 1 ()a a x ax -= （3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1 (log )'(0,1)ln a x a a x a = >≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =-
考研数学高数第二章导数与微分的知识点总结 导数与微分是考研数学的基础，占据至关重要的地位。基本概念、基本公式一定要掌握牢固，常规方法和做题思路要非常熟练。下面文都考研数学老师给出该章的知识点总结，供广大考生参考。 第一节 导数 1．基本概念 （1）定义 0000000000 ()()()()()|(|)'()lim lim lim x x x x x x x f x x f x f x f x dy df x y f x dx dx x x x x ==?→?→→+?--?====??-或 注：可导必连续，连续不一定可导. 注:分段函数分界点处的导数一定要用导数的定义求. （2）左、右导数 0'000000 ()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x ---?→→+?--==?-. 0'00000 0()()()()()lim lim x x x f x x f x f x f x f x x x x +++?→→+?--==?-. 0'()f x 存在''00()()f x f x -+?=. （3）导数的几何应用 曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程：000()'()()y f x f x x x -=-. 法线方程：0001()()'() y f x x x f x -=--. 2．基本公式 （1）'0C = （2）'1()a a x ax -=
（3）()'ln x x a a a =（特例()'x x e e =）（4）1(log )'(0,1)ln a x a a x a =>≠ （5）(sin )'cos x x = （6）(cos )'sin x x =- （7）2(tan )'sec x x = （8）2 (cot )'csc x x =- （9）(sec )'sec tan x x x = （10）(csc )'csc cot x x x =- （11 ）(arcsin )'x =（12 ）(arccos )'x = （13）21(arctan )'1x x =+ （14）21(arccot )'1x x =-+ （ 15[ln(x += 3．函数的求导法则 （1）四则运算的求导法则 ()'''u v u v ±=± ()'''uv u v uv =+ 2 ''()'u u v uv v v -= （2）复合函数求导法则--链式法则 设(),()y f u u x ?==，则(())y f x ?=的导数为：[(())]''(())'()f x f x x ???=. 例5 求函数21 sin x y e =的导数. （3）反函数的求导法则 设()y f x =的反函数为()x g y =，两者均可导，且'()0f x ≠，则 11'()'()'(()) g y f x f g y ==. （4）隐函数求导 设函数()y f x =由方程(,)0F x y =所确定，求'y 的方法有两种：直接求导法和公式法'''x y F y F =-. （5）对数求导法：适用于若干因子连乘及幂指函数
第二章 导数与微分 2.1导数的概念 01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ） （A ）01lim (1cosh)h f h →-存在 （B ）01 lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01 lim [(2)()]h f h f h h →-存在 03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= (A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0. (C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3 x x x f ?-=，其中)(x ?在x =1处连续，则0)1(=?是f (x )在x =1处可 导的 [ A ] (A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ] (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )= x 1 ，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22 lim 1n f h h →=,则 （ C ） (A )()()' 000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在 (C)()()' 000f f +=且存在 (D)()()' 010f f +=且存在 07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =） (A ) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在