函数项级数的一致收敛性及其应用之令狐文艳创作

函数项级数的一致收敛性及其应用

令狐文艳

摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用.

关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数

Uniformly Convergence Series of Functions and Application

Abstract:With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidlywith the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into

being.Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions.

Key words:series of functions; uniformly convergence;series of powers

目录

1 引言……………………………………………………………………

(1)

2 函数项级数的相关概念介绍……………………………………………………………………

(2)

2.1 函数列及其一致收敛性……………………………………………………………………

…2

2.2 函数项级数及其一致收敛性 (3)

2.3 一致收敛函数项级数的性质 (4)

3 函数项级数的一致收敛性判别法……………………………………………………………………

5

3.1 一般判别法……………………………………………………………………

(5)

3.2 魏尔斯特拉斯判别法……………………………………………………………………

(7)

3.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别

法 (7)

3.3.1 阿贝尔判别法……………………………………………………………………

(8)

3.3.2 狄利克雷判别法……………………………………………………………………

8

3.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别

法 (10)

3.4.1 比式判别法……………………………………………………………………

(10)

3.4.2 根式判别法……………………………………………………………………

(11)

3.4.3 对数判别法……………………………………………………………………

(12)

3.5 Dini判别法……………………………………………………………………

(13)

4 幂级数的应用……………………………………………………………………

(14)

4.1 幂级数的定义……………………………………………………………………

(14)

4.2 幂级数的应用……………………………………………………………………

(14)

4.2.1 幂级数在近似计算中的应

用 (14)

4.2.2 幂级数在计算积分中的应

用 (15)

4.2.3 幂级数在求极限中的应

用 (15)

4.2.4 幂级数在数列求和中的应

用 (16)

4.2.5 幂级数在欧拉公式推导中的应

用 (16)

4.2.6 幂级数在求导中的应

用 (17)

4.2.7 幂级数在概率组合中的应

用 (17)

4.2.8 幂级数在证明不等式中的应

用 (18)

4.2.9 用幂级数形式表示某些非初等函

数 (18)

5 总结 (19)

致谢 (20)

参考文

献 (21)

1 引言

随着科学技术的发展，人们对自然界的认识逐步深化，发现许多自然现象和工程技术运用初等函数已经满足不了人们的需要，因此要求人们去构造新的函数.自19世纪柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对其深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.首先函数项级数为函数的构造开辟了一个新天地，例如，1872年魏尔斯特拉斯利用函数项级数给出了一个处处连续但处处不可导的函数的例子.其次，函数项级数理论提供了研究函数的一个基本方法，特别是利用级数的理论进行函数的Taylor 展开和Fourier 展开.实际上，函数项级数的一致收敛性理论对近代各种函数逼近理论以及无穷维空间中元素按基底的展开理论都产生了重大的影响(朱正佑,2001)[1]

.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数的一致收敛的相关概念、对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，并且以一类最简单的函数项级数——幂级数为例，对其在计算方面的应用进行举例说明.

2 函数项级数的相关概念介绍

2.1 函数列及其一致收敛性

定义1设

??,,,21n f f f ，

是一列定义在同一数集E 上的函数，称为定义在E 上的函数列，也可简单的写作：

}{n f 或n f ， ,2,1=n .

设E x ∈0，以0x 代入}{n f 可得数列

??),(),(),(00201x f x f x f n ，

若数列)}({0x f n 收敛，则称函数列}{n f 在点0x 收敛，0x 称为函数列}{n f 的收敛点.若数列)}({0x f n 发散，则称函数列}{n f 在点0x 发散.若函数列}{n f 在数集E D ?上每一点都收敛，则称}{n f 在数集D 上收敛.这时D 上每一点x ，都有数列)}({x f n 的一个极限值与之相对应，由这个对应法则所确定的D 上的函数，称为函数列}{n f 的极限函数.若极限函数记作f ，则有

)()(lim x f x f n n =∞

→，D x ∈

或 )()(x f x f n →)(∞→n ，D x ∈. 使函数列}{n f 收敛的全体收敛点集合，称为函数列}{n f 的收敛域.

定义 2 设函数列}{n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有

ε<-)()(x f x f n ，

则称函数列}{n f 在D 上一致收敛于f ，记作

)()(x f x f n ?)(∞→n , D x ∈.

注：本文用“?”表示一致收敛.

由定义看到，如果函数列}{n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的)(εN （即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关），只要

N n >，都有

ε<-)()(x f x f n .

由此可以看到函数列}{n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的函数列}{n f ，在D 上不一定一致收敛.

2.2 函数项级数及其一致收敛性

定义3 设{)(x u n }是定义在数集E 上的一个函数列， 表达式

)

(1x u +

)

(2x u +…+

)

(x u n +…，

E x ∈

（1）

称为定义在E 上的函数项级数，简记为

∑∞

=1)(n n

x u

或)(x u n ∑。称

∑==n

k k n x u x S 1

)()(，E x ∈， ,2,1=n

为函数项级数的部分和函数列。

若E x ∈0，数项级数

++++)()()(00201x u x u x u n （2）

收敛，即部分和∑==

n

k k

n x u

x S 1

00)()(当∞→n 时极限存在，则称级数（1）在点0x 收

敛，0x 称为级数（1）的收敛点．若级数（2）发散，则称级数（1）在点0x 发散.若级数（1）在E 的某个子集D 上每点都收敛，则称级数（1）在D 上收敛．若D 为级数（1）全体收敛点的集合，这时则称D 为级数（1）的收敛域．级数（1）在D 上每一点x 与其所对应的数项级数（2）的和)(x S 构成一个定义在D 上的函数，称为级数（1）的和函数，并写作

)()()()(21x S x u x u x u n =++++ ，D x ∈,

即

)()(lim x S x S n n =∞

→，D x ∈．

也就是说，函数项级数（1）的收敛性就是指它的部分和函数列的收敛性．

定义4 设{)(x S n }是函数项级数

)(x u

n

∑的部分和函数列．若{)(x S n }在数集D 上

一致收敛于函数)(x S ,则称函数项级数

)(x u

n

∑在D 上一致收敛于函数)(x S ，或称

)(x u

n

∑在D 上一致收敛(华东师范大学数学系，2001)[2].

2.3 一致收敛函数项级数的性质

定理 1 （连续性）若函数项级数)(x u

n

∑在区间[]b a ,上一致收敛，且每一项都连

续，则其和函数在[]b a ,上也连续.

它指出：（无限项）求和运算与求极限运算可以交换顺序，即

))((lim ))(lim (0

x u x u

n x x n

x x ∑∑→→=.

定理 2 (逐项求积)若函数项级数)(x u

n

∑在[]b a ,上一致收敛，且每一项)(x u n 都

连续，则

dx x u

dx x u b a

n

b a

n ?

∑∑?

=)()(.

此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与求积分运算可以交换顺

序.

)(x u

∑[]b a ,

[,]x a b ∈为)(x u n ∑的收敛点，且)(x u n '

∑在[]b a ,上一致收敛，则

))(())((

∑∑=x u dx

d

x u dx d n n . 此定理指出，函数项级数在一致收敛的情况下，求和运算与微分运算可以交换顺序(陶桂秀，2005)[3]

.

3 函数项级数的一致收敛性判别法

3.1 一般方法

判别函数项级数一致收敛既是数学分析中的一个重点,又是一个难点.一般的情况下,证明一致收敛会利用一致收敛的定义，即定义4来证明.

定义4的条件太强，函数项级数固定一点D x ∈,)(x u

n

∑实际上是一个特殊数列.

受此启发,利用数列的性质得到以下定理：

定理4 （一致收敛的柯西准则）函数项级数

)(x u

n

∑在数集D 上一致收敛的充要

条件为：对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈和一切正整数p ，都有

ε<-+)()(x S x S n p n

或 ε<++++++)()()(21x u x u x u p n n n .

此定理中当1=p 时，得到函数项级数一致收敛的必要条件. 推论 函数项级数)(x u

n

∑在数集D 上一致收敛的必要条件为：函数列{})(x u n 在D

上一致收敛于零.

设函数项级数在D 上的和函数为)(x S ，称

)()()(x S x S x r n n -=

为函数项级数

)(x u

n

∑的余项.

定理5 函数项级数

)(x u

n

∑在数集D 上一致收敛于)(x S 的充要条件是：

0)()(sup lim )(sup lim =-=∈∞→∈∞→x S x S x r n D

x n n D

x n .

证明必要性 因为

∑)(x u

n

在区间D 上一致收敛,所以0>?ε，0N ?>，使得当

N n >时，对一切D x ∈,都有)()(x S x S n -ε<，即)(x r n ε<，所以

ε≤∈)(sup x r n D

x ，所以0)(sup lim =∈∞→x r n D

x n .

充分性 设

∑)(x u

n

在D 上不一致收敛,即00>?ε，

00,N n N ?>?>,D x ∈?0，使得

000)()(0ε≥-x S x S n ，即0)(sup 0ε≥∈x r n D

x ，所以0)(sup lim ≠∈∞→x r n D

x n .与已知矛盾(李岚，

2003)[4]

.

例1 若)(x f n 在[]b a ,上可积， ,2,1=n 且)(x f 与)(x g 在[]b a ,上都可积，

0)()(lim 2

=-?∞

→dx x f x f b

a

n n ，设?=x a dt t g t f x h )()()(，?=x

a

n n dt t g t f x h )()()(，则在

[]b a ,上)(x h n 一致收敛于)(x h .

证明

?

?

?-=

-=

-x a

n x a

x

a

n n dt

t g t f t f dt t g t f dt t g t f x h x h )())()(()()()()()()(2

12

2

12

)

)(())()(()()()(dt t g dt t f t f dt t g t f t f x

a

x

a

n x a

n ???-≤-≤0))(())()((2

12

2

12

→-≤??b

a

n b

a

dt t g dt t f t f (n →∞)，

所以利用定理1,当n →∞时，)(x h n 一致收敛于)(x h .

例 2 设0)(≥x u n ，在[]b a ,上连续， ,2,1=n ，又∑∞

=1

)(n n

x u

在[]b a ,收敛于连续

函数)(x f ，

则

∑∞

=1

)(n n

x u

在[]b a ,一致收敛于)(x f .

证明 已知)()()(x S x f x r n n -=（其中∑∞

==

1

)(k k n x u S ）是单调递减且趋于

0，所以

N

n ∈?，

[]

b a x ,∈?有

)(≥x r n ，且

[]

b a x ,0∈?，

>?ε，

,0),(0>?εx N ),(0εx N n ≥时，有ε<≤)(00x r n .将n 固定，令

),(00εx N N n ==，因为)()()(x S x f x r n n -=在[]b a ,上连续,既然ε<)(x r n ，所以

00>?σ，当),(0000σσ+-∈x x x 时ε<)(x r n .从而0N n >时更有ε<)(x r n 即ε<)(x r n 仅当),(0000σσ+-∈x x x .

如上所述,对每个点[]b a x ,∈λ，可找到相应的邻域),(λλλλσσ+-x x 及相应的

λN ,使得

λN n >时，对),(λλλλσσ+-∈x x x 恒有ε<)(x r n .

如此[]{}b a x x x ,:),(∈+-λλλλλσσ构成[]b a ,的一个开覆盖,从而必存在有限子覆盖.不妨记为

{}),(,),,(1111r r r r x x x x σσσσ+-+- ，于是[]b a x ,∈?，总

{}r i ,,2,1 ∈?，使得当),(i i i i x x x σσ+-∈时，取{}r N N N N ,,,m ax 21 =，那么当

N n >时，恒有ε<)(x r n .

由定理2得，

1

()n n u x ∞

=∑在[]b a ,一致收敛于)(x f .

3.2 魏尔斯特拉斯判别法

判别函数项级数的一致收敛性除了定义及定理4外，有些级数还可以根据级数各项的特性来判别.

定理6(魏尔斯特拉斯判别法)设函数项级数)(x u

n

∑定义在数集D 上，∑n M 为收

敛的正项级数，若对一切D x ∈，有

n n M x u ≤)(， ,2,1=n ， （3）

则函数项级数

)(x u

n

∑在D 上一致收敛.

证明由假设正项级数

∑n

M

收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数ε，存在某

正整数N ，使得当N n >及任何正整数p ，有

ε<+=++++++p n n p n n M M M M 11.

又由（3）式对一切D x ∈有

)()()()(11x u x u x u x u p n n p n n ++++++≤++

ε<++≤++p n n M M 1.

根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数)(x u

n

∑在D 上一致收敛.

例3 判断函数项级数

∑2sin n nx

在),(+∞-∞上的一致收敛性.

证明 因为对一切),(+∞-∞∈x 有

221

sin n n nx ≤∑，

而正项级数

2

1n 是收敛的，所以根据魏尔斯特拉斯判别法知，函数项级数∑2sin n nx

在),(+∞-∞上是一致收敛的.

定理6也称为M 判别法或优级数判别法.当级数

)(x u

n

∑与级数∑n M 在区间

],[b a 上成立关系式（3）时，则称级数∑n M 在],[b a 上优于级数)(x u n ∑，或称

∑n

M

为

)(x u

n

∑的优级数.

3.3 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法

下面讨论定义在区间I 上形如

++++=∑)()()()()()()()(2211x v x u x v x u x v x u x v x u

n n n n

（4）

的函数项级数的一致收敛判别法，它与数项级数一样，也是基于阿贝尔分部求和公式. 3.3.1 阿贝尔判别法

定理7（阿贝尔判别法）设 （ⅰ）

)(x u

n

∑在区间I 上一致收敛；

（ⅱ）对于每一个I x ∈,{})(x v n 是单调的；

（ⅲ）{})(x v n 在I 上一致有界，即对一切I x ∈和正整数n ,存在正数M ，使得

M x v n ≤)(.

则形如

)()(x v x u

n n

∑的级数在I 上一致收敛.

证明 由（ⅰ），任给0>ε，存在某正整数N ，使得当N n >及任何正整数p ，对一切I x ∈，有

ε<++++)()(1x u x u p n n

又由（ⅰ），（ⅱ）及阿贝尔引理得到

)()()()(11x v x u x v x u p n n p n n ++++++ εεM x v x v p n n 3))(2)((1≤+≤++.

于是根据函数项级数一致收敛性的柯西准则就得到本定理的结论.

例4 判断函数项级数∑+-x n n cos )1(，]2,2[π

π-∈x 的一致收敛性.

证明 记 n

x a n

n )1()(-=，n

x x b n cos 11

)(+

=

, 因为

)(x a n ∑是收敛的数项级数，从而在]2

,2[π

π-

上一致收敛. 又因为每个]2,2[π

π-

∈x ，{})(x b n 单调，且{})(x b n 在]2

,2[π

π-上一致有界，于是由阿贝尔判别法易知级数（4）在]2

,2[π

π-上一致收敛(刘庆生，2009；翟永恒，2009；

刘桂仙，2009)[5]

.

3.3.2 狄利克雷判别法 定理8（狄利克雷判别法）设 （ⅰ）

)(x u

n

∑的部分和函数列

∑==n

k k n x u x U 1

)()(，（n=1，2，…）

在I 上一致有界；

（ⅱ）对于每一个I x ∈，{})(x v n 是单调的； （ⅲ）在I 上)(,0)(∞→?n x v n ， 则形如

)()(x v x u

n n

∑的级数在I 上一致收敛.

证明 由（ⅰ），存在正数M ，对一切I x ∈，有M x U n ≤)(.因此当p n ,为任何正整数时，

M x U x U x u x u n P n p n n 2)()()()(1≤-=+++++ .

对任何一个I x ∈，再由（ⅱ）及阿贝尔引理，得到

)()()()(11x v x u x v x u p n p n n n ++++++

))(2)((21x v x v M p n n +++≤.

再由（ⅲ），对任给的0>ε，存在正数N ，当N n >时，对一切I x ∈，有

ε<)(x v n ，

所以，

εεεM M x v x u x v x u p n p n n n 6)2(2)()()()(11=+<++++++ .

于是由一致收敛性的柯西准则，级数（4）在I 上一致收敛. 例5 函数项级数

∑++-1

)()1(n n

n n n x 在]1,0[上一致收敛.

证明 因为记n x u n n )1()(-=，n

n n x x v ???

??+=1)(时，)(x u n 一致收敛,)(x v n 单调且

并且一致有界，所以由阿贝尔判别法得函数项级数∑++-1

)()1(n n

n n

n x 在]1,0[上一致收敛. 例6 若数列{}n a 单调且收敛于零，则级数

∑nx a

n

cos

在]2,[απα-)0(πα<<上一致收敛.

证明 由2

sin

2)21

sin(cos 211

x x

n kx n k +=

+∑=，在]2,[απα-上有 212sin 21212

sin

21212sin 2)21

sin(cos 1

+≤+≤-+=∑=αx x x n kx n

k ， 所以，级数

∑nx cos 的部分和函数列在]2,[απα-上一致有界，于是令

n n n a x v nx x u ==)(,cos )(，

则由狄利克雷判别法可得级数∑nx a

n

cos 在]2,[απα-)0(πα<<上一致收敛.

∑nx a

cos {}a

),2,1,0(2 ±±=k k π的任何闭区间上都一致收敛.

3.4 类似数项级数判别法的函数项级数一致收敛判别法

函数项级数作为数项级数的推广,在研究内容上同数项级数有许多极其相似的地方,比如它们的收敛性、和的问题,但函数项级数还有一点不同于数项级数,就是它的一致收敛性，对比数项级数的收敛性和函数项级数的一致收敛性判别法,不难发现,它们在判断方法上极其相似,特别是在它们判别法的名称上,比如它们都有Cauchy 判别法、Abel 判别法、Dirichlete 判别法等.对于函数项级数的一致收敛性,有没有类似于数项级数收敛性判别的方法,是一个值得研究的课题.有鉴于此,结合数项级数的比式判别法和根式判别法,可以得到函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法,同时利用p 级数的收敛性和优级数判别法还可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法(毛一波，2006)[6]

. 3.4.1 比式判别法

定理9 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,记)

()

()(1x u x u x q n n n +=

，存在正整数

N 及实数q 、M ,使得:1)(<≤q x q n ,M x u N ≤)(,对任意的N n >,D x ∈成立,则函

数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

在D 上一致收敛.

证明 易见

M

q x u x q x q x q x u x u x u x u x u x u x u x u N n N N n n N N N n n n n n ---+---≤??=??=

)()()()()()

()

()()()()()(211211 ,

而等比级数

∑∞

=-?N

n N n

Mq q

，当公比10<

数判别法知，

∑∞

=1

)(n n

x u

在D 上一致收敛.

定理9有极限形式：

定理10 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,记)

()

()(1x u x u x q n n n +=

，若：

1)()(lim <≤=∞

→q x q x q n n ,

且)(x u n 在D 上一致有界，则函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

在D 上一致收敛.

例7 设n

n x n n x u )]

1(41[951)]1(32[852)(-+??-+??=

为定义在]1,0[=D 上的函数列，证明级数

)(x u

n

∑在]1,0[=D 上一致收敛.

证明 由于：

143

434132lim )()(lim

1<≤=++=∞→+∞→x x n n x u x u n n

n n ，2)(0≤≤x u n ，

由定理10，知函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

在]1,0[=D 上一致收敛.

3.4.2根式判别法

定理11 设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列，若存在正整数N ,使得

1)(<≤q x u n

n ，

N n >?，D x ∈成立，则函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 在D 上一致收敛.

证明 由定理条件，N n >?，D x ∈，n

n q x u ≤)(成立，而几何级数∑n

q

收

敛，由优级数判别法，函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

在D 上一致收敛.

注：当定理11条件成立时，级数∑∞

=1

)(n n

x u

在D 上还绝对收敛.

定理11的极限形式为：

定理12 设)(x u n 为定义在数集D 上的函数列，若

1)()(lim <≤=∞

→q x q x u n n n ，

N n >?，D x ∈成立，则函数项级数∑∞

=1

)(n n x u 在D 上一致收敛.

例8 证明函数项级数∑n x n

在),[],(+∞--∞r r 上一致收敛（其中r 为大于1的实常

数）.

证明 因为 111<<→=r x x n x

n n

n

n

， 由定理12知，函数项级数∑n x n

在),[],(+∞--∞r r 上一致收敛（吴良森，毛玉辉，

2002）[7]

.

3.4.3 对数判别法

定理13 设)(x u n 为定义在数集D 上正的函数列,若 )(ln )

(ln lim x p n

x u n n =-∞→存在，

那么

（ⅰ）若D x ∈?,1)(>>p x p ，则函数项级数

∑∞

=1)(n n

x u

在D 上一致收敛.

（ⅱ）若D x ∈?,1)(<

∑∞

=1

)(n n

x u

在D 上不一致收敛.

证明 （ⅰ）由定理条件知，对0>?ε，N ?,使得N n >?，有

εε+<-<

-)(ln )

(ln )(x p n

x u x p n ，

即

ε

ε

+-<

<)()(1)(1x p n x p n x u n ，

则当1)(>>p x p ，D x ∈?成立时，有p n n x u 1)(<，而p 级数∑p n

1当1>p 时收敛，由优级数判别法知函数项级数

∑∞

=1

)(n n

x u

在D 上一致收敛；

（ⅱ）当1)(<

n n x u 1)(>，p 级数∑p n 1

当1

∑∞

=1

)(n n

x u

在D 上不一致收敛.

3.5 Dini 判别法

定理14若

（ⅰ）每个)(x a n 均在],[b a 上连续且非负； （ⅱ）)(x a

n

∑在],[b a 上收敛于连续函数)(x S ；

则

)(x a

n

∑在],[b a 上一致收敛于)(x S .

例9 证明：∑∞

=+-1

2

2)1(n n x n n

在),(+∞-∞内闭一致收敛. 证明 显然，

1)

1(1

≤-∑=n

k k

在),(+∞-∞上一致有界.任取R b a ?],[对],[b a x ∈，

易证当n 充分大时?

??

??

?+22x n n 单调递减且)(0lim 22x f x n n n ≡=+∞→，每个22x n n +及0)(≡x f 均在],[b a 上连续，故由Dini 定理知?

?

?

???+22

x n n 在],[b a 上一致收敛于0，于是，由狄利克雷判别法知原级数在],[b a 上一致收敛.

所以，由],[b a 的任意性知，原级数在),(+∞-∞上内闭一致收敛(吉米多维奇，1987)[8]

.

4 幂级数的应用

幂级数是一类最简单的函数项级数，下面我们以幂级数为例，说明函数项级数的一致收敛性在计算中的应用．

4.1 幂级数的定义

定义5 由幂函数列{}

n

n x x a )(0-所产生的函数项级数

+-++-+-+=-∑∞

=n n n n n

x x a x x a x x a a x x a

)()()()(020201000

，

称为幂级数，是一类最简单的函数项级数，从某种意义上讲，它可以看作是无穷多项式函数的延伸.

4.2 幂级数的应用

幂级数是高等数学中的一个非常重要的内容，其简单的结构形式和逐项求导、逐项求积的优良性质使之成为一种有效的计算工具，它能应用于近似计算、积分计算、数项级数求和、欧拉公式的推导等问题中.巧妙地利用函数的幂级数展开式及幂级数的性质能够把一个复杂的性质以及一些不容易把握的函数表达成形式最简单、性质最好的级数形式，所以用它解题往往思路清晰、条理清楚(赵瑜,2009)[9]

.

4.2.1幂级数在近似计算中的应用

我们可以利用幂级数展开式进行近似计算,即在展开式有效的区间上,函数值可以近似的利用这个级数按精确度要求计算出来(同济大学应用数学系，2002)

[10]

.

例10 计算积分

dx x x ?1

0sin

的近似值，要求误差不超过0.0001.

解 由于1sin lim

0=→x

x

x ，因此所给积分是反常积分.如果定义被积函数在0=x 处的

值为1，则它在积分区间]1,0[上连续.

展开被积函数，有

+-+-=!

7!5!31sin 642x x x x x )(+∞<<-∞x ， 在区间]1,0[上逐项积分，得

+?-?+?-=?!

771!551!3311sin 1

0dx x x . 因为第四项的绝对值

30000

1

!771<

?， 所以取前三项的和作为积分的近似值：

!

551

!3311sin 1

0?+?-≈?dx x x ， 算得

9461.0sin 1

0≈?dx x x

.

4.2.2幂级数在计算积分中的应用

当)(x f 的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来时，计算)(x f 的定积分就遇到了困难.现在,我们可以利用幂级数展开式取有限项的办法近似计算这些定积分的值.具体计算时，要求被积函数能够展成收敛的幂级数，且积分区间必须在幂级数的收敛域之内，然后利用幂级数的逐项积分性质来计算所求积分的值.

例11 证明： +?-+?+?-=?)!

2(2)1(!44!221cos 2420n n x x x dt t t n

n x

． 证明 因为 )!2()1(cos 20

n x x n

t n

∑∞

=-=，],[+∞-∞∈x ，

所以 dt t n dt n t dt t t x n n n

n x n n x

?∑?∑?-∞=-∞=-=-=0120

12000)!2(1)1()!2()1(cos

函数项级数的一致收敛性共8页word资料

第三节 函数项级数的一致收敛性 本节将讨论函数项级数有关性质。 定义 1 设 )(1x u ，)(2x u ，……，)(x u n ，……，是集合E 上的函数列，我们称形为 )(1x u +)(2x u +……+)(x u n +…… 为E 上的函数项级数，简记为∑∞ =1 )(n n x u 。其中)(x u n 称为第n 项. )(x u k +)(1x u k ++……+)(x u n +……也记为∑∞ =k n n x u )(. 记号中n 可以用其它字母 代之. 同研究常数项级数一样，我们类似可以定义其收敛性。 定义 2 设∑∞ =1)(n n x u 是集合E 上的函数项级数，记 ∑==n i i n x u x S 1 )()(=)(1x u +)(2x u +……+)(x u n ， 它称为级数∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数（严格地说是前n 项部分和函数）. {})(x S n 称为∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列。 如果{})(x S n 在0x 点收敛，我们也说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点收敛或称0x 为该级数 的收敛点。 如果|)(|1 ∑∞ =n n x u 在0x 点收敛，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点绝对收敛。非常容易证 明绝对收敛一定收敛。 {})(x S n 的收敛域也称为该级数的收敛域。如果{})(x S n 在0x 点不收敛，

我们说∑∞ =1 )(n n x u 在0x 点发散。 如果{})(x S n 在D 上点态收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上点态收敛于 )(x S . )(x S 称为该级数的的和函数。)()()(x S x S x R n n -=称为该级数关于前 n 项部分和的余项. {})(x R n 称为该级数的余项函数列. 如果{})(x S n 在D 上一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1)(n n x u 在D 上一致收敛于 )(x S ， 或∑∞ =1 )(n n x u 在D 上一致收敛. 如果{})(x S n 在D 上内闭一致收敛于)(x S ，我们称∑∞ =1 )(n n x u 在D 上内闭一致收敛. 用N -ε的进行叙述将是： 设∑∞ =1)(n n x u 是D 上函数项级数，)(x S 是D 上函数。 若对任意ε>0，总存 在一个正数正数N （只能依赖于ε，绝对不依赖于x ），当N n >时，对一切的D x ∈，总有 ε<-∑=|)()(|1x S x u n i i ， 则称该函数项级数在D 上一致收敛于)(x S . 同样一致收敛一定点态收敛. 例 1 定义在（—∞，+∞）上的函数项级数（几何级数） ΛΛΛΛ+++++=∑∞ =-n n n x x x x 21 1 1 的部分和函数是x x x S n n --=11)( .显然当|x |<1时

函数项级数的一致收敛性精选

函数列与函数项级数 §1. 函数项级数的一致收敛性 1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ ()n f x =(,);x ∈-∞+∞ ⑵ ()sin ,n x f x n = i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx = + (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑸ 22 33(),1n n x f x n x =+ i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x =++ [0,1];x ∈ ⑺ (),1n n n x f x x =+ i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞> ⑻ 2(),n n n f x x x =- [0,1];x ∈ ⑼ 1(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈ ⑽ ()ln ,n x x f x n n = (0,1);x ∈ ⑾ 1()ln(1),nx n f x e n -=+ (,);x ∈-∞+∞

⑿ 2 ()(),x n n f x e --= i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ，令 [()]()n nf x f x n = (1,2,)n =???. 求证：{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时， (),nx n f x n xe α-= 1,2,3,n =??? 在闭区间[0,1]收敛？在闭区间[0,1]一致收敛？使10lim ()n n f x dx ->∞?可在积分号下取极 限？ 4. 证明序列2()nx n f x nxe -=(1,2,)n =???在闭区间[0,1]上收敛，但 1 1 00lim ()lim ().n n n n f x dx f x dx ->∞->∞≠?? 5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列，且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ；又 [,]n x a b ∈(1,2,)n =???，满足0lim n n x x ->∞=，求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞ = 6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1), [0,1];n n x x x ∞=-∈∑ ⑵ 12 21(1), (,)(1) n n n x x x -∞=-∈-∞+∞+∑. 7. 设()n f x (1,2,)n =???在[,]a b 上有界，并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛，求证： ()n f x 在[,]a b 上一致有界. 8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x '，且 1()[()()],n f x n f x f x n =+- 求证：在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上，{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积，定义函数序列

函数项级数一致收敛的几个判别法及其应用

函数项级数一致收敛性判别法及其应用 栾娈 20111101894 数学科学学院 数学与应用数学11级汉班 指导老师：吴嘎日迪 摘要:本文证明了常用的函数项级数一致收敛性的判别法,并通过例题给出了它的应用.另外,仿照极限的夹逼原理,得到函数项级数一致收敛的夹逼判别法. 关键词:一致收敛,函数项级数,和函数 1.函数列与一致收敛性 (1)函数项级数一致收敛性的定义:设有函数列{S n （x ）}(或函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的 部分和序列)。若对任给的0>ε，存在只依赖于ε的正整数N （ε），使n > N （ε）时，不等式 ε<-)()(x S x S n 对X 上一切x 都成立，则称{S n （x ）}（∑∞ =1 )(n n x u ）在X 上一致收敛于S （x ）. 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 设 =-S S n X x ∈s u p )()(x S x S n -， 如果 0lim =-∞ →S S n n 就称S n （x ）在X 上一致收敛于S(x ). 例1 讨论 = +=X x n nx x S n 在2 2 1)([0，1]的一致收敛性 由于S （x ）=0, 故 2 11)(m a x 1 = ?? ? ??==-≤≤n S x S S S n n x o n ， 不收敛于零，故在[0，1]上非一致收敛 (2)函数项级数一致收敛的几何意义:函数列{f n }一致收敛于的f 几何意义：对任 给的正数ε ，存 N ，对一切序号大于N 的曲线y=f n (x )都落在以曲 线y= f (x )+ε与y=f (x )-ε为上，下边界的带形区域内. 2.函数列一致收敛的判别准则（充要条件）

函数项级数一致收敛性的判别法

函数项级数一致收敛性的判别法 摘 要 函数项级数是数学分析中的重点和难点,因此讨论和分析它的性质和判别方法显得尤为重要,本文给出了函数项级数的定义以及函数项级数一致收敛性的判别定理，并用之来解决函数项级数一致收敛性的一些问题比较容易. 关键词 函数项级数；一致收敛性；判别法. 中图分类号 O173.1 Function Seies Convergence Criterion Abstrac t ：Function is a mathematical analysis of series of focus and difficult, so the discussion and analysis of its nature and it is particularly important to identify methods.In this paper, the definition of Function series and uniform convergence of Function series of discriminant theorem,and used to solve the series of uniform convergence of Function of some of the problems is easier. Key words ：Function series; Uniform convergence of; Discriminance 1 引言及预备知识 如果函数项级数具有一致收敛性,函数项级数的和函数或余和易于求得,判别它的一致收敛性可应用一致收敛定义,如果很难求得它的和函数或余和，就根据函数自身的结构,找到判别一致收敛性的判别法. 定义1.1[1] 设()12(),,u x u x …()n u x ,…是一列定义在D 上的函数,把这些函数的各项用加号连接起来的表达式 ()()12u x u x ++…+()n u x +…或()1n n u x ∞ =∑, (1) 称为函数项级数.a D ?∈ 函数级数在a 对应一个数值级数 1 ()U n a ∞ =∑ =12()()u a u a ++...+()n u a +. (2) 它的敛散性可用数值级数敛散性的判别法判别,若级数(2)收敛,则称a 是函数级数(1)的收敛点;若级数(2)发散,则称a 是函数级数(1)的发散点. 定义 1.2[1] 函数项级数(1)的收敛点的集合,称为函数项级数(1)的收敛域,若收敛域是一个区间,则称此区间是函数项级数的收敛区间. 定义 1.3[1] 设数集E 为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的收敛域,则对每个x E ∈记S(x)= ()1 n n u x ∞=∑称S(x)为函数项级数()1 n n u x ∞ =∑的和函数.

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳

函数项级数的一致收敛性与非一致收敛性判别法归纳 一 定义 引言 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正数N ，使得当N n >时，对一切D x ∈，都有 ()()ε<-x f x f n 则称函数列{}n f 在上一致收敛于()x f ，记作 ()()x f x f n →→ ()∞→n ，D x ∈ 设()x u n 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 ()()(),21 ++++x u x u x u n E x ∈ ) 1(称为定义在E 上的函数项级数,简记为()x u n n ∑∞ =1 或()x u n ∑；称 ()()x u x S n k k n ∑==1 , E x ∈, ,2,1=n )2( 为函数项级数)1(的部分和函数列． 设数集D 为函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的收敛域，则对每个D x ∈，记∑∞ ==1 )()(n n x u x S ，即 D x x S x S n n ∈=∞ →),()(lim ，称)(x S 为函数项级数∑∞ =1 )(n n x u 的和函数，称) ()()(x S x S x R n n -=为函数项级数∑)(x u n 的余项． 定义1]1[ 设{})(x S n 是函数项级数∑)(x u n 的部分和函数列，若{})(x S n 在数集D 上一致收敛于函数)(x S ，或称函数项级数∑)(x u n 在D 上一致收敛于)(x S ，或称∑)(x u n 在D 上一致收敛． 由于函数项级数的一致收敛性是由它的部分和函数列来确定，所以可以根据函数列一

函数项级数一致收敛性

函数项级数一致收敛性有关问题的讨论 函数项级数是微积分的主要内容之一，是数学分析研究的重点．用函数项级数(或函数列)来表示(或定义)一个函数，判断其一致收敛性是关键．从函数项级数一致收敛的定义及性质出发，下面主要讨论函数项级数(或函数列)一致收敛性的判别及其应用． 1 函数项级数一致收敛的相关定义 定义1.1 []1(31) P 设函数列{})(x S n 是函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的部分和函数列，若,0>?ε 存在正 整数)(εN ，当n >)(εN 时，不等式 ∑=-n k k x S x u 1 )()(=)()(x S x S n -<ε 对I 上一切x 都成立，则称 ∑∞ =1 )(n n x u 在I 上一致收敛于()S x ． 一致收敛的定义还可以用下面的方式来表达： 定义1.1[]2(67) ' P 函数列{})(x S n (或 ∑∞ =1 )(n n x u )在I 上一致收敛于()S x ?∞ →n lim I x ∈sup )(x R n =0)()(sup lim =-∈∞→x S x S n I x n ，其中)(x R n =()()n S x S x -称为函数项级数 ∑∞ =1 )(n n x u 的余项． 定义1.2 函数列{})(x S n 在I 上非一致收敛于()S x ?00>?ε，0>?N ，N n >?0，I x ∈?0，使得)()(000x S x S n -≥0ε． 定义 1.3 函数列{})(x S n 在区间()b a ,内的任一闭区间上一致收敛时，称{})(x S n 在区间()b a ,内闭一致收敛． 2 一致收敛函数项级数的性质[] 3(417430) P - 定理2.1（逐项取极限） 设级数 ∑∞ =1)(n n x u 在0x 的某个空心邻域0U (0x )={}δ<-<||0:0x x x 内 一致收敛，0 lim x x →()n n u x c =．则 ∑∞ =1 n n c 收敛，且

第十章 函数项级数

1 第十章函数项级数 § 1 函数项级数的一致收敛性(1) 一、本次课主要内容 点态收敛，函数项级数收敛的一般问题。 二、教学目的与要求 使学生理解怎样用函数列（或函数项级数）来定义一个函数，掌握如何利用函 数列（或函数项级数）来研究被它表示的函数的性质。 三、教学重点难点 函数列一致收敛的概念、性质 四、教学方法和手段 课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。 五、作业与习题布置 P68 1（5）（7）

2 一． 函数列及极限函数：对定义在区间I上的函数列，介绍概念： 收敛点，收敛域（注意定义域与收敛域的区别），极限函数等概念. 1.逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“ ”定义. 例1 对定义在 内的等比函数列, 用“”定义验 证其收敛域为 , 且 例2 .用“”定义验证在内. 例3 考查以下函数列的收敛域与极限函数: . （1）. . （2）. （3）设 为区间上的全体有理数所成数列. 令 , . （4）. , . （5） 有, , . （注意 .） 二. 函数列的一致收敛性:

3 问题: 若在数集D上, . 试问: 通项 的解析性质 是否必遗传给极限函数 能遗传,而例3⑶说明可积性未能遗传. 例3⑷⑸说明虽然可积性得到遗传, 但 . 的一种手段. 对这种函数, 就是其表达式.于是,由通项函数的解析性质研 究极限函数的解析性质就显得十分重要. 那末, 在什么条件下通项函数的解析性质 能遗传给极限函数呢? 一个充分条件就是所谓“一致收敛”. 一致收敛是把逐点收 敛加强为所谓“整体收敛”的结果. 定义( 一致收敛 ) 一致收敛的几何意义. 在数集D上一致收敛, Th1 (一致收敛的Cauchy准则 ) 函数列 , . ( 介绍另一种形式.) 证 ( 利用式) ,……,有. 易见逐点收敛. 设 令 ， 推论1 在D上 , ，. D , 使 推论2 设在数集D上, . 若存在数列 在数集D上非一致收敛 . 应用系2 判断函数列 ―在数集D上的最值点. . 证明函数列在R内一致收敛. 例4

关于函数项级数的收敛性

关于函数项级数的收敛性 作者： xxx 指导老师：xxx 摘 要：级数是表示初等函数的一种工具，其核心问题是级数的和（或和函数），即收敛问题，包括收敛和一致收敛，本文试图对函数项级数的收敛、一致收敛、非一致收敛的常用判别方法进行了较为系统的和总结，并对其中几种收敛性的判断方法作了重点讨论。 关键词 ：函数项级数 收敛 一致收敛 判别方法 1 引 言 作为数项级数的推广，函数项级数项级数的收敛性问题一直是数学分析中级数的重点和难点，在实际应用中也比较广泛。在这篇文章中，本文先对函数项级数的收敛给出本质说明，由于函数项级数的收敛与数项级数的收敛本质都是逐点收敛，因此这篇论文重点是论述函数项级数一致收敛的定义以及类似于数项级数收敛的判别方法或相关定理，并对某些定理的适用范围作出归纳。. 2 函数项级数一致收敛的定义 我们知道，所谓函数项级数 ()n u x ∑在某区间I 收敛，是指它逐点收敛.意即：对I 中 每固定一点x I ∈，作为数项级数，1 n u x n ∞ =∑（） 总是收敛的，因此对于收敛性，可以用数项级数的各种判别法逐点进行判断。 定义1 ：函数序列{()}n S x 在集合D 上点态收敛于是指对于任意的0x D ∈， 数列0()n S x 收敛于0()S x ，用” N ε-”语言来表示的话，就是：对任意给定的0ε>， 可以找到N ,当n>N 时，成立：0|()()|n S x S x ε-< 一般来说，这里的N 应理解为0(,)N x ε,即N 不仅与ε有关，而且随着0x 的变化而变化。 这意味着在D ，{()}n S x 的收敛速度可能大相径庭。如果{()}n S x 不仅在D 上点点收敛，而且在D 上的收敛速度具有某种整体一致性，也即此时的N 仅与ε有关而与0x 无关. （充要条件）设｛n S ｝是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列，若｛()n S x ｝在数集D 上一致收敛于 ()S x ,则称函数项级数 ()n u x ∑一致收敛于函数()S x ,或称()n u x ∑在 D 上一致收敛.

函数项级数的一致收敛性及其应用

函数项级数的一致收敛性及其应用 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract: With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidly with the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into being. Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words: series of functions; uniformly convergence; series of powers

函数项级数

第十章 函数项级数 一、内容简介 本章主要介绍函数项级数的收敛域和一致收敛性的判别、和函数的性质以及初等函数的幂级数展开。 二、学习要求 1. 了解用多项式来逼近函数的思想； 2. 正确理解函数项级数的收敛域、一致收敛性以及和函数的性质； 3. 掌握函数项级数的一致收敛性的Weierstrass 判别法和A-D 判别法，幂级数的收敛半径及和函数的计算。 三、学习的重点和难点 重点：函数项级数的一致收敛性, 初等函数的幂级数展开; 难点：含参数数项级数的条件收敛性和函数项级数一致收敛性的判别, 四、研究级数的目的 1． 借助级数表示很多有用的非初等函数。 2． 解微分方程。 3． 利用多项式来逼近一般的函数。 4． 实数的近似计算。 §１ 一致收敛性 一．点收敛的收敛域 函数项级数： 1 ()n n u x ∞ =∑． 定义１ 设()n u x (1,2, ,)n =在E 上有定义，0x E ∈．若数项级数01 ()n n u x ∞ =∑收敛， 则称函数项级数在0x 点收敛，称0x 是 1 ()n n u x ∞=∑的收敛点．收敛点全体D 称为1 ()n n u x ∞ =∑的收 敛域．其和()S x 是定义在D 上的函数称为其和函数． 例：（１） 1 ()1n n x S x x ∞ === -∑ (1,1)x ∈-． （２）1 n p n x n ∞ =∑ 1p >　，收敛域为［－１，１］；01p <≤，收敛域为［－１，１］； 0P ≤，收敛域为（－１，１）． （３） 1sin p n x n ∞ =∑ 0p >时，(,)-∞∞．

例：nx e - 收敛域为(0,)∞． 部分和函数列：{()}n S x ． 1 ()n n u x ∞ =∑在D 上收敛?{()}n S x 在D 上收敛． 二．函数序列的一致收敛性 {()}n S x ．lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈． 00 lim(lim ())lim(lim ())lim ()n n x x n n x x x x S x S x S x →→∞ →∞→→==．即逐项求极限．是否逐项求导，求积分？ 一般否．反例： 例：()n n S x x = 收敛域(1,1]D =- 0(1,1)()11 x S x x ∈-?=? =?　 ． 1lim ()0x S x - →= 1 lim lim ()lim11n n n x S x - →∞→∞ →==。 例：()0n S x = →．(,)D =-∞+∞ ()0S x = ()n S x nx '==． 例：1!()0n n x S x ∈?=? ? 其他 ． x ＝无理数时，()0n S x =；x ＝有理数 q p 时，n p >时，!q n p 整数，()1n S x =． ()n S x 在任何区间[,]a b 上可积，而()S x 不可积． 定义２ 设lim ()().n n S x S x →∞ = x D ∈．若0,()0.N n N εε?>?>?>及x D ?∈，有： ()()n S x S x ε-<成立，则称在D 上{()}n S x 一致收敛于()S x ，记为()().D n S x S x ? 若级数 1 ()n n u x ∞=∑的部分和函数列在D 上一致收敛于()S x ，则称1 ()n n u x ∞ =∑一致收敛于 ()S x ． 例１：22 ()1n x S x n x =+． 1 ()n n S x ∞ =∑ 0x =时，()00n S x =→；0x ≠时，()0n S x →．

§13.1函数列与函数项级数一致收敛性解析

第十三章函数列与函数项级数 §1 一致收敛性 (一) 教学目的： 掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (二) 教学内容： 函数序列与函数项级数一致收敛性的定义；函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则；函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． 基本要求： 1）掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 较高要求：掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． 2、教学基本要求：理解并掌握函数列与函数项级数的概念及一致收敛的概念和性质；掌 握函数项级数的几个重要判别法，并能利用它们去进行判别；掌握一致收敛函数列与函数项级数的极限与和函数的连续性，可积性，可微性，并能应用它们去解决问题。 3、教学重点难点：重点是函数列一致收敛的概念、性质；难点是一致收敛性的概念、判 别及应用。 (三) 教学建议： (1) 要求学生必须掌握函数序列与函数项级数一致收敛性的定义，函数序列与函数项 级数一致收敛性判别的柯西准则，函数项级数一致收敛性的魏尔斯特拉斯判别 法． (2) 对较好学生可要求他们掌握狄利克雷判别法和阿贝尔判别法． ————————————————————一函数列及其一致收敛性

对定义在区间I 上的函数列E x x f n ∈},)({，设 E x ∈0，若数列 })({0x f n 收敛，则称函数列})({x f n 在点0x 收敛，0x 称为函数列})({x f n 收敛点；若数列 })({0x f n 发散，则称函数列})({x f n 在点0x 发散。 使函数列})({x f n 收敛的全体收敛点集合称为函数列})({x f n 收敛域（ 注意定义域与收敛域的区别 ）。 若函数列})({x f n 在数集E D ?上每一点都收敛，则称函数列})({x f n 在数集D 上收敛，这时D 上每一点x ，都有函数列的一个极限值 )()(lim x f x f n n =∞ → 与之对应，由这个对应关系所确定的函数，称为函数列})({x f n 的极限函数。 逐点收敛 ( 或称为“点态收敛” )的“N -ε”定义. 例1 对定义在) , (∞+∞-内的等比函数列)(x f n =n x , 用“N -ε”定义 验证其收敛域为] 1 , 1 (-, 且 ∞→n lim )(x f n = ∞ →n lim n x =?? ?=<. 1 , 1 , 1 || , 0 x x 例2 )(x f n = n nx sin . 用“N -ε”定义验证在) , (∞+∞-内∞→n lim )(x f n =0. 函数列的一致收敛性： 设函数列 })({x f n 在E 上收敛于 )(x f ，若对任意的0>ε ，存在自然数 )(εN N =，当 N n >时，对E 中一切 x 都有 ε<-)()(x f x f n 则称函数列)}({x f n 在E 上一致收敛于)(x f 。 注意 这里的 N 只与ε有关，与x 无关，这一点是一致收敛与逐点收敛的本质区别。 一致收敛的几何意义 对任给的ε-带 }|)(|;),({ε<-x f y y x ，总存在一个N ，N n >时，)(x f n 的图形全部落入这个ε-带内。

函数项级数的一般概念

函数项级数的一般概念

一、函数项级数的一般概念 1.定义： . 1 2 0 +++=∑∞=x x x n n 例如级数 ∑∞ =++++=121)()()()(n n n x u x u x u x u {}上的函数列，称 是定义在区间设 )( I x u n 上的为定义在区间 I 函数项(无穷)级数。

2.收敛点与收敛域： 如果I x ∈0,数项级数∑∞ =10)(n n x u 收敛, 则称0x 为级数 )(1x u n n ∑∞=的收敛点,否则称为发散点.函数项级数)(1x u n n ∑∞ =的所有收敛点的全体称为收敛域, . )(:1??????∈=∑∞ =收敛n n x u R x K

3.和函数: {}为函数项级数的称记 )( , )()( 1x s x u x s n n k k n ∑== 部分和数列。).( , )(lim , 000x s x s K x n n 记为存在则设∞ →∈函数项级数的和函数： . , )()(1K x x u x s n n ∈=∑∞ =

解：由达朗贝尔判别法，)()(1x u x u n n +x n n +?+=111)(11∞→+→n x ,111)1(<+x 当, 2 0时或即-<>x x 原级数绝对收敛. , 11>+?x 例1. )11()1( 1的收敛域求函数项级数n n n x n +-∑∞=二、典型例题 板书

,111)2(>+x 当,11<+?x , 02时即<<-x 原级数发散. , 0时当=x ; )1(1收敛级数∑∞=-n n n , 2时当-=x . 11发散级数∑∞=n n ). ,0[)2,(+∞--∞ 故级数的收敛域为,1|1|)3(=+x 当, 2 0-==?x x 或板书

函数项级数的一致收敛性及其应用之令狐文艳创作

函数项级数的一致收敛性及其应用 令狐文艳 摘要：随着科学技术的发展，初等函数已经满足不了人们的需要.自柯西给出了无穷级数的定义后，随着人们对级数的深入研究，无穷级数的理论得到了飞速的发展.有了无穷级数，函数项级数应运而生.函数项级数在数学科学本身及工程技术领域里有广泛的应用,函数项级数的一致收敛性在应用中起着至关重要的作用,因此研究函数项级数的一致收敛性及其判定就成了应用中重要的环节.本文介绍函数项级数一致收敛的相关概念，对函数项级数一致收敛性的判定方法进行梳理、归纳，并举例说明，以一类最简单的函数项级数幂级数为例，说明函数项级数在计算方面的应用. 关键词：函数项级数；一致收敛；幂级数 Uniformly Convergence Series of Functions and Application Abstract:With the development of science and technology, elementary function has failed to meet the needs of the people. Since the Cauchy gives the definition of infinite series, the theory of series has been developed rapidlywith the in-depth study of it. With the infinite series, series of functions came into

being.Series of functions has a wide application in mathematics and engineering science. The uniformly convergence of series of functions plays an important role in application. During the application, the uniformly convergence of series of function and its judgment become important. This article describes the concept of the uniformly convergence of series of functions, to sum up the judgment of the uniformly convergence of series of functions. We give many examples and take the series of powers to illustrate the application in calculation of series of functions. Key words:series of functions; uniformly convergence;series of powers 目录 1 引言…………………………………………………………………… (1) 2 函数项级数的相关概念介绍…………………………………………………………………… (2) 2.1 函数列及其一致收敛性…………………………………………………………………… …2

函数项级数与幂级数

第四讲 函数项级数与幂级数 【教学内容】 1. 函数项级数的概念; 2. 幂级数的收敛性及其运算。 【教学目的与要求】 1. 理解函数项级数的收敛域、和函数的概念; 2. 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛区间求法; 3.了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质, 会应用这些性质求和函数。 【教学重点与难点】 重点: 幂级数收敛半径和收敛区间的求法; 难点: 求和函数。 【教学过程】 一、函数项级数与幂级数的概念 定义1 形如 n n n n n x a x a x a x a a ∑∞ == ++++0 2 210 的级数，称为关于x 的幂级数，其中 ,,,,,210n a a a a 都是常数，称为幂级数的系数． 形如 +-+-+-+n n x x a x x a x x a a )()()(0202010 的级数，称为关于0x x -的幂级数． 将0x x -换成x ，这个级数就变为 n n n x a ∑∞ =0 ． 下面将主要研究形如 n n n x a ∑∞ =0 的幂级数． 幂级数 n n n x a ∑∞ =0 当x 取某个数值0x 后，就变成一个相应的数项级数00 n n n a x ∞ =∑，可利用 数项级数敛散性的判别法来判断其是否收敛． 定义2 若 n n n x a ∑∞ =0 在点0x 处收敛，称0x 为它的一个收敛点；若n n n x a ∑∞ =0 在点0x 处发散， 称0x 为它的一个发散点；n n n x a ∑∞ =0 的全体收敛点的集合，称为它的收敛域；全体发散点的 集合称为它的发散域． 例1 判断幂级数 +++++n x x x 21的敛散性． 解 ： 由第一节例3可知，当1

函数列与函数项级数

§3.2 函数列与函数项级数 一、主要知识点和方法 1、基本概念 函数列 收敛域 极限函数 设{()}n f x 是定义在数集E 上的函数列，若存在x E '∈，使得数列 {()}f x '收敛，则称函数列{()}n f x 在点x '收敛。所有收敛点的集合称为收敛域，记为D 。 {()}n f x 在D 上每点的极限（是D 上的函数），称为 极限函数，记为()f x 。于是对任意x D ∈有lim ()()n n f x f x →∞ =，或记为 ()()D n f x f x ??→，称{()} n f x 在D 上收敛于()f x 。 函数列一致收敛性 若0ε?>，N ?，当n N >时，对任意x D ∈都有()()n f x f x ε-<， 则称{()}n f x 在D 上一致收敛于()f x ，记为()()D n f x f x ???→一致。 函数列一致有界性 若存在常数0M >，使得对任意的自然数n 以及任意的x D ∈有()n f x M ≤，则称{()} n f x 在D 上一致有界。 函数项级数 和函数 设{()}n u x 是E 上的函数列，称 1 ()n n u x ∞ =∑为E 上的函数项级数。 若其 部分和函数列{()}n S x 在D 上收敛于收敛于极限函数()S x ，则称1 () n n u x ∞ =∑在D 上收敛于和函数()S x ，记为 1 ()()n n u x S x ∞ == ∑。 函数项级数级数一致收敛性 设{()}n S x 是 1 ()n n u x ∞ =∑的部分和函数列，若()()D n S x S x ??? →一致 ，则称级数在D 上一致收敛（于()S x ）。