浙江省2016年10月学业水平考试数学试题
一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。每小题列出的四个备选项中只有一个是符合
题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．已知集合}6543{，，，
=A ，}{a B =，若}6{=B A ，则=a （ ） A. 3 B. 4 C. 5 D.6
2．直线1-=x y 的倾斜角是（ ） A.
6π B. 4π C. 2π D.
4
3π
3．函数)3ln()(-=x x f 的定义域为（ ）
A. }3|{->x x
B. }0>|{x x
C. }3|{>x x
D. }3|{≥x x
4．若点），（43-P 在角α的终边上，则=cos α
（ ）
A.
53- B. 53 C. 5
4- D. 54
5．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 的坐标满足方程4)3()1(2
2
=-+-y x ，则点P 的轨迹经过（ ）
A. 第一、二象限
B. 第二、三象限
C. 第三、四象限
D. 第一、四象限
6．不等式组?
??≤+->+-020
63y x y x ，表示的平面区域（阴影部分）是（ ）
7.在空间中，下列命题正确的是（ ）
A. 经过三个点有且只有一个平面
B. 经过一个点和一条直线有且只有一个平面
C. 经过一个点且与一条直线平行的平面有且只有一个
D. 经过一个点且与一条直线垂直的平面有且只有一个
8.已知向量，则“b a //”是“||||||b a b a -=-”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件 9.函数x x f 2sin 21)(2
-=是（ ）
A.偶函数且最小正周期为
2π B.奇函数且最小正周期为2
π
C.偶函数且最小正周期为π
D.奇函数且最小正周期为π
10.设等差数列{}n a 的前n 项和为*
()n S n N ∈.若448,S 20,a ==则8a =（ ） A. 12 B. 14 C. 16 D.18 11.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则几何体的体积是（ ）
A.
3 B. 3
C.
3 D. 3
12.设向量(2,2),b (4,),c (,),,.a x y x y x y R =-==∈若b a ⊥， 则|c |的最小值是（ ）
A.
B. C. 2 D. 13.如图，设AB 为圆锥PO 的底面直径，PA 为母线，点C 在底面圆周
上，若PA=AB=2，AC=BC,则二面角P AC B --大小的正切值是（ ）
A.
B. C.
D.
14.设函数2()x
f x e ??= ???，()3x
e g x ??
= ???
，其中e 为自然对数的底数，则
（ ）
A.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≥
B.存在正实数x 使得()()f x g x >
C.对于任意实数x 恒有()()f x g x ≤
D.存在正实数x 使得()()f x g x <
15.设双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点分别为12F F ，.以1F 为圆心，12||F F 为半径的
圆与双曲线在第一、二象限内依次交于,A B 两点.若12|F B|=3|F A|,则该双曲线的离心率是 （ ） A.
54 B. 43 C. 3
2
D. 2 16.函数()f x 按照下列方式定义:当2x ≤时，2
()2f x x x =-+；当2x >时，1
()(2)2
f x f x =-. 方程1
()5
f x =
的所有实数根之和是（ ） A. 8 B. 13 C. 18 D.25 17.设实数,,c a b 满足：1,c 1a b >>>，则下列不等式中不成立．．．
的是（ ）
A.
b a b
c a
a b ac +<<+ B. 1a bc b a b ac +<<+
C. 1a bc c c b ac +<<+
D. a bc
b ac
+<<+
18.如图，在四面体ABCD 中，2==CD AB ，3==BD AD ，
4,AC BC ==点,,,E F G H 分别在棱AD ，BD ，BC ，AC
上，若直线,AB CD 都平行于EFGH ，则四边形EFGH 面积的最大值是（ ）
A.
1
2
B. 2
C. 1
D. 2
二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分)
19.已知抛物线px y 22
=过点)2,1(A ，则=p ，抛物线方程是 . .
20.设数列{}n a 的前项和为)(*
∈N n S n .若12,111+==+n n S a a ，则=5S .
21.在ABC ?中，2,3,2=?==AC AB AC AB 。若点P 满足PC BP 2=，则=?BC AP . 22.设函数)(2
1
3)(R a ax x x f ∈++
+=
. 若其定义域内不存在．．．
实数x ，使得0)(≤x f ，则a 的取值范围是 。
三、解答题（本大题共3小题，共31分)
23. （本题10分）在ABC ?中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知C C cos 32sin =，其中C 为锐角.
（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若4,1==b a ，求边c 的长。
24.（本题10分）设1F ，2F 为椭圆
22
143
x y +=的左、右焦点，动点P 的坐标为(1,)m -，过点2F 的直线与椭圆交于,A B 两点.
（Ⅰ）求1F ，2F 的坐标；（Ⅱ）若直线2,,PA PF PB 的斜率之和为0，求m 的所有整数值.
25.（本题11分）设函数2
)1(1
)(a x x f --=
的定义域为D ，其中1 （1）当3-=a 时，写出函数)(x f 的单调区间（不要求证明）； （2）若对于任意的D x ]2,0[∈，均有2 )(kx x f ≥成立，求实数k 的取值范围. 浙江省2016年10月普通高校招生选考科目考试数学试题答案 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。） 。19. 2, 1-=x 20. 121 21. 4 22.3 2 0≤≤a 三、解答题（本大题共3小题，共31分。) 23.解：（Ⅰ）由C C cos 32sin = 得C C C cos 3cos sin 2=，因为C 为锐角，0cos ≠C ， 从而23sin = C 。故角C 的大小3 π。 （Ⅱ）由4,1==b a ，根据余弦定理得133 cos 2222=-+=π ab b a c ，故边c 的长是13。 24.解：（Ⅰ）1F (1,0)-，2F (1,0) （Ⅱ）（i ）当直线AB 的斜率不存在时，由对称性可知0m =. （ii ）当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，1122(,),(,)A x y B x y . 由题意得121, 1.x x ≠-≠- 直线PA 的斜率为 1111()11y m kx k m x x --+=++；直线2PF 的斜率为2m -； 直线PB 的斜率为 2222() 11 y m kx k m x x --+=++. 由题意得 1212()()()0121 kx k m kx k m m x x -+-++-+=++. 化简整理得1212(4)3()(45)0.(*)k m x x m x x k m --+-+= 将直线AB 的方程(1)y k x =-代入椭圆方程，化简整理得 2222(43)84120k x k x k +-+-=. 由韦达定理得221212228412 ,.4343 k k x x x x k k -+= =++ 代入(*)并化简整理得216200k m k m ++=.从而2 20.161 k m k =-+ 当0k =时，0m =；当0k ≠时， 220||5 ||.1612 k m k = ≤=+ 故m 的所有整数值是2,1,0,1,2.-- 25.解：（Ⅰ）单调递增区间是]1,(-∞，单调递减区间是),1[+∞. （Ⅱ）当0=x 时，不等式2 )(kx x f ≥成立； 当0≠x 时，2 )(kx x f ≥等价于2 ])1([1 a x x k --≤ . 设? ? ?≤<+-≤<---=--=21)],1([1 0)],1([)1()(x a x x x a x x a x x x h （i ）当1-≤a 时，)(x h 在]2,0(上单调递增，所以)2()(0h x h ≤<，即)1(2)(0a x h -≤<. 故2 )1(41 a k -≤ . （ii ）当01<<-a 时，)(x h 在]21, 0(a -上单调递增，在]1,2 1[a -上单调递减，在]2,1[上单调递增. 因为)2 1(4)1(22)2(2a h a a h -=-> -=，所以)2()(0h x h ≤<，即)1(2)(0a x h -≤<. 故2 )1(41 a k -≤ . （iii ）当10<≤a 时，)x (h 在]21, 0(a -上单调递增，在)a 1,2 a 1[--上单调递减，在]1,a 1(-上单调递减，在)1,1[a +上单调递增，在]2,1(a +上单调递增， 所以)}2 1( ),2(max{)()1(a h h x h h -≤≤且0)(≠x h . 因为)2 1(4)1(22)2(2a h a a h -=-> -=，所以a x h a 22)(-≤≤-且0)(≠x h . 当3 2 0< ≤a 时，因为a a ->-22，所以2 )1(41a k -≤； 当 132<≤a 时，因为a a -≤-22，所以21 a k ≤. 综上所述，当32 a k ≤ www.zxsx.co m
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