参数方程直线、圆专题练习...
评卷人得分
一．选择题（共9小题）
1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM|的最小值为（）
A．0 B．C．D．2
2．直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C． D．
3．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（）
A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线
5．参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支
6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±5，0）D．（0，±3）
7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是（）A．αB．α﹣C．α+D．α+
8．已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（）
A．B．﹣C．2 D．﹣2
评卷人得分
二．填空题（共16小题）
10．参数方程（α为参数）化成普通方程为．
11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是．12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为
13．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是．
14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相切，则实数m的值为．
15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是．
16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为．
17．参数方程（θ为参数）化为普通方程是．
18．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：ρcos（θ+）=t，若两曲线有公共点，则t的取值范围是．
19．直线（t为参数）对应的普通方程是．
20．直线（t为参数）的倾斜角的大小为．
21．将参数方程（t为参数）化为普通方程是．
22．直线（t为参数）被圆（θ为参数）所截得的弦长为．
23．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是．24．已知直线C1：（t为参数），C2：（θ为参数），当α=时，则C1与C2的交点坐标为．
25．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是．评卷人得分
三．解答题（共5小题）
26．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数）．以坐标原点O为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称；
（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长．
27．已知直线l参数方程：（t为参数），曲线C1：．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；
（2）若点M在曲线C1上运动，求M到直线l距离的最小值．
28．已知直线l：（t为参数），曲线C1：，（θ为参数）．（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（2）曲线C2为（θ为参数），点P是曲线C2上的一个动点，求它
到直线l的距离的最小值．
29．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
30．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
参数方程直线、圆专题练习
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的方程为x﹣y﹣2=0，P、M分别为曲线C和直线l上的点，则|PM|的最小值为（）
A．0 B．C．D．2
【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和正弦型函数的性质及点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：曲线C的参数方程为（θ为参数），
设P（2c osθ，sinθ），
则：点P到直线x﹣y﹣2=0的距离d==，
当sin（θ+α）=1时，|PM|的最小值为．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用．
2．直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（）A．B．C． D．
【分析】根据题意，将直线的参数方程变形为普通方程，由直线的方程形式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，直线l的参数方程为（t为参数），则到直线的方程为，
所以直线的斜率为，倾斜角为，
故选：C．
【点评】本题考查直线的参数方程及倾斜角，注意将直线的参数方程变形为普通方程．
3．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（）A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】分别化直线与圆的参数方程为普通方程，再由圆心在直线上可得弦长．【解答】解：由，得x﹣，
由，得（x﹣1）2+y2=1．
∴圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），半径为1．
而圆心（1，0）在直线x﹣上，
∴直线与曲线相交的弦长为2．
故选：B．
【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查直线与圆位置关系的应用，是基础题．
4．已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（）
A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线
【分析】曲线的参数方程消去参数t，得x﹣3y=5．再由0≤t≤5，得﹣1≤y≤24．从而求出该曲线是线段．
【解答】解：由（0≤t≤5），消去参数t，得x﹣3y=5．
又0≤t≤5，故﹣1≤y≤24．
故该曲线是线段．
故选：A．
【点评】本题考查曲线形状的判断，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、
化归与转化思想，是基础题．
5．参数方程（t为参数，且0≤t≤3）所表示的曲线是（）
A．直线B．圆弧C．线段D．双曲线的一支
【分析】根据题意，由参数方程中t的范围分析可得x、y的范围，结合参数方程消去参数可得x﹣3y=10，结合x、y的范围分析可得答案．
【解答】解：根据题意，参数方程，若0≤t≤3，
则有：4≤x≤31，﹣2≤y≤7，
又由参数方程，则y+2=（x﹣4），即x﹣3y=10，
又由4≤x≤31，﹣2≤y≤7，
则参数方程表示的是线段；
故选：C．
【点评】本题考查参数方程与普通方程的转化，注意t的取值范围．
6．椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的两个焦点坐标是（）
A．（±4，0）B．（0，±4）C．（±5，0）D．（0，±3）
【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为普通方程，分析a、b的值，计算可得c的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为（θ为参数），
则其普通方程为+=1，
其中a=5，b=3，
则c==4，
其它的两个焦点坐标是（±4，0）；
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的参数方程，关键是将椭圆的方程变形为普通方程．
7．已知α是锐角，则直线（t为参数）的倾斜角是（）
A．αB．α﹣C．α+D．α+
【分析】设直线的倾斜角为θ，则tanθ==，α锐角，
化简即可得出．
【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tanθ====，α锐角．
∴θ=，
故选：C．
【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系、诱导公式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．已知M为曲线C：（θ为参数）上的动点．设O为原点，则|OM|的最大值是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】直接把圆的参数方程转化为直角坐标方程，进一步利用两点间的距离公式求出结果．
【解答】解：曲线C：（θ为参数）
转化为：（x﹣3）2+y2=1，
则：圆心（3，0）到原点（0.0）的距离为3，
故点M到原点的最大值为：3+1=4．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和直角坐标方程的转化，两点间的距离
公式的应用．
9．已知椭圆的参数方程（t为参数），点M在椭圆上，对应参数t=，点O为原点，则直线OM的斜率为（）
A．B．﹣C．2 D．﹣2
【分析】将点对应的参数代入椭圆的参数方程得到M的坐标，再利用直线的斜率公式即可求出答案．
【解答】解：当t=时，点M的坐标为（2cos，4sin），即M（1，2），∴OM的斜率为k=2．
故选：C．
【点评】本题主要考查了椭圆的参数方程，直线的斜率等基本知识，属于基础题．
二．填空题（共16小题）
10．参数方程（α为参数）化成普通方程为x2+（y﹣1）2=1．【分析】欲将参数方程（α为参数）化成普通方程，只须消去参数即可，利用三角函数的同角公式中的平方关系即得．
【解答】解：∵（α为参数）
∴x2+（y﹣1）2
=cos2α+sin2α=1．
即：参数方程（α为参数）化成普通方程为：
x2+（y﹣1）2=1．
故答案为：x2+（y﹣1）2=1．
【点评】本小题主要考查参数方程的概念的应用、圆的参数方程的概念、三角函数的同角公式等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于基础题．
11．已知椭圆的参数方程为，则该椭圆的普通方程是．
【分析】根据题意，由椭圆的参数方程可得=cosα，=sinα，进而可得，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆的参数方程为，
则有=cosα，=sinα，
则有，
即该椭圆的普通方程为：，
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意椭圆的参数方程的形式，属于基础题．
12．椭圆（θ为参数）的右焦点坐标为（1，0）
【分析】根据题意，将椭圆的参数方程变形为标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，即可得椭圆的右焦点坐标，即可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆（θ为参数）的普通方程为+=1，
其中a=2，b=，
则c=1；
故椭圆的右焦点坐标为（1，0）；
故答案为：（1，0）
【点评】本题考查椭圆的参数方程，注意将椭圆的参数方程变形为普通方程．
13．已知圆C的参数方程为（θ为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，则直线l截圆C所得的弦长是．
【分析】利用弦长=，（其中d为弦心距）公式即可计算出．
【解答】解：直线l的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标系下的普通方程为y+x=1；
由圆C的参数方程为（θ为参数），消去参数θ化为普通方程x2+（y ﹣2）2=1，其圆心C（0，2），半径r=1．
直线l截圆C所得的弦长=2=．
故答案为．
【点评】熟练弦长、弦心距及半径三者之间的关系是解题的关键．
14．若直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相切，则实
数m的值为﹣3或7．
【分析】把参数方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m 的值．
【解答】解：直线l：（t为参数）即2x﹣y+m﹣2=0．
曲线C：曲线（θ为参数）即x2+y2=5，表示以（0，0）为圆心，半径等于的圆．
再根据圆心到直线的距离等于半径，可得==，求得m=﹣3或7，
故答案为：﹣3或7．
【点评】本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．
15．设点A是曲线是参数）上的点，则点A到坐标原点的最大距离是3．
【分析】设A（，1+sinθ），原点O（0，0），
|AO|==，由此能求出点A到坐标原点取最大距离．
【解答】解：∵点A是曲线是参数）上的点，
∴设A（，1+sinθ），原点O（0，0），
|AO|=
=
=，
∴当sin（）=1时，点A到坐标原点取最大距离3．
故答案为：3．
【点评】本题考查两点间距离的最大值的求法，考查勇数方程、两点间距离公式、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
16．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．【分析】直线消去参数t，得x﹣2y=0，曲线消去参数，得（x﹣2）2+y2=1，联立，能求出交点个数．
【解答】解：直线（t为参数）消去参数t，得x﹣2y=0，
曲线（θ为参数）消去参数，得（x﹣2）2+y2=1，
联立，得或．
∴直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点个数为2．故答案为：2．
【点评】本题考查直线与曲线的交点个数的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中
档题．
17．参数方程（θ为参数）化为普通方程是（x﹣3）2+y2=1．【分析】由参数方程可得，结合sin2θ+cos2θ=1可得答案．【解答】解：由参数方程可得，
两边平方作和得（x﹣3）2+y2=1．
故答案为：（x﹣3）2+y2=1．
【点评】本题主要考查参数方程与普通方程的相互转化，属于基础题．
18．直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C1：（θ为参数），曲线C2：ρcos（θ+）=t，若两曲线有公共点，则t的取值范围是t＜﹣1或t＞3．
【分析】分别化直线和圆的方程为普通方程，由直线和圆的位置关系可得t的不等式，解不等式可得．
【解答】解：由C1：可得cosθ=x﹣1，sinθ=y，
两式平方相加可得（x﹣1）2+（y）2=1，
整理可得（x﹣2）2+y2=4，表示圆心为（2，0）半径为2的圆，
由C2：ρcos（θ+）=t可得ρcosθ﹣ρsinθ=t，
即x﹣y=t，即x﹣y﹣2t=0，表示一条直线，
由两曲线有公共点可得直线与圆相离，
∴圆心到直线的距离d大于半径，即＞2，
解得t＜﹣1或t＞3
故答案为：t＜﹣1或t＞3
【点评】本题考查圆的参数方程和直线的极坐标方程，化为普通方程并利用直线和圆的位置关系是解决问题的关键，属基础题．
19．直线（t为参数）对应的普通方程是x+y﹣1=0．
【分析】利用加减消元法消去参数t，即可得到直线的普通方程．
【解答】解：两个方程相加得x+y﹣1=0，
故答案为：x+y﹣1=0．
【点评】本题考查了参数方程与普通方程的转化，属于基础题．
20．直线（t为参数）的倾斜角的大小为．
【分析】化参数方程为普通方程，求出斜率，即可求得倾斜角．
【解答】解：（t为参数）化参数方程为普通方程，两方程相加可得x+y=2，则直线的斜率为﹣1，
故倾斜角为．
故答案为：．
【点评】本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，解题的关键是化参数方程为普通方程，属于基础题．
21．将参数方程（t为参数）化为普通方程是2x+y﹣3=0．
【分析】2x=2+2，与y=1﹣2相加即可得出．
【解答】解：2x=2+2，与y=1﹣2相加可得：2x+y=3．
故答案为：2x﹣y﹣3=0．
【点评】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
22．直线（t为参数）被圆（θ为参数）所截得的弦长为．
【分析】分别化直线与圆的参数方程为普通方程，由点到直线的距离公式求出圆
心到直线的距离，再由垂径定理得答案．
【解答】解：由，得x+y﹣8=0，
由，得，
两式平方作和得：（x﹣3）2+（y+1）2=25．
∴圆心坐标为（3，﹣1），半径为5．
圆心到直线的距离d=．
∴直线被圆所截弦长为2．
故答案为：．
【点评】本题考查参数方程化普通方程，考查了直线与圆位置关系的应用，考查垂径定理的应用，是基础题．
23．直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的交点个数是2．【分析】直线与曲线的参数方程，化为普通方程，联立可得13x2﹣18x﹣27=0，即可得出结论．
【解答】解：直线（t为参数）与曲线（θ为参数），普通方程分别为x+y﹣1=0，=1，
联立可得13x2﹣18x﹣27=0，△=（﹣18）2﹣4×13×（﹣27）＞0，
∴交点个数是2，
故答案为：2．
【点评】本题考查直线的参数方程与普通方程的转化，考查方程思想，比较基础．
24．已知直线C1：（t为参数），C2：（θ为参数），当α=时，则C1与C2的交点坐标为（1，0），（，﹣）．
【分析】先消去参数将曲线C1与C2的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可．
【解答】解：（Ⅰ）当α=时，C1的普通方程为y=（x﹣1），C2的普通方程为x2+y2=1．
联立方程组，解得C1与C2的交点为（1，0），（，﹣）．
故答案为（1，0），（，﹣）．
【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，比较基础．
25．若直线l的参数方程为，t∈R，则直线l在y轴上的截距是1．【分析】令x=0，可得t=1，y=1，即可得出结论．
【解答】解：令x=0，可得t=1，y=1，
∴直线l在y轴上的截距是1．
故答案为1．
【点评】本题考查参数方程的运用，考查学生的计算能力，比较基础．
三．解答题（共5小题）
26．在直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数）．以坐标原点O为极
点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程，并说明方程所表示的曲线名称；
（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系，若相交，求出弦长．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数）．
转换为直角坐标方程为：x﹣2y﹣4=0．（x≥2）．
故该曲线表示一条射线．
曲线C2：ρ2﹣10ρcosθ﹣6ρsinθ+25=0．
转换为直角坐标方程为：x2+y2﹣10x﹣6y+25=0，
整理得：（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，
该曲线表示以（5，3）为圆心，3为半径的圆．
（Ⅱ）由于该圆是以（5，3）为圆心，3为半径，
所以与射线x﹣2y﹣4=0．（x≥2）有两个交点．
圆心到射线的距离d=，
所以弦长l=2=4．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用．
27．已知直线l参数方程：（t为参数），曲线C1：．
（1）求直线l的直角坐标方程和曲线C1的参数方程；
（2）若点M在曲线C1上运动，求M到直线l距离的最小值．
【分析】（1）直接利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换和点到直线的距离公式求出结果．
【解答】解：（1）直线l参数方程：（t为参数），
转化为直角坐标方程为：x+2y﹣10=0．
曲线C1：．
转换为参数方程为：（θ为参数），
（2）设M（3cosθ，2sinθ）到直线l的距离d==．
当sin（θ+α）=1时，．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，三角函数关系式的恒等变换，点到直线的距离公式的应用．
28．已知直线l：（t为参数），曲线C1：，（θ为参数）．（1）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；
（2）曲线C2为（θ为参数），点P是曲线C2上的一个动点，求它
到直线l的距离的最小值．
【分析】（1）转化hi街利用转换关系式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，进一步求出弦长．
（2）利用三角函数关系式的恒等变换，进一步利用点到直线的距离公式求出结果．
【解答】解：（1）直线l：（t为参数，
转化为直角坐标方程为：，
曲线C1：，（θ为参数）．
转化为直角坐标方程为：x2+y2=1，
则：，解得交点的坐标A（1，0），B（，）．
所以：|AB|=1．
（2）曲线C2为（θ为参数），点P是曲线C2上的一个动点，
则点P的坐标是（），
从而点P到直线l的距离是
=，
当时，
d取得最小值，且最小值为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．
29．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的参数方程为，（θ为参数），过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点．
（1）求α的取值范围；
（2）求AB中点P的轨迹的参数方程．
【分析】（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα?x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=
＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．【解答】解：（1）∵⊙O的参数方程为（θ为参数），
∴⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，
当α=时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为x=0，成立；
当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα?x﹣，∵倾斜角为α的直线l与⊙O交于A，B两点，
∴圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，
∴tan2α＞1，∴tanα＞1或tanα＜﹣1，
∴或，
综上α的取值范围是（，）．
（2）由（1）知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x=m（y+），
设A（x1，y1），（B（x2，y2），P（x3，y3），
联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，
，
=﹣+2，
=，=﹣，
∴AB中点P的轨迹的参数方程为，（m为参数），（﹣1＜m＜1）．
【点评】本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
30．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），直线l的参数方程为，（t为参数）．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为（1，2），求l的斜率．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行
学习好资料欢迎下载 8.2椭圆的几何性质（5） ——椭圆的参数方程（教案） 齐鲁石化五中翟慎佳2002.10.25 一.目的要求： 1?了解椭圆参数方程，了解系数a b、「含义。 2. 进一点完善对椭圆的认识，并使学生熟悉的掌握坐标法。 3. 培养理解能力、知识应用能力。 二.教学目标： 1. 知识目标：学习椭圆的参数方程。了解它的建立过程，理解它与普通方 程的相互联系；对椭圆有一个较全面的了解。 2. 能力目标：巩固坐标法，能对简单方程进行两种形式的互化；能运用参 数方程解决相关问题。 3. 德育目标：通过对椭圆多角度、多层次的认识，经历从感性认识到理性 认识的上升过程，培养学生辩证唯物主义观点。 三.重点难点： 1. 重点：由方程研究曲线的方法；椭圆参数方程及其应用。 2. 难点：椭圆参数方程的推导及应用。 四.教学方法： 引导启发，计算机辅助，讲练结合。 五.教学过程： （一）引言（意义） 人们对事物的认识是不断加深、层层推进的，对椭圆的认识也遵循这一规律。 本节课学习椭圆的参数方程及其简单应用，进一步完善对椭圆认识。（二）预备知识（复习相关） 1. 求曲线方程常用哪几种方法？ 答：直接法，待定系数法，转换法〈代入法〉，参数法。 2. 举例：含参数的方程与参数方程
2 “ x = 2t 例如：y =kx+1 （k 参数）含参方程'而I 十1 （t 参数） 3 ?直线及圆的参数方程？各系数意义? （三）推导椭圆参数方程 1. 提出问题（教科书例5） 例题.如图，以原点为圆心，分别以 a b （a>b>0）为半径作两个圆。 点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点 A 作AN _0x ,垂足为N ，过 点B 作BM _AN ，垂足为M 。求当半径0A 绕点0旋转时点M 的轨迹 的参数方程。 2. 分析问题 本题是由给定条件求轨迹的问 题，但动点较多，不易把握。故采用 间接法 --- 参数法。 引导学生阅读题目，回答问题： （1） 动点M 是怎样产生的？ M 与A 、B 的坐标有何联系？ （2） 如何设出恰当参数？ 设/ AOX=:为参数较恰当。 3. 解决问题（板演） 解：设点M 的坐标（x,y ），是以Ox 为始边，OA 为终边的正角, 取为参数，那么 x=ON=|OA|cos 「， y=NM=|OB|sin 「即 4. 更进一步（板演：化普通方程） -=cos? 分别将方程组①的两个方程变形，得t a 两式平方后相加, '=si n? 是参数方程。 J 5 *實 x = a cos? y =bsin ①引为点M 的轨迹参数方程，「为参数。
直线与圆 1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则 k ＝( ) A ．0 B. 3 C.3 3 或0 D.3或0 解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k | 1＋k 2 ＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D. 2．圆：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0上的点到直线x －y ＝2距离的最大值是( ) A ．1＋ 2 B ．2 C ．1＋ 2 2 D ．2＋2 2 解析：选A 将圆的方程化为(x －1)2＋(y －1)2＝1，即圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x －y ＝2的距离d ＝|1－1－2| 2＝2，故圆上的点到直线x －y ＝2距离的最大值为d ＋1＝2＋1. 3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
解析：选A 依题意，注意到|AB|＝2＝|OA|2＋|OB|2等价于圆心O到直线l 的距离等于 2 2 ，即有 1 k2＋1 ＝ 2 2 ，k＝±1.因此，“k＝1”是“|AB|＝2”的充分 不必要条件． 4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 5．当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，5为半径的圆的方程为( ) A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0 C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0 解析：选C 由(a－1)x－y＋a＋1＝0得(x＋1)a－(x＋y－1)＝0，由x＋1＝0且x＋y－1＝0，解得x＝－1，y＝2，即该直线恒过点(－1,2)，∴所求圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是( ) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2
直线和圆的方程知识关系 直线的方程一、直线的倾斜角和斜率 1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时,其倾斜角为0o,故直线倾斜角α的范围是0180 α< o o ≤. 2.直线的斜率:倾斜角不是90o的直线其倾斜角α的正切叫这条直线的斜率k,即 tan kα =. 注：①每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率. ②当ο 90 = α时，直线l垂直于x轴，它的斜率k不存在. ③过两点 111 (,) P x y、 222 (,) P x y 12 () x x ≠的直线斜率公式21 21 tan y y k x x α - == - 二、直线方程的五种形式及适用条件 名称方程说明适用条件 斜截式y=kx+b k—斜率 b—纵截距 倾斜角为90°的直线 不能用此式 点斜式y-y0=k(x-x0) (x0，y0)—直线上已 知点， k ──斜率 倾斜角为90°的直线 不能用此式 两点式1 21 y y y y - - =1 21 x x x x - - (x1，y1)，(x2，y2) 是直线上两个已知 点 与两坐标轴平行的直 线不能用此式 截距式 x a + y b =1 a—直线的横截距 b—直线的纵截距 过（0，0）及与两坐 标轴平行的直线不能 用此式 一般式 A x+ B y+C=0 (A、B不全为零) A、B不能同时为零
直线和圆的方程
简单的线性规划例13. 若点（3，1）和（4 -，6）在直线0 2 3= + -a y x的两侧，则实数a的取值范围是 ()724 A a a <-> 或()724 B a -<<()724 C a a =-= 或（D）以上都不对例14. ABC ?的三个顶点的坐标为(2,4) A，(1,2) B-，(1,0) C，点(,) P x y在ABC ?内部及边界上运动，则2 y x -的最大值为，最小值为。 例15. 不等式组： 10 x y x y y -+ + ? ? ? ? ? ≥ ≤ ≥ 表示的平面区域的面积是； 例16.20个劳动力种50亩地，这些地可种蔬菜、棉花或水稻，如果种这些农作物每亩地所需的劳动力和预计产值如下表。问怎样安排才能使每亩都种上农作物，所有的劳动力都有工作且农作物的预计产值最高？ 例17.某集团准备兴办一所中学，投资1200万用于硬件建设.为了考虑社会效益和经济利益，对该地区教育市场进行调查，得出一组数据列表（以班为单位）如下： 根据有关规定，除书本费、办公费外，初中生每年可收取学费600元，高中生每年可收取学费1500元.因生源和环境等条件限制，办学规模以20至30个班为宜.
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 4 1，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在 的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（市区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（市区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么 此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘米和 17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（市）如图，⊙O 为△ABC 的切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
对于圆的普通方程222()()x a y b R -+-=来说，圆的方程还有另外一种表达 形式cos sin x a R y b R θθ=+??=+?(θ为参数） ，在解决有些问题时，合理的选择圆方程的表达形式，能给解决问题带来方便，本文浅谈圆的参数方程再解题中的应用。 一、求最值 例1 已知点（x ，y ）在圆221x y +=上，求2223x xy y ++的最大值和最小值。 【解】圆2 2 1x y +=的参数方程为：cos sin x y θθ=??=? 。 则2223x xy y ++=22cos 2sin cos 3sin θθθθ++ = 1cos 21cos 2sin 2322θθθ+-++? 2sin 2cos 2θθ=+-=22sin(2)4π θ+-，则38k πθπ=+（k ∈Z ）时，2223x xy y ++的最大值为：22+；8 k π θπ=-（k ∈Z ） 时，2223x xy y ++的最小值为22-。 【点评】解某些与圆的方程有关的条件制问题，可应用圆的参数方程转化为三角函数问题的方法解决。 二、求轨迹 例2 在圆224x y +=上有定点A （2，0），及两个动点B 、C ，且A 、B 、C 按逆时针方向排列， ∠BAC=3π ，求△ABC 的重心G （x ，y ）的轨迹 方程。 【解】由∠BAC= 3 π，得∠BOC=23π，设∠ABO=θ（403π θ<<），则B(2cos θ,2sin θ)，C(2cos(θ+23π)，2sin(θ+23 π ))，由重心坐标公式并化简，得： 22cos()333 2sin()33x y πθπθ? =++??? ?=+?? ，由5333πππθ<+<，知0≤x ＜1， C x y O A B 图1
2014年中考专题训练直线和圆的位置关系 一、选择题（每题4分，共40分） 1．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO=26cm，PA=24cm，则⊙O的周长为（） A．18πcm B．16πcm C．20πcm D．24πcm 2．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（）A．40°B．50°C．65°D．75° 3．如图所示，⊙O是线段AB上的一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（）A．50°B．40°C．60°D．70° 第1题第2题第3题 4．Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径作圆，若圆C与直线AB相切，则r 的值为（）A．2cm B．2.4cm C．3cm D．4cm 5．如图，△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，D、E分别是AC、AB的中点，则以DE为直径的圆与BC的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．无法确定 第5题第6题第7题 6．如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画半圆，分别交AB、AC于点E、D，DF是圆的切线，过点F作BC的垂线交BC于点G．若AF的长为2，则FG的长为（） A．4B．C．6D． 7．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（）8．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O外一点，过点C作的⊙O切线，切点为B，连结AC交⊙O于D，∠C=38°．点E在AB右侧的半圆上运动（不与A、B重合），则∠AED的大小是（） 第8题第9题第10题 9．如图，AB是⊙0的弦，BC与⊙0相切于点B，连接OA、OB．若∠ABC=70°，则∠A等于（）A．15°B．20°C．30°D．70° 10．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30° 二、填空题（每题6分，共30分）11．如图，AB是半圆O的直径，点P在AB的延长线上，PC切半圆O于点C，连接AC．若∠CPA=20°，则∠A= °． 第11题第12题第13题 12．如图，PA是⊙O的切线，A为切点，B是⊙O上一点，BC⊥AP于点C，且OB=BP=6，则BC= ．13．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠BAD=35°，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，则∠C= ° 14．如图，在△ABC中，AB=2，AC=，以A为圆心，1为半径的圆与边BC相切，则∠BAC的度数是° 第14题第15题 15．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A，若∠MAB=30°，则∠B= ° 三、解答题（每题8分，共80分） 16．如图，⊙O经过菱形ABCD的三个顶点A、C、D，且与AB相切于点A （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）求∠B的度数． 17．已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C． （1）求∠BAC的度数； （2）求证：AD=CD． 18．如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠ B=60°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE是⊙O的切线．
高中数学复习讲义第八章直线和圆的方程
【方法点拨】 1．掌握直线的倾斜角，斜率以及直线方程的各种形式，能正确地判断两直线位置关系，并能熟练地利用距离公式解决有关问题．注意直线方程各种形式应用的条件．了解二元一次不等式表示的平面区域，能解决一些简单的线性规划问题． 2.掌握关于点对称及关于直线对称的问题讨论方法,并能够熟练运用对称性来解决问题. 3．熟练运用待定系数法求圆的方程． 4．处理解析几何问题时，主要表现在两个方面：(1)根据图形的性质，建立与之等价的代数结构;(2)根据方程的代数特征洞察并揭示图形的性质．5．要重视坐标法，学会如何借助于坐标系，用代数方法研究几何问题，体会这种方法所体现的数形结合思想． 6.要善于综合运用初中几何有关直线和圆的知识解决本章问题；还要注意综合运用三角函数、平面向量等与本章内容关系比较密切的知识． 第1课直线的方程 【考点导读】 理解直线倾斜角、斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的几种形式，能根据条件，求出直线的方程． 高考中主要考查直线的斜率、截距、直线相对坐标系位置确定和求在不同条件下的直线方程，属中、低档题，多以填空题和选择题出现，每年必考.
【基础练习】 1. 直线x cos α＋ 3y ＋2＝0 的倾斜角范围是50,,66πππ????????????? 2. 过点)3,2(P ，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 10320-+=-=或x y x y 3.直线l 经过点（3，-1），且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，则直线l 的方程为42=-=-+或y x y x 4.无论k 取任何实数，直线()()()14232140k x k y k +--+-=必经过一定点P ，则P 的坐标为（2，2） 【范例导析】 例1.已知两点A （－1，2）、B （m ，3） （1）求直线AB 的斜率k ； （2）求直线AB 的方程； （3）已知实数m 1? ?∈???? ，求直线AB 的倾斜角α的取值范围． 分析：运用两点连线的子斜率公式解决，要注意斜率不存在的情况. 解:（1）当m =－1时，直线AB 的斜率不存在． 当m ≠－1时，1 1 k m = +， （2）当m =－1时，AB ：x =－1， 当m ≠1时，AB ：()1 211 y x m -= ++. （3）①当m =－1时，2 π α=； ②当m ≠－1时， ∵( 1,1k m ?=∈-∞?+∞??+??
圆柱和圆锥精选拓展提高专项训练（一） 一．解答题（共30小题） 1．（2011?龙湖区）一个高为20厘米的圆柱体，如果它的高增加3厘米，则它的表面积增加150.72平方厘米，求原来圆柱体的体积是多少立方厘米？ 2．（2008?高邮市）如图中是一块长方形铁皮（每个方格的边长表示1平方分米），剪下图中的涂色部分可以围成一个圆柱．这个圆柱的侧面积是多少平方分米？体积是多少立方分米？ 3．如图是一个油桶，里面装了一些油（图中阴影部分），求油有多少升？ 4．求表面积（单位：厘米）
5．只列式，不计算． （1）做30根圆柱形铁皮通风管，每根底面直径为26厘米，长85厘米，至少需要多少铁皮？（2）明珠灯泡厂原计划30天生产4.2万只，实际提前4天完成任务，实际每天生产多少只？ 6．A和B都是高度为12厘米的圆柱形容器，底面半径分别是1厘米和2厘米，一水龙头单独向A注水，一分钟可注满．现将两容器在它们的高度的一半出用一根细管连通（连通管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，求 （1）2分钟容器A中的水有多高？ （2）3分钟时容器A中的水有多高． 7．（2013?陆良县模拟）一个圆柱体的底面半径与一个圆锥体的底面半径之比为4：1，该圆锥体的底面积为12.56平方米，已知圆柱体的高为3厘米，试求圆柱体的体积是多少？ 8．（2005?华亭县模拟）看图计算：右边是一个圆柱体的表面展开图，根据所给的数据，求原来圆柱体的体积． 9．在方格纸上画出右边圆柱的展开图（每个方格边长1cm）．算出制作这个圆柱所用材料的面积．
10．选择下面合适的图形围成最大的圆柱．（单位：厘米） （1）你会选择_________图形（填编号） （2）计算它的表面积和体积． 11．一个圆柱形玻璃缸，底面直径20厘米，把一个钢球放入水中，缸内水面上升了2厘米，求这个钢球的体积．（π取3.1） 12．一个圆柱侧面展开是一个正方形，这个圆柱的底面直径是4厘米，高是多少？ 13．将下面的长方形（图1）绕着它的一条边旋转一周，得到一个圆柱体（图2），求旋转所形成的圆柱体的体积．（单位：厘米）
专题七：直线与圆 例1：不等式063<-+ay x )0(>a 表示的平面区域是在直线063=-+ay x （ ） 的点的集合。 （A ）左上方 （B ）右上方 （C ）左下方 （D ）右下方 [思路分析] 作出直线063=-+ay x ，又因为06003<-?+?a ，所以原点在区域内侧表示直线的左下方，故选取C 。 [简要评述] 用特殊值法解选择题是常用的方法。 例2：若直线k x y +=与曲线21y x -=恰有一个公共点，则k 的取值范围是 ( ) （A ）2±=k （B ）[)(]2,,2-∞-+∞ （C ）() 2,2- （D ）2-=k 或(-1,1] [思路分析] 数形结合的思想，k x y += 表示一组斜率为1的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。如图可知，选（D ） [简要评述] 数形结合思想的灵活运用，此题 可以进一步拓展，21y x --=，21x y -±=等。 例3：如果实数x 、y 满足()322=+-y x ，那么x y 的最大值是 。 [思路分析] 解法一：设直线l ：kx y =，则x y 表示直线l 的斜率，直线l 与圆 ()322=+-y x 距离为半径即可。 解法二：设圆的参数方程：?????=+=θ θsin 3cos 32y x 则 θ θcos 32sin 3+=x y 据三角知识求解。 解法三：设x y =t ，则???==+-tx y y x 3)2(22 只要解方程组，利用0=?可得解。
解法四：如图，联结圆心C 与切点M ，则由OM ⊥CM ，又Rt △OMC 中，OC=2，CM=3 所以，OM=1，得3==OM MC x y [简要评述] 小题小做，选方法四最为简单，数形结合的数学思想的灵活运用。 例4：已知两点)2,(m A ，)1,3(B ，求直线AB 的斜率与倾斜角。 [思路分析] 注意斜率存在的条件。当3=m 时，k 不存在。α= 2π，当3≠m 时， 31312tan -=--==m m k α；当3>m 时,3 1arctan -=m α，当3 专题六、解析几何（一） 直线和圆 1.直线方程：0=+++=c by ax t kx y 或 2.点关于特殊直线的对称点坐标： （1）点),(00y x A 关于直线方程x y =的对称点),(n m A '坐标为：0y m =，0x n =； （2） 点),(00y x A 关于直线方程b x y +=的对称点),(n m A '坐标为：b y m -=0，b x n +=0； （3）点),(00y x A 关于直线方程x y -=的对称点),(n m A '坐标为：0y m -=，0x n -=； （4）点),(00y x A 关于直线方程b x y +-=的对称点),(n m A '坐标为：b y m +-=0，b x n +-=0； 3.圆的方程：()()2 2 2 x a y b r -+-=或() 2 2 2 2 040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 无xy 。 4.直线与圆相交： （1）利用垂径定理和勾股定理求弦长: 弦长公式：222d r l -=（d 为圆心到直线的距离），该公式只适合于圆的弦长。 若直线方程和圆的方程联立后，化简为：02 =++c bx ax ，其判别式为?，则 弦长公式（万能公式）：12l x =-= a k a c a k ? +=--+=2 2214b 1）（ 注意：不需要单独把直线和圆的两个交点的坐标求出来来求弦长，只要设出它们的坐标即可， 再利用直线方程和圆的联立方程求解就可达到目标。这是一种“设而不求”的技巧，它可以简化运算，降低思考难度，在解析几何中具有十分广泛的应用。 5.圆的切线方程： （1）点在圆外： 如定点()00,P x y ，圆：()()2 2 2 x a y b r -+-=，[()()2 2 2 00x a y b r -+->] 第一步：设切线l 方程()00y y k x x -=-；第二步：通过d r =，求出k ，从而得到切线方程，这里的切线方程的有两条。特别注意：当k 不存在时，要单独讨论。 （2）点在圆上： 若点P ()00x y ，在圆()()2 2 2 x a y b r -+-=上，利用点法向量式方程求法，则切线方程为： ?=--+--0)(()((0000b y y y a x x x ））()()()()200x a x a y b y b r --+--=。 点在圆上时，过点的切线方程的只有一条。 由（1）（2）分析可知：过一定点求某圆的切线方程，要先判断点与圆的位置关系。 （3）若点P ()00x y ，在圆()()222x a y b r -+-=外，即()()22 200x a y b r -+->， 过点P ()00x y ，的两条切线与圆相交于A 、B 两点，则AB 两点的直线方程为： 200))(())((r b y b y a x a x =--+--。 6.两圆公共弦所在直线方程： 圆1C ：2 2 1110x y D x E y F ++++=，圆2C ：2 2 2220x y D x E y F ++++=， 则()()()1212120D D x E E y F F -+-+-=为两相交圆公共弦方程。 7.圆的对称问题： （1）圆自身关于直线对称：圆心在这条直线上。 （2）圆C 1关于直线对称的圆C 2：两圆圆心关于直线对称，且半径相等。 （3）圆自身关于点P 对称：点P 就是圆心。 圆的参数方程习题公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 圆的参数方程习题 1．设圆M的方程为(x－3)2＋(y－2)2=2，直线l的方程为x＋y－3=0，点P的坐标为(2，1)，那么 [ ] A．点P在直线l上，但不在圆M上 B．点P在圆M上，但不在直线l上 C．点P在圆M上，又在直线l上 D．点P既不在圆M上，又不在直线l上 2．两圆x2＋y2=4和x2＋y2－6x－8y－24=0的位置关系是 [ ] A．内切 B．外切 C．相交 D．内含 3．(1)化圆的普通方程x2＋y2－6x＋2y＋1=0为参数方程 迹方程，并说明轨迹是什么样的曲线． 8．求两圆x2＋y2=9与(x－6)2＋y2=1的内公切线的方程． 9．已知方程x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0(a＞0，a是常数，θ是参数) (1)证明：不论θ是何值，方程均表示圆． (2)求圆心的轨迹方程． 10．已知两圆x2＋y2=9和(x－3)2＋y2=27，求大圆被小圆截得的劣弧的长度． 圆的参数方程习题答案 1．C 2．A 8．圆O：x2＋y2=9，圆O′：(x－6)2＋y2=1 O点(0，0)，r=3；O′点(6，0)，r′=1 设P点为(x 0，y ) 9．(1)x2＋y2－2axcosθ－2aysinθ=0 即(x －acosθ)2＋(y －asinθ)2=a 2 ． ∴不论Q 是何值，方程总表示圆心在(acos θ，asin θ)半径为a 的圆． ∴圆心的轨迹方程为x 2＋y 2=a 2 的交点为A ，B ，A 、B 对应的参数为θ1，θ2，则θ1，θ2是方 直线与圆的位置关系、切线》 培优训练 参考答案与试题解析 一.选择题（共12小题） 1. （2013杨浦区二模）00的半径为R,直线I与OO有公共点，如果圆心到直线I的距离为d ,那么d与R的大小关系是（B ） A d >R B d WR C d >R D d v R 考点：直线与圆的位置关系. 专题：探究型. 分析：直接根据直线与圆的位置关系进行解答即可. 解：???直线I与O0有公共点， 解答： ??直线与圆相切或相交，即d W R. 故选B. 点评： 本题考查的是直线与圆的位置关系，即判断直线和圆的位置关系：设O0的半径为r,圆心O 到直线I的 距离为d ,当d v r时，直线I和OO相交；当d=r时，直线I和00相切；当d > r 时，直线I和O0相离. 2. （2014?嘉定区一模）已知OO的半径长为2cm ,如果直线I上有一点P满足PO=2cm ,那么直线I与00的位 置关系是（D ） A相切B相交C相离或相切D相切或相交 第1页共19页 考点：直线与圆的位置关系? 分析： 情据讨线与相位置关系熠直线l和判断直线和?圖的位置分JOP垂直于直直线l和G OP相垂直直线r；（两直解答：解：当0P垂直于直线I时，即圆心0到直线I的距离d=2=r ,00与I相切； 当OP不垂直于直线I时，即圆心O到直线I的距离d v 2=r , 00与直线I相交. 故直线I与00的位置关系是相切或相交. 故选D. 点评：本题考查直线与圆的位置关系 .解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定. 3. （2013宝应县二模）在平面直角坐标系中，以点（3, - 5）为圆心，r为半径的圆上有且仅有两点到x轴所在直线的距离等于1,则圆的半径r的取值范围是（D） A r >4 B 0v r v 6 C 4 < r V D 4 v r v 6 第1讲直线与圆(小题) 热点一直线的方程及应用 1.两条直线平行与垂直的判定 若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在. 2.求直线方程 要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线. 3.两个距离公式 (1)两平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离d ＝ |C 1－C 2|A 2 ＋B 2 (A 2＋B 2≠0). (2)点(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2 (A 2 ＋B 2≠0). 例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x ＋(1＋m )y －2＝0与直线mx ＋2y ＋4＝0平行，则m 的值是( ) A.1 B.－2 C.1或－2 D.－32 答案 A 解析 ①当m ＝－1时，两直线分别为x －2＝0和x －2y －4＝0，此时两直线相交，不合题意. ②当m ≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得??? －11＋m ＝－m 2， 2 1＋m ≠－2 解得m ＝1. 综上可得m ＝1. (2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就.现作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( ) A.x ＋(2－1)y －2＝0 B.(1－2)x －y ＋2＝0 C.x －(2＋1)y ＋2＝0 D.(2－1)x －y ＋2＝0 答案 C 解析 如图所示可知A (2，0)， B (1,1)， C (0，2)， D (－1,1)， 成都市中考20题---圆的综合 都江堰塔子坝中学 卢正谊 成都市中考20题---圆的综合，是成都中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练，尤其是前两问更是我们能否在中考中取得理想成绩的一个重要突破口． 重点例题 例1、（2015?成都）如图，在Rt ABC ?中，90ABC ∠=?， AC 的垂直平分线分别与AC ，BC 及AB 的延长线相交于点D ，E ，F ，且BF BC =.⊙O 是BEF ?的外接圆，EBF ∠的平分线交EF 于点G ，交⊙O 于点H ，连接BD ，FH . （1）求证：ABC EBF ???； （2）试判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （3）若1AB =，求HG HB ?的值. 例2、（2010?成都）已知：如图，ABC ?内接于⊙O，AB 为直径，弦CE AB ⊥于F ，C 是弧AD 的中点， 连结BD 并延长交EC 的延长线于点G ，连结AD ，分别交CE 、 BC 于点P 、Q ． （1）求证：P 是ACQ ?的外心； （2）若3 tan ,84 ABC CF ∠==,求CQ 的长； （3）求证：2 ()FP PQ FP FG +=．（课后思考） 中考圆的命题方向： 随着直线与圆位置关系的弱化，圆与圆、弦切角、切线长定理、相交弦定理、切割线定理以及割线定理等一系列知识的退出，新教材中圆的知识结构发生了重大的改变。在中考卷中，这种变化体现为考核的重心前移，视角更新。 1、重心前移 教材中讲述的比较重要的定理，经过调整，现在仅剩下垂径定理、弧、弦、圆心角关系定理、圆周角和圆心角关系 定理。这些定理都是圆中极其基础的知识，自身并不具有很强的纵深能力，因为内容删减之后仅余这三个“象样”点的知识，于是在中考试卷中逐渐地活跃起来，成为主导圆与其它知识综合的核心载体，典型手法是以选择、填空等客观性试题设计展现。 2、切线的证明不及以前 切线在原教材中作为圆的核心知识，具有很出色的连横纵深能力，前有圆的垂径定理，圆周角度数定理等等知识作为铺垫，后有弦切角、切线长定理、切割线定理等等作延伸。成都市中考中由于20题已具有选拨性质，所以切线证明仍然是重中之重。 3、与相似形综合成为热点 圆的内容大幅度删减，导致圆与相似形综合的问题开始逐渐地活跃起来，并一跃成为主导圆与其它知识综合的热点。. 练习： （2015?常德）已知如图，以Rt △ABC 的AC 边为直径作⊙O 交斜边AB 于点E ，连接EO 并延长交BC 的延长线于点D ，点F 为BC 的中点，连接EF （1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若⊙O 的半径为3，∠EAC ＝60°，求AD 的长。 怎样提高： 1、夯实基础，熟悉定理。 2、多钻研、多分析、多总结基本图形、基本解题思路。 3、常见辅助线。 4、主动、积极性的思维。 小结： 1、中考分值10分左右。 2、（1）、（2）问争取拿全分。 3、（3）问争取能拿分，不纠结。 A D F A B 椭圆的参数方程 教学目标： 1.了解椭圆的参数方程及参数的意义，并能利用参数方程来求最值、轨迹问题； 2.通过椭圆参数方程的推导过程，培养学生数形结合思想，化归思想，以及分 析问题和解决问题的能力。 3.通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：椭圆的参数方程。 教学难点：椭圆参数方程中参数的理解. 教学方式：讲练结合，引导探究。 教学过程： 一、复习 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程：22221(0)x y a b a b +=>> 焦点在y 轴上的椭圆的标准方程：22 221(0)y x a b a b +=>> 二、椭圆参数方程的推导 1. 焦点在x 轴上的椭圆的参数方程 因为22()()1x y a b +=，又22 cos sin 1??+= 设cos ,sin x y a b ??==，即a cos y bsin x ??=??=? ，这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 2.参数?的几何意义 问题、如下图，以原点O 为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径 作两个圆。设A 为大圆上的任意一点，连接OA,与小圆交于点B 。 过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当 半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程. 解：设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(x, y)。 那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点A,B 均在角? 的终边上，由三角函数的定义有 ||cos cos x OA a ??==， ||sin cos y OB b ??==。 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是 a cos y bsin x ??=??=? 这是中心在原点O,焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 () ?为参数 《直线和圆的方程》练习题 一、选择题 1、三角形ABC 中，A(－2，1)，B(1，1)，C(2，3)，则k AB ，k BC 顺次为 （ ） A ． － 71，2 B ． 2，－1 C ． 0，2 D ． 0，－7 1 2、斜率为－21，在y 轴上的截距为5的直线方程是 （ ） A ． x －2y = 10 B ． x + 2y = 10 C ． x －2y + 10 = 0 D ． x + 2y + 10 = 0 3、经过(1，2)点，倾斜角为135?的直线方程是 （ ） A ． y －2 = x －1 B ． y －1 =－(x －2) C ． y －2 = －(x －1) D ． y －1 =x －2 4、原点在直线l 上的射影是P (－2，1)，则直线l 的方程为 （ ） A ． x + 2y = 0 B ． x + 2y －4 = 0 C ． 2x －y + 5 = 0 D ． 2x + y + 3 = 0 5、如果直线ax + 2y + 2 = 0与3x －y －2 = 0直线平行，那么系数a = （ ） A ． －3 B ． －6 C ． －23 D ． 3 2 6、点(0，10)到直线y = 2x 的距离是 （ ） A ． 25 B ． 5 C ． 3 D ． 5 7、到点C(3，－2)的距离等于5的轨迹方程为 （ ） A ．(x －3)2 + (y + 2)2 = 5 B ． (x －3)2 + (y + 2)2 = 25 C ． (x + 3)2 + (y －2)2 = 5 D ．(x + 3)2 + (y －2)2 = 25 8、已知圆的方程为x 2 + y 2－4x + 6y = 0，下列是通过圆心直线的方程为（ ） A ． 3x + 2y + 1 = 0 B ． 3x －2y + 1= 0 C ．3x －2y = 0 D ． 3x + 2y = 0 9、已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为 （ ） A ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 25 B ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 100 C ．(x －1)2 + (y + 1)2 = 25 D ．(x + 1)2 + (y －1)2 = 100 10、直线3x + 4y + 2 = 0与圆x 2 + y 2 + 4x = 0交于A ，B 两点，则线段AB 的垂直平分线的方程是 （ ） A ． 4x －3y －2 = 0 B ． 4x －3y －6 = 0 C ． 4x + 3y + 6 = 0 D ． 4x + 3y + 8 = 0 11、直线3x －4y －5 = 0和(x －1)2 + (y + 3)2 = 4位置关系是 ( ) A ． 相交但不过圆心 B ． 相交且过圆心 C ． 相切 D ． 相离 12、点P (1，5)关于直线x + y = 0的对称点的坐标是 （ ） A ． (5，1) B ． (1，－5) C ．(－1，5) D ． (－5，－1) 13、过点P(2，3)且在两坐标轴有相等截距的直线方程是 （ ） A ．x + y －5 = 0 B ．x + y + 5 = 0 C ．x + y －5 = 0 或x + y + 5 = 0 D ．x + y －5 = 0 或3x －2y = 0 专题二十【圆的有关概念、性质及定理】 1．（2015?株洲）如图，圆O是△ABC的外接圆，∠A=68°，则∠OBC的大小是（） A．22°B．26°C．32°D．68° 【答案】A． 2．（2015?兰州）如图，已知经过原点的⊙P与x、y轴分别交于A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则∠ACB=（） A．80°B．90°C．100°D．无法确定 【答案】B． 3．（2015?湖北）点O是△ABC的外心，若∠BOC=80°，则∠BAC的度数为（）A．40°B．100°C．40°或140°D．40°或100° 【答案】C． 4．（2015?湖州）如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=，则AB的长是（） A．4 B．2C．8 D．4 【答案】C． 5．（2015?衢州）如图，已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的圆交AC于点D，过点D的⊙O的切线交BC于点E．若CD=5，CE=4，则⊙O的半径是（） A．3 B．4 C．D． 【答案】D． 6．（2015?丽水）如图，圆心角∠AOB=20°，将旋转n°得到，则的度数是度． 【答案】20． 7．（2015?宜宾）如图，AB为⊙O的直径，延长AB至点D，使BD=OB，DC切⊙O于点C，点B是的中点，弦CF交AB于点E．若⊙O的半径为2，则CF=． 【答案】2 8．（2015?天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC是平行四边形，过点C 作⊙O的切线，交AB的延长线于点D． （Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小． （Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB的大小． 【答案】（1）∠ADC= 90°； （2）∠FAB= 15°． 9．（2015?湖州）如图，已知BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，E 为AC的中点，连结DE． （1）若AD=DB，OC=5，求切线AC的长； （2）求证：ED是⊙O的切线． 【答案】（1）AC=10； （2）略 10．（2015?潍坊）如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB 于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长．最新高考数学直线和圆的方程专题复习(专题训练)
圆的参数方程习题
培优训练之《直线与圆的位置关系、切线》专题
2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《五 第1讲 直线与圆(小题)》
成都市中考20题 圆的综合
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