切线定理
切线的判定和性质
切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径
（1）证明一条直线是圆的切线时：直线与圆有交点时，连接交点与圆心，证垂直；直线与圆“无”交点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段的长等于半径。
（2）已知直线和圆相切时：常连接切点与圆心的辅助线。
三角形的内切圆
1.三角形内切圆的作法
如图是一张三角形的铁皮，如何在它上面截一块圆形的用料，并且使圆的面积尽可能大呢？
2.三角形内切圆的相关概念
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，他们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
例1 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
例2 △ABC内接于⊙O，AB是⊙O的弦，∠CAD=∠ABC，判断直线AD与⊙O的位置关系，并说明理由。
例3 直线BC与半径为r的相交，且点O到直线BC的距离为5，求r的取值范围。
例4 一枚直径为d的硬币沿直线滚动一圈。圆心经过的距离是多少？
例5 PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，C是⊙O上一点，若∠APB=400，求∠ACB的读数。
例6 点O是∠DPC的角平分线上的一点，⊙O与PD相切于A，求证：PC与⊙O相切。
例7 如图，⊙O是△ABC的内切圆，已知∠A=700，求∠BOC的度数。
例8 如图PA、PB分别切圆O于A、B，并与过切点E切线分别相交于C、D，已知PA=7cm，△PCD的周长是。
1下面说法正确的是（）
A.与三角形两边相切的圆一定是三角形的内切圆
B.经过三角形的三个顶点的圆一定是三角形的内切圆
C.任意一个三角形都有且只有一个内切圆
D.任意一个三角形都有无数个内切圆
2.如图，△ABC的内切圆的半径为2cm，三边的切点分别为D、E、F，△ABC的周长为10cm，那么S△ABC= cm2。
3.如图，在Rt△ABC，∠C=900，AC=5，⊙O与Rt△ABC的三边AB、BC、AC相切于D、E、F，半径r=2，则△ABC的周长为。
4.如图，△ABC的内切圆分别与BC、AC、AB相切于点D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，AC=13cm，求AF、BD、CE的长。
5.如图，点E为△ABC的内心，AE交△ABC的外接圆于点D，求证：BD=ED=CD。
1.如图，直角梯形ABCD中，∠A=900，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若AB=12cm，梯形面积为120cm2，则CD的长是。
2.已知⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为6cm，过点P两条画⊙O的两条切线，这两条切线的切线长为cm。
3.如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为。
4.如图1，在△ABC中，点D在边BC上，∠ABC：∠ADB=1:2:3，⊙O是△ABD的外接圆。（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）当BD是⊙O的直径时（如图2），求∠CAD的度数。
5.如图，在Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF。（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=600，求AD的长。
6.如图所示，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E。（1）判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由；（2）若CE=2，求⊙O的半径为r。
7.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过点A作⊙O的切线AP，AP与OD 的延长线交于点P，连接PC、BC。（1）猜想：线段OD与BC有何数量关系和位置关系，并证明你的结论；（2）求证：PC是⊙O的切线。
切线性质定理证明过程，证明圆的切线的几种方法 切线长度定理:从圆外的一点引向圆的两条切线长度相等，圆心与此点的连线平分两条切线的夹角。 证明圆的切线的性质定理 我们大多数情况下用反证法来证明切线的性质定理： 假设圆O的切线l与OA不垂直，作OM垂直于l于M，因“垂线段短”，故OA＞OM，即圆心到切线的距离小于半径，这与“切线到圆心的距离等于半径”矛盾，故直线l与圆O一定垂直。 圆的切线的性质 切线的主要性质有以下几点： 1、切线和圆唯有一个公共点； 2、切线和圆心的距离等于圆的半径； 3、切线垂直于经过切点的半径； 4、经过圆心垂直于切线的直线必过切点； 5、经过切点垂直于切线的直线必过圆心； 6、从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
以上内容是圆的切线的性质定理及其证明方法。掌握和熟悉这一重要内容和核心考点，对考生处理数学几何问题很有帮助。为此，考生必须努力学习。 连接圆心和切点，按照直线与圆相切的定义，可证切线与过切点的半经垂直 证明圆的切线的迅速方式？ 1、已知条件中直线与圆若有公共点，且存在连接公共点的半径，可直接按照“经过直径的一端,还垂直于这条直径的直线是圆的切线”来证明。口诀是“见半径，证垂直”。 2、条件中若给出了直线和圆的公共点，但没有给出过这个点的半径，则连结公共点和圆心，然后按照“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“连半径，证垂直”。 3、已知条件若没有给出了直线和圆的公共点，则过圆心向这条直线引垂线，然后按照“到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线”这个定理来证明，口诀是“作垂直，证半径”。 如何证明圆的切线？ 切线的判定定理:通过半径外端并垂直于该半径的直线是圆的切线。切线的性质定理:圆的切线垂直于通过切点的半径。根据这两个定理，我们可以得到证明圆的切线在大多数情况下的思路。 1、连半径，证垂直 2、作垂线，证半径 圆如何正切线？
圆的切线、切点及切线定理 2023年，我们的数学知识不断发展，而圆的切线、切点及切线定理依然是我们学习的重要内容。在这篇文章中，我将会介绍关于圆的切线、切点及切线定理的相关知识，并深入讨论它们的应用。 首先，我们来了解什么是圆的切线和切点。圆的切线是指在圆上取点，连接此点与圆心所形成的直线，在圆上的切点即为圆与直线相切的点。在以O为圆心、R为半径的圆上，若点P的坐标为(x,y)，则过P点的切线方程为： \begin{aligned}x(x_1-x)+y(y_1- y)&=\frac{1}{2}(x^2+y^2+x_1^2+y_1^2-R^2)\\&=y_1x- x_1y+R^2\end{aligned} 其中，(x1,y1)代表圆心的坐标。 接下来，我们来介绍切线定理。它是指在圆上任意一点P处引出切线，设与圆的切点为A，则PA的长度等于以圆心O为顶点的与切线垂直的直线段OA的长度。即：OP垂直于切线PA，且 OP=OA=√(R²+AP²)。 利用切线定理，我们可以解决一些实际问题。下面就来看几个例子。 例1：如图，在半径为6cm的圆上，AB为圆心角，弦AC长 10cm，BD为切线，DE为长度为4cm的垂线。求AB的度数。 我们可以先求出圆心O到半弧AC的长度，即OA=R×AB/2=18cm，由于OD⊥BE，因此OD=DE=4cm，OE=OB-EB=6-10/2=1cm。由切线定理可得OA=OD+DA，即18=4+√(6²+AD²)，求得AD=8cm。那么，根据余弦定
理，cos∠BAD=AD/AB=8/10，求得∠BAD≈38.66°，因此 AB≈77.32°。 例2：如图，以AB为正方形一边的中点为圆心，该正方形的对角线长度为4，求圆的半径。 设圆的半径为R，则圆心O距离AB的距离为R。根据正方形的性质，对角线的长度为√2边长，所以AB的长度为2√2，因此R=√2。 通过切线定理，我们还可以推导出勾股定理。如图，在直角三角形ABC中，垂足为D，则根据切线定理有： AB²=AD^2+BD^2 BC²=BD^2+CD^2 将AB²-BC²得： AB²-BC²=AD²-CD² (AB+BC)(AB-BC)=AD²-CD² 又因为AB=BC，所以： (AB+BC)(AB-BC)=AD²-CD² 2AB²=2AD²-2CD² AB²=AD²-CD² 这就是勾股定理。 综上所述，圆的切线、切点及切线定理在我们的数学学习中扮演着重要的角色。除了以上提到的应用，切线、切点和切线定理还有很多实际应用，例如在物理中的反射定律，光学中的成像，等等。学好圆的切线、切点及切线定理，有助于我们更好地理解和应用数学知识，为我们的未来学习和工作打下坚实的基础。
圆的切线的性质及判定定理 圆的相切的定义： 直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。 切线的性质定理： 圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1： 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点； 推论2： 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 直线与圆的位置关系： 相离：直线和圆没有公共点，即圆心到直线的距离大于半径； 相交：直线和圆有两个公共点，即圆心到直线的距离小于半径，这条直线叫圆的割线； 相切：直线和圆只有一个公共点，即圆心到直线的距离等于半径，这条直线叫圆的切线。 圆内接四边形的性质与判定定理 圆内接四边形的概念： 如果一个多边形的所有顶点都在一个圆上，这个多边形就叫做圆内接多边形，这个圆就是多边形的外接圆。 圆内接四边形的性质： 圆内接四边形对角互补；圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接四边形的判定：
如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论： 如果一个四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。 方法总结： 1、在解决与圆内接四边形有关的问题时，要注意观察图形，分清四边形的外角和内对角的位置，正确应用性质． 2、当两圆相交时，常常通过连结两圆的公共弦，构建出圆内接四边形，进一步解决问题． 圆周角定理 圆周角的定义: 顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦. 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 圆心角定理： 圆心角的度数等于它所对弧的度数。 推论1： 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。
与切线有关的定理 1.【切线性质定理】 “二推一”(直线过圆心、过切点、垂直于切线) ① 切线垂直于经过切点的半径 ② 过圆心垂直于切线的直线必经过切点 ③ 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 2.【切线判定定理】 ① 定义：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线 ② 过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线→有点连半径．．．．． ③ 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线→无点作垂线．．．．． 有唯一公共点 有点连半径 无点作垂线 A B O C A B O C C O B A 3.【切线长定理】 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心 与这点的连线平分两条切线夹角. 4. 圆内接四边形对角互补 5.圆外切四边形对边和相等 ∠A+∠C=180? AB+CD=AD+BC A B C D O D C B A 直线与圆的位置关系经典例题 直线与圆的位置关系?? ? ?? ?????→←?? ?=???→←???→←r d r d r d 两个公共点 唯一公共点 无公共点 相交等于半径即可无点作垂线，证垂线段可有点连半径，证垂直即相切相离.2.1 辅助线技巧：切点有两连，一连圆心二连弦。 D C B A O P B A
第19题图 A B C D O 三角形顶点到内切圆的切线长=2 对边邻边和- 直角三角形内切圆半径r =2 c b a -+ 1.如图，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，,6,8==OB PA 则APO ∠tan 的值是_____ 2．如图，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有 个． 3.如图,AB 是⊙O 的直径，点C 在AB 的延长线上，CD 与⊙O 相切于点 D.若∠C ＝18°，则∠CDA ＝_____________. 4.如图，在△ ABC 中，AB =2，AC =2，以A 为圆心，1为半径的圆与边BC 相切，则BAC ∠的度数 是 ． 5．如图，PA 、PB 分别切⊙O 于点A 、B ，点E 是⊙O 上一点，且 60=∠AEB ，则=∠P __ ___ 6.如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP =1 2 AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是AC 上和点C 不重合的一点，则D ∠的度数为 . 7.如图，在ΔABC 中，∠A=90°，AB=AC=2cm ，⊙A 与BC 相切于点D ，则⊙A 的半径长为 cm. 8. 如图，AB 是 O 的直径，CB 切O 于B ，连结AC 交O 于D ，若8c m BC =，DO AB ⊥， 则O 的半径OA = cm ． 9.如图，点A 、B 、C 在⊙O 上，切线CD 与OB 的延长线交于点D ，若∠A=30°，CD=32，则⊙O 的半径长 为 ． A B C （4题） D C B A O D C B A （1题） （2题） （3题） （5题） （6题） （7题） （8题） （9题）
1 与切线有关的定理 一、切线的性质及判定 1． 切线的性质： 定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点． 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心． 2． 切线的判定： 定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线； 距离法：到圆心距离等于半径的直线是圆的切线； 定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 3． 切线长和切线长定理： ⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． ⑵ 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． ①切线的判定定理 设OA 为⊙O 的半径，过半径外端A 作l ⊥OA ，则O 到l 的距离d=r ，∴l 与⊙O 相切．因此，我们得到：切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线． 注：定理的题设①“经过半径外端”，②“垂直于半径”，两个条件缺一不可．结论是“直线是圆的切线”．举例说明：只满足题设的一个条件不是⊙O 的切线． l A l A l 证明一直线是圆的切线有两个思路：（1）连接半径，证直线与此半径垂直；（2）作垂线，证垂足在圆上 ②切线的性质定理及其推论 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径． 二、内切圆 1． 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． P
2 2． 多边形内切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形． 3．直角三角形的内切圆半径与三边关系 O F E D C B A C B A C B A c b a c b a （1） （2） 图（1）中，设a b c ，，分别为ABC ∆中A B C ∠∠∠，，的对边，面积为S 则内切圆半径（1）s r p =，其中()12 p a b c = ++； 图（2）中，90C ∠=︒，则()12 r a b c =+- cm,BC=14 cm ，CA=13 cm ，求AF 、BD 、CE 的长
圆的切线长定理 圆的切线长定理是几何学中的重要定理之一，它描述了一个切线与圆的相交关系以及切线的长度和与圆的位置有关。这个定理被广泛应用于各个领域，包括物理学、工程学和计算机图形学等。本文将详细介绍圆的切线长定理及其应用。 一、圆的切线长定理的表述 圆的切线长定理可以用以下方式表述：如果在圆上有一点P，并且通过这点作一条直线与圆相交于A、B两点，那么线段PA和线段PB 的乘积等于切线与圆心连线的长度的平方。即PA * PB = PT^2，其中T是切点。 二、圆的切线长定理的证明 要证明圆的切线长定理，可以使用几何推理和三角关系。设圆的半径为r，圆心为O，切点为T，切线与圆心连线为OT。 连接OA、OB，得到△OAT和△OBT两个直角三角形。由正弦定理可得： sin∠OAT = r / OT sin∠OBT = r / OT 又因为∠OAT和∠OBT是互余角（补角），即∠OAT + ∠OBT = 90°，
所以sin∠OAT = cos∠OBT。 将上述两个等式代入PA * PB = PT^2，得到： r * r = PA * PB 因此，圆的切线长定理得证。 三、圆的切线长定理的应用 圆的切线长定理可以应用于很多实际问题中。以下是一些具体应用：1. 圆的切线长定理可以用于计算切线的长度。如果已知圆的半径和切线与圆的位置，可以通过切线长定理计算切线的长度。 2. 圆的切线长定理可以用于求解与圆相切的直线方程。通过已知切点和切线长度，可以确定切线的位置，从而求解与圆相切的直线方程。 3. 圆的切线长定理可以应用于计算切线与圆心连线的长度。通过已知切线长度和切点，可以计算切线与圆心连线的长度。 4. 圆的切线长定理还可以用于解决几何问题。例如，判断两个圆是否相切，可以通过切线长定理计算切线的长度，从而判断圆是否相切。 圆的切线长定理是几何学中的重要定理，它描述了切线与圆的相交
切线长定理的三个推论 切线长定理，也称斯蒂芬定理，指出对于任意直角三角形中的斜边上一点，过该点的斜边两侧的正弦、余弦、正切、余切、正割、余割、弧正弦、弧余弦、弧正切、弧余切的值之间均存在一个固定的关系，即斯蒂芬定理的公式。 斯蒂芬定理的公式：设一直角三角形的直角边分别为a、b，斜边长度为c，过斜边上一点P作垂线交直角边分别于A、B，则有： - 正弦定理：AP/AC = BP/BC = sinC - 余弦定理：AP/AB = cosC，BP/AB = cosC - 正切定理：AP/PB = tanC，PB/AP = cotC - 正割定理：AC/AP = secC，BC/BP = secC - 余割定理：AB/AP = cscC，AB/BP = cscC - 弧正弦定理：AP/c = arcsin(sinC)，BP/c = arcsin(sinC) - 弧余弦定理：AP/c = arccos(cosC)，BP/c = arccos(cosC) - 弧正切定理：AP/c = arctan(tanC)，BP/c = arctan(cotC) - 弧余切定理：AP/c = arcctan(cotC)，BP/c = arcctan(tanC) 由此，可以得到以下三个推论：
一、相反角的正弦、余弦、正切、余切相等 斯蒂芬定理展示的是一条直角三角形在斜边上选取任意一点P，关于直角点所构成的2个直角三角形的正弦、余弦、正切、余切相等，但是因为斜边的对边和邻边是对称的，所以这些三角函数关于斜边点P对称，也就是说对于三角形外角或内角$c$的补角或余角$\\hat{c} = 90 - c$，函数值是相等的，即： - sin(c) = sin(90-c) - cos(c) = cos(90-c) - tan(c) = cot(90-c) - cot(c) = tan(90-c) - sec(c) = csc(90-c) - csc(c) = sec(90-c) 二、余割等于弧正弦，弧余切等于正切 斯蒂芬定理既可以写成三角函数形式，还可以写成弧度形式。如由正弦定理和弧度公式可得： - AP/c = arcsin(sinC) 同样地，由正切定理和弧度公式也可得： - AP/c = arctan(tanC)
切线定理性质 切线定理性质是指在几何中，一个点在一条曲线上时，任意一条从该点出发的切线都会和曲线上存在着特殊关系，这种关系就是切线定理性质。 切线定理性质包括三种形式，分别是一阶切线定理、二阶切线定理和三阶切线定理。 一阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的距离，与该点到曲线上点的距离成正比。 二阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的角度，与该点到曲线上点的切线斜率成反比。 三阶切线定理是指，如果一个点在一条曲线上，那么任何一个从该点出发的切线，其切点到曲线上点的切线斜率，与该点到曲线上点的切线斜率的平方成反比。 切线定理性质的证明： 1. 一阶切线定理的证明： 假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点 (x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)，
因此，|OM|/|OM1|=1/(1+k^2)^(1/2)，而切线斜率 k=f'(x0)，所以|OM|/|OM1|=1/|f'(x0)| 即|OM|/|OM1|=1/|f'(x0)| 2. 二阶切线定理的证明： 同样假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点 (x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)， 根据切点定理，有∠OM1O=∠OM1M=arctan(k)，因此，∠OM1M=arctan(f'(x0)) 即，∠OM1M=arctan(f'(x0)) 3. 三阶切线定理的证明： 假设有一条曲线y=f(x)，设M(x0,y0)是曲线上的一点，令直线l: y = k(x-x0)+y0 与曲线C相切于点 (x1,y1)，由斜率定理，可以得到k=f'(x0)， 根据斜率定理，可以得到：k′=f″(x0)， 因此， |OM|/|OM1|=(1+k^2)^(1/2)/(1+k^2+2kk′)^(1/2)，而 k=f'(x0)，k′=f″(x0)，所以 |OM|/|OM1|=(1+f'(x0)^2)^(1/2)/(1+f'(x0)^2+2f'(x0)f ″(x0))^(1/2)
圆的切线的判定定理 圆的切线的判定定理（Tangent Line Determination Theorem）是几何学中的一个重要定理，也叫做接触恒等式。它说明了，任意一条射线和圆的接触点之间必然存在一个恒等式，当且仅当此恒等式成立时，这条射线才能作为圆的切线。 圆的切线的判定定理的具体表述为：设O为圆心，r 为半径，P(x, y)为任意一点，若有： $$\begin{aligned} (x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2 \end{aligned}$$ 则点P处的射线与圆O相切，否则不相切。 圆的切线的判定定理最初是由17世纪的德国数学家，牛顿的导师哈耳曼（Gottfried Wilhelm Leibniz）提出的。这个定理在几何学中有着重要的应用价值，它把圆的切线的判断问题解决了，给人们提供了一个方便快捷的判断方法，使得几何学可以更加自然地在计算机上实现。 圆的切线的判定定理也可以通过极坐标系来理解，即可以将圆的极坐标系表示为： $$\begin{aligned} \left\{\begin{array}{l} r=R \\ \theta=\alpha \end{array}\right. \end{aligned}$$其中R是圆的半径，α是圆的切线的角度。
由此可知，如果满足式子： $$\begin{aligned} r=R\cos(\alpha)+R\sin(\alpha) \end{aligned}$$ 则表明射线r与圆O相切，否则不相切。 从数学角度看，圆的切线的判定定理是一个约束关系，表明某个点处的射线和圆心之间的距离是一个定值， 所以可以用来判断某一条射线是否能作为圆的切线。 圆的切线的判定定理在几何学中有着重要的应用价值，在几何分析、三角函数中都有广泛的应用。例如，圆 的切线的判定定理可以用来解决三角函数的解析解问题， 例如：求解一个函数的导数，求解函数的尖峰点等。此 外，还可以用圆的切线的判定定理来解决几何分析中的曲 线积分和圆的定积分等问题。 圆的切线的判定定理不仅可以用于数学分析，而且在计算机图形学中也有着重要的应用。例如，在计算机图形 学中，通常会用到圆的切线的判定定理来判断某一点处的 射线是否可以作为圆的切线，从而计算出圆上各点的位 置，从而使得图形在计算机上更加自然地显示出来。 总之，圆的切线的判定定理是几何学中的一个重要定理，它把圆的切线的判断问题解决了，给人们提供了一个 方便快捷的判断方法，使得几何学可以更加自然地在计算
切线的判定定理 切线判定有两种方法，分属于几个类型。 切线的判定方法1：明确切点时，连接圆心和切点，再证垂直． 题型一：已知角平分线，证切线的方法。 例：如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AC平分∠BAD，AD⊥DC，垂足为D，OE⊥AC，垂足为E．（1）求证：DC是⊙O的切线；（2）若OE=√3cm，AC=2√13cm，求DC的长（结果保留根号）． 方法指导：∵AC平分∠BAD ∴∠BAC=∠DAC ∵OA=OC ∴∠BAC=∠OCA ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD ∵AD⊥DC ∴OC⊥CD ∴DC是⊙O的切线 题型二：利用圆的半径相等和互余定理，证切线。 例：如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长． 方法指导：连接OD。 ∵OA＝OD ∴∠A＝∠ADO ∵∠CBD=∠A ∴∠ADO＝∠CBD ∵∠C=90°∴∠CBD+∠CDB＝90°∴∠ADO+∠CBD＝90° ∴BD与⊙O相切。 1．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．（1）求证：PA是⊙O 的切线；（2）若OC/AC=2/3，且OC=4，求PA的长和tanD的值． 2．如图，AB为⊙O的直径，AD为弦，∠DBC=∠A．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）连接OC，如果OC恰好经过弦BD的中点E，且tanC=1/2，AD=3，求直径AB的长．
P B O 切线长 切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点到切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心这点的连线平分两条切线的夹角。 即：∵PA、PB是的两条切线 ∴PA=PB PO平分∠BPA 例题精选： 例1．如图，PA，PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠P=60°． （1）求∠BAC的度数；（2）当OA=2时，求AB 的长． 例2、如图PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B、C是⊙O上一点，若∠APB＝40°，求∠ACB的度数。 例3．如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA、PB，切点分别是A、B，若PA=5cm，C是 »AB 上的一个动点 （点C与A、B两点不重合），过点C作⊙O的切线，分别交PA、PB于点D、E，求△PED的周长是多少？
例4如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC比AD大6． （1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由． 习题巩固 1．如图，圆O与正方形ABCD的两边AB、AD相切，且DE与圆O相切于E点．若圆O的半径为5， 且AB=11，则DE的长度为何？（） 11 A．5 B．6 C．30D． 2 2如图，AB、CD分别为两圆的弦，AC、BD为两圆的公切线且相交于P点．若PC=2，CD=3，DB=6，则△PAB的周长为（） A．6 B．9 C．12 D．14 3 如图，圆外切等腰梯形ABCD的中位线EF=15cm，那么等腰梯形ABCD的周长等于（） A．15cm B．20cm C．30cm D．60cm 4 如图，⊙O的外切梯形ABCD中，若AD∥BC，那么∠DOC的度数为（） A ．70° B．90° C．60° D．45°