构建数学模型 解决实际问题
——例谈新课改下的初中数学建模教学
内容摘要：
数学模型是数学知识与数学应用的桥梁。在初中数学教学中，教师应帮助学生树立模型思想，让学生通过对初中常见数学模型：方程（组）模型、不等式（组）模型、函数模型、统计、概率模型等的学习，领会数学模型的思想和方法。教师还要引导学生根据题意建立数学模型。使学生明白：数学建模过程就是通过运用观察、类比、归纳、分析等数学思想，构造新的数学模型来解决实际问题，从而使学生体会到数学的价值，享受到学习数学的乐趣。 关键词: 初中数学，数学建模，问题解决
一、 问题提出
数学新课标指出“数学是研究数量关系和空间形式的一门科学。数学与人类的活动息息相关。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民所必备的基本素养。”数学素养他包括数学意识、问题解决、逻辑推理和信息交流四个方面。数学建模既有“数学意识”的因素，又有“问题解决”的因素。“数与代数”的内容主要包括数与式、方程与不等式、函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。在新课标对学习内容的要求中，又着重强调“数与代数”的教学中，应帮助学生树立模型思想，“模型”是数与代数的重要内容。代数是表示交流与解决问题的工具；代数内容的学习应当从单纯关注计算转向关注模型表示与计算，因而在初中进行数学建模教学是提高学生应用意识和培养数学素养的重要途径，这也体现了新课标提出的“学数学，做数学，用数学”的理念。 二、初中数学建模的过程与类型 （一）、 初中数学建模的过程
解释与应用
从现实生活中抽象出数学问题
建立数学模型
求出数学模型的结果
（二）、初中数学常见数学模型及教学
2.1、方程（组）模型
方程（组）是研究数量关系和变化规律的数学模型，可以帮助人们从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界。因此，在方程（组）的教学中，应关注数学建模应用的过程，以培养学生良好的方程观念，增强学生的数学应用意识，用数学思想构造模型，解方程（组）则是另一个方面。让学生经历“问题情境—建立方程（组）模型—解方程（组）—解释”的全过程，从“问题情境—建立方程（组）模型”目的是让学生体会方程（组）是刻画现实世界的一个有效的数学模型。新课标要求能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界中的一个有效的数学模型。
现实生活中的等量关系，如工程问题、打折销售、增长率、储蓄利息等问题，常可以列出方程（组），将实际问题转化为方程（组）模型，从而解决问题。设未知数、列方程（组）是用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，而正确地理解问题情境，分析其中的多种等量关系是设未知数、列出方程（组）的基础。
例如(07年安徽中考题)：据报道，我省农作物秸杆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%，大部分秸杆被直接焚烧了，假定我省每年产出的农作物秸杆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2008年的利用率提高到60%，求每年的增长率。(取2≈1.41)
建模过程如下：
（1）将实际问题转化为数学模型：
设我省每年产出的农作物秸杆总量为a，合理利用量的增长率是x，
由题意得：30%a（1＋x）2=60%a，即（1＋x）2=2
（2）对数学模型求解：
解方程（1＋x）2=2得：x1≈0.41，x2≈－2.41(不合题意舍去)。∴x≈0.41。
（3）回归实际问题：故我省每年秸秆合理利用量的增长率约为41%。
2.2、不等式（组）模型
实际问题中有许多涉及数量间的大小关系的比较，这为学习“不等式（组）”提供了大量的现实素材．数学模型的形式由方程（组）转变为不等式（组），数学建摸思想在已有基础上得到进一步的发展和强化。让学生认识到不等式（组）是解决现实问题的一种重要数学模型．教学中应注意结合具体例子来体现数学模型的意义和作用，反复强调数学模型在解决
100g
x g
实际问题中的作用，继续突出建立数学模型（数学化）解决问题的思想．
在“认识不等式”的教学中，可以通过下面问题进行不等式建模。如图，天平左盘放三个苹果，右盘放100克砝码，天平倾斜.设每个苹果的质量为x 克，怎样表示x 与100之间的关系？
将实际问题转化为
数学模型：3x ＞100或100＜3x.
由实际问题入手，既体
现数学知识的实用性，又激
发学生的学习兴趣.通过上面的实例,学生切实经历了不等式的产生过程,体验到不等式是由于表示不等关系的需要而产生的数学模型.
例如：（茂名市2006年）为了鼓励居民节约用水，茂名市水费按下表规定收取： 每户每月用水量 不超过10吨（含10吨） 超过10吨的部分 水费单价
1.30元／吨
2.00元／吨
已知某住宅小区100户居民五月份交水费共1682元，且该月每户用水量均不超过15吨（含15吨），求该月用水量不超过10吨的居民最多可能有多少户？ 建模过程如下：
（1） 将实际问题转化为数学模型：
设该月用水量不超过10吨的用户有a 户，则超过10吨不超过15吨的用户为(100)a -户， 由题意得：13[13(1510)2](100)1682a a ++-?-≥， （2）对数学模型求解：
化简不等式13[13(1510)2](100)1682a a ++-?-≥得：10618a ≤，
61.8a ∴≤．
故正整数a 的最大值为61．
（3）回归实际问题：即这个月用水量不超过10吨的居民最多可能有61户． 2.3、 函数模型
新课标提出，能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系变化，结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步预测，能用一次函数，二次函数等来解决
简单的实际问题。在学习了正、反比例函数、一次函数和二次函数后，学生的头脑中已经有了这些函数的模型。因此，一些实际问题就可以通过建立函数模型来解决。在函数应用的教学中，教师要引导学生不断地体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，通过建立函数模型以及运用模型解决问题，进一步体现函数与方程的关系
例如：某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可销售100件，现在他采用提高售价，减少进货量的办法，增加利润，已知这种商品每件涨价1元，其销售数量就减少10个，问：将售价定为多少时，才能使赚得的利润最大？并说明理由；
建模过程如下：
（1）、将实际问题转化为数学模型：设每件提价x元，（x≥0），利润为y元，则每天销售额为（10+x）(100-10x)元，进货总价为8（100-10x），故0≤x≤10。
∵利润＝销售总价－进货总价
∴有y＝(2+x)(100-10x) (0≤x≤10)。
即原问题转化为数学模型：二次函数的最值问题
（2）、对数学模型求解：
y＝(2+x)(100-10x)
＝ -10(x-4)2+360 (0≤x≤10)
当x＝4时y最大值＝360
（3）回归实际问题：故当售出价每件14元时，每天所赚利润最大为360元。
在课堂教学中，教师要善于抓住数学建模与学生观察所学知识的"切入点"，引导学生在学中用、在用中学。教学中教师还要注意激发学生的兴趣，开阔学生的视野，让学生了解函数模型在生活中、数学问题中的广泛应用，培养学生的应用意识。通过建立函数模型以及运用模型解决问题，让学生进一步体会函数的广泛应用及运用方法，并使学生了解数学建模的基本方法
2.4、统计、概率模型
统计与概率在自然科学、经济、管理、生活、生产等众多领域中有着广泛的应用，如人口统计、财务统计、人员招聘、成绩分析、投票选举、彩票中奖、抽奖、抽签、预测球队胜负等问题，常将实际问题转化为统计、概率模型，从而利用统计、概率知识加以解决。因此在初中数学教学中教师应注重这部分内容与日常生活，自然等领域的联系。
例如：某单位欲从内部招聘管理人员一名，对甲、乙、丙三名侯选人进行了笔试和面试两项测试，三人的测试成绩如下表所示：
测试项目 测试成绩/分 甲 乙 丙 笔试 75 80 90 面试
93
70
68
图1
根据录用程序，组织200名职工对三人利用投票推荐的方式进行民主评议，三人得票率（没有弃权票，每位职工只能推荐1人）如上图1所示，每得一票记作1分．根据实际需要，单位将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么谁将被录用？ 建模过程如下：
（1）、 将实际问题转化为数学模型：
甲、乙、丙的民主评议得分分别为：50分，80分，70分．
如果将笔试、面试、民主评议三项测试得分按4：3：3的比例确定个人成绩，那么每个人最后成绩=4×笔试成绩+3×面试成绩+3×民主评议得分。 （2）、对数学模型求解：
甲的个人成绩为：472.9
433?75+3?93+3?50
=++（分）， 乙的个人成绩为：477
433?80+3?70+3?80
=++（分）， 丙的个人成绩为：477.4
433?90+3?68+3?70
=++（分），
（3）回归实际问题：由于丙的个人成绩最高，所以候选人丙将被录用
例如：小明和小丽用形状大小相同、面值不同的5张邮票设计了一个游戏，将面值1元、2元、3元的邮票各一张装入一个信封，面值4元、5元的邮票各一张装入另一个信封．游戏规定：分别从两个信封中各抽取1张邮票，若它们的面值和是偶数，则小明赢；若它们的面值和是奇数，则小丽赢，请你判断这个游戏对双方是否公平，并说明理由． 建模过程如下：
乙：40%
甲：
25%
丙：35%
（1）、 将实际问题转化为数学模型：（表格）
1元 2元 3元 4元 （1，4） （2，4） （3，4） 5元
（1，5）
（2，5）
（3，5）
（2）、对数学模型求解： 通过列表的方法，可以求得()12P =
小明赢． ()1
2P =小明赢．
（3）回归实际问题：因为
()()
P P =小明赢小明赢，所以游戏对双方是公平的．
三、对初中数学建模教学的几点思考 1、从课本知识点出发，编拟数学建模问题。
如：将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2
，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少? 建模过程如下：
（1）、将实际问题转化为数学模型：
设剪成两段后其中一段为xcm ，则另一段为（20-x ）cm
由题意得：1742042
2=??
?
??-+??? ??x x
（2）、对数学模型求解
解方程得：4,1621==x x 当x 1=16时，20-x=4;当x 2=4时，20-x=16 （3）回归实际问题：这段铁丝剪成两段后的长度分别是16、4 2、从生活中的数学问题出发，强化建模意识。
小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量桶和体积相同的小球进行了如下操作：
图2
请根据图2中给出的信息，解答下列问题：
（1）求放入小球后量桶中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
49cm
30cm
36cm
3个球
有水溢出
（2）量桶中至少放入几个小球时有水溢出？ 建模过程如下：
问题一：（1）、将实际问题转化为数学模型： 设y kx b =+，把()030，，()336，代入得：
30336b k b =??
+=?，
．
（2）、对数学模型求解
解方程组30336b k b =??+=?，．得230k b =??=?
，
．
（3）、回归实际问题：放入小球后量桶中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）之间的一次函数关系式是： 230y x =+．
问题二：（1）、将实际问题转化为数学模型：设放入x 个小球后量桶中水面的高度y 大于49厘米，即23049x +>时，有水溢出。 （2）、对数学模型求解
解不等式23049x +>，得9.5x >，
（3）、回归实际问题：即至少放入10个小球时有水溢出． 3、以社会热点问题出发，介绍建模方法
例如：据某统计数据显示，在我国的664座城市中，按水资源情况可分为三类：暂不缺水城市、一般缺水城市和严重缺水城市．其中，暂不缺水城市数比严重缺水城市数的4倍少50座，一般缺水城市数是严重缺水城市数的2倍．求严重缺水城市有多少座？ 建模过程如下：
（1）、将实际问题转化为数学模型： 设严重缺水城市有x 座， 依题意，得4x-50+2x+x=664
（2）、对数学模型求解 解方程4x-50+2x+x=664得x=102
（3）、回归实际问题：我国的664座城市中严重缺水城市有102座． 4、注意引导学生从数学角度分析有关现象
例如：近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份每升汽油的价格．
信息一：今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的1.6倍。 信息二：用150元给汽车加的油量比去年少18.75升。 建模过程如下：
（1）、将实际问题转化为数学模型：
设去年5月份汽油价格为x 元/升，则今年5月份的汽油价格为1.6x 元/升， 根据题意，得
150150
18.751.6x x
-=． 整理，得15093.7518.75x -=．
（2）、对数学模型求解：解15093.7518.75x -=这个方程得3x =．经检验，3x =是原方程的解，所以1.6 4.8x =．
（3）、回归实际问题：今年5月份的汽油价格为4.8元/升． 5、在数学中培养学生的数学建模意识
例如：如图3所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位AB 时，宽20m ，水位上升3m 就达到警戒线CD ，这时水面宽度为10m ．若洪水到来时，水位以每小时0.2m 的速度上升，从警戒线开始，再持续多少小时才能到达拱桥顶？ 建模过程如下：
（1）、将实际问题转化为数学模型： 设所求抛物线的解析式为：2
y ax = 设
()
5D b ，则
()
103B b -，
25a b ∴=，1003a b =- 图3
解得1251a b ?
=-?
??=-?
2
125y x
∴=-
（2）、对数学模型求解：
1b =-，
150.2∴
=小时
（3）、回归实际问题：所以再持续5小时到达拱桥顶．
结 论
Ａ
Ｂ
Ｄ Ｃ
Ｏ y
x
新的课程标准提出:义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面而持续、和谐地发展，数学课堂教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题构成数学模型并进行解释与应用的过程、进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力，情感、态度，价值观方面得到进步和发展。因此，在实际课堂教学中，教师应以学生为主体，充分引导学生注意观察生活中的各种现象，充分利用教材的优势，创造性使用教材，努力创设合适的问题情境，让学生投入到解决问题的实践活动中，自己去探索，经历数学建模的全过程，初步领会数学模型的思想和方法，使学生学到有用的数学。数学建模思想的教学顺应了当前新课程标准改革的需要，数学建模的教学必将为初中数学课堂教学改革提供一条新路，也必将为培养“创新型”人才提供一个斩新的舞台。
参考文献
[1]袁震东.数学建模方法.华东师范大学出版社，2003
[2]叶其孝.中学数学建模.湖南教育出版社，1998
[3]兰永胜.数学思想方法与建模技巧
[4]陈蓓璞.《数学建模与应用题教学》.福建中学数学.2004年第08期
[5]孙维.《浅谈初中数学建模的教学应用》.数学学习与研究教研版.2007年第02期
[6]全日制义务教育《数学课堂标准》