双曲线的几何性质导学
案1
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第7课时双曲线的几何性质(1)
教学过程
一、问题情境
问题1前面的课根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪几种性质
解范围、对称性、顶点、离心率.
问题2椭圆+=1(a>b>0)的具体几何性质是什么
问题3现在能根据双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质吗
二、数学建构
类比椭圆+=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程序是:学生:自我思考→得出初步结论→小组讨论→得出满意结论→回答所得结论(与大家交流);教师:启发诱导→点拨释疑→补充完善)
(1)范围:观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围.
双曲线在两条直线x=±a的外侧.注意:从双曲线的方程如何验证
从标准方程-=1可知-1=,由此双曲线上点的坐标都适合不等式≥1,即x2≥a2,|x|≥a,即双曲线在两条直线x=±a的外侧.
(2)对称性:双曲线-=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线
的对称轴,原点是双曲线-=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
(3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.
在双曲线-=1的方程中,对称轴是x轴、y轴,所以令y=0得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线-=1的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长.令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点.我们定义点(0,±b)为虚轴的端点B1,B2,它们的连线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲
线叫做等轴双曲线.
等轴双曲线的性质:①渐近线方程为y=±x;②渐近线互相垂直;③离心率e=.等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时焦点在x轴上,当λ<0时焦点在y轴上.
列表:
方程
性质
+=1(a>b>0)-=1(a>0,b>0)
范围-a≤x≤a,-b≤y≤b x≥a或x≤-a,y∈R
对称性关于坐标轴、原点
都是对称的(对称
轴、对称中心)
关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)
顶点四个,A1(-
a,0),A2(a,0),B1(0,-
b),B2(0,b)
两个,A1(-a,0),A2(a,0)
离心率
e=<1,反映椭圆圆
扁程度
e=>1
注意:在作图时,我们常常把虚轴的两个端点画上(为确定渐近线),但要注
意它们并非是双曲线的顶点.
(图1)
(4)渐近线的发现与论证:根据双曲线的上述性质,能较为准确地把双曲线-=1画出来吗(能)
通过列表描点,能把双曲线的顶点及附近的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚.
我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么(因为当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线.
(图2)
对渐近线并不陌生,例如:
直线x=kπ+(k∈Z)是正切函数y=tan x图象的渐近线.
双曲线有没有渐近线呢如果有,又该是怎样的直线呢
引导猜想:在研究双曲线范围时,由双曲线的标准方程-=1可解出
y=±=±x.
当x无限增大时,就无限趋近于零,也就是说,这时双曲线y=±x与直线y=±x无限接近.[1]
这使我们有理由猜想直线y=±x为双曲线的渐近线.
直线y=±x恰好是过实轴端点A1,A2,虚轴端点B1,B2,作平行于坐标轴的直线x=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢
显然,根据双曲线的对称性,只要考虑双曲线在第一象限就可以了.
学生探讨证明方法,教师可给予适当提示,寻找不同的证明方法,找学生板演其推理过程,对于基础好一点的学生,可能会得到如下三种证法.[2]
证法一如图2,设M(x 0,y0)为第一象限内双曲线-=1上的任一点,则
y0=,M(x0,y0)到渐近线ay-bx=0的距离为
d===(x0-)=·.点M向远处运动,随着x0增大,d就逐渐减小,点M就无限接近于直线y=x.
证法二如图3,设Q为渐近线上与M(x 0,y0)有相同横坐标的点,于是y Q=x0.
MQ=y Q-y0=(x0-)=·=.点M沿曲线向远处运动,随着x0增大,MQ逐渐减小.
(图3)
证法三如图3,设P为渐近线上与M(x0,y0)有相同纵坐标的点,于是
x P=y0,x0=a=,MP=x0-x P=(-y0)=·=.点M
沿曲线向远处运动,随着x0增大,MP逐渐减小.
解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题,从而可较准确地画出双曲线,比如画
双曲线-=1,先作双曲线矩形,画出其渐近线,就可随手画出比较精确的双曲线.[3]
(5)离心率:与椭圆一样,双曲线的焦距与实轴长的比值e=叫做双曲线的离心率.
显然,e>1.a,b,c,e间的关系:e=>1,c2=a2+b2,e====.
由图3可知,双曲线夹在两条渐近线y=±x之间,这说明的大小决定了双曲
线开口的大小.越大,即e=越大,双曲线的开口就越大;越小,即e=越小,双曲线的
开口就越小.
(6)画双曲线的草图具体做法是:画出双曲线的渐近线,先确定双曲线的顶点
及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线
下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出
完整的双曲线.
三、数学运用
【例1】(教材第46页例1)求双曲线-=1的实轴长、虚轴长、焦距、焦
点坐标、离心率及渐近线方程.[4](见学生用书P27) [处理建议]先请学生回顾双曲线的标准方程的结构特点,得出a,b,c的值,再
对照几何性质解题.
[规范板书]解由题意知a2=4,b2=3,所以a=2,b=,c==.
所以实轴长为2a=4,虚轴长为2b=2,焦距为2c=2,焦点坐标为(±,0),离
心率为,渐近线方程为y=±x.
[题后反思]学生易将实轴长与实半轴长、虚轴长与虚半轴长混淆,此处需
提醒学生注意.
【例2】根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)实轴长为4,且过点A(2,-5);
(2)与双曲线-=1有共同渐近线,且过点(-3,2);
(3)与椭圆x2+4y2=64共焦点,且一条渐近线方程为x-y=0.[5](见学生用书P28)
[处理建议]先请学生回顾椭圆的标准方程的基本求法,然后类比得出求双
曲线标准方程的基本方法.
[规范板书]解(1)当焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,又其过点
A(2,-5),代入无解;
当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,又其过点A(2,-5),代入解得
b2=16.
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)解法一双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,
令x=-3,则y=±4,因为2<4,所以点(-3,2)在射线y=-x(x≤0)及x轴负半轴
之间,所以双曲线焦点在x轴上.
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则
解得
所以双曲线的方程为-=1.
解法二设双曲线的方程为-=λ(λ≠0),
所以-=λ,
所以λ=,